高中数学课件：抛物线的几何性质1
高中数学抛物线的几何性质总结课件
开口方向与开口大小的关系
开口方向与开口大小的相互影响
开口方向和开口大小是相互影响的，一般来说，向上开口的抛物线开口会逐渐变小，向下开口的抛物线开口会逐 渐变大。
特殊情况下的关系
当a=0时，抛物线退化为一条直线，此时开口方向和大小无法定义。
04 抛物线的对称性
抛物线的对称轴
抛物线关于其对称轴对称，对称轴是 一条垂直于x轴的直线。
对称轴是抛物线几何性质的一个重要 特征，它决定了抛物线的形状和位置 。
对于标准形式的抛物线 y=ax^2+bx+c，其对称轴的方程是 x=-b/2a。
抛物线的对称中心
抛物线的对称中心是其顶点的位 置，顶点坐标可以通过二次函数 的顶点式y=a(x-h)^2+k得到。
抛物线上的任意一点 到焦点的距离等于该 点到准线的距离。
抛物线的标准方程
开口向右的抛物线方程为 $y^2 = 2px$，其中 $p$ 是焦 距。
开口向左的抛物线方程为 $y^2 = -2px$，其中 $p$ 是 焦距。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
抛物线的标准方程可以根据焦 点和准线的位置进行变换。
抛物线的几何性质
01
02
03
开口方向与函数值变化趋势
开口方向与函数值随x的变化趋势一致，向上开口时函数值随x增大而增大，向 下开口时函数值随x增大而减小。
抛物线的开口大小
开口大小与二次项系数的绝对值大小
开口大小由二次项系数的绝对值|a|决定，|a|越大，抛物线开口越小；|a|越小，抛 物线开口越大。
开口大小与函数值变化幅度的关系
抛物线的简单几何性质课件
生活中的抛物线结构
总结词
在建筑、工程和设计等领域中利用抛物线形状的结构。
详细描述
在现实生活中，抛物线结构被广泛应用于建筑、工程和 设计等领域。例如，在建筑设计中，抛物线形状的屋顶 可以有效地排水并保持适当的角度，以适应当地的气候 条件。在工程领域，抛物线结构可以用于桥梁设计，以 实现最佳的承重能力和稳定性。此外，在艺术和装饰领 域，抛物线结构也被广泛使用，如抛物线形状的雕塑和 装饰品等。
抛物线的简单几何பைடு நூலகம்质课件
目录
• 抛物线的定义 • 抛物线的性质 • 抛物线的应用 • 抛物线的几何性质 • 抛物线的画法
01
抛物线的定义
什么是抛物线
定义1
抛物线是一种二次曲线，它的一 般形式是 y2 = 2px，其中p>0。
定义2
抛物线是指满足y^2=2px(p>0) 形式的曲线。当p>0时，抛物线 开口向右，当p<0时，抛物线开 口向左。
抛物线的标准方程
01
抛物线的标准方程是 y^2 = 2px ，其中 p 是焦准距，x 是自变量 ，y 是因变量。
02
焦准距 p 决定了抛物线的形状和 位置。p 越大，抛物线的开口越 窄，p 越小，抛物线的开口越宽 。
抛物线的焦点与准线
焦点：对于开口向右的抛物线，焦点坐标为 (p, 0)，对于开口向左的抛物 线，焦点坐标为 (-p, 0)。
使用数学软件绘制抛物线
MATLAB
MATLAB 是一种流行的数学软 件，可以轻松地绘制各种图形， 包括抛物线。只需使用 MATLAB 的图形功能，输入抛物线的方程
即可。
GeoGebra
GeoGebra 是一款流行的几何 软件，提供了丰富的几何工具，
抛物线的简单几何性质ppt课件
所以开口向左，焦点坐标为
1 2
,
0
，准线为
x
1 2
，对称轴为
x
轴，
即 D 正确，ABC 错误.
2.若抛物线 y2 4x 过焦点的弦被焦点分成长为 m 和 n 两部分，则 m 与 n 的关系式
为( C )
A. m n 4
B. mn 4
C. 1 1 1 mn
D. 1 1 2 mn
解析：令过焦点的弦为 x ky 1，与抛物线交点分别为 A、B，
下面介绍另一种方法——数形结合的方法
在图中，设 A x1, y1 ， B x2, y2 .由抛物线的定义可知， AF 等于点 A 到准线的
距离 AA' .由 p
2， p 2
1 ，得 AA'
x1
BF
BB '
x2
p 2
x2 1 ，于是得 AB
p 2
x1
AF
1 .于是 AF x1 1 ，同理， BF =x1+x2 +p x1+x2 +2 .
