河南省郑州市第一中学2018-2019学年高二上学期入学测试数学试题+Word版含答案
河南省郑州2018-2019学年高二上学期期中数学试卷(文科)Word版含解析
河南省郑州2018-2019学年高二上学期期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在△ABC中，a=2，b=，∠A=，则∠B=（）A．B．C．或D．或2．“x＜0”是“＜1”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．即不充分也不必要条件3．已知数列{a n}中，a1=1，a2=4，2a n=a n﹣1+a n+1（n≥2，n∈N*），当a n=298时，序号n=（）A．100 B．99 C．96 D．1014．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是（）A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x25．《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus）是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题：把120个面包分成5份，使每份的面包数成等差数列，且较多的三份之和恰好是较少的两份之和的7倍，则最少的那份有（）个面包．A．4 B．3 C．2 D．16．已知等比数列{a n}的前n项和是S n，且S20=21，S30=49，则S10为（）A．7 B．9 C．63 D．7或637．设a，b是非零实数，若a＞b，则一定有（）A．B．a2＞ab C．D．8．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S2016＞0，S2017＜0，对任意正整数n，都有|a n|≥|a k|，则k 的值为（）A．1006 B．1007 C．1008 D．10099．已知变量x，y满足，则z=x﹣y的取值范围是（）A．[﹣2，﹣1]B．[﹣2，0] C．[0，]D．[﹣2，]10．设x∈R，对于使x2﹣2x≥M恒成立的所有常数M中，我们把M的最大值﹣1叫做x2﹣2x的下确界，若a，b∈R，且a+b=1，则的下确界为（）A．5 B．4 C．D．11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=，b（1﹣cosC）=ccosA，b=2，则△ABC 的面积为（）A．B．2C．D．或212．设．若f（x）=x2+px+q的图象经过两点（α，0），（β，0），且存在整数n，使得n＜α＜β＜n+1成立，则（）A． B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若不等式（m2+4m﹣5）x2﹣4（m﹣1）x+3＞0一切实数x恒成立，则实数m的取值范围是．14．等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为S n和T n，且，则=．15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a=2，b=3，c=4，则=．16．已知数列{a n}的通项公式为a n=3n，记数列{a n}的前n项和为S n，若∃n∈N*使得（S n+）k≥3n﹣6成立，则实数k的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知命题p：x2﹣ax﹣a+≥0对任意的x∈R恒成立；命题q：关于x的不等式x2+2x+a＜0有实数解．若命题“p∨q”为真命题，且“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．18．在等比数列{a n}中，公比q≠1，等差数列{b n}满足b1=a1=3，b4=a2，b13=a3．（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）记c n=（﹣1）n•b n+a n，求数列{c n}的前n项和S n．19．某人上午7时，乘摩托艇以匀速vkm/h（8≤v≤40）从A港出发到距100km的B港去，然后乘汽车以匀速wkm/h（30≤w≤100）自B港向距300km的C市驶去．应该在同一天下午4至9点到达C市．设乘坐汽车、摩托艇去目的地所需要的时间分别是xh，yh．（1）作图表示满足上述条件的x，y范围；（2）如果已知所需的经费p=100+3（5﹣x）+2（8﹣y）（元），那么v，w分别是多少时p最小？此时需花费多少元？20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos2B﹣5cos（A+C）=2．（1）求角B的值；（2）若cosA=，△ABC的面积为10，求BC边上的中线长．21．“城市呼唤绿化”，发展园林绿化事业是促进国家经济法阵和城市建设事业的重要组成部分，某城市响应城市绿化的号召，计划建一如图所示的三角形ABC形状的主题公园，其中一边利用现成的围墙BC，长度为100米，另外两边AB，AC使用某种新型材料围成，已知∠BAC=120°，AB=x，AC=y（x，y单位均为米）．（1）求x，y满足的关系式（指出x，y的取值范围）；（2）在保证围成的是三角形公园的情况下，如何设计能使所用的新型材料总长度最短？最短长度是多少？22．设数列{a n}的前n项和为S n，且{}是等差数列，已知a1=1， ++=6．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列b n=+﹣2，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜．河南省郑州2018-2019学年高二上学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在△ABC中，a=2，b=，∠A=，则∠B=（）A．B．C．或D．或【考点】正弦定理．【分析】利用正弦定理和已知的两边和其中一边的对角求得sinB的值，进而求得B．【解答】解：由正弦定理可知=∴sinB=•b=×=∵b＜a∴B＜A∴B=故选B2．“x＜0”是“＜1”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．即不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】将＜1化简为：x＜0或x＞1，再根据充分条件和必要条件的定义即可得正确答案【解答】解：∵＜1，∴﹣1＜0，即＜0，即x（x﹣1）＞0，解得x＜0或x＞1，∴“x＜0”是“＜1”的充分比必要条件，故选：B3．已知数列{a n}中，a1=1，a2=4，2a n=a n﹣1+a n+1（n≥2，n∈N*），当a n=298时，序号n=（）A．100 B．99 C．96 D．101【考点】等差数列的通项公式．【分析】判断数列是等差数列，利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵2a n=a n﹣1+a n+1，∴数列{a n}为等差数列，∵a1=1，a2=4，∴公差d=3，∴a n=298=1+3（n﹣1），解得n=100．故选：A4．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是（）A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是：∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2．故选：D．5．《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus）是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题：把120个面包分成5份，使每份的面包数成等差数列，且较多的三份之和恰好是较少的两份之和的7倍，则最少的那份有（）个面包．A．4 B．3 C．2 D．1【考点】等差数列的通项公式．【分析】设五个人所分得的面包为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，（其中d＞0），则由条件求得a 和d的值，可得最少的一份为a﹣2d的值．【解答】解：设五个人所分得的面包为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，（其中d＞0），则有（a﹣2d）+（a﹣d）+a+（a+d）+（a+2d）=5a=120，∴a=24．由a+a+d+a+2d=7（a﹣2d+a﹣d），得3a+3d=7（2a﹣3d）；∴24d=11a，∴d=11．∴最少的一份为a﹣2d=24﹣22=2，故选：C．6．已知等比数列{a n}的前n项和是S n，且S20=21，S30=49，则S10为（）A．7 B．9 C．63 D．7或63【考点】等比数列的性质．【分析】由等比数列的求和公式，结合条件，求出q10=2，=﹣7，代入可求S10．【解答】解：由题意S20==21，S30==49，∴q10=2，=﹣7∴S10=（1﹣q10）=7故选：A．7．设a，b是非零实数，若a＞b，则一定有（）A．B．a2＞ab C．D．【考点】不等式的基本性质．【分析】根据不等式的基本性质依次判断即可得到答案．【解答】解：对于A：当a＞0＞b，不成立．对于B：当b＜a＜0时，不成立．对于C：∵a，b是非零实数，a＞b，当a＞0＞b，恒成立，当b＜a＜0时，ab＞0，则﹣ab＜0，0＞，∴，当0＜b＜a 时，a2＞b2，ab＞0，＞0，∴．则C对．对于D：当a=1，b=﹣时不成立，故选C．8．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S2016＞0，S2017＜0，对任意正整数n，都有|a n|≥|a k|，则k 的值为（）A．1006 B．1007 C．1008 D．1009【考点】等差数列的前n项和．【分析】设等差数列{a n}的公差为d，由于满足S2016=＞0，S2017=2017a1009＜0，可得：a1008+a1009＞0，a1008＞0，a1009＜0，d＜0，即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵满足S2016==＞0，S2017==2017a1009＜0，∴a1008+a1009＞0，a1008＞0，a1009＜0，d＜0，对任意正整数n，都有|a n|≥|a k|，则k=1009．故选：D．9．已知变量x，y满足，则z=x﹣y的取值范围是（）A．[﹣2，﹣1]B．[﹣2，0] C．[0，]D．[﹣2，]【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合数形结合即可得到结论．【解答】解：作出不等式组，对应的平面区域如图：由z=x﹣y得y=x﹣z，平移直线y=x﹣z由图象可知当直线y=x﹣z经过点A时，直线y=x﹣z的截距最大，由，解得A（1，3）此时z最小为z=1﹣3=﹣2，当直线y=x﹣z，z经过点B时，z取得最大值，由，可得A（，），直线y=x﹣z的截距最小，此时z最大为：=，z的范围为：[﹣2，]．故选：D．10．设x∈R，对于使x2﹣2x≥M恒成立的所有常数M中，我们把M的最大值﹣1叫做x2﹣2x的下确界，若a，b∈R，且a+b=1，则的下确界为（）A．5 B．4 C．D．【考点】基本不等式．【分析】由题意，问题实质就是求a+b=1时的最小值，利用基本不等式解得即可．【解答】解：因为a+b=1，则=（a+b）（）=+≥；当且仅当a=b时等号成立；故选：D．11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若A=，b （1﹣cosC ）=ccosA ，b=2，则△ABC的面积为（ ）A ．