北大附中高一数学下期第一次月考试题

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{高中试卷}北大附中高一级下学期数学期中考试[仅供参考]

20XX年高中测试高中试题试卷科目：年级：考点：监考老师：日期：北大附中高一年级下学期数学期中考试班级：______ 姓名：______ 成绩：_______一、选择题：在下列各题的四个被选答案中，只有一个是正确的，请你将正确答案前的字母添在答题卡中。

（每题3分，共36分）1.求值=-⋅-+-⋅-)617()49sin()5sec()314(ππππctg tg （）(A) 66332--(B) 2632+-(C)2632--(D)66332+-2．把曲线y=sinx 向右平移4π个单位，再把各点横坐标缩短到原来的31，所得的图像的函数式是（）（A ）)43sin(π-=x y （B ）)433sin(π-=x y（C ） )43sin(π+=x y （D ）)433sin(π+=x y3.函数y=Asin (ωx+φ)在同一周期内，当12π=x 时，有最大值23，当127π=x 时，有最小值-23，则函数的解析式为（）。

（A ）)32sin(32π+=x y（B ）)3sin(32π+=x y（C ）)32sin(23π+=x y（D ）)3sin(23π+=x y4. 当ππ≤≤-x 时，使函数)42cos(21π-=x y 取得最大值的x 的集合是（）（A ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧8π（B ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧-8,87ππ（C ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧-2,2ππ（D ）以上答案都不正确5. 已知3101lg )180sin(=+︒α，则)270(︒-αtg 的值是（）（A ）22-和 22（B ） 42- 和42（C ）22-（D ）42-6.如果35cos log 611cos log ππa a <成立，则a 的取值范围是（）（A ）a=10 （B ） a>1 （C ）0<a<1 （D ）a>27. 如图，是周期为2π的三角函数y=f(x)的图象，那么f(x)可以写成（）。

北京师范大学第一附属中学2021年高一数学理月考试题含解析

北京师范大学第一附属中学2021年高一数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 六名学生从左至右站成一排照相留念，其中学生甲和学生乙必须相邻．在此前提下，学生甲站在最左侧且学生丙站在最右侧的概率是（）A． B． C． D．参考答案：C2. 已知函数的定义域为，值域为，则函数的对应法则可以为（）A. B. C. D.参考答案：C3. 设a、b、c均为正数，且，则A B C D参考答案：A4. 三个数0.67，70.6，log0.67的大小关系为( )A．B．0.67＜70.6＜log0.67C．D．参考答案：D【考点】对数值大小的比较．【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵三个数0＜0.67＜1＜70.6，log0.67＜0，∴log0.67＜0.67＜70.6，∴故选：D．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5. 已知角满足，，且，，则的值为（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】根据角度范围先计算和，再通过展开得到答案. 【详解】，，故答案选D【点睛】本题考查了三角函数恒等变换，将是解题的关键.6. 设函数的定义域是(2,4)，则函数的定义域是（）A. (2,4)B. (2,8)C. (8,32)D.参考答案：A7. （5分）已知函数y=f（x）的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表则函数y=f（x）在区间上的零点至少有（）A．2个B．3个C．4个D．5个参考答案：B考点：函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：根据根的存在定理，判断函数值的符号，然后判断函数零点个数即可．解答：解：依题意，∵f（2）＞0，f（3）＜0，f（4）＞0，f（5）＜0，∴根据根的存在性定理可知，在区间（2，3）和（3，4）及（4，5）内至少含有一个零点，故函数在区间上的零点至少有3个，故选B．点评：本题主要考查函数零点个数的判断，用二分法判断函数的零点的方法，比较基础．8. 已知函数的图象经过三点，，，则的值等于（）A．0 B．1 C． D．25参考答案：D解析：由已知，设所以，，，所以，选D9. 函数f（x）=x2﹣2ax+a在区间（﹣∞，1）上有最小值，则a的取值范围是（）A．a＜1 B．a≤1C．a＞1 D．a≥1参考答案：A【考点】二次函数在闭区间上的最值．【分析】因为f（x）为二次函数且开口向上，函数的对称轴为x=a．若a≥1，则函数在区间（﹣∞，1）上是减函数，因为是开区间，所以没有最小值，所以可知a＜1，此时x=a时有最小值，故可得结论【解答】解：由题意，f（x）=（x﹣a）2﹣a2+a∴函数的对称轴为x=a ．若a≥1，则函数在区间（﹣∞，1）上是减函数，因为是开区间，所以没有最小值所以a ＜1，此时x=a时有最小值故选A．10. 设ω＞0，函数y=sin（ωx+）+2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（）A．B．C．D．3参考答案：C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】求出图象平移后的函数表达式，与原函数对应，求出ω的最小值．【解答】解：将y=sin （ωx+）+2的图象向右平移个单位后为=，所以有=2kπ，即，又因为ω＞0，所以k≥1，故≥，故选C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. （5分）函数的定义域为．参考答案：（1，2]考点：函数的定义域及其求法．专题：计算题．分析：由题意可得，解得1＜x≤2，即可得定义域．解答：解：由题意可得，解得1＜x≤2，故函数的定义域为：（1，2]，故答案为：（1，2]点评：本题考查函数的定义域，使式中的式子有意义即可，属基础题．12. 已知函数，定义：使为整数的数叫作企盼数，则在区间内这样的企盼数共有个．参考答案：2略13. 给出下列命题：①存在实数,使得成立；②存在实数,使得成立；③是偶函数；④是函数的一条对称轴；⑤若是第一象限角,且,则.其中正确命题的序号有 .参考答案：③④14. 已知集合A=，B=，若，则实数的取值范围是参考答案：15. 等比数列{a n }满足，，则______．参考答案：42 由题意可得所以，解得（舍），而，填42.16. 已知，则 .参考答案： -117.均为锐角，，则___________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。

广东省珠海市北京师范大学(珠海)附属高级中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试卷

三、填空题
12．设
r a
，
r b
是两个不共线的非零向量，若向量
k
r a
+
r 2b
与
r 8a
+
k
r b
的方向相反，则
k
=
.
13．若
tan a
=
1 4
，则
tan(
π 4
-a)
=
， tan 2a =
.
14 ．已知函数
f
(x)
=
1 2
sin
2x
，
给
出
下
列
五
个
说
法
:①
f
æ 1921π1ö çè 12 ÷ø
A．
16 9
B．
21 4
C．6
D．10
二、多选题 9．已知点 D，E，F 分别是 VABC 的边 AB ， BC ， CA 的中点，则下列等式中正确的是（）
试卷第21 页，共33 页
A．
uuur FD
+
uuur DA
=
uuur FA
C．
uuur DE
+
uuur DA
=
uuur DF
B．
uuur FD
C．向右平移 π 个单位长度 3
D．向右平移 π 个单位长度 2
8．如图， VABC 是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角
( ) 形，若 AD = 4 ， BD = 2 ，点 M 为线段 CE 上的动点，则
uuuur uuur AM - BC
uuuur × MD 的最大值为
（）

北京市北京师范大学附属实验中学2023-2024学年高一下学期期中测验数学试卷(含简单答案)

北京师范大学附属实验中学2023-2024学年高一下学期期中测验数学本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题，共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 是（）A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角2. 已知向量，在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则（）A B. C. 2 D. 43. 下列函数中，最小正周期为且是奇函数的是（）A. B. C. D.4. 已知向量，满足，，，则（）A.B.C.D.5. 已知函数的图象与直线的相邻两个交点间的距离等于，则的图象的一条对称轴是（）A. B. C. D. 6. 已知满足，，则（）A.B. C.D. 7. 已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，要得到函数.240︒a b a b ⋅=4-2-πsin y x=cos y x=tan2y x=sin cos y x x=a b()0,1a = 1b = a b -=r r ,a b 〈〉= π6π3π22π3()()sin 0f x x x ωωω=>2y =π()f x π12x =π6x =5π12x =5π6x =ABC V AB AC =tan 2B =tan A =4343-4545-()()sin f x A x ωϕ=+0A >0ω>π2ϕ<的图象，只需将函数的图象（）A向左平移个单位B. 向左平移个单位C. 向右平移个单位D. 向右平移个单位8. 若，则（）A.B. C.D. 9. 已知函数．则“”是“为奇函数”的（）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10. 如图，是轮子外边沿上一点，轮子半径为0.3m.若轮子从图中位置向右无滑动滚动，则当滚动的水平距离为22m 时，下列选项中，关于点的描述正确的是（参考数据：）（）A. 点在轮子的右上位置，距离地面约为0.56mB. 点在轮子的右上位置，距离地面约为0.45mC. 点在轮子的左下位置，距离地面约为0.15mD. 点在轮子的左下位置，距离地面约为0.04m第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 函数的定义域为__________________ .12. 已知向量，，使和的夹角为钝角的的一个取值为________..的2sin 2y x =()f x π3π6π3π6π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin2α=725725-925925-()()cos f x x ϕ=+()()11f f -=-()f x A A 7π21.991≈A A A A tan(4y x π=+(a = ()cos ,sin b θθ= a bθ13. 若函数（）和的图象的对称轴完全重合，则_________，__________.14. 在矩形中，若，，且，则的值为______，的值为______.15. 已知，给出下列四个结论：①对任意的，函数是偶函数；②存在，函数的最大值与最小值的差为4；③当时，对任意的非零实数，；④当时，存在实数，，使得对任意的，都有.其中所有正确结论的序号是_________.三、解答题共6小题，共85分.解答题应写出文字说明，验算步骤或证明过程.16. 在平面直角坐标系中，锐角，均以为始边，终边分别与单位圆交于点，，已知点的纵坐标为，点的横坐标为.（1）直接写出和的值，并求的值；（2）求的值；（3）将点绕点逆时针旋转得到点，求点的坐标.17. 已知函数.（1）求的单调区间；（2）若函数，求的图象的对称中心.18. 在平面直角坐标系中，原点，，，，，，为线段上一点，且.为π()sin()6f x x ω=+0ω>22()cos ()sin ()g x x x ϕϕ=+-+ω=π()6g =ABCD 1AB =13BE BC = AB AE AD AE ⋅=⋅AD AE AC⋅ ()2cos f x x m =+m ∈R ()f x m ∈R ()f x 0m ≠x 22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-≠+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0m =()0,T π∈0x ∈R n ∈Z ()()00f x f x nT =+αβOx A B A 35B 513tan αsin βtan()αβ-π2sin(π)sin()23πcos()cos(3π)2αααα-++--+A O π4C C ()π4sin 3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()f x ()()cos g x f x x =()g x O ()2,2A ()3,B m (),4C n AB AC ⊥ //BC OAP BC PC BC λ=（1）求，的值；（2）当时，求；（3）求的取值范围.19. 已知函数，其中.再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使存在，并完成下列两个问题.（1）求的值；（2）若函数在区间上的取值范围是，求的取值范围.条件①；条件②是的一个零点；条件③.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.20. 如图是两个齿轮传动的示意图，已知上、下两个齿轮的半径分别为1和2，两齿轮中心，在同一竖直线上，且，标记初始位置点为下齿轮的最右端，点为上齿轮的最下端，以下齿轮中心为坐标原点，如图建立平面直角坐标系，已知下齿轮以每秒1弧度的速度逆时针旋转，并同时带动上齿轮转动，转动过程中，两点的纵坐标分别为，、转动时间为秒（）.（1）当时，求点绕转动的弧度数；（2）分别写出，关于转动时间的函数表达式，并求当满足什么条件时，；（3）求的最小值.21. 对于定义在上的函数，如果存在一组常数，，…，（为正整数，且），使得，，则称函数为“阶零m n 35λ=cos APC ∠PA PC ⋅()sin(2)cos 2f x x x ϕ=++π||2ϕ<()f x ϕ()f x []0,m 1[,1]2m π(16f =-π12-()f x (0)3π(f f =2O 1O 125O O =A B 1O xOy A B 1y 2y t 0t ≥1t =B 2O 1y 2y t t 2 5.5y ≥21y y -R ()y f x =1t 2t k t k 120k t t t =<<< x ∀∈R 12((0))()k f x t f x t f x t ++++++= ()f x k和函数”.（1）若函数，，请直接写出，是否为“2阶零和函数”；（2）判断“为2阶零和函数”是“为周期函数”什么条件（用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要”回答），并证明你的结论；（3）判断下列函数是否为“3阶零和函数”，并说明理由.，.的11()x f x =+2()sin f x x =1()f x 2()f x ()f x ()f x 3cos 2cos5cos8()f x x x x =++4cos 2cos3cos 4()f x x x x =++北京师范大学附属实验中学2023-2024学年高一下学期期中测验数学简要答案第一部分（选择题，共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.【1题答案】【答案】C 【2题答案】【答案】A 【3题答案】【答案】D 【4题答案】【答案】D 【5题答案】【答案】A 【6题答案】【答案】A 【7题答案】【答案】D 【8题答案】【答案】B 【9题答案】【答案】C 【10题答案】【答案】B第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.【11题答案】【答案】|,4x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭【12题答案】【答案】（答案不唯一）【13题答案】【答案】①. 2②.或1【14题答案】【答案】①.②. 【15题答案】【答案】①②④三、解答题共6小题，共85分.解答题应写出文字说明，验算步骤或证明过程.【16题答案】【答案】（1），；（2）10；（3）.【17题答案】【答案】（1）单调增区间为；单调减区间为（2）【18题答案】【答案】（1）；（2）（3）.【19题答案】【答案】（1）条件选择略，；（2）.【20题答案】π2-1-2312tan ,sin 413αβ==33tan )6(5αβ-=-π5π2π,2π66k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()Z k ∈5π11π2π,2π66k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()Z k ∈ππ,26k ⎛+⎝()Z k ∈1,8m n =-=[8,10]-π6ϕ=-ππ63m ≤≤【答案】（1）2（2），，满足（3）【21题答案】【答案】（1）不是，是；（2）充分不必要条件，证明略；（3）是，不是，理由略.12sin y t =2π5sin 22y t ⎛⎫=+-⎪⎝⎭t π2πππ,N 33t k t k k ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭721()f x 2()f x 3()f x 4()f x。