4.已知抛物线 y2 8x 上一点 P 到准线的距离为 d1 ，到直线l : 4x 3y 12 0 的距离
D 为 d2 ，则 d1 d2 的最小值为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析：由抛物线 y2 8x 知，焦点 F 2,0 ，准线方程为l : x 2 ，根据题意作图如下；
点 P 到直线 l : 4x 3y 12 0 的距离为 PA ，到准线l1 : x 2 的距离为 PB ， 由抛物线的定义知： PB PF ， 所以点 P 到直线 l : 4x 3y 12 0 和准线l1 : x 2 的距离之和为 PF PA ，
数学选修课件第章抛物线的几何性质
开口方向与宽度
开口方向
对于形如$y^2=2px$的抛物线，当$p>0$时，开口向右；当 $p<0$时，开口向左。对于形如$x^2=2py$的抛物线，当 $p>0$时，开口向上；当$p<0$时，开口向下。
宽度
抛物线的宽度与焦准距$p$有关。当$p$增大时，抛物线开口 变宽；当$p$减小时，抛物线开口变窄。
点为$F(0,p/2)$。
准线
对于形如$y^2=2px$的抛物线 ，其准线方程为$x=-p/2$；对 于形如$x^2=2py$的抛物线，
其准线方程为$y=-p/2$。
对称轴
对于形如$y^2=2px$的抛物线 ，其对称轴为$y=0$（即x轴） ；对于形如$x^2=2py$的抛物 线，其对称轴为$x=0$（即y轴
抛物线焦点与准线的应用
通过抛物线的焦点和准线，可以建立坐标系，将问题转化为坐标运 算，从而简化问题。
在三角函数问题中应用
抛物线参数方程与三角函数的关系
01
通过抛物线的参数方程，可以将三角函数问题转化为参数方程
问题，从而利用三角函数的性质进行求解。
抛物线顶点与三角函数最值的关系
02
利用抛物线的顶点坐标，可以求出三角函数的最值，进而解决
焦点弦两端点横坐标之积等于 $p^2/4$ 。
焦点弦长度计算公式推导
公式推导
设抛物线 $y^2 = 2px$（$p > 0$）上两点 $A(x_1, y_1)$ 和 $B(x_2, y_2)$， 且 $AB$ 为焦点弦，则有
证明
由抛物线定义可知 $|AF| = x_1 + p/2$， $|BF| = x_2 + p/2$，因此 $|AB| = |AF| + |BF| = x_1 + x_2 + p$。
抛物线的简单几何性质课件 (1)
⑴k→+∞时，|AB| →2p 时 即垂直于对称轴的焦点弦最短（通径） 即垂直于对称轴的焦点弦最短（通径） p2 y1y2=-p2 ⑵x1x2= 4 ⑶以焦点弦为直径的圆和准线相切
课堂练习： 课堂练习：p122第1、3、4题 第 、 、 题
例4、正三角形的一个顶点在原点，另二个顶 、正三角形的一个顶点在原点， 点在抛物线y2=2px上，求三角形的边长。 点在抛物线 上 求三角形的边长。
抛物线的几何性质
标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py
图 形
范围 对称轴 顶点
离心率 开口大小 通经
的直线经过抛物线y 的焦点， 例3、斜率为 的直线经过抛物线 2=4x的焦点， 、斜率为1的直线经过抛物线 的焦点 与抛物线交于两点A、 ，求线段AB的长 的长。 与抛物线交于两点 、B，求线段 的长。 一般化：斜率为 的直线经过抛物线 的直线经过抛物线y 一般化：斜率为k的直线经过抛物线 2=2px的焦 的焦 与抛物线交于点A、 ，求线段AB的长 的长。 点，与抛物线交于点 、B，求线段 的长。 • 问题：从上面的解题过程中，你还得到了哪些 问题：从上的简单几何性质
例1、填空： 、填空： 抛物线y ⑴抛物线 2=2px（p＞0）上一点 到焦点的距 （ ＞ ）上一点M到焦点的距 离是a（ ＞ ）， ），则 到准线的距离是 离是 （a＞p/2），则M到准线的距离是 ， p a 点M的横坐标是 的横坐标是 ； a− 2 抛物线y 上与焦点的距离等于9的点的坐 ⑵抛物线 2=12x上与焦点的距离等于 的点的坐 上与焦点的距离等于 ， 标是 (6 ± 6 2) 。 例2、根据下列条件写出抛物线的标准方程： 、根据下列条件写出抛物线的标准方程： y2=-12x 焦点是F（ ， ）； ⑴焦点是 （-3，0）； x2=2y 准线方程是2y+1=0； ⑵准线方程是 ； 焦点到准线的距离是2。 ⑶焦点到准线的距离是 。 内容？ 抓手？ 研究抛物线的几何性质： 内容？ 抓手？ 研究抛物线的几何性质
3.3.2抛物线的简单几何性质(第1课时)课件(人教版)
关于x轴
对称
( x, y )
O
•
F
(
p
,0)
2
若点(x,y)在抛物线上, 即满足y2 = 2px，
则 (-y)2 = 2px
即点(x,-y) 也在抛物线上,
故抛物线y2 = 2px(p>0)关于x轴对称.