B ．2C ．D ．或2 【考点】正弦定理．【分析】由已知等式利用三角函数恒等变换的应用，正弦定理可得sinBcosC=sinAcosC ，可得cosC=0，或sinB=sinA ，分类讨论，分别利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：∵在△ABC 中，b （1﹣cosC ）=ccosA ，可得：b=ccosA +bcosC ，∴sinB=sinCcosA +sinBcosC=sin （A +C ）=sinAcosC +cosAsinC ，可得：sinBcosC=sinAcosC ，∴cosC=0，或sinB=sinA ，∵A=，b=2，∴当cosC=0时，C=，a==2，S △ABC =ab==2，当sinB=sinA 时，可得A=B=C=，a=b=c=2，S △ABC =absinC==． 故选：D ．12．设．若f （x ）=x 2+px +q 的图象经过两点（α，0），（β，0），且存在整数n ，使得n ＜α＜β＜n +1成立，则（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】基本不等式；二次函数的性质．【分析】由f （x ）=x 2+px +q 的图象经过两点（α，0），（β，0），可得f （x ）=x 2+px +q=（x ﹣α）（x ﹣β），进而由min {f （n ），f （n +1）}≤和基本不等式可得答案．【解答】解：∵f （x ）=x 2+px +q 的图象经过两点（α，0），（β，0），∴f （x ）=x 2+px +q=（x ﹣α）（x ﹣β）∴f （n ）=（n ﹣α）（n ﹣β），f （n +1）=（n +1﹣α）（n +1﹣β），∴min {f （n ），f （n +1）}≤=≤==又由两个等号不能同时成立故 故选：B二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若不等式（m2+4m﹣5）x2﹣4（m﹣1）x+3＞0一切实数x恒成立，则实数m的取值范围是1≤m＜19．【考点】函数恒成立问题．【分析】此题要分两种情况：①当m2+4m﹣5=0时，解出m的值，进行验证；②当m2+4m﹣5=0时，根据二次函数的性质，要求二次函数的开口向上，与x轴无交点，即△＜0，综合①②两种情况求出实数m 的范围．【解答】解：①当m2+4m﹣5=0时，得m=1或m=﹣5，∵m=1时，原式可化为3＞0，恒成立，符合题意当m=﹣5时，原式可化为：24x+3＞0，对一切实数x不恒成立，故舍去；∴m=1；②m2+4m﹣5≠0时即m≠1，且m≠﹣5，∵（m2+4m﹣5）x2﹣4（m﹣1）x+3＞0对一切实数x恒成立∴有解得1＜m＜19综上得1≤m＜19故答案为1≤m＜19．14．等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为S n和T n，且，则．【考点】等差数列的前n项和；等差数列的性质．【分析】用等差中项凑前n项和公式把条件变为由==，而==即当n=9时，求出即可．【解答】解：由==，而==即当n=9时，===故答案为15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a=2，b=3，c=4，则=﹣1．【考点】余弦定理．【分析】由正弦定理先求得sinC=2sinA，由余弦定理cosC=﹣，代入所求即可求解．【解答】解：在△ABC中，由正弦定理可得：sinA：sinB：sinC=2：3：4故有：sinC=2sinA由余弦定理：cosC===﹣，∴===﹣1．故答案为：﹣1．16．已知数列{a n}的通项公式为a n=3n，记数列{a n}的前n项和为S n，若∃n∈N*使得（S n+）k≥3n﹣6成立，则实数k的取值范围是．【考点】数列与不等式的综合．【分析】利用等比数列的求和公式可得S n，代入（S n+）k≥3n﹣6，化简利用数列的单调性即可得出．【解答】解：∵数列{a n}的通项公式为a n=3n，∴数列{a n}是等比数列，公比为3，首项为3．∴S n==﹣，∴（S n+）k≥3n﹣6化为：k≥，∵∃n∈N*使得（S n+）k≥3n﹣6成立，∴k≥．令b n=，则b n+1﹣b n=﹣=，n≤3时，b n+1≥b n；n≥4时，b n+1＜b n．∴b1＜b2＜0＜b3=b4＞b5＞ 0∴=b1=．∴．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知命题p：x2﹣ax﹣a+≥0对任意的x∈R恒成立；命题q：关于x的不等式x2+2x+a＜0有实数解．若命题“p∨q”为真命题，且“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】若p为真，则，解出a的范围．若q为真，不等式x2+2x+a＜0有解，△2＞0，解得a范围．由命题p∨q为真，p∧q为假，可得p，q，一真一假．【解答】解：若p为真，则，解得﹣5≤a≤1．若q为真，不等式x2+2x+a＜0有解，△2=4﹣4a＞0，解得a＜1．∵命题p∨q为真，p∧q为假，∴p，q，一真一假．（1）p真q假，则，∴a=1．（2）若p假q真，则，∴a＜﹣5，综上，a的取值范围是{a|a＜﹣5或a=1}．18．在等比数列{a n}中，公比q≠1，等差数列{b n}满足b1=a1=3，b4=a2，b13=a3．（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）记c n=（﹣1）n•b n+a n，求数列{c n}的前n项和S n．【考点】等差数列与等比数列的综合；数列的求和．【分析】（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q（q≠1），等差数列{b n}的公差为d，根据b1=a1，b4=a2，b13=a3及等差、等比数列的通项公式列关于q，d的方程组解出即得q，d，再代入通项公式即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，S n=c1+c2+…+c n=（﹣3+5）+（﹣7+9）+…+（﹣1）n﹣1（2n﹣1）+（﹣1）n（2n+1）+3+32+…+3n，分n为奇数、偶数两种情况讨论即可；【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q（q≠1），等差数列{b n}的公差为d．由已知得：，b1=3，b4=3+3d，b13=3+12d，所以或q=1（舍去），所以，此时d=2，所以，，b n=2n+1；（Ⅱ）由题意得：，S n=c1+c2+…+c n=（﹣3+5）+（﹣7+9）+…+（﹣1）n﹣1（2n﹣1）+（﹣1）n（2n+1）+3+32+…+3n，当n为偶数时，，当n为奇数时，，所以，．19．某人上午7时，乘摩托艇以匀速vkm/h（8≤v≤40）从A港出发到距100km的B港去，然后乘汽车以匀速wkm/h（30≤w≤100）自B港向距300km的C市驶去．应该在同一天下午4至9点到达C市．设乘坐汽车、摩托艇去目的地所需要的时间分别是xh，yh．（1）作图表示满足上述条件的x，y范围；（2）如果已知所需的经费p=100+3（5﹣x）+2（8﹣y）（元），那么v，w分别是多少时p最小？此时需花费多少元？【考点】简单线性规划的应用．【分析】（1）由路程，速度，时间的关系得出x，y与v，w的关系式，由v，w得范围即可得x，y的范围，再由到达时间范围即可得到不等式组，作图即可；（2）利用线性规划知识易求．【解答】解：（1）依题意得，∴①由于乘汽车、摩托艇所需的时间和x+y应在9至14个小时之间，即9≤x+y≤14②因此，满足①②的点（x，y）的存在范围是图中阴影部分（包括边界）（2）∵p=100+3（5﹣x）+2（8﹣y）=131﹣3x﹣2y，上式表示斜率为的直线，当动直线p=131﹣3x﹣2y通过图中的阴影部分区域（包括边界），通过点A时，p值最小．由得，即当x=10，y=4时，p最小．此时，v=25，w=30，p的最小值为93元．20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos2B﹣5cos（A+C）=2．（1）求角B的值；（2）若cosA=，△ABC 的面积为10，求BC 边上的中线长．【考点】正弦定理．【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得2cos 2B +5cosB ﹣3=0，进而解得cosB ，结合B 的范围即可得解B 的值；（2）先根据两角和差的正弦公式求出sinC ，再根据正弦定理得到b ，c 的关系，再利用余弦定理可求BC 的值，再由三角形面积公式可求AB ，BD 的值，利用余弦定理即可得解AD 的值．【解答】解：（1）∵cos2B ﹣5cos （A +C ）=2．∴2cos 2B +5cosB ﹣3=0，解得：cosB=或﹣3（舍去），又B ∈（0，π），∴B=．（2）∵cosA=，∴可得：sinA=，∴sinC=sin （A +B ）=sinAcosB +cosAsinB=×+×=，∴=，设b=7x ，c=5x ，则在△ABC 中，由余弦定理得BC 2=AB 2+AC 2﹣2AB •ACcosA ，∴BC==8x ，∵△ABC 的面积为10=AB •BC •sinB=×5x ×8x ×，解得：x=1，∴AB=5，BC=8，AC=7，BD=4，∴在△ABD 中，由余弦定理得AD 2=AB 2+BD 2﹣2AB •BDcosB=25+16﹣2×5×4×=21，∴解得：AD=．21．“城市呼唤绿化”，发展园林绿化事业是促进国家经济法阵和城市建设事业的重要组成部分，某城市响应城市绿化的号召，计划建一如图所示的三角形ABC 形状的主题公园，其中一边利用现成的围墙BC ，长度为100米，另外两边AB ，AC 使用某种新型材料围成，已知∠BAC=120°，AB=x ，AC=y （x ，y 单位均为米）．（1）求x ，y 满足的关系式（指出x ，y 的取值范围）；（2）在保证围成的是三角形公园的情况下，如何设计能使所用的新型材料总长度最短？最短长度是多少？【考点】基本不等式在最值问题中的应用；函数解析式的求解及常用方法；余弦定理．【分析】（1）根据题意，由余弦定理可得x 2+y 2﹣2xycos120°=30000，变形可得x 2+y 2+xy=30000，分析x 、y 的取值范围即可得答案；（2）由（1）可得x2+y2+xy=30000，对其变形可得（x+y）2﹣30000=xy，结合基本不等式可得，解可得x+y≤200，分析可得答案．【解答】解：（1）在△ABC中，由余弦定理，得AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=BC2，所以x2+y2﹣2xycos120°=30000，即x2+y2+xy=30000，…又因为x＞0，y＞0，所以．…（2）要使所用的新型材料总长度最短只需x+y的最小，由（1）知，x2+y2+xy=30000，所以（x+y）2﹣30000=xy，因为，所以，…则（x+y）2≤40000，即x+y≤200，当且仅当x=y=100时，上式不等式成立．…故当AB，AC边长均为100米时，所用材料长度最短为200米．…22．设数列{a n}的前n项和为S n，且{}是等差数列，已知a1=1， ++=6．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列b n=+﹣2，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．（2）由（1）知，利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：（1）由题意可得，∴，∴，∴，=n，当n=1时也成立，∴当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1∴a n=n．（2）由（1）知，∴，∵，∴．。
郑州市第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案