高一下学期第一次月考数学试卷 (34)

高一下册数学第一次月考试题一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分） 1.在四边形ABCD 中，给出下列四个结论，其中一定正确的是 A ．AB BC CA += B ． BC CD BD += C ．AB AD AC += D ． AB AD BD -=2.设扇形的弧长为2，面积为2，则扇形中心角的弧度数是（） A ．1B ．4C ．1或4D ．π3.已知sin 3cos x x =，则sin cos x x 的值是( )·A. 16B. 15C. 310D. 294．设向量a ，b 满足||1,||3,()0a a b a a b =-=⋅-=，则|2|a b +=（） A ．2 B ．23 C ．4D ．435.函数的定义域为（） A ．B ．C ．D ．6.已知函数且恒过定点P ，则点P 的坐标为 A ．B ．C ．D ．7.在边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则EM ·EC 的取值范围是( )A.[12，2]B.[0，32]C.[12，32] D.[0,1]8.在△ABC 中，D 是BC 中点，E 是AB 中点，CE 交AD 于点F ，若，则λ+u=（） A ．B ．C ．D ．19.函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（） A ． B ． C ．D ．10.已知函数53()4321f x x x x =+++，则212(log 3)(log 3)f f +=（）A ．2B ．1C ．0D ．1- 11.将函数y=sin （x+）cos （x+）的图象沿x 轴向右平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的取值不可能是（） A ．B ．﹣C ．D ．12.已知向量，满足||=，||=1，且对任意实数x ，不等式|+x|≥|+|恒成立，设与的夹角为θ，则tan2θ=（）A ．﹣B ．C ．﹣D ．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.已知向量，的夹角为，且|=1，，|= ．14.已知，，且，则向量在向量的方向上的投影为__________．15.已知定义在R +上的函数f （x ）=，设a ，b ，c 为三个互不相同的实数，满足，f （a ）=f （b ）=f （c ），则abc 的取值范围为 16.关于函数f (x )=4sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3π2x (x ∈R )，有下列命题：①函数 y = f (x )的表达式可改写为y = 4cos(2x －π6 )； ②函数 y = f (x )是以2π为最小正周期的周期函数；③函数 y = f (x )的图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛-0 6π，对称； ④函数 y = f (x )的图象关于直线x = - π6 对称. 其中正确的是 .三、解答题：（本题共6小题,共70分,解答过程应写出文字说明,证明过程或演算步骤）17.设全集是实数集R ，集合{}R x x A x ∈≤≤=，6442 ，集合 {}R x a x x B ∈<+=,02，(1) 当 4-=a 时，求 B A ； (2) 若B B A C R = )(，求实数a 的取值范围.18.已知函数()x x x x x f 2cos 21cos sin 32sin 2-+=，R x ∈。