x
3.顶点
定义：抛物线与它的对称轴的交
y
点叫做抛物线的顶点.
y2
= 2px (p>0)中，
叫做抛物线的焦半径.
y
焦半径公式：
p
MF x0
2
H
y2 = 2px
d
M (x0,y0)
O
•
F( p ,0) x
2
方程 y2 = 2px y2 = -2px x2 = 2py x2 = -2py
图
形
y
l
M
O F
M
x
F
y
y
l
O
F M
x
O
l
焦半
径
y
x
O
F
l
M x
p
p
p
p
MF x0
MF
例4.斜率为1的直线 l 经过抛物线
且与抛物线相交于A、B两点,求线段AB的长.
解:F(1,0),直线l:y=x-1
y x 1
由 2
消y得：x 2 6 x 1 0
y 4xyA来自oFB
法2：设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
x1 x2 6
x1 x2 1
由 2
y 4x
高中数学抛物线的几何性质总结课件
准线上的点到抛物线焦点的距离相等 。
抛物线的离心率与焦距的关系
01
02
03
04
离心率
抛物线的离心率等于1。
焦距
抛物线的焦距等于2p，其中p 是抛物线的准线到焦点的距离
。
关系
离心率与焦距之间存在直接关 系，离心率越大，焦距越小；
离心率越小，焦距越大。
应用
了解离心率与焦距的关系有助 于解决一些与抛物线相关的几
将直线方程代入抛物线方 程，得到一元二次方程， 利用判别式非负求出交点 。
参数方程法
设定参数表示交点的坐标 ，代入抛物线方程和直线 方程，解出参数。
交点的性质
对称性
抛物线与直线交点的对称 性取决于抛物线的对称性 和直线的斜率。
唯一性
当直线与抛物线相切时， 交点唯一；当直线与抛物 线相交时，交点可能有两 个。
02
抛物线的几何性质
抛物线的对称性
总结词
抛物线具有对称性，其对称轴是 抛物线的准线。
详细描述
抛物线关于其准线对称，这意味着 对于抛物线上的任意一点P，其关 于准线的对称点也在抛物线上。
数学表达
如果点P(x,y)在抛物线上，那么点 P'(-x,-y)也在抛物线上。
抛物线的范围
01
总结词
抛物线在x轴上方的部分是连续且封闭的。
何问题。
THANK YOU
感谢各位观看
02 03
详细描述
对于开口向上的抛物线，其顶点是最低点，对于开口向下的抛物线，其 顶点是最高点。抛物线在x轴上方的部分是连续且封闭的，形成一个完 整的图形。
数学表达
对于标准形式的抛物线y=ax^2+bx+c，当a>0时，顶点为最低点；当 a<0时，顶点为最高点。
3.3.2抛物线简单几何性质 课件(共21张PPT)
2
y2
2
2
3 ，∴ 2 0 y 0 3 ∴y =2
1
2
的距离 d=1-（-
或 y =-6（舍去）
，∴x=
2
3
1
=
.
）
2
2
∵点 M 到抛物线焦点的距离等于点 M 到抛物线 y2=2x 的准线的距离，
3
∴点 M 到该抛物线焦点的距离为 2 .
y2
2
=1
7.设 P 是抛物线 y 2 4 x 上的一个动点，F 为抛物线的焦点.
(x2, y2)
即时巩固
过点M(2,0)作斜率为1的直线l，交抛物线y2=4x于两点A、B，求焦点，求|AB|．
解：设A(1 ,1 ), B(2 ,2 ),
直线l为 = − 2，代入抛物线方程，得x2-8x+4=0，
∴ 1 +2 =8, 1 2 =4
∴ =
1 + 2 ∙
线准线的距离等于（
A.2
B.1
C ）
C.4
D.8
3.已知抛物线 y 2 2 px( p 0) 的准线与圆 ( x 3) 2 y 2 16 相切，则 p 的值为（ C ）
A.
1
2
B.1
C.2
D.4
4.抛物线 x 2 8 y 焦点为 F，准线为 l，P 为抛物线上一点， PA l ，A 为垂足，如果直线 AF 的倾
第一章
3.3
抛物线
3.3.2 抛物线的简单几何性质
学习目标
1.了解抛物线的简单几何性质.
