2018年中考数学复习第六单元圆第26课时与圆有关的位置关系试题
2018年中考数学复习第一部分考点研究第六单元圆第26课时与圆有关的位置关系
第一部分考点研究第六单元圆第26课时与圆有关的位置关系浙江近9年中考真题精选(2009～2017)命题点1点与圆、直线与圆的位置关系(杭州2013.7，绍兴2015.14)1. (2013杭州7题3分)在一个圆中，给出下列命题，其中正确的是( )A. 若圆心到两条直线的距离都等于圆的半径，则这两条直线不可能垂直B. 若圆心到两条直线的距离都小于圆的半径，则这两条直线与圆一定有4个公共点C. 若两条弦所在直线不平行，则这两条弦可能在圆内有公共点D. 若两条弦平行，则这两条弦之间的距离一定小于圆的半径2. (2011杭州5题3分)在平面直角坐标系xOy中，以点(－3，4)为圆心，4为半径的圆( )A. 与x轴相交，与y轴相切B. 与x轴相离，与y轴相交C. 与x轴相切，与y轴相交D. 与x轴相切，与y轴相离3. (2015绍兴14题5分)在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，点P在以C为圆心，5为半径的圆上，连接PA，PB，若PB＝4，则PA的长为________．命题点2切线性质的相关计算类型一与角度有关的计算(杭州2017.12)4. (2016湖州8题3分)如图，圆O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，∠A＝25°.过点C作圆O的切线，交AB的延长线于点D，则∠D的度数是( )第4题图A. 25°B. 40°C. 50°D. 65°5. (2012嘉兴4题4分)如图，AB 是⊙O 的弦，BC 与⊙O 相切于点B ，连接OA ，OB .若∠ABC ＝70°，则∠A 等于( )A. 15°B. 20°C. 30°D. 70°第5题图6. (2017杭州12题4分)如图，AT 切⊙O 于点A ，AB 是⊙O 的直径．若∠ABT ＝40°，则∠ATB ＝________.第6题图类型二 与三角函数有关的计算(台州2013.14)7. (2016衢州9题3分)如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的点，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，若∠A ＝30°，则sin E 的值为( )A. 12B. 22C. 32D. 33第7题图8. (2013台州14题5分)如图，在⊙O 中，过直径AB 延长线上的点C 作⊙O 的一条切线，切点为D ，若AC ＝7，AB ＝4，则sin C 的值为________．第8题图类型三 与线段有关的计算(温州2014.16)9. (2015嘉兴7题4分)如图，△ABC 中，AB ＝5，BC ＝3，AC ＝4，以点C 为圆心的圆与AB 相切，则⊙C 的半径为( ) A. 2.3 B. 2.4 C. 2.5 D. 2.6第9题图10. (2015衢州10题3分)如图，已知△ABC ，AB ＝BC ，以AB 为直径的圆交AC 于点D ，过点D 的⊙O 的切线交BC 于点E.若CD ＝5，CE ＝4，则⊙O 的半径是( )第10题图A. 3B. 4C. 256D. 25811. (2010杭州16题4分)如图，已知△ABC ，AC ＝BC ＝6，∠C ＝90°.O 是AB 的中点，⊙O 与AC ，BC 分别相切于点D 与点E .点F 是⊙O 与AB 的一个交点，连DF 并延长交CB 的延长线于点G .则CG ＝________．第11题图12. (2014温州16题5分)如图，在矩形ABCD 中，AD ＝8，E 是边AB 上一点，且AE ＝14AB .⊙O 经过点E ，与边CD 所在直线相切于点G (∠GEB 为锐角)，与边AB 所在直线相交于另一点F ，且EG ∶EF ＝5∶2.当边AD 或BC 所在的直线与⊙O 相切时，AB 的长是____________．第12题图类型四 与动点有关的计算(杭州2013.16，台州2016.10)13. (2016台州10题4分)如图，在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝8，BC ＝6，以边AB 的中点O 为圆心，作半圆与AC 相切，点P ，Q 分别是边BC 和半圆上的动点，连接PQ ，则PQ 长的最大值与最小值的和是( )A. 6B. 213＋1C. 9D. 323第13题图14. (2013杭州16题4分)射线QN 与等边△ABC 的两边AB 、BC 分别交于点M 、N ，且AC∥QN ，AM ＝MB ＝2 cm ，QM ＝4 cm .动点P 从点Q 出发，沿射线QN 以每秒1 cm 的速度向右移动，经过t秒，以点P为圆心， 3 cm为半径的圆与△ABC的边相切(切点在边上)，请写出t可取的一切值________(单位：秒)．第14题图类型五与切线性质相关的综合题(温州3考)15. (2017衢州19题6分)如图，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆O于点D，连接OD.作BE⊥CD于点E，交半圆O于点F.已知CE＝12，BE＝9.(1)求证：△COD∽△CBE；(2)求半圆O的半径r的长．第15题图16. (2015温州21题10分)如图，AB是半圆O的直径，CD⊥AB于点C，交半圆于点E，DF切半圆于点F.已知∠AEF＝135°.(1)求证：DF∥AB；(2)若OC＝CE，BF＝22，求DE的长．第16题图17. (2017温州21题10分)如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，⊙O(圆心O 在△ABC内部)经过B、C两点，交AB于点E，过点E作⊙O的切线交AC于点F，延长CO 交AB于点G，作ED∥AC交CG于点D.(1)求证：四边形CDEF是平行四边形；(2)若BC＝3，tan∠DEF＝2，求BG的值．第17题图18. (2017丽水22题10分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E.(1)求证：∠A＝∠ADE；(2)若AD＝16，DE＝10，求BC的长．第18题图命题点3切线的判定及相关计算(温州2012.22)19. (2016宁波23题10分)如图，已知⊙O的直径AB＝10，弦AC＝6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥A C交AC的延长线于点E.(1)求证：DE是⊙的切线；(2)求DE的长．第19题图20. (2012温州22题10分)如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB上的一点，且∠A＝2∠DCB，点E是BC上的一点，以EC为直径的⊙O经过点D.(1)求证：AB是⊙O的切线；(2)若CD的弦心距为1，BE＝EO，求BD的长．第20题图21. (2015湖州20题8分)如图，已知BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O 于点D，E为AC的中点，连接DE.(1)若AD＝DB，OC＝5，求切线AC的长；(2)求证：ED是⊙O的切线．第21题图22. (2016衢州21题8分)如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点P，直线BF 与AD的延长线交于点F，且∠AFB＝∠ABC.(1)求证：直线BF是⊙O的切线；(2)若CD＝23，OP＝1，求线段BF的长．第22题图答案1. C 【解析】2. C 【解析】圆心到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，4＝4，3＜4，∴圆与x 轴相切，与y轴相交，故选C.3. 3或73 【解析】如解图，P点位置情况有两种．∵BC＝3，BP＝4，CP＝5，∴BC2＋BP2＝CP2，∴CB⊥BP，∵CB⊥AC，∴BP∥AC，∵BP＝AC，∴四边形ACBP是矩形，AP＝BC ＝3，AP′＝32＋82＝73.第3题解图4. B 【解析】∵∠A＝25°，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝65°.如解图，连接OC，∵OB ＝OC，∴∠ABC＝∠BCO＝65°，∵CD是圆O的切线，∴OC⊥CD，∴∠OCD＝90°，∴∠BCD ＝90°－∠BCO＝25°，∴∠D＝∠ABC－∠BCD＝65°－25°＝40°.第4题解图5. B 【解析】∵BC与⊙O相切于点B，∴OB⊥BC，∴∠OBC＝90°，∵∠ABC＝70°，∴∠OBA ＝∠OBC －∠ABC ＝90°－70°＝20°，∵OA ＝OB ，∴∠A ＝∠OBA ＝20°.6. 50° 【解析】∵AT 是⊙O 的切线，AB 是⊙O 的直径，∴∠BAT ＝90°，在Rt △BAT 中，∵∠ABT ＝40°，∴∠ATB ＝50°.7. A 【解析】如解图，连接OC ，∵EC 切⊙O 于点C ，∴∠OCE ＝90°，∵OA ＝O C ，∴∠ACO ＝∠A ＝30°，∴∠COE ＝∠ACO＋∠A ＝30°＋30°＝60°，∴∠E ＝180°－ ∠OCE－∠COE ＝180°－90°－60°＝30°，在Rt △COE 中，sinE ＝sin30°＝12.第7题解图8. 25【解析】如解图，连接OD ，∵CD 是⊙O 的切线，∴∠ODC ＝90°，∵AC ＝7，AB ＝4，∴OA ＝OD ＝2，则OC ＝AC －AO ＝7－2＝5，∴sin C ＝OD OC ＝25.第8题解图9. B 【解析】∵AB ＝5，BC ＝3，AC ＝4，∴AC 2＋BC 2＝AB 2，∴△ABC 是直角三角形，∠ACB ＝90°.如解图，设AB 与圆C 交于点D , 连接CD ，∴CD ⊥AB ，∵S △ABC ＝12AC ·BC ＝12AB ·CD ，∴CD ＝AC ·BC AB ＝4×35＝125.第9题解图10. D 【解析】如解图，连接OD 、BD ，则BD ⊥AC ，因为OA ＝OD ，所以∠A ＝∠ADO ，因为AB ＝BC ，所以∠A ＝∠C ，所以∠C ＝∠ADO ，所以OD ∥BC ，又因为DE 为⊙O 的切线，则DE ⊥OD ，所以DE ⊥BC ，因为BD ⊥AC ，∠C ＝∠C , 易证得△CDE ∽△CBD ，则有CD CB ＝CE CD，所以CB ＝CD 2CE ＝254，则AB ＝CB ＝254，OB ＝12AB ＝258.第10题解图11. 32＋3 【解析】如解图，连接OD ，则OD ⊥AC ；∵∠C ＝90°，∴OD ∥CB ；∵O是AB 的中点，∴OD 是△ABC 的中位线，即OD ＝12BC ＝3；∵AC ＝BC ＝6，∠C ＝90°，∴AB＝62，则OB ＝32，∵OD ∥CG ，∴∠ODF ＝∠G ；∵OD ＝OF ，则∠ODF ＝∠OFD ，∴∠BFG ＝∠OFD ＝∠G ，∴BF ＝BG ＝OB －OF ＝32－3，∴CG ＝BC ＋BG ＝6＋32－3＝32＋3.第11题解图12. 4或12 【解析】如解图，过点G 作GM ⊥EF 于M ，连接OE ，∵EG ∶EF ＝5∶2，∴EG ∶EM ＝5∶1，∴GM ∶EM ＝2∶1，∵GM ＝AD ＝8，由勾股定理得EM ＝4，设⊙O 的半径为R ，在Rt △EOM 中，OM ＝8－R ，由勾股定理得：R 2＝42＋(8－R )2，解得R ＝5.当边AD 所在的直线与⊙O 相切时， 如解图①，AM ＝5，EM ＝4，∴AE ＝1，∵AE ＝14AB ，∴AB ＝4；当边BC 所在的直线与⊙O 相切时， 如解图②，EM ＝MF ＝4，GC ＝MB ＝R ＝5，∴EB ＝9，∵AE＝14AB ，∴AB ＝12.第12题解图)13. C 【解析】当如解图①时PQ 长最大，最大值＝AB －AQ ＝AB －(OA －OQ )＝10－(5－3)＝8；第13题解图①当如解图②时PQ 长最小，最小值＝OP －OQ ＝4－3＝1. ∴PQ 长的最大值与最小值的和是8＋1＝9.故选C.第13题解图②14. t ＝2或3≤t ≤7或t ＝8 【解析】因为该圆的半径为3，圆心P 从Q 点开始运动时会与圆相切3次，而AM ＝MB ，AC ∥QN ，所以MN 为正三角形ABC 的中位线，MN ＝2.图①图②图③第14题解图(1)当圆与正三角形AB边相切时，如解图①，则PD＝3，易得DM＝1，PM＝2，则QP ＝2，则t＝2；(2)当圆与正三角形AC边相切时，如解图②，事实上圆的半径刚好等于AC与射线QN 之间的距离3，所以AP＝3，则PM＝1，QP＝3，同理NP＝1，QP＝7，而在此之间圆始终与AC边相切，所以3≤t≤7；(3)当圆与正三角形BC边相切时，如解图③，则PD＝3，易得DN＝1，PN＝2，则QP ＝8，则t＝8.综上所述，t＝2或3≤t≤7或t＝8.15.解：(1)∵CD切半圆于点D，OD为⊙O的半径，∴CD⊥OD，∴∠CDO＝90°.(1分)∵BE⊥CD于点E，∴∠E＝90°.(2分)∴∠CDO＝∠E＝90°，∵∠C＝∠C，∴△CDO∽△CEB.(3分)(2)∵在Rt△BEC中，CE＝12，BE＝9，∴CB＝15.(4分)由(1)得△CDO∽△CEB，∴DOEB＝COCB，即r 9＝15－r15，(5分)∴r ＝458.(6分)16. (1)证明：如解图，连接OF ，第16题解图∵DF 切半圆O 于点F ， ∴DF ⊥OF ，∵∠AEF ＝135°，四边形AEFB 为圆内接四边形， ∴∠B ＝45°， ∵OB ＝OF ，∴∠OFB ＝∠B ＝45°， ∴∠FOA ＝90°， ∴OF ⊥AB ， 又∵DF ⊥OF ， ∴DF ∥AB .(5分)(2)解：如解图，连接OE ，∵CD ⊥AB ，OC ＝EC ，OF ⊥AB ，OF ＝OB ， ∴△ECO 、△FOB 均为等腰直角三角形， ∵BF ＝22， ∴OE ＝OF ＝2， ∴CO ＝CE ＝2，又∵DF ∥AB ，DC ∥OF ，∠COF ＝90°，∴四边形COFD 是矩形， ∴DC ＝OF ＝2，∴DE ＝DC －CE ＝2－ 2.(10分) 17. (1)证明：如解图，连接OE.第17题解图∵AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，∴∠B ＝45°，∴∠COE ＝2×45°＝90°，(2分) ∵EF 是⊙O 的切线， ∴OE ⊥EF ，∴EF ∥CD ， 又∵ED ∥AC ，∴四边形CDEF 是平行四边形；(2)解：如解图，过点G 作GH ⊥BC ，垂足为点H . ∵四边形CDEF 是平行四边形， ∴∠DEF ＝∠1，∵∠ACB ＝90°，GH ⊥BC ， ∴AC ∥GH ，∴∠1＝∠2，∴∠DEF ＝∠2，(6分)∴tan ∠2＝2，即CH GH＝2，又∵∠B ＝45°，∴GH ＝BH ，则CHBH＝2，(8分)∵BC＝3，∴CH＝2，BH＝1，∴BG＝ 2.(10分)18. (1)证明：如解图①，连接OD，∵DE是⊙O的切线，第18题解图①∴∠ODE＝90°，∴∠ADE＋∠BDO＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，又∵OD＝OB，∴∠B＝∠BDO，∴∠ADE＝∠A；(4分)(2)解：如解图①，连接CD，∵∠ADE＝∠A，∴AE＝DE.∵BC是⊙O的直径，∠ACB＝90°.∴EC是⊙O的切线，∴DE＝EC.∴AE＝EC.又∵DE＝10，∴AC＝2DE＝20.在Rt△ADC中，DC＝202－162＝12.设BD＝x.在Rt△BDC中，BC2＝x2＋122，在Rt△ABC中，BC2＝(x＋16)2－202，∴x2＋122＝(x＋16)2－202，解得x＝9，(8分)∴BC＝122＋92＝15.(10分)【一题多解】(1)证明：如解图②，连接OD，CD，OE，∵DE是圆O的切线，第18题解图②∴∠ODE＝90°＝∠ECO，∵OD＝OC，OE＝OE，∴Rt△ODE≌Rt△OCE(HL)，∴DE＝CE，∠EDC＝∠ECD，∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC＝∠ADC＝90°，∴∠ADE＋∠CDE＝∠A＋∠ACD＝90°，∴∠ADE＝∠A.(4分)(2)解：∵∠ADE＝∠A，∴AE＝DE，又∵ED＝EC，∴AC＝2DE＝20，∵AD＝16，∴由勾股定理得CD＝AC2－AD2＝202－162＝12，∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△ADC∽△ACB，(7分)∴ADAC＝CDBC，即1620＝12BC，解得BC＝15.(10分)19. (1)证明：如解图，连接OD，第19题解图∵AD平分∠BAC，∴∠DAE＝∠DAB，∵OA ＝OD ，∴∠ODA ＝∠DAO ， ∴∠ODA ＝∠DAE ， ∴OD ∥AE . (3分) ∵DE ⊥AC ，∠DEC ＝90° ∴OD ⊥DE ，∴∠ODE ＝∠DEC ＝90°， ∴DE 是⊙O 的切线．(5分)(2)解：如解图，过点O 作OF ⊥AC 于点F ， 有AF ＝CF ＝12AC ＝3，∴OF ＝AO 2－AF 2＝52－32＝4，(7分) ∵∠OFE ＝∠DEF ＝∠ODE ＝90°， ∴四边形OFED 是矩形，(9分) ∴DE ＝OF ＝4.(10分)20. (1)证明：如解图①，连接OD ，第20题解图①则∠DOB ＝2∠DCB ， 又∵∠A ＝2∠DCB ， ∴∠A ＝∠DOB ， 又∵∠A ＋∠B ＝90°， ∴∠DOB ＋∠B ＝90°， ∴∠BDO ＝90°， 即OD ⊥AB ，又∵OD 是⊙O 的半径， ∴AB 是⊙O 的切线．(5分)(2)解：如解图②，过点O 作OM ⊥CD 于点M ，连接DE ，第20题解图②∵OD ＝OE ＝BE ＝12BO ，∠BDO ＝90°，∴∠B ＝30°， ∴∠DOB ＝60°， ∴∠D C B ＝30°， ∴O C ＝2OM ＝2， ∴OD ＝2，∴BD ＝ODtan60°＝2 3.(10分) 21. (1)解：如解图，连接CD ， ∵BC 是⊙O 的直径，∴∠BDC ＝90°，即CD ⊥AB ，(2分) ∵AD ＝DB ，OC ＝5， ∴AC ＝BC ＝2OC ＝10.(4分) (2)证明：如解图，连接OD ，第21题解图∵由(1)得CD ⊥AB ，∴∠ADC ＝90°，∵E 为AC 的中点， ∴DE ＝EC ＝12AC ，∴∠1＝∠2，(5分) ∵OD ＝OC ， ∴∠3＝∠4，(6分) ∵AC 切⊙O 于点C ， ∴AC ⊥OC .(7分)∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，即DE ⊥OD ， ∴DE 是⊙O 的切线．(8分)22. (1)证明：∵∠AFB ＝∠ABC ，∠ABC ＝∠ADC ， ∴∠AFB ＝∠ADC ， ∴CD ∥BF ，∴∠APD ＝∠ABF ，(2分) ∵CD ⊥AB ， ∴∠APD ＝90°， ∴∠ABF ＝90° ∴AB ⊥BF ，∴直线BF 是⊙O 的切线．(3分) (2)解：如解图，连接OD ，(4分)第22题解图∵CD ⊥AB ，∴PD ＝12CD ＝3，(5分)∵OP ＝1， ∴OD ＝2，(6分)∵∠PAD ＝∠BAF ，∠APD ＝∠ABF ＝90°， ∴△APD ∽△ABF ，∴AP AB ＝PDBF，(7分) ∴34＝3BF， ∴BF ＝433.(8分)。