郑州市第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 给出下列两个结论：①若命题p ：∃x 0∈R ，x 02+x 0+1＜0，则￢p ：∀x ∈R ，x 2+x+1≥0；②命题“若m ＞0，则方程x 2+x ﹣m=0有实数根”的逆否命题为：“若方程x 2+x ﹣m=0没有实数根，则m ≤0”；则判断正确的是（ ） A ．①对②错 B ．①错②对C ．①②都对D ．①②都错2． 已知函数⎩⎨⎧≤>=)0(||)0(log )(2x x x x x f ，函数)(x g 满足以下三点条件：①定义域为R ；②对任意R x ∈，有1()(2)2g x g x =+；③当]1,1[-∈x 时，()g x 则函数)()(x g x f y -=在区间]4,4[-上零点的个数为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．4【命题意图】本题考查利用函数图象来解决零点问题，突出了对分段函数的转化及数形结合思想的考查，本题综合性强，难度大.3． 已知函数()cos (0)f x x x ωωω+>，()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的一条对称轴是（ ）A ．12x π=-B ．12x π=C ．6x π=-D ．6x π=4． 设βα,是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（ ） A ．若α⊥l ，βα⊥，则β⊂l B ．若α//l ， βα//，则β⊂l C ．若α⊥l ，βα//，则β⊥l D ．若α//l ，βα⊥，则β⊥l5． 双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，则m 的值等于（ ）A ．12B ．20C ．D ．6． 函数y=|a|x ﹣（a ≠0且a ≠1）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7．若变量x，y满足：，且满足（t+1）x+（t+2）y+t=0，则参数t的取值范围为（）A．﹣2＜t＜﹣B．﹣2＜t≤﹣C．﹣2≤t≤﹣D．﹣2≤t＜﹣8．已知函数，，若，则（）A1B2C3D-19．已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点M（0，2）的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）A．3 B．C．D．10．给出下列命题：①多面体是若干个平面多边形所围成的图形；②有一个平面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥；③有两个面是相同边数的多边形，其余各面是梯形的多面体是棱台．其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．311．若等式（2x﹣1）2014=a0+a1x+a2x2+…+a2014x2014对于一切实数x都成立，则a0+1+a2+…+a2014=（）A．B．C．D．012．数列{a n}满足a n+2=2a n+1﹣a n，且a2014，a2016是函数f（x）=+6x﹣1的极值点，则log2（a2000+a2012+a2018+a2030）的值是（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题13由表中数据算出线性回归方程为=x+．若该公司第五名推销员的工作年限为8年，则估计他（她）的年推销金额为万元．14．已知向量,满足42=，2||=，4)3()(=-⋅+，则a 与b 的夹角为 .【命题意图】本题考查向量的数量积、模及夹角知识，突出对向量的基础运算及化归能力的考查，属于容易题.15．设实数x ，y 满足，向量=（2x ﹣y ，m ），=（﹣1，1）．若∥，则实数m 的最大值为 ．16．已知数列1，a 1，a 2，9是等差数列，数列1，b 1，b 2，b 3，9是等比数列，则的值为 ．17．已知函数()()31,ln 4f x x mxg x x =++=-.{}min ,a b 表示,a b 中的最小值，若函数()()(){}()min ,0h x f x g x x =>恰有三个零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．18．设集合 {}{}22|27150,|0A x x x B x x ax b =+-<=++≤,满足AB =∅,{}|52A B x x =-<≤,求实数a =__________.三、解答题19．【南师附中2017届高三模拟二】如下图扇形AOB 是一个观光区的平面示意图，其中AOB ∠为23π，半径OA 为1km ，为了便于游客观光休闲，拟在观光区内铺设一条从入口A 到出口B 的观光道路，道路由圆弧AC 、线段CD 及线段BD 组成．其中D 在线段OB 上，且//CD AO ，设AOC θ∠=．（1）用θ表示CD 的长度，并写出θ的取值范围； （2）当θ为何值时，观光道路最长？20．（本题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，233-=n n a S （+∈N n ）. （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若数列}{n b 满足143log +=⋅n n n a b a ，记n n b b b b T ++++= 321，求证：27<n T （+∈N n ）. 【命题意图】本题考查了利用递推关系求通项公式的技巧，同时也考查了用错位相减法求数列的前n 项和.重点突出运算、论证、化归能力的考查，属于中档难度.21．已知集合A={x|a ﹣1＜x ＜2a+1}，B={x|0＜x ＜1} （1）若a=，求A ∩B ．（2）若A ∩B=∅，求实数a 的取值范围．22．已知条件4:11p x ≤--，条件22:q x x a a +<-，且p 是的一个必要不充分条件，求实数 的取值范围．23．（本小题满分12分）为了普及法律知识，达到“法在心中”的目的，某市法制办组织了普法知识竞赛.5名职工的成绩，成绩如下表：（1掌握更稳定；（2）用简单随机抽样法从乙单位5名职工中抽取2名，他们的成绩组成一个样本，求抽取的2名职工的分数差至少是4的概率.24．证明：f（x）是周期为4的周期函数；（2）若f（x）=（0＜x≤1），求x∈[﹣5，﹣4]时，函数f（x）的解析式．18．已知函数f（x）=是奇函数．郑州市第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案（参考答案） 一、选择题1． 【答案】C【解析】解：①命题p 是一个特称命题，它的否定是全称命题，￢p 是全称命题，所以①正确．②根据逆否命题的定义可知②正确． 故选C ．【点评】考查特称命题，全称命题，和逆否命题的概念．2． 【答案】D第Ⅱ卷（共100分）[．Com]3． 【答案】D 【解析】试题分析：由已知()2sin()6f x x πω=+，T π=，所以22πωπ==，则()2sin(2)6f x x π=+，令2,62x k k Z πππ+=+∈，得,26k x k Z ππ=+∈，可知D 正确．故选D ．考点：三角函数()sin()f x A x ωϕ=+的对称性． 4． 【答案】C 111] 【解析】考点：线线，线面，面面的位置关系5．【答案】A【解析】解：椭圆的焦点为（±4，0），由双曲线的焦点与椭圆的重合，可得=4，解得m=12．故选：A．6．【答案】D【解析】解：当|a|＞1时，函数为增函数，且过定点（0，1﹣），因为0＜1﹣＜1，故排除A，B当|a|＜1时且a≠0时，函数为减函数，且过定点（0，1﹣），因为1﹣＜0，故排除C．故选：D．7．【答案】C【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由（t+1）x+（t+2）y+t=0得t（x+y+1）+x+2y=0，由，得，即（t+1）x+（t+2）y+t=0过定点M（﹣2，1），则由图象知A，B两点在直线两侧和在直线上即可，即[2（t+2）+t][﹣2（t+1）+3（t+2）+t]≤0，即（3t+4）（2t+4）≤0，解得﹣2≤t≤﹣，即实数t的取值范围为是[﹣2，﹣]，故选：C．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，属于中档题．8．【答案】A【解析】g（1）=a﹣1，若f[g（1）]=1，则f（a﹣1）=1，即5|a﹣1|=1，则|a﹣1|=0，解得a=19．【答案】B【解析】解：依题设P在抛物线准线的投影为P′，抛物线的焦点为F，则F（，0），依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP′|=|PF|，则点P到点M（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和，d=|PF|+|PM|≥|MF|==．即有当M，P，F三点共线时，取得最小值，为．故选：B．【点评】本题主要考查抛物线的定义解题，考查了抛物线的应用，考查了学生转化和化归，数形结合等数学思想．10．【答案】B【解析】111]试题分析：由题意得，根据几何体的性质和结构特征可知，多面体是若干个平面多边形所围成的图形是正确的，故选B．考点：几何体的结构特征．11．【答案】B【解析】解法一：∵，∴（C为常数），取x=1得，再取x=0得，即得，∴，故选B．解法二：∵，∴，∴，故选B．【点评】本题考查二项式定理的应用，定积分的求法，考查转化思想的应用．12．【答案】C【解析】解：函数f（x）=+6x﹣1，可得f′（x）=x2﹣8x+6，∵a2014，a2016是函数f（x）=+6x﹣1的极值点，∴a2014，a2016是方程x2﹣8x+6=0的两实数根，则a2014+a2016=8．数列{a n}中，满足a n+2=2a n+1﹣a n，可知{a n}为等差数列，∴a2014+a2016=a2000+a2030，即a2000+a2012+a2018+a2030=16，从而log2（a2000+a2012+a2018+a2030）=log216=4．故选：C．【点评】熟练掌握利用导数研究函数的极值、等差数列的性质及其对数的运算法则是解题的关键．二、填空题13．【答案】．【解析】解：由条件可知=（3+5+10+14）=8，=（2+3+7+12）=6，代入回归方程，可得a=﹣，所以=x﹣，当x=8时，y=，估计他的年推销金额为万元．故答案为：．【点评】本题考查线性回归方程的意义，线性回归方程一定过样本中心点，本题解题的关键是正确求出样本中心点，题目的运算量比较小，是一个基础题．214．【答案】3【解析】15．【答案】6．【解析】解：∵=（2x﹣y，m），=（﹣1，1）．若∥，∴2x﹣y+m=0，即y=2x+m，作出不等式组对应的平面区域如图：平移直线y=2x+m，由图象可知当直线y=2x+m经过点C时，y=2x+m的截距最大，此时z最大．由，解得，代入2x﹣y+m=0得m=6．即m的最大值为6．故答案为：6【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用m 的几何意义结合数形结合，即可求出m 的最大值．根据向量平行的坐标公式是解决本题的关键．16．【答案】．【解析】解：已知数列1，a 1，a 2，9是等差数列，∴a 1+a 2 =1+9=10．数列1，b 1，b 2，b 3，9是等比数列，∴ =1×9，再由题意可得b 2=1×q 2＞0 （q 为等比数列的公比），∴b 2=3，则=，故答案为．【点评】本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质应用，属于中档题．17．