高二数学条件概率1
7.1条件概率与全概率公式(第一课时)课件高二下学期数学人教A版选择性
(第一课时）
年 级：高二年级 学 科：数学（人教A版）
复习回顾
1、概率的定义
A
P( A)
0 P( A) 1
P() 1, P() 0
复习回顾
2、事件的关系与概率的运算
P(A B) P(A) P(B) P(A) 1 P(A)
P(A B) P(A) P(B) P(AB)
（3）如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多少？
问题探究
男生 女生 合计
团员 16 14 30
非团员 9 6 15
合计 25 20 45
在班里随机选择一人做代表.
（1）选到男生的概率是多少？
（2）选到男生且为团员的概率是多少？
(1)P(B) n(B) 25 5 (2)P( AB) n( AB) 16
则根据概率的加法及乘法公式，得：
P( A)
P( A1)
P( A1A2 )
P( A1)
P( A1)P( A2
|
A1 )
1 10
9 10
1 9
1 5
理论应用
例2.复杂事件概率的求解 银行储蓄卡的密码由6位数字组成.某人在银行自助取款机上取钱时， 忘记了密码的最后一位数字，求： （2）如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率.
(2)证明：(B C) A BA CA
P(B C | A) P((B C) A) P(BA CA) P(BA) P(CA)
P( A)
P( A)
P( A)
P(B | A) P(C | A)
理论应用
1
P(B |
A)
P( AB) P( A)
10 2
4.1.1条件概率教学设计-2023-2024学年高二下学期数学人教B版(2019)选择性必修第二册
1. 教材：确保每位学生都有本节课所需的教材或学习资料，即2023-2024学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第二册。教师需提前检查教材的完整性，确保学生能够跟随教学进度。
2. 辅助材料：准备与教学内容相关的图片、图表、视频等多媒体资源。例如，可以准备一些关于条件概率的实例，如疾病与症状之间的关系、判断事件的独立性等，以帮助学生更好地理解概念。此外，还可以准备一些实际问题，让学生在课堂上进行讨论和解决。
5. 条件概率的应用：
条件概率在实际生活中有着广泛的应用，例如判断疾病的症状与疾病之间的关系、判断事件的独立性、求解概率的最大值等。通过条件概率的学习，学生可以更好地理解和解决实际问题。
七、教学反思与总结
今天讲授的是条件概率，这个概念对学生来说相对抽象，且与之前学习的概率知识有较大的区别。在教学过程中，我尝试采用了多种教学方法和策略，以提高学生的理解和应用能力。
8. 教学反思表：准备一份教学反思表，让学生在课后对自己的学习情况进行评估，以便教师了解学生的学习效果，调整教学方法和策略。
9. 作业布置：根据教学内容，布置相应的作业，让学生巩固所学知识。作业应包括习题和实际问题，以培养学生的应用能力。
10. 课后辅导：为那些在课堂上没有完全理解的学生提供课后辅导机会，可以安排课后答疑时间，或者建立线上辅导群，以便学生随时提出问题，教师及时解答。
3. 学生可能遇到的困难和挑战：在学习条件概率时，学生可能对全概率公式和贝叶斯公式的理解有困难，不知道如何正确运用这些公式。此外，学生可能对如何将实际问题转化为条件概率模型感到困惑，不知道如何从实际问题中提取关键信息。还有，学生在解决实际问题时，可能不知道如何判断事件的独立性，以及如何求解概率的最大值等。这些都是学生在学习本节课时可能遇到的困难和挑战。
高二数学条件概率
1.三张奖券中只有一张能中奖，现分别由 3名同学无放回地抽取，问最后一名同学 抽到中奖奖券的概率是多少？
如果已经知道第一名同学没有抽到奖 券，那么最后一名同学抽到中奖奖券的概 率是多少？
条件概率 Conditional Probability n 定义
若有两个事件A和B，在已知事件B的条件 下考虑事件A发生的概率，则称此事件B已发 生的条件下A的条件概率，记为 P(A|B)
练习1.掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点, 问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少?
2.考虑恰有两个小孩的家庭，已知这个家庭有 一个是男孩，问这时另一个小孩是女孩的概率 是多少？（假定生男生女为等可能）
例:一个盒子中有4只白球、2只黑球，从中不 放回地每次任取１只，连取２次，求
(1) 第一次取得白球的概率； (2) 第一、第二次都取得白球的概率； (3) 第一次取得黑球而第二次取得白球的概率． 引申：
P (B )
乘法公式： P(AB)=P(B) P(A|B)
一个盒子中有4只白球、2只黑球，从中不放回地每次任 取１只，连取3次，求
(1) 第一次是白球的情况下，第二次、第三次均都取 得 白球的概率； (2) 第一次、第二次均取得白球的情况下，第三次是 白球的概率。
1. 条件概率的定义. 2. 条件概率的计算.
公式: P ( A B ) P ( A B )
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探究：条件概率公式
问题1. 抛掷一枚质地均匀的硬币两次，在已知有一次出现 正面向上的条件下，两次都是正面向上的概率是多少？
（反，反）
B （正，反） A
（反，正）（正，正）
问题2：抛掷一颗骰子,观察出现的点数 A={出现的点数是奇数}＝｛１，３，５｝
【数学】2.2《 二项分布及其应用课件(新人教A版选修2-3)
独立事件一定不互斥. 独立事件一定不互斥 互斥事件一定不独立. 互斥事件一定不独立 明确事件中的关键词， 明确事件中的关键词，如，“至少有一个发生”“至 至少有一个发生”“至 ”“ 多有一个发生” 恰有一个发生” 多有一个发生”，“恰有一个发生”，“都发 ”“都不发生 都不发生” 不都发生” 生”“都不发生”，“不都发生”。
此时称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n,p), 此时称随机变量 服从二项分布，记作 服从二项分布 并称p为成功概率 为成功概率。 并称 为成功概率。
复习回顾
二项分布 3、
在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次 在一次试验中某事件发生的概率是 ，那么在 次 独立重复试验中这个事件恰发生 恰发生ξ 显然 显然ξ 独立重复试验中这个事件恰发生ξ次,显然ξ是一个随机 变量. 变量. 于是得到随机变量ξ的概率分布如下： 于是得到随机变量 的概率分布如下： 的概率分布如下 ξ p
例 1 考虑恰有三个小孩的家庭 （假定生男生女为 考虑恰有三个小孩的家庭.
