【步步高】届高三数学大一轮复习函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用学案理新人教A版

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高三数学一轮复习 4.4 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用

π 3
的图象. ( × )
(3)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A≠0)的最大值为 A,最小值为-A.( × )
(4)如果 y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为 T,那么函数图象的两个
相邻对称中心之间的距离为��2��. ( √ )
(5)若函数 y=Asin(ωx+φ)为偶函数,则 φ=2kπ+π2(k∈Z). ( × )
3.函数 f(x)=2sin(ωx+φ)
��>0,-Fra bibliotekπ 2
<
��
<
π 2
的部分图象如图所
示,则 ω,φ 的值分别是( A )
A.2,-π3 B.2,-π6 C.4,-π6 D.4,π3
解析 ∵34T=51π2 −
-
π 3
,∴T=π,∴ω=2.
∴2×51π2+φ=2kπ+π2,k∈Z,∴φ=2kπ-π3,k∈Z.
-9-
知识梳理双基自测自测点评
12345
2.将函数 y=2sin
2��
+
π 3
的图象向左平移14个周期后,所得图象
对应的函数解析式为( B )
A.y=2sin
2��-
π 6
C.y=2sin
2��
+
π 12
B.y=2sin
2��
+
5π 6
D.y=2sin
2��
高三数学一轮复习课件
第四章三角函数、解三角形
4.4 函数y=Asin(ωx+φ) 的图象及应用
-4-

高考数学一轮复习函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用

/目录
01
目录
⁠
1.函数y＝Asin（ωx＋φ）的有关概念
y＝Asin（ωx＋φ）
（A＞0，ω＞0）
振幅
周期
频率
A
2
T＝
ω
1
ω
f＝＝
T 2
相位
初相
ωx＋φ
φ
⁠
目录
2.用“五点法”画y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）一个周期内的简图
用“五点法”画y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）一个周期内的简图时，要找
区间.如果已知图象上有最值点，最好代入最值点求解.
目录
⁠
1.如图，函数y＝ 3tan 2 +
△DEF的面积为
（
π
A.
4
π
B.
2
C.π
D.2π
π
6
的部分图象与坐标轴分别交于点D，E，F，则
）
解析：A 在y＝ 3tan 2 +
π
6
中，令x＝0，可得y＝1，所以D（0，1）；令y＝
π
π
0，解得x＝－（k∈Z），故E
,0
6
2
12
12
D. −
5π
,0
12
.
A.8π
π
−
2 6
1
图象上所有点的横坐标缩小到原来的，则所得函数的最
2
）
B.4π
C.2π
解析：C 所得函数解析式为y＝sin
π
−
6
D.π
，周期为2π.
目录
1
3
4.函数y＝ sin
3
2
1
答案：

高考一轮复习：函数y=Asin(ωx+φ)的图像及应用

正确“列表、描点、连线”;(3)按照图象变换规律进行即可.
解析

(1)y=2sin(2x+)的振幅 A=2,周期 T= =π,初相φ=.

(2)令 X=2x+ ,则 y=2sin(2x+ )=2sin X.
高考总复习·数学（理科）
列表如下:
x

-
X
0
y=sin X
0

解析

数 f(x)的图象向左平移个长度单位后得到 g(x)=2cos[ω

(+)
]的图象,且

(x+ )+]=2cos[ωx+
(+)
=kπ,k∈Z,所以ω的最小值是

答案
1
1.
g(x)为偶函数,所以
高考总复习·数学（理科）
见《自学听讲》P74

已知函数 f(x)=5sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)满足
解析

+

由图象可以得出当 x=

= ,把 x= ,代入

f(x)=2sin(2x+φ)+1=1,得 sin(2× +φ)=0,从图象可以看出在该
点处图象往下走.

∴ +φ=π+2kπ,k∈Z,φ=2kπ+,又∵|φ|<,

∴φ= ,∴f(x)=2sin(2x+ )+1.

∞)
初相
φ
高考总复习·数学（理科）

【步步高】2016高考数学大一轮复习 4.4函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用试题理苏教版

第4讲函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象与性质一、填空题1．已知函数f (x )＝A cos (ωx ＋φ)的图象如图所示，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－23，则f (0)＝________.解析由题中图象可知所求函数的周期为23π，故ω＝3，将⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12，0代入解析式得114π＋φ＝π2＋2k π，所以φ＝－9π4＋2k π，令φ＝－π4代入解析式得f (x )＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4，又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－A sin π4＝－23，所以f (0)＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝A cos π4＝23.答案 232．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的最大值为________．解析法一由题意可知y ＝sin 2x cos π6＋cos 2x sin π6＋cos 2x cos π3＋sin 2x sinπ3＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以最大值为2. 法二 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－π2＝ 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以最大值为2.答案 23．若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示，M ，N 分别是这段图象的最高点和最低点，且OM →·ON →＝0，则A ·ω＝________. 解析由题图可知，T ＝π，所以ω＝2，易得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋φ＝1，又|φ|<π2，所以φ＝π3，因此y ＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，又M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，A ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－A ，若OM →·ON →＝0，则π12×7π12－A 2＝0，所以A ＝712π，因此A ·ω＝2×712π＝76π. 答案76π 4．要使sin α－3cos α＝4m －64－m 有意义，则m 的范围为________．解析4m －64－m ＝sin α－3cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3∈[－2,2]，所以－2≤4m －64－m ≤2，解得－1≤m ≤73.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，73 5．将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的图象，则φ等于________．解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋2π，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋116π，∴将函数y＝sin x 的图象向左平移116π个单位可得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的图象．答案 116π6．在同一平面直角坐标系中，函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋3π2(x ∈[0,2π])的图象和直线y ＝12的交点个数是________．解析 y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋3π2＝sin x 2(x ∈[0,2π])，画出图象可得在[0,2π]上它们有2个交点．答案：27．给出下列命题：①函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π2是奇函数；②存在实数α，使得sin α＋cos α＝32；③若α，β是第一象限角且α＜β，则tan α＜tan β； ④x ＝π8是函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π4的一条对称轴； ⑤函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0成中心对称图形．其中正确命题的序号为________．解析 ①y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3＋π2⇒y ＝－sin 23x 是奇函数；②由sin α＋cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的最大值为2， 2＜32，所以不存在实数α，使得sin α＋cos α＝32.③α＝60°，β＝390°，显然有α＜β，且α，β都是第一象限角，但tan α＝3，tan β＝tan 390°＝33，tan α＞tan β，所以③不成立． ④∵2×π8＋54π＝π4＋54π＝32π，sin 32π＝－1，∴④成立．⑤∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋π3＝1≠0，∴⑤不成立．答案 ①④8．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π2)的图象如图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是________安．解析由图象知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100，∴ω＝2πT＝100π.∴I ＝10sin(100πt ＋φ)．⎝ ⎛⎭⎪⎫1300，10为五点中的第二个点，∴100π×1300＋φ＝π2. ∴φ＝π6.∴I ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋16，当t ＝1100秒时，I ＝－5安．答案－59．设函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象关于点P (x 0,0)成中心对称，若x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，则x 0＝________.解析因为函数图象的对称中心是其与x 轴的交点，所以y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π3＝0，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，解得x 0＝－π6. 答案－π610．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象为C ，下列结论：①图象C 关于直线x ＝π6对称；②图象C 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称；③f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，5π12上是增函数；④函数g (x )＝3sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到f (x )的图象，其中正确的命题序号是________．解析 ①当x ＝π6时，2x －π3＝2×π6－π3＝0，所以C 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称，所以①不正确．②当x ＝－π6时，3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3≠0，所以②不正确．③当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，5π12时，2x －π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，y ＝f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调增，所以③正确．④g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝3sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3≠f (x )，所以④不正确，故正确的题号是③. 答案 ③ 二、解答题11．函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1(A >0，ω>0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2，求α的值．解 (1)由题意，A ＋1＝3，所以A ＝2.因为函数图象相邻两条对称轴之间的距离为π2，所以最小正周期T ＝π，所以ω＝2.故函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1. (2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋1＝2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝12.又0<α<π2，所以α－π6＝π6，即α＝π3.12．如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m ，圆上最低点与地面距离为0.8 m ，60秒转动一圈，图中OA 与地面垂直，以OA 为始边，逆时针转动θ角到OB ，设B 点与地面间的距离为h .(1)求h 与θ间关系的函数解析式；(2)设从OA 开始转动，经过t 秒后到达OB ，求h 与t 之间的函数关系式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？解 (1)以圆心O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则以Ox 为始边，OB 为终边的角为θ－π2，故点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4.8cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2，4.8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2， ∴h ＝5.6＋4.8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2.(2)点A 在圆上转动的角速度是π30，故t 秒转过的弧度数为π30t ，∴h ＝5.6＋4.8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t －π2，t ∈[0，＋∞)．到达最高点时，h ＝10.4 m. 由sin ⎝⎛⎭⎪⎫π30t －π2＝1，得π30t －π2＝π2，∴t ＝30，∴缆车到达最高点时，用的最少时间为30秒．13．已知函数f (x )＝A sin ωx ＋B cos ωx (A 、B 、ω是常数，ω＞0)的最小正周期为2，并且当x ＝13时，f (x )max ＝2.(1)求f (x )的解析式； (2)在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤214，234上是否存在f (x )的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在，请说明理由．解 (1)因为f (x )＝A 2＋B 2sin(ωx ＋φ)，由它的最小正周期为2，知2πω＝2，ω＝π，又因为当x ＝13时，f (x )max ＝2，知13π＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，φ＝2k π＋π6(k ∈Z )，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋2k π＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6(k ∈Z )．故f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6.(2)当垂直于x 轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时，该直线就是正弦曲线的对称轴，令πx ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，解得x ＝k ＋13(k ∈Z )，由214≤k ＋13≤234，解得5912≤k ≤6512，又k ∈Z ，知k ＝5，由此可知在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤214，234上存在f (x )的对称轴，其方程为x ＝163.14．已知函数f (x )＝23sin x 2＋π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4－sin(x ＋π)．(1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值．解 (1)因为f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋sin x＝3cos x ＋sin x ＝2⎝⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)∵将f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，∴g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin[⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3]＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，∴当x ＋π6＝π2，即x ＝π3时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝1，g (x )取得最大值2. 当x ＋π6＝7π6，即x ＝π时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝－12，g (x )取得最小值－1.。

2020届高三文理科数学一轮复习《函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用》专题汇编(教师版)