中考数学 第一部分 考点研究复习 第六章 圆 第27课时 与圆有关的位置关系练习(含解析)(202
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第六章圆第27课时与圆有关的位置关系基础过关1。
(2016宜昌）在公园的O处附近有E,F，G,H四棵树,位置如图所示(图中小正方形的边长均相等）．现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木．则E，F，G，H四棵树中需要被移除的为（）A。
E，F，G B. F，G，HC. G，H，E D。
H，E,F第1题图第3题图2. (2016湘西州）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3 cm,AC＝4 cm，以点C为圆心，以2。
5 cm为半径画圆，则⊙C与直线AB的位置关系是（)A。
相交 B. 相切 C. 相离 D。
不能确定3。
(2016上海）如图,在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝7，点D在边BC上，CD＝3,⊙A的半径长为3,⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，那么⊙D的半径长r的取值范围是( ）A. 1＜r＜4 B. 2＜r＜4C。
1＜r＜8 D. 2＜r＜84。
(2016贵阳)小颖同学在手工制作中，把一个边长为12 cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上．若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为（)A。
中考数学第一部分第六章圆课时26与圆有关的位置关系习题
第六章 圆课时26 与圆有关的位置关系 玩转江西9年中考真题(2008～2016年)命题点1 点与圆的位置关系(近9年仅2009年考查)1. (2009江西8题3分)在数轴上，点A 所表示的实数为3，点B 所表示的实数为A ，⊙A 的半径为2.下列说法中不正确．．．的是( ) A. 当A <5时，点B 在⊙A 内 B. 当1<A <5时，点B 在⊙A 内 C. 当A <1时，点B 在⊙A 外 D. 当A >5时，点B 在⊙A 外命题解读：题型以解答题为主，考查形式有：①切线与圆周角定理结合求角度；②切线的性质与特殊四边形的判定结合；③切线的判定；④与坐标系结合求点坐标和直线解析式． 命题点2 切线的证明与相关计算(9年6考)第2题图2. (2012江西9题3分)如图，AC 经过⊙O 的圆心，AB 与⊙O 相切于点B ，若∠A ＝50°，则∠C ＝________度．3. (2016江西18题8分)如图，AB 是⊙O 的直径，点P 是弦AC 上一动点(不与点A ，C 重合)，过点P 作PE ⊥AB ，垂足为E ，射线EP 交AC ︵于点F ，交过点C 的切线于点D .满分技法：1. 证明圆的切线时，常采用判定定理法，其基本思路是：当已知点在圆上时，连接过这点的半径，证明这条半径与直线垂直即可，简述为：有切点，连半径，证垂直．证明垂直时常会用到如下方法： (1)图中有90°角时：①利用等角代换：通过互余的两个角之间的等量代换得证； ②利用平行线性质：证明切线与已知直角的一条边平行即可；③利用三角形相似：通过证明切线所在三角形与含90°的三角形相似得证； ④利用三角形全等：通过证明切线所在三角形与含90°角的三角形全等得证．(2)图中无90°角时：利用等腰三角形性质：通过证明切线为所在等腰三角形的中线或角平分线，再根据等腰“三线合一”的性质得证．2. 解决与切线有关的线段问题的方法：当已知切线时，常连接切点与圆心或寻找直径所对的圆周角，构造直角三角形，然后利用勾股定理或解直角三角形计算线段长度，有时也会根据圆中相等的角，得到相似三角形，根据相似三角形相关性质解决问题；而在求角度时，利用圆周角定理及其推论，三角形内角和、内外角关系求解；3. 与坐标系结合的问题，要通过坐标系构造直角三角形，求得点的坐标；在求直线解析式时，要结合题干或是前面求解的条件，寻求直线上两点坐标，再利用待定系数法求解．(1)求证：DC ＝DP ；(2)若∠CAB ＝30°，当F 是AC ︵的中点时，判断以A ，O ，C ，F 为顶点的四边形是什么特殊四边形？并说明理由．第3题图4. (2013江西22题9分)如图，在平面直角坐标系中，以点O 为圆心，半径为2的圆与y 轴交于点A ，点P (4，2)是⊙O 外一点，连接AP ，直线PB 与⊙O 相切于点B ，交x 轴于点C .(1)证明：PA 是⊙O 的切线； (2)求点B 的坐标； (3)求直线AB 的解析式．第4题图5. (2014江西22题9分)如图①，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，P是⊙O上半部分的一个动点，连接OP，CP.(1)求△OPC的最大面积；(2)求∠OCP的最大度数；(3)如图②，延长PO交⊙O于点D，连接DB，当CP＝DB时，求证：CP是⊙O的切线．第5题图6. (2010江西22题8分)“6”字形图中，FM是大⊙O的直径，BC与大⊙O相切于B，OB与小⊙O相交于A，AD∥BC，CD∥BH∥FM，DH⊥BH于H，设∠FOB＝α，OB＝4，BC＝6.(1)求证：AD为小⊙O的切线；(2)在图中找出一个可用α表示的角，并说明你这样表示的理由；(根据所写结果的正确性及所需推理过程的难易程度得分略有差异)(3)当α＝30°时，求DH的长．(结果保留根号)第6题图【试题链接】2009年23题见P53.【拓展猜押】如图①，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF和⊙O相切于点C，AD⊥EF，垂足为D.(1)求证：∠CAD＝∠BAC；(2)如图②，若把直线EF向上平移，使得EF与⊙O相交于G，C两点(点C在G的右侧)，连接AC，AG，若题中其他条件不变，这时图中存在一个与∠CAD相等的角，找出这个角，并证明．拓展猜押题图【答案】1. A【解析】若用D、r分别表示点到圆心的距离和圆的半径，则当D>r时，点在圆外；当D＝r时，点在圆上；当D<r时，点在圆内．由于圆心A在数轴上的坐标为3，圆的半径为2，⊙A与数轴交于两点：1，5，∴当D＝r时，即当A＝1，5时，点B在⊙O上；当D<r，即当1<A<5时，点B在⊙O内；当D>r，即当A<1或A>5时，点B在⊙O外．由以上结论可知选项B、C、D正确，选项A错误．第2题解图2. 20 【解析】如解图，连接OB，∵AB与⊙O相切于点B，∴∠OBA＝90°，又∠A＝50°，∴∠BOA＝40°，∴∠C＝20°.3. 证明：(1)如解图，连接OC.∵DC是⊙O的切线，OC为半径，∴∠OCD＝90°，即∠OCA＋∠ACD＝90°.∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OC A.又∵ PE⊥AB，∴∠OAC＋∠APE＝90°，∴∠APE＝∠ACD.又∵∠DPC＝∠APE，∴∠DPC＝∠ACD，∴DC＝DP；(3分)第3题解图(2)四边形AOCF是菱形．(4分)理由：如解图所示，连接AF ，FC ，OF ，OC . ∵AO ＝CO ，∠CAB ＝30°， ∴∠ACO ＝∠CAB ＝30°， ∴∠AOC ＝120°. ∵F 是AC ︵的中点，∴∠AOF ＝∠FOC ＝12∠AOC ＝60°，(6分)∴△AOF ，△FOC 是等边三角形， ∴AO ＝AF ＝FC ＝OC ，∴四边形AOCF 是菱形．(8分) 4. (1)证明：∵A (0，2)，P (4，2)， ∴AP ∥OC ，∴∠PAO ＋∠COA ＝180°. ∵∠COA ＝90°， ∴∠PAO ＝90°， 又∵PA 经过半径外端， ∴PA 是⊙O 的切线；(2分)(2)解：如解图，过点P 作P T⊥OC 交x 轴于点T ，过点B 作BE ⊥O T 于点E ，连接AB ，OB .第4题解图∵BP 是⊙O 的切线， ∴∠OBC ＝90°＝∠P T C ， 又∵∠PC T ＝∠OCB ，OB ＝P T ＝2， ∴Rt △OCB ≌Rt △PC T(HL)， ∴BC ＝T C .设BC ＝T C ＝x ，则OC ＝4－x. 在Rt △OBC 中，由勾股定理得， (4－x)2＝x 2＋22，解得x ＝32，即BC ＝T C ＝32，∴OC ＝4－x ＝52.根据面积公式，可得，12OC ·EB ＝12OB ·BC ，即52·EB ＝2×32，解得EB ＝65，(4分) 在Rt △OEB 中，由勾股定理得，OE ＝OB 2－EB 2＝22－（65）2＝85，∵点B 在第四象限，∴点B 的坐标为(85，－65)；(6分)(3)解：设直线AB 的解析式是y ＝kx ＋B ， 把点A (0，2)，B (85，－65)代入，得：⎩⎪⎨⎪⎧b ＝285k ＋b ＝－65， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2b ＝2. ∴直线AB 的解析式是y ＝－2x ＋2.(9分) 5. 解：(1)∵△OPC 的边长OC 是定值，∴当OP ⊥OC 时，OC 边上的高为最大值，此时△OPC 的面积最大， ∵AB ＝4，BC ＝2，∴OP ＝OB ＝2，OC ＝OB ＋BC ＝4. ∴S △OPC ＝12OC ·OP ＝12×4×2＝4.即△OPC 的最大面积为4；(2分)(2)当PC 与⊙O 相切即OP ⊥PC 时，∠OCP 的度数最大．(3分) 在Rt △OPC 中，∠OPC ＝90°，OC ＝4，OP ＝2， ∴sin ∠OCP ＝OP OC ＝12.∴∠OCP ＝30°；(5分)(3)证明：如解图，连接AP ，BP ， ∵∠AOP ＝∠DOB ， ∴AP ＝DB .(6分)第5题解图∵CP＝DB，∴AP＝PC.∴∠A＝∠C.∵∠A＝∠D，∴∠C＝∠D.(7分)∵OC＝PD＝4，PC＝DB，∴△OPC≌△PBD.∴∠OPC＝∠PBD.(8分)∵PD是⊙O的直径，∴∠PBD＝90°.∴∠OPC＝90°.∴OP⊥PC.又∵OP是⊙O的半径，∴CP是⊙O的切线．(9分)6. (1)证明：∵BC是大⊙O的切线，∴∠CBO＝90°，(1分)∵BC∥AD，∴∠DAO＝90°，即OA⊥AD，又∵点A在小⊙O上，∴AD为小⊙O的切线；(2分)(2)解：(答案不唯一)所有结果分层如下：A层次：①∠BOM＝180°－α；②∠GBO＝α；③∠BGA＝90°－α；④∠DGH＝90°－α；⑤∠CBG＝90°－α；⑥∠BGD＝90°＋α.(3分)B层次：⑦∠GDH＝α；⑧∠CDA＝90°－α；⑨∠C＝90°＋α.(4分)相应的说明过程如下：A层次：选③理由：∵BH∥FM，∴∠GBO＝∠FOB＝α.由(1)可知，∠BAG＝90°，∴∠BGA＝90°－α.(5分)B层次：选⑨理由：∵BH∥FM，∴∠GBO＝∠FOB＝α.由(1)可知，∠BAG＝90°，∴∠BGA＝90°－α.∵CD∥BG，∴∠CDG＝∠BGA＝90°－α.∵CB∥AD，∴∠C＝180°－∠CDG＝180°－(90°－α)＝90°＋α；(6分) (3)解：∵CD∥BG，CB∥DG，∴四边形BGDC是平行四边形，∴DG＝BC＝6，又∵∠DGH＝90°－α＝90°－30°＝60°，∠DHG＝90°，∴DH＝sin60°×6＝3 3.(8分)【拓展猜押】(1)证明：如解图①，连接OC，则OC⊥EF，且OC＝OA，解图①∴∠OCA＝∠OAC，∵AD⊥EF，∴OC∥AD.∴∠OCA＝∠CAD，∴∠CAD＝∠OAC.即∠CAD＝∠BAC. 解图②(2)解：与∠CAD相等的角是∠BAG.证明如下：如解图②，连接BG，∵四边形ACGB是⊙O的内接四边形，∴∠ABG＋∠ACG＝180°，∵D，C，G共线，∴∠ACD＋∠ACG＝180°，∴∠ACD ＝∠ABG . ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠BAG ＋∠ABG ＝90°， ∵AD ⊥EF ，∴∠CAD ＋∠ACD ＝90°， ∴∠CAD ＝∠BAG .第2题解图∵BP 是⊙O 的切线， ∴∠OBC ＝90°＝∠PTC ， 又∵∠PCT ＝∠OCB ，OB ＝PT ＝2， ∴△OCB ≌△PCT ， ∴BC ＝TC .设BC ＝TC ＝x ，则OC ＝4－x . 在Rt △OBC 中，由勾股定理得， (4－x )2－x 2＝22解得x ＝32，即BC ＝TC ＝32，∴OC ＝4－x ＝52.根据面积公式，可得OC ·EB ＝OB ·BC 即52·EB ＝2×32，解得EB ＝65，(4分)在Rt △OEB 中，由勾股定理得，OE ＝OB 2－EB 2＝22－（65）2＝85，∵点B 在第四象限，∴点B 的坐标为(85，－65)；(6分)(3)解：设直线AB 的解析式是y ＝kx ＋B ，把点A (0，2)，B (85，－65)代入，得： ⎩⎪⎨⎪⎧b ＝285k ＋b ＝－65， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2b ＝2. ∴直线AB 的解析式是y ＝－2x ＋2.(9分)3. 解：(1)∵△OPC 的边长OC 是定值，∴当OP ⊥OC 时，OC 边上的高为最大值，此时△OPC 的面积最大，∵AB ＝4，BC ＝2，∴OP ＝OB ＝2，OC ＝OB ＋BC ＝4.∴S △OPC ＝12OC ·OP ＝12×4×2＝4. 即△OPC 的最大面积为4；(2分)(2)当PC 与⊙O 相切即OP ⊥PC 时，∠OCP 的度数最大．(3分)在Rt △OPC 中，∠OPC ＝90°，OC ＝4，OP ＝2，∴sin ∠OCP ＝OP OC ＝12. ∴∠OCP ＝30°；(5分)(3)证明：如解图，连接AP ，BP .∴∠AOP ＝∠DOB ，∴AP ＝DB .(6分)第3题解图∵CP ＝DB ，∴AP ＝PC .∴∠PAO ＝∠C .∵∠PAO ＝∠ODB ，∴∠C ＝∠ODB .(7分)∵OC ＝PD ＝4，PC ＝DB ，∴△OPC ≌△PBD .∴∠OPC ＝∠PBD .(8分)∵PD是⊙O的直径，∴∠PBD＝90°.∴∠OPC＝90°.∴OP⊥PC.又∵OP是⊙O的半径，∴CP是⊙O的切线．(9分)4. (1)证明：∵BC是大⊙O的切线，∴∠CBO＝90°，(1分)∵BC∥AD，∴∠DAO＝90°，即OA⊥AD，又∵点A在小⊙O上，∴AD为小⊙O的切线；(2分)(2)解：(答案不唯一)所有结果分层如下：A层次：①∠BOM＝180°－α；②∠GBO＝α；③∠BGA＝90°－α；④∠DGH＝90°－α；⑤∠CBG＝90°－α；⑥∠BGD＝90°＋α.(3分)B层次：⑦∠GDH＝α；⑧∠CDA＝90°－α；⑨∠C＝90°＋α.(4分)相应的说明过程如下：A层次：选③理由：∵BH∥FM，∴∠GBO＝∠FOB＝α.由(1)可知，∠BAG＝90°，∴∠BGA＝90°－α.(5分)B层次：选⑨理由：∵BH∥FM，∴∠GBO＝∠FOB＝α.由(1)可知，∠BAG＝90°，∴∠BGA＝90°－α.∵CD∥BG，∴∠CDG＝∠BGA＝90°－α.∵CB∥AD，∴∠C＝180°－∠CDG＝180°－(90°－α)＝90°＋α；(6分)(3)解：∵CD∥BG，CB∥DG，∴四边形BGDC是平行四边形，∴DG＝BC＝6，又∵∠DGH ＝90°－α＝90°－30°＝60°，∠DHG＝90°，∴DH＝sin60°×6＝3 3.(8分)。
推荐2018年中考数学复习第一部分考点研究第六单元圆第26课时与圆有关的位置关系含近9年中考真题试题_