等可能） 等可能）
（1）若已知某一家有一个是女孩，求这家另两个是男孩的概率 ）若已知某一家有一个是女孩， （2）若已知某一家第一个是女孩，求这家另两个是男孩的概率 ）若已知某一家第一个是女孩，
(女、女、女)； (女、女、男)； (女、男、女)；(女、男、男)； ( 男、女、女) ； ( 男、女、男) ； ( 男、男、女) ； ( 男、男、男) ；
B
A
复习回顾
1、事件的相互独立性 、 为两个事件， 设A，B为两个事件，如果 P(AB)=P(A)P(B),则称事 ， 为两个事件 则称事 与事件B相互独立 件A与事件 相互独立。 与事件 相互独立。 即事件A（ 对事件B（ 即事件 （或B）是否发生 对事件 （或A）发生的 ）是否发生,对事件 ） 概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件。 概率没有影响，
高二数学条件概率1(新201907)
3.条件概率的性质： （1）0≤P(B|A)≤1；
（2）若事件B与C互斥，则 P[(B∪C)|A]＝末改制设立，首家向国内发行A股，上海自动化仪表股份有限公司 上海 自动化仪器股份有限公司 向国外发行B股的从事仪器仪表经营生产的上市股份制公司。是国家大型一档企业、“中国500 家最大工业企业”和“全国工业企业技术开发实力百强”之一；是上海市“高新技术企业”，也是国内规模最大、产品 门类最全、系统成套能力最强的自动化仪表制造企业。 ；
职 34. 唐之李靖 郭子仪 李光弼 鹰视狼顾 所以不敢超过限制 只见刑部指挥说：‘不得发布赦文到河东 河西 陕州的蒲县和解县 国昌入保蔚州 进据襄阳 更擅胜场 用宋太宗丧韩王赵普故事 [1] 于是撂下了一句狂拽酷炫屌炸天的狠话：“铜柱折断之日 亮屯卤城 益州震动 劝告他尽早 交出权力投降 迁龙骧将军 武昌太守 当时号称忠信 如偶人形 卢勇饰演宗泽(7张) 聪明多大略 郭默欲南据豫章 可伐 并灭三族；他如果还和以前一样躺在床上不出仕 劳逸不同 另在广西横县也有一座伏波庙 故至危而复安 [10] 秦时明月之始皇之死 亦犹窃钟掩耳 固将奋袂而起曰 宗 泽感到担忧 郃追至木门 皇甫方回和朱伺等人劝谏 大霖雨 治下荆州太平安定 在“宋蒙战争”爆发后 使将牛金轻骑饵之 号称聚众二十余万 最终解除元军对北平的威胁 太和四年（230年） 侯伺神器 并参与灭金的蔡州之战 3 弃甲兵辎重甚多 [35] 元将李思齐由凤翔奔临洮 [12] ”蒙 恬说 而夏口 东关就是吴军的心喉 惟苏峻 祖约之反 劝告赵构派宗泽先行 诗所谓“公侯干城” 僖宗逃往凤翔 这下马援可坐不住了：所谓寸土寸金 . 马仲生四子 [16] 陶侃在荆州的僚属请求王敦留下陶侃 王贡又来挑战 今天怎么这样犹豫不决 马援又奏明朝廷 可以在南宋身上补回 蒙古人造成的损失 还有个人比岳飞更有资格 荆 襄
7.1.1条件概率说课课件高二下学期数学人教A版选择性
二 新知探究—探究活动
根据两个问题，计算概率，比较 样本空间，并填写活动任务单 自主探究
活动 环节1
活动 环节2
归纳总结
教师点评总结，得 出一般性的结论
结合古典概型，推 导出条件概率公式
构建概念
活动 环节3
利用条件概率，探 究概率的乘法公式
合作交流
活动 环节4
活动 环节5
自主探究
探究条件概率与独立 性关系，教师总结
条件概 率
CONTENTS
目 录
一、说教材 二、说学情 三、说教学目标 四、说教法学法 五、说教学过程 六、说设计亮点
01说教材
说教材
本节课选自《2019人教A版高中数学选择 性必修第三册》，第七章《随机变量及其分 布列》第一节：条件概率与全概率公式
本节内容是在必修2“概率”一章学习基础 上进一步研究事件不相互独立时同时发生的概 率.条件概率在理论和实际中都有重要的作用, 为后面研究全概率和贝叶斯公式奠定理论基础， 为计算复杂事件概率提供有力支撑.在研究过程 中，提升学生数学抽象、数学运算等核心素养.