【答案】()53,44--【解析】试题分析：()23f x x m '=+，因为()10g =，所以要使()()(){}()min ,0h x f x g x x =>恰有三个零点，须满足()10,0,0f f m ><<，解得51534244m m >-⇒-<<- 考点：函数零点【思路点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路. 18．【答案】7,32a b =-= 【解析】考点：一元二次不等式的解法；集合的运算.【方法点晴】本题主要考查了集合的综合运算问题，其中解答中涉及到一元二次不等式的解法、集合的交集和集合的并集的运算、以及一元二次方程中韦达定理的应用，试题有一定的难度，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，同时考查了转化与化归思想的应用，其中一元二次不等式的求解是解答的关键.三、解答题19．【答案】（1）cos ,0,3CD πθθθ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭;（2）设∴当6πθ=时，()L θ取得最大值，即当6πθ=时，观光道路最长.【解析】试题分析：（1）在OCD ∆中，由正弦定理得：sin sin sin CD OD CO COD DCO CDO ==∠∠∠2cos 3CD πθθθ⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭，OD θ=1sin 03OD OB πθθθ<<∴<<<cos ,0,3CD πθθθ⎛⎫∴=∈ ⎪⎝⎭（2）设观光道路长度为()L θ， 则()L BD CD AC θ=++弧的长= 1cos θθθθ+++= cos 1θθθ++，0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴()sin 1L θθθ=-+'由()0L θ'=得：sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭6πθ∴= 列表：∴当6πθ=时，()L θ取得最大值，即当6πθ=时，观光道路最长.考点：本题考查了三角函数的实际运用点评：对三角函数的考试问题通常有：其一是考查三角函数的性质及图象变换，尤其是三角函数的最大值与最小值、周期。
河南省郑州市2018-2019学年高二上学期期中考试数学(理)试题Word版含答案
河南省郑州市2018-2019学年高二上学期期中考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在ABC ∆中，2,4a b A π===，则角B = （ ）A ．6π B ．6π或56π C ．3πD ．56π2. “20x x ><或” 是“11x<” 的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．即不充分也不必要条件3. 已知正项数列 {}n a 中，()22212111,2,22n n n a a a a a n +-===+≥,则6a =（ ）A ．16B ．4C ．．454. 命题“0,x R n N *∀∈∃∈，使得20n x >”的否定形式是（ ）A ．0,x R n N *∀∈∃∈,使得20n x ≤B ．,x R n N *∀∈∀∈使得,2n x ≤ C. 00,x R n N *∃∈∃∈,使得 200n x ≤ D ．0,x R n N *∃∈∀∈,使得20n x ≤5. 《莱茵德纸草书》 是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样的一道题： 把 120个面包分成 5份，使每份的面包数成等差数列，且较多的三份之和恰好是较少的两份之和的 7倍，则最少的那份面包个数为（ ）A ．4B ．3 C.2 D ． 16. 已知数列n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，8242,14S S ==, 则2016S = （ ） A ．25222- B ．25322- C.100822- D ．201622-7. 设,a b 是非零实数， 若a b > ，则一定有 （ ） A ．11a b < B ．2a ab > C.2211ab a b > D ．11a b a b->- 8. 设等差数列{}n a 的前n 项和 n S ，且满足201620170,0S S ><,对任意正整数n ， 都有n k a a ≥，则 k 的值为 （ ）A ．1006B ．1007 C.1008 D ．1009 9. 若实数,x y 满足0xy >，则22x y x y x y+++的最大值为（ ） A．2 B．24+ D．4-10. 若对于任意的[]1,0x ∈-,关于x 的不等式2320x ax b ++≤恒成立， 则222a b +-的最小值为（ ）A ．15-B ．54 C.45 D ．1411. 在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若(),1cos cos ,23A b C c A b π=-==,则ABC ∆的面积为（ ）A．D12. 设{},min ,,a a b a b b a b≤⎧=⎨>⎩，若()2f x x px q =++的图象经过两点()(),0,,0αβ ，且存在正整数 n ，使得1n n αβ<<<+成立，则 （ ）A ．()(){}1min ,14f n f n +>B ．()(){}1min ,14f n f n +< C.()(){}1min ,14f n f n += D ．()(){}1min ,14f n f n +≥第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. 若0,0,2a b a b ab >>+=，则3a b +的最小值为 __________. 14. 已知两个等差数列 {}n a 和{}n b 的前 n 项和分别为,n n S T ，若231n n S nT n =+，则 823746a ab b b b +=++ __________.15. 在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且2,3,4a b c ===，则s i n2s i n CA= _________. 16. 已知数列{}n a 的通项公式为3nn a =，记数列{}n a 的前n 项和为n T ，若对任意的3,362n n N T k n *⎛⎫∈+≥- ⎪⎝⎭恒成立， 则实数 k 的取值范围 _________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）已知命题12:,p x x 是方程210x mx --=的两个实根 ，且不等式21243a a x x +-≤-对任意的m R ∈恒成立；命题:q 不等式220x x a ++<有实数解． 若命题p q ∨为真，p q ∧为假， 求实数 a 的取值范围．18. （本小题满分12分）在等比数列{}n a 中，公比1q ≠，等差数列{}n b 满足11243133,,a b a b a b ====. （1）求数列{}n a 的{}n b 通项公式；（2）记n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n S .19.（本小题满分12分）某人上午7时， 乘摩托艇以匀速()/840vkm h v ≤≤从A 港出发到距100km 的B 港去， 然后乘汽车以匀速()/30100wkm h w ≤≤自B 港向距300km 的C 市驶去．应该在同一天下午4至9点到达C 市． 设乘坐汽车、 摩托艇去目的地所需要的时间分别是,xh yh .（1）作图表示满足上述条件的,x y 范围;（2）如果已知所需的经费()()1003528p x y =+-+-（元），那么,v w 分别是多少时p 最小？ 此时需花费多少元？20. （本小题满分12分）在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,()cos25cos 2B A C -+=. （1）求角B 的值；（2）若 1cos 7A =,ABC ∆的面积为求BC 边上的中线长. 21.（本小题满分12分）某城市响应城市绿化的号召， 计划建一个如图所示的三角形 ABC 形状的主题公园,其中一边利用现成的围墙BC ， 长度为米， 另外两边,AB AC 使用某种新型材料围成， 已知120,,(,BAC AB x AC y x y ∠===单位均为米）．（1）求 ,x y 满足的关系式（指出,x y 的取值范围）；（2）在保证围成的是三角形公园的情况下，如何设计能使所用的新型材料总长度最短？ 最短长度是多少？22. （本小题满分12分）设正项数列{}n a 的前n 项和n S ，且满足22n n n S a a =+.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列1221n n n n n a a b a a ++++=+,数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：122n T n <+.河南省郑州市2018-2019学年高二上学期期中考试数学（理）试题参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）1-5. ABBDC 6-10.BCDDA 11-12. DB 二、填空题（每小题5分，共20分）13. 7+914 15. 1- 16. 2,27⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭三、解答题17.解：若p 为真,不等式21243a a x x +-≤-对任意的 m R ∈恒成立，243a a +-m R ∈恒成立，2432a a +-≤,解得51a -≤≤,若q 为真,不等式220x x a ++<有解，2440a ∆=->,解得1a <,因为命题p q ∨为真,p q ∧ 为假，所以,p q , 一真一假．（1）p 真q 假，则51,11a a a -≤≤⎧∴=⎨≥⎩.（2）若p 假q 真，则51,51a a a a <->⎧∴<-⎨<⎩或,综上,a 的取值范围是{}|51a a a <-=或.18.解：（1）由已知得： 2234133,3,33,312a q a q b d b d ===+=+,即23333312q d q d=+⎧⎨=+⎩，解得2031d d q q ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或 ( 舍) ，所以2d =，所以3,21nn n a b n ==+.19.解：（1）依题意得 100300525,,840,30100,310,22y x v w x y v w ==≤≤≤≤∴≤≤≤≤① 由于乘汽车、摩托艇所需的时间和x y +应在9至 14个小时之间，即914x y ≤+≤ ② 因此，满足①②的点(),x y 的存在范围是图中阴影部分（包括边界）（2）()()100352813132p x y x y =+-+-=--，上式表示斜率为32-的直线，当动直线13132p x y =--通过图中的阴影部分区域（包括边界），通过点A 时，p 值最小．由1410x y x +=⎧⎨=⎩得 104x y =⎧⎨=⎩，即当10,4x y ==时，p 最小． 此时，25,30,v w p ==的最小值为 93元． 20.解：（1）由条件知 22cos 15cos 2B B -+=，即22cos 5cos 30B B +-= ，解得 1cos 2B =或cos 3B =-（舍去）又0B π<<， 3B π∴=.（2）由于11cos ,sin sin 3572A A S bc A bc =∴===∴=. ①又由正弦定理得，sinsin 33b cA ππ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭,又1sin sin cos ,5732214A A A b c π⎛⎫+=+=∴= ⎪⎝⎭， ② 由① ②知，7,5b c ==，由余弦定理得，8,a BC ==边上的中线AD ==21.