第一部分考点研究第六单元圆第26课时与圆有关的位置关系浙江近9年中考真题精选(2009～2017)命题点1点与圆、直线与圆的位置关系(杭州2013.7，绍兴2015.14)1. (2013杭州7题3分)在一个圆中，给出下列命题，其中正确的是( )A. 若圆心到两条直线的距离都等于圆的半径，则这两条直线不可能垂直B. 若圆心到两条直线的距离都小于圆的半径，则这两条直线与圆一定有4个公共点C. 若两条弦所在直线不平行，则这两条弦可能在圆内有公共点D. 若两条弦平行，则这两条弦之间的距离一定小于圆的半径2. (2011杭州5题3分)在平面直角坐标系xOy中，以点(－3，4)为圆心，4为半径的圆( )A. 与x轴相交，与y轴相切B. 与x轴相离，与y轴相交C. 与x轴相切，与y轴相交D. 与x轴相切，与y轴相离3. (2015绍兴14题5分)在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，点P在以C为圆心，5为半径的圆上，连接PA，PB，若PB＝4，则PA的长为________．命题点2切线性质的相关计算类型一与角度有关的计算(杭州2017.12)4. (2016湖州8题3分)如图，圆O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，∠A＝25°.过点C作圆O的切线，交AB的延长线于点D，则∠D的度数是( )第4题图A. 25°B. 40°C. 50°D. 65°5. (2012嘉兴4题4分)如图，AB 是⊙O 的弦，BC 与⊙O 相切于点B ，连接OA ，OB .若∠ABC ＝70°，则∠A 等于( )A. 15°B. 20°C. 30°D. 70°第5题图6. (2017杭州12题4分)如图，AT 切⊙O 于点A ，AB 是⊙O 的直径．若∠ABT ＝40°，则∠ATB ＝________.第6题图类型二 与三角函数有关的计算(台州2013.14)7. (2016衢州9题3分)如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的点，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，若∠A ＝30°，则sin E 的值为( )A. 12B. 22C. 32D. 33第7题图8. (2013台州14题5分)如图，在⊙O 中，过直径AB 延长线上的点C 作⊙O 的一条切线，切点为D ，若AC ＝7，AB ＝4，则sin C 的值为________．第8题图类型三 与线段有关的计算(温州2014.16)9. (2015嘉兴7题4分)如图，△ABC 中，AB ＝5，BC ＝3，AC ＝4，以点C 为圆心的圆与AB 相切，则⊙C 的。
浙江省中考数学复习第一部分考点研究第六单元圆第26课时与圆有关的位置关系试题(2021年整理)
浙江省2018年中考数学复习第一部分考点研究第六单元圆第26课时与圆有关的位置关系试题编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（浙江省2018年中考数学复习第一部分考点研究第六单元圆第26课时与圆有关的位置关系试题）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第六单元圆第26课时与圆有关的位置关系（建议答题时间：60分钟）基础过关1. 已知⊙O的半径为3，圆心O到直线L的距离为2,则直线L与⊙O的位置关系是（)A. 相交B. 相切C. 相离D. 不能确定2。
（2017广州）如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的( ）A. 三条边的垂直平分线的交点B。
三条角平分线的交点C。
三条中线的交点D。
三条高的交点第2题图3. (2017安顺)如图，⊙O的直径AB＝4，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，OC＝5，则AD的长为( )第3题图A。
错误! B. 错误! C. 错误! D. 错误!4。
如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，∠CDB＝30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则sin E的值是（）A。
错误! B.错误! C.错误! D。
错误!第4题图5. 如图，在平面直角坐标系中，⊙P与y轴相切，交直线y＝x于A，B两点，已知圆心P的坐标为（2，a）(a＞2)，A B＝2错误!，则a的值为( ）第5题图A. 4B. 2＋错误!C. 错误!D. 错误!6. （2017泰安）如图，圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M，若∠ABC＝55°,则∠ACD等于（)A。
2018年中考数学总复习 第六单元 圆 专题20 与圆有关的位置关系试题 新人教版 Word版 含答案
专题20与圆有关的位置关系2016~2018详解详析第27页A组基础巩固1.(2017海南临高二中模拟,12,3分)已知☉O的半径是4,OP=3,则点P与☉O的位置关系是(A)A.点P在圆内B.点P在圆上C.点P在圆外D.不能确定2.(2017山东聊城阳谷一模,7,3分)已知等腰三角形的腰长为6 cm,底边长为4 cm,以等腰三角形的顶角的顶点为圆心5 cm为半径画圆,那么该圆与底边的位置关系是(A)A.相离B.相切C.相交D.不能确定3.(2016云南曲靖一模,7,3分)如图,P为☉O外一点,PA,PB分别切☉O于点A,B,CD切☉O于点E且分别交PA,PB于点C,D,若PA=4,则△PCD的周长为(C)A.5B.7C.8D.104.(2016湖南株洲十五中月考,16,3分)Rt△ABC中两条直角边分别为6 cm,8 cm,则外接圆半径为5 cm.5.(2016江西临川一模,10)如图,已知△ABC内接于☉O,BC是☉O的直径,MN与☉O相切,切点为A,若∠MAB=30°,则∠B=60°.6.(2017山东滨州邹平模拟,23,10分)已知直线l与☉O,AB是☉O的直径,AD⊥l于点D.(1)如图①,当直线l与☉O相切于点C时,求证:AC平分∠DAB;(2)如图②,当直线l与☉O相交于点E,F时,求证:∠DAE=∠BAF.图①图②证明略.〚导学号92034086〛B组能力提升1.(2017山东临沂模拟,11,3分)以点P(1,2)为圆心,r为半径画圆,与坐标轴恰好有三个交点,则r 应满足(A)A.r=2或B.r=2C.r=D.2≤r≤2.(2017天津西青期末,17,3分)如图,在平面直角坐标系xOy中,半径为2的☉P的圆心P的坐标为(-3,0),将☉P沿x轴正方向平移,使☉P与y轴相切,则平移的距离为1或5.〚导学号92034087〛C组综合创新(2017甘肃庆阳长庆期末,10,13分)如图,已知AB是☉O的直径,AD切☉O于点A,点C是的中点,则下列结论:①OC∥AE;②EC=BC;③∠DAE=∠ABE;④AC⊥OE,其中正确的有(C)A.1个B.2个C.3个D.4个。
专题复习：与圆有关的位置关系(2018年中考版)
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专题复习：与圆有关的位置关系知识点一、点与圆的位置关系1.设圆O 的半径为r,点P 到圆心的距离为OP=d.则:点P在圆外⇔____；点P 在圆上⇔____;点P 在圆内⇔____。
2。
确定圆的条件:不在同一直线上的三个点确定_____圆.3.三角形的外心：三角形外接圆的圆心,三角形三边的___________的交点.例题解析：例题1、（2017•遂宁)如图，⊙O 的半径为6，△ABC 是⊙O 的内接三角形，连接OB 、OC ，若∠BAC 与∠BOC 互补，则线段BC 的长为( ）A ．B ．3C ．D ．6例题2、(2018·温州中考)如图,D 是△ABC 的BC 边上一点，连接AD,作△ABD 的外接圆，将△ADC 沿直线AD 折叠，点C 的对应点E 落在圆上。
(1)求证：AE=AB 。
(2)若∠CAB=90°,cos∠ADB= ,BE=2，求BC 的长.【方法指导】三角形外接圆的相关问题（1)三角形的外心是三角形外接圆圆心,也是三角形三边垂直平分线的交点,它到三角形三个顶点的距离相等.(2）三角形的外接圆只有一个，即对于给定的三角形,其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数多个知识点二、直线与圆的位置关系1。
三种位置关系:_____、_____、_____.2。
中考数学复习《与圆有关的位置关系》专题训练含答案
中考复习专题训练与圆有关的位置关系一、选择题1.⊙O1的半径为1cm，⊙O2的半径为4cm，圆心距O1O2=3cm，这两圆的位置关系是( )A. 相交B. 内切C. 外切D. 内含2.⊙O的半径为4，线段OP=4，则点P与⊙O的位置关系是（）A. 点P在⊙O外B. 点P在⊙O内C. 点P在⊙O上D. 不能确定3.两圆外离，作它们的两条内公切线，四个切点构成的四边形是（）A. 矩形B. 等腰梯形C. 矩形或等腰梯形D. 菱形4. 已知线段AB=7cm，现以点A为圆心，2cm为半径画⊙A；再以点B为圆心，3cm为半径画⊙B，则⊙A 和⊙B的位置关系（）A. 内含B. 相交C. 外切D. 外离5.下列四个命题中，真命题是( )A. 相等的圆心角所对的两条弦相等；B. 圆既是中心对称图形也是轴对称图形；C. 平分弦的直径一定垂直于这条弦；D. 相切两圆的圆心距等于这两圆的半径之和.6.在△ABC中，cosB=，∠C=45°，AB=8，以点B为圆心4为半径的⊙B与以点C为圆心的⊙C相离，则⊙C的半径不可能为（）A. 15B. 5C. 6D. 77. 如图，已知⊙O的半径为4，点D是直径AB延长线上一点，DC切⊙O于点C，连接AC，若∠CAB=30°，则BD的长为（）A. 4B. 8C. 4D. 28.下列说法正确的是（）A. 任意三点可以确定一个圆B. 平分弦的直径垂直于弦，并且平分该弦所对的弧C. 同一平面内，点P到⊙O上一点的最小距离为2，最大距离为8，则该圆的半径为5D. 同一平面内，点P到圆心O的距离为5，且圆的半径为10，则过点P且长度为整数的弦共有5条9.如图，AB为⊙O的直径，P为AB延长线上一点，PT切⊙O于T，若PT=6，PB=2，则⊙O的直径为（）A. 8B. 10C. 16D. 1810.如图，在等腰三角形△ABC中，O为底边BC的中点，以O为圆心作半圆与AB，AC相切，切点分别为D，E．过半圆上一点F作半圆的切线，分别交AB，AC于M，N．那么的值等于（）A. B. C. D. 111.如图，⊙O的半径为2，点O到直线L的距离为3，点O是直线L上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为（）A. B. C. 3 D. 512.已知如图，PA、PB切⊙O于A、B，MN切⊙O于C，交PB于N；若PA=7.5cm，则△PMN的周长是（）A. 7.5cmB. 10cmC. 15cmD. 12.5cm二、填空题13.已知⊙P在直角坐标平面内，它的半径是5，圆心P（﹣3，4），则坐标原点O与⊙P的位置关系是________14.已知点P在半径为5的⊙O外，如果设OP=x，那么x的取值范围是________．15.如图，已知扇形AOB的半径为6，圆心角为90°，E是半径OA上一点，F是上一点．将扇形AOB沿EF对折，使得折叠后的圆弧恰好与半径OB相切于点G．若OE=4，则O到折痕EF的距离为________．16.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC≠BC，点M是边AC上的动点．过点M作MN∥AB交BC于N，现将△MNC沿MN折叠，得到△MNP．若点P在AB上．则以MN为直径的圆与直线AB的位置关系是________．17.如图，在⊙O中，OB为半径，AB是⊙O的切线，OA与⊙O相交于点C，∠A=30°，OA=8，则阴影部分的面积是________．18. 如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是的中点，CE⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE、CB于点P、Q，连接AC，关于下列结论：①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③点P是∠ACQ的外心，其中正确结论是________ （只需填写序号）．19.如图，AE、AD、BC分别切⊙O于E、D、F，若AD=20，则△ABC的周长为 ________20.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4 ．若动点D在线段AC上（不与点A、C重合），过点D作DE⊥AC交AB边于点E．点A关于点D的对称点为点F，以FC为半径作⊙C，当DE=________时，⊙C与直线AB相切．21.如图，在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF=45°，则图中阴影部分的面积为________．三、解答题22.如图，已知PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠OAB＝30°．（1）求∠APB的度数；（2）当OA＝3时，求AP的长．23.如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，以AB为直径的⊙O与DC相切于E．已知AB=8，边BC 比AD大6．（1）求边AD、BC的长；（2）在直径AB上是否存在一动点P，使以A、D、P为顶点的三角形与△BCP相似？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由．24.在⊙O中，AB为直径，C为⊙O上一点．（Ⅰ）如图①，过点C作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB=32°，求∠P的大小；（Ⅱ）如图②，D为优弧ADC上一点，且DO的延长线经过AC的中点E，连接DC与AB相交于点P，若∠CAB=16°，求∠DPA的大小．25.解答题（1）如图1，已知⊙O的半径是4，△ABC内接于⊙O，AC=4 ．①求∠ABC的度数；②已知AP是⊙O的切线，且AP=4，连接PC．判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）如图2，已知▱ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O内，延长BC交⊙O于点E，连接DE．求证：DE=DC．参考答案一、选择题B C C D B D C D C B B C二、填空题13.点O在⊙P上14.x＞515.216.相交17.8 ﹣π18.②③19.4020.或21.4﹣π三、解答题22.解：（1）∵在△ABO中，OA=OB，∠OAB=30°，∴∠AOB=180°-2×30°=120°，∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°，∴在四边形OAPB中，∠APB=360°-120°-90°-90°=60°．（2）如图，连接OP；∵PA、PB是⊙O的切线，∴PO平分∠APB，即∠APO=∠APB=30°，又∵在Rt△OAP中，OA=3，∠APO=30°，∴AP=.23.解：（1）方法1：过D作DF⊥BC于F，在Rt△DFC中，DF=AB=8，FC=BC﹣AD=6，∴DC2=62+82=100，即DC=10．设AD=x，则DE=AD=x，EC=BC=x+6，∴x+（x+6）=10．∴x=2．∴AD=2，BC=2+6=8．方法2：连OD、OE、OC，由切线长定理可知∠DOC=90°，AD=DE，CB=CE，设AD=x，则BC=x+6，由射影定理可得：OE2=DE•EC．即：x（x+6）=16，解得x1=2，x2=﹣8，（舍去）∴AD=2，BC=2+6=8．（2）存在符合条件的P点．设AP=y，则BP=8﹣y，△ADP与△BCP相似，有两种情况：①△ADP∽△BCP时，有即∴y=；②△ADP∽△BPC时，有即∴y=4．故存在符合条件的点P，此时AP=或4．24.解：（Ⅰ）连接OC，如图①，∵PC为切线，∴OC⊥PC，∴∠OCP=90°，∵OA=OC，∴∠OCA=∠CAB=32°，∴∠POC=∠OCA+∠CAB=64°，∴∠P=90°﹣∠POC=90°﹣64°=26°；（Ⅱ）如图②，∵点E为AC的中点，∴OD⊥AC，∴∠OEA=90°，∴∠AOD=∠CAB+∠OEA=16°+90°=106°，∴∠C= ∠AOD=53°，∴∠DPA=∠BAC+∠C=16°+53°=69°25.（1）解：①连结OA、OC，如图1，∵OA=OC=4，AC=4 ，∴OA2+OC2=AC2，∴△OCA为等腰直角三角形，∠AOC=90°，∴∠ABC= ∠AOC=45°；②直线PC与⊙O相切．理由如下：∵AP是⊙O的切线，∴∠OAP=90°，而∠AOC=90°，∴AP∥OC，而AP=OC=4，∴四边形APCO为平行四边形，∵∠AOC=90°，∴四边形AOCP为矩形，∴∠PCO=90°，∴PC⊥OC，∴PC为⊙O的切线（2）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠B+∠A=180°，∠DCE=∠B，∵∠E+∠A=180°，∴∠E=∠B，∴∠DCE=∠E，∴DC=DE．。
云南省2018年中考数学总复习 第六章 圆 第二节 与圆有关的位置关系同步训练