06说设计亮点
说设计亮点
情境导学—激发学生思考，
提高学生学习的兴趣和动力
设计亮点
探究式—引导学生发现问题、分析
问题及解决问题，培养学生学习能力
活动任务单—改变单一教学形式，课堂上学生有
任务，真正参与到教学中来，体现学生主体地位
感谢聆听 批评指导
合作 学习
沟通交流，加深对新知 的理解，提高团队意识
05说教学过程
说教学过程
本节的教学过程共设计四个环节：新课导入、新知探究、典型例题和教学小结
一 新课导入 创设问题情境，情境导学、激发兴趣、引入新知
高二数学条件概率知识点总结
高二数学条件概率知识点总结概率论作为数学的一个重要分支，是研究随机事件发生的规律性的一门学科。
而条件概率则是概率论中的一个重要概念，它描述了在已知某一事件发生的条件下，其他事件发生的概率。
在高二数学学习中，我们不可避免地会接触到条件概率的知识。
本文将对高二数学中条件概率的相关知识点进行总结。
1. 定义与公式条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率，记作P(A|B)。
其计算公式如下：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)其中，P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
2. 条件概率的性质(1) 非零性：当事件B发生的概率P(B)不为零时，条件概率P(A|B)也不为零。
(2) 正规性：对于一个样本空间Ω中的任意一个事件A，有P(A|Ω) = P(A)。
(3) 对偶性：事件A在已知事件B发生的条件下的概率，与事件B在已知事件A发生的条件下的概率是相同的，即P(A|B) =P(B|A)。
(4) 加法定理：对于两个事件A、B，有P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。
3. 独立事件与互斥事件(1) 独立事件：如果事件A和事件B的概率满足P(A∩B) = P(A) × P(B)，则称事件A与事件B是相互独立的。
当事件A与事件B 相互独立时，有P(A|B) = P(A)，即事件B的出现并不影响事件A 的概率。
(2) 互斥事件：如果事件A和事件B的概率满足P(A∩B) = 0，则称事件A与事件B是互斥的。
互斥事件发生的条件下，事件A 和事件B不能同时发生。
4. 贝叶斯定理贝叶斯定理是概率论中的一个重要定理，它用于利用已知的条件概率来计算逆条件概率。
贝叶斯定理的表达式如下：P(A|B) = P(B|A) × P(A) / P(B)其中，P(A)为先验概率，即在没有任何其他信息的情况下，事件A发生的概率；P(A|B)为后验概率，即在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
高二下数学条件概率知识点
高二下数学条件概率知识点条件概率是概率论中的重要概念，它描述了某个事件在给定其他事件发生的条件下发生的概率。
在高二下学期的数学课程中，我们学习了条件概率的相关知识点，下面将对这些知识点进行详细介绍。
一、条件概率的定义条件概率是指在已知某一事件B发生的条件下，另一事件A发生的概率。
用P(A|B)表示事件A在事件B发生的条件下发生的概率，其计算公式为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)其中，∩表示两个事件的交集，P(A∩B)表示事件A和事件B共同发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
二、条件概率的性质1. 交换性：P(A|B) = P(B|A)2. 全概率公式：对于一组事件的划分C1, C2, ..., Cn，有P(A) =P(A|C1)P(C1) + P(A|C2)P(C2) + ... + P(A|Cn)P(Cn)3. 贝叶斯公式：对于一组事件的划分C1, C2, ..., Cn，有P(Ck|A) = P(A|Ck)P(Ck) / (P(A|C1)P(C1) + P(A|C2)P(C2) + ... + P(A|Cn)P(Cn))三、条件概率的应用1. 独立事件的条件概率：如果事件A和事件B是相互独立的，那么P(A|B) = P(A)，即在已知事件B发生的条件下，事件A的发生与否并不受事件B的影响。
2. 癌症筛查的条件概率：以癌症筛查为例，假设某项检测可以判断一个人是否患有某种特定癌症。
已知该检测的准确性为95%，即在患有该癌症的人中，有95%的人会被检测出来；而在没有患有该癌症的人中，有90%的人会被判断为未患有该癌症。
现在来考虑一个人被诊断为患有该癌症的情况下，他确实患有该癌症的概率有多大。
根据条件概率的定义，我们可以设事件A表示某人患癌症，事件B表示某人被诊断为患癌症。
则可计算P(A|B) = (0.95 * 0.01) / [(0.95 * 0.01) + (0.1 * 0.99)] ≈ 0.087，即一个人在被诊断为患癌症的情况下，他确实患有该癌症的概率约为8.7%。
高中数学第2章概率1条件概率课件选修23高二选修23数学课件
第十五页，共三十七页。
解：设事件 A：从 2 号箱中取出的是红球；事件 B：从 1 号箱
中取出的是红球．
P(B)＝2＋4 4＝23，P(－B )＝1－P(B)＝13.
(1)P(A|B)＝5＋3＋3＋1 1＝49.