北京市2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题含答案

北京2023—2024学年第二学期期中练习高一数学（答案在最后）2024.04说明：本试卷共4页，共120分.考试时长90分钟.一､选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.sin120︒的值等于（）A.12-B.12C.2D.2【答案】D 【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值得到2，从而可求解.【详解】由题意可得sin1202︒=，故D 正确.故选：D.2.若角α的终边过点()4,3，则πsin 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.45B.45-C.35D.35-【答案】A 【解析】【分析】根据余弦函数定义结合诱导公式计算求解即可.【详解】因为角α的终边过点()4,3，所以4cos 5α==，所以π4sin cos 25αα⎛⎫+== ⎪⎝⎭.故选：A3.已知扇形的弧长为4cm ，圆心角为2rad ，则此扇形的面积是（）A.22cmB.24cm C.26cm D.28cm 【答案】B【解析】【分析】由条件结合弧长公式l R α=求出圆的半径，然后结合扇形的面积公式12S lR =可得答案．【详解】因为扇形的圆心角2rad α=，它所对的弧长4cm l =，所以根据弧长公式l R α=可得，圆的半径2R =，所以扇形的面积211424cm 22S lR ==⨯⨯=；故选：B ．4.向量a ，b ，c在正方形网格中的位置如图所示，若向量c a b λ=+，则实数λ=（）A.2-B.1-C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】将3个向量的起点归于原点，根据题设得到它们的坐标，从而可求λ的值.【详解】如图，将,,a b c的起点平移到原点，则()()()1,1,0,1,2,1a b c ==-= ，由c a b λ=+可得()()()2,11,10,1λ=+-，解得2λ=，故选：D.5.下列四个函数中以π为最小正周期且为奇函数的是（）A.()cos2f x x =B.()tan2x f x =C.()()tan f x x =- D.()sin f x x=【答案】C 【解析】【分析】根据三角函数的周期性和奇偶性对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A ，函数()cos2f x x =的最小正周期为π，因为()()()cos 2cos 2f x x x f x -=-==，所以()cos2f x x =为偶函数，A 错误，对于B ，函数()tan 2xf x =的最小正周期为2π，因为()()tan tan 22x x f x f x ⎛⎫-=-=-=- ⎪⎝⎭，所以函数()tan 2x f x =为奇函数，B 错误，对于C ，函数()()tan f x x =-的最小正周期为π，因为()()()tan tan f x x x f x -==--=-，所以函数()()tan f x x =-为奇函数，C 正确，对于D ，函数()sin f x x =的图象如下：所以函数()sin f x x =不是周期函数，且函数()sin f x x =为偶函数，D 错误，6.在ABC 中，4AB =，3AC =，且AB AC AB AC +=- ，则AB BC ⋅= （）A.16B.16- C.20D.20-【答案】B 【解析】【分析】将AB AC AB AC +=- 两边平方，即可得到0AB AC ⋅=，再由数量积的运算律计算可得.【详解】因为AB AC AB AC +=- ，所以()()22AB ACAB AC +=-，即222222AB AB AC AC AB AB AC AC +⋅+=-⋅+uu u r uu u r uuu r uuu r uu u r uu u r uuu r uuu r ，所以0AB AC ⋅= ，即AB AC ⊥ ，所以()220416AB BC AB AC AB AB AC AB ⋅=⋅-=⋅-=-=- .故选：B7.函数cos tan y x x =⋅在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的图像为（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】分别讨论x 在3,,[,)22ππππ⎛⎫⎪⎝⎭上tan x 的符号，然后切化弦将函数化简，作出图像即可.【详解】因为3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin ,,23sin ,.2x x y x x πππ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩故选：C.8.已知函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则“()ππ8k k α=+∈Z ”是“()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】【分析】首先求出()f x α+、()f x α-的解析式，再根据正弦函数的性质求出使()f x α+是偶函数且()f x α-是奇函数时α的取值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】因为()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则()sin 224f x x ααπ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，()sin 224f x x ααπ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，若()f x α-是奇函数，则112π,Z 4k k απ-+=∈，解得11π,Z 82k k απ=-∈，若()f x α+是偶函数，则222π,Z 42k k αππ+=+∈，解得22π,Z 82k k απ=+∈，所以若()f x α+是偶函数且()f x α-是奇函数，则π,Z 82k k απ=+∈，所以由()ππ8k k α=+∈Z 推得出()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数，故充分性成立；由()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数推不出()ππ8k k α=+∈Z ，故必要性不成立，所以“()ππ8k k α=+∈Z ”是“()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数”的充分不必要条件.故选：A9.已知向量,,a b c 共面，且均为单位向量，0a b ⋅= ，则a b c ++ 的最大值是（）A.1+ B.C.D.1-【答案】A 【解析】【分析】根据题意，可设出向量,,a b c 的坐标，由于这三个向量都是单位向量，则向量,,a b c的终点都落在以坐标原点为圆心的单位圆上，作出示意图，由向量的性质可知，只有当c 与a b +同向时，a b c ++ 有最大值，求解即可.【详解】因为向量,,a b c 共面，且均为单位向量，0a b ⋅= ，可设()1,0a =，()0,1b = ，(),c x y = ，如图，所以2a b += ，当c 与a b +同向时，此时a b c ++ 有最大值，为21+.故选：A .10.窗花是贴在窗户玻璃上的贴纸，它是中国古老的传统民间艺术之一在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）．已知正方形ABCD 的边长为2，中心为O ，四个半圆的圆心均为正方形ABCD 各边的中点（如图2），若P 为 BC 的中点，则()PO PA PB ⋅+=（）A .4B.6C.8D.10【答案】C 【解析】【分析】根据平面向量的线性运算将()PO PA PB ⋅+ 化为OA 、OB 、OP表示，再根据平面向量数量积的运算律可求出结果.【详解】依题意得||||2OA OB ==，||2OP =，3π4AOP =Ð，π4BOP =Ð，所以3π2||||cos 22(242OA OP OA OP ⋅=⋅=⨯-=- ，π2||||cos 22242OB OP OB OP ⋅=⋅=⨯= ，所以()PO PA PB ⋅+= ()OP OA OP OB OP -⋅-+- 22||OA OP OB OP OP =-⋅-⋅+ 222228=-+⨯=.故选：C二､填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上）11.写出一个与向量()3,4a =-共线的单位向量_____________.【答案】34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭（答案不唯一）【解析】【分析】先求出a r ，则aa±即为所求.【详解】5a ==所以与向量()3,4a =- 共线的单位向量为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭（答案不唯一）12.已知函数()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图，则π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________.【解析】【分析】根据图象可得函数()f x 的最大值，最小值，周期，由此可求,A ω，再由5π212f ⎛⎫=⎪⎝⎭求ϕ，由此求得的解析式，然后求得π3f ⎛⎫⎪⎝⎭.【详解】由图可知，函数()f x 的最大值为2，最小值为2-，35ππ3π41234T =+=，当5π12x =时，函数()f x 取最大值2，又()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭所以2A =，32π3π44ω⨯=，所以2ω=，所以()()2sin 2f x x ϕ=+，又5π212f ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以5π5π2sin 2126f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于πππ5π4π,22363ϕϕ-<<<+<，所以5πππ,623ϕϕ+==-，所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，ππ2sin 33f ⎛⎫== ⎪⎝⎭.13.已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则ϕ=__________.，若将函数()f x 图象仅向左平移π4个单位长度和仅向右平移π2个单位长度都能得到同一个函数的图象，则ω的最小值为__________.【答案】①.π6##1π6②.83##223【解析】【分析】由条件列方程求ϕ，再利用平移变换分别得到变换后的函数解析式，并根据相位差为2π,Z k k ∈求解；【详解】因为函数()()sin f x x ωϕ=+的图象过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以1sin 2ϕ=，又π2ϕ<，所以π6ϕ=，函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）的图象仅向左平移π4个单位长度得到函数ππππsin sin 4646y x x ωωω⎡⎛⎫⎤⎛⎫=++=++ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎦⎝⎭⎣的图象，函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）的图象仅向右平移π2个单位长度得到ππππsin sin 2626y x x ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，则ππππ2π4626k ωω⎛⎫⎛⎫+--+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（Z k ∈），化简得3π2π4k ω=（Z k ∈），解得83k ω=（Z k ∈），由于0ω>，所以当1k =时，ω取得最小值83，故答案为：π8,63．14.已知边长为2的菱形ABCD 中，π3DAB ∠=，点E 满足3BE EC = ，点F 为线段BD 上一动点，则AF BE ⋅的最大值为______.【答案】3【解析】【分析】建立如图平面直角坐标系，设BF BD λ= ，利用平面向量线性运算与数量积的坐标表示可得AF BE⋅关于λ的表达式，从而得解.【详解】如图，以A为原点建立平面直角坐标系，则(0,0),(2,0),A B C D ，因为3BE EC =，所以(33333,4444BE BC ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭，由题意，设()01BF BD λλ=≤≤，则(()BF λλ=-=- ，则()()()2,02,AF AB BF λλ=+=+-=-，所以()3333324422AF BE λλ⋅=-+=+，因为01λ≤≤，所以当1λ=时，AF BE ⋅的最大值为3.故答案为：3.15.声音是由物体振动产生的声波.我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数sin y A t ω=.音有四要素，音调､响度､音长和音色.它们都与函数sin y A t ω=及其参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖锐.我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音.我们听到的声音对应的函数是111sin sin 2sin 3sin 4234y x x x x =++++⋯..给出下列四个结论：①函数1111sin sin 2sin 3sin 4sin1023410y x x x x x =++++⋯+不具有奇偶性；②函数()111sin sin2sin3sin4234f x x x x x =+++在区间ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；③若某声音甲对应的函数近似为()11sin sin 2sin 323g x x x x =++，则声音甲的响度一定比纯音()1sin22h x x =的响度小；④若某声音乙对应的函数近似为()1sin sin 22x x x ϕ=+，则声音乙一定比纯音()1sin22h x x =更低沉.其中所有正确结论的序号是__________.【答案】②④【解析】【分析】对①，结合奇偶性的定义判断即可；对②，利用正弦型函数的单调性作出判断；对③，分别判断()(),g x h x 的振幅大小可得；对④，求出周期，可得频率，即可得出结论.【详解】对于①，令()1111sin sin2sin3sin4sin1023410F x x x x x x =++++⋯+，所以()()()()()()1111sin sin 2sin 3sin 4sin 1023410F x x x x x x -=-+-+-+-+⋯+-，所以()1111sin sin2sin3sin4sin1023410F x x x x x x -=-----⋅⋅⋅-，所以()()F x F x -=-，所以()F x 是奇函数，①错误；对于②，由ππ88x -≤≤可得，ππ244x -≤≤，3π3π388x -≤≤，ππ422x -≤≤，所以111sin ,sin2,sin3,234x x x x 都在ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()111sin sin2sin3sin4234f x x x x x =+++在ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以函数()f x 在区间ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，②正确；对于③．因为()11sin sin 2sin 323g x x x x =++，所以π223g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()max 23g x ≥，即()g x 的振幅比()1sin22h x x =的振幅大，所以声音甲的响度一定比纯音()1sin22h x x =的响度大，所以③错误；对于④，因为()()()()112πsin 2πsin 24πsin sin 222x x x x x x ϕϕ+=+++=+=，所以函数()x ϕ为周期函数，2π为其周期，若存在02πα<<，使()()x x ϕϕα=+恒成立，则必有()()0ϕϕα=，()()110sin 0sin 00sin sin 222ϕϕααα∴=+===+，()sin 1cos 0αα∴+=，因为02πα<<，πα∴=，又()()()11πsin πsin 2πsin sin 222x x x x x ϕ+=+++=-+与()1sin sin 22x x x ϕ=+不恒相等，所以函数()1sin sin22x x x ϕ=+的最小正周期是2π，所以频率1112πf T ==而()h x 的周期为π，频率21πf =，12f f <，所以声音乙一定比纯音()1sin22h x x =更低沉，所以④正确．故答案为：②④.三､解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.如图，在ABC 中，2BD DC = ，E 是AD 的中点，设AB a = ，AC b = .（1）试用a ，b 表示AD ，BE ；（2）若1a b == ，a 与b 的夹角为60︒，求AD BE ⋅ .【答案】（1）1233AD a b =+ ，5163BE a b =-+ （2）518-【解析】【分析】（1）利用向量加法减法的三角形法则及数乘运算即可求解；（2）根据（1）的结论，利用向量的数量积运算法则即可求解.【小问1详解】因为2BD DC = ，所以23BD BC = ，所以221)212(333333AB AC AB AB AC a b AD AB BD AB BC +-=+=+=+=+= .因为E 是AD 的中点，所以()11211()22323BE BA BD AB BC AB AC AB ⎛⎫=+=-+=-+- ⎪⎝⎭ 51516363AB AC a b =-+=-+ .【小问2详解】因为1a b == ，a 与b 的夹角为60︒，所以11cos ,1122a b a b a b ⋅==⨯⨯= ，由（1）知，1233AD a b =+ ，5163BE a b =-+ ，所以22125154233631899AD BE a b a b a a b b ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=--⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭541251892918=--⨯+=-.17.已知函数()π3sin 24f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭（1）求()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 的单调递增区间；（3）若函数()f x 在区间[]0,a 内只有一个零点，直接写出实数a 的取值范围.【答案】（1）()f x 的最小正周期为π，（2）函数()f x 的单调递增区间是3πππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ；（3）a 的取值范围为3π7π,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【解析】【分析】（1）根据正弦型函数的周期公式求解即可；（2）利用正弦函数的单调区间结论求解；（3）求出()0f x =的解后可得a 的范围．【小问1详解】因为()π3sin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==；【小问2详解】由πππ2π22π242k x k -≤+≤+，Z k ∈，可得3ππππ88k x k -≤≤+，Z k ∈，所以函数()f x 的单调递增区间是3πππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ；【小问3详解】由π()3sin(204f x x =+=可得，π2π4x k +=，Z k ∈所以ππ28k x =-，Z k ∈，因为函数()f x 在区间[]0,a 上有且只有一个零点，所以3π7π88a ≤<，所以实数a 的取值范围为3π7π,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭.18.已知()()()4,0,0,4,cos ,sin ,(0π)A B C ααα<<.（1）若OA OC += （O 为坐标原点），求OB 与OC 的夹角；（2）若⊥ AC BC ，求sin cos αα-的值.【答案】（1）OB 与OC 的夹角为π6，（2）sin cos 4αα-=【解析】【分析】（1）根据向量模长以及夹角的坐标公式计算即可；（2）由向量垂直得到数量积为0，进而得到1sin cos 4αα+=，通过平方得到2sin cos αα，进而可得()2sin cos αα-，再根据α的范围确定正负，开方得解.【小问1详解】因为()()()4,0,0,4,cos ,sin A B C αα，所以()()()4,0,0,4,cos ,sin OA OB OC αα=== ，所以()4cos ,sin OA OC αα+=+ ，由OA OC += ()224+cos sin 21αα+=，所以1cos 2α=，又0πα<<，，所以π3α=，13,22C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设OB 与OC 的夹角为β()0πβ≤≤，则cos OB OC OB OC β⋅= 23342==,又0πβ≤≤，故OB 与OC 的夹角为π6，【小问2详解】由⊥ AC BC 得0AC BC ⋅= ，又()cos 4,sin AC αα=- ，()cos ,sin 4BC αα=- ，所以()()cos 4cos sin sin 40αααα-+-=，所以1sin cos 4αα+=，所以152sin cos 016αα-=<，又0πα<<，所以ππ2α<<,所以()21531sin cos 11616αα--=-=，所以sin cos 4αα-=.19.已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭，且()f x 图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2，再从条件①､条件②､条件③中选择两个作为一组已知条件.（1）确定()f x 的解析式；（2）设函数()π24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则是否存在实数m ，使得对于任意1π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，存在2π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()12m g x f x =-成立？若存在，求实数m 的取值范围：若不存在，请说明理由.条件①：()f x 的最小值为2-；条件②：()f x 图像的一个对称中心为5π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭；条件③：()f x 的图像经过点5π,16⎛⎫- ⎪⎝⎭.注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）选①②，②③，①③答案都为()2sin(2)6f x x π=+，（2）存在m 满足条件，m 的取值范围为2,0⎤⎦.【解析】【分析】（1）先根据已知求出()f x 的最小正周期，即可求解ω，选条件①②：可得()f x 的最小值为A -，可求A ．根据对称中心可求ϕ，即可得解函数解析式；选条件①③：可得()f x 的最小值为A -，可求A ．根据函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫⎪⎝⎭，可求ϕ，可得函数解析式；选条件②③：根据对称中心可求ϕ，再根据函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫⎪⎝⎭，可求A 的值，即可得解函数解析式．（2）求出函数()f x ，()g x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域，再结合恒成立、能成立列式求解作答.【小问1详解】由于函数()f x 图像上两相邻对称轴之间的距离为π2，所以()f x 的最小正周期π2π2T =⨯=，所以2π2T ω==，此时()()sin 2f x A x ϕ=+.选条件①②：因为()f x 的最小值为A -，所以2A =．因为()f x 图象的一个对称中心为5π,012⎛⎫⎪⎝⎭，所以5π2π(Z)12k k ϕ⨯+=∈，所以56k ϕπ=π-，()k ∈Z ，因为||2ϕπ<，所以π6ϕ=，此时1k =，所以()2sin(2)6f x x π=+．选条件①③：因为()f x 的最小值为A -，所以2A =．因为函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫-⎪⎝⎭，则5π()16f =-，所以5π2sin()13ϕ+=-，即5π1sin()32ϕ+=-．因为||2ϕπ<，所以7π5π13π636ϕ<+<，所以5π11π36ϕ+=，所以π6ϕ=，所以()2sin(2)6f x x π=+．选条件②③：因为函数()f x 的一个对称中心为5π,012⎛⎫⎪⎝⎭，所以5π2π(Z)12k k ϕ⨯+=∈，所以5ππ(Z)6k k ϕ=-∈．因为||2ϕπ<，所以π6ϕ=，此时1k =．所以π()sin(26f x A x =+．因为函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫-⎪⎝⎭，所以5π(16f =-，所以5ππsin 136A ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，11πsin 16A =-，所以2A =，所以()2sin(2)6f x x π=+．综上，不论选哪两个条件，()2sin(2)6f x x π=+.【小问2详解】由（1）知，()2sin(2)6f x x π=+，由20,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得：2ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，2π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，因此[]2()1,2f x ∈-，由10,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得：1ππ5π2,444x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1πsin 2,142x ⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，因此1()g x ⎡∈-⎣，从而1()1,g x m m m ⎡-∈---+⎣，由()()12m g x f x =-得：()()21f x g x m =-，假定存在实数m ，使得对1π0,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，()()12m g x f x =-成立，即存在实数m ，使得对1π0,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，()()21f x g x m =-成立，则[]1,1,2m m ⎡---+⊆-⎣，于是得112m m --≥-⎧⎪⎨-+≤⎪⎩，解得20m -≤≤，因此存在实数m ，使得对1π0,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，()()12m g x f x =-成立，所以实数m的取值范围是2,0⎤⎦.20.对于定义在R 上的函数()f x 和正实数T 若对任意x ∈R ，有()()f x T f x T +-=，则()f x 为T -阶梯函数.（1）分别判断下列函数是否为1-阶梯函数（直接写出结论）：①()2f x x =；②()1f x x =+.（2）若()sin f x x x =+为T -阶梯函数，求T 的所有可能取值；（3）已知()f x 为T -阶梯函数，满足：()f x 在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且对任意x ∈R ，有()()2f T x f x T x --=-.若函数()()F x f x ax b =--有无穷多个零点，记其中正的零点从小到大依次为123,,,x x x ⋅⋅⋅；若1a =时，证明：存在b ∈R ，使得()F x 在[]0,2023T 上有4046个零点，且213240464045x x x x x x -=-=⋅⋅⋅=-.【答案】（1）①否；②是（2）2πT k =，*k ∈N （3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用T -阶梯函数的定义进行检验即可判断；（2）利用T -阶梯函数的定义，结合正弦函数的性质即可得解；（3）根据题意得到()()F x T F x +=，()()F T x F x -=，从而取3344TT b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合零点存在定理可知()F x 在(),1mT m T +⎡⎤⎣⎦上有且仅有两个零点：4T mT +，34T mT +，从而得解.【小问1详解】()2f x x =，则22(1)()(1)211f x f x x x x +-=+-=+≠；()1f x x =+，则(1)()11f x f x x x +-=+-=，故①否；②是.【小问2详解】因为()f x 为T -阶梯函数，所以对任意x ∈R 有：()()()()()sin sin sin sin f x T f x x T x T x x x T x T T +-=+++-+=+-+=⎡⎤⎣⎦.所以对任意x ∈R ，()sin sin x T x +=，因为sin y x =是最小正周期为2π的周期函数，又因为0T >，所以2πT k =，*k ∈N .【小问3详解】因为1a =，所以函数()()F x f x x b =--，则()()()()()()()F x T f x T x T b f x T x T b f x x b F x +=+-+-=+-+-=--=，()()()()()()()2F T x f T x T x b f x T x T x b f x x b F x -=----=+----=--=.取3344TT b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则有3330444TT T F f b ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，30444T T T F F T F ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由于()f x 在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因此()()F x f x x b =--在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，结合()()F T x F x -=，则有()F x 在0,2T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点4T ，在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点34T .又由于()()F x T F x +=，则对任意k ∈Ζ，有044T T F kT F ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33044T T F kT F ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此，对任意m ∈Z ，()F x 在(),1mT m T +⎡⎤⎣⎦上有且仅有两个零点：4T mT +，34T mT +.综上所述，存在3344TT b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，使得()F x 在[]0,2023T 上有4046个零点，且14T x =，234T x =，354T x =，474T x =，L ，404580894T x =，404680914T x =，其中，2132404640452T x x x x x x -=-=⋅⋅⋅=-=.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是充分理解新定义T -阶梯函数，从而在第3小问推得()()F x T F x +=，()()F T x F x -=，由此得解.。