解：（1）在ABC ∆中,由余弦定理，得222222cos ,2cos12030000AB AC AB AC A BC x y xy +-=∴+-=，即 2230000x y xy ++=，由正弦定理，得200,200sin ,060,0sin sin sin AB AC BC x C C x C B A ====∴=<<∴<<同理0y <<（2）要使所用的新型材料总长度最短只需x y +最小，由（1）知，()23000x y xy =+-，由于22x y xy +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，当且仅当x y =时，等号成立． 所以()()()()2222300044x y x y x y xy x y ++=+-≥+-=，所以200x y +≤，故当,AB AC 边长均为100米时，所用材料长度最短为 200米．22.解：（1）由题意可得221112,2n n n n n n S a a S a a ---=+=+， 两式相减得， 22112n n n n n a a a a a --=-++ ，所以22110n n n n a a a a -----=，即()()1110n n n n a a a a --+--=，又因为数列{}n a 为正项数列，所以11n n a a -+=.即数列{}n a 为等差数列，又1n =时，21112a a a =+，所以111,1n a a a n n ==+-=.（2）由（1）知1221n n n b n n ++=+++，又因为121111112212112n n n b n n n n n n ++=+=-++=+-++++++， 所以()12111111...22...2...233412n n T b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以12111 (22222)n n T b b b n n n =+++=+-<++.。
郑州市第一中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析
郑州市第一中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 直线x ﹣2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（）A ．B ．C ．D ．2． 若函数f （x ）=﹣2x 3+ax 2+1存在唯一的零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[0，+∞）B ．[0，3]C ．（﹣3，0]D ．（﹣3，+∞）3． 函数y=a x +2（a ＞0且a ≠1）图象一定过点（ ）A ．（0，1）B ．（0，3）C ．（1，0）D ．（3，0）4． 若不等式1≤a ﹣b ≤2，2≤a+b ≤4，则4a ﹣2b 的取值范围是（ ）A ．[5，10]B ．（5，10）C ．[3，12]D ．（3，12）5． 函数f （x ）=2x ﹣的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．36． 等比数列的前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别为A ，B ，C ，则（ ）A ．B 2=ACB ．A+C=2BC ．B （B ﹣A ）=A （C ﹣A ）D ．B （B ﹣A ）=C （C ﹣A ）7． cos80cos130sin100sin130︒︒-︒︒等于（ ）A B ．12 C ．12-D ．8． 已知平面向量与的夹角为，且，，则（）3π32|2|=+b a 1||=b =||a A ．B ．C ．D ．39． （文科）要得到的图象，只需将函数的图象（ ）()2log 2g x x =()2log f x x =A ．向左平移1个单位B ．向右平移1个单位C ．向上平移1个单位D ．向下平移1个单位10．下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知命题p ：∃x ∈R ，cosx ≥a ，下列a 的取值能使“￢p ”是真命题的是（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．212．若为等差数列，为其前项和，若，，，则成立的最大自{}n a n S 10a >0d <48S S =0n S >然数为（）A ．11B ．12C ．13D ．1413．函数在定义域上的导函数是，若，且当时，，()f x R '()f x ()(2)f x f x =-(,1)x ∈-∞'(1)()0x f x -<设，，，则（ ）(0)a f =b f =2(log 8)c f =A ．B ．C ．D ．a b c <<a b c >>c a b <<a c b<<14．已知，，其中是虚数单位，则的虚部为（ ）i z 311-=i z +=32i 21z z A ．B ．C ．D ．1-54i -i 54【命题意图】本题考查复数及共轭复数的概念，复数除法的运算法则，主要突出对知识的基础性考查，属于容易题.15．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2﹣b 2=bc ，sinC=2sinB ，则A=（）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°二、填空题16．已知f （x ）＝x （e x ＋a e －x ）为偶函数，则a ＝________．17．【泰州中学2018届高三10月月考】设二次函数（为常数）的导函数为()2f x ax bx c =++,,a b c ，对任意，不等式恒成立，则的最大值为__________．()f x 'x R ∈()()f x f x ≥'222b a c+18．已知关于的不等式20x ax b ++<的解集为(1,2)，则关于的不等式210bx ax ++>的解集为___________.19．已知x ，y 满足条件，则函数z=﹣2x+y 的最大值是 ．三、解答题20．已知圆C 经过点A （﹣2，0），B （0，2），且圆心在直线y=x 上，且，又直线l ：y=kx+1与圆C 相交于P 、Q 两点．（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）若，求实数k 的值；（Ⅲ）过点（0，1）作直线l 1与l 垂直，且直线l 1与圆C 交于M 、N 两点，求四边形PMQN 面积的最大值．21．已知a＞b＞0，求证：．22．在某大学自主招生考试中，所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生的两科考试成绩的数据统计如图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人．（Ⅰ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；（Ⅱ）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；（Ⅲ）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A．在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A的概率．23．（本小题满分10分）已知函数f（x）＝|x－a|＋|x＋b|，（a≥0，b≥0）．（1）求f（x）的最小值，并求取最小值时x的范围；（2）若f（x）的最小值为2，求证：f（x）≥＋.a b24．已知等差数列满足：=2，且，成等比数列。
郑州市第一中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析
郑州市第一中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 过点P （﹣2，2）作直线l ，使直线l 与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线l 一共有（ ）A ．3条B ．2条C ．1条D ．0条2． 如图，棱长为的正方体中，是侧面对角线上一点，若 1111D ABC A B C D -,E F 11,BC AD 1BED F 是菱形，则其在底面上投影的四边形面积（ ）ABCD A ．B ．C.D12343． 已知实数，，则点落在区域 内的概率为（ ）[1,1]x ∈-[0,2]y ∈(,)P x y 20210220x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪-+⎩………A.B.C.D.34381418【命题意图】本题考查线性规划、几何概型等基础知识，意在考查数形结合思想及基本运算能力.4． 设偶函数f （x ）在（0，+∞）上为减函数，且f （2）=0，则不等式＞0的解集为（ ）A ．（﹣2，0）∪（2，+∞）B ．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D ．（﹣2，0）∪（0，2） 5． 已知定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）=，且f （x ）=f （x+2），g （x ）=，则方程g （x ）=f （x ）﹣g （x ）在区间[﹣3，7]上的所有零点之和为（ ）A ．12B ．11C ．10D ．96． 函数在区间上的最大值为5，最小值为1，则的取值范围是（ ）2()45f x x x =-+[]0,m m A ． B ．C ．D ．[2,)+∞[]2,4(,2]-∞[]0,27．已知向量||=， •=10，|+|=5，则||=（）A ．B ．C ．5D ．258． 若动点A ，B 分别在直线l 1：x+y ﹣7=0和l 2：x+y ﹣5=0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为（）A ．3B ．2C ．3D ．49． 命题“∀a ∈R ，函数y=π”是增函数的否定是（ ）A ．“∀a ∈R ，函数y=π”是减函数B ．“∀a ∈R ，函数y=π”不是增函数C ．“∃a ∈R ，函数y=π”不是增函数D ．“∃a ∈R ，函数y=π”是减函数10．已知抛物线：的焦点为，是抛物线的准线上的一点，且的纵坐标为正数，C 28y x =F P C P是直线与抛物线的一个交点，若，则直线的方程为（ ）Q PF C PQ =PF A ． B ．C ．D ．20x y --=20x y +-=20x y -+=20x y ++=11．复数的虚部为（）A ．﹣2B ．﹣2iC ．2D ．2i12．已知函数f （x ）=x 4cosx+mx 2+x （m ∈R ），若导函数f ′（x ）在区间[﹣2，2]上有最大值10，则导函数f ′（x ）在区间[﹣2，2]上的最小值为（ ）A ．﹣12B ．﹣10C ．﹣8D ．﹣6二、填空题13．设f （x ）是（x 2+）6展开式的中间项，若f （x ）≤mx 在区间[，]上恒成立，则实数m 的取值范围是 ． 14．已知函数，是函数的一个极值点，则实数 ．32()39f x x ax x =++-3x =-()f x a =15．若非零向量，满足|+|=|﹣|，则与所成角的大小为 ．16．已知函数f （x ）=，若关于x 的方程f （x ）=k 有三个不同的实根，则实数k 的取值范围是 ．17．已知，为实数，代数式的最小值是.x y 2222)3(9)2(1y x x y ++-++-+【命题意图】本题考查两点之间距离公式的运用基础知识，意在考查构造的数学思想与运算求解能力.18．