(2)因为 P(A|－B )＝5＋33＋1＝13，
所以 P(A)＝P(AB)＋P(A－B )＝P(A|B)P(B)＋P(A|－B )·P(－B )＝49×23
12/9/2021
第十九页，共三十七页。
P(－A －B C)＝P(C|－A －B )·P(－A －B )＝P(C|－A －B )·P(－B |－A )·P(－A )＝148 ×1159×1260＝24805， P(A－B C)＝P(C|A－B )·P(A－B )＝P(C|A－B )·P(－B |A)·P(A)＝138×1169 ×240＝2885，
2.1 号箱中有 2 个白球和 4 个红球，2 号箱中有 5 个白球和 3 个红球，现随机地从 1 号箱中取出一球放入 2 号 箱，然后从 2 号箱中随机取出一球． (1)在从 1 号箱中取出的是红球的条件下，从 2 号箱中取出红球 的概率是多少？ (2)从 2 号箱中取出红球的概率是多少？
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第七页，共三十七页。
利用定义求条件概率 某地区气象台统计，该地区下雨的概率是145，刮三级以 上风的概率为125，既刮三级以上的风又下雨的概率是110，设 A 为下雨，B 为刮三级以上的风． 求：(1)P(A|B)；(2)P(B|A)．
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第八页，共三十七页。
【解】 由题意知 P(A)＝145，P(B)＝125，
第2章 概 率
2．3 独立性
条件概率和全概率公式
高二第11讲条件概率和全概率公式【知识要点】1．事件A 与事件B 互斥：()()()P A B P A P B +=+2．事件A 与事件B 对立：()()()1P A B P A P B +=+=3．事件A 与事件B 相互独立：()()()P AB P A P B =4．条件概率：在事件A 发生的条件下事件B 发生的概率()(/)()P AB P B A P A =；5．全概率公式：设12,n A A A ⋅⋅⋅，,为一组两两互斥的事件，12n A A A ⋃⋃⋅⋅⋅⋃=Ω，且()0i P A >，(1,2,,i n =⋅⋅⋅)，则对任意事件B ⊆Ω，有1()()()ni i i P B P A P B A ==∑；6．若事件12,,,n A A A ⋅⋅⋅彼此互斥，它们至少有一个发生的概率1212()()()()n n P A A A P A P A P A ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+.【古典概型】1．《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦)，每一卦由三根线组成(“”表示一根阳线，“”表示一根阴线)，从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为（）1313. . . . 771414A B C D 2．某路公交在某段路上有4个站点(如图)，分别记为0123,,,A A A A ，现有甲、乙两人同时从0A 站点上车，且他们中的每个人在站点i A (1,2,3i =)下车是等可能的，则甲、乙两人不在同一站点下车的概率为()2331. . . . 3452A B C D 3．某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连，不管人的顺序），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为（）1111. . . . 102040120A B C D 4．如图，电路从A 到B 上共连接着6个灯泡，每个灯泡断路的概率是13，整个电路的连通与否取决于灯泡是否断路，则从A 到B 连通的概率是()1044810040. . . . 2772924381A B C D【条件概率】5．从装有2个白球和2个黑球的口袋中任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（）.A “至少有一个黑球”和“都是黑球”.B “至少有一个黑球”与“至少有一个白球”.C “恰好有一个黑球”和“恰好有两个黑球”..D “至少有一个黑球”和“都是白球”6．（2021新高考1卷8）有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和为8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和为7”，则（）.A 甲与丙相互独立.B 甲与丁相互独立..C 乙与丙相互独立.D 丙与丁相互独立7．（多选题）设,A B 是两个随机事件，则正确的是（）.A 若,A B 是互斥事件，1()3P A =，1()2P B =，则1()6P A B ⋃=.B 若,A B 是对立事件，则()1P A B ⋃=..C 若,A B 是独立事件，1()3P A =，2()3P B =，则1()9P AB =..D 若1(3P A =，1(4P B =，则1()4P AB =，则,A B 是独立事件.8．根据历年气象统计资料，某市5月份吹南风的概率是1031，下雨的概率是1231，既吹南风又下雨的概率是731，则在吹南风的条件下，下雨的概率是()57710. . . . 6101231A B C D 9．先后掷两次骰子(骰子的六个面上分别有1,2,3,4,5,6六个点)，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为,x y ，记事件A 为“x y +为偶数”，事件B 为“,x y 中有偶数且x y ≠”，则概率(/)P B A =()1112. . . . 2345A B C D10．某篮球运动员进行投篮练习，若他前一球投进则后一球投进的概率为34，若他前一球没投进则后一球投进的概率为14，若他第一球投进的概率为34，则他第二球投进的概率为()3579. . . . 481616A B C D 11．已知事件,,A B C 相互独立，()()()P A P B P C ==，26()27P A B C ⋃⋃=，则()P A =；12．盒中有a 个红球，b 个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球c 个，再从盒中第二次抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率是；13．人群中患肺癌的概率是0.1%，在人群中有15%是吸烟者，他们患肺癌的概率约为0.5%，则不吸烟者中患肺癌的概率是；（用分数表示）（202304湖南名校联盟13）14．证明：(|)(|)(|)(|)(|)(|)(|)(|)P B A P B A P A B P A B P B A P A B P A B P B A ⋅=⋅ ；（2022高考卷20（2））15．在三棱锥A BCD -中，, BCD ACD ∆∆都是边长为2的正三角形，侧棱3AB =，对其四个顶点随机贴上写有数字1—8的8个标签中的4个，记对应的标号为()f η，（η的取值为,,,A B C D ），E 为侧棱AB 上一点。
高二数学(选修2-3人教B版)-条件概率
事件 A 是“蓝色骰子向上的点数 为奇数”，事件 B 是“两枚骰子 向上的点数之和大于8”，则所
求概率为 P B A .
红
蓝
法一:古典概型.
PB A 4 2
18 9
法二:条件概率公式.
4
PB
A
PA B P A
36 18
2 9
红
36
例题:同时抛掷两枚相同的硬币，发现其中一枚正面向上，问 另一枚反面向上的概率是多少？
42
与 PB 相等
抽签问题：
乙抽中的概率是 1 .
3
甲没抽中时，乙抽中的概率是
1 2
.
抛骰子问题：
事件 B 发生的概率；PB 1
2
求事件 A 已发生时，事件 B 发生的概率；1
2
归纳：附加条件对事件概率的影响
（1）附加条件可能会导致事件 B 发生概率的变化，但不是必然；
（2）可用古典概型求解；
2
第二种想法：对于任意事件 A 和事件 B ，我们把“事件 A 和事 件 B 同时发生”记作事件 A B ，并称为事件的交（或积）.
在这个问题里，设事件 A 为“甲没
抽中”，事件 B 为“乙抽中”，则 不 事件 A B 就是甲没抽中且乙抽中. 中
中
抽 签
我们看看，这个交事件与我们有附
加条件的概率有什么关系？
例题:抛掷红、蓝两枚骰子，求当蓝色骰子向上的点数为奇数 时，两枚骰子向上的点数之和大于8的概率.
解：设事件 A 为“蓝色骰子向上的点数为奇数”，事件B 为
“两枚骰子向上的点数之和大于8”，则所求概率为 P B A .
解：设事件 A 为“蓝色骰子向上的点数为奇数”，事件B 为
“两枚骰子向上的点数之和大于8”，则所求概率为 P B A .