2.能运用抛物线的几何性Байду номын сангаас解决相关问题.
抛物线的简单几何性质 课件
抛物线性质的综合应用
[探究问题] 1．若两条直线的斜率存在且倾斜角互补时，两条直线的斜率有什么关 系？ 提示：两条直线的斜率互为相反数．
2．如何求抛物线 y＝－x2 上的点到直线 4x＋3y－8＝0 的最小值？
提示：法一：设 A(t，－t2)为抛物线上的点， 则点 A 到直线 4x＋3y－8＝0 的距离 d＝|4t－35t2－8|＝|3t2－54t＋8|＝15 3t－232－43＋8＝153t－232＋230＝35t－232＋43. ∴当 t＝23时，d 有最小值43.
(2)①设出直线方程，直线方程与抛物线方程联立，根据焦点弦长公式求 解．
②根据(1)求出点 A、B 的坐标，设出点 C 的坐标，由O→C＝O→A＋λO→B，可 用 λ 表示点 C 的坐标，最后根据点 C 在抛物线上求出 λ 值．
[解] (1)法一：设以 Q 为中点的弦 AB 的端点坐标为 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则有 y21＝8x1，y22＝8x2，
(2)已知过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为 2 2的直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)两点，且|AB|＝9.
①求该抛物线的方程； ②O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若O→C＝O→A＋λO→B，求 λ 的值．
[思路探究] (1)法一：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，用点差法求 kAB；法二： 设直线 AB 的方程，建立方程求解．
则2p＝3，从而抛物线方程为y2＝3x或y2＝－3x.
[答案] y2＝3x或y2＝－3x
(2)由已知得ac＝2，所以a2＋a2b2＝4，解得ab＝ 3， 即渐近线方程为 y＝± 3x. 而抛物线准线方程为 x＝－p2， 于是 A－p2，－ 23p，B－p2， 23p， 从而△AOB 的面积为21· 3p·p2＝ 3，可得 p＝2.因为抛物线开口向右，所 以其标准方程为 y2＝4x.
第12讲：抛物线的简单几何性质
第12讲：抛物线的简单几何性质基本知识点1 抛物线的简单几何性质以抛物线22(0)y px p=>①为例探究其性质．(1)范围：因为p>0, 由方程①可知，对于抛物线①上的点M(x，y)，x≥0，所以这条抛物线在y轴右侧，开口方向与x轴正向相同；当x的值增大时，y也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．(2)对称性：以－y代换y，方程①不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．(3)顶点：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点，在方程①中，当y=0时，x=0，因此抛物线①的顶点就是坐标原点．(4)离心率：抛物线上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示，由定义可知，e=1．对于抛物线其他三种标准形式也可得到上述类似性质，现将这四种抛物线标准方程的几何性质总结如下表：例 1.已知A ，B 是抛物线22(0)x px p =>上两点，O 为原点．若||||OA OB =,①AOB的垂心恰为抛物线的焦点F ，则直线AB 的方程是( )A ．x p =B ．3x p =C ．32x p =D ．52x p =2． 焦半径公式与焦点弦问题 （1）．焦半径公式设抛物线上一点P 的坐标为(x 0，y 0)，焦点为F ．① 抛物线2002(0),||||22p py px p PF x x =>=+=+. ② 抛物线2002(0),||||22p py px p PF x x =->=-=-+.③ 抛物线2002(0),||||22p px py p PF y y =>=+=+.④抛物线2002(0),||||22p px py p PF y y =->=-=-+例2. 已知点A ，B 为抛物线214y x =上的动点，且||(AB a a =为常数，且a ≥4)，求AB 的中点P 到x 轴的最小距离．(2)．焦点弦问题如图，AB 是抛物线y 2=2px (p >0)过焦点F 的一条弦．设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 的中点00(,)M x y ，过点A ，M ，B 分别向抛物线的准线l 作垂线，垂足分别为点111,,,A M B根据抛物线的定义，有11||||,||||,AF AA BF BB == 故11||||||||||AB AF BF AA BB =+=+. 又因为MM 1是梯形AA 1B 1B 的中位线， 所以111||||||2||AB AA BB MM =+=，从而有下列结论： (1)以AB 为直径的圆必与准线l 相切． (2)0||2()2pAB x =+(焦点弦长与中点关系)．以上结论是抛物线特有的性质，要注意灵活运用．你能发现其他性质吗？例3. 过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点，如果221224y y +=，那么||AB = .3． 