《函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用》专题一、相关知识点1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：4.图像变换的相关结论(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 图像平移的规律：“左加右减，上加下减”．(2)y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度．(3)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴由ωx ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z 确定；对称中心由ωx ＋φ＝k π，k∈Z 确定其横坐标．题型一函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念以及五点法作图“五点法”画图(1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上五个关键点坐标为(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)． (2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上五个关键点坐标为(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)．1．函数y ＝13sin ⎝⎛⎭⎫32x ＋π4的振幅为__________，周期为________，初相为________．解析：13 4π3 π42．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的振幅、频率和初相分别为( ) A ．2，1π，π4 B ．2，12π，π4 C ．2，1π，π8 D ．2，12π，－π8解析：选A ，函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的振幅为2，频率为1π，初相为π4. 3．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图是( )解析：选A ，令x ＝0，得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－32，排除B 、D.由f ⎝⎛⎭⎫－π3＝0，f ⎝⎛⎭⎫π6＝0，排除C 4．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1. (1)求它的振幅、最小正周期、初相；(2)画出函数y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的图像．解析：(1)振幅为2，最小正周期T ＝π，初相为－π4.(2)图像如图所示．5．已知函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 求它的振幅、周期、初相；并用“五点法”作出它在一个周期内的图像．解析：(1)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的振幅A ＝2，周期T ＝2π2＝π，初相φ＝π3. (2)令X ＝2x ＋π3，则y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝2sin X . 列表如下：6．已知函数f (x )＝4cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋a 的最大值为2. (1)求a 的值及f (x )的最小正周期；(2)画出f (x )在[0，π]上的图象．解析：(1)f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋a ＝4cos x ·⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x ＋a ＝3sin 2x ＋2cos 2x ＋a ＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1＋a ， ∵f (x )的最大值为2，∴a ＝－1，最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，列表：7．已知函数f (x )＝12sin ωx ＋32cos ωx (ω＞0)的最小正周期为π.①求ω的值，并画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图像；解析：①由题意知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3，因为T ＝π，所以2πω＝π，即ω＝2，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.列表如下：8．函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6(其中0<ω<1)，若点⎝⎛⎭⎫－π6，0是函数f (x )图象的一个对称中心． (1)试求ω的值，并求出函数的单调增区间；(2)先列表，再作出函数f (x )在区间x ∈[－π，π]上的图象．解析：(1)因为点⎝⎛⎭⎫－π6，0是函数f (x )图象的一个对称中心，所以－ωπ3＋π6＝k π，k ∈Z ，所以ω＝－3k ＋12，k ∈Z ，因为0<ω<1，所以当k ＝0时，可得：ω＝12.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，令2k π－π2<x ＋π6<2k π＋π2，k ∈Z ，解得2k π－2π3<x <2k π＋π3，k ∈Z ，所以函数的单调增区间为⎝⎛⎭⎫2k π－2π3，2k π＋π3，k ∈Z. (2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，x ∈[－π，π]，列表如下：9．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (1)请用“五点法”画出函数f (x )在一个周期上的图像； (2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π12，π2上的最大值和最小值； (3)写出f (x )的单调递增区间．解析：(Ⅰ)令X ＝2x ＋π6，则y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝sin X . 列表：描点，画出函数f (x )在⎣⎦⎤－π12，11π12上的图像：(2)因为π12≤x ≤π2，所以π3≤2x ＋π6≤7π6，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6最大值等于1，即f (x )的最大值等于1；当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6最小值等于－12，即f (x )的最小值等于－12. 所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π12，π2上的最大值为1，最小值为－12. (3)根据函数的图像知，f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π3＋k π，π6＋k π(k ∈Z)．题型二三角函数图象的变换函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0)中，参数A ，ω，φ，k 的变化引起图象的变换： (1)A 的变化引起图象中振幅的变换，即纵向伸缩变换； (2)ω的变化引起周期的变换，即横向伸缩变换；(3)φ的变化引起左右平移变换，k 的变化引起上下平移变换．图象平移遵循的规律为：“左加右减，上加下减”．1．将函数y ＝2sin2x ＋π6的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 解析：D ，函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的周期为π，将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图像向右平移14个周期即π4个单位长度，所得图像对应的函数为y ＝2sin2x －π4＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3． 2．为了得到函数y ＝3sin 2x ＋1的图像，只需将y ＝3sin x 的图像上的所有点( )A ．横坐标伸长2倍，再向上平移1个单位长度B ．横坐标缩短12倍，再向上平移1个单位长度C ．横坐标伸长2倍，再向下平移1个单位长度D ．横坐标缩短12倍，再向下平移1个单位长度解析：B ，将y ＝3sin x 的图像上的所有点的横坐标缩短12倍得到y ＝3sin 2x 的图像，再将y＝3sin 2x 的图像再向上平移1个单位长度即得y ＝3sin 2x ＋1的图像． 3．为了得到函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图像，可以将函数y ＝2sin 2x 的图像( ) A ．向右平移π6个单位长度 B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度解析：A ，y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6，故选A ． 4．已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2解析：因为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3－π2＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，所以曲线C 1：y ＝cos x 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到曲线y ＝cos 2x ，再把得到的曲线y ＝cos 2x 向左平移π12个单位长度，得到曲线y ＝cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，故选D ． 5．把函数y ＝sin x 的图像上所有点的横坐标都缩小为原来的12，纵坐标保持不变，再把图像向右平移π6个单位长度，则所得图像的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π6 解析：把函数y ＝sin x 的图像上所有点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，得到y ＝sin 2x 的图像，再把y ＝sin 2x 的图像向右平移π6个单位长度，得到y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6，即y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图像，故选A ． 6．为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图像，只需把函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －4π3的图像( ) A ．向左平移π4个单位长度B ．向右平移π4个单位长度C ．向左平移π2个单位长度D ．向右平移π2个单位长度解析：y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －4π3＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫2x －4π3＝sin2x －5π12，故要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图像，只需要平移⎝⎛⎭⎫x －π6－⎝⎛⎭⎫x －5π12＝π4个单位长度，又π4＞0，所以应向左平移，故选A ． 7．已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，则以下判断中正确的是( ) A ．函数f (x )的图象可由函数y ＝2cos 2x 的图象向左平移π8个单位长度得到B ．函数f (x )的图象可由函数y ＝2cos 2x 的图象向左平移π4个单位长度得到C ．函数f (x )的图象可由函数y ＝2sin 2x 的图象向右平移3π8个单位长度得到 D ．函数f (x )的图象可由函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移3π4个单位长度得到解析：选A ，为f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，所以函数f (x )的图象可由函数y ＝2cos 2x 的图象向左平移π8个单位长度得到.8．将函数f (x )＝cos 2x －sin 2x 的图象向左平移π8个单位长度后得到函数F (x )的图象，则下列说法中正确的是( )A ．F (x )是奇函数，最小值是－2B ．F (x )是偶函数，最小值是－2C ．F (x )是奇函数，最小值是－2D ．F (x )是偶函数，最小值是－ 2 解析：选C ，f (x )＝cos 2x －sin 2x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，则F (x )＝2cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋π4＝ 2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－2sin 2x . 9．为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图像，可以将函数y ＝2cos 3x 的图像( )A ．向右平移π12个单位B ．向右平移π4个单位C ．向左平移π12个单位D ．向左平移π4个单位解析：A ，由于y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4，y ＝2cos 3x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π2，因此只需将y ＝2cos 3x 的图像向右平移π12个单位，即可得到y ＝2sin3x －π12＋π2＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4的图像． 10．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为6π，将其图象向右平移2π3个单位长度后得到函数g (x )＝sin ωx 的图象，则φ等于( )A.4π9B.2π9C.π6D.π3 解析：选B ，由题意得2πω＝6π，∴ω＝13.∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫13x ＋φ.将其图象向右平移 2π3个单位长度后得到的，函数图象的解析式为g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤13⎝⎛⎭⎫x －2π3＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫13x －2π9＋φ＝sin 13x ，∴φ－2π9＝2k π(k ∈Z)．解得φ＝2k π＋2π9(k ∈Z)，∵|φ|<π2，∴φ＝2π9.故选B. 11．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －ωπ6(ω>0)的最小正周期为π，则函数f (x )的图象( ) A ．可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向左平移π3个单位长度得到B ．可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向右平移π3个单位长度得到C ．可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向左平移π6个单位长度得到D ．可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向右平移π6个单位长度得到解析：由已知得，ω＝2ππ＝2，则f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向右平移π6个单位长度得到，故选D.12．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π5的图像向右平移π10个单位长度，所得图像对应的函数( ) A ．在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上是增加的 B ．在区间⎣⎡⎦⎤－π4，0上是减少的 C ．在区间⎣⎡⎦⎤π4，π2上是增加的 D ．在区间⎣⎡⎦⎤π2，π上是减少的解析：A ，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π5＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π10，将其图像向右平移π10个单位长度，得到函数y ＝sin 2x 的图像．由2k π－π2≤2x ≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z.令k ＝0，可知函数y ＝sin 2x 在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上是增加的． 13．将函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(0<ω<10)的图象向右平移π6个单位长度之后与函数f (x )的图象重合，则ω＝( )A ．9B ．6C ．4D ．8解析：选B ，函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的图象向右平移π6个单位长度后所得图象对应的函数解析式为f (x )＝tan ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －π6＋π3＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx －ωπ6＋π3，∵平移后的图象与函数f (x )的图象重合，∴－ωπ6＋π3＝π3＋k π，k ∈Z ，解得ω＝－6k ，k ∈Z.又0<ω<10，∴ω＝6. 14．定义运算：⎪⎪⎪⎪a 1 a 2a 3 a 4＝a 1a 4－a 2a 3，将函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪3 sin ωx 1 cos ωx (ω>0)的图象向左平移2π3个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则ω的最小值是( )A.14B.54C.74D.34解析：选B 依题意得f (x )＝3cos ωx －sin ωx ＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6，且函数f ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3＝2cos [ ω⎝⎛⎭⎫x ＋2π3＋π6 ]＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋2ωπ3＋π6是偶函数，于是有2ωπ3＋π6＝k π，k ∈Z ，即ω＝32⎝⎛⎭⎫k －16，k ∈Z.又ω>0，所以ω的最小值是32⎝⎛⎭⎫1－16＝54. 15．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向右平移m (m >0)个单位长度，所得函数图像关于y 轴对称，则m 的最小值为( )A ．5π12B ．π3C ．π12D ．7π12解析：A ，平移后的函数解析式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－2m ，又图像关于y 轴对称，则sin ⎝⎛⎭⎫π3－2m ＝±1，∴π3－2m ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴m ＝－k π2－π12，k ∈Z ，又m >0，∴m 的最小值为5π12.16．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)在它的某一个周期内的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤5π12，11π12.将 y ＝f (x )的图象先向左平移π4个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，所得到的图象对应的函数记为g (x )．(1)求g (x )的解析式；(2)求g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值和最小值．解析：(1)T 2＝1112π－512π＝12π，所以T ＝π，ω＝2πT＝2，又sin ⎝⎛⎭⎫2×5π12＋φ＝1， |φ|<π2，所以φ＝－π3，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，所以g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6. (2)由正弦函数的性质可得，g (x )在⎣⎡⎦⎤0，π12上为增函数，在⎣⎡⎦⎤π12，π4上为减函数，所以g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫π12＝1.