第二节与圆有关的位置关系姓名：________ 班级：________ 限时：______分钟1．(2018·大庆)在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，且AC＝6，则这个三角形的内切圆半径为______．2．(2018·台州)如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D.若∠A＝32°，则∠D＝ ________度．3．(2018·益阳)如图，在圆O中，AB为直径，AD为弦，过点B的切线与AD的延长线交于点C，AD＝DC，则∠C＝________度．4．(2018·连云港)如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点P，已知∠OAB ＝22°，则∠OCB＝__________．5．(2018·湖州)如图，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连接OB，OD.若∠ABC＝40°，则∠BOD的度数是__________．6．(2018·安徽)如图，菱形ABOC的边AB，AC分别与⊙O相切于点D，E，若点D是AB的中点，则∠DOE ＝________°.7．(2019·原创)如图，点E 在BC ︵上(不与点B ，C 重合)，连接BE ，CE.过C 作⊙O 的切线交BA 的延长线于点D ，若∠D＝40°，则∠BEC＝__________度．8．(2018·临沂)如图，在△ABC 中，∠A＝60°，BC ＝5 cm .能够将△ABC 完全覆盖的最小圆形片的直径是________cm .9．(2017·广州)如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，则点O 是△ABC 的( )A ．三条边的垂直平分线的交点B ．三条角平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三条高的交点10．(2018·湘西州)已知⊙O 的半径为5 cm ，圆心O 到直线l 的距离为5 cm ，则直线l 与⊙O 的位置关系为( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离D ．无法确定11．(2018·眉山)如图所示，AB 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于点A ，线段PO 交⊙O 于点C ，连接BC ，若∠P ＝36°，则∠B＝( )A ．27°B ．32°C ．36°D ．54°12．(2018·福建)如图，AB 是⊙O 的直径，BC 与⊙O 相切于点B ，AC 交⊙O 于点D ，若∠ACB＝50°，则∠BOD 等于( )A ．40°B ．50°C ．60°D ．80°13．(2018·泰安)如图，BM 与⊙O 相切于点B ，若∠MBA＝140°，则∠ACB 的度数为( )A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°14．(2018·自贡)如图，若△ABC 内接于半径为R 的⊙O，且∠A＝60°，连接OB 、OC ，则边BC 的长为( )A.2RB.32R C.22R D.3R15．(2019·创新)如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AB ＝4，若以C 点为圆心，2为半径作⊙C，则AB 的中点O 与⊙C 的位置关系是( )A．点O在⊙C外B．点O在⊙C上C．点O在⊙C内D．不能确定16．(2018·深圳)如图，一把直尺，60°的直角三角板和光盘如图摆放，A为60°角与直尺交点，AB＝3，则光盘的直径是( )A．3 B．3 3 C．6 D．6 317．(2018·重庆A卷)如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切于点D，过点B 作PD的垂线交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为4，BC＝6，则PA的长为( )A．4 B．2 3 C．3 D．2.518．(2018·曲靖一模)如图，直线PA、PB是⊙O的两条切线，A、B分别为切点，若∠APB＝120°，⊙O 的半径为10，则弦AB的长为( )A．5 B．10 C．10 3 D．5 319．(2018·曲靖罗平一模)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O经过点E，且交BC于点F.(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若BF＝6，⊙O的半径为5，求CE的长．20．(2018·昆明五华区二模)如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 、BC 于D 、E ，点F 在AC 的延长线上，且∠CBF＝12∠CAB.(1)求证：直线BF 是⊙O 的切线； (2)若AB ＝5，BC ＝25，求cos ∠CBF.21．(2018·昆明官渡区一模)如图，已知Rt△ABC，∠C＝90°，D为BC的中点，以AC为直径的⊙O交AB 于点E.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若AE∶EB＝1∶2，BC＝6，求AE的长．22．(2018·郴州)已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB＝AD，AE是⊙O的弦，∠AEC＝30°.(1)求证：直线AD是⊙O的切线；(2)若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为4，求AE的长．23．(2018·黄冈)如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，过B点的切线交OP于点C.(1)求证：∠CBP＝∠ADB；(2)若OA＝2，AB＝1，求线段BP的长．24．(2018·陕西)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，分别与AC、BC相交于点M、N.(1)过点N作⊙O的切线NE与AB相交于点E，求证：NE⊥AB；(2)连接MD，求证：MD＝NB.25．(2018·北京)如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD.(1)求证：OP⊥CD；(2)连接AD，BC，若∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，OA＝2，求OP的长．1．(2018·泸州)在平面直角坐标系内，以原点O为原心，1为半径作圆，点P在直线y＝3x＋23上运动，过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为( )A．3 B．2 C. 3 D. 22．(2018·山西)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D是AB的中点，以CD为直径作⊙O，⊙O分别与AC，BC交于点E，F，过点F作⊙O的切线FG，交AB于点G，则FG的长为________．3．(2018·枣庄)如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，以BC为直径作⊙O交AB于点D.(1)求线段AD的长度；(2)点E是线段AC上的一点，试问：当点E在什么位置时，直线ED与⊙O相切？请说明理由．4．(2018·新疆建设兵团)如图，PA 与⊙O 相切于点A ，过点A 作AB⊥OP，垂足为C ，交⊙O 于点B.连接PB ，AO ，并延长AO 交⊙O 于点D ，与PB 的延长线交于点E.(1)求证：PB 是⊙O 的切线；(2)若OC ＝3，AC ＝4，求sin E 的值．参考答案 【基础训练】1．2 2.26 3.454.44°5.70°6.607.1158.1033 9．B 10.B 11.A12.D 13.A 14.D 15.B 16.D 17.A 18．B19．解：(1)证明：如解图1，连接OE. ∵OE＝OB ，∴∠OBE＝∠OEB，∵BE 平分∠ABC，∴∠OBE＝∠EBC，∴∠EBC＝∠OEB，∴OE∥BC，∴∠OEA＝∠C.∵∠ACB＝90°，∴∠OEA＝90°，AC⊥OE，且OE 是⊙O 半径，∴AC 是⊙O 的切线；(2)解： 如解图2，连接OE 、OF ，过点O 作OH⊥BF 交BF 于H. 由题意可知四边形OECH 为矩形，∴OH＝CE.∵BF＝6，∴BH＝3，在Rt△BHO 中，OB ＝5， ∴OH＝52－32＝4，∴CE＝4.20．(1)证明： 如解图，连接AE.∵AB 为⊙O 的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠1＋∠2＝90°，∵AB＝AC ，∴∠1＝12∠CAB.又∵∠CBF＝12∠CAB，∴∠1＝∠CBF，∴∠CBF＋∠2＝90°，即∠ABF＝90°，∴AB⊥BF，且AB 为⊙O 的直径，∴直线BF 为⊙O 的切线；(2)解：∵AB＝AC ，∠AEB＝90°，∴AE 是BC 上的中线，∴BE＝12BC ＝5，根据勾股定理得：AE ＝AB 2－BE 2＝20＝25，∴cos∠1＝AE AB ＝255，∴cos∠CBF＝cos∠1＝255.21．(1)证明： 如解图，连接OE 、EC ， ∵AC 是⊙O 直径，∴∠AEC＝90°，∵D 为BC 的中点，∠BEC＝180°－∠AEC＝90°， ∴在Rt△BEC 中，ED ＝DC ＝BD ，∴∠1＝∠2，∵OE＝OC ，∴∠3＝∠4，∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4，即∠OED＝∠ACB.∵∠ACB＝90°，∴∠OED＝90°，又∵OE 为⊙O 的半径，∴DE 是⊙O 的切线；(2)解： ∵AC 是⊙O 的直径，∴∠AEC＝∠BEC＝90°.∵在Rt△BEC 与Rt△BCA 中，∠B＝∠B，∠BEC＝∠BCA， ∴△BEC∽△BCA，∴BE BC ＝BC BA ，∴BC 2＝BE·BA，∵AE∶EB＝1∶2，设AE ＝x ，则BE ＝2x ，BA ＝3x ， ∵BC＝6，∴62＝2x·3x，解得：x ＝6，即AE ＝ 6.22．解：(1)证明： ∵∠AEC＝30°，∴∠ABC＝30°，∵AB＝AD ，∴∠D＝∠B＝30°，∴∠BAD＝120°.连接AO ，如解图．∵OA＝OB ，∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∴∠OAD＝∠BAD－∠BAO＝120°－30°＝90°，∵OA是⊙O的半径，∴AD是⊙O的切线；(2)解：∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∵∠ABC＝30°，∴∠ACM＝60°.∵BC＝2CO＝8，∴AC＝4，∵AE⊥BC，∴AM＝AC·sin∠ACM＝32AC＝23，∴AE＝2AM＝4 3.23．(1)证明：连接OB，则OB⊥BC，∠OBD＋∠DBC＝90°，∵AD为⊙O的直径，∴∠DBP＝∠DBC＋∠CBP＝90°，∴∠OBD＝∠CBP.又∵OD＝OB，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠ODB＝∠CBP，即∠ADB＝∠CBP；(2)解：在Rt△ADB与Rt△APO中，∵∠DAB＝∠PAO，∴Rt△ADB∽Rt△APO，∵AB＝1，AO＝2，∴AD＝4，∴ABAO＝ADAP，∴AP＝8，∴BP＝7.24．证明： (1)如解图，连接ON，则OC＝ON. ∴∠DCB＝∠ONC.∵在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，∴CD＝DB，∴∠DCB＝∠B.∴∠ONC＝∠B.∴ON∥AB.∵NE 是⊙O 的切线，∴NE⊥ON，∴NE⊥AB；(2)如解图，连接ND ，则∠CND＝∠CMD＝90°， ∵∠ACB＝90°，∴四边形CMDN 是矩形，∴MD＝CN.由(1)知CD ＝BD ，ON∥AB，O 为CD 中点，∴N 也为BC 中点，∴CN＝NB ，∴MD＝NB.25．(1)证明： 如解图，PO 与CD 交于点Q ，∵PC、PD 与⊙O 相切于C 、D.∴PC＝PD ，OP 平分∠CPD.在等腰△PCD 中，PC ＝PD ，PQ 平分∠CPD.∴PQ⊥CD 于Q ，即OP⊥CD.(2)解： 如解图，连接OC 、OD.∵OA＝OD ，∴∠OAD＝∠ODA ＝50°，∴∠AOD＝180°－∠OAD－∠ODA＝80°，同理：∠BOC＝40°.∴∠COD＝180°－∠AOD－∠BOC＝60°.在等腰△COD 中，OC ＝OD ，OQ⊥CD，∴∠DOQ＝12∠COD＝30°.∵PD 与⊙O 相切于D ，∴OD⊥DP，∴∠ODP＝90°.在Rt△ODP 中，∠ODP＝90°，∠POD＝30°，∴OP＝OD cos∠POD ＝OA cos 30°＝232＝43 3.【拔高训练】1．D2.1253．解： (1)在Rt△ACB 中，∵AC＝3 cm ，BC ＝4 cm ，∠ACB＝90°，∴由勾股定理得AB ＝5 cm.如解图，连接CD ，∵BC 为直径，∴∠ADC＝∠BDC＝90°. ∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB，∴Rt△ADC∽Rt△ACB， ∴AC AB ＝AD AC ，∴AD＝AC 2AB ＝95；(2)当点E 是AC 的中点时，ED 与⊙O 相切．理由如下： 如解图，连接OD ，∵DE 是Rt△ADC 的中线，∴ED＝EC ，∴∠EDC＝∠ECD.∵OC＝OD ，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠EDO＝∠EDC ＋∠ODC＝∠ECD＋∠OCD＝∠ACB＝90°，∴ED⊥OD，且OD 为⊙O 半径，∴ED 与⊙O 相切．4．(1)证明： 连接OB ，如解图1，∵PO⊥AB， ∴AC＝BC ，∴PA＝PB ，在△PAO 和△PBO 中，⎩⎪⎨⎪⎧PA ＝PB ，AO ＝BO ，PO ＝PO ，∴△PAO≌△PBO(SSS)，∴∠OBP＝∠OAP＝90°，∴PB 是⊙O 的切线；(2)解： 如解图2，连接BD ，则BD∥PO，且BD ＝2OC ＝6， 在Rt△ACO 中，OC ＝3，AC ＝4，∴AO＝5.在Rt△ACO 与Rt△PAO 中，∠AOP＝∠AOC，∠PAO＝∠ACO＝90°，∴△ACO∽△PAO ，∴AO CO ＝PO AO ，∴PO＝253，PA ＝203.∴PB＝PA ＝203，在Rt△ABD 中，AB ＝8，AD ＝10，∴BD＝6.在△EPO 与△EBD 中，BD∥PO，∴△EPO∽△EBD，∴BD PO ＝EB EP ，即6253＝EB EB ＋203，解得EB ＝1207， PE ＝50021， ∴sin E＝PA EP ＝725.。
中考数学第一轮复习第六章圆第27课时 与圆有关的位置关系
答案：
（1）解：如图，连接 AD.
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ADB=90°.
又∵∠ABC=30°，AB=4，
∴BD= 2 3. ∵D 是 BC 的中点，
∴BC=2BD=4 3 .
点（评2）：证此明题：主如要图考，查连了接切O线D．的判定以及含30°角的直角
三角形∵的D性是质B．C连的接中过点，切O点是的A半B径的是中常点见，添加辅助线方
考点二：直线与圆的位置关系
2．设⊙O 的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d， 则有：
直线与圆 相离 相切 相交
交点个数
0 1 2
d 与 r 关系
d＞r d=r d＜r
3．切线的判定方法 （1）定义：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线． （2）与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线． （不知道直线与圆是否有公共点时用到的方法，简称 “作垂直，证半径”） （3）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆 的切线． （知道直线与圆有公共点时用到的方法，简称“连半径， 证垂直”）
∵⊙D 与 OA 相切于点 E， 分析：∴因D为E⊥不O知A道．直线 OB 与⊙D 有没有又公∵共O点C ，平所分以∠证AO明B方，法DF是⊥OB， “作垂∴直D，F=证D半E.径”.
又∵DE是⊙D 的半径，
∴DF 是⊙D 的半径.
∴OB 与⊙D 相切.
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第六章 圆
第 27 课时 与圆有关的位置关系
1.（2016·湘西土家族苗族自治州）在 Rt△ABC 中，∠C=
90°，BC=3 cm，AC=4 cm，以点 C 为圆心，2.5 cm 长为半
径画圆，则⊙C 与直线 AB 的位置关系是（ C ）
中考数学压轴题考点训练圆的有关位置关系试题及答案解析