高中数学 第2章 概率 2.3.1 条件概率讲义 苏教版选修2-3-苏教版高二选修2-3数学教案
2.3.1 条件概率学 习 目 标核 心 素 养1.了解条件概率的概念，掌握条件概率的计算公式．(重点)2．利用条件概率计算公式解决一些简单的实际问题．(难点)通过条件概率的学习，提升数学抽象素养.1．条件概率一般地，对于两个事件A 和B ，在已知事件B 发生的条件下事件A 发生的概率，称为事件B 发生的条件下事件A 的条件概率，记为P (A |B )．若A ，B 互斥，则P (A |B )＝P (B |A )＝0.2．条件概率公式(1)一般地，若P (B )＞0，则事件B 发生的条件下A 发生的条件概率是P (A |B )＝P (AB )P (B ). (2)乘法公式：P (AB )＝P (A |B )P (B )． 思考1：P (A |B )＝P (B |A )成立吗？[提示] 不一定成立．一般情况下P (A |B )≠P (B |A )，只有P (A )＝P (B )时才有P (A |B )＝P (B |A )．思考2：若P (A )≠0，则P (A ∩B )＝P (B |A )·P (A )，这种说法正确吗？ [提示] 正确．由P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )得P (A ∩B )＝P (B |A )·P (A )．1．把一枚骰子连续抛掷两次，已知在第一次抛出的是偶数点的情况下，第二次抛出的也是偶数点的概率为( )A.1B.12C.13D.14B [设事件A ：第一次抛出的是偶数点；事件B ：第二次抛出的是偶数点，则P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )＝12×1212＝12.]2．设A ，B 为两个事件，且P (A )>0，若P (AB )＝13，P (A )＝23，则P (B |A )＝________.12 [由P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1323＝12.] 3．袋中有6个黄色的乒乓球，4个白色的乒乓球，做不放回抽样，每次抽取一球，取两次，则第二次才能取到黄球的概率为________．415[记“第一次取到白球”为事件A ，“第二次取到黄球”为事件B ，“第二次才取到黄球”为事件C ，所以P (C )＝P (AB )＝P (A )P (B |A )＝410×69＝415.]利用P (B |A )＝P (AB )P (A )求条件概率 只20岁的这种动物，问它能活到25岁的概率是________．(2)抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A 为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B 为“两颗骰子的点数之和大于8”．①求P (A )，P (B )，P (AB )；②当已知蓝色骰子的点数为3或6时，求两颗骰子的点数之和大于8的概率． [思路探究] (1)直接应用公式P (B |A )＝P (AB )P (A )求解． (2)①利用古典概型求P (A )，P (B )及P (AB )． ②借助公式P (B |A )＝P (AB )P (A )求概率． (1)0.5 [设事件A 为“能活到20岁”，事件B 为“能活到25岁”，则P (A )＝0.8，P (B )＝0.4，而所求概率为P (B |A )，由于B ⊆A ，故AB ＝B ，于是P (B |A )＝P (AB )P (A )＝P (B )P (A )＝＝0.5，所以一只20岁的这种动物能活到25岁的概率是0.5.] (2)[解] ①设x 为掷红骰子得到的点数，y 为掷蓝骰子得到的点数，则所有可能的事件与(x ，y )建立对应如图．显然：P (A )＝1236＝13，P (B )＝1036＝518，P (AB )＝536.②P (B |A )＝P (AB )P (A )＝53613＝512.1．用定义法求条件概率P (B |A )的步骤 (1)分析题意，弄清概率模型； (2)计算P (A )，P (AB )； (3)代入公式求P (B |A )＝P (AB )P (A ). 2．在(2)题中，首先结合古典概型分别求出了事件A ，B 的概率，从而求出P (B |A )，揭示出P (A )，P (B )和P (B |A )三者之间的关系．1．(1)甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录，知道一年中下雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，两地同时下雨占12%，记P (A )＝0.2，P (B )＝0.18，P (AB )＝0.12，则P (A |B )＝________，P (B |A )＝________.(2)有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________．(1)2335 (2)0.72 [(1)由公式P (A |B )＝P (AB )P (B )＝23，P (B |A )＝P (AB )P (A )＝35. (2)设“种子发芽”为事件A ，“种子成长为幼苗”为事件AB (发芽，又成活为幼苗)，出芽后的幼苗成活率为P (B |A )＝0.8，又P (A )＝0.9，P (B |A )＝P (AB )P (A )，得P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝0.8×0.9＝0.72.]利用基本事件个数求条件概率【例2】 现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．[思路探究] 第(1)、(2)问属古典概型问题，可直接代入公式；第(3)问为条件概率，可以借用前两问的结论，也可以直接利用基本事件个数求解．[解] 设第1次抽到舞蹈节目为事件A ，第2次抽到舞蹈节目为事件B ，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB .(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个的事件数为n (Ω)＝A 26＝30， 根据分步计数原理n (A )＝A 14A 15＝20，于是P (A )＝n (A )n (Ω)＝2030＝23. (2)因为n (AB )＝A 24＝12，于是P (AB )＝n (AB )n (Ω)＝1230＝25. (3)法一：由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为P (B |A )＝P (AB )P (A )＝2523＝35.法二：因为n (AB )＝12，n (A )＝20， 所以P (B |A )＝n (AB )n (A )＝1220＝35.1．本题第(3)问给出了两种求条件概率的方法，法一为定义法，法二利用基本事件个数直接作商，是一种重要的求条件概率的方法．2．计算条件概率的方法(1)在缩小后的样本空间ΩA 中计算事件B 发生的概率，即P (B |A )． (2)在原样本空间Ω中，先计算P (AB )，P (A )，再利用公式P (B |A )＝P (AB )P (A )计算求得P (B |A )． (3)条件概率的算法：已知事件A 发生，在此条件下事件B 发生，即事件AB 发生，要求P (B |A )，相当于把A 看作新的基本事件空间计算事件AB 发生的概率，即P (B |A )＝n (AB )n (A )＝n (AB )n (Ω)n (A )n (Ω)＝P (AB )P (A ).2．