又g (0)＝12，g ⎝⎛⎭⎫π4＝－12，所以g (x )min＝－12，故函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值和最小值分别为1和－12. 17．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2，其中0<ω<3，已知f ⎝⎛⎭⎫π6＝0. (1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图像向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图像，求g (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，3π4上的最小值．解析：(1)因为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2，所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sin ωx －32cos ωx ＝3⎝⎛⎭⎫12sin ωx －32cos ωx ＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3. 由题设知f ⎝⎛⎭⎫π6＝0，所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z ，所以ω＝6k ＋2，k ∈Z. 又0<ω<3，所以ω＝2. (2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，所以g (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π12. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，所以x －π12∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3. 当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.题型三由图象求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)的步骤和方法(1)求A ，b ：确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m 2； (2)求ω：确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT； (3)求φ：常用的方法有代入法和五点法．①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点是在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．1．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝2所得线段长为π2，则f ⎝⎛⎭⎫π6的值是( ) A ．－3 B.33 C ．1 D. 3 解析：选D ，由题意可知该函数的周期为π2，∴πω＝π2，ω＝2，f (x )＝tan 2x .∴f ⎝⎛⎭⎫π6＝tan π3＝ 3. 2．函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)图象的最高点与相邻最低点的距离是17，若将y ＝f (x )图象向右平移16个单位长度得到y ＝g (x )的图象，则函数y ＝g (x )图象的一条对称轴方程是( ) A ．x ＝56 B ．x ＝13 C ．x ＝12D ．x ＝0 解析：选B ，函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的最大值为2，由(17)2－42＝1可得函数f (x )的周期T ＝2×1＝2，所以ω＝π，因此f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π3.将y ＝f (x )的图象向右平移16个单位长度得到的图象对应的函数解析式为g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤π⎝⎛⎭⎫x －16＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6，当x ＝13时，g ⎝⎛⎭⎫13＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋π6＝2，为函数的最大值，故直线x ＝13为函数y ＝g (x )图象的一条对称轴． 3．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)( ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则φ的值为( )A ．－π3 B.π3 C ．－π6 D.π6解析：选B ，由题意，得T 2＝π3－⎝⎛⎭⎫－π6＝π2，所以T ＝π，由T ＝2πω，得ω＝2，由图可知A ＝1，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)．又因为f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝0，－π2<φ<π2，所以φ＝π3. 4．函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图像如图所示，则f (x )的递减区间为( )A ．⎝⎛⎭⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B ．⎝⎛⎭⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C ．⎝⎛⎭⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D ．⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析：D ，由图像知，周期T ＝2⎝⎛⎭⎫54－14＝2，∴2πω＝2，∴ω＝π. 由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫πx ＋π4. 由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ， ∴f (x )的递减区间为⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z.故选D ． 5．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的部分图象如图所示，则f (2 019)＝( )A ．1 B.32 C.12 D.34解析：选C ，由函数图象可知最小正周期T ＝4，所以f (2 019)＝f (504×4＋3)＝f (3)，观察图象可知f (3)＝12，所以f (2 019)＝12.故选C. 6．若函数f (x )＝sin(ωx －φ)⎝⎛⎭⎫|φ|≤π2的部分图象如图所示，则ω和φ的值是( )A ．ω＝1，φ＝π3B ．ω＝1，φ＝－π3C ．ω＝12，φ＝π6D ．ω＝12，φ＝－π6解析：由图象可知，函数的周期为4[ 2π3－⎝⎛⎭⎫－π3 ]＝4π，所以ω＝2π4π＝12，将⎝⎛⎭⎫2π3，1代入 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －φ，又|φ|≤π2，得φ＝－π6，故选D. 7．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)( A >0，ω>0，|φ|<π2 )的部分图象如图所示，则将y ＝f (x )的图象向左平移π3个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为( )A ．y ＝－cos 2xB ．y ＝cos 2xC ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 解析：选C ，设函数f (x )的最小正周期为T .由题图知，34T ＝1112π－π6，得T ＝π＝2πω，∴ω＝2；由f (x )的最大值为1，得A ＝1，∴f (x )＝sin ()2x ＋φ，将⎝⎛⎭⎫π6，1的坐标代入可得sin ( π3＋φ )＝1，又∵|φ|<π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.f (x )的图象向左平移π3个单位长度，可得g (x )＝sin [ 2( x ＋π3 )＋π6]＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6的图象．故选C. 8．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，x ∈R ，ω＞0，|φ|＜π)的部分图像如图所示，则函数f (x )的解析式为f (x )＝________.解析：由题图可知，函数的最大值为A ＋B ＝3，最小值为－A ＋B ＝－1，解得A ＝2，B ＝1.函数的最小正周期为T ＝2×⎣⎡⎦⎤5π12－⎝⎛⎭⎫－π12＝π，由2πω＝π，解得ω＝2. 由f ⎝⎛⎭⎫－π12＝2sin ⎣⎡⎦⎤2×⎝⎛⎭⎫－π12＋φ＋1＝－1，得sin ⎝⎛⎭⎫φ－π6＝－1，故φ－π6＝2k π－π2(k ∈Z)，解得φ＝2k π－π3(k ∈Z)，又因为|φ|＜π，所以φ＝－π3. 所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1. 9．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的部分图像如图所示，若x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A ．12B ．22C ．32D ．1 解析：由题图知，T 2＝π2，即T ＝π，则ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)，因为点⎝⎛⎭⎫π3，0在函数f (x )的图像上，所以sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝0，即2π3＋φ＝2k π＋π，k ∈Z ，所以φ＝2k π＋π3，k ∈Z ，又|φ|＜π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，因为x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，所以x 1＋x 22＝π12，所以x 1＋x 2＝π6，所以f (x 1＋x 2)＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋π3＝32.10．函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π<φ<0)的部分图象如图所示，为了得到g (x )＝A sin ωx 的图象，只需将函数y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移π6个单位长度B ．向左平移π12个单位长度 C ．向右平移π6个单位长度 D ．向右平移π12个单位长度解析：选B ，由题图知A ＝2，T 2＝π3－⎝⎛⎭⎫－π6＝π2，∴T ＝π，∴ω＝2，∴f (x )＝2cos(2x ＋φ)，将⎝⎛⎭⎫π3，2代入得cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝1，∵－π<φ<0，∴－π3<2π3＋φ<2π3，∴2π3＋φ＝0，∴φ＝－2π3，∴f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －2π3＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12，故将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位长度可得到g (x )的图象11．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，其中A ，B 两点间距离为5，则ω＋φ＝________.解析：∵AB ＝5＝ T 24＋16，∴T ＝6＝2πω，∴ω＝π3.∵f (2)＝－2，∴23π＋φ＝2k π＋32π，k ∈Z.又∵0<φ<π，∴φ＝56π，∴φ＋ω＝76π. 12．函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图像如图，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－23，则f ⎝⎛⎭⎫－π6＝( )A ．－23B ．－12C ．23D ．12解析：由题图知T 2＝11π12－7π12＝π3，所以T ＝2π3，即ω＝3，当x ＝7π12时，y ＝0，即3×7π12＋φ＝2k π－π2，k ∈Z ，所以φ＝2k π－9π4，k ∈Z ，即k ＝1时，φ＝－π4，所以f (x )＝A cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4. 即A cos ⎝⎛⎭⎫3π2－π4＝－23，得A ＝223，所以f (x )＝223cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4，故f ⎝⎛⎭⎫－π6＝223cos ⎝⎛⎭⎫－π2－π4＝－23. 13．设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f ⎝⎛⎭⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( ) A ．ω＝23，φ＝π12 B ．ω＝23，φ＝－11π12 C ．ω＝13，φ＝－11π24 D ．ω＝13，φ＝7π24解析：∵f ⎝⎛⎭⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π， ∴f (x )的最小正周期为4⎝⎛⎭⎫11π8－5π8＝3π，∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋φ. ∴2sin ⎝⎛⎭⎫23×5π8＋φ＝2，得φ＝2k π＋π12，k ∈Z.又|φ|<π，∴取k ＝0，得φ＝π12.故选A ． 14．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2≤φ≤π2的图象上的一个最高点和与它相邻的一个最低点的距离为22，且图象过点⎝⎛⎭⎫2，－12，则函数f (x )＝____________. 解析：依题意得 22＋⎝⎛⎭⎫πω2＝22，ω>0，所以ω＝π2，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋φ.因为该函数图象过点⎝⎛⎭⎫2，－12，所以sin(π＋φ)＝－12，即sin φ＝12.因为－π2≤φ≤π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π6.15．（理科）已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)( ω>0，φ∈⎣⎡⎦⎤π2，π )的部分图象如图所示，其中f (0)＝1，|MN |＝52，将f (x )的图象向右平移1个单位长度，得到函数g (x )的图象，则g (x )的解析式是( )A ．g (x )＝2cos π3xB ．g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋2π3C ．g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2π3x ＋π3D ．g (x )＝－2cos π3x 解析：选A ，设函数f (x )的最小正周期为T .由题图及|MN |＝52，得T 4＝32，则T ＝6，ω＝π3.又由f (0)＝1，φ∈⎣⎡⎦⎤π2，π得sin φ＝12，φ＝5π6.所以f (x )＝2sin ( π3x ＋5π6).则g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤π3(x －1)＋5π6＝2cos π3x .故选A.16．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2，y ＝f (x )的部分图像如图，则f ⎝⎛⎭⎫π24＝________.解析：由题图可知，T ＝2⎝⎛⎭⎫3π8－π8＝π2，所以ω＝2，所以2×π8＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)．又|φ|＜π2，所以φ＝π4.又f (0)＝1，所以A tan π4＝1，得A ＝1，所以f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，所以f ⎝⎛⎭⎫π24＝tan ⎝⎛⎭⎫π12＋π4＝tan π3＝ 3. 17．(理科)已知函数f (x )＝A sin ( π3x ＋φ )⎝⎛⎭⎫A >0，0<φ<π2，y ＝f (x )的部分图象如图所示，P ，Q分别为该图象的最高点和最低点，作PR ⊥x 轴于点R ，点R 的坐标为(1,0)．若∠PRQ ＝2π3，则f (0)＝( ) A.12 B.32 C.34 D.24解析：过点Q 作QH ⊥x 轴于点H .设P (1，A )，Q (a ，－A )．由函数图象得2|a －1|＝2ππ3＝6，即|a －1|＝3.因为∠PRQ ＝2π3，所以∠HRQ ＝π6，则tan ∠QRH ＝A 3＝33，解得A ＝ 3.又P (1，3)是图象的最高点，所以π3×1＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z.又因为0<φ<π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋π6，f (0)＝3sin π6＝32.故选B. 18．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图像如图所示．(1)求f (x )的最小正周期及解析式；(2)设g (x )＝f (x )－cos 2x ，讨论函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调性．解析：(1)由题图可知A ＝1，12×2πω＝2π3－π6，故ω＝2，所以f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝π. 当x ＝π6时，f ⎝⎛⎭⎫π6＝1，即sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝1，因为|φ|<π2，所以φ＝π6. 所以f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－co s 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，令z ＝2x －π6，函数y ＝sin z 的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z. 由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z. 设A ＝⎣⎡⎦⎤0，π2，B ＝x ⎪⎪⎭⎬⎫－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z .易知A ∩B ＝⎣⎡⎦⎤0，π3. 所以当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减．题型四三角函数模型的简单应用1．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ( A >0，ω>0，|φ|<π2 )的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最低为5千元．则7月份的出厂价格为________元．解析：作出函数简图如图：三角函数模型为：y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，由题意知：A ＝2 000，B ＝7 000，T ＝2×(9－3)＝12，∴ω＝2πT ＝π6.将(3，9 000)看成函数图象的第二个特殊点，则有π6×3＋φ＝π2，∴φ＝0，故f (x )＝2 000sin π6x ＋7 000(1≤x ≤12，x ∈N *)．∴f (7)＝2 000×sin 7π6＋7 000＝6 000.故7月份的出厂价格为6 000元．2．如图，某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2.(1)求这一天的最大用电量及最小用电量．(2)写出这段曲线的函数解析式．解析：(1)最大用电量为50万kW·h ，最小用电量为30万kW·h.(2)由图象可知，8～14时的图象是y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期的图象，∴A ＝12×(50－30)＝10，b ＝12×(50＋30)＝40. ∵12×2πω＝14－8，∴ω＝π6.∴y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋40. 将x ＝8，y ＝30代入上式，解得φ＝π6. ∴所求解析式为y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋π6＋40，x ∈[8,14]．。