中考数学压轴题考点训练圆的有关位置关系【考点 1】点与圆的位置关系【例1】（2018·浙江中考真题）用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是（）A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆心上D．点在圆上或圆内【答案】D【解析】【分析】在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．【解答】用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点应该在圆内或者圆上.故选 D.【点评】考查反证法以及点和圆的位置关系，解题的关键是掌握点和圆的位置关系.【变式1-1】（2016·湖北中考真题）在公园的O处附近有E、F、G、H四棵树，位置如图所示（图中小正方形为边长均相等），现计划修建一座以O为圆心，O A为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E、F、G、H四棵树中需要被移除的为（）A．E、F、G B．F、G、H C．G、H、E D．H、E、F 【答案】A【解析】试题分析：根据圆与直线的位置关系可得：点 E、F、G 在圆内，点 H 在圆外.考点：点与圆的位置关系【变式1-2】（2017·山东中考真题）如图，在网格（每个小正方形的边长均为1）中选取9个格点（格线的交点称为格点），如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有 3 个在圆内，则 r 的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析：给各点标上字母，如图所示． AB= =，AC=AD==，AE==，AF==，AG=AM=AN==5，∴时，以 A 为圆心，r 为半径画圆，选取的格点中除点 A 外恰好有 3 个在圆内．故选 B．考点：点与圆的位置关系；勾股定理；推理填空题．【考点 2】直线与圆的位置关系【例 2】（2018·黑龙江中考真题）已知直线 y=kx （k ≠0）经过点（12，﹣5），将直线向上平移 m （m ＞0）个单位，若平移后得到的直线与半径为 6 的⊙O 相交（点 O 为坐标原点），则 m 的取值范围为_．【答案】0<m ＜ 132 【解析】【分析】利用待定系数法得出直线解析式，再得出平移后得到的直线，求与坐标轴交点的坐标，转化为直角三角形中的问题，再由直线与圆的位置关系的判定解答．【详解】把点（12，﹣5）代入直线 y=kx 得，﹣5=12k ，∴k=﹣ 5 ；12 由 y=﹣ 5 x 平移 m （m ＞0）个单位后得到的直线 l 所对应的函数关系式为 y=﹣ 5 x+m （m 12 12＞0），设直线 l 与 x 轴、y 轴分别交于点 A 、B ，（如图所示）当 x=0 时，y=m ；当 y=0 时，x=12 m ， 5 ∴A （ 12 m ，0），B （0，m ），5 即 OA= 12 m ，OB=m ，5在 Rt△OAB 中，过点 O 作 OD⊥AB 于 D ，∵S △ABO = 1 OD•AB= 1 OA•OB，= 13 m ， 5 2 2∴ 1 OD• 13 m = 1 × 12 m×m，2 5 2 5∵m＞0，解得 OD= 12 m，13由直线与圆的位置关系可知12 m ＜6，解得 m＜13 ，13 2故答案为 0<m＜13 .2【点睛】本题考查了直线的平移、直线与圆的位置关系等，能用含 m 的式子表示出原点到平移后的直线的距离是解题的关键.本题有一定的难度，利用数形结合思想进行解答比较直观明了.【变式2-1】（2019·广东中考真题）平面内，⊙O的半径为1，点P到O的距离为2，过点P 可作⊙O 的切线条数为（）A．0 条B．1 条C．2 条D．无数条【答案】C【解析】【分析】首先判断点与圆的关系，然后再分析 P 可作⊙O 的切线条数即可解答.【详解】解：因为点 P 到 O 的距离为 2，大于半径 1，所以点 P 在圆外，所以，过点 P 可作⊙O 的切线有 2 条；故选 C.13 13 12 2 +182 13 AC 2 + CD 2 【点睛】本题考查了点与圆的关系、切线的定义，熟练掌握是解题的关键.【变式 2-2】（2019·浙江中考真题）如图， Rt ∆ABC 中， ∠C = 90︒ ， AC = 12，点 D 在边 BC 上，CD = 5 ，BD = 13 .点 P 是线段 AD 上一动点，当半径为 6 的圆 P 与∆ABC 的一边相切时，AP 的长为 .【答案】13 或3 2 【解析】【分析】根据勾股定理得到 AB == 6 ， AD == 13，当⊙P 于 BC 相切时，点 P 到 BC 的距离=6，过 P 作 PH⊥BC 于 H ，则 PH=6，当⊙P 于 AB 相切时，点 P 到 AB 的距离=6，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】∵在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=12，BD+CD=18，∴ AB = = 6 ，在 Rt△ADC 中，∠C=90°，AC=12，CD=5，∴ AD = = 13，当⊙P 于 BC 相切时，点 P 到 BC 的距离=6，过 P 作 PH⊥BC 于 H ，则 PH=6，122 +182 AC 2 + CD 26 13 13∵∠C=90°，∴AC⊥BC，∴PH∥AC，∴△DPH∽△DAC，∴ PD ＝ PH ，DA AC ∴PD = 6 ， 13 12 ∴PD=6.5，∴AP=6.5；当⊙P 于 AB 相切时，点 P 到 AB 的距离=6，过 P 作 PG⊥AB 于 G ，则 PG=6，∵AD=BD=13，∴∠PAG=∠B，∵∠AGP=∠C=90°，∴△AGP∽△BCA，∴ AP ＝ PG ，AB AC ∴ AP = 6 ， 12∴AP=3 ，13 13 ∵CD=5＜6，∴半径为 6 的⊙P 不与△ABC 的 AC 边相切，综上所述，AP 的长为 6.5 或 3 ，故答案为 6.5 或 3 ．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练正确切线的性质是解题的关键．【考点 3】切线的判定与性质的应用【例 3】（2019·湖北中考真题）如图， ∆ABC 中， AB = AC ，以 AC 为直径的⊙ O 交 BC 于点D ，点E 为C 延长线上一点，且∠CDE = 1 ∠BAC ．2（1）求证： DE 是⊙ O 的切线；（2）若 AB = 3BD , CE = 2 ，求⊙ O 的半径．【答案】（1）见解析；（2）7【解析】【分析】（1）根据圆周角定理得出∠ADC = 90 ，按照等腰三角形的性质和已知的2 倍角关系，证明 ∠ODE 为直角即可；（2）通过证得∆CDE ~ ∆DAE ，根据相似三角形的性质即可求得．【详解】（1）如图，连接OD, AD ，AC 是直径，∴∠ADC = 90︒，∴AD ⊥BC ，AB =AC ，∴∠CAD =∠BAD =1∠BAC ，2∠CDE =1∠BAC ．2∴∠CDE =∠CAD，OA =OD ，∴∠CAD =∠ADO ，∠ADO +∠ODC = 90︒，∴∠ODC +∠CDE = 90︒∴∠QDF = 90︒又 OD 是⊙ O 的半径∴DE 是⊙ O 的切线；（2） AB =AC, AD ⊥BC ，∴BD =CD ，2 2x AB =3BD ，∴AC = 3DC ，设DC =x ，则AC = 3x ，∴AD = = 2 2x，∠CDE =∠CAD, ∠DEC =∠AED ，∴∆CDE'~ ∆DAE ，∴CE=DC=DE ，即 2 =x=DE DE AD AE DE 3x + 2∴DE = 4 2, x =14 ，3∴AC = 3x = 14 ，∴⊙ O 的半径为7 ．【点睛】本题考查了圆的切线的判定定理、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形相似的判定和性质，解题的关键是作出辅助线构造直角三角形或等腰三角形．【变式3-1】（2019·辽宁中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，以 AD 为直径的⊙O 与边 BC 相切于点 E，与边 AC 相交于点 G，且AG ＝EG ，连接 GO 并延长交⊙O 于点 F，连接 BF．（1）求证：①AO＝AG．②BF 是⊙O 的切线．（2）若 BD＝6，求图形中阴影部分的面积．AC2 - DC2【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）S 阴影＝27 3- 6π．2【解析】【分析】（1）①先利用切线的性质判断出∠ACB＝∠OEB，再用平行线结合弧相等判断出∠AOG＝∠AGO，即可得出结论；②先判断出△AOG 是等边三角形，进而得出∠BOF＝∠AOG＝60°，进而判断出∠EOB＝60°，得出△OFB≌△OEB，得出∠OFB＝90°，即可得出结论；（2）先判断出∠ABC＝30°，进而得出 OB＝2BE，建立方程 6+r＝2r，继而求出 AG＝6，AB＝18，AC＝9，CG＝3，再判断出△OGE 是等边三角形，得出 GE＝OE＝6，进而利用根据勾股定理求出 CE＝3【详解】，即可得出结论．解：（1）证明：①如图 1，连接 OE，∵⊙O 与 BC 相切于点 E，∴∠OEB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠OEB，∴AC∥OE，∴∠GOE＝∠AGO，3∵AG ＝EG，∴∠AOG＝∠GOE，∴∠AOG＝∠AGO，∴AO＝AG；②由①知，AO＝AG，∵AO＝OG，∴∠AO＝OG＝AG，∴△AOG 是等边三角形，∴∠AGO＝∠AOG＝∠A＝60°，∴∠BOF＝∠AOG＝60°，由①知，∠GOE＝∠AOG＝60°，∴∠EOB＝180°﹣∠AOG﹣∠GOE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠FOB＝∠EOB，∵OF＝OE，OB＝OB，∴△O FB≌△OE B（SAS），∴∠OFB＝∠OEB＝90°，∴OF⊥BF，∵OF 是⊙O 的半径，∴BF 是⊙O 的切线；（2）如图 2，连接 GE，62 - 32 3 3 27 3∵∠A＝60°，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝30°，∴OB＝2BE ，设⊙O 的半径为 r ，∵OB＝OD+BD ，∴6+r＝2r ，∴r＝6，∴AG＝OA ＝6，AB ＝2r+BD ＝18，∴AC＝ 1 AB ＝9，∴CG＝AC ﹣AG ＝3，2由（1）知，∠EOB＝60°，∵OG＝OE ，∴△OGE 是等边三角形，∴GE＝OE ＝6，根据勾股定理得，CE= = 3 ，∴S ＝S ﹣S ＝ 1 （6+3）× - 60π• 62 = - π． 阴影【点睛】梯形 GCEO 扇形 OGE 2 3 6 360 2 此题是圆的综合题，主要考查了切线的性质和判定，勾股定理，含 30 度角的直角三角形的性 GE 2 - CG 2质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，梯形和扇形的面积公式，判断出⊙O 的半径是解本题的关键．【变式3-2】（2019·湖北中考真题）如图，在Rt ABC 中，∠ACB＝90︒，D 为AB的中点，以CD 为直径O 的分别交AC，BC 于点E，F 两点，过点F 作FG ⊥AB 于点G .(1)试判断FG 与O 的位置关系，并说明理由．(2)若AC＝3，CD＝2.5 求FG 的长．【答案】（1）FG与【解析】【分析】O相切，理由见解析；（2）FG=6.5(1)如图，连接OF ，根据直角三角形的性质得到CD＝BD ，得到∠DBC＝∠DCB ，根据等腰三角形的性质得到∠OFC＝∠OCF ，得到∠OFC＝∠DBC ，推出∠OFG＝90︒，于是得到结论；(2)连接DF ，根据勾股定理得到BC =据三角函数的定义即可得到结论．【详解】= 4，根据圆周角定理得到∠DFC＝90︒，根（1）相FG与O 切，理由：如图，连接OF ，AB2 -AC2∠ACB ＝90︒，D 为 AB 的中点，∴CD ＝BD∴∠DBC ＝∠DCBOF ＝OC∴∠OFC ＝∠OCF∴∠OFC ＝∠DBC∴OF / / DB∴∠OFG + ∠DGF ＝180︒，FG ⊥ AB∴∠DGF ＝90︒，∴∠OFG ＝90︒∴ F G 与 O 相切；(2)连接 D F ，CD ＝2.5∴ AB ＝2CD ＝5BC == 4CD 为 O 的直径，∴∠DFC ＝90︒，∴ FD ⊥ BCDB ＝DC∴ BF = 1 BC = 22sin ∠ABC = AC = FG ABFB即 3 = FG ，5 2 ∴ FG =6 .5【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，平行线的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．【变式 3-2】（2019·甘肃中考真题）如图，在 Rt ∆ABC 中， ∠C ＝90︒ ，以 BC 为直径的⊙ O 交 AB 于点 D ，切线 DE 交 AC 于点 E ．（1）求证： ∠A ＝∠ADE ；（2）若 AD ＝8，DE ＝5 ，求 BC 的长．【答案】（1）见解析；（2） BC = 152【解析】【分析】（1）只要证明∠A+∠B=90°，∠ADE+∠B=90°即可解决问题；（2）首先证明 AC=2DE=10，在 Rt△ADC 中，DC=6，设 BD=x ，在 Rt△BDC 中，BC 2=x 2+62，在 Rt △A BC 中，BC 2=（x+8）2-102，可得 x 2+62=（x+8）2-102，解方程即可解决问题．【详解】（1）证明：连接OD ，DE 是切线，∴∠ODE＝90︒，∴∠ADE +∠BDO＝90︒，∠ACB＝90︒，∴∠A +∠B＝90︒，OD＝OB ，∴∠B＝∠BDO ，∴∠ADE＝∠A．（2）解：连接CD ．∠ADE＝∠A，∴AE＝DE ，BC 是⊙ O 的直径，∠ACB＝90︒，∴EC 是⊙ O 的切线，∴ED＝EC ，∴AE＝EC ，DE＝5，∴AC＝2DE＝10 ，在Rt∆ADC 中，DC＝6 ，设 BD ＝x ，在 Rt ∆BDC 中， BC 2＝x 2 + 62 ，在 Rt ∆ABC 中， BC 2＝（x + 8）2﹣102 ，∴ x 2 + 62＝（x + 8）2﹣102 ，解得 x = 9， 2∴ BC =【点睛】= 15 2 本题考查切线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．【考点 4】三角形的内切圆与切线长定理【例 4】（2019·江苏中考真题）如图，PA 、PB 是 O 的切线，A 、B 为切点，点 C 、D 在⊙O 上．若∠P＝102°，则∠A＋∠C＝_°．【答案】219【解析】【分析】连接 AB ，根据切线的性质得到 PA ＝PB ，根据等腰三角形的性质得到∠PAB＝∠PBA＝ 12（180°−102°）＝39°，由圆内接四边形的性质得到∠DAB＋∠C＝180°，于是得到结论．【详解】解：连接 AB ，∵PA、PB 是⊙O 的切线，62 + ⎛ 9 ⎫2 ⎝ 2 ⎭ ⎪∴PA＝PB，∵∠P＝102°，∴∠PAB＝∠PBA＝1 （180°−102°）＝39°，2∵∠DAB＋∠C＝180°，∴∠PAD＋∠C＝∠PAB＋∠DAB＋∠C＝180°＋39°＝219°，故答案为：219°．【点睛】本题考查了切线的性质，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．【变式4-1】（2019·山西中考真题）阅读以下材料，并按要求完成相应地任务：莱昂哈德·欧拉(L e o n h a r d E u l e r)是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，下面是欧拉发现的一个定理：在△ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI2=R2-2Rr.如图 1，⊙O 和⊙I 分别是△ABC 的外接圆和内切圆，⊙I 与 AB 相切分于点 F，设⊙O 的半径为 R，⊙I 的半径为 r，外心 O（三角形三边垂直平分线的交点）与内心 I（三角形三条角平分线的交点）之间的距离 OI＝d，则有 d2＝R2﹣2Rr．下面是该定理的证明过程（部分）：延长 AI 交⊙O 于点 D，过点 I 作⊙O 的直径 MN，连接 DM，AN.∵∠D=∠N，∠DMI=∠NAI(同弧所对的圆周角相等)，5 ∴△MDI∽△ANI，∴IM = ID ， IA IN ∴ IA ⋅ ID = IM ⋅ IN ①，如图 2，在图 1(隐去 MD ，AN)的基础上作⊙O 的直径 DE ，连接 BE ，BD ，BI ，IF ，∵DE 是⊙O 的直径，∴∠DBE=90°，∵⊙I 与 AB 相切于点 F ，∴∠AFI=90°，∴∠DBE=∠IFA，∵∠BAD=∠E(同弧所对圆周角相等)，∴△AIF∽△EDB，∴IA = IF ，∴ IA ⋅ BD = DE ⋅ IF ②， DE BD 任务：(1)观察发现： IM = R + d ， IN =(用含 R ，d 的代数式表示)；(2)请判断 BD 和 ID 的数量关系，并说明理由；(3)请观察式子①和式子②，并利用任务(1)，(2)的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；(4)应用：若△ABC 的外接圆的半径为 5cm ，内切圆的半径为 2cm ，则△ABC 的外心与内心之间的距离为 cm.【答案】(1)R-d ；(2)BD=ID ，理由见解析；(3)见解析；(4) .【解析】【分析】(1)直接观察可得；(2)由三角形内心的性质可得∠BAD=∠CAD，∠CBI=∠ABI，由圆周角定理可得∠DBC=∠CAD，再根据三角形外角的性质即可求得∠BID=∠DBI，继而可证得 BD=ID；(3)应用(1)(2)结论即可；(4)直接代入结论进行计算即可．【详解】(1)∵O、I、N 三点共线，∴OI+IN＝ON，∴I N＝ON﹣OI＝R﹣d，故答案为：R﹣d；(2)BD=ID，理由如下：∵点 I 是△ABC 的内心，∴∠BAD=∠CAD，∠CBI=∠ABI，∵∠DBC=∠CAD，∠BID=∠BAD+∠ABI，∠DBI=∠DBC+∠CBI，∴∠BID=∠DBI，∴BD=ID；(3)由(2)知：BD=ID，又IA⋅ID =IM ⋅IN ，IA ⋅BD =DE ⋅IF ，∴DE·IF=IM·IN，∴ 2Rr = (R +d )(R -d )，∴ R2 -d 2 = 2Rr55∴ d 2 =R2 - 2Rr ；(4)由(3)知：d 2 =R2 - 2Rr ，把 R=5，r=2 代入得：d 2 = 52 - 2 ⨯ 5⨯ 2 = 5 ，∵d>0，∴d =，故答案为：.【点睛】本题是圆综合题，主要考查了三角形外接圆、外心和内切圆、内心，圆周角性质，角平分线定义，三角形外角性质等，综合性较强，熟练掌握相关知识是解题的关键.【变式4-2】（2018·湖南中考真题）如图，在△A BC中，AD是边BC上的中线，∠BAD=∠CAD，CE∥AD，CE 交 BA 的延长线于点 E，BC=8，AD=3．（1）求 CE 的长；（2）求证：△ABC 为等腰三角形．（3）求△ABC 的外接圆圆心 P 与内切圆圆心 Q 之间的距离．【答案】（1）CE=6；（2）证明见解析；（3）△A BC 的外接圆圆心 P 与内切圆圆心 Q 之间的距离为5 ．2【解析】【分析】（1）证明 AD 为△BCE 的中位线得到 CE=2AD=6；（2）过 B 点作 AC 的平行线，并与 AD 的延长线交于点 F，证明△ACD≌△FBD，从而得到AC=BF，∠CAD=∠BFD，再结合∠BAD=∠CAD，得到 BA=BF，等量代换后即可证得结论；（3）如图，连接 BP、BQ、CQ，先利用勾股定理计算出 AB=5，设⊙P 的半径为 R，⊙Q 的半径为 r，在Rt△PBD 中利用勾股定理得到（R-3）2+42=R2，解得 R= 25 ，则 PD= 7 ，再利用6 6面积法求出 r= 4 ，即 QD= 4 ，然后计算 PD+QD 即可．3 3【详解】（1）解：∵AD 是边 BC 上的中线，∴BD=CD，∵CE∥AD，∴AD 为△BCE 的中位线，∴CE=2AD=6；（2）证明：过 B 点作 AC 的平行线，并与 AD 的延长线交于点 F，则∠ACD=∠FBD, ∠ADC=∠FDB，又∵BD=CD，∴△ACD≌△FBD，∴AC=BF，∠CAD=∠BFD，又∵∠BAD=∠CAD，∴∠BAD=∠BFD，∴BA=BF,∴AB=AC,∴△ABC 为等腰三角形．