北京市首都师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题(含简单答案)

首都师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学第Ⅰ卷（共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）1. 下列函数中，既是偶函数又是周期为函数为（）．A. B. C. D.2. 已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（）．A. B. C.D. 3. 角的度量除了有角度制和弧度制之外，在军事上角的度量还有密位制，密位制的单位是密位．1密位等于周角的，即弧度密位．在密位制中，采用四个数字来记一个角的密位数．且在百位数字与十位数字之间画一条短线，例如3密位写成，123密位写成，设圆的半径为1，那么密位的圆心角所对的弧长为（）A.B.C.D.4. 已知点A （1，2），B （3，7），向量，则A. ，且与方向相同B. ，且与方向相同C. ，且与方向相反D. ，且与方向相反5. 关于函数，则下列结论中：①为该函数的一个周期；②该函数的图象关于直线对称；③将该函数的图象向左平移个单位长度得到的图象：④该函数在区间上单调递减.所有正确结论的序号是（）A. ①②B. ③④C. ①②④D. ①③④的πsin y x=cos y x=tan2y x=cos2y x=α(),6P x 3sin 5α=x =4-4±8-8±160002π3606000=︒=003-123-1000-π6π4π3π2(,1),//a x AB a =-25x =AB a25x =-AB a25x =AB a 25x =-AB a π3cos 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭π-π3x =π63cos 2y x =ππ,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦6. 设，是两个不共线向量，则“与的夹角为钝角”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知函数，，其图象如下图所示.为得到函数图象，只需先将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再（）A. 向右平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向左平移个单位8. 若P 是内部或边上的一个动点，且，则的最大值是（）A.B.C. 1D. 29. 如图，质点在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针作匀速圆周运动，的角速度大小为，起点为射线与的交点．则当时，动点的纵坐标关于（单位：）的函数的单调递增区间是（）A. B. C. D. 10. 如图，圆M 为的外接圆，，，N 为边BC 的中点，则（）的a b a b()a ab ⊥+ 111()sin()f x A x ωϕ=+222()sin()g x A x ωϕ=+()g x ()f x 12π6π12π6π3ABC V AP xAB y AC =+xy 1412P O P 2rad /s 0P ()0y x x =-≥O e 012t ≤≤P y t s π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦7π11π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦11π15π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦3π11π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦ABC V 4AB =6AC =AN AM ⋅=A. 5B. 10C. 13D. 26第Ⅱ卷（共80分）二、填空题（本大题共5小题，敏小题5分，共25分）11 _________.12. 已知是第四象限角，且，则______，______．13. 在正方形网格中的位置如图所示，则______，向量在向量上的投影的数量为______．14. 已知函数的图象关于直线对称，且在上单调，则的最大值为_____.15 已知函数，给出下列四个结论：①存在无数个零点；②在上有最大值；③若，则；④区间是的单调递减区间．其中所有正确结论的序号为__________．三、解答题（本大题共5小题，共55分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）16. 如图，在平行四边形ABCD 中，，．设，．..sin 330︒=α5tan 12α=-cos α=πcos()2α+=,a b ,a b 〈〉=a b ()()cos 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭1110x π=()f x ,6m π⎡⎤⎢⎥⎣⎦m ()2sin πxf x x x=-()f x ()f x ()1,+∞()2023.7f a =()2022.7f a -=1,12⎛⎫⎪⎝⎭()f x 2AE AB = 13DF DE = AB a =AD b =（1）用，表示，；（2）用向量的方法证明：A ，F ，C 三点共线．17. 已知函数，其中，且的图象过点．（1）求的值；（2）求的单调减区间和对称中心的坐标；（3）若，函数在区间上最小值为，求实数的取值范围．18. 在平面直角坐标系中，已知点，点是直线上的一个动点．（1）求的值；（2）若四边形是平行四边形，求点的坐标；（3）求的最小值．19. 在条件①对任意的，都有；条件②最小正周期为；条件③在上为增函数，这三个条件中选择两个，补充在下面的题目中，并解答．已知，若______，则唯一确定．（1）求的解析式；（2）设函数，对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．20. 设（为正整数），对任意的，，定义（1）当时，，，求；a b AC DE()sin(2)f x x ϕ=-π||2ϕ<()y f x =π(,0)12ϕ()f x 0m >()f x []0,m 12-m xOy ()()()3,3,5,1,2,1A B P M OP PA PB -APBQ Q MA MB ⋅x ∈R ()π6f x f x ⎛⎫-=⎪⎝⎭()f x π()f x 5ππ,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()()()sin ,0,02πf x x ωϕωϕ=+>≤<,ωϕ()f x ()π216g x f x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ππ,612x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()()210g x mg x --≤m (){}{}12,,,0,1,1,2,,n niS x x x x i n =⋯∈=⋯n ()12,,,nx x x α=⋅⋅⋅()12,,,n y y y β=⋅⋅⋅1122n nx y x y x y αβ⋅=++⋅⋅⋅+3n =()1,1,0α=()1,0,1β=αβ⋅（2）当时，集合，对于任意，，均为偶数，求A 中元素个数的最大值；（3）集合，对于任意，，，均有，求A 中元素个数的最大值．3n =n A S ⊆αA β∈αβ⋅n A S ⊆αA β∈αβ≠0αβ⋅≠首都师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学简要答案第Ⅰ卷（共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）【1题答案】【答案】D 【2题答案】【答案】C 【3题答案】【答案】C 【4题答案】【答案】D 【5题答案】【答案】C 【6题答案】【答案】B 【7题答案】【答案】A 【8题答案】【答案】A 【9题答案】【答案】B 【10题答案】【答案】C第Ⅱ卷（共80分）二、填空题（本大题共5小题，敏小题5分，共25分）【11题答案】【答案】【12题答案】12【答案】 ①.②.【13题答案】【答案】①②.【14题答案】【答案】【15题答案】【答案】①②③三、解答题（本大题共5小题，共55分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）【16题答案】【答案】（1），；（2）略【17题答案】【答案】（1）；（2），；（3）.【18题答案】【答案】（1）（2）；（3）.【19题答案】【答案】（1）（2）【20题答案】【答案】（1）1 （2）4（3）.12135133π43π5A C a b =+2DE a b =- π6ϕ=π5π[π,π](Z)36k k k ++∈()ππ,0Z 122k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭2π(0,3(6,3)2-()π()sin 32f x x +=8[,)3+∞12n -。