在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD 的体积的最大值为 ． 三、解答题19．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 过点P （1，0），斜率为，曲线C ：ρ=ρcos2θ+8cos θ．（Ⅰ）写出直线l 的一个参数方程及曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|PA|•|PB|的值． 20．（本小题满分12分）已知分别是椭圆：的两个焦点，是椭圆上12,F F C 22221(0)x y a b a b+=>>P成等差数列．1122|,|||PF F F PF （1）求椭圆的标准方程；、C （2）已知动直线过点，且与椭圆交于两点，试问轴上是否存在定点，使得l F C A B 、x Q 716QA QB ⋅=-恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．Q 21．数列{a n }满足a 1=，a n ∈（﹣，），且tana n+1•cosa n =1（n ∈N *）．（Ⅰ）证明数列{tan 2a n }是等差数列，并求数列{tan 2a n }的前n 项和；（Ⅱ）求正整数m ，使得11sina 1•sina 2•…•sina m =1． 22．已知f（）=﹣x﹣1．（1）求f（x）；（2）求f（x）在区间[2，6]上的最大值和最小值．23．已知P（m，n）是函授f（x）=e x﹣1图象上任一于点（Ⅰ）若点P关于直线y=x﹣1的对称点为Q（x，y），求Q点坐标满足的函数关系式（Ⅱ）已知点M（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0的距离d=，当点M在函数y=h（x）图象上时，公式变为，请参考该公式求出函数ω（s，t ）=|s﹣e x﹣1﹣1|+|t﹣ln（t﹣1）|，（s∈R，t＞0）的最小值．24．某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图．（Ⅰ）求分数在[50，60）的频率及全班人数；（Ⅱ）求分数在[80，90）之间的频数，并计算频率分布直方图中[80，90）间矩形的高；（Ⅲ）若要从分数在[80，100）之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[90，100）之间的概率．郑州市第一中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题1． 【答案】C【解析】解：假设存在过点P （﹣2，2）的直线l ，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为8，设直线l 的方程为：，则．即2a ﹣2b=ab直线l 与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积S=﹣ab=8，即ab=﹣16，联立，解得：a=﹣4，b=4．∴直线l 的方程为：，即x ﹣y+4=0，即这样的直线有且只有一条，故选：C【点评】本题考查了直线的截距式、三角形的面积计算公式，属于基础题． 2． 【答案】B 【解析】试题分析：在棱长为的正方体中，，1111D ABC A B C D -11BC AD ==AF x =x -=解得，即菱形，则在底面上的投影四边形是底边x =1BED F =1BED F ABCD 为，高为的平行四边形，其面积为，故选B.3434考点：平面图形的投影及其作法.3． 【答案】B 【解析】4．【答案】B【解析】解：∵f（x）是偶函数∴f（﹣x）=f（x）不等式，即也就是xf（x）＞0①当x＞0时，有f（x）＞0∵f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（2）=0∴f（x）＞0即f（x）＞f（2），得0＜x＜2；②当x＜0时，有f（x）＜0∵﹣x＞0，f（x）=f（﹣x）＜f（2），∴﹣x＞2⇒x＜﹣2综上所述，原不等式的解集为：（﹣∞，﹣2）∪（0，2）故选B5．【答案】B【解析】解：∵f（x）=f（x+2），∴函数f（x）为周期为2的周期函数，函数g（x）=，其图象关于点（2，3）对称，如图，函数f（x）的图象也关于点（2，3）对称，函数f（x）与g（x）在[﹣3，7]上的交点也关于（2，3）对称，设A，B，C，D的横坐标分别为a，b，c，d，则a+d=4，b+c=4，由图象知另一交点横坐标为3，故两图象在[﹣3，7]上的交点的横坐标之和为4+4+3=11，即函数y=f（x）﹣g（x）在[﹣3，7]上的所有零点之和为11．故选：B．【点评】本题考查函数的周期性，函数的零点的概念，以及数形结合的思想方法．属于中档题．6．【答案】B【解析】m m 试题分析：画出函数图象如下图所示，要取得最小值为，由图可知需从开始，要取得最大值为，由图可知m[]2,4的右端点为，故的取值范围是.考点：二次函数图象与性质．7．【答案】C【解析】解：∵；∴由得，=；∴；∴．故选：C．8．【答案】A【解析】解：∵l1：x+y﹣7=0和l2：x+y﹣5=0是平行直线，∴可判断：过原点且与直线垂直时，中的M到原点的距离的最小值∵直线l1：x+y﹣7=0和l2：x+y﹣5=0，∴两直线的距离为=，∴AB的中点M到原点的距离的最小值为+=3，故选：A【点评】本题考查了两点距离公式，直线的方程，属于中档题．9．【答案】C【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀a∈R，函数y=π”是增函数的否定是：“∃a∈R，函数y=π”不是增函数．故选：C．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．10．【答案】B【解析】考点：抛物线的定义及性质．【易错点睛】抛物线问题的三个注意事项：（1）求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p的值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，若是标准方程，则要由焦点位置（或开口方向）判断是哪一种标准方程．（2）注意应用抛物线定义中的距离相等的转化来解决问题．（3）直线与抛物线有一个交点，并不表明直线与抛物线相切，因为当直线与对称轴平行（或重合）时，直线与抛物线也只有一个交点．11．【答案】C【解析】解：复数===1+2i的虚部为2．故选；C．【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题．12．【答案】C【解析】解：由已知得f′（x）=4x3cosx﹣x4sinx+2mx+1，令g（x）=4x3cosx﹣x4sinx+2mx是奇函数，由f′（x）的最大值为10知：g（x）的最大值为9，最小值为﹣9，从而f′（x）的最小值为﹣9+1=﹣8．故选C．【点评】本题考查了导数的计算、奇函数的最值的性质．属于常规题，难度不大．二、填空题13．【答案】 [5，+∞） ．【解析】二项式定理．【专题】概率与统计；二项式定理．【分析】由题意可得 f （x ）=x 3，再由条件可得m ≥x 2 在区间[，]上恒成立，求得x 2在区间[，]上的最大值，可得m 的范围．【解答】解：由题意可得 f （x ）=x 6=x 3．由f （x ）≤mx 在区间[，]上恒成立，可得m ≥x 2 在区间[，]上恒成立，由于x 2在区间[，]上的最大值为 5，故m ≥5，即m 的范围为[5，+∞），故答案为：[5，+∞）．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，函数的恒成立问题，属于中档题．14．【答案】5【解析】试题分析：．'2'()323,(3)0,5f x x ax f a =++∴-=∴=考点：导数与极值．15．【答案】 90° ．【解析】解：∵∴=∴∴α与β所成角的大小为90°故答案为90°【点评】本题用向量模的平方等于向量的平方来去掉绝对值． 16．【答案】 （0，1） ．【解析】解：画出函数f （x ）的图象，如图示：令y=k，由图象可以读出：0＜k＜1时，y=k和f（x）有3个交点，即方程f（x）=k有三个不同的实根，故答案为（0，1）．【点评】本题考查根的存在性问题，渗透了数形结合思想，是一道基础题．17．.【解析】18．【答案】 ．【解析】解：过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD，交AB与P，设点P到CD的距离为h，则有V=×2×h××2，当球的直径通过AB与CD的中点时，h最大为2，则四面体ABCD的体积的最大值为．故答案为：．【点评】本小题主要考查棱柱、棱锥、棱台的体积、球内接多面体等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象力．属于基础题．三、解答题19．【答案】【解析】解：（Ⅰ）∵直线l过点P（1，0），斜率为，∴直线l的一个参数方程为（t为参数）；∵ρ=ρcos2θ+8cosθ，∴ρ（1﹣cos2θ）=8cosθ，即得（ρsinθ）2=4ρcosθ，∴y2=4x，∴曲线C的直角坐标方程为y2=4x．（Ⅱ）把代入y2=4x整理得：3t2﹣8t﹣16=0，设点A，B对应的参数分别为t1，t2，则，∴．【点评】本题考查了直线参数方程及其应用、极坐标方程化为直角坐标方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．【答案】【解析】【命题意图】本题考查椭圆的定义及方程、直线与椭圆的位置关系、平面向量数量积等基础知识，意在考查学生逻辑思维能力、运算求解能力、探索能力，以及分类讨论思想、待定系数法、设而不求法的应用．下面证明时，恒成立．54m =716QA QB ⋅=- 当直线的斜率为0时，结论成立；l 当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，，，l l 1x ty =+()11,A x y ()22,B x y 由及，得，1x ty =+2212x y +=22(2)210t y ty ++-=所以，∴．0∆>12122221,22t y y y y t t +=-=-++，，111x ty =+221x ty =+∴=＝112212125511(,)(,)()4444x y x y ty ty y y -⋅-=--+2(1)t +121211()416y y t y y -++．22222211212217(1)242162(2)1616t t t t t t t t --+-++⋅+=+=-+++综上所述，在轴上存在点使得恒成立．x 5(,0)4Q 716QA QB ⋅=- 21．【答案】【解析】（Ⅰ）证明：∵对任意正整数n ，a n ∈（﹣，），且tana n+1•cosa n =1（n ∈N *）．故tan 2a n+1==1+tan 2a n ，∴数列{tan 2a n }是等差数列，首项tan 2a 1=，以1为公差．∴=．∴数列{tan 2a n }的前n 项和=+=．（Ⅱ）解：∵cosa n ＞0，∴tana n+1＞0，．∴tana n =，，∴sina 1•sina 2•…•sina m =（tana 1cosa 1）•（tana 2•cosa 2）•…•（tana m •cosa m ）=（tana 2•cosa 1）•（tana 3cosa 2）•…•（tana m •cosa m ﹣1）•（tana 1•cosa m ）=（tana 1•cosa m ）==，由，得m=40．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n 项和公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22．