高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第四节函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型

将函数 y＝sin2x 的图象向右平移个单 4 位，再向上平移 1 个单位，所得图象的函数解析式是
_
_______．
π 解析：函数 y＝sin2x 的图象向右平移个单位后得到 y＝sin2(x 4 π π － )＝sin(2x－ )＝－cos2x 的图象，再向上平移 1 个单位可以 4 2 得到 y＝－cos2x＋1 的图象，由二倍角公式知 y＝2sin2x.
1 法二：将 y＝sinx 的图象上每一点的横坐标 x 缩短为原来的倍， 2 纵坐标不变，得到 y＝sin2x 的图象； π π 再将 y＝ sin2x 的图象向左平移个单位，得到 y＝ sin2(x＋ )＝ 6 6 π π sin(2x＋ )的图象；再将 y＝sin(2x＋ )的图象上每一点的横坐标保 3 3 π 持不变，纵坐标伸长为原来的 2 倍，得到 y＝2sin(2x＋ )的图象． 3
1 π 解：(1)y＝3sin( x－ )的周期 T＝4π. 2 4 π 振幅为 3，初相为－ . 4
(2)在x∈[0,4π]上确定关键点列表：
x 1 π x－ 2 4 1 π 3sin( x－ ) 2 4 0 －－ π 4 π 2 0 0 3π 2 π 2 3 5π 2 π 0 7π 2 3π 2 4π
π (3)法一：把 y＝sinx 的图象上所有的点向左平移个单位，得到 y＝ 3 π π sin(x＋ )的图象，再把 y＝sin(x＋ )的图象上的点的横坐标缩短到原 3 3 1 π 来的倍(纵坐标不变)，得到 y＝sin(2x＋ )的图象，最后把 y＝sin(2x 2 3 π ＋ )上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)，即可得到 y 3 π ＝2sin(2x＋ )的图象． 3
答案：0
1. y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx 振幅＋φ)(A>0， ω>0)，

2020届高三文理科数学一轮复习《函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用》专题汇编(教师版).pdf

π 2x＋6
＋
1＋
a，
2π ∵ f(x)的最大值为 2，∴ a＝－ 1，最小正周期 T＝ 2 ＝ π．
π (2)由 (1) 知 f(x)＝ 2sin 2x＋ 6 ，列表：
x π
2x＋6
0
π 5π 2π 11π
6
12
3
12
π
ππ
3π
13 π
6
2
π
2
2π
6
π f(x) ＝2sin 2x＋6
1
2
0
－2
0
1
1．将函数
y＝
2sin2
x＋
π的图像向右平移 6
1个周期后，所得图像对应的函数为 4
(
)
π A ． y＝ 2sin 2x＋ 4
π B ． y＝ 2sin 2x＋3
C．y＝ 2sin
2x－
π 4
D ． y＝ 2sin 2x－π3
解析： D，函数
y＝ 2sin
2x＋
π 6
的周期为
π，将函数
y＝ 2sin 2x＋ π6 的图像向右平移
π
5π
π
π
7π
x＋6
－6
－2
0
2
π
6
2π
π
π
5π
x
－π
－3
－6
3
6
π
y
－1
－2
0
2
0
－1
作图如图：
π 9．已知函数 f(x)＝ sin 2x＋ 6 .
(1)请用“五点法”画出函数 f(x)在一个周期上的图像；
(2)求 f (x)在区间
π， 12

高考数学一轮总复习三角函数解三角形第6节函数y=sin(ωx+φ)的图象与性质及三角函数模型的应用

解析:由题图可知 T=

所以

||

- = (T 为 f(x)的最小正周期),即 T=π,

=π,即ω=±2,又ω>0,故 f(x)=2cos(2x+ ).

点( ,0)可看作“五点法”中的第二个点,故 2× + = ,得 =- ,

则 f(x)=2cos(2x-),所以 f()=2cos(2×-)=- .

t=+2kπ或 t= +2kπ,k∈Z,

由题图可知,ωx2+ -(ωx1+ )= -= ,

即ω(x2-x1)= ,所以ω=4.

因为 f( )=sin( + )=0,所以 + =2kπ,k∈Z,即 =- +2kπ,

[课程标准要求]
1.了解函数y=Asin(ωx+ )的物理意义,能画出y=Asin(ωx+ )
的图象,了解参数A,ω, 对函数图象变化的影响.2.会用三角函
数解决一些简单的实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的
重要函数模型.
积累·必备知识
回顾教材,夯实四基
1.y=Asin(ωx+ )的有关概念
√

D.0,,,,

解析:令x 依次等于 0,,π, ,2π,得 x 依次为 0,π,2π,3π,4π.
故选 C.

3.(必修第一册 P239 练习 T2 改编)为了得到函数 y=sin(x-)的图象,只要把

2024届高考数学一轮总复习第三章三角函数解三角形第六讲函数y=Asinωx+φ的图象及应用课件

答案：C
【题后反思】函数 y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的作法
(1)五点法：用“五点法”作 y＝A sin (ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，令 z＝ωx＋φ，由 z 取 0，π2，π，32π，2π 来求出相的 x，通过列表得出五点坐标，描点，连线后得出图象.
(2)图象变换法：由函数 y＝sin x 的图象通过变换得到 y＝ A sin (ωx＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.
第六讲函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
课标要求
考情分析
结合具体实例，了解y ＝A sin (ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响
1.从近几年的高考试题来看，函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象的平移和伸缩变换以及根据图象确定A，ω，φ的值等问题是高考的热点，复习时，应抓住“五点法”作图和图象的变换以及性质的应用，通过适量的训练，掌握解决问题的通法. 2.题型一般是选择题或填空题
故 f(x)的单调递增区间为－51π2＋kπ，1π2＋kπ(k∈Z).
答案：－51π2＋kπ，1π2＋kπ(k∈Z)
2.已知函数 f(x)＝sin (ωx＋φ)ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图 3-6-4 所示，则 y＝fx＋π6取得最小值时 x 的集合为__________.
图 3-6-4
解析：根据题干所给图象，周期 T＝4×172π－π3＝π，故 π＝2ωπ，∴ω＝2，因此 f(x)＝sin (2x＋φ)，另外图象经过点
图 3-6-6
由图象得，当 22≤a<1 时，方程 cos 2x－π4＝a 恰好有三个不同的实数根.

高三数学一轮复习第3章三角函数第4课时函数y=Asin(ωx+φ)的图象精品课件

(1)求 f(x)的表达式； (2)试写出 f(x)的对称轴方程．
解析： (1)由图象可知，函数的最大值 M＝3，最小值 m＝－1，则 A＝3－2－1＝2，b＝3－2 1＝1，又 T＝223π－π6＝π，∴ω＝2Tπ＝2ππ＝2， ∴f(x)＝2sin(2x＋φ)＋1，将 x＝π6，y＝3 代入上式，得 sinπ3＋φ＝1，
答案：
4π
1 4π
10
12t－π4
－π4
5．函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则 f(x)的解析式为________．
解析：由图知：T＝8， ∴2ωπ＝8.∴ω＝π4，A＝2. ∴f(x)＝2sinπ4x＋φ，令 x＝2， ∴2＝2sinπ2＋φ. ∴sin2π＋φ＝1. ∵|φ|＜π2， ∴φ＝0，∴f(x)＝2sinπ4x.
列表，并描点画出图象：
x
－π6
π 12
π 3
7π 12
5π 6
X
0
π 2
π
3π 2
2π
y＝sin X 0
1
0
－1
0
y＝
2sin
0
2
0
－2
0
2x＋π3
(3)方法一：把 y＝sin x 的图象上所有的点向左平移π3个单位，得到 y ＝sinx＋π3的图象，再把 y＝sinx＋π3的图象上的点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到 y＝sin2x＋π3的图象，最后把 y＝sin2x＋π3上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)，即可得到 y＝ 2sin2x＋π3的图象．
3 2.
方法二：因区间0，34关于 x＝1 对称区间为23，2，且 y＝g(x)与 y＝f(x)的图象关于 x＝1 对称，

2020版高考数学大一轮复习函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用练习(含解析)