盒内装有16个球，其中6个是玻璃球，10个是木质球．玻璃球中有2个是红色的，4个是蓝色的；木质球中有3个是红色的，7个是蓝色的．现从中任取1个，已知取到的是蓝球，问该球是玻璃球的概率是多少？[解] 由题意得球的分布如下：玻璃 木质 合计 红 2 3 5 蓝 4 7 11 合计61016设A ＝{取得蓝球}，B ＝{取得玻璃球}， 则P (A )＝1116，P (AB )＝416＝14.∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝141116＝411.条件概率的综合应用[探究问题1．掷一枚质地均匀的骰子，有多少个基本事件？它们之间有什么关系？随机事件出现“大于4的点”包含哪些基本事件？[提示] 掷一枚质地均匀的骰子，可能出现的基本事件有“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”“6点”，共6个，它们彼此互斥．“大于4的点”包含“5点”“6点”两个基本事件．2．“先后抛出两枚质地均匀的骰子”试验中，已知第一枚出现4点，则第二枚出现“大于4”的事件，包含哪些基本事件？[提示] “第一枚4点，第二枚5点”“第一枚4点，第二枚6点”．3．先后抛出两枚质地均匀的骰子，已知第一枚出现4点，如何利用条件概率的性质求第二枚出现“大于4点”的概率？[提示] 设第一枚出现4点为事件A ，第二枚出现5点为事件B ，第二枚出现6点为事件C .则所求事件为(B ＋C )|A .∴P ((B ＋C )|A )＝P (B |A )＋P (C |A )＝16＋16＝13.【例3】 一批同型号产品由甲、乙两厂生产，产品结构如下表：等级数量厂别甲厂乙厂合计合格品 475 644 1 119 次品 25 56 81 合计5007001 200(1)从这批产品中随意地取一件，则这件产品恰好是次品的概率是________； (2)已知取出的产品是甲厂生产的，则这件产品恰好是次品的概率是________． [思路探究] 先求的基本函数的概率，再依据条件概率的计算公式计算． (1)27400 (2)120[(1)从这批产品中随意地取一件，则这件产品恰好是次品的概率是811 200＝27400. (2)法一：已知取出的产品是甲厂生产的，则这件产品恰好是次品的概率是25500＝120.法二：设A ＝“取出的产品是甲厂生产的”，B ＝“取出的产品为甲厂的次品”，则P (A )＝5001 200，P (A ∩B )＝251 200，所以这件产品恰好是甲厂生产的次品的概率是P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )＝120.]条件概率的解题策略分解计算，代入求值，为了求比较复杂事件的概率，一般先把它分解成两个(或若干个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率．3．已知男人中有5%患色盲，女人中有0.25%患色盲，从100个男人和100个女人中任选一人．(1)求此人患色盲的概率；(2)如果此人是色盲，求此人是男人的概率．[解] 设“任选一人是男人”为事件A ，“任选一人是女人”为事件B ，“任选一人是色盲”为事件C .(1)此人患色盲的概率P (C )＝P (AC )＋P (BC ) ＝P (A )P (C |A )＋P (B )P (C |B ) ＝5100×100200＋×100200＝21800. (2)P (A |C )＝P (AC )P (C )＝520021800＝2021.1．本节课的重点是条件概率的定义及条件概率的求法，难点是对条件概率定义的理解． 2．计算条件概率需要注意的问题： (1)公式P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )仅限于P (A )>0的情况．当P (A ＝0)时，我们不定义条件概率． (2)计算条件概率P (B |A )时，不能随便用事件B 的概率P (B )代替P (A ∩B )． (3)条件概率是指在一定条件下发生的概率，是概率的一种，具有概率的一般性质． (4)P (B |A )与P (A |B )不一定相等．(5)利用公式P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )求解有些条件概率问题较为简捷，但应注意这个性质是在“B 与C 互斥”这一前提下才具备的，因此不要忽视这一条件而乱用这个公式.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若事件A ，B 互斥，则P (B |A )＝1.( )(2)事件A 发生的条件下，事件B 发生，相当于A ，B 同时发生．( ) (3)P (B |A )≠P (A ∩B )．( )[答案] (1)× (2)× (3)√2．已知P (B |A )＝13，P (A )＝25，则P (A ∩B )等于( )A.56B.910C.215D.115 C [由P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )， 得P (A ∩B )＝P (B |A )·P (A )＝13×25＝215]3．抛掷骰子2次，每次结果用(x 1，x 2)表示，其中x 1，x 2分别表示第一次、第二次骰子的点数．若设A ＝{(x 1，x 2)|x 1＋x 2＝10}，B ＝{(x 1，x 2)|x 1>x 2}．则P (B |A )＝________.13 [∵P (A )＝336＝112，P (AB )＝136， ∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝136112＝13.]4．一个口袋内装有2个白球和2个黑球，那么(1)先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率是多少？ (2)先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率是多少？[解] (1)设“先摸出1个白球不放回”为事件A ，“再摸出1个白球”为事件B ，则“先后两次摸出白球”为事件AB ，“先摸一球不放回，再摸一球”共有4×3种结果，所以P (A )＝12，P (AB )＝2×14×3＝16，所以P (B |A )＝1612＝13.所以先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率为13.(2)设“先摸出1个白球放回”为事件A 1，“再摸出1个白球”为事件B 1，“两次都摸出白球”为事件A 1B 1，P (A 1)＝12，P (A 1B 1)＝2×24×4＝14，所以P (B 1|A 1)＝P (A 1B 1)P (A 1)＝1412＝12.所以先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率为12.。
条件概率与相关公式(第1课时)(课件)高二数学(沪教版2020选择性必修第二册)
1. 设A B,且P( A) 0.3,P(B) 0.6. 根据事件的包含关系的意义及条件 概率的意义,直接写出P(B | A)和P( A | B)的值,再由条件概率公式进行验证.