北京市中国人民大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中练习数学试题

人大附中2023～2024学年度第二学期高一年级数学期中练习2024年4月23日制卷人：宁少华王鼎审卷人：吴中才说明：本试卷共六道大题，共7页，满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（共18题，满分100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1.在平行四边形ABCD 中，BA DA += （）A.CAB.ACC.BDD.DB【答案】A 【解析】【分析】利用向量加法的平行四边形法则求解即得.【详解】在ABCD Y 中，,BA CD DA CB ==，所以BA DA CD CB CA +=+=.故选：A2.已知角α终边上一点(1,)P y ，若cos 5α=，则y 的值为（）A.B.2C.D.2±【答案】D 【解析】【分析】利用余弦函数的定义列式计算即得.【详解】由角α终边上一点(1,)P y ，得r =，因此5cos 5α==，解得2y =±，所以y 的值为2±.故选：D3.下列函数中，既是偶函数又在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递增的是（）A.tan y x= B.sin y x= C.cos y x= D.sin y x x=【答案】D 【解析】【分析】根据奇偶性的定义判断排除AB ，再由单调性排除C 的可得．【详解】由三角函数性质知选项AB 中函数都是奇函数，C 中函数是偶函数，但它在π(0,)2上是减函数，也排除，只有D 可选，实际上，记()sin f x x x =，则()sin()sin ()f x x x x x f x -=--==，它是偶函数，又设12π02x x <<<，则120sin sin x x <<，因此1122sin sin x x x x <，即12()()f x f x <，()f x 在π(0,)2上是增函数，满足题意．故选：D ．4.已知P 为ABC 所在平面内一点，2BC CP =uuu r uur，则（）A .1322AP AB AC =-+uuu r uuur uuu r B.1233AP AB AC=+C.3122AP AB AC =-uuu r uuu r uuu r D.2133AP AB AC =+uuu r uuu r uuu r 【答案】A 【解析】【分析】根据题意作出图形，利用向量线性运算即可得到答案.【详解】由题意作出图形,如图,则11()22AP AC CP AC BC AC AC AB =+=+=+-1322AB AC =-+，故选：A.5.把函数()sin 2f x x =的图象按向量π(,1)6m =- 平移后，得到新函数的解析式为（）A.πsin(2)16y x =++B.πsin(2)16y x =-+C.πsin(2)13y x =++ D.πsin(213y x =-+【答案】C 【解析】【分析】把函数()f x 的图象向左平移π6个单位长度，再向上平移1个单位长度，写出解析式即可.【详解】把函数()sin 2f x x =的图象按向量π(,1)6m =- 平移，即把函数()f x 的图象向左平移π6个单位长度，再向上平移1个单位长度，所以得到新函数的解析式为ππsin 2()1sin(2)163y x x =++=++.故选：C6.在人大附中π节活动的入场券中有如下图形，单位圆M 与x 轴相切于原点O ，该圆沿x 轴向右滚动，当小猫头鹰位于最上方时，其对应x 轴的位置正好是π，若在整个运动过程中当圆M 滚动到与出发位置时的圆相外切时（此时记圆心为N ），此时小猫头鹰位于A 处，圆N 与x 轴相切于B ，则劣弧AB 所对应的扇形面积是（）A.1B.2C.π3D.π4【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，求出劣弧AB 的长，再利用扇形面积公式计算即得.【详解】由圆M 与圆N 外切，得2MN =，又圆M 、圆N 与x 轴分别相切于原点O 和B ，则2OB MN ==，依题意，圆M 沿x 轴向右无滑动地滚动，因此劣弧AB 长等于OB 长2，所以劣弧AB 所对应的扇形面积是11212⨯⨯=.故选：A7.已知函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>≠，则“π2π,Z 2k k ϕ=+∈”是“()f x 为偶函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】利用正余弦函数性质，充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】当π2π,Z 2k k ϕ=+∈时，π()si 2n()os π2c f x A x A x k ωω=+=+，()f x 为偶函数；反之，()f x 为偶函数，则π2π,Z 2k k ϕ=+∈或π2π,Z 2k k ϕ=-∈，所以“π2π,Z 2k k ϕ=+∈”是“()f x 为偶函数”的充分不必要条件.故选：A8.已知O 为坐标原点，P 是α终边上一点，其中4cos ,||45OP α==，非零向量a的方向与x 轴正方向相同，若,[0,5]||OQ a a λλ=∈ ，则OP OQ -取值范围是（）A.16,35⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.12,35⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.16,45⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.12,45⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】【分析】根据向量模的坐标表示写出模的表达式，然后由函数性质得结论．【详解】由已知1612(,55P 或1612(,)55-，1612(,)55OP = 或1612(,)55-，(1,0)(,0)OQ a a λλλ=== ，1612(,55OP OQ λ-=-±，OP OQ -= ，又05λ≤≤，所以165λ=时，OP OQ - 取最小值125，0λ=时，OP OQ - 取最大值4，故选：D ．9.函数sin 3sin 5()sin 35x xf x x =++图像可能是（）A.B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】根据函数图象的对称性排除AC ，再结合函数值π()2f 大小排除B ，从而得正确结论．【详解】从四个选项中可以看出，函数的周期性、奇偶性、函数值的正负无法排除任一个选项，但是sin(3π3)sin()sin 3sin 5sin (35π5)(π)sin(π)355x x f x x xx x x f ---=-++=+=+，因此()f x 的图象关于直线π2x =对称，可排除AC ，又3π5πsinsin ππ111322()sin 1122353515f =++=-+=<，排除B ，故选：D ．10.已知函数sin ()xf x x=，下列结论错误的是（）A.()f x 的图像有对称轴B.当(π,0)(0,π)x ∈-⋃时，cos ()1x f x <<C.sin ()xf x x=有最小值 D.方程()cos ln f x x x =-在(1,)π上无解【答案】D 【解析】【分析】选项A ，根据条件可得sin ()xf x x=为偶函数，即可判断选项A 的正误，选项B ，利用偶函数的性质，先判断π()0,x ∈时，cos ()1x f x <<成立，分π,π2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭和π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭两种情况，当π,π2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，利用三角函数的符号即可判断成立，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，利用三角函数的定义及弧长公式，即可判断成立；选项C ，利用sin y x =的周期性及sin ()x f x x=的奇偶性，当0x >，得到sin ()xf x x=存在最小值，则最小值只会在区间()π,2π内取到，再利用导数与函数单调性间的关系，即可判断出选项C 的正误；选项D ，利用零点存在性原理，即可判断出选项D 的正误，从而得出结果.【详解】对于选项A ，易知sin ()xf x x=的定义域为{}|0x x ≠，关于原点对称，又sin()sin ()()x x f x f x x x--===-，所以sin ()xf x x =为偶函数，关于y 轴对称，所以选项A 结论正确，对于选项B ，当π,π2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，cos 0x ≤，又0sin 1x <≤，π12x ≥>，所以sin 0()1x f x x <=<，即当π,π2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，cos ()1x f x <<成立，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，如图，在单位圆中，设OP 是角x 的终边，过A 作x 轴的垂线交OP 于T ，过P 作x 轴的垂线交x 轴于H ，易知 AP x =，由三角函数的定义知，sin ,tan PH x AT x ==，由图易知OPA OAT POA S S S << 扇形，即111222PH x AT <<，得到 PH APAT <<，所以sin tan <<x x x ，即有sin cos 1xx x<<，。

高一下学期数学第一次月考试卷附带答案

高一下学期数学第一次月考试卷附带答案（满分150分时间：120分钟）一.单选题。

（共8小题，每小题5分，共40分） 1.已知（1+i ）z=3－i ，其中i 为虚数单位，则|z |=（） A.5 B.√5 C.2 D.√22.已知复数z=1+2i1+i （i 为虚数单位），则z 的共轭复数z ̅在复平面内对应的点位于（） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.如图，正方形O’A’B’C’的边长为1，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则原图形的周长是（）A.4B.6C.8D.2+2√2（第3题图）（第4题图）4.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2，AA 1=1，则AC 1与平面A 1B 1C 1D 1所成角的正弦值为（） A.2√33B.23C.√24D.135.设b ，c 表示两条直线，α，β表示两个平面，下列命题正确的是（） A.若b ∥α，c ⊂α，则b ∥c B.若b ⊂α，b ∥c ，则c ⊂α C.若c ∥α，α⊥β，则c ⊥β D.若c ∥α，c ⊥β，则α⊥β6.已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，若过直线OP 的平面截圆锥所得的截面是面积为4的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（）A.4√2πB.2√2πC.4πD.（4√2+4）π7.已知圆锥的母线长为10，侧面展开图的圆心角为4π5，则该圆锥的体积为（） A.62√213π B.32√6π C.16√6π D.32√213π8.已知在正方体中，AD 1，A 1D 交于点O ，则（）A.OB⊥平面ACC1A1B.OB⊥平面A1B1CDC.OB∥平面CD1B1D.OB⊥BC1二．多选题.（共4小题，每小题5分，共20分）9.已知复数z=3+4i，下列说法正确的是（）A.复数z的实部为3B.复数z的共轭复数为3－4iC.复数z的虚部为4iD.复数z的模为510.如图，点A，B，C，M，N是正方体的顶点或所在棱的中点，则满足MN∥平面ABC的有（）A. B. C. D.11.如图，一个圆柱盒一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是（）A.圆锥的侧面积为2πR2B.圆柱与球的表面积比为32C.圆柱的侧面积与球的表面积相等D.圆柱与球的体积比为32（第11题图）（第12题图）12.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF 以及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，下列说法正确的是（）A.AG⊥平面EFHB.AH⊥平面EFHC.HF⊥平面AEHD.HG⊥平面AEF二.填空题。

高一数学下学期第一次月考试题试题 6

北师大附中2021-2021学年高一数学下学期第一次月考试题〔无答案〕〔选择题，一共60分〕一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的〕1．数列{a n }的通项公式为a n =3n －1，那么a 5=( )A ．13B ．14C ．15D ．162.ABC ∆中，A 、B 的对边分别是 a b 、，且====b ,4,60,45则a B A 〔〕 A ．22 B ．32 C ． 62 D ．不能确定3.三角形的三条边长为4、6、8，那么此三角形为〔〕{}n a 中，a 4+a 5=15，a 7=12，那么a 2=〔〕 A.23 B.3 C.23- D.3- 5．在ABC ∆中，角A 、B 、C 对应的边为a 、b 、c ，假设3AB AC ⋅=，35cosA =，1c =，那么a 的大小为〔〕 A. 24 B.4413 C.469 D. 52 6. 在ABC ∆中，假设C B A 222sin sin sin +=，那么ABC ∆的形状是， ( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定7. 假设a 、b 、c 成等比数列，那么c bx ax y ++=2的图像与x 轴的交点个数是( )A.0B. 1C. 2D.0或者2 {}n a 的前n 项和332n n S a =-，那么这个数列的通项公式是〔〕 A. 22(1)n a n n =++ B. 32n n a =⋅C. 31n a n =+D. 23nn a =⋅9.各项为正的等比数列{a n }中，=+++=⋅82221263log log log ,32a a a a a 则〔〕A.128B.36C.20D.16{}n a 和{b n }的前n 项和分别为Sn 、Tn ，假设1254-+=n n T S n n ，那么=55b a 〔〕 A.925 B.1911 C.1741 D. 19 11. 在△ABC 中，假设sinA:sinB:sinC=3:2:4，那么cosC 的值是〔〕A ．41-B ．41C ．32-D ．3212.两座A 和B 与海洋观察站C 的间隔都等于a km ，A 在观察站C 的北偏东20°，B 在观察站C 的南偏东40°，那么A 与B 的间隔为〔〕A ．a kmB ．a 2 kmC ．a 2 kmD ．a 3 km数学第二卷11.填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕13.在等差数列{a n }中，a 4=9，a 9=－6，那么a n = {}n a 的前n 项和记为S n，n n S n 322+=，那么该数列的通项 n a =__________ 15.在1和16之间插入三个数a 、b 、c 使之成等比数列，那么b=△ABC 中，A =600，b=1,S △ABC =3,那么=++++CB A c b a sin sin sin三．解答题〔本大题一一共6小题，一共70分．解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤．〕17.〔本小题10分〕在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，.a ＝33，c ＝2，B ＝150°，求边b 的长.18.〔本小题12分〕数列{n a }中，a n =n 2－5n+4 〔1〕假设18是该数列的第m 项，求m ；〔2〕n 为何值时，数列{n a }有最小值？并求出此最小值。