第6讲函数y ＝Asin （ωx ＋φ）的图象及三角函数模型的简单应用[基础达标]1．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的简图是( )解析：选A.令x ＝0，得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－32，排除B ，D.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，排除C.2．(2019·温州瑞安七中高考模拟)函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为( )A ．3π4B ．π4C ．0D ．－π4解析：选 B.令y ＝f (x )＝sin(2x ＋φ)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋φ，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8为偶函数，所以π4＋φ＝k π＋π2，所以φ＝k π＋π4，k∈Z ，所以当k ＝0时，φ＝π4.故φ的一个可能的值为π4.故选B. 3．(2019·湖州市高三期末考试)若把函数y ＝f (x )的图象沿x 轴向左平移π4个单位，沿y 轴向下平移1个单位，然后再把图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变)，得到函数y ＝sin x 的图象，则y ＝f (x )的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2＋1C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4－1D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π2－1解析：选B.函数y ＝sin x 的图象，把图象上每个点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标保持不变)，得到y ＝sin 2x ，沿y 轴向上平移1个单位，得到y ＝sin 2x ＋1，图象沿x 轴向右平移π4个单位，得到函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋1＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2＋1.故选B.4．(2019·宁波市余姚中学高三期中)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A ≠0，ω>0，－π2<φ<π2在x ＝2π3时取得最大值，且它的最小正周期为π，则( )A ．f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B ．f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上是减函数C ．f (x )的一个对称中心是⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0D ．f (x )的图象的一条对称轴是x ＝5π12解析：选C.因为函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的最小正周期为π，所以T ＝2πω＝π，所以ω＝2，即函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)，又因为函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)在x ＝2π3时取得最大值，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×2π3＋φ＝±1，即2×2π3＋φ＝±π2＋2k π(k ∈Z )，又因为－π2<φ<π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，其中A <0；对于选项A ，因为f (0)＝A sin π6＝A 2≠12，所以选项A 不正确；对于选项B ，因为函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的单调递增区间满足：π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上是增函数，所以选项B 不正确；对于选项C ，因为f ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×5π12＋π6＝0，所以f (x )的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0，即选项正确；对于选项D ，因为f ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×5π12＋π6＝0，所以x ＝5π12不是f (x )的图象的一条对称轴，即选项D 错误．故选C.5．(2019·杭州中学高三月考)将函数y ＝2sin(ωx －π4)(ω>0)的图象分别向左、向右各平移π4个单位后，所得的两个图象的对称轴重合，则ω的最小值为( )A ．12B ．1C ．2D ．4解析：选C.把函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4(ω>0)的图象向左平移π4个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为y 1＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋ω－14π，向右平移π4个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为y 2＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －ω＋14π. 因为所得的两个图象对称轴重合，所以ωx ＋ω－14π＝ωx －ω＋14π①，或ωx ＋ω－14π＝ωx －ω＋14π＋k π，k ∈Z ②.解①得ω＝0，不合题意；解②得ω＝2k ，k ∈Z . 所以ω的最小值为2.故选C.6．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的图象如图所示，则函数y ＝f (x )＋ω图象的对称中心的坐标为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫23k π＋π24，32(k ∈Z )B ．⎝⎛⎭⎪⎫3k π－3π8，23(k ∈Z )C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12k π＋5π8，32(k ∈Z )D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32k π－3π8，23(k ∈Z )解析：选D.由题图可知T 2＝15π8－3π8＝3π2，所以T ＝3π，又T ＝2πω，所以ω＝23，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋φ，因为f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫38π，2，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝2，所以π4＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，所以φ＝2k π＋π4(k ∈Z )．又因为|φ|<π2，所以φ＝π4.所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π4.由23x ＋π4＝k π(k ∈Z )，得x ＝32k π－3π8(k ∈Z )，则函数y ＝f (x )＋23图象的对称中心的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32k π－3π8，23(k ∈Z )．7．(2019·金丽衢十二校联考)若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π2，f (x )的最小正周期为π，且f (0)＝3，则ω＝________，φ＝________．解析：由原函数的最小正周期为π，得到ω＝2(ω>0)，又由f (0)＝3且|φ|<π2得到φ＝π3.答案：2π38．某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现．下表是今年前四个月的统计情况：选用一个函数来近似描述收购价格y (元/斤)与相应月份x 之间的函数关系为________．解析：设y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)，由题意得A ＝1，B ＝6，T ＝4，因为T ＝2πω，所以ω＝π2，所以y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋φ＋6. 因为当x ＝1时，y ＝6，所以6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＋6，结合表中数据得π2＋φ＝2k π，k ∈Z ，可取φ＝－π2，所以y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －π2＋6＝6－cos π2x .答案：y ＝6－cos π2x9．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图象如图所示，已知图象经过点A (0，1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，－1，则f (x )＝________．解析：因为图象经过点A (0，1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，－1， A ，B 两个点的纵坐标互为相反数，从点A 到点B 经过半个周期，所以π3＝T 2＝πω，解得ω＝3.又因为图象经过点A (0，1)，f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，所以1＝2sin φ，即sin φ＝12，所以由0<φ<π及函数的图象可得φ＝π6，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6. 答案：2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π6 10．函数y ＝sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图象如图所示，M 、N 分别是最高点、最低点，O 为坐标原点，且OM →·ON →＝0，则函数f (x )的最小正周期是________．解析：由题图可知，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，N (x N ，－1)，所以OM →·ON →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1·(x N ，－1)＝12x N －1＝0，解得x N ＝2，所以函数f (x )的最小正周期是2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12＝3.答案：311．如图，某地一天6～14时的温度变化曲线近似满足y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b (A >0，ω>0，0<φ<π)．(1)求解析式；(2)若某行业在当地需要的温度在区间[20－52，20＋52]之间为最佳营业时间，那么该行业在6～14时，最佳营业时间为多少小时．解：(1)由图象知A ＝10，12·2πω＝14－6，所以ω＝π8，所以y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πt 8＋φ＋b .① y max ＝10＋b ＝30，所以b ＝20.当t ＝6时，y ＝10代入①得φ＝3π4，所以解析式为y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8t ＋3π4＋20，t ∈[6，14]．(2)由题意得，20－52≤10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8t ＋3π4＋20≤20＋52，即－22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8t ＋3π4≤22，所以k π－π4≤π8t ＋3π4≤k π＋π4，k ∈Z .即8k －8≤t ≤8k －4，因为t ∈[6，14]，所以k ＝2，即8≤t ≤12，所以最佳营业时间为12－8＝4小时．12．已知函数f (x )＝2sin x ＋6cos x (x ∈R )． (1)若α∈[0，π]且f (α)＝2，求α；(2)先将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将得到的图象上所有点向右平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到的图象关于直线x ＝3π4对称，求θ的最小值．解：(1)f (x )＝2sin x ＋6cos x＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.由f (α)＝2，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝22，即α＋π3＝2k π＋π4或α＋π3＝2k π＋3π4，k ∈Z .于是α＝2k π－π12或α＝2k π＋5π12，k ∈Z .又α∈[0，π]，故α＝5π12.(2)将y ＝f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到y ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，再将y ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象上所有点的横坐标向右平行移动θ个单位长度，得到y ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2θ＋π3的图象．由于y ＝sin x 的图象关于直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )对称，令2x －2θ＋π3＝k π＋π2，解得x ＝k π2＋θ＋π12，k ∈Z . 由于y ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2θ＋π3的图象关于直线x ＝3π4对称，令k π2＋θ＋π12＝3π4，解得θ＝－k π2＋2π3，k ∈Z . 由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.[能力提升]1．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π4(ω>0)的最大值与最小正周期相同，则函数f (x )在[－1，1]上的单调递增区间为( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，34B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，34C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，34 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，34 解析：选D.由T ＝2π2ω＝πω，又f (x )的最大值为2，所以πω＝2，即ω＝π2，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx －π4.当2k π－π2≤πx －π4≤2k π＋π2，即2k －14≤x ≤2k ＋34，k ∈Z 时函数f (x )单调递增，则f (x )在[－1，1]上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，34.2．(2019·杭州市七校联考)已知函数y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π6的图象与直线y ＝m 有三个交点，其交点的横坐标分别为x 1，x 2，x 3(x 1<x 2<x 3)，那么x 1＋2x 2＋x 3的值是( )A ．3π4B ．4π3C ．5π3D ．3π2解析：选C.由函数y ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π6的图象可得，当x ＝π6和x ＝2π3时，函数分别取得最大值和最小值，由正弦函数图象的对称性可得x 1＋x 2＝2×π6＝π3，x 2＋x 3＝2×2π3＝4π3.故x 1＋2x 2＋x 3＝π3＋4π3＝5π3，故选C.3．已知函数f (x )＝sin ωx －3cos ωx (ω>0)，若方程f (x )＝－1在(0，π)上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为________．解析：因为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3，方程2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3＝－1在(0，π)上有且只有四个实数根，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3＝－12在(0，π)上有且只有四个实数根．故ωx －π3＝－π6＋2k π或ωx －π3＝7π6＋2k π，k ∈Z .所以x ＝π6ω＋2k πω或x ＝3π2ω＋2k πω，k ∈Z .设直线y ＝－1与y ＝f (x )在(0，＋∞)上从左到右的第4个交点为A ，第5个交点为B ，则x A ＝3π2ω＋2πω，x B ＝π6ω＋4πω.因为方程f (x )＝－1在(0，π)上有且只有四个实数根，所以x A <π≤x B ，即3π2ω＋2πω<π≤π6ω＋4πω，计算得出72<ω≤256. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤72，2564．将函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向左平移π12个单位，再向下平移2个单位，得到g (x )的图象，若g (x 1)g (x 2)＝16，且x 1，x 2∈[－2π，2π]，则2x 1－x 2的最大值为________．解析：函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向左平移π12个单位，可得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，再向下平移2个单位，得到g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－2的图象，若g (x 1)g (x 2)＝16，且x 1，x 2∈[－2π，2π]，则g (x 1)＝g (x 2)＝－4，则2x ＋π3＝－π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝－5π12＋k π，k ∈Z ，由x 1，x 2∈[－2π，2π]，得x 1，x 2∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－17π12，－5π12，7π12，19π12，当x 1＝19π12，x 2＝－17π12时，2x 1－x 2取最大值55π12，故答案为55π12.答案：55π125．(2019·温州中学高三模考)已知函数f (x )＝sin x 3cos x3＋3cos 2x3.(1)求函数f (x )图象对称中心的坐标；(2)如果△ABC 的三边a ，b ，c 满足b 2＝ac ，且边b 所对的角为B ，求f (B )的取值范围．解：(1)f (x )＝12sin 2x 3＋32⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos 2x 3＝12sin 2x 3＋32cos 2x 3＋32＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3＋π3＋32，由sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 3＋π3＝0即2x 3＋π3＝k π(k ∈Z )得x ＝3k －12π，k ∈Z ，即对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫3k －12π，0，k ∈Z .(2)由已知b 2＝ac ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，所以12≤cos B <1，0<B≤π3，π3<2B 3＋π3≤5π9，因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪π3－π2>⎪⎪⎪⎪⎪⎪5π9－π2，所以sin π3<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B 3＋π3≤1，所以3<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B 3＋π3＋32≤1＋32，即f (B )的范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤3，1＋32. 6．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋b (ω>0，－π2<φ<π2)相邻两对称轴间的距离为π2，若将f (x )的图象先向左平移π12个单位，再向下平移1个单位，所得的函数g (x )为奇函数． (1)求f (x )的解析式，并求f (x )的对称中心；(2)若关于x 的方程3[g (x )]2＋m ·g (x )＋2＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不相等的实根，求实数m 的取值范围．解：(1)由题意可得T 2＝πω＝π2，所以ω＝2，f (x )＝sin(2x ＋φ)＋b ，所以g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋φ＋b －1 ＝sin(2x ＋π6＋φ)＋b －1.再结合函数g (x )为奇函数，可得π6＋φ＝k π，k ∈Z ，且b －1＝0，再根据－π2<φ<π2，可得φ＝－π6，b ＝1，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1，g (x )＝sin 2x . 令2x －π6＝n π，n ∈Z ，可得x ＝n π2＋π12，所以f (x )的对称中心⎝⎛⎭⎪⎫n π2＋π12，1(n ∈Z )．(2)由(1)可得g (x )＝sin 2x ，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上，2x ∈[0，π]，令t ＝g (x )，则t ∈[0，1]．由关于x 的方程3[g (x )]2＋m ·g (x )＋2＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不相等的实根，可得关于t 的方程3t 2＋m ·t ＋2＝0在区间(0，1)上有唯一解．令h (t )＝3t 2＋m ·t ＋2，因为h (0)＝2>0，则满足h (1)＝3＋m ＋2<0，或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－24＝0，0<－m6<1，解得m <－5或m ＝－2 6.。

高考理科数学一轮函数y=asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用

1.已知函数 y=sin2x + 3cos2x(x∈R).
(1)作出此函数在一个周期上的简图; (2)写出该函数的振幅、周期、初相、最值.
【解】(1)y=sin2x +
3cos2x=2
1 2
��
�� 2
+
3 2
��
x 2
=2sin
第 4 讲函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
考纲展示
考纲解读
1.了解函数 y=Asin(ωx+φ)的物理意义;能画出函数 y=Asin(ωx+φ) 的图象;了解参数 A,ω,φ 对函数图象变化的影响. 2.会用三角函数解决一些简单实际问题 ,了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.
振幅 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x∈[0,+∞) 表示一个振动量时 A
周期频率
初相位
相
2��
T= ω
f=
1 T
=
ω
ωx+φ
φ
2��
2.用五点法画函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)一个周期内的简图时,要找
五个特征点.如下表所示.
x
0-φ ω
�� 2
π 6
,因此选 D.
5.(2013 届·重庆摸底考试)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象如图所示,
则 ω=
.
【答案】3
2
【解析】由题意设函数周期为

高考数学一轮复习函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用课件文

基础诊断考点突破
课堂总结
知识梳理 1．“五点法”作函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的简图
“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与 x 轴相交的三个点，作图时的一般步骤为：
基础诊断考点突破
课堂总结
• (1)定点：如下表所示.
x
－ωφ
π2－φ ω
π－φ ω
32π－φ ω
• 第5讲函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
基础诊断考点突破
课堂总结
最新考纲 1.了解函数 y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出 y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数 A，ω，φ 对函数图象变化的影响；2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．
基础诊断考点突破
课堂总结
【训练 1】设函数 f(x)＝cos(ωx＋φ)ω＞0，－π2＜φ＜0的最小
正周期为
π，且
f4π＝
3 2.
(1)求 ω 和 φ 的值； (2)在给定坐标系中作出函数 f(x)在[0，π]上的图象．
基础诊断考点突破
课堂总结
解 (1)∵T＝2ωπ＝π，ω＝2，又 fπ4＝cos2×4π＋φ＝ 23， ∴sin φ＝－ 23，又－π2＜φ＜0，∴φ＝－3π.
• 答案 A
基础诊断考点突破
课堂总结
3．(2014·安徽卷)若将函数 f(x)＝sin 2x＋cos 2x 的图象向右平移
φ 个单位，所得图象关于 y 轴对称，则 φ 的最小正值是
()
π
π
3π
5π
A.8
B.4
C. 8
D. 4