【答案】【解析】解：（1）令t=，则x=，∴f （t ）=，∴f （x ）=（x ≠1）…（2）任取x 1，x 2∈[2，6]，且x 1＜x 2，f （x 1）﹣f （x 2）=﹣=，∵2≤x 1＜x 2≤6，∴（x 1﹣1）（x 2﹣1）＞0，2（x 2﹣x 1）＞0，∴f （x 1）﹣f （x 2）＞0，∴f（x）在[2，6]上单调递减，…∴当x=2时，f（x）max=2，当x=6时，f（x）min=…23．【答案】【解析】解：（1）因为点P，Q关于直线y=x﹣1对称，所以．解得．又n=e m﹣1，所以x=1﹣e（y+1）﹣1，即y=ln（x﹣1）．（2）ω（s，t）=|s﹣e x﹣1﹣1|+|t﹣ln（t﹣1）﹣1|=，令u（s）=．则u（s），v（t）分别表示函数y=e x﹣1，y=ln（t﹣1）图象上点到直线x﹣y﹣1=0的距离．由（1）知，u min（s）=v min（t）．而f′（x）=e x﹣1，令f′（s）=1得s=1，所以u min（s）=．故．【点评】本题一方面考查了点之间的轴对称问题，同时利用函数式的几何意义将问题转化为点到直线的距离，然后再利用函数的思想求解．体现了解析几何与函数思想的结合．24．【答案】【解析】解：（Ⅰ）分数在[50，60）的频率为0.008×10=0.08，由茎叶图知：分数在[50，60）之间的频数为2，∴全班人数为．（Ⅱ）分数在[80，90）之间的频数为25﹣22=3；频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高为．（Ⅲ）将[80，90）之间的3个分数编号为a1，a2，a3，[90，100）之间的2个分数编号为b1，b2，在[80，100）之间的试卷中任取两份的基本事件为：（a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）共10个，其中，至少有一个在[90，100）之间的基本事件有7个，故至少有一份分数在[90，100）之间的概率是．。
河南省郑州市第一中学2018-2019学年高二上学期入学测试数学试题(解析版)
河南省郑州市第一中学 2018-2019学年高二上学期入学测试数学试题（解析版）一、选择题（本大题共 12小题，共60.0分） 1.已知，，，的平均数为10，标准差为2,则，，，的平均数和标准差分别为A. 19 和 2B. 19 和 3C. 19 和 4D. 19 和 8【答案】C【解析】利用平均数及标准差的性质直接求解 本题考查平均数和标准差的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、考查整体思想、转化化归思想，是基础题. 解： ，，，的平均数为10，标准差为2, ,,,的平均数为：，标准差为： .故选：C .2.在三棱锥的六条棱中任意选择两条，则这两条棱是一对异面直线的概率为【答案】C【解析】解：在三棱锥的六条棱中任意选择两条，所有的选法共有 种，其中，这两条棱是一对异面直线的选法有 3种，即三棱锥的3对对棱，故所求事件的概率等于一 -， 故选：C . 所有的选法共有种，这两条棱是一对异面直线的选法有3种，即三棱锥的3对对棱，由古典概型公式可得所求事件的概率. 本题考查等可能事件的概率的求法，判断这两条棱是一对异面直线的有3种，即三棱锥的3对对棱，是解题的关键.A.-B.- D.-3. 函数单位后得到的函数为奇函数，则函数A.关于点一对称 C.关于直线一对称-的最小正周期为，若其图象向左平移-个的图象B.关于点一对称 D.关于直线 一对称【答案】C【解析】【分析】 本题主要考杳函数 基础题利用函数 论. 【解答】的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于 的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出结解：函数 -的最小正周期为一 ，若其图象向左平移 -个单位后得到的函数为- - ，再根据-为奇函数，1，，即可取-•- ，且 -不是最值，故 的图象不关于点— 对称,也不关于直线一对称，故排除A 、D ;故 —时， —，是函数的最大值，故的图象不关于点对称，但关于直线—对称，故选C .4.满足条件 ，的 的个数是A. 1B. 2C.无数个D.不存在【答案】 D 【解析】 【分析】本题主要考查了正弦定理，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，属于基础题. 【解答】 解：,一，,由正弦定理可得： ____ _______ 二 - ，不成立.故选D .5.已知向量，向量 一 ，贝U 的最大值与最小值的和是A. -B. 6C. 4D. 16【答案】C 【解析】解：向量，向量 — ，当 一时, 由已知，利用正弦定理可求 -，从而可得满足此条件的三角形不存在.时, 取得最小值0, 取得最小值0 ；当- 时，取得最大值16, 取得最大值4；的最大值与最小值的和是4.故选：C.利用向量的坐标运算可求得一，从而可求得及其最大值与最小值的和.本题考查平面向量的坐标运算，着重考查两角和与差的正弦，突出考查正弦函数的最值，属于中档题.-，则6.的内角A、B、C的对边分别为a、b、已知A. -B. -C. 2D. 3【答案】D【解析】解：一，, -,由余弦定理可得：- ------------ -------- ，整理可得：，解得：或-舍去.故选：D.由余弦定理可得-------- ，利用已知整理可得，从而解得b的值.本题主要考查了余弦定理，一元二次方程的解法在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.7.在中，角A、B、C的对边分别为a, b, c,且其面积——，则角C的度数为A. -B. -C. -D.-【答案】A【解析】解：中，其面积求得则角故选：A.由条件利用余弦定理、正弦定理求得二，可得角C的值.本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用，属于基础题.8. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且若，则的形状是A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形【答案】C【解析】解：在中， - _，代入，，解得的形状是等边三角形.故选：C.，利用余弦定理可得-，可得-由，利正弦定理可得：，代入，可得本题考查了正弦定理余弦定理、等边三角形的判定方法，考查了推理能力与计算能力, 属于中档题.9. 已知-，- -，贝V 的值等于A.—B. -C. -D.【答案】B【解析】解：故选：B.由于- -，利用两角差的正切即可求得答案.本题考查两角和与差的正切函数，考查观察能力与运算求解能力，属于中档题.10.化简A. 1B. 2C. 的值等于D.。
郑州市一中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析
y y y1 y2 2 ，∴ 1 2 1 ，∴ x1 x2 2
直线 MN 的方程为 y 2 x 4 ，即 x y 2 0 ，选 D． 9． 【答案】D 【 解 析 】
3． 已知 x，y 满足 A．1 B．
4 3
，且目标函数 z=2x+y 的最小值为 1，则实数 a 的值是（ D．
1 3
C．
2 5
4． a 2 , b 4 , c 25 ，则（ A． b a c （ A．4 2 C．2 2 ） ） B．4 5 D．2 5
） C． b c a D． c a b
| MF | | NF | 10 ，则直线 MN 的方程为（
A． 2 x y 4 0 C． x y 2 0 B． 2 x y 4 0 D． x y 2 0
）
3x y 3 0 y 1 9． 若 x, y 满足约束条件 3 x y 3 0 ，则当 取最大值时， x y 的值为（ x3 y 0
郑州市一中 2018-2019 学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 一、选择题
1． 某市重点中学奥数培训班共有 14 人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图所示， 其中甲组学生成绩的平均数是 88，乙组学生成绩的中位数是 89，则 m n 的值是（ ）
关于直线 的对称点
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25．设 f（x）=ax2﹣（a+1）x+1 （1）解关于 x 的不等式 f（x）＞0； （2）若对任意的 a∈[﹣1，1]，不等式 f（x）＞0 恒成立，求 x 的取值范围．
郑州市第一中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
郑州市第一中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 直径为6的球的表面积和体积分别是（ ）A ．144,144ππB ．144,36ππC ．36,144ππD ．36,36ππ 2． （m+1）x 2﹣（m ﹣1）x+3（m ﹣1）＜0对一切实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（1，+∞） B ．（﹣∞，﹣1）C ．D ．3． 若函数y=a x﹣（b+1）（a ＞0，a ≠1）的图象在第一、三、四象限，则有（ ） A ．a ＞1且b ＜1 B ．a ＞1且b ＞0 C ．0＜a ＜1且b ＞0D ．0＜a ＜1且b ＜04． 设有直线m 、n 和平面α、β，下列四个命题中，正确的是（ ） A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β C ．若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥βD ．若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，则m ∥α5． 已知向量=（1，2），=（m ，1），如果向量与平行，则m 的值为（ ）A ．B ．C ．2D ．﹣26． 设集合(){,|,,1A x y x y x y =--是三角形的三边长}，则A 所表示的平面区域是（ ）A ．B ．C ．D ．7． 如图甲所示， 三棱锥P ABC - 的高8,3,30PO AC BC ACB ===∠= ，,M N 分别在BC 和PO 上，且(),203CM x PN x x ==∈（，，图乙的四个图象大致描绘了三棱锥N AMC -的体积y 与 的变化关系，其中正确的是（ ）A ．B ． C. D ．1111]8． 函数f （x ）=e ln|x|+的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．9． 数列1，，，，，，，，，，…的前100项的和等于（ ）A ．B ．C ．D ．10．A 是圆上固定的一定点，在圆上其他位置任取一点B ，连接A 、B 两点，它是一条弦，它的长度大于等于半径长度的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．11．由小到大排列的一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，其中每个数据都小于﹣1，则样本1，x 1，﹣x 2，x 3，﹣x 4，x 5的中位数为（ ）A ．B ．C ．D ．12．函数f （x ）=，则f （﹣1）的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题13．已知z ，ω为复数，i 为虚数单位，（1+3i ）z 为纯虚数，ω=，且|ω|=5，则复数ω= ．14．已知圆C 的方程为22230x y y +--=，过点()1,2P -的直线与圆C 交于,A B 两点，若使AB最小则直线的方程是 ．15．已知函数()f x 23(2)5x =-+，且12|2||2|x x ->-，则1()f x ，2()f x 的大小关系 是 ．16．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1．若C=，则= ．17．若函数f （x ）=x 2﹣（2a ﹣1）x+a+1是区间（1，2）上的单调函数，则实数a 的取值范围是 ． 18．设x R ∈，记不超过x 的最大整数为[]x ，令{}[]x x x =-.现有下列四个命题: ①对任意的x ，都有1[]x x x -<≤恒成立； ②若(1,3)x ∈，则方程{}22sincos []1x x +=的实数解为6π-；③若3n n a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（n N *∈），则数列{}n a 的前3n 项之和为23122n n -；④当0100x ≤≤时，函数{}22()sin []sin 1f x x x =+-的零点个数为m ，函数{}()[]13xg x x x =⋅--的 零点个数为n ，则100m n +=.其中的真命题有_____________.（写出所有真命题的编号）【命题意图】本题涉及函数、函数的零点、数列的推导与归纳，同时又是新定义题，应熟悉理解新定义，将问题转化为已知去解决，属于中档题。