2022年北京北大附属实验学校高一数学理月考试卷含解析

2021-2022学年北京北大附属实验学校高一数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知2a=5b=m且=2，则m的值是（）A．100 B．10 C．D．参考答案：C【考点】对数的运算性质．【分析】由已知得m＞0，且a=log2m，b=log5m，从而=log m10=2，由此能示出m 的值．【解答】解：∵2a=5b=m，∴m＞0，且a=log2m，b=log5m，∵=2，∴=log m10=2，∴m2=10，解得m=，或m=﹣（舍）．∴m的值为．故选：C．2. 对于任意的直线l与平面，在平面内必有直线m，使m与l（）A．平行 B．相交 C．垂直 D．互为异面直线参考答案：C3. 设，若的最小值为 ( )A 8B 4C 1 D参考答案：B4. 不等式表示的平面区域是一个（A）三角形（B）直角三角形（C）梯形（D）矩形参考答案：C5. 若函数与函数y=sin2x+acos2x的图象的对称轴相同，则实数a的值为（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】二倍角的余弦；二倍角的正弦；正弦函数的对称性．【分析】先对函数进行变形求出其对称轴，再y=sin2x+acos2x用和角公式变形，求出用参数表示的对称轴，得到关于参数的方程求参数．【解答】解： ==﹣cos（2x+）+，令2x+=kπ，得x=，k∈z故函数的对称轴为x=，k∈z函数y=sin2x+acos2x=sin（2x+θ），tanθ=a令2x+θ=nπ+，可解得x=+﹣，n∈z，故函数y=sin2x+acos2x的对称轴为x=+﹣，n∈z，因为两函数的对称轴相同，不妨令k，n皆为0，此时有﹣=﹣解得θ=∴a=tanθ=﹣．故应选D．【点评】本题考查二倍角公式以及三角函数的性质，在此类题的求参数值的过程中，可考虑特殊情况．6. 函数的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应该是（）A．10 B．11 C．12 D．13参考答案：D【考点】三角函数的周期性及其求法．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】找出ω的值，代入周期公式表示出函数的周期，根据最小正周期不大于2列出不等式，求出正整数k的最小值即可．【解答】解：∵函数y=cos（x+）的最小正周期不大于2，∴T=≤2，即|k|≥4π，则正整数k的最小值为13．故选D【点评】此题考查了三角函数的周期性及其求法，熟练掌握周期公式是解本题的关键．7. 想要得到函数的图像, 只需将函数（）而得到.A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位参考答案：C 8. 设集合，集合，则A∩B=（）A. B. {2} C. D.参考答案：C【分析】根据分式不等式的解法得到集合B，再由集合的交集运算得到结果.【详解】集合，集合，根据集合的交集运算得到.故答案为：C.【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于基础题.9. 设M={x|0≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，给出下列四个图形：其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：B【考点】函数的概念及其构成要素．【分析】利用函数的定义域与函数的值域以及函数的定义，判断选项即可．【解答】解：①中，因为在集合M中当1＜x≤2时，在N中无元素与之对应，所以①不是；②中，对于集合M中的任意一个数x，在N中都有唯一的数与之对应，所以②是；③中，x=2对应元素y=3?N，所以③不是；④中，当x=1时，在N中有两个元素与之对应，所以④不是．因此只有②满足题意．故选B．10. 在经济学中，函数的边际函数定义为。

北京市高一下学期数学第一次月考试卷A卷

北京市高一下学期数学第一次月考试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高二上·赣州开学考) 已知、、均为单位向量，其中任何两个向量的夹角均为120°，则| + + |=（）A . 3B .C .D . 02. （2分） (2016高二上·宜春期中) 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若a= b，A=2B，则cosB等于（）A .B .C .D .3. （2分）一等差数列的前n项和为210，其中前4项的和为40，后4项的和为80，则n的值为（）A . 12B . 14C . 16D . 184. （2分） (2018高一下·山西期中) 在中，点是的中点，点在上且，交于点，设，则的值为（）A .B .C .D .5. （2分）(2020·上饶模拟) 《张丘建算经》卷上有题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈”，其意思为：现一善于织布的女子，从第天开始，每天比前一天多织相同量的步（不变的常量），第天织了五尺，一个月（按天计算）共织九匹三丈（一匹四丈，一丈十尺），则该女子第天比第天多织布的尺数为（）A .B .C .D .6. （2分）在中，分别为角所对边，若1+cosA=2sinBsinC，则此三角形一定是（）A . 等腰直角三角形B . 等腰或直角三角形C . 等腰三角形D . 直角三角形7. （2分） (2016高一下·枣强期中) 已知D、C、B三点在地面同一直线上，DC=a，从C、D两点测得A的点仰角分别为α、β（α＞β），则A点离地面的高AB等于（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高二下·松原开学考) 已知等差数列{an}的公差为2，若a1 ， a3和a4成等比数列，则a1可以等于（）A . ﹣4B . ﹣6C . ﹣8D . ﹣109. （2分） (2018高一下·鹤岗期中) 已知在中，，，，则的值为（）A .B .C . 8D . 1010. （2分）有一长为 km的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为（）.A . 1kmB . 2sin10°kmC . 2cos10°kmD . cos20°km.11. （2分）在中,若,则的形状是（）A . 直角三角形B . 锐角三角形C . 钝角三角形D . 不能确定12. （2分）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边．使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为（）米．A . 1800B . 2000C . 2200D . 2400二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2017高二下·河北期末) 在中，，，面积是，则等于________．14. （1分） (2017高三上·孝感期末) 已知向量=（3，﹣2），=（﹣5，﹣1），则=________．15. （1分）(2019高一下·慈利期中) 已知数列的前项和为满足，，则数列的通项公式________.16. （2分）(2017·长沙模拟) 锐角△ABC中，D为BC的中点，满足∠BAD+∠C=90°，则角B，C的大小关系为________．（填“B＜C”或“B=C”或B＞C）三、解答题 (共6题；共62分)17. （10分） (2020高二上·吉林期末) 已知数列是一个等差数列，且，。

北大附中河南分校2016-2017学年高一下学期第一次月考数学(文)试题(PDF版,无答案)

19.（本题满分 12 分）设为第四象限角，其终边上一个点为 (x, 5) ，且 cos 2 x ， 4
求 sin .
20.（本题满分 12 分）
（1）求函数 y lg 3 2cos x 的定义域；（2）求函数 y 2sin2 x 5sin x 2 的值域.
21.(本题满分 12 分) 已知 y a b sin x 的最大值是 3 ，最小值是 1 ，求实数 a,b 的值.
D.偶函数
6. 若函数 f (x) 3 sin 1 x ， x [0, ] ，则函数 f (x) 的最大值是（）
2
3
3
2
A.
B.
2
3
2
C.
2
1
D.
2
7. 已知角的终边经过点 P(8, 15) ，则 cos sin （）
8
A.
17
15
B.
17
C. 7 17
D. 15 17
8. 函数 y 2sin x 1( x 3 ) 的值域是（）
14. 若 cos x 2m 1 ，且 x R ，则 m 的取值范围是__________________________. 3m+2
15. 函数 y | sin x | 1， x [0, 4 ]的图像与 y 2 图像的交点个数是 __________.
16. 已知函数 f (x) sin x ，下列 4 个等式： 2
4
4
A.[1 3,3]
B.[1 2,3]
C. [1 2,1 2] D.[1,3]
9.
若函数
f (x) 满足
f(
+x)= sin x(x R) ，则
f (x) 等于（