高考一轮复习：正弦型函数y=Asin(ωx φ)的图象及应用

第4讲正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用【2015年高考会这样考】1．考查正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象变换．2．结合三角恒等变换考查y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质及简单应用． 3．考查y ＝sin x 到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的两种变换途径．【复习指导】本讲复习时，重点掌握正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的“五点”作图法，图象的三种变换方法，以及利用三角函数的性质解决有关问题．基础梳理1．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示x0－φω π2－φω π－φω 3π2－φω 2π－φω ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A2．函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的步骤3．当函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，x ∈[0，＋∞))表示一个振动时，A 叫做振幅，T ＝2πω叫做周期，f ＝1T 叫做频率，ωx ＋φ叫做相位，φ叫做初相． 4．图象的对称性函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下： (1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于直线x ＝x k (其中 ωx k ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z )成轴对称图形．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于点(x k,0)(其中ωx k ＋φ＝k π，k ∈Z )成中心对称图形．一种方法在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M ，最小值为m ，则A ＝M －m 2，k＝M ＋m 2，ω由周期T 确定，即由2πω＝T 求出，φ由特殊点确定．一个区别由y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值．两个注意作正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时应注意： (1)首先要确定函数的定义域；(2)对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4 的振幅、频率和初相分别为( )．A ．2，1π，－π4 B ．2，12π，－π4 C ．2，1π，－π8 D ．2，12π，－π8答案 A2.已知简谐运动f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的部分图象如图所示，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )．我爱学习网在线学习网分享学习方法励志人生我爱学习网文言文网/wenyanwen/A ．T ＝6π，φ＝π6 B ．T ＝6π，φ＝π3 C ．T ＝6，φ＝π6D ．T ＝6，φ＝π3解析由题图象知T ＝2(4－1)＝6⇒ω＝π3，由图象过点(1,2)且A ＝2，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3×1＋φ＝1，又|φ|＜π2，得φ＝π6.答案 C3．函数y ＝cos x (x ∈R )的图象向左平移π2个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，则g (x )的解析式应为( )．A ．－sin xB ．sin xC ．－cos xD ．cos x 解析由图象的平移得g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－sin x .答案 A4．设ω＞0，函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )． A.23 B.43 C.32 D ．3解析 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3＋2向右平移4π3个单位后得到y 1＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4π3＋π3＋2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3－4π3ω＋2，又y 与y 1的图象重合，则－4π3ω＝2k π(k ∈Z )． ∴ω＝－32k .又ω＞0，k ∈Z ，∴当k ＝－1时，ω取最小值为32，故选C. 答案 C5．(2011·重庆六校联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝________.解析由题意设函数周期为T ，则T 4＝23π－π3＝π3，故T ＝43π.∴ω＝2πT ＝32. 答案 32考向一作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象【例1】►设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜0的最小正周期为π，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝32.(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象． [审题视点] (1)由已知条件可求ω，φ；(2)采用“五点法”作图，应注意定义域[0，π]．解 (1)周期T ＝2πω＝π，∴ω＝2，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4＋φ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝－sin φ＝32， ∵－π2＜φ＜0，∴φ＝－π3.(2)由(1)知f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，列表如下：2x －π3－π3π2π32π53π我爱学习网在线学习网分享学习方法励志人生我爱学习网文言文网/wenyanwen/x 0π6 512π 23π 1112π π f (x )121－112图象如图：(1)“五点法”作图的关键是正确确定五个点，而后列表、描点、连线即可．(2)变换法作图象的关键看x 轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx ＋φ＝ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φω来确定平移单位．【训练1】已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4，x ∈R .(1)画出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图； (2)将函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换可得到f (x )的图象？解 (1)列表取值：x π2 32π 52π 72π 92π 12x －π4 0 π2 π 32π 2π f (x )3－3描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的简图．(2)先把y ＝sin x 的图象向右平移π4个单位，然后把所有的点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f (x )的图象．考向二求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式【例2】►(2011·江苏)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f (0)的值是________．[审题视点] 由最高、最低点确定A ，由周期确定ω，然后由图象过的特殊点确定φ.解析由图可知：A ＝2，T 4＝7π12－π3＝π4，所以T ＝2k π＋π，∴φ＝2k π＋π3，令k ＝0，ω＝2πT ＝2，又函数图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，所以2×π3＋φ＝π，则φ＝π3，故函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以f (0)＝2sin π3＝62.答案 62解决这类题目一般是先根据函数图象的最高点、最低点确定A ，h 的值，函数的周期确定ω的值，再根据函数图象上的一个特殊点确定φ值．【训练2】已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，|φ|＜π2，ω＞0)的图象的一部分如图所示．(1)求f (x )的表达式； (2)试写出f (x )的对称轴方程．解 (1)观察图象可知：A ＝2且点(0,1)在图象上，∴1＝2sin(ω·0＋φ)，即sin φ＝12.∵|φ|＜π2，∴φ＝π6.又∵1112π是函数的一个零点，且是图象递增穿过x 轴形成的零我爱学习网在线学习网分享学习方法励志人生我爱学习网文言文网/wenyanwen/点，∴11π12ω＋π6＝2π，∴ω＝2. ∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)设2x ＋π6＝B ，则函数y ＝2sin B 的对称轴方程为 B ＝π2＋k π，k ∈Z ，即2x ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )，解上式得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )．考向三函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质的综合应用【例3】►(2012·西安模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π2)的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上的一个最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2.(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2时，求f (x )的值域．[审题视点] 先由图象上的一个最低点确定A 的值，再由相邻两个交点之间的距离确定ω的值，最后由点M 在图象上求得φ的值，进而得到函数的解析式；先由x 的范围，求得2x ＋π6的范围，再求得f (x )的值域．解 (1)由最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2，得A ＝2.由x 轴上相邻的两个交点之间的距离为π2，得T 2＝π2，即T ＝π，所以ω＝2πT ＝2ππ＝2.由点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2在图象上，得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×2π3＋φ＝－2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－1.故4π3＋φ＝2k π－π2，k ∈Z ，所以φ＝2k π－11π6(k ∈Z )．又φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以φ＝π6.故f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，7π6.当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－1. 故函数f (x )的值域为[－1,2]．利用三角函数图象与x 轴的相邻两个交点之间的距离为三角函数的12个最小正周期，去求解参数ω的值，利用图象的最低点为三角函数最值点，去求解参数A 的值等．在求函数值域时，由定义域转化成ωx ＋φ的范围，即把ωx ＋φ看作一个整体．【训练3】 (2011·南京模拟)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，图象上与点P 最近的一个最高点是Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5.(1)求函数的解析式； (2)求函数f (x )的递增区间．解 (1)依题意得：A ＝5，周期T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π12＝π，∴ω＝2ππ＝2.故y ＝5sin(2x ＋φ)，又图象过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，∴5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝0，由已知可得π6＋φ＝0，∴φ＝－π6 ∴y ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.(2)由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，我爱学习网在线学习网分享学习方法励志人生我爱学习网文言文网/wenyanwen/得：－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ，故函数f (x )的递增区间为：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．规范解答8——怎样求解三角函数的最值问题【问题研究】 (1)求三角函数的最值是高考的一个热点．在求解中，一定要注意其定义域，否则容易产生错误．(2)主要题型：①求已知三角函数的值域(或最值)；②根据三角函数的值域(或最值)求相关的参数；③三角函数的值域(或最值)作为工具解决其他与范围相关的问题．【解决方案】 ①形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数，可通过引入辅助角φ⎝⎛⎭⎪⎫cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝b a 2＋b 2，将原式化为y ＝a 2＋b 2·sin(x ＋φ)＋c 的形式后，再求值域(或最值)；②形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ，将原式化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 的形式，进而在t ∈[－1,1]上求值域(或最值)；③形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，将原式化为二次函数y ＝±12a (t 2－1)＋bt ＋c 的形式，进而在闭区间t ∈[－2，2]上求最值．【示例】►(本题满分12分)(2011·北京)已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1.(1)求f(x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上的最大值和最小值．首先化为形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，由T ＝2πω求得：由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4，求得ωx ＋φ的范围，从而求得最值． [解答示范] (1)因为f (x )＝4cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1＝4cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x －1＝3sin 2x ＋2cos 2x －1＝ 3 sin 2x ＋cos 2x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，(4分)所以f (x )的最小正周期为π.(6分)(2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3.(8分) 于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时， f (x )取得最大值2；(10分)当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－1.(12分)解决这类问题常常借助三角函数的有界性或转化为我们所熟悉的函数，如二次函数等来解决．【试一试】是否存在实数a ，使得函数y ＝sin 2x ＋a cos x ＋58a －32在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值是1？若存在，求出对应的a 值？若不存在，试说明理由． [尝试解答] y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －12a 2＋a 24＋58a －12，当0≤x ≤π2时，0≤cos x ≤1，令t ＝cos x ，则0≤t ≤1，∴y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12a 2＋a 24＋58a －12，0≤t ≤1.当0≤a 2≤1，即0≤a ≤2时，则当t ＝a 2，即cos x ＝a2时． y max ＝a 24＋58a －12＝1，解得a ＝32或a ＝－4(舍去)．当a2＜0，即a ＜0时，则当t ＝0，即cos x ＝0时， y max ＝58a －12＝1，解得a ＝125(舍去)．当a2＞1，即a ＞2时，则当t ＝1，即cos x ＝1时， y max ＝a ＋58a －32＝1，解得a ＝2013(舍去)．综上知，存在a ＝32符合题意．。

届数学一轮总复习24函数y=Asinωx+φ的图象及三角函数模型的应用含解析苏教版

课时作业24 函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的应用一、选择题1．若函数y＝sin2x的图象向左平移错误!个单位长度后得到y ＝f（x）的图象,则（C）A．f(x）＝－cos2x B．f(x)＝sin2xC．f（x)＝cos2x D．f(x)＝－sin2x解析：函数y＝sin2x的图象向左平移错误!个单位长度后得到y＝sin2错误!的图象,所以f(x）＝cos2x。

2．要得到函数y＝错误!sin错误!的图象，只需将函数y＝错误!sin错误!图象上所有点的横坐标(A)A．伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移错误!个单位长度B．伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向右平移错误!个单位长度C．缩短为原来的错误!(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移错误!个单位长度D．缩短为原来的错误!(纵坐标不变）,再将得到的图象向右平移错误!个单位长度解析：将函数y＝错误!sin错误!图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变)，得到y＝错误!sin错误!＝错误!sin错误!的图象，再将得到的图象向左平移错误!个单位长度，得到y＝错误!sin错误!＝错误!sin错误!的图象．故选A.3．已知函数f(x）＝A sin（ωx＋φ)错误!的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为(D）A．f(x）＝2sin错误!B．f(x)＝2sin错误!C．f(x）＝2sin错误!D．f（x）＝2sin错误!解析：由函数的图象得A＝2，T＝4×错误!＝π,∴2πω＝π，∴ω＝2，∴f(x）＝2sin（2x＋φ)．∵f错误!＝2sin错误!＝2，∴sin错误!＝1,则错误!＋φ＝错误!＋2kπ，k∈Z，∴φ＝2kπ＋错误!，k∈Z。

∵｜φ|〈错误!,∴φ＝错误!，则函数f(x）＝2sin错误!。

故选D.4．将函数f(x)＝sin x的图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变），再将所得图象向右平移错误!个单位长度，得到函数g（x)的图象，则函数g（x)的单调递增区间为（C)A.错误!（k∈Z）B.错误!（k∈Z)C.错误!（k∈Z)D.错误!(k∈Z)解析：将函数f（x)＝sin x的图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变)，可得y＝sin2x的图象，再将所得图象向右平移错误!个单位长度，得到函数g（x）＝sin2错误!＝sin错误!的图象．令2kπ－错误!≤2x－错误!≤2kπ＋错误!，k∈Z，可得kπ－错误!≤x≤kπ＋错误!，k∈Z，所以函数g（x)的单调递增区间为错误!，k∈Z.故选C。

高考数学一轮复习函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数的应用培优课件

2
π
再向左平移6 个单位长度得到
故 D 错误.
故选 A.
y=cos 4 +
π
6
=cos 4 +
2π
3
y=cos 4x,
≠sin +
π
3
,
(2)逆向考虑:y=sin
π
4
y=sin
y=sin +
的图像