32 42（3）如图，连接 BP 、BQ 、CQ ，在 Rt△ABD 中，AB= =5，设⊙P 的半径为 R ，⊙Q 的半径为 r ，在 Rt △PBD 中，（R-3）2+42=R 2，解得 R=25 ， 6∴PD=PA -AD= 25 -3= 7 ，6 6 ∵S △ABQ +S △BCQ +S △ACQ =S △ABC ，∴ 1 ×r×5+ 1 ×r×8+ 1 ×r×5= 1 ×3×8，解得 r= 4 ，2 2 2 23 即 QD=4 ，3 ∴PQ=PD+QD= 7 +4 =5 ．6 3 2 答：△ABC 的外接圆圆心 P 与内切圆圆心 Q 之间的距离为 5 ．2点睛：本题考查了三角形内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了等腰三角形的判定与性质和三角形的外接圆．【变式4-3】（2019·湖南中考真题）如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为 A、B，PO交 AB 于点 C，PO 的延长线交圆 O 于点 D，下列结论不一定成立的是( )A．PA＝PB B．∠BPD＝∠APDC．AB⊥PD D．AB 平分 PD【答案】D【解析】【分析】先根据切线长定理得到 PA＝PB，∠APD＝∠BPD；再根据等腰三角形的性质得OP⊥AB，根据菱形的性质，只有当AD∥PB，BD∥PA 时，AB 平分 PD，由此可判断 D 不一定成立．【详解】∵PA，PB 是⊙O 的切线，∴PA＝PB，所以 A 成立；∠BPD＝∠APD，所以 B 成立；∴AB⊥PD，所以 C 成立；∵PA，PB 是⊙O 的切线，∴AB⊥PD，且 AC＝BC，只有当AD∥PB，BD∥PA 时，AB 平分 PD，所以 D 不一定成立，故选 D．【点睛】本题考查了切线长定理，垂径定理，等腰三角形的性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键.一、单选题1．（2019·浙江中考真题）如图，等边三角形ABC 的边长为8，以BC上一点O 为圆心的圆分别与边AB ，AC 相切，则O 的半径为（）A．2【答案】A【解析】【分析】B．3 C．4 D．4 -连接AO ，OE ，根据等边三角形的性质及含30°的直角三角形的性质即可求解.【详解】设O 与AC 的切点为E ，连接AO ，OE ，∵等边三角形ABC 的边长为 8，∴ AC = 8，∠C =∠BAC = 60︒，∵圆分别与边AB ，AC 相切，∴ ∠BAO =∠CAO =1∠BAC = 30︒，2∴ ∠AOC = 90︒，3 33 3 ∴ OC = 1 AC = 4， 2∵ OE ⊥ AC ，∴ OE =3 OC = 2 ， 2∴ O 的半径为2 ，故选：A ．【点睛】此题主要考查圆的半径，解题的关键是根据题意作出辅助线进行求解.2．（2019·黑龙江中考真题）如图，PA . PB 分别与O 相切于 A . B 两点，点C 为 O 上一点，连接 AC . BC ，若∠P = 50︒ ，则∠ACB 的度数为（ ）.A ． 60︒；B ． 75︒；C ． 70︒；D ． 65︒.【答案】D【解析】【分析】连接OA . OB ，由切线的性质可知∠OAP = ∠OBP = 90︒，由四边形内角和可求出∠AOB 的度数，根据圆周角定理（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）可知∠ACB 的度数.【详解】解：连接OA. O B ，∵PA . PB 分别与O 相切于A .B 两点，∴ OA ⊥PA，OB ⊥PB ，∴ ∠OAP =∠OBP = 90︒，∴ ∠AOB = 180︒-∠P = 180︒- 50︒= 130︒，∴ ∠ACB =1 ∠AOB =1 ⨯130︒= 65︒．2 2故选：D．【点睛】本题主要考查了圆的切线性质及圆周角定理，灵活应用切线性质及圆周角定理是解题的关键. 3．（2019·辽宁中考真题）如图，CB为⊙O的切线，点B为切点，CO的延长线交⊙O于点 A，若∠A=25°，则∠C的度数是( )A．25°B．30°C．35°D．40°【答案】D【解析】【分析】连接 OB，CB 与⊙O 相切于点 B，得到∠OBC=90°，根据条件得到∠COB 的度数，然后用三角形内角和求出∠C 的度数即可．【详解】解：如图：连接 OB，∵OB=OA，∴∠A=∠OBA，∵∠A=25°，∴∠COB=∠A+∠OBA=2∠A=2×25°=50°，∵AB 与⊙O 相切于点 B，∴∠OBC=90°，∴∠C=90°-∠BOC=90°-50°=40°．故选：D．【点睛】本题考查的是切线的性质及三角形内角和定理，先求出∠COB 的度数，然后在三角形中求出∠C 的度数．正确作出辅助线是解题的关键．4．（2019·江苏中考真题）如图，AB为O的切线，切点为A ，连接AO、BO，BO与O交于点C ，延长BO 与O 交于点D ，连接AD ，若∠ABO = 36o ，则∠ADC 的度数为( )A．54o B．36o C．32o D．27o【答案】D【解析】【分析】由切线性质得到∠AOB ，再由等腰三角形性质得到∠OAD =∠ODA，然后用三角形外角性质得出∠ADC【详解】切线性质得到∠BAO = 90o∴∠AOB = 90o - 36o = 54oQ OD =OA∴∠OAD =∠ODAQ ∠AOB =∠OAD +∠ODA∴∠ADC =∠ADO = 27o故选 D【点睛】本题主要考查圆的切线性质、三角形的外角性质等，掌握基础定义是解题关键5．（2019·江苏中考真题）如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，DC=CB．若∠C =110︒，则∠ABC 的度数等于（）A．55︒B．60︒C．65︒D．70︒【答案】A【解析】【分析】连接 AC，根据圆内接四边形的性质求出∠DAB，根据圆周角定理求出∠A CB、∠CAB，计算即可．【详解】连接 AC，∵四边形 ABCD 是半圆的内接四边形，∴∠DAB=180°-∠C=70°，∵ DC CB ，∴∠CAB= 1 ∠DAB=35°，2∵AB 是直径，∴∠ACB=90°，∴∠ABC=90°-∠CAB=55°，故选 A．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．6．（2019·浙江中考真题）如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径 OC=1，∠ABC=30°，切线 PA 交 OC 延长线于点 P，则 PA 的长为（）2 3 3 A ．2B ． 【答案】B【解析】【分析】C ．D ． 12连接 OA ，由圆周角定理可求出∠AOC=60°，再根据∠AOC 的正切即可求出 PA 的值.【详解】连接 OA ，∵∠ABC=30°，∴∠AOC=60°，∵PA 是圆的切线，∴∠PAO=90°，∵tan∠AOC = PA ,OA∴PA= tan60°×1= .故选 B.【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的性质及锐角三角函数的知识，根据圆周角定理可求出∠AOC=60°是解答本题的关键.7．（2019·湖南中考真题）如图，边长为2 的等边 ABC 的内切圆的半径为( )33A ．1B ． 【答案】A【解析】【分析】C ．2D ． 2连接 AO 、CO ，CO 的延长线交 AB 于 H ，如图，利用内心的性质得 CH 平分∠BCA，AO平分∠BAC，再根据等边三角形的性质得∠CAB=60°，CH⊥AB，则∠OAH=30°，AH=BH= 1 2AB=3，然后利用正切的定义计算出 OH 即可． 【详解】设∆ABC 的内心为 O ，连接 AO 、BO ，CO 的延长线交 AB 于 H ，如图，∵ ∆ABC 为等边三角形，∴CH 平分∠BCA ，AO 平分∠BAC ，∵ ∆ABC 为等边三角形，∴ ∠CAB = 60︒ ， CH ⊥ AB ，∴ ∠OAH = 30︒ ， AH = BH = 1 AB = 3 ，2 在Rt ∆AOH 中，∵ tan ∠OAH =OH = tan 30 ︒ ， AH∴ OH =3 ⨯ = 1， 3即∆ABC 内切圆的半径为1．故选 A ．3 3【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了等边三角形的性质．8．（2019·山东中考真题）如图,O 的直径A B =2,点D 在A B 的延长线上,D C 与O 相切于点 C ,连接A C .若∠A =30°,则C D 长为()A． 1 B ． 3 3 【答案】D【解析】【分析】C ． 2 3D ． 3先连接 BC ，OC ，由于 AB 是直径，可知∠BCA=90°，而∠A=30°，易求∠CBA ，又 DC 是切线，利用弦切角定理可知∠DCB=∠A=30°，再利用三角形外角性质可求∠D ，再由切线的性质可得∠BCD =∠A=30°，∠O CD=90°，易得 OD ，由勾股定理可得 CD ．【详解】如图所示，连接 BC ，OC ，3 322 -12 3∵AB 是直径,∴∠BCA=90°，又∵∠A=30°，∴∠CBA=90°−30°=60°，∵DC 是切线，∴∠BCD=∠A=30°,∠OCD=90°，∴∠D=∠CBA−∠BCD=60°−30°=30°，∵AB=2，∴OC=1，∴OD=2，故选 D.【点睛】= = ，考核知识点：切线性质定理.作好辅助线是关键.9．（2019·重庆中考真题）如图，A B 是⊙O 的直径，A C 是⊙O 的切线，A 为切点，若∠C = 40︒ ，则Ð B 的度数为（ ）OD 2 - OC 2A．60︒B．50︒C．40︒D．30︒【答案】B【解析】【分析】由题意可得，根据直角三角形两锐角互余可求∠A B C＝50°．【详解】解：∵A C是⊙O的切线，∴ AB ⊥AC ，且∠C = 40︒，∴ ∠ABC = 50︒，故选：B．【点睛】本题考查了切线的性质，直角三角形两锐角互余，熟练运用切线的性质是本题的关键．10．（2019·云南中考真题）如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且 AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分(即四边形 AEOF)的面积是( )A．4 B．6.25 C．7.5 D．9【答案】A【解析】【分析】先利用勾股定理判断△ABC 为直角三角形，且∠BAC=90°，继而证明四边形 AEOF 为正方形，设⊙O 的半径为 r，利用面积法求出 r 的值即可求得答案.【详解】∵AB=5，BC=13，CA=12，∴AB2+AC2=BC2，∴△ABC 为直角三角形，且∠BAC=90°，∵⊙O 为△ABC 内切圆，∴∠AFO=∠AEO=90°，且 AE=AF，∴四边形 AEOF 为正方形，设⊙O 的半径为 r，∴OE=OF=r，∴S 四边形 AEOF=r²，连接 AO，BO，CO，∴S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC，∴ 1 ( AB +AC +BC)r =1 AB ⋅AC ，2 2∴r=2，∴S 四边形 AEOF=r²=4，故选 A.【点睛】本题考查了三角形的内切圆，勾股定理的逆定理，正方形判定与性质，面积法等，正确把握相关知识是解题的关键.11．（2019·湖北中考真题）如图，AD是圆O 的直径，BC是弦，四边形OBCD 是平行四边形，AC 与OB 相交于点P ，下列结论错误的是（）A．AP = 2OP【答案】A【解析】【分析】B．CD = 2OP C．OB ⊥AC D．AC 平分OB利用圆周角定理得到∠ACD＝90°，再根据平行四边形的性质得到CD∥OB，CD＝0B，则可求出∠A＝30°，在Rt△AOP 中利用含 30 度的直角三角形三边的关系，可对 A 选项进行判断；利用OP∥CD，CD⊥AC 可对 C 选项进行判断；利用垂径可判断 OP 为△ACD 的中位线，则 CD＝20P，原式可対 B 选项进行判断；同时得到 OB＝2OP，则可对 D 选项进行判断.【详解】解：∵ AD 为直径，∴ ∠ACD = 90 ，∵四边形OBCD 为平行四边形，∴ CD / /OB ，CD =OB ，在Rt∆ACD 中，sin A =CD =1 ，∴ ∠A = 30 ，AD 2在Rt∆AOP 中，AP = 3OP ，所以 A 选项的结论错误；∵ OP / /CD ，CD ⊥AC ，∴ OP ⊥AC ，所以 C 选项的结论正确；∴ AP =CP ，∴ OP 为∆ACD 的中位线，∴ CD = 2OP ，所以 B 选项的结论正确；∴ OB = 2OP ，∴ AC 平分OB ，所以 D 选项的结论正确．故选：A．【点睛】此题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.也考查了垂径定理和平行四边形的性质.12．（2019·甘肃中考真题）如图，四边形ABCD 是菱形，O经过点A 、C 、D ，与BC相交于点E ，连接AC 、AE ．若∠D = 80︒，则∠EAC 的度数为( )A．20︒B．25︒C．30° D．35︒【答案】C【解析】【分析】()由菱形的性质求出∠ACB=50°，由边形AECD是圆内接四边形可求出∠AEB=80°，然后利用三角形外角的性质即可求出∠EAC 的度数.【详解】∵四边形ABCD 是菱形，∠D = 80︒，∴ ∠ACB =1 ∠DCB =1 180︒-∠D = 50︒，2 2∵四边形AECD 是圆内接四边形，∴ ∠AEB =∠D = 80︒，∴ ∠EAC =∠AEB -∠ACE = 30︒，故选：C．【点睛】本题考查了菱形的性质，圆内接四边形的性质，三角形外角的性质. 圆内接四边形的性：①圆内接四边形的对角互补，②圆内接四边形的外角等于它的内对角，③圆内接四边形对边乘积的和，等于对角线的乘积.13．（2019·四川中考真题）如图，等腰∆ABC 的内切圆⊙O 与AB，BC，CA 分别相切于点D ，E ，F ，且AB =AC = 5，BC = 6 ，则DE 的长是( )A．3 1010 【答案】D 【解析】B．3 105C．3 55D．6 55【分析】如图，连接OA、OE 、OB ，OB 交DE 于H ，先证明点A 、O 、E 共线，即AE ⊥BC ，从而可得BE =CE = 3，在Rt∆ABE 中，利用勾股定理求出 AE 长，再由切线长定理求得 BD 长，进而得 AD 长，设⊙ O 的半径为r ，则OD =OE =r ，AO = 4 -r ，在Rt∆AOD 中，利用勾股定理求得r =3 ，在Rt∆BOE 中，求得OB= 3 5 ，再证明 OB 垂直平2 2分DE ，利用面积法可得1 HE ⋅OB =1 OE ⋅BE ，求得 HE 长即可求得答案.2 2【详解】连接OA、OE 、OB ，OB 交DE 于H ，如图，等腰∆ABC 的内切圆⊙ O 与AB ，BC ，CA 分别相切于点D ，E ，F∴OA 平分∠BAC ，OE ⊥BC ，AB =AC ，∴AO ⊥BC ，∴点A 、O 、E 共线，即AE ⊥BC ，∴BE =CE = 3，OD ⊥AB ，BE =BD ，在Rt∆ABE 中， BD =BE =3，∴AD = 2 ，AE = = 4，设⊙ O 的半径为r ，则OD =OE =r ，AO = 4 -r ，在Rt∆AOD 中，r 2 + 22 = (4 -r)2 ，解得r =3 ，2在Rt∆BOE 中，OB = 32+(3）2=35，2 252 - 323 56 553BE =BD ，OE = OD ，∴OB 垂直平分DE ，∴DH =EH ，OB ⊥DE ，1HE ⋅OB =1OE ⋅BE ，2 23⨯3∴HE =OE ⋅BE= 2 =，OB 3 5 52∴DE = 2EH =，故选 D．【点睛】本题考查了三角形的内切圆，三角形的内心，等腰三角形的性质，勾股定理，面积法等，正确添加辅助线，灵活运用相关知识是解题的关键.14．（2019·广西中考真题）如图，在∆ABC 中，O 是AB边上的点，以O 为圆心，OB 为半径的O 与AC 相切于点D ，BD 平分∠ABC ，AD = 3OD ，AB =12，CD 的长是（）A．2【答案】AB．2 C．3D．43 33 【解析】【分析】由切线的性质得出 AC ⊥ OD求出∠A ＝30︒，证出∠ODB ＝∠CBD，得出OD //BC ，得出∠C ＝∠ADO ＝90︒ ，由直角三角形的性质得出∠ABC ＝60︒，BC ＝ 1AB ＝6，AC ＝ 23BC ＝6 ，得出∠CBD ＝30︒【详解】，再由直角三角形的性质即可得出结果．解：∵ O 与 AC 相切于点 D ，∴ AC ⊥ OD ， ∴∠ADO ＝90︒， AD ＝ 3OD ，∴tanA ＝ OD ＝ 3，AD 3∴∠A ＝30︒， BD 平分∠ABC ， ∴∠OBD ＝∠CBD ，OB ＝OD ，∴∠OBD ＝∠ODB ， ∴∠ODB ＝∠CBD ， ∴OD / / BC ，∴∠C ＝∠ADO ＝90︒，∴∠ABC ＝60︒，BC ＝ 1AB ＝6，AC ＝23BC ＝6 3，∴∠CBD ＝30︒，∴CD ＝ 3 BC ＝ 3⨯ 6＝2 3；3 3故选A ．【点睛】本题考查的是切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、锐角三角函数的定义等知识，熟练掌握圆的切线和直角三角形的性质，证出OD / / BC 是解题的2关键．15．（2019·湖北中考真题）如图， AB 是 O 的直径， M 、 N 是弧 AB （异于 A 、 B ）上两点，C 是弧MN 上一动点，∠ACB 的角平分线交 O 于点 D ，∠BAC 的平分线交CD 于点 E ．当点C 从点M 运动到点 N 时，则C 、 E 两点的运动路径长的比是（ ）A ．B ．πC ． 3D ． 