北大附中深圳南山分校高中部高一数学下学期第一次月考试题新人教A版

北大附中深圳南山分校高 2013～2014学年度高一下学期第一次月考数学试卷满分150分考试时间：120分钟 2014年3月10日一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，满分共50分) 1、直线x+2y+1=0在x 轴上的截距是A 、1B 、－1C 、0.5D 、－0.5 2、直线kx －y ＋1＝3k ，当k 变动时，所有直线都通过定点A(0，0) B 、(0，1) C 、(3，1) D 、(2，1) 3、直线2x+y+m=0和x+2y+n=0的位置关系是A 、平行B 、垂直C 、相交但不垂直D 、不能确定 4、以点(－3，4)为圆心，且与x 轴相切的圆的方程是A 、(x －3)2＋(y+4)2＝16B 、(x+3)2＋(y －4)2＝16C 、(x －3)2＋(y+4)2＝9D 、(x+3)2＋(y －4)2＝95、直线x +a =0(a 为实常数)的倾斜角的大小是A 、30oB 、60oC 、120oD 、150o6、过两直线3x ＋y －1＝0与x ＋2y －7＝0的交点，并且与第一条直线垂直的直线方程是 A 、x －3y ＋7＝0 B 、x －3y ＋13＝0 C 、2x －y ＋7＝0 D 、3x －y －5＝07、方程y =A 、一条射线B 、一个圆C 、两条射线D 、半个圆8、直线x －2y －3=0与圆C ：(x －2)2＋(y ＋3)2＝9交于E 、F 两点，则△EC F 的面积为A 、32 B 、34 C 、 9、若点P(1，1)为圆(x －3)2＋y 2＝9的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为 A 、2x ＋y －3＝0 B 、x －2y ＋1＝0 C 、x ＋2y －3＝0 D 、2x －y －1＝010、已知直线ax+by+c=0(abc≠0)与圆x 2+y 2＝1相切，则三条边长分别为|a|、|b|、|c|的三角形A 、是锐角三角形B 、是直角三角形C 、是钝角三角形D 、不存在二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，满分共20分)11、过点(1，2)且与直线x+2y －1＝0平行的直线方程是___________. 12、直线x+y －2＝0和x+y+1＝0间的距离是______.13、圆C ：(x ＋4)2＋(y －3)2＝9的圆心C 到直线4x ＋3y －1＝0的距离等于___________. 14、以直线2x ＋y －4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程为___________.三、解答题：(本大题共6小题，满分共80分) 15、(本小题满分12分) 求经过直线l 1：x+y －3=0与直线l 2：x －y －1=0的交点M ，且分别满足下列条件的直线方程：(1)与直线2x+y －3=0平行；(2)与直线2x+y －3=0垂直.16、(本小题满分12分)已知△ABC 三顶点A(0，0)，B(1，1)，C(4，2) (1)求该三角形外接圆的方程；(2)若过点(－1，－2)的直线l 被△ABC 外接圆截得的线段长为，求直线l 的方程.17、(本小题满分14分)求经过点A(－2，2)并且和x 轴的正半轴、y 轴的正半轴所围成的三角形的面积是1的直线方程.18、(本小题满分14分)自A(4，0)引圆x 2＋y 2＝4的割线ABC ，求弦BC 中点P 的轨迹方程.19、(本小题满分14分)直线l 过定点P(0，1)，且与直线l 1：x －3y ＋10＝0，l 2：2x ＋y －8＝0分别交于A 、B 两点、若线段AB 的中点为P ，求直线l 的方程.20、(本小题满分14分)圆过点A(1，－2)，B(－1，4)，求(1)周长最小的圆的方程； (2)圆心在直线2x －y －4＝0上的圆的方程.北大附中深圳南山分校高中部2013～2014学年度高一下学期第一次月考数学试卷答案卡一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，满分共50分)二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分共20分）11、； 12、； 13、； 14、 .______ 座位号________三、解答题：（本大题共6小题，满分共70分）15、(本小题满分12分)求经过直线l1：x+y－3=0与直线l2：x－y－1=0的交点M，且分别满足下列条件的直线方程：(1)与直线2x+y－3=0平行； (2)与直线2x+y－3=0垂直.解：16、(本题满分12分)已知△ABC三顶点A(0，0)，B(1，1)，C(4，2).(1)求该三角形外接圆的方程；(2)若过点(－1，－2)的直线l被△ABC外接圆截得的线段长为l的方程.解：17、(本题满分14分)求经过点A(－2，2)并且和x轴的正半轴、y轴的正半轴所围成的三角形的面积是1的直线方程.解：18、(本题满分14分)自A(4，0)引圆x2＋y2＝4的割线ABC，求弦BC中点P的轨迹方程.解：19、(本题满分14分)直线l过定点P(0，1)，且与直线l1：x－3y＋10＝0，l2：2x＋y－8＝0分别交于A、B两点，若线段AB的中点为P，求直线l的方程.解：20、(本题满分14分)圆过点A(1，－2)，B(－1，4)，求(1)周长最小的圆的方程； (2)圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程. 解：北大附中深圳南山分校高中部2013～2014学年度高一下学期第一次月考数学试卷答案2014年3月10日一、选择题答案表：2、解析：方程可化为y－1＝k(x－3)，即直线都通过定点(3，1)，故选择C.3、解析：由方程组2x+y+m=0x+2y+n=0⎧⎨⎩，可得 3x+4m－n=0，由于3x+4m－n=0有唯一解，故方程组有唯一解，故两直线相交；再由两直线的斜率分别为－2和－0.5，斜率之积不等于－1，故两直线不垂直，故选择C.4、解析：以点(－3，4)为圆心，且与x轴相切的圆的半径为4；所以所求圆的方程为：(x+3)2＋(y－4)2＝16，故选择B.5、解析：直线的斜率为k=tan==3α-，(α为直线的倾斜角)，所以α=150o，故选择D.6、解析：由3x+y1=0x+2y7=0-⎧⎨-⎩，解得x=1y=4-⎧⎨⎩，得交点(－1，4).∵所求直线与3x＋y－1＝0垂直，∴所求直线斜率1k3=，∴1y4(x1)3-=+，即x－3y＋13＝0，故选择B.7、解析：方程y=x2＋y2＝9(y≥0)，所以方程y=x2＋y2＝9位于x轴上方的部分，是半个圆，故选择D.分析：求出圆心C到直线x－2y－3=0距离，利用勾股定理求出EF，再利用三角形的面积公式，即可得出结论解析：圆C：(x－2)2＋(y＋3) 2＝9的圆心坐标为C(2，－3)，半径为3∴C 到直线x －2y －3=0距离为：d ==EF 4==，∴△ECF 的面积为：142⨯=，故选择C. 点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题.9、解析：圆心C(3，0)，k PC ＝－0.5，又点P 是弦MN 的中点，∴PC⊥MN， ∴k MN k PC ＝－1，∴k MN ＝2，∴弦MN 所在直线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0，故选择D.10、分析：直线ax+by+c=0(abc≠0)与圆x 2+y 2=1相切，就是圆心到直线的距离等于半径，推出a 、b 、c 的关系，然后判定即可. 解析：1=，即c 2=a 2+b 2，∴由|a|、|b|、|c|构成的三角形为直角三角形，故选择B.点评：本题考查圆的切线方程，中心与圆的位置关系，是基础题. 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11、解析：设过点(1，2)且与直线x+2y －1＝0平行的直线方程为x+2y+m=0，把点(1，2)代入直线方程得，1+4+m=0，m=－5，故所求的直线方程为 2x+y －5=0. 12、解析：直接利用公式，得直线x+y －2＝0和x+y+1＝0间的距离是d ===. 13、解析：C(－4，3)，则8d 5==. 14、解析：令x ＝0得y ＝4，令y ＝0得x ＝2，∴直线与两轴交点坐标为A(0，4)和B(2，0)，以A 为圆心过B 的圆方程为x 2＋(y －4)2＝20；以B 为圆心过A 的圆方程为(x －2)2＋y 2＝20，故x 2＋(y －4)2＝20或(x －2)2＋y 2＝20. 三、解答题：（本大题共6小题，共70分） 15、解析：由x +y 30x y 10-=⎧⎨--=⎩，得x 2y 1=⎧⎨=⎩，所以M(2，1). ……2分(1)依题意，可设所求直线为：2x+y+c=0(c≠0). ……4分因为点M 在直线上，所以2×2+1+c=0，解得：c=－5. ……6分所以所求直线方程为：2x+y －5=0. ……7分 (2)依题意，设所求直线为：x －2y+c=0， ……8分因为点M 在直线上，所以2－2×1+c=0，解得：c=0. ……10分所以所求直线方程为：x －2y =0. ……12分 16、分析：(1)设圆的一般式方程，然后将三角形的三个顶点坐标代入，可求出该三角形外接圆的方程；(2)将直线l 的斜率设出，根据直线l 被△ABC 外接圆截得的线段长为建立等式，解之即可.解：(1)设三角形外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，将A(0，0)，B(1，1)，C(4，2)，代入得F0D+E+F=24D+2E+F=20=⎧⎪-⎨⎪-⎩，解得D2E=6F=0=-⎧⎪⎨⎪⎩，……4分∴三角形外接圆的方程为x2+y2－8x+6y=0，即(x－4)2+(y+3)2=25.……6分(2)设直线l的斜率为k，则直线方程为y+2=k(x+1)，即kx－y+k－2=0，……8分圆心(4，－3)到直线l的距离为d==解得k=－1或717，……10分∴直线l的方程为x+y+3=0或7x－17y－27=0.……12分点评：本题主要考查了三角形的外接圆，以及弦长和直线方程，同时考查了待定系数法和计算能力，属于基础题.17、解析：因为直线的斜率存在，所以设直线方程为l：y－2=k(x+2)，即y=kx+2k+2，……2分令x=0，得y= 2k+2，令y=0，得2k2xk+=-，……6分由2k+2>0，2k2k+->，得－1<k<0，……9分因为S△=1，所以12k2(2k2)()12k++-=，解得k=－2或k=－0.5，……12分因为－1<k<0，所以k=－0.5，……13分所以直线方程为l： x+2 y－2=0. ……14分18、分析：由题目可获取以下主要信息：①点A(4，0)是定圆外一点；②过A的直线交圆于B，C两点.解答本题可先设出动点P的坐标(x，y)，然后由圆的几何性质知OP⊥BC，再利用k OP·k AP＝－1，求出P(x，y)满足的方程. 也可由圆的几何性质直接得出动点P与定点M(2，0)的距离恒等于定长2，然后由圆的定义直接写出P点的轨迹方程.解析：方法一 (直接法)设P(x，y)，连接OP，则OP⊥BC，……2分①当x≠0时，k OP·k AP＝－1，即y y1x x4⋅=--，即x2＋y2－4x＝0. (★)……8分②当x＝0时，P点坐标(0，0)是方程(★)的解，……12分∴BC中点P的轨迹方程为x2＋y2－4x＝0(在已知圆内的部分).……14分方法二 (定义法)由方法一知OP⊥AP，取OA中点M，则M(2，0)，1|PM|=|OA|=22，由圆的定义知，∴ P的轨迹方程为x2＋y2－4x＝0(在已知圆内的部分).规律总结：针对这个类型的题目，常用的方法有：(1) 待定系数法；(2)代入法；(3)直接法；(4)定义法. 其中直接法是求曲线方程最重要的方法，它可分五个步骤：①建系，②找出动点M满足的条件，③用坐标表示此条件，④化简，⑤验证；定义法是指动点的轨迹满足某种曲线的定义，然后据定义直接写出动点的轨迹方程；代入法，它用于处理一个主动点与一个被动点问题，只需找出这两点坐标之间的关系，然后代入主动点满足的轨迹方程即可.19、解析：方法1 设A(x 0，y 0)，由中点公式，有B(－x 0，2－y 0)， ……2分∵A 在l 1上，B 在l 2上，∴0000x 3y 1002x +2y 80-+=⎧⎨---=⎩，解得00x 4y 2=-⎧⎨=⎩， ……10分∴AP 121k =0+44-=-，故所求直线l 的方程为：1y x +14=-， ……13分故所求直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. ……14分方法2 设所求直线l 方程为：y ＝kx ＋1，l 与l 1、l 2分别交于M 、N 、解方程组y kx 1x 3y 100=+⎧⎨-+=⎩，解得7x 3k 110k 1y 3k 1⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，∴710k 1N()3k 13k 1---，；解方程组y kx 12x y 80=+⎧⎨+-=⎩，解得7x k 28k 2y k 2⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪⎩+，∴78k 2N()k 2k 2+++，， ∵M、N 的中点为P(0，1)，则有：177()023k 1k 2+=-+，∴1k 4=-. 故所求直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.方法3 设所求直线l 与l 1、l 2分别交于M(x 1，y 1)、N(x 2，y 2)，P(0，1)为MN 的中点，则有1212x x 0y y 2+=⎧⎨+=⎩，可得21121x x y y 2y =-⎧⎨=-⎩代入l 2的方程，得： 2(－x 1)＋2－y 1－8＝0，即2x 1＋y 1＋6＝0，解方程组1111x 3y 1002x y 60-+=⎧⎨++=⎩，解得11x 4y 2=-⎧⎨=⎩，所以M(－4，2).由两点式：所求直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. 方法4同解法1，设A(x 0，y 0)，则0000x 3y 1002x y 60-+=⎧⎨++=⎩，两式相减得，x 0＋4y 0－4＝0，(※)考察直线x ＋4y －4＝0，一方面由(※)知A(x 0，y 0)在该直线上；另一方面，P(0，1)也在该直线上，从而直线x ＋4y －4＝0过点P 、A ，根据两点决定一条直线知，所求直线l 的方程为：x ＋4y －4＝0.20、解析：(1)当AB 为直径时，过A 、B 的圆的半径最小，从而周长最小. 即AB 中点(0，1)为圆心，半径1r |AB |2==……4分则圆的方程为：x 2＋(y －1)2＝10. ……6分 (2)解法1：AB 的斜率为k ＝－3，则AB 的垂直平分线的方程是1y 1x 3-=，即x －3y ＋3＝0，由x 3y 30x y 40-+=⎧⎨--=⎩，得x 3y 2=⎧⎨=⎩， ……10分即圆心坐标是C(3，2)，r |AC |=== … …13分∴圆的方程是(x －3)2＋(y －2)2＝20. ……14分解法2：待定系数法设圆的方程为：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则222222 (1a)(2b)r(1a)(4b)r2a b40⎧-+-=⎪--+-=⎨⎪--=⎩，解得a=3，b=2，r2=20，∴圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20.点评：∵圆心在直线2x－y－4＝0上，故可设圆心坐标为C(x0，2x0－4)，∵A，B在圆上，∴|CA|＝|CB|可求x0，即可求得圆的方程，自己再用此思路解答一下.。