2
+
π
12
的图像.
π
12
的图像
突破技巧1.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图像的两种作法:
π
D.将 y=sin 2x 的图像向右平移3 个单位长度可以得到 f(x)的图像
π
π
(2)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ) > 0, − 2 ≤ ≤ 2 的图像上的一个最高点和
1
它相邻的一个最低点的距离为 2 2,且过点 2, − 2 ,则函数 f(x)=
.
π
2
答案:(1)C (2)sin
第四章
第五节函数y=Asin(ωx+φ)的图像及
三角函数的应用
内
容
索
引
01
强基础增分策略
02
增素能精准突破
课标解读
1.结合具体实例,了解函数
y=Asin(ωx+φ)的实际意义;能画出
y=Asin(ωx+φ)的图像,了解参数
A,ω,φ对函数图像变化的影响.
2.会用三角函数解决一些简单实
际问题,体会三角函数是描述周期

而先周期变换(伸缩变换)再平移变换(左右平移),平移的量是个单位长

2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第4章函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用

函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b,0<φ<π，则这段曲线的函数解析式为__y＝__1_0_s_i_n_π8_x_＋__3_4π__＋__2_0_，__x∈__[_6_,_1_4_] ___.
解析从题图中可以看出，从6～14时的图象是函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期，所以 A＝12×(30－10)＝10，b＝12×(30＋10)＝20，又12×2ωπ＝14－6，所以 ω＝π8.
(2)已知函数 f(x)＝sin 2x－ 3cos 2x，将 y＝f(x)的图象向左平移π6个单位长度，再向上平移 1 个单位长度得到函数 y＝g(x)的图象，则所得函数的最小正周期为___π___，g－34π的值为__3___.
解析由题意知函数 f(x)＝sin 2x－ 3cos 2x＝2sin2x－π3，将 y＝f(x)的图象向左平移π6个单位长度，可得 y＝2sin2x＋π3－π3＝2sin 2x 的图象，
√C.2，41π，－π3
D.2,4π，－π3
解析由题意知 A＝2，f＝T1＝2ωπ＝41π，初相为－π3.
3.函数y＝sin x的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍得到的图象对应的函数解析式是__y_＝__s_in__12_x__.
解析根据函数图象变换法则可得.
4.如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足
又π8×10＋φ＝2kπ，k∈Z,0<φ<π，所以 φ＝34π，
所以 y＝10sinπ8x＋34π＋20，x∈[6,14].
题组三易错自纠 5.y＝cos(x＋1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是___π_2＋__4__.
解析相邻最高点与最低点的纵坐标之差为2，横坐标之差恰为半个周期π，故它们之间的距离为 π2＋4.

高考数学大一轮复习函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角

课时跟踪检测(二十一) 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用(分A 、B 卷，共2页) A 卷：夯基保分一、选择题1．函数f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是( ) A ．π，1 B ．π，2 C ．2π，1 D ．2π，22．把函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图象向左平移π4个单位，得到的函数图象的解析式是( )A ．y ＝cos 2xB ．y ＝－sin 2xC ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π43．(2015·合肥二检)为了得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，可将函数y ＝sin 2x 的图象( )A ．向左平移5π6单位长度B ．向右平移5π6单位长度C ．向左平移5π12单位长度D ．向右平移5π12单位长度4．将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位，所得函数图象的一条对称轴是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π6C ．x ＝πD ．x ＝π25．设函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)在x ＝π2时，取最大值A ，在x ＝3π2时，取最小值－A ，则当x ＝π时，函数y 的值( )A ．仅与ω有关B ．仅与φ有关C ．等于零D ．与φ，ω均有关6．(2015·青岛一模)函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( ) A ．1 B.12C.22 D.32二、填空题7．若函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω＞0)的最小正周期为π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝________. 8．函数f (x )＝tan ωx (ω＞0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________.9．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω＞0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)的图象完全相同，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的值域是________．10．(2015·广东梅州二模)把函数y ＝sin 2x 的图象沿x 轴向左平移π6个单位，纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)后得到函数y ＝f (x )的图象，对于函数y ＝f (x )有以下四个判断：①该函数的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6；②该函数图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称；③该函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上是增函数；④函数y ＝f (x )＋a 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为3，则a ＝2 3.其中，正确判断的序号是________．三、解答题11．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1.(1)求它的振幅、最小正周期、初相；(2)画出函数y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的图象．12．已知函数f (x )＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4－sin(x ＋π)． (1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值．B 卷：增分提能1．(2015·长春调研)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，－π2<φ<π2，x ∈R 的部分图象如图所示．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π6时，求f (x )的取值范围．2．已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的最小正周期为2，且当x ＝13时，f (x )的最大值为2.(1)求f (x )的解析式．(2)在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤214，234上是否存在f (x )的对称轴？如果存在求出其对称轴．若不存在，请说明理由．3．为迎接夏季旅游旺季的到来，少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈，寺庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入．为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人； ③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多． (1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系； (2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物？答案A 卷：夯基保分1．选A 由f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，得最小正周期为π，振幅为1.2．选A 由y ＝sin x 图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，所得图象的解析式为y ＝sin 2x ，再向左平移π4个单位得y ＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，即y ＝cos 2x .3．选C 由题意，得y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋π2 ＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5π12，则它是由y ＝sin 2x 向左平移5π12个单位得到的，故选C.4．选D y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3――――――――――→横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变 y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3――――――――→向左平移π6个单位 y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π3，即y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4.由余弦函数的性质知，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，又当x ＝π2时，y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π2－π4＝1.故选D. 5．选C π2＋3π22＝π，根据函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象可知，x ＝π时，函数y 的值为0.正确答案为C.6．选D 观察图象可知，A ＝1，T ＝π， ∴ω＝2，f (x )＝sin(2x ＋φ)．将⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0代入上式得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋φ＝0，由|φ|＜π2，得φ＝π3，则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.函数图象的对称轴为x ＝－π6＋π32＝π12.又x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，∴x 1＋x 22＝π12， ∴x 1＋x 2＝π6，∴f (x 1＋x 2)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝32.故选D.7．解析：由f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω＞0)的最小正周期为π2，得ω＝4.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫4×π3－π3＝0.答案：08．解析：依题意πω＝π4，∴ω＝4.∴f (x )＝tan 4x .∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝tan π＝0. 答案：09．解析：f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＝3cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －2π3，易知ω＝2，则f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6， ∴－32≤f (x )≤3.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 10．解析：将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位得到y ＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，然后纵坐标伸长到原来的2倍得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，所以①不正确．y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋π3＝2sin π＝0，所以函数图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称，所以②正确．由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z ，即函数的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12＋k π，π12＋k π，k ∈Z ，当k ＝0时，增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12，所以③不正确．y ＝f (x )＋a ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋a ，当0≤x ≤π2时，π3≤2x ＋π3≤4π3，所以当2x ＋π3＝4π3，即x ＝π2时，函数取得最小值，y min ＝2sin 4π3＋a ＝－3＋a ＝3，所以a＝2 3.所以④正确．所以正确的判断为②④.答案：②④11．解：(1)振幅为2，最小正周期T ＝π，初相为－π4.(2)图象如图所示．12．解：(1)因为f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋sin x ＝3cos x ＋sin x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，所以f (x )的最小正周期为2π. (2)∵将f (x )的图像向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图像，∴g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，∴当x ＋π6＝π2，即x ＝π3时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝1，g (x )取得最大值2. 当x ＋π6＝7π6，即x ＝π时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝－12，g (x )取得最小值－1.B 卷：增分提能1．解：(1)由题中图象得A ＝1，T 4＝2π3－π6＝π2，所以T ＝2π，则ω＝1.将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1代入得sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝1，又－π2<φ<π2，所以φ＝π3，因此函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.(2)由于－π≤x ≤－π6，－2π3≤x ＋π3≤π6，所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤12，所以f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12.2．解：(1)由T ＝2知2πω＝2得ω＝π.又因为当x ＝13时f (x )max ＝2，知A ＝2.且π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，故φ＝2k π＋π6(k ∈Z )．∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋2k π＋π6 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6.(2)存在．令πx ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k ＋13(k ∈Z )．由214≤k ＋13≤234. 得5912≤k ≤6512，又k ∈Z ，知k ＝5. 故在⎣⎢⎡⎦⎥⎤214，234上存在f (x )的对称轴，其方程为x ＝163.3．解：(1)设该函数为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0，0<|φ|<π)，根据条件①，可知这个函数的周期是12；由②可知，f (2)最小，f (8)最大，且f (8)－f (2)＝400，故该函数的振幅为200；由③可知，f (x )在[2,8]上单调递增，且f (2)＝100，所以f (8)＝500.根据上述分析可得，2πω＝12，故ω＝π6，且⎩⎪⎨⎪⎧－A ＋B ＝100，A ＋B ＝500，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝200，B ＝300.根据分析可知，当x ＝2时f (x )最小，当x ＝8时f (x )最大，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝－1，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫8×π6＋φ＝1.又因为0<|φ|<π，故φ＝－5π6.所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为f (x )＝200sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －5π6＋300.(2)由条件可知，200sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －5π6＋300≥400，化简，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －5π6≥12⇒2k π＋π6≤π6x －5π6≤2k π＋5π6，k ∈Z ，解得12k ＋6≤x ≤12k ＋10，k ∈Z .因为x ∈N *，且1≤x ≤12，故x ＝6,7,8,9,10.即只有6,7,8,9,10五个月份要准备400份以上的食物．。