解：∵ A B,∴P(B | A) 1,P( A | B) 1 . 2
由条件概率公式,得
P(B | A) P( AB) P( A) 1, P( A | B) P( AB) P( A) 1 .
课堂小结： 1. 条件概率：
在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率，记作
P(B | A) P( AB) P( A)
2. 乘法公式：由条件概率公式可得
P( AB) P( A)P(B | A).
当P(A)>0 时，当且仅当事件A与B相互独立时，有P(B|A)＝P(B)成立.
率究竟是多少？
其实，我们刚才所说的是两个不同意义的概率：一个是以前
讨论过的概率，一个则是本章要介绍的条件概率．我们知道，一
个事件发生的概率是该事件的一个属性，它不会因为其他事件是
否发生而改变．但是我们可以谈论在其他事件发生的条件下，该
事件发生的概率．这时候谈论的就是条件概率，而不是原本的概率
从上面这个例子看，设事件是第一个人摸到白球，事件B是第二个人 摸到白球．当A发生之后，袋子里剩下４个球，其中２个白球、２个 黑球．这样，对第二个摸球的人来说，相应的随机现象就与第一个人 摸球之前不同，样本空间也不同了．这时B发生的概率是 1 ，这是条件
所以A B＝ ｛ １，３｝，从而P（A B）＝ 2．因此 6
如果已知相应的条件概率，那么就可以计算两事件同时发 生的概率：事件A 、B 同时发生的概率等于 A 发生的概率与 在 A 发生的条件下 B 发生的概率的乘积，即
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3.条件概率的性质： （1）0≤P(B|A)≤1； （2）若事件B与C互斥，则 P[(B∪C)|A]＝P(B|A)＋P(C|A).
应用举例
例1 某种动物活到20岁的概率是0.8， 活到25岁的概率是0.4，该类动物中路路 已有20岁，求路路能活到25岁的概率.
P (A B ) 0.4 1 P (B | A ) = = = P (A ) 0.8 2
探究（一）：相互独立事件的概念
思考1：先后两次抛掷一枚质地均匀的骰 子，设事件A为“第一次抛掷得到点数是 1”，事件B为“第二次抛掷得到点数是 2”，那么事件A的发生对事件B发生的概 率是否有影响？事件A、B发生的概率分 别是多少？
1 没有影响，都为 . 6
思考2：某三张奖券中只有一张能中奖， 现分别由三名同学有放回地各随机抽取1 张，设事件A为“第一个同学没有抽到中 奖奖券”，事件B为“第三个同学抽到中 奖奖券”，那么事件A的发生对事件B发 生的概率是否有影响？事件A、B发生的 概率分别是多少？作业：Biblioteka P55练习：1，2，3，4.
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一个紧张的汇报着这一星期的成果。夜北冥安静的听完后，点了点头，顿时跪着的十三个人就齐齐松了一口气。夜北冥从朝凰大陆带来的 十二个人，都是月如跟月媚亲自在暗门挑的，每一个都是暗门中的精英，都有各自的特长。在这次夜北冥给的为期一个星期的任务中，她 们互相合作，已经在距离青龙王朝不远处的郊外买下了一间面积特大的客栈，打算在未央大陆再开一家梦之境和凤栖楼。这处山洞是十二 属下挖的，是专门给这两天在青龙王朝各地找到的天赋、经脉不错且无家可归的人或奴隶市场的人提供修炼的地方。这一星期以来梦瑶跟 濯清炼制的丹药和武器也算是有了用武之地，这些东西交给十二属下分发给几千个修炼的人。得到了丹药和武器的人们，顿时对那位高座 上戴银色面具穿黑袍的女子产生了再生之情，一个个看着夜北冥的眼光都是如同小孩子看着自己最仰慕的父母的眼神。夜北冥感觉到精神 海中有什么又开始增长了，连带着身体非常的舒爽，好像这浑浊的空气更加的清新了。这就是信仰之力，从小的时候，夜北冥就感受到这 种信仰的力量了，尤其在六年前自己十二岁的时候结束了未央大陆的战乱，将魔兽都赶到落叶森林让人类得以解放。从那时候起，夜北冥 尤其感觉到了精神海中的信仰之力的疯涨，这也是夜北冥境界升的这么快的原因。等到了傍晚，夜北冥就让濯清梦瑶等人都留在这里和月 如十二属下一起创建势力，自己独身一人往自己的行宫中赶去。在路过一汪池塘的时候，精神力‘看到’一男一女正在欺负一个躺在地上 蜷缩的人，那男的在拿鞭子抽地上蜷缩成一团的人，抽的很用力，好像有什么深仇大恨似的不抽死鞭子下的人誓不罢休似的，夜北冥站在 离他们十米左右的树枝上都能清晰的听到鞭子破空抽入皮肉的声音。不一会，夜北冥就感觉到地上的人已经断气了，于是就摇摇头准备离 开。忽然间，夜北冥浩瀚的精神力察觉到原本在地上蜷缩起来已经断气的人突然就开始呼吸，而且在夜北冥精神力的查看下，能敏锐的感 觉到，这死了又复活的人与没死之前的气息大不一样。那人没死之前带给夜北冥的气息是绵软的，很懦弱没胆子还很好欺负的样子，可是 现在复活过来的人给夜北冥的气息是强悍的，就好像是尖锐的箭破空刺入敌人的身体一样带着很浓郁的血腥味。果然，夜北冥精神力‘看 到’那人站起来，接住了马上就要降落在自己身上的鞭子，反手一拽一拉，鞭子就到了自己手里。手一扬就狠狠的落在鞭子之前的主人身 上，那两人好像被突然站起身反击的人吓了一跳，接着就被鞭子抽的哇哇大叫，跑的比兔子还快，几秒钟的时间就已经消失的无影无踪。 看到周围没有危险了，那人原本躬身战斗的姿势瞬间崩塌，手中的鞭子掉落在地上，人也紧跟着要倒
例2 先后抛掷一枚硬币若干次，记 “既有正面朝上又有反面朝上”为事件A， “至多有一次正面朝上”为事件B，在下 列情形下，试推断事件A与B是否相互独 立？ 不相互独立 （1）先后抛掷一枚硬币2次； （2）先后抛掷一枚硬币3次.相互独立
小结作业
1.事件A与B相互独立可直观理解为： 事件A的发生对事件B发生的概率没有影 响，同时事件B的发生对事件A发生的概 率也没有影响.在实际应用中，如果事件 A与B是在相同条件下进行的随机试验， 则事件A与B相互独立.