北京市高一下学期数学第一次月考试卷

北京市高一下学期数学第一次月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn ．若a4是a3与a7的等比中项，S8=32，则S10等于（）A . 18B . 24C . 60D . 902. （2分）(2018·衡水模拟) 在中，三个内角，，的对边分别为，，，若的面积为，且，则等于（）A .B .C .D .3. （2分）(2018·永州模拟) 设的内角的对边分别为，已知，则（）A .B .C .D .4. （2分）在数列中，若，则（）A . 1B .C . 2D .5. （2分）数列｛an}的前项和为Sn=2n2+1，则a1,a5的值依次为（）A . 3,4B . 2,8C . 3,18D . 3,146. （2分）在中，内角所对的边分别是，若，，，则A . 2B . 3C . 4D . 67. （2分）在△ABC中，已知a2+b2=c2+ba，则∠C=（）A . 30°B . 150°C . 45°D . 135°8. （2分）下列命题中正确的是（）A . 若a，b，c是等差数列，则log2a，log2b，log2c是等比数列B . 若a，b，c是等比数列，则log2a，log2b，log2c是等差数列C . 若a，b，c是等差数列，则2a ， 2b ， 2c是等比数列D . 若a，b，c是等比数列，则2a ， 2b ， 2c是等差数列9. （2分）已知等差数列中，，则数列的前11项和等于（）A . 22B . 33C . 44D . 5510. （2分）△ABC中，已知(a+b+c)(b+c-a)=bc，则A的度数等于（）A .B .C .D .11. （2分）在正项等比数列中，，则的值是（）A . 10000B . 1000C . 100D . 1012. （2分） (2016高二上·茂名期中) 已知函数f（n）=n2cos（nπ），且an=f（n）+f（n+1），则a1+a2+a3+…+a100=（）A . 0B . ﹣100C . 100D . 10200二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高一下·张家界期末) 一牧羊人赶着一群羊通过4个关口，每过一个关口，守关人将拿走当时羊的一半，然后退还一只给牧羊人，过完这些关口后，牧羊人只剩下3只羊，则牧羊人在过第1个关口前有________只羊.14. （1分）(2016·静宁模拟) 在数列{an}中，已知a1=1，an+1﹣an=sin ，记Sn为数列{an}的前n 项和，则S2015=________．15. （1分） (2017高二下·黑龙江期末) 设的内角所对的边分别为，，，已知为钝角，且，若，则的面积的最大值为________．16. （1分） (2017高二上·信阳期末) 已知锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acosB=4csinC ﹣bcosA，则cosC=________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （5分） (2018高一下·鹤岗期中) 在等差数列中，，（1）求数列的通项公式；（2）若数列的前项和，求的值.18. （5分） (2016高二上·忻州期中) 已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为，若S3=a4+2，且a1 ， a3 ， a13成等比数列（1）求{an}的通项公式；（2）设，求数列{bn}的前n项和为Tn．19. （10分） (2018高二上·成都月考) 在中，内角的对边分别为，已知，且成等比数列.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若求的值.20. （10分）已知cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=﹣且450°＜β＜540°，求cos2β和sin （+2β）．21. （10分）(2017·石嘴山模拟) 已知数列{an}满足a1=3，an+1=2an﹣n+1，数列{bn}满足b1=2，bn+1=bn+an ﹣n．（1）证明：{an﹣n}为等比数列；（2）数列{cn}满足，求数列{cn}的前n项和Tn，求证：Tn ．22. （10分）(2017·新课标Ⅲ卷理) △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+ cosA=0，a=2 ，b=2．（Ⅰ）求c；（Ⅱ）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、21-1、21-2、22-1、。

2023—2024学年北京大学附属中学石景山学校高一“1+3”班下学期期中数学试卷

2023—2024学年北京大学附属中学石景山学校高一“1+3”班下学期期中数学试卷一、单选题(★) 1. 已知集合，，则（）．A．B．C．D．(★★) 2. 函数的定义域为（）A．B．C．D．(★) 3. 若是一元二次方程的两个根，则的值为（）A．B．C．3D．(★) 4. 不等式成立的一个充分不必要条件是（）A．B．C．D．(★★) 5. 红蜡块能在玻璃管的水中匀速上升，若红蜡块在A点匀速上升的同时，使玻璃管水平向右做匀加速直线运动，则红蜡块实际运动的轨迹是图中的（）A．曲线B．直线C．曲线D．无法确定(★) 6. 《西游记》、《三国演义》、《水浒传》和《红楼梦》被称为中国古典小说四大名著．学校读书社共有100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的人数为90，阅读过《红楼梦》的人数为80，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的人数为60，则这100名学生中，阅读过《西游记》的学生人数为（）A．80B．70C．60D．50(★★) 7. 两个工厂生产同一种产品，其产量分别为.为便于调控生产，分别将、、中的值记为并进行分析.则的大小关系为（）A．B．C．D．(★★★) 8. 已知集合，集合，，满足：①每个集合都恰有7个元素；②．集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为，则的最大值与最小值的和为（）A．132B．134C．135D．137二、填空题(★★) 9. 命题“，”的否定是 ______ ．(★★) 10. 已知，（a为实数）．若q的一个充分不必要条件是p，则实数a的取值范围是 ________ .(★★★) 11. 为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成本，每条生产线生产的产品可获得的利润s（单位：万元）与生产线运转时间t（单位：年，）满足二次函数关系：，现在要使年平均利润最大，则每条生产线运行的时间t为 ______ 年．(★★) 12. 方程的一根大于1，一根小于1，则实数的取值范围是 __________ .(★★) 13. 不等式的解集是 ______ ．(★★) 14. 已知不等式恒成立，则实数的取值范围是___________ .(★★) 15. 设函数，关于x的方程有三个不等实根，则的取值范围是 __________ ．(★★★) 16. 对于函数，，若则称x为的“不动点”，若，则称x为的“稳定点”，函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B．若，且，则实数a的取值范围是 ______ ．三、解答题(★★★) 17. 求下列关于x的不等式的解集：(1) ；(2)(★★★)18. 已知集合.在①；②“”是“”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第②问的横线处，求解下列问题.(1)当时，求；(2)若______，求实数的取值范围.(★★) 19. 已知a，b是正实数，设.求证：(1) ；(2) .(★★★) 20. 设的最大值为m．(1)求m；(2)若，，求的最大值．(★★★★) 21. 在平面直角坐标系中，点在抛物线.(1)求抛物线的对称轴；(2)若点，在抛物线上，求a的取值范围；(3)若点，在抛物线上，对于任意的，都有，直接写出a的取值范围.(★★★) 22. 计划建造一个室内面积为1500平方米的矩形温室大棚，并在温室大棚内建两个大小、形状完全相同的矩形养殖池，其中沿温室大棚前、后、左、右内墙各保留1.5米宽的通道，两个养殖池之间保留2米宽的通道.设温室的一边长度为米，两个养殖池的总面积为平方米，如图所示：(1)将表示为的函数，并写出定义域；(2)当取何值时，取最大值？最大值是多少？(3)若养殖池的面积不小于1015平方米，求温室一边长度的取值范围.(★★★) 23. 设函数，函数，，用表示，中的较大者，记为，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知.条件①：；条件②：，恒成立.(1)求不等式的解集；(2)当时，关于x的不等式恒成立，求实数的取值范围.注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.(★★★★) 24. 对非空整数集合M及，定义，对于非空整数集合A，B，定义.(1)设，请直接写出集合；(2)设，，求出非空整数集合B的元素个数的最小值；(3)对三个非空整数集合A，B，C，若且，求所有可能取值．。

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北大附中高一数学下期第一次月考试题
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．下列给出的赋值语句中正确的是：( )
A 、3=A
B 、M=—M
C 、B=A=2
D 、x+y=0 2．把119化成五进制数的末位数字为（） A 1 B 2 C 3 D 4
3．如右图,是某算法流程图的一部分，其算法的逻辑结构为
（）
A. 顺序结构
B. 判断结构
C. 条件结构
D. 循环结构
4.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，那么互斥不对立的两个事件是 A. 至少有1名男生与全是女生 B ．至少有1名男生与全是男生Ｃ．至少有1名男生与至少有1名女生Ｄ．恰有1名男生与恰有2名女生
5. 用秦九韶算法计算多项式1876543)(23456++++++=x x x x x x x f 当4.0=x 时的值时,需要做乘法和加法的次数分别是 ( )
A. 6 , 6
B. 5 , 6
C. 5 , 5
D. 6 , 5 6用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（ * ）
A ．3
B ．9
C ．17
D ．51
7 将两个数8,17a b ==交换,使17,8a b ==,下面语句正确一组是 ( )
A
B
C D
8．从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为（）
Ａ．12
Ｂ．13
Ｃ．23
Ｄ．1
9．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中至少有1名女生的概率是（）Ａ．15
Ｂ．35
Ｃ．45
Ｄ．1
3
10. 12,,...,n x x x 的平均数是x ,方差是2s ,12n 的平均数和
方差分别是（）
A.
2,s B. 2s C. 2s D. 22s ++
11．读程序
甲：INPUT i=1 乙：INPUT I=1000 S=0 S=0 WHILE i ≤1000 DO
S=S+i S=S+i i=i+l I=i 一1
WEND Loop UNTIL i<1 PRINT S PRINT S
END END
对甲乙两程序和输出结果判断正确的是 ( )
A ．程序不同结果不同 B.程序不同，结果相同 C ．程序相同结果不同 D ．程序同，结果同
12 某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1,2, ……
,270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1,2, ……,270，并将整个编号依次分为10段如果抽得号码有下列四种情况： ①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250； ②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265； ③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254； ④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；关于上述样本的下列结论中，正确的是（） A ②、③都不能为系统抽样 B ②、④都不能为分层抽样 C ①、④都可能为系统抽样 D ①、③都可能为分层抽样二、填空题（每小题5分，共20分）
13.某校高中部有三个年级，其中高三有学生1000人，现采用分层抽样法抽取一个容量为185的样本，已知在高一年级抽取了75人，高二年级抽取了60人，则高中部共有__ __学生。

14．已知x 与y 之间的一组数据为
则y 与x 的回归直线方程a bx y +=必过定点______
15．图一的输出结果是：
图二的输出结果是：
图一
16．图l 是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为1A 、2A 、…、m A (如2A 表示身高(单位：cm )在[150，155)内的学生人数)．图2是统计图l 中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在 160～180cm (含160cm ，不含180cm ) 的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是（）
三，解答题 17．（本小题满分10分）设计算法，求出方程0ax b +=的解，画出算法流程图并写出程序.
18（本题12分）在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有100个数据，将数据分组如右表：
（1）画出频率分布表，并画出频率分布直方图；（2）估计纤度落在[1.381.50)，
中的概率及纤度小于1.40的概率是多少？
（3）从频率分布直方图估计出纤度的众数、中位数和平均数．
19．（本小题满分12分）根据下面的要求，求满足1＋2＋3＋…＋n > 500的最小的自然数n 。

（1）画出执行该问题的程序框图；
（2）以下是解决该问题的一个程序，但有几处错误，请找出错误并予以更正，并把正确的程序写下来。

20.（本小题满分12分）给出50个数，1，2，4，7，11，…，其规律是：
4个数比第3个数大3，…，以此类推. 要求计算这50个数的和. 先将
下面给出的程序框图补充完整，再根据程序框图写出程序.
1. 把程序框图补充完整：
（1）________________________ (2分)
（2）________________________ (3分)
2. 程序：（7分）
21．（本题12分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（x吨）与
相应的生产能耗y（吨）标准煤的几组对照数据：
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程a
=
y+
bx
（3）已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤，试根据（2）求出的线性回归方程，
预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？
22.（本小题满分12分）
某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外750名工人参加过长期培训(称为B类工人）．现用分层抽样方法（按A类，B类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（此处生产能力指一天加工的零件数）．
（I）A类工人中和 B类工人中各抽查多少工人？
（II）从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如下表1和表2．
A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）
（ii）分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数．（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
图１A类工人生产能力的频率分布直方图图2 B类工人生产能力的频率分布直方图。