2020届高三文理科数学一轮复习《函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用》专题汇编(

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学案20 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用导学目标： 1.了解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义；能画出y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，了解参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响.2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．自主梳理1．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点．如下表所示．2.图象变换：函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的图象可由函数y ＝sin x 的图象作如下变换得到：（1）相位变换：y ＝sin x →y ＝sin(x ＋φ)，把y ＝sin x 图象上所有的点向____(φ>0)或向____(φ<0)平行移动__________个单位．（2）周期变换：y ＝sin (x ＋φ)→y ＝sin(ωx ＋φ)，把y ＝sin(x ＋φ)图象上各点的横坐标____(0<ω<1)或____(ω>1)到原来的________倍(纵坐标不变)．（3）振幅变换：y ＝sin (ωx ＋φ)→y ＝A sin(ωx ＋φ)，把y ＝sin(ωx ＋φ)图象上各点的纵坐标______(A >1)或______(0<A <1)到原来的____倍(横坐标不变)．3．当函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)，x ∈(－∞，＋∞)表示一个振动量时，则____叫做振幅，T ＝________叫做周期，f ＝______叫做频率，________叫做相位，____叫做初相．函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为____________．y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期为________．自我检测1．(2011·池州月考)要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象，可以把函数y ＝sin 2x 的图象( )A ．向左平移π8个单位B ．向右平移π8个单位C ．向左平移π4个单位D ．向右平移π4个单位2．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4 (x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π.将y ＝f (x )的图象向左平移|φ|个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则φ的一个值是 ( )A.π2B.3π8C.π4D.π83．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)(x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象，只要将y ＝f (x )的图象 ()A ．向左平移π8个单位长度B ．向右平移π8个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度4．(2011·太原高三调研)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的一条对称轴方程是 ()A ．x ＝π6B ．x ＝π3C ．x ＝π12D ．x ＝5π125．(2011·六安月考)若动直线x ＝a 与函数f (x )＝sin x 和g (x )＝cos x 的图象分别交于M 、N 两点，则|MN |的最大值为 ()A ．1 B. 2 C. 3 D ．2探究点一三角函数的图象及变换例1 已知函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. (1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到．变式迁移1 设f (x )＝12cos 2x ＋3sin x cos x ＋32sin 2x (x ∈R )．(1)画出f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的图象； (2)求函数的单调增减区间；(3)如何由y ＝sin x 的图象变换得到f (x )的图象？探究点二求y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π2，x ∈R )的图象的一部分如图所示．求函数f (x )的解析式．变式迁移2 (2011·宁波模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π2)的图象与y 轴的交点为(0,1)，它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x 0,2)和(x 0＋2π，－2)．(1)求f (x )的解析式及x 0的值；(2)若锐角θ满足cos θ＝13，求f (4θ)的值．探究点三三角函数模型的简单应用例3 已知海湾内海浪的高度y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，记作y ＝f (t )．下表是某日各时刻记录的浪高数据：求函数y ＝A cos ωt ＋b 的最小正周期T ，振幅A 及函数表达式；(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8∶00至晚上20∶00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？变式迁移 3 交流电的电压E (单位：伏)与时间t (单位：秒)的关系可用E ＝2203sin ⎝⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6表示，求： (1)开始时的电压；(2)最大电压值重复出现一次的时间间隔；(3)电压的最大值和第一次取得最大值时的时间．数形结合思想的应用例 (12分)设关于θ的方程3cos θ＋sin θ＋a ＝0在区间(0,2π)内有相异的两个实根α、β.(1)求实数a 的取值范围； (2)求α＋β的值．【答题模板】解 (1)原方程可化为sin(θ＋π3)＝－a2，作出函数y ＝sin(x ＋π3)(x ∈(0,2π))的图象．[3分]由图知，方程在(0,2π)内有相异实根α，β的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧－1<－a 2<1－a 2≠32.即－2<a <－3或－3<a <2.[6分](2)由图知：当－3<a <2，即－a 2∈(－1，32)时，直线y ＝－a2与三角函数y ＝sin(x ＋π3)的图象交于C 、D 两点，它们中点的横坐标为76π，∴α＋β2＝7π6， ∴α＋β＝7π3.[8分]当－2<a <－3，即－a 2∈(32，1)时，直线y ＝－a 2与三角函数y ＝sin(x ＋π3)的图象有两交点A 、B ，由对称性知，α＋β2＝π6，∴α＋β＝π3.[11分]综上所述，α＋β＝π3或α＋β＝73π. [12分]【突破思维障碍】在解决三角函数的有关问题时，若把三角函数的性质融于函数的图象之中，将数(量)与图形结合起来进行分析、研究，可使抽象复杂的数理关系通过几何图形直观地表现出来，这是解决三角函数问题的一种有效的解题策略．图象的应用主要有以下几个方面：①比较大小；②求单调区间；③解不等式；④确定方程根的个数．如判断方程sin x ＝x 的实根个数；⑤对称问题等．【易错点剖析】此题若不用数形结合法，用三角函数有界性求a 的范围，不仅过程繁琐，而且很容易漏掉a≠－3的限制，而从图象中可以清楚地看出当a ＝－3时，方程只有一解．1．从“整体换元”的思想认识、理解、运用“五点法作图”，尤其在求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间、解析式等相关问题中要充分理解基本函数y ＝sin x 的作用．2．三角函数自身综合问题：要以课本为主，充分掌握公式之间的内在联系，从函数名称、角度、式子结构等方面观察，寻找联系，结合单位圆或函数图象等分析解决问题．3．三角函数模型应用的解题步骤：(1)根据图象建立解析式或根据解析式作出图象．(2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．(3)利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移π3个单位，得到的图象对应的解析式是( )A ．y ＝sin 12xB ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π2C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π62．(2011·银川调研)如图所示的是某函数图象的一部分，则此函数是 ( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 3．为得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象( )A ．向左平移5π12个单位长度B ．向右平移5π12个单位长度C ．向左平移5π6个单位长度D ．向右平移5π6个单位长度4．(2009·辽宁)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象如图所示，f (π2)＝－23，则f (0)等于( )A ．－23B ．－12C.23D.125．(2011·烟台月考)若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m (A >0，ω>0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则它的解析式是( )A ．y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2C ．y ＝2sin ⎛⎪⎫4x ＋π＋2D ．y ＝2sin ⎛⎪⎫4x ＋π＋26．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ) (ω>0，－π≤φ<π)的图象如图所示，则φ＝________.7．(2010·潍坊五校联考)函数f (x )＝cos 2x 的图象向左平移π4个单位长度后得到g (x )的图象，则g (x )＝______.8．(2010·福建)已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6 (ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是____________．三、解答题(共38分)9．(12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2，x ∈R )的图象的一部分如下图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈[－6，－23]时，求函数y ＝f (x )＋f (x ＋2)的最大值与最小值及相应的x 的值．10．(12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，0<ω≤2且0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象过点M (0,2)．又f (x )的图象关于点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0对称且在区间[0，π]上是减函数，求f (x )的解析式．11．(14分)(2010·山东)已知函数f (x )＝sin(π－ωx )·cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π，(1)求ω的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数y ＝g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π16上的最小值．答案自主梳理1.0－φω π2－φω π－φω 3π2－φω 2π－φω 0 π2 π 3π22π 2.(1)左右 |φ| (2)伸长缩短 1ω (3)伸长缩短 A 3.A 2πω 1T ωx ＋φ φ 2π|ω|π|ω|自我检测1．B 2.D 3.A 4.D 5.B 课堂活动区例1 解题导引 (1)作三角函数图象的基本方法就是五点法，此法注意在作出一个周期上的简图后，应向两边伸展一下，以示整个定义域上的图象；(2)变换法作图象的关键是看x 轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx ＋φ＝ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φω来确定平移单位．解 (1)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的振幅A ＝2，周期T ＝2π2＝π，初相φ＝π3. (2)令X ＝2x ＋π3，则y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝2sin X . 列表：(3)将y ＝sin x 的图象上每一点的横坐标x 缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin 2x 的图象；再将y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位，得到y ＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象；再将y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象．变式迁移1 解 y ＝12·1＋cos 2x 2＋32sin 2x ＋32·1－cos 2x2＝1＋32sin 2x －12cos 2x ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. (1)(五点法)设X ＝2x －π6，则x ＝12X ＋π12，令X ＝0，π2，π，3π2，2π，于是五点分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，1，⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2，⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，1，⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫13π12，1，描点连线即可得图象，如下图．(2)由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6＋k π，k π＋π3，k ∈Z .由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋k π，k π＋5π6，k ∈Z .(3)把y ＝sin x 的图象向右平移π6个单位；再把横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)；最后把所得图象向上平移1个单位即得y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1的图象．例2 解题导引确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的解析式的步骤：(1)求A ，b .确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m2.(2)求ω.确定函数的周期T ，则ω＝2πT.(3)求参数φ是本题的关键，由特殊点求φ时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点．解由图象可知A ＝2，T ＝8.∴ω＝2πT ＝2π8＝π4.方法一由图象过点(1,2)，得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4×1＋φ＝2， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝1.∵|φ|<π2，∴φ＝π4， ∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4.方法二 ∵点(1,2)对应“五点”中的第二个点． ∴π4×1＋φ＝π2，∴φ＝π4， ∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4.变式迁移2 解 (1)由题意可得：A ＝2，T 2＝2π，即2πω＝4π，∴ω＝12，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋φ，f (0)＝2sin φ＝1，由|φ|<π2，∴φ＝π6.∴f (x )＝2sin(12x ＋π6)．f (x 0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0＋π6＝2，所以12x 0＋π6＝2k π＋π2，x 0＝4k π＋2π3(k ∈Z )，又∵x 0是最小的正数，∴x 0＝2π3.(2)f (4θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π6 ＝3sin 2θ＋cos 2θ， ∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，cos θ＝13，∴sin θ＝223，∴cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－79，sin 2θ＝2sin θcos θ＝429， ∴f (4θ)＝3×429－79＝46－79.例3 解题导引 (1)三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面，一是已知函数模型，如本例，关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．(2)如何从表格中得到A 、ω、b 的值是解题的关键也是易错点，同时第二问中解三角不等式也是易错点．(3)对于三角函数模型y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0)中参数的确定有如下结论：①A ＝y max －y min 2；②k ＝y max ＋y min 2；③ω＝2πT；④φ由特殊点确定．解 (1)由表中数据，知周期T ＝12，∴ω＝2πT ＝2π12＝π6，由t ＝0，y ＝1.5，得A ＋b ＝1.5；由t ＝3，y ＝1.0，得b ＝1.0，∴A ＝0.5，b ＝1，∴y ＝12cos π6t ＋1.(2)由题知，当y >1时才可对冲浪者开放， ∴12cos π6t ＋1>1，∴cos π6t >0， ∴2k π－π2<π6t <2k π＋π2，k ∈Z ，即12k －3<t <12k ＋3，k ∈Z .①∵0≤t ≤24，故可令①中的k 分别为0,1,2，得0≤t <3，或9<t <15，或21<t ≤24.∴在规定时间上午8∶00至晚上20∶00之间，有6个小时的时间可供冲浪者运动，即上午9∶00至下午3∶00.变式迁移3 解 (1)t ＝0时，E ＝2203sin π6＝1103(伏)．(2)T ＝2π100π＝0.02(秒)．(3)当100πt ＋π6＝π2，t ＝1300秒时，第一次取得最大值，电压的最大值为2203伏．课后练习区1．C 2.D 3.A 4.C 5.D 6.9π107．－sin 2x 8.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 9．解 (1)由图象知A ＝2，∵T ＝2πω＝8，∴ω＝π4.……………………………………………………………………(2分)又图象经过点(－1,0)，∴2sin(－π4＋φ)＝0.∵|φ|<π2，∴φ＝π4.∴f (x )＝2sin(π4x ＋π4)．………………………………………………………………………(5分) (2)y ＝f (x )＋f (x ＋2)＝2sin(π4x ＋π4)＋2sin(π4x ＋π2＋π4)＝22sin(π4x ＋π2)＝22cosπ4x .……………………………………………………………(8分)∵x ∈[－6，－23]，∴－3π2≤π4x ≤－π6.∴当π4x ＝－π6，即x ＝－23时，y ＝f (x )＋f (x ＋2)取得最大值6；当π4x ＝－π，即x ＝－4时，y ＝f (x )＋f (x ＋2)取得最小值－2 2.………………………(12分)10．解根据f (x )是R 上的偶函数，图象过点M (0,2)，可得f (－x )＝f (x )且A ＝2，则有2sin(－ωx ＋φ)＝2sin(ωx ＋φ)，即sin ωx cos φ＝0，∴cos φ＝0，即φ＝k π＋π2(k ∈Z )．而0≤φ≤π，∴φ＝π2.………………………………………………………………………(4分) 再由f (x )＝2sin(－ωx ＋π2)＝2cos ωx 的图象关于点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0对称，f (3π4)＝2cos(3ω4π)＝0 ∴cos 3ω4π＝0，……………………………………………………………………………(8分)即3ω4π＝k π＋π2 (k ∈Z )，ω＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋12 (k ∈Z )．又0<ω≤2，∴ω＝23或ω＝2.……………………………………………………………(10分)最后根据f (x )在区间[0，π]上是减函数，可知只有ω＝23满足条件．所以f (x )＝2cos 23x .………………………………………………………………………(12分)11．解 (1)f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx＝sin ωx cos ωx ＋1＋cos 2ωx 2＝12sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋12.……………………………………………………………………(6分)由于ω>0，依题意得2π2ω＝π，所以ω＝1.………………………………………………(8分)(2)由(1)知f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12，所以g (x )＝f (2x ) ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4＋12.……………………………………………………………………(10分)当0≤x ≤π16时，π4≤4x ＋π4≤π2. 所以22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4≤1. 因此1≤g (x )≤1＋22，…………………………………………………………………(13分)所以g (x )在此区间内的最小值为1.…………………………………………………(14分)。