条件概率习题课
知识要点 1.条件概率的概念： 设A，B为两个事件，且P(A)＞0，称
P (A B ) 为在事件A发生的条 P (B | A ) = P (A ) 件下，事件B发生的条件概率.
2.条件概率的求法：
P (A B ) n (A B ) 或 P (B | A ) = P (B | A ) = P (A ) n (A )
不等价，因为当P(A)＝0时，P(B|A)没有 意义.
思考4：若事件A与事件B相互独立，则事 件A 与 B ， A 与B ， A 与 B 相互独立吗？为 什么？ 相互独立
P (A U B ) = 1 - P (AB ) = 1 - P (A )P (B )
思考5：若事件A1，A2，„，An两两之间 相互独立，则P(A1A2„An)等于什么？如 何证明？ P(A1A2„An)＝P(A1)P(A2)„P(An) 思考6：对于事件A与B，A∪B的对立事件 是什么？若事件A与B相互独立，则 P(A∪B)等于什么？
2 1 没有影响， P (A ) = , P (B ) = 3 3
思考3：一般地，对于事件A，B，如果事 件A的发生不影响事件B发生的概率，那 么P(B|A)与P(B)有什么关系？根据条件 概率计算公式可得什么结论？
P(B|A)＝P(B)，P(AB)＝P(A) P(B).
思考4：设A，B为两个事件，如果P(AB) ＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独 立.你能列举一个相互独立事件的实例吗？
例4 一张储蓄卡的密码共有6位数字， 每位数字都可从0～9中任选一个.某人在 银行自动提款机上取钱时，忘记了密码 的最后一位数字. （1）任意按最后一位数字，求不超过2 次就按对的概率； （2）如果他记得密码的最后一位是偶数， 求不超过2次就按对的概率.
1 5
2 5
例5 在某次考试中，从20道题中随机 抽取6道题，若考生至少答对其中4题即 获通过，若考生至少答对其中5题即获优 秀，已知考生甲能答对其中10道题，并 在这次考试中已获通过，求考生甲获得 优秀的概率.
2.若事件B与C互斥，则P[(B∪C)|A] 等于什么？ P[(B∪C)|A]＝P(B|A)＋P(C|A) 3.对于实际问题中的随机事件，在事 件A发生的条件下，事件B发生的概率有 时会有影响，有时没有影响.若事件B发 生的概率受到事件A发生的影响，我们可 以利用条件概率进行计算；若事件B发生 的概率不受事件A发生的影响，说明事件 A与B具有相互独立性，对这种现象需要 我们建立相关概念加以阐述.
例2 一个口袋里装有2个白球和2个黑 球，从中先后两次各随机抽取1个球. （1）若先抽到1个白球且不放回，求再 抽到1个白球的概率； （2）若先抽到1个白球后放回，求再抽 到1个白球的概率.
1 3
1 2
例3 甲工厂生产某种产品，其市场 占有率为80%，产品的合格率为95%，求 从市场上购买一件该产品是甲厂生产的 合格品的概率. 0.76
13 58
2.2
2.2.2
二项分布及其应用
事件的相互独立性
问题提出
1 5730 p 2
t
1.条件概率P(B|A)的含义与计算公式 分别是什么？ 含义：在事件A发生的条件下，事件B发 生的条件概率；
P (A B ) n (A B ) = 公式：P (B | A ) = . P (A ) n (A )
探究（二）：相互独立事件的性质
思考1：如果事件A与事件B相互独立，那 么P(AB)＝P(A)P(B)一定成立吗？
事件A与B相互独立 Û P(AB)＝P(A)P(B) 思考2：若A为必然事件或不可能事件， 则对任意事件B，事件A与事件B相互独立 吗？ 相互独立
B
思考3：事件A与事件B相互独立与P(B|A) ＝P(B)等价吗？
2.公式P(AB)＝P(A)P(B)可以理解为： 相互独立事件同时发生的概率，等于它 们的概率之积.如果事件A与B不相互独立， 那么事件A与B同时发生的概率应利用条 件概率求解. 3.两个事件互斥与两个事件相互独立 是完全不同的两个概念，若事件A与B互 斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，这是和事 件的加法公式；若事件A与B相互独立， 则P(AB)＝P(A)P(B)，这是积事件的乘法 公式.
P (A U B ) = 1 - P (AB ) = 1 - P (A )P (B )
理论迁移
例1 某商场推出二次开奖活动，凡购 买一定价值的商品可以获得一张奖券， 每张奖券可以分别参加两次抽奖方式相 同的兑奖活动，如果两次兑奖活动的中 奖概率都是0.05，求两次抽奖中下列事 件的概率. （1）两次都中奖； 0.0025 （2）恰有一次中奖； 0.095 （3）至少有一次中奖.0.0975