5222【答案】A【解析】【分析】连接 BE ，由题意可得点 E 是△ABC 的内心，由此可得∠AEB＝135°，为定值，确定出点 E 的运动轨迹是是弓形 AB 上的圆弧，此圆弧所在圆的圆心在 AB 的中垂线上，根据题意过圆心 O 作直径 CD ，则 CD⊥AB，在 CD 的延长线上，作 DF ＝DA ，则可判定 A 、E 、B 、F 四点共圆，继而得出 DE ＝DA ＝DF ，点 D 为弓形 AB 所在圆的圆心，设⊙O 的半径为 R ，求出点 C的运动路径长为πR ，DA ＝求得答案.【详解】连结 BE ，R ，进而求出点 E 的运动路径为弧 AEB ，弧长为 2 πR ，即可2∵点 E 是∠ACB 与∠CAB 的交点，∴点 E 是△ABC 的内心，22∴BE 平分∠ABC，∵AB 为直径，∴∠ACB＝90°，∴∠AEB＝180°－1 (∠CAB+∠CBA)＝135°，为定值，AD =BD ，∴点 E 的轨迹是弓形 AB 上的圆弧，∴此圆弧的圆心一定在弦 AB 的中垂线上，∵ AD =BD ，∴AD=BD，如下图，过圆心 O 作直径 CD，则CD⊥AB，∠BDO＝∠ADO＝45°，在 CD 的延长线上，作 DF＝DA，则∠AFB＝45°，即∠AFB+∠AEB＝180°，∴A、E、B、F 四点共圆，∴∠DAE＝∠DEA＝67.5°，∴DE＝DA＝DF，∴点 D 为弓形 AB 所在圆的圆心，设⊙O 的半径为 R，2 2则点 C 的运动路径长为：πR ，DA ＝ R ，点 E 的运动路径为弧 AEB，弧长为：90π⨯2R =2πR ，πRC 、E 两点的运动路径长比为： 2 πR 2 180 2= ，故选 A.【点睛】本题考查了点的运动路径，涉及了三角形的内心，圆周角定理，四点共圆，弧长公式等，综合性较强，正确分析出点 E 运动的路径是解题的关键.16．（2019·广西中考真题）如图，在Rt ∆ABC 中， ∠C = 90︒ ， AC = 4 ， BC = 3，点O 是A B 的三等分点，半圆O 与A C 相切，M ，N 分别是B C 与半圆弧上的动点，则M N 的最小值和最大值之和是（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B【解析】【分析】设⊙O与A C相切于点D，连接O D，作OP⊥BC垂足为P交⊙O于F，此时垂线段O P最短，P F最小值为OP -OF ，当N在A B边上时，M与B重合时，M N经过圆心，经过圆心的弦最长，根据图形与圆的性质即可求解.【详解】如图，设⊙O与A C相切于点D，连接O D，作OP⊥BC垂足为P交⊙O于F，此时垂线段O P最短，P F最小值为OP -OF ，∵ AC = 4 ，BC = 3，∴ AB = 5∵ ∠OPB = 90︒，∴OP AC∵点O是A B的三等分点，∴O B =2 ⨯ 5 =10 ，OP =OB =2 ，3 3AC AB 3∴ OP =8 ，3∵⊙O与A C相切于点D，∴ OD ⊥AC ，∴ OD‖BC ，∴ OD =OA =1 ，BC AB 3∴ OD = 1，∴M N最小值为OP-OF=8-1=5，3 3如图，当N在A B边上时，M与B重合时，M N经过圆心，经过圆心的弦最长，M N最大值=10+1=13，3 35+13=6 ,3 3∴M N长的最大值与最小值的和是6．故选B．【点睛】此题主要考查圆与三角形的性质，解题的关键是熟知圆的性质及直角三角形的性质. 17．（2019·四川中考真题）如图，∠EOF 的顶点O是边长为2的等边∆ABC 的重心，∠EOF的两边与∆ABC 的边交于E，F，∠EOF=120︒，则∠EOF 与∆ABC 的边所围成阴影部分的面积是（）A．32【答案】C【解析】【分析】B．2 35C．33D．34连接OB 、OC ，过点O作ON ⊥BC ，垂足为N，由点O是等边三角形ABC 的内心可以得到。
中考数学总复习_第六单元_圆_第讲_与圆相关的位置关系试题
第23讲 与圆相关的位置关系1．已知⊙O 的半径是6 cm ，点O 到同一平面内直线l 的距离为5 cm ，则直线l 与⊙O 的位置关系是( A ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．无法判断2．(2016·泉州)如图，AB 和⊙O 相切于点B ，∠AOB ＝60°，则∠A 的大小为( B ) A ．15° B ．30° C ．45° D ．60°3．在一个三角形中，已知AB ＝AC ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，D 是BC 的中点，以D 为圆心作一个半径为5 cm 的圆，则下列说法正确的是( C )A ．点A 在⊙D 外B ．点B 在⊙D 上C ．点C 在⊙D 内 D ．无法确定 4．如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于A 、B 两点，若∠C＝65°，则∠P 的度数为( C ) A ．65° B ．130° C ．50° D ．100°5．(2016·德州)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少？”( C )A ．3步B ．5步C ．6步D ．8步6．(2016·潍坊)如图，在平面直角坐标系中，⊙M 与x 轴相切于点A(8，0)，与y 轴分别交于点B(0，4)和点C(0，16)，则圆心M 到坐标原点O 的距离是( D )A ．10B ．8 2C ．413D ．2417．(2016·荆州)如图，过⊙O 外一点P 引⊙O 的两条切线PA 、PB ，切点分别是A 、B ，OP 交⊙O 于点C ，点D 是优弧ABC ︵上不与点A 、点C 重合的一个动点，连接AD 、CD ，若∠APB＝80°，则∠ADC 的度数是( C ) A ．15° B ．20° C ．25° D ．30°8．如图所示，△ABC 的三个顶点的坐标分别为A(－1，3)、B(－2，－2)、C(4，－2)，则△ABC 外接圆半径的长度为13．9．(2016·株洲)如图，△ABC 的内切圆的三个切点分别为D 、E 、F ，∠A ＝75°，∠B ＝45°，则圆心角∠EOF ＝120度．10．(2016·益阳)如图，四边形ABCD 内接于⊙O，AB 是直径，过C 点的切线与AB 的延长线交于P 点，若∠P ＝40°，则∠D 的度数为115°．11．(2016·天津)在⊙O 中，AB 为直径，C 为⊙O 上一点．(1)如图1，过点C 作⊙O 的切线，与AB 的延长线相交于点P ，若∠CAB＝27°，求∠P 的大小；(2)如图2，D 为⊙O 上一点，且OD 经过AC 的中点E ，连接DC 并延长，与AB 的延长线相交于点P ，若∠CAB ＝10°，求∠P 的大小．解：(1)连接OC ，∵⊙O 与PC 相切于点C ， ∴OC ⊥PC ，即∠OCP＝90°. ∵∠CAB ＝27°，∴∠COB ＝2∠CAB＝54°.在Rt △OPC 中，∠P ＋∠COP＝90°， ∴∠P ＝90°－∠COP＝36°. (2)∵E 为AC 的中点，∴OD ⊥AC ，即∠AEO＝90°.在Rt △AOE 中，由∠EAO＝10°， 得∠AOE＝90°－∠EAO＝80°.∴∠ACD ＝12∠AOD＝40°.∵∠ACD 是△ACP 的一个外角， ∴∠P ＝∠ACD－∠CAP＝30°.12．(2016·永州)如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB 为直径，过点B 的切线与AC 的延长线交于点D ，E 是BD 中点，连接CE.(1)求证：CE 是⊙O 的切线；(2)若AC ＝4，BC ＝2，求BD 和CE 的长．解：(1)证明：连接OC. ∵BD 是⊙O 的切线，∴∠ABD ＝90°，即∠OBC ＋∠DBC＝90°. ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∠BCD ＝90°. ∵E 是BD 中点，∴CE ＝12BD ＝BE.∴∠BCE ＝∠CBE. ∵OB ＝OC ，∴∠OCB ＝∠OBC.∵∠OBC ＋∠DBC＝90°， ∴∠BCE ＋∠BCO＝90°， 即∠OCE＝90°. ∴CE 是⊙O 的切线． (2)∵∠ACB＝90°，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝42＋22＝2 5.∵tanA ＝BD AB ＝BC AC ＝24＝12，∴BD ＝12AB ＝ 5.∴CE ＝12BD ＝52.13．(2016·宜昌)在公园的O 处附近有E 、F 、G 、H 四棵树，位置如图所示(图中小正方形的边长均相等)．现计划修建一座以O 为圆心，OA 为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E 、F 、G 、H 四棵树中需要被移除的为( A )A ．E 、F 、GB ．F 、G 、HC ．G 、H 、ED ．H 、E 、F14．(2016·鄂州)如图所示，AB 是⊙O 的直径，AM 、BN 是⊙O 的两条切线，D 、C 分别在AM 、BN 上，DC 切⊙O 于点E.连接OD 、OC 、BE 、AE ，BE 与OC 相交于点P ，AE 与OD 相交于点Q ，已知AD ＝4，BC ＝9.以下结论：①⊙O 的半径为132；②OD∥B E ；③PB＝181313；④tan ∠CEP ＝23.其中正确结论有( B )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个15．(2016·武汉)如图，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，AD 与过点C 的切线垂直，垂足为点D ，AD 交⊙O 于点E.(1)求证：AC 平分∠DAB；(2)连接BE 交AC 于点F ，若cos ∠CAD ＝45，求AFFC的值．解：(1)证明：连接OC ，由题意知OC⊥CD. 又∵AD⊥CD，∴OC ∥AD.∴∠OCA ＝∠DAC. 又∵∠OCA＝∠OAC，∴∠DAC ＝∠OAC，即AC 平分∠DAB.(2)设AC ＝5x ，AD ＝4x ， 则DC ＝3x ，BE 与CO 相交于点G ，连接BC. ∵∠BEA ＝90°，∴四边形DEGC 是矩形． ∴EG ＝BG ＝3x. ∵∠CBG ＝∠CAD， ∴BG BC ＝45.∴BC＝154x. ∴CG ＝94x.∵AE ＝AD －DE ＝AD －CG ＝74x.由(1)知AD∥OC，△AEF ∽△CGF.∴AF CF ＝AE CG ＝74x94x ＝79.16．(2016·德州)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AE 平分∠BAC 交⊙O 于点E ，交BC 于点D ，过点E 作直线l∥B C.(1)判断直线l 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(2)若∠ABC 的平分线BF 交AD 于点F ，求证：BE ＝EF ； (3)在(2)的条件下，若DE ＝4，DF ＝3，求AF 的长．解：(1)直线l 与⊙O 相切． 理由：连接OE 、OB 、OC. ∵AE 平分∠BAC， ∴∠BAE ＝∠CAE. ∴BE ︵＝CE ︵.∴∠BOE ＝∠COE. 又∵OB＝OC ， ∴OE ⊥BC. ∵l ∥BC ， ∴OE ⊥l.∴直线l 与⊙O 相切．(2)证明：∵BF 平分∠ABC， ∴∠ABF ＝∠CBF.又∵∠CBE＝∠CAE＝∠BAE， ∴∠CBE ＋∠CBF＝∠BAE＋∠ABF. 又∵∠EFB＝∠BAE＋∠ABF， ∴∠EBF ＝∠EFB. ∴BE ＝EF.(3)由(2)得BE ＝EF ＝DE ＋DF ＝7. ∵∠DBE ＝∠BAE，∠DEB ＝∠BEA， ∴△BED ∽△AEB. ∴DE BE ＝BE AE ，即47＝7AE. 解得AE ＝494.∴AF ＝AE －EF ＝494－7＝214.17．如图，直线AB 与⊙O 相切于点A ，弦CD∥AB，E ，F 为圆上的两点，且∠CDE＝∠ADF.若⊙O 的半径为52，CD ＝4，则弦EF 的长为( B )A ．4B ．2 5C ．5D ．6。
云南省2018年中考数学总复习 第六章 圆 第二节 与圆有关的位置关系好题随堂演练
圆好题随堂演练1．(2018·长沙)如图，点A，B，D在⊙O上，∠A＝20°，BC是⊙O的切线，B为切点，OD的延长线交BC 于点C，∠OCB＝________度．2．如图，⊙O的半径OC＝5 cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A，B两点，AB＝8 cm，则l沿OC 所在直线向下平移______cm时与⊙O相切．3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在AB上．若以点D为圆心．AD为半径的圆与BC相切，则⊙D的半径为________．4．已知线段AB＝5 cm，点O是AB上一点，且OA＝2 cm，以O为圆心，OB为半径作圆O，则点A与圆O 的位置关系是( )A．在圆O上B．在圆O外C．在圆O内D．无法确定5．(2017·吉林)如图，直线l是⊙O的切线，A为切点，B为直线l上一点，连接OB交⊙O于点C，若AB ＝12，OA＝5，则BC的长为( )A．5 B．6 C．7 D．86．(2018·潍坊)如图，BD为△ABC外接圆⊙O的直径，且∠BAE＝∠C.(1)求证：AE与⊙O相切于点A；(2)若AE∥BC，BC＝27，AC＝22，求AD的长．7．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，且四边形AOCD是平行四边形，过点D作⊙O的切线，分别交OA延长线与OC延长线于点E、F，连接BF.(1)求证：BF是⊙O的切线；(2)已知圆的半径为1，求EF的长．参考答案1．50 2.2 3.1544．C 5.D6．(1)证明：如解图，连接OA 交BC 于点F ，则OA ＝OD ， ∴∠D＝∠DAO.∵∠D＝∠C，∴∠C＝∠DAO.∵∠BAE＝∠C，∴∠BAE＝∠DAO，∵BD 是⊙O 的直径，∴∠DAB＝90°，即∠DAO＋∠OAB＝90°，∴∠BAE＋∠OAB＝90°，即∠OAE＝90°，∴AE⊥OA，OA 为⊙O 半径，∴AE 与⊙O 相切于点A.(2)解：∵AE∥BC，AE⊥OA，∴OA⊥BC.∴AB ︵＝AC ︵，FB ＝12BC ，∴AB＝AC.∵BC＝27，AC ＝22， ∴BF＝7，AB ＝22，在Rt△ABF 中，AF ＝8－7＝1，在Rt△OFB 中，OB 2＝BF 2＋(OB －AF)2，∴OB＝4，∴BD＝8，∴在Rt△ABD 中，AD ＝BD 2－AB 2＝64－8＝214.7．(1)证明：连接OD ，如解图，∵四边形AOCD 是平行四边形，且OA ＝OC ， ∴四边形AOCD 是菱形，∴△OAD 和△OCD 都是等边三角形，∴∠AOD ＝∠COD＝60°，∴∠FOB＝60°，∵EF 为⊙O 的切线，∴OD⊥EF，∴∠FDO＝90°，在△FDO 和△FBO 中，⎩⎪⎨⎪⎧OD ＝OB ，∠FOD＝∠FOB，FO ＝FO ，∴△FDO≌△FBO(SAS)，∴∠OBF＝∠ODF＝90°，∵OB 是⊙O 的半径，∴BF 是⊙O 的切线；(2)解：在Rt△OBF 中，∵∠FOB＝60°，而tan∠FOB＝BF OB ， ∴BF＝1×tan 60°＝ 3.∵在Rt△EOD 中，∠E＝90°－60°＝30°，∴EF＝2BF＝2 3.。
圆和圆的位置关系练习题
圆和圆的位置关系练习题在几何学中，圆和圆的位置关系是一个重要的概念。
通过理解和掌握它们之间的关系，我们可以更好地解决与圆相关的问题。
本文将为您提供一些关于圆和圆位置关系的练习题，以帮助您巩固和加深对该概念的理解。
1. 两个圆相交的情况问题描述：给定两个圆，圆心分别为O₁和O₂，半径分别为r₁和r₂。
请根据这两个圆的位置关系，判断以下情况：1) 当O₁O₂的距离小于r₁+r₂时，两个圆的位置关系是什么？2) 当O₁O₂的距离等于r₁+r₂时，两个圆的位置关系是什么？3) 当O₁O₂的距离大于r₁+r₂时，两个圆的位置关系是什么？解答：1) 当O₁O₂的距离小于r₁+r₂时，两个圆相交于两个交点。
2) 当O₁O₂的距离等于r₁+r₂时，两个圆相交于一个交点，且此时两个圆切于该点。
3) 当O₁O₂的距离大于r₁+r₂时，两个圆相离，它们没有交点。
2. 两个圆相切的情况问题描述：给定两个圆，圆心分别为O₁和O₂，半径分别为r₁和r₂。
请根据这两个圆的位置关系，判断以下情况：1) 当O₁O₂的距离等于|r₁-r₂|时，两个圆的位置关系是什么？2) 当O₁O₂的距离小于|r₁-r₂|时，两个圆的位置关系是什么？3) 当O₁O₂的距离大于|r₁-r₂|时，两个圆的位置关系是什么？解答：1) 当O₁O₂的距离等于|r₁-r₂|时，两个圆相切于一个交点。
2) 当O₁O₂的距离小于|r₁-r₂|时，两个圆相交于两个交点。
3) 当O₁O₂的距离大于|r₁-r₂|时，两个圆相离，它们没有交点。
3. 一个圆包含另一个圆的情况问题描述：给定两个圆，圆心分别为O₁和O₂，半径分别为r₁和r₂。
请根据这两个圆的位置关系，判断以下情况：1) 当O₂在O₁内部且O₁O₂的距离小于|r₁-r₂|时，一个圆包含另一个圆。
2) 当O₂在O₁内部且O₁O₂的距离等于|r₁-r₂|时，两个圆相切于一个交点。
3) 当O₂在O₁内部且O₁O₂的距离大于|r₁-r₂|时，两个圆相离，它们没有交点。
中考数学总复习 第六单元 圆 课时26 与圆有关的位置关系数学课件
∴∠OAB+∠OBA=90°,∴∠AOB=90°.∵∠OAE+∠AOE=90°,
∠AOE+∠BOE=90°,∴∠EAO=∠EOB.又∵∠AEO=∠OEB=90°,
∴△AEO∽△OEB,∴ = ,∴AE·BE=OE2=1.
(1)求证:直线CG为☉O的切线.
(2)若点H为线段OB上一点,连接CH,满足CB=CH.
①求证:△CBH∽△OBC.
②求OH+HC的最大值.
图 26-7
解:(1)证明:∵点C,D关于直线AB对称(duì
chèn),∴∠CAB=∠DAB.
∵∠GAF=∠GCE,∴∠CAB=∠GCE.∵OA=OC,∴∠CAB=∠ACO.∴∠ACO=∠GCE.
与切线有关的证明与计算
如图26-5,已知半圆O与四边形
(qiēdiǎn)分别
ABCD的边AD,AB,BC都相切,切点
为D,E,C,半径OC=1,则AE·BE=
.