直线与抛物线的位置关系直线与抛物线的位置关系有三种情况：相交(有两个公共点或一个公共点)；相切(有一个公共点)；相离(没有公共点)；下面对抛物线22(0)y px p =>与直线的位置关系进行讨论： (1)直线的斜率k 不存在．设直线方程为x a =.若0a >，直线与抛物线有两个交点；若0a =，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点；若0a <，直线与抛物线没有交点． (2)直线的斜率k 存在．设直线:l y kx b =+，抛物线22(0)y px p => ，直线与抛物线的交点的个数等于方程组22y kx by px=+⎧⎨=⎩的解的个数. 也等于方程2222()0k x kb p x b +-+=(或2220ky py bp -+=)的解的个数．① 若k≠0，则当∆>0时，直线与抛物线相交，有两个公共点；当∆=0时，直线与抛物线相切，有一个公共点；当∆＜0时，直线与抛物线相离，无公共点．② 若0k =，则直线y b =与抛物线22(0)y px p =>相交，有一个公共点．例4 过抛物线24y x =的焦点F ，且倾斜角为60°的直线与抛物线交于A ，B 两点，AB 的中点为M ，求FM ． 综合应用应用点一 由抛物线的几何性质求标准方程例5. (1)已知抛物线的对称轴为坐标轴，以原点为顶点，且经过点M(1，－2)，求抛物线的方程．(2)抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．应用点二 直线与抛物线的位置关系的判断例6. 设直线:1l y kx =+，抛物线2:4C y x =，当k 为何值时，l 与C 相切?相交?相离?应用点三 弦长问题例7.（1） 设直线y =2x +b 与抛物线24y x =交于A ，B 两点，已知弦AB 的长为b 的值．（2）. 已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于A (11,x y )，B (22,x y )两点，请判断： ①12,x x 是否为定值?②11FA FB+是否为定值?应用点四 弦中点问题例8．已知抛物线22y x =，过点(2,1)Q 作一条直线交抛物线于A ，B 两点，（1）弦AB 恰被点Q 所平分，求AB 所在直线的方程． (2)试求弦AB 的中点的轨迹方程． 应用点五 抛物线有关的最值 例9. 已知抛物线22.y x =(1)设点A 的坐标为(23，0)，求抛物线上距离点A 最近的点P 的坐标及相应的距离||PA ；(2)设点A 的坐标为(a ，0)，求抛物线上的点到点A 的距离的最小值d ，并写出()d f a =的函数表达式．课后练习1．若抛物线24(0)y px p =->的焦点为F ，准线为l ，则P 表示 ( )A．点F到y轴的距离B．点F到准线l的距离C．点F的横坐标D．点F到抛物线上一点的距离2．过点(2，4)作直线与抛物线28y x=只有一个公共点，这样的直线有( )A．1条B．2条C．3条D．4条3．已知直线(y kx k k=-为实数)及抛物线22(0)y px p=>，则A．直线与抛物线有一个公共点B．直线与抛物线有两个公共点C．直线与抛物线有一个或两个公共点D．直线与抛物线没有公共点4．过抛物线24y x=的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )A．有且仅有一条B．有且仅有两条C．有无穷多条D．不存在5．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30︒的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则①OAB的面积为( )A B C. 6332D. 946．已知抛物线顶点为坐标原点，焦点在y轴上，抛物线上的点(,2)M m-到焦点的距离为4，则m=( )A．4 B．－2 C．4或－4 D．2或－27．平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1，0)的距离和到直线1x =-的距离相等．若机器人接触不到过点P (－1，0)且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是 ．8．抛物线的顶点在原点，以y 轴为对称轴，过焦点且与y 轴垂直的弦长为16，则抛物线方程为 ． 9．抛物线22(0)xpy p => 的焦点为F ，其准线与双曲线22133x y -=相交于A ，B 两点．若①ABF 为等边三角形，则P = ．10．已知点A (－2，3)在抛物线C 2:2y px =的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为 ．11．如图，已知抛物线211:4C y x =，圆222:(1)1C x y +-=，过点(,0)(0)P t t >作不过原点O 的直线P A ，PB 分别与抛物线1C 和圆2C 相切，A ，B 为切点．(1)求点A ，B 的坐标； (2)求①P AB 的面积．注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点．12．如图，已知λ>0，点A 的坐标为(1，1)，点B 在抛物线2y x =上运动，点Q 满足BQ QA λ=，经过点Q 与x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足QM MP λ=，求点P 的轨迹方程．。
抛物线及性质的课件1
2 8b
=
4b 2
解得 b= -2 或 b=-6.∴正方形的边长为 3
2
或5
2
.
例2、
在抛物线y2=64x上求一点，使它到直线Ｌ：4x+3y+46=0的 距离最短，并求此距离。
分析： 抛物线上到直线Ｌ距离最短的点，是和此直
线平行的切线的切点。
y
解：∵
y2=64x
无实根
x
4x+3y+46=0
∴直线与抛物线相离 设与4x+3y+46=0平行且与y2=64x相切的 直线方程为y=-4/3 x+b
对称
( x, y )
y
P(x,y)
由于点( x , y ) 也满
足 y2 = 2px ，故抛物线 y2 = 2px
(p>0)关于x轴对称.
o
F(
p 2
,0 )
x
３、顶点
定义：抛物线和它的对称轴的交点称为抛物线
的顶点。
由y2 = 2px （p>0）当 y=0时,x=0, 因此抛 物线的顶点就是坐 标原点（0，0）。
程为 y=x 解析 则y 12 ∴kAB= . 因为抛物线顶点在原点，焦点F（1，0），
2 =4x1,y =4x2. 2
故抛物线方程为y2=4x,设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),
∴(y1-y2)(y1+y2)=4(x1-x2),
4 y1 y 2
=1,
∴直线AB的方程为y-2=x-2,即y=x.
解：设 AB 的方程为 y=x+b,
消去 x 得 y2-y+b=0，
设 A(x1,y1) , B(x2,y2), 则 y1+y2=1 , y1y2=b,
人教版高中数学课件-抛物线的简单几何性质(1)
x p
y02
2 p
.
2p 2
联立可得点B的纵坐标为y
p2
.
y0
DB
所以DB// x轴。
例4.已知拋物線y=x2,動弦AB的長為2，求AB中 點縱坐標的最小值。
y
M
AF
o
解：设A(x , y ), B(x y ), AB中点M (x, y)
11
22
B
2 MN
AD BC ,
MN
p y 1 y,
证明：以抛物线的对称 轴为x轴，它的顶点为原点，
建立直角坐标系。设抛 物线的方程为 y2 2 px,
点A的坐标为( y02 2p
抛物线的准线是
, y0),则直线OA的方程为y x p
2p y0
x,
y
A
2 联立可得点D的纵坐标为y
p2
.
因为点F的坐标是(
p
y0
,0),所以直线A
F的
2
OF
x
方程为 y y0
焦點F，且與拋物線相交於A，B兩點，求線 段AB的長。
解这题,你有什么方法呢?
法一:直接求两点坐标,计算弦长(运算量一般较大);
法二:设而不求,运用韦达定理,计算弦长(运算量一般);
法三:设而不求,数形结合,活用定义,运用韦达定理,计 算弦长.
例2、已知過拋物線 y2 2 px( p 0) 的焦點F的
直線交拋物線於 A(x1, y1)、B(x2, y2)兩點。
（1）x1 x2 是否為定值？y1 y2 呢？
（2）|
1 FA
|
|
1 FB
|
是否為定值？
y
A ( x1, y1)
高二数学选修2-1课件抛物线的简单几何性质1新人教A版1.ppt
B
由xy2k4xy b消去y,得x2 4kx 4b 0.
A
o
x
x1 x2 4k, x1x2 4b. 1 k 2 (x1 x2 )2 4x1x2 4
化简得b
1 1 k2
k2.
②显然点M到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，由y 0,故| y | y.
2k b y y1 y2 x12 x22 (x1 x2 )2 2x1x2
归纳方法：
1.联立方程组，并化为关于x或y的一元方程； 2.考察二次项的系数是否为0，
①若为0，则直线与抛物线的对称轴平行， 直线与抛物线有且仅有一个交点；
②若不为0，则进入下一步. 3.考察判别式 ⊿<0 直线与抛物线相离.
⊿=0 直线与抛物线相切；
⊿>0 直线与抛物线相交；
例4.已知抛物线：y2=4x,直线l:2x–y+4=0, 求抛物线上的点P到直线l的最短距离.
法1：利用点到直线距离公式
法2：平移至相切
y
75 10
OF
x
l l1
例5.已知正方形ABCD的一边CD在直
线yAB=CDx+4上,顶点A 、B在抛物线y2=x
上，CD 求正方形的边长. y x4
A 、B y2 x
3 2, or5 2
练习 1.已知ΔABC的三个顶点都在 抛物线y2 = 32x上，顶点A(2,8),三角 形的重心恰好是抛物线的焦点，求BC
1、抛物线的几何性质： y2 = 2px（p>0）
（1）范围：x≥0,y∈R.
y
l
（2）对称性：
抛物线关于x轴对称. 抛物线的对称轴叫做 抛物线的轴.
OF
x
3、抛物线的几何性质: y2 = 2px（p>0）
抛物线的几何性质优质ppt课件
在抛物线上，且坐标分别为A(x1,y1)、
B(x2,y2),则
又|OA|=|OB|，所以x 2+y 2=x 2+y 2 1122
o
即 x 2-x 2+2px -2px =0, (X 2-x 2)+2p(x -x )=0,
12
1
2
12
12
(x1-x2)(x1+x2+2p)=0. X1>0，X2>0，2p>0,
二、探索新知
如何研究抛物线y2 =2px（p>0）的几何性质?