【答案】1
【解析】如图,连接 OE.∵半圆 O 与四边形 ABCD 的边 AD,AB,BC 都
相切,切点分别为 D,E,C,∴OE⊥AB,AD⊥CD,BC⊥CD,∠OAD=
第六单元(dānyuán)
圆
课时 26
与圆有关(yǒuguān)的位置关系
第一页，共四十六页。
课前考点过关
中考(zhōnɡ
kǎo)
对接
命题点一
直线与圆的位置关系
1. [2018·湘西州] 已知☉O的半径为5 cm,圆心O到直线l的距离为5 cm,则直线l与☉O的位置关系为
A. 相交
中考数学专题训练：与圆有关的位置关系(附参考答案)
中考数学专题训练：与圆有关的位置关系（附参考答案）1．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，若∠BAC＝35°，则∠ACB的度数为( )A．35°B．45°C．55°D．65°2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，点O在AB上，OB＝2，以OB为半径的⊙O与AC相切于点D，交BC于点E，则CE的长为( )A．12B．23C．√22D．13．如图，一把直尺、一把含60°角的直角三角尺和光盘如图摆放，A为60°角与直尺的交点，AB＝3，则光盘的直径是( )A．3 B．3√3C．6 D．6√34．如图，PA，PB切⊙O于点A，B，PA＝10，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D两点，则△PCD的周长是( )A．10 B．18 C．20 D．225．如图，BC 为⊙O 的直径，弦AD ⊥BC 于点E ，直线l 切⊙O 于点C ，延长OD 交l 于点F .若AE ＝2，∠ABC ＝22.5°，则CF 的长度为( )A ．2B ．2√2C ．2√3D ．46．如图，AC 是⊙O 的切线，B 为切点，连接OA ，OC .若∠A ＝30°，AB ＝2√3，BC ＝3，则OC 的长度是( )A ．3B ．2√3C ．√13D ．67．如图，在⊙O 中，AB 切⊙O 于点A ，连接OB 交⊙O 于点C ，过点A 作AD ∥OB 交⊙O 于点D ，连接CD .若∠B ＝50°，则∠OCD 为( )A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°8．如图，AB 为⊙O 的直径，点P 在AB 的延长线上，PC ，PD 与⊙O 相切，切点分别为C ，D .若AB ＝6，PC ＝4，则sin ∠CAD 等于( )A ．35B ．23C ．34D ．459．如图，I为△ABC的内心，有一直线经过点I且分别与AB，AC相交于D，E 两点．若AD＝DE＝5，AE＝6，则点I到BC的距离为( )A．2411B．3011C．2 D．310．(多选)如图，在直角坐标系中，点A是函数y＝－x图象上的动点，以点A 为圆心，1为半径作⊙A.已知B(－4，0)，连接AB，当⊙A与两坐标轴同时相切时，tan ∠ABO的值可能为( )A．3 B．13C．5 D．1511．如图，在△ABC中，∠B＝90°，⊙O过点A，C，与AB交于点D，与BC相切于点C.若∠A＝32°，则∠ADO＝________．(填度数)12．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(8，5)，⊙A与x轴相切，点P 在y轴正半轴上，PB与⊙A相切于点B.若∠APB＝30°，则点P的坐标为_____________.13．如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，点O在BC上，以OB为半径的圆与AC 相切于点A，D是边BC上的动点．当△ACD为直角三角形时，AD的长为__________．14．如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，BC与⊙O相切于点B，连接OB.若∠ABC＝65°，则∠BOD的大小为________．15．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，且∠APB＝56°.若C是⊙O上异于点A，B的一点，则∠ACB的大小为_______________．16．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，连接BC，与⊙O交于点D，连接OD.若∠AOD＝82°，则∠C＝______°.17．如图，在平面直角坐标系中，以M(2，3)为圆心，AB长为直径的圆与x轴相切，与y轴交于A，C两点，则点B的坐标是________________．⏜的中点，过点C作CD⊥AE，18．如图，AB为⊙O的直径，E为⊙O上一点，C为EB交AE 的延长线于点D ，延长DC 交AB 的延长线于点F .(1)求证：CD 是⊙O 的切线；(2)若DE ＝1，DC ＝2，求⊙O 的半径长．19．如图，等边三角形ABC 的边长为4，⊙C 的半径为√3，P 为边AB 上一动点，过点P 作⊙C 的切线PQ ，切点为Q ，则PQ 的最小值为_____．20．如图，已知D 为⊙O 上一点，点C 在直径BA 的延长线上，BE 与⊙O 相切，交CD 的延长线于点E ，且BE ＝DE .(1)判断CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由．(2)若AC ＝4，sin C ＝13.①求⊙O 的半径；②求BD 的长．参考答案1．C 2．B 3．D 4．C 5．B 6．C 7．B 8．D 9．A 10．BD 11．64° 12．(0，11) 13．32或65 14．50° 15．62°或118° 16．4917．(4，3－√5) 18．(1)证明略 (2)⊙O 的半径长为2.5 19．320．(1)CD 与⊙O 相切，理由略 (2)①⊙O 的半径为2 ②BD ＝4√63。
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第六单元 圆第26课时 与圆有关的位置关系(建议答题时间：60分钟)基础过关1. 已知⊙O 的半径为3，圆心O 到直线L 的距离为2，则直线L 与⊙O 的位置关系是( )A. 相交B. 相切C. 相离D. 不能确定2. (2017广州)如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，则点O 是△ABC 的( ) A. 三条边的垂直平分线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条中线的交点 D. 三条高的交点第2题图3. (2017安顺)如图，⊙O 的直径AB ＝4，BC 切⊙O 于点B ，OC 平行于弦AD ，OC ＝5，则AD 的长为( )第3题图A. 65B. 85C. 75D. 2354. 如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的点，∠CDB ＝30°，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，则sin E 的值是( )A.12B.13C.55D.32第4题图5. 如图，在平面直角坐标系中，⊙P 与y 轴相切，交直线y ＝x 于A ，B 两点，已知圆心P 的坐标为(2，a )(a ＞2)，A B ＝23，则a 的值为( )第5题图A. 4B. 2＋ 2C. 72D. 4＋626. (2017泰安)如图，圆内接四边形ABCD 的边AB 过圆心O ，过点C 的切线与边AD 所在直线垂直于点M ，若∠ABC ＝55°，则∠ACD 等于( )A. 20°B. 35°C. 40°D. 55°第6题图7. (2017连云港)如图，线段AB与⊙O相切于点B，线段AO与⊙O相交于点C，AB＝12，AC＝8，则⊙O的半径长为________．第7题图8. (2017徐州)如图，AB与⊙O相切于点B，线段OA与弦BC垂直，垂足为D，AB＝BC ＝2，则∠AOB＝________°.第8题图9. (2017上海)如图，已知Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4.分别以点A、B为圆心画圆，如果点C在⊙A内，点B在⊙A外，且⊙B与⊙A内切，那么⊙B的半径长r的取值范围是________．第9题图10. (浙教九下第44页第5题改编)如图，已知AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于C，BE∥CO.(1)求证：BC是∠ABE的平分线；(2)若D C＝8，⊙O的半径OA＝6，求CE的长．第10题图11. (2017陕西)如图，已知⊙O 的半径为5，PA 是⊙O 的一条切线，切点为A ，连接PO 并延长，交⊙O 于点B ，过点A 作AC ⊥PB 交⊙O 于点C 、交PB 于点D ，连接BC .当∠P ＝30°时．(1)求弦AC 的长； (2)求证：BC ∥PA .第11题图满分冲关1. 以点P (1，2)为圆心，r 为半径画圆，与坐标轴恰好有三个交点，则r 应满足( ) A. r ＝2或 5 B. r ＝2 C. r ＝ 5 D. 2≤r ≤ 52. (2017日照)如图，AB 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于点A ，连接PO 并延长交⊙O 于点C ，连接AC ，AB ＝10，∠P ＝30°，则AC 的长度是( )第2题图A. 5 3B. 5 2C. 5D. 523. (2017杭州模拟)如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，过D 作⊙O 的切线交CB 的延长线于点E.若AB ＝4，∠E ＝75°，则CD 的长为( )A. 3 B ．2 C ．2 3 D ．3 3第3题图4. (2017兰州)如图，在平面直角坐标系xOy 中，▱ABCO 的顶点A ，B 的坐标分别是A (3，0)，B (0，2)．动点P 在直线y ＝32x 上运动，以点P 为圆心，PB 长为半径的⊙P 随点P 运动，当⊙P 与▱ABCO 的边相切时，P 点的坐标为________________．第4题图5. (2017黔西南州)如图，已知AB 为⊙O 的直径，D 是BC ︵的中点，DE ⊥AC 交AC 的延长线于E ，⊙O 的切线BF 交AD 的延长线于F.(1)求证：直线DE 与⊙O 相切；(2)已知DG ⊥AB 且DE ＝4，⊙O 的半径为5，求tan F 的值．第5题图6. (2017北京)如图，AB 是⊙O 的一条弦，E 是AB 的中点，过点E 作EC ⊥OA 于点C ，过点B 作⊙O 的切线交CE 的延长线于点D.(1)求证：DB ＝DE ;(2)若AB ＝12，BD ＝5，求⊙O 的半径．第6题图 答案基础过关1. A 【解析】∵⊙O 的半径为3，圆心O 到直线L 的距离为2，∵3>2，即d<r ，∴直线L 与⊙O 的位置关系是相交．2. B 【解析】∵⊙O 是△ABC 的内切圆，∴点O 是△ABC 的三条角平分线的交点．3. B 【解析】如解图，连接BD ，由OC ∥AD 可知∠B O C ＝∠A .∵BC 切⊙O 于点B ，∴OB ⊥BC ，∴在Rt △OBC 中，cos ∠BOC ＝OB OC ＝25，∵AB 是直径，∴∠ADB ＝90°，∴在Rt △ADB中cos A ＝AD AB ＝25，则AD ＝85.第3题解图4. A 【解析】连接OC ，如解图，∠BOC ＝2∠CDB ＝60°，∵CE 为切线，∴OC ⊥CE ，∴∠OCE ＝90°，∴∠E ＝30°，∴sinE ＝sin30°＝12.故选A.第4题解图5. B 【解析】设⊙P 与y 轴相切于D 点，连接PD ，则有PD ⊥y 轴，过P 作PC ⊥AB ，连接PA ，则有AC ＝BC ＝12AB ＝3，∵P 的坐标为(2，a )，∴PD ＝PA ＝2，在Rt △APC 中，根据勾股定理得PC ＝AP 2－AC 2＝1，∴点P 到直线AB 的距离d ＝1，即|a －2|2＝1，解得a ＝2＋2或a ＝2－2(舍去)，则a 的值为2＋ 2.第5题解图6. A 【解析】∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴∠MDC ＝∠ABC ＝55°，如解图①连接OC ，∵MC 是⊙O 的切线，∴OC ⊥MC ，∵AM ⊥MC ，∴AM ∥OC ，∴∠MAC ＝∠OCA ，∵OC ＝OA ，∴∠OAC ＝∠OCA ，∴∠MAC ＝∠BAC .∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∵∠B ＝55°，∴∠BAC ＝35°，∴∠CAM ＝35°，∵∠CDM 是△ADC 的外角，∴∠DCA ＝∠CDM －∠CAD ＝55°－35°＝20°.第6题解图【一题多解】如解图②，连接OC ，BD ，∵CM 是⊙O 的切线，∴OC ⊥MC ，∵AM ⊥M C ，∴AM ∥OC ，∴∠MAC ＝∠OCA ，∵OC ＝OA ，∴∠OCA ＝∠OAC ，∴∠MAC ＝∠BAC .∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∵∠ABC ＝55°，∴∠BAC ＝35°，∴∠BAD ＝70°，∵AB 是⊙O 直径的，∴∠ADB ＝90°，∴∠ABD ＝20°，∴∠ACD ＝∠ABD ＝20°.7. 5 【解析】设⊙O 的半径为x ，根据“切割线定理”得AB 2＝AC (AC ＋2x )，即122＝8(8＋2x )，解得x ＝5.8. 60 【解析】∵OD ⊥BC ，BC ＝2，∴BD ＝12BC ＝1(垂径定理)．在Rt △ABD 中，AB＝2，BD ＝1，∴∠A ＝30°.在Rt △AOB 中，∠A ＝30°，∴∠AOB ＝60°.9. 8<r <10 【解析】∵Rt △ABC ，∠C ＝90 °，AC ＝3，BC ＝4，∴AB ＝5.∵点 C 在⊙A 内，点 B 在⊙A 外，∴当⊙A 的半径大于3时(如解图①)，⊙B 的半径大于5＋3＝8；当⊙A 的半径小于5时(如解图②)，⊙B 的半径小于5＋5＝10.故取值范围为8＜r ＜10.第9题解图10. (1)证明： ∵BE ∥CO ，∴∠O C B ＝∠EBC ， ∵CO ＝OB ，∴∠OCB ＝∠OBC ， ∴∠OBC ＝∠EBC ， ∴BC 是∠ABE 的平分线； (2)解：设AD ＝x ，则DO ＝x ＋6， ∵CD 是⊙O 的切线， ∴CD ⊥C O ，∴∠DCO ＝90°， 在Rt △DCO 中，有DC 2＋CO 2＝DO 2， ∴82＋62＝(x ＋6)2， 解得x ＝4，∴DO ＝10， ∵CO ∥BE ，∴CE DC ＝BO DO ，∴CE 8＝610， ∴CE ＝4.8.11. (1)解：如解图，连接OA .第11题解图∵PA 是⊙O 的切线，切点为A ， ∴∠PAO ＝90°.∵∠P ＝30°，∴∠AOD ＝60°. ∵AC ⊥PB ，PB 过圆心，∴AD ＝DC .∴在Rt △ODA 中，AD ＝OA·sin60°＝532，∴AC ＝2AD ＝53；(2)证明：∵AC ⊥PB ，∠P ＝30°， ∴∠PAC ＝60°. ∵∠AOP ＝60°，∴∠BOA ＝120°，∴∠BCA ＝60°， ∴∠PAC ＝∠BCA ，∴BC ∥PA . 满分冲关1. A 【解析】∵以点P (1，2)为圆心，r 为半径画圆，与坐标轴恰好有三个交点，∴⊙P 与x 轴相切(如解图①)或⊙P 过原点(如解图②)，当P 与x 轴相切时，r ＝2；当P 过原点时，r ＝OP ＝12＋22＝5，∴r 应满足r ＝2或 5.第1题解图2. A 【解析】如解图①，过点O 作OD ⊥AC 于点D ，∵AB 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于点A ，∴AB ⊥AP ，∴∠BAP ＝90°，∵∠P ＝30°，∴∠AOP ＝60°，∴∠AOC ＝120°，∵OA ＝OC ，∴∠OAD ＝30°，∵AB ＝10，∴OA ＝5，∴OD ＝12AO ＝2.5，∴AD ＝AO 2－OD 2＝532，∴AC ＝2AD ＝5 3.第2题解图①第2题解图②【一题多解】如解图②，连接BC ，∵AP 是⊙O 的切线，∴∠BAP ＝90°，∵∠P ＝30°，∴∠AOP ＝60°，∴∠BOC ＝60°，∴∠ACP ＝∠BAC ＝12∠BOC ＝30°＝∠P ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝30°，A B ＝10，∴AC ＝5 3.3. C 【解析】如解图，连接OC 、ODCD ，与AB 交于点F .∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°，∵CD 平分∠ACB ，∴AD ︵＝DB ︵，∴OD ⊥AB ，∵DE 是⊙O 的切线，∴DE ⊥OD .∴AB ∥DE ，∵∠E ＝75°，∴∠ABC ＝∠E ＝75°，∠CAB ＝15°，∴∠CFB ＝∠CAB ＋∠ACF＝15°＋45°＝60°，∴∠OFD ＝∠CFB ＝60°，在Rt △OFD 中，∵∠DOF＝90°，OD ＝2，∠ODF ＝30°，∴OF ＝OD ·tan30°＝233，DF ＝2OF ＝433，∵OD ＝OC ，∴∠ODC ＝∠OCD ＝30°，∵∠COB ＝∠CAB ＋∠ACO ＝30°，∴∠FOC ＝∠FCO ，∴CF ＝FO ＝233，∴CD ＝C F ＋DF ＝2 3.故选C.第3题解图4. (0，0)或(23，1)或(3－5，9－352)【解析】①当⊙P 与BC 相切时，∵动点P 在直线y ＝32x 上，∴P 与O 重合，此时圆心P 到BC 的距离为OB ，∴P (0，0)．②如解图①中，当⊙P 与OC 相切时，则OP ＝BP ，△OPB 是等腰三角形，作PE ⊥y 轴于E ，则EB ＝EO ，易知P 的纵坐标为1，可得P (23，1)．③如解图②中，当⊙P 与OA 相切时，则点P 到点B 的距离与点P 到x 轴的距离相等，可得x2＋（32x －2）2＝32x ，解得x ＝3＋5或3－5，∵x ＝3＋5＞OA ，∴⊙P 不会与OA 相切，∴x ＝3＋5不合题意，∴P (3－5，9－352)．④如解图③中，当⊙P 与AB 相切时，设线段AB 与直线OP 的交点为G ，此时PB ＝PG ，∵OP ⊥AB ，∴∠BGP ＝∠PBG ＝90°不成立，∴此种情形，不存在P 点．综上所述，满足条件的P 点的坐标为(0，0)或(23，1)或(3－5，9－352)．第4题解图5. (1)证明：∵D 是BC ︵的中点，∴CD ︵＝BD ︵，∴∠CAD ＝∠DAB ，如解图，连接OD .∵OA ＝OD ，第5题解图∴∠OAD ＝∠ODA ，∴∠ODA ＝∠CAD ，∴OD ∥AE ，∵DE ⊥AC ，∴OD ⊥DE ，∵OD 是⊙O 的半径，∴直线DE 与⊙O 相切；(2)解：∵BF 是⊙O 的切线，∴BF ⊥AB ，∵DG ⊥AB ，∴DG ∥BF ，∴∠F ＝∠ADG .由(1)知AD 是∠CAB 的平分线，∵DE ⊥AC ，DG ⊥AB ，∴DE ＝DG ＝4.在Rt △ODG 中，OD ＝5，DG ＝4，则OG ＝3，∴AG ＝8，∴tan ∠ADG ＝AG DG ＝84＝2， ∴tanF ＝2.6. (1)证明：如解图，∵DC ⊥OA ，∴∠1＋∠3＝90°.∵BD 为切线，∴OB ⊥BD ，∴∠2＋∠5＝90°.∵OA ＝OB , ∴∠1＝∠2，∴∠3＝∠5，又∵∠3＝∠4，∴∠4＝∠5，∴在△BDE 中，DE ＝DB ；第6题解图(2)解：如解图，作DF ⊥BE 于点F ，延长AC 交⊙O 于点G ，连接BG . ∵AB ＝12，E 为AB 中点，∴AE ＝BE ＝12AB ＝6. ∵在△BDE 中，DE ＝DB , DF ⊥BE ，∴BF ＝EF ＝12BE ＝3. ∵在Rt △DEF 中，EF ＝3，DE ＝5，∴DF ＝DE 2－EF 2＝4，∴cos ∠EDF ＝45. ∵在Rt △AEC 与Rt △DEF 中，∠3＝∠4,∴Rt △AEC ∽Rt △D E F ，∴∠1＝∠EDF ，∴cos ∠1＝cos ∠E D F ＝45. ∵在△ABG 中，AG 为直径，∴△ABG 为直角三角形，∴在Rt △ABG 中，AB ＝12，cos ∠1＝45＝AB AG， ∴AG ＝15，∴r ＝12AG ＝152.。