1、 范围
由抛物线y2 =2px（p>0）
有
所以抛物线的范围为
2、 对称性
关于x轴 对称
若点(x,y)在抛物线上, 即满足y2 = 2px， 则 (-y)2 = 2px
即点(x,-y) 也在抛物线上,
故 抛物线y2 = 2px(p>0)关于x轴对称.
焦半径公式：|PF|=x0+p/2
下面请大家推导出其余三种标准方程 抛物线的焦半径公式。
补、焦点弦：
通过焦点的直线，与抛物
y
A
线相交于两点，连接这两点的
F
线段叫做抛物线的焦点弦。
O
B
x
焦点弦公式：
下面请大家推导出其余三种标准方程 抛物线的焦点弦公式。
方程 图
形 范围
y2 = 2px
（p＞0） y
所以： 因此所求抛物线标准方程为：
探照灯、汽车前灯的反光曲面，手电筒的反光镜面、 太阳灶的镜面都是抛物镜面。 抛物镜面：抛物线绕其对称轴旋转而成的曲面。 灯泡放在抛物线的焦点位置上，通过镜面反射就变 成了平行光束，这就是探照灯、汽车前灯、手电筒的 设计原理。
抛物线的简单几何性质 课件
写出△OAB的面积，利用面积列方程解p → 得结果
【解】 由题意，抛物线方程为 y2＝2px(p≠0)， 焦点 Fp2，0，直线 l：x＝p2， ∴A、B 两点坐标为p2，p，p2，－p，∴|AB|＝2|p|. ∵△OAB 的面积为 4， ∴12·|p2|·2|p|＝4，∴p＝±2 2. ∴抛物线方程为 y2＝±4 2x.
焦点弦问题
设 P(x0，y0)是抛物线 y2＝2px(p>0)上一点，F 是 抛物线的焦点，则|PF|＝x0＋p2，这就是抛物线的 焦半径公式．利用这一公式可以解决过焦点的弦 长问题．
例2 过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于 点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|＝7，求AB的中 点M到抛物线准线的距离． 【思路点拨】 设抛物线的焦点为F，则|AB|＝ |AF|＋|BF|，然后利用抛物线的定义求解．
而 y1y2<0，
∴y1y2＝－4.
(3)证明：设 OM，ON 的斜率分别为 k1，k2， 则 k1＝xy11，k2＝xy22， 由(2)知，y1y2＝－4，x1x2＝4， ∴k1·k2＝－44值或定值问题
(1)对抛物线中的定点、定值问题，往往采用设而 不求的方法，即方程中含有参数，不论怎样变化, 某直线过定点，代数式恒为某常数． (2)解决有关抛物线的最值问题，一种思路是合理 转化，用几何法求解；另一种思路是代数法，转 化为二次函数求最值．
则直线 OB 的方程为 y＝－1kx，
y＝kx， 由y2＝2x，
解得xy＝＝00，，
或x＝k22， y＝2k，
即 A 点的坐标为(k22，2k)．同样由yy＝ 2＝－2x1k，x，
解得 B 点的坐标为(2k2，－2k)． ∴AB 所在直线的方程为 y＋2k＝k22k2－＋22kk2(x－2k2)， 化简并整理，得(1k－k)y＝x－2. 不论实数 k 取任何不等于 0 的实数，当 x＝2 时， 恒有 y＝0.故直线过定点 P(2,0)．
抛物线的几何性质(一)精选教学PPT课件
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y2 16 x
（3）焦点是F（0，5），准线是y＝－5
x2 20 y
（4）顶点在原点，焦点在x轴上，
过点A（－2，4）
y2 8x
2019/7/24
小结：
1、抛物线的定义,标准方程类型与图象的对应 关系以及判断方法 2、抛物线的定义、标准方程和它
的焦点、准线、方程
Y
关于X轴对称
没有对称中心，因 此，抛物线又叫做 X 无心圆锥曲线。
而椭圆和双曲线又 叫做有心圆锥曲线
2019/7/24
新授内容
三、抛物线的顶点 y2=2px
Y
定义 ：抛物线
与对称轴的交点，
叫做抛物线的顶
X点
只有一个顶点
2019/7/24
新授内容
四、抛物线的离心率 y2=2px
Y
所有的抛物 线的离心率 X 都是 1
其中 p 为正常数，它的几何意义是:
焦点到准线的距离
想 选择不同的位置建
一 想 ？
立直角坐标系时, 情况如何?
？
2019/7/24
﹒ 图 形 y
焦点
ox
﹒y
﹒o x y
ox
﹒y o x
2019/7/24
准线
标准方程
问题：
根据上表中抛物线的标准方程 的不同形式与图形，焦点坐标，准 线方程对应关系如何判断抛物线的 焦点位置，开口方向？ 第一：一次项的变量如为X,则X轴为抛物线 的对称轴，焦点就在对称轴X轴上呀！ 一次项的变量如为Y,则Y轴为抛物线的对称 轴，焦点就在对称轴Y轴上呀！ 第二：一次变量的系数正负决定了开口方向
=
9
y或y2 =
4
x
。
2
3
2019/7/24
练习3 M是抛物线y2 = 2px（P＞0）上一点，若点
p M 的横坐标为X0，则点M到焦点的距离是
X + — 0
2 ————————————
这就是抛
． y M
物线的焦 半径公式!
．
OF
x
2019/7/24
练习4
根据下列条件，写出抛物线的标准方程：
3、注重数形结合的思想。
2019/7/24
2019/7/24
例．过抛物线y2=2px的焦点F任作一
条直线m，交这抛物线于A,B两点，求
证：以AB为直径的圆和这抛物线的准
线相切．
yCΒιβλιοθήκη B分析：运用抛物线的定 H
E
义和平面几
OF
x
何知识来证 D A
比较简捷．
2019/7/24
证明：如图．
设AB的中点为E，过A、E、B分别向准线l
引垂线AD，EH，BC，垂足为D、H、C，
焦点坐标
准线方程
（1） （2） （3） （4）
（5，0） （0，—18 ） （- —5 ，0）
8
（0，-2）
x= -5
y= - —1
8
x= —5
8
y=2
2019/7/24
新授内容
一、抛物线的范围: y2=2px
Y
•X 0 X •y取全体实数
2019/7/24
新授内容
二、抛物线的对称性 y2=2px
2019/7/24
练习1（1）已知抛物线的标准方程是y2 = 6x，
求它的焦点坐标和准线方程；
焦点F 3 ,0 准线方程 : x 3
2
2
（2）已知抛物线的方程是y = －6x2，
求它的焦点坐标和准线方程；
焦点F 0, 1 准线方程 : y 1
24
24
（3）已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2），
求它的标准方程。
标准方程为 : x2 8y
2019/7/24
练习2 求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程。
解：当抛物线的焦点在y轴
的正半轴上时，把A（-3，2）
代入x2 =2py，得p= 9
．y A
4
当焦点在x轴的负半轴上时，
O
x
把A（-3，2）代入y2 = -2px，
2
得p=
3
∴抛物线的标准方程为x2
抛物线的几何性质
范围 对称性 顶点 离心率 基本元素
2019/7/24
复习：
一、抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l
l
的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
N
定点F叫做抛物线的焦点。
定直线l 叫做抛物线的准线。
M· ·F
即: 若︳︳MMNF ︳︳1,则点M的轨迹是抛物线。
2019/7/24
复习：
则｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜
∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜ y
＝｜AD｜＋｜BC｜=2｜EH｜C
B
所以EH是以AB为 直径的圆E的半径， 且EH⊥l，因而圆E 和准线l相切．
H
E
OF
x
DA
2019/7/24
练习 求满足下列条件的抛物线的方程
（1）顶点在原点，焦点是（0，－4）
x2 16 y
2019/7/24
新授内容
五、抛物线的基本元素 y2=2px
Y
基本点：顶点，焦点
基本线：准线，对称轴
X
基本量：P（决定 抛物线开口大小）
2019/7/24
新授内容
六、抛物线开口方向的判断
y2 2 px +X，x轴正半轴，向右 y2 2 px -X，x轴负半轴，向左 x2 2 py +y，y轴正半轴，向上 x2 2 py -y，y轴负半轴，向下
二、抛物线的标准方程 y
设︱KF︱= p
则F（
p 2
，0），l：x = -
p 2
l
· N M
设点M的坐标为（x，y）， 由定义可知，
·x
Ko F
(x p )2 y2 x p
2
2
化简得 y2 = 2px（p＞0）
2019/7/24
复习：
方程 y2 = 2px（p＞0）叫做
抛物线的标准方程
（1）焦点是F（3，0）；
y2 =12x
（2）准线方程 是x =
1 4
；
y2 =x
（3）焦点到准线的距离是2。y2 =4x、 y2 = -4x、 x2 =4y 或 x2 = -4y
2019/7/24
练（1习）5y2填= 2表0x:下列（抛2物）线x2=的1焦y点坐标和准线方程
2 （3）2y2 +5x =0 （4）x2 +8y =0