河南省郑州市2018-2019上学期期中考试高二数学(理科)试题
河南省郑州市2018-2019学年上期期末考试高二数学（理）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共有12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知命题那么为（）A. B.C. D.2.已知数列是等比数列，若则的值为（）A. 4B. 4或-4C. 2D. 2或-23.已知是实数，下列命题结论正确的是（）A. “”是“”的充分条件B. ”是“”的必要条件C. “ac2＞bc2”是“”的充分条件D. ” 是“”的充要条件4.已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.5.若等差数列的前项和为，且，则（）A. B. C. D.6.的内角的对边分别为，，, 则=（）A. B. C. D.7.椭圆与曲线的（）A. 焦距相等B. 离心率相等C. 焦点相同D. 准线相同8.在平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=AA1=1,，则的长为（）A. B. 6 C. D.9.已知不等式的解集是，若对于任意，不等式恒成立，则t的取值范围（）A. B. C. D.10.在中，角所对的边分别为，表示的面积，若，则（）A. B. C. D.11.已知均为正实数，若与的等差中项为2，则的取值范围是（）A. B. C. D.12.已知抛物线,其准线与轴的交点为,过焦点的弦交抛物线于两点,且,则( )A. B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共有4个小题，每小题5分，共20分。
13.某船在行驶过程中开始看见灯塔在南偏东方向，后来船沿南偏东的方向航行15海里后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是_______海里。
14.已知数列的首项为，为等差数列，且，若，，则______。
15.函数的最小值是____________.16.已知点的坐标分别是,直线相交于点,且它们的斜率分别为,下列命题是真命题的有____________.(只填写序号)①若,则的轨迹是椭圆(除去两个点)②若,则的轨迹是抛物线(除去两个点)③若,则的轨迹是双曲线(除去两个点)④若,则的轨迹是一条直线(除去一点)三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答题应写文字说明、证明过程或演算步骤。
河南省郑州市第一中学2018-2019年高二上学期期中考试数学(文)试题(解析版)
河南省郑州市第一中学2018-2019年高二上学期期中考试数学（文）试题(解析版)河南省郑州市第一中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.“x＞0”是“＞”成立的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2.若△ABC的三边长a，b，c满足（a+b-c）（a+b+c）=ab，则角C的大小是（）A. B. C. D.3.椭圆=-1（m＜n＜0）的焦点坐标是（）A. B. C. D.4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，ac=3，且a=3b sin A，则△ABC的面积等于（）A. B. C. 1 D.5.某工厂第一年年产量为A，第二年的年增长率为a，第三年的年增长率为b，这两年的平均增长率为x，则（）A. B. C. D.6.若不等式x2+ax+1≥0对于一切x∈（0，]恒成立，则a的最小值是（）A. 0B.C.D.7.x，y满足约束条件，若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A. 或B. 2或C. 2或D. 2或18.等比数列{a n}前n项的积为T n，若a3a6a18是一个确定的常数，那么数列T10，T13，T17，T25中也是常数的项是（）A. B. C. D.9.已知关于x的不等式ax2-x+b≥0的解集为[-2，1]，则关于x的不等式bx2-x+a≤0的解集为（）A. B. C. D.10.已知椭圆E：＞＞的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，-1），则E的方程为（）A. B. C. D.1 / 1511.已知数列{a n}满足：a n=，＞若对于任意n∈N*都有a n＞a n+1，则实数b的取值范围（）A. B. C. D.12.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c cos B=2a+b，若△ABC的面积为S=c，则ab的最小值为（）A. 56B. 48C. 36D. 28二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知数列1，，，，…的一个通项公式是a n=______．14.一蜘蛛沿正北方向爬行xcm捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，那么x=______cm．15.已知双曲线的焦点为F1，F2，点M在双曲线上，且，则点M到x轴的距离为______．16.设正数x，y满足+≤a•恒成立，则a的最小值是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知命题P：∀m∈[-1，1]不等式a2-5a-3≥，命题q：∃x0∈R，x02+2ax0+2-a＜0，使p∨q是真命题，￢q是真命题，求实数a的取值范围．18.已知{a n}，是递增的等差数列，a2，a4是方程x2-6x+8=0的根．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n项和．19.郑州一中学生食堂出售甲、乙两种食品，甲每份售价0.55元、乙每份售价0.40元，经检测，食品中含有三种学生所需的营养物A、B、C，其中食品甲每份含A、B、C分别为10、3、4毫克，食品乙每份含A、B、C分别为2、3、9毫克，而营养师认为学生每餐至少需此三种营养物A、B、C分别为20、18、36毫克．问一学生进餐应对甲、乙食品各买几份，能保证足够的营养要求，又花钱最少？河南省郑州市第一中学2018-2019年高二上学期期中考试数学（文）试题(解析版)20.已知函数f（x）=lg[（a2-1）x2+（a+1）x+1]（1）若f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围；（2）若f（x）的值域为R，求实数a的取值范围．21.设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=b tan A，且B为钝角．（Ⅰ）证明：B-A=；（Ⅱ）求sin A+sin C的取值范围．22.已知点A（0，-2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．3 / 15答案和解析1.【答案】A【解析】解：当“x＞0”时，成立，故“x＞0”是“”的充分条件，当“”时，x≠0，此时“x＞0”不一定成立故“x＞0”是“”的不必要条件综上“x＞0”是“”的充分不必要条件故选：A．⇔|x|＞0⇔x≠0⇔x＞0或x＜0，由此给合充要条件的定义，可判断出“x＞0”是“”的充分不必要条件本题考查的知识点是充要条件的判断，熟练掌握充要条件的定义及证明方法是解答的关键．2.【答案】C【解析】解：∵（a+b-c）（a+b+c）=ab∴（a+b）2-c2=ab即a2+b2-c2=-ab根据余弦定理可知cosC===-∴∠C=120°故选：C．首先将已知的式子进行化简得出a2+b2-c2=-ab，然后利用余弦定理求出C的大小．本题考查了余弦定理的运用，解题的关键是利用平方差公式将所给式子进行化简，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：椭圆=-1（m＜n＜0）的焦点坐标是（±，0）．故选：D．判断椭圆的焦点坐标的位置，然后求解即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．河南省郑州市第一中学2018-2019年高二上学期期中考试数学（文）试题(解析版)5 / 154.【答案】A【解析】解：∵在△ABC 中，a=3bsinA ，∴根据正弦定理，得sinA=3sinBsinA ， 结合sinA 为正数，化简得sinB=．因此△ABC 的面积S=acsinB=×3×=． 故选：A ．根据正弦定理，由a=3bsinA 算出sinB=，再利用三角形的面积公式，可得S=acsinB=．本题给出三角形的边角关系，求三角形的面积．着重考查了利用正弦定理解三角形与三角形的面积计算等知识，属于中档题． 5.【答案】B【解析】解：由题得A （1+a ）（1+b ）=A （1+x ）2⇒（1+a ）（1+b ）=（1+x ）2．又∵（1+a ）（1+b ）≤． ∴1+x≤=1+⇒x≤故选：B ．先利用条件找到方程（1+a ）（1+b ）=（1+x ）2．然后利用基本不等式求可得到答案．本题考查数列的综合应用以及基本不等式的应用，解题时要认真审题，仔细解答，避免错误． 6.【答案】C【解析】解：不等式x 2+ax+1≥0对于一切x ∈（0，]恒成立，即有-a≤x+对于一切x ∈（0，]恒成立． 由于y=x+的导数为y′=1-，当0＜x ＜1时，y′＜0，函数y 递减．则当x=时，y 取得最小值且为， 则有-a，解得a．则a的最小值为-．故选：C．由题意可得-a≤x+对于一切x∈（0，]恒成立．运用函数的导数判断右边的单调性，求得最小值，令-m不大于最小值即可．本题考查不等式的恒成立问题，考查函数的单调性的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．7.【答案】C【解析】解：由题意作出约束条件，平面区域，将z=y-ax化为y=ax+z，z相当于直线y=ax+z的纵截距，由题意可得，y=ax+z与y=2x+2或与y=2-x平行，故a=2或-1；故选：C．由题意作出已知条件的平面区域，将z=y-ax化为y=ax+z，z相当于直线y=ax+z的纵截距，由几何意义可得．本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，注意目标函数的几何意义是解题的关键之一，属于中档题．8.【答案】C【解析】河南省郑州市第一中学2018-2019年高二上学期期中考试数学（文）试题(解析版)7 / 15解：由a 3•a 6•a 18=a 1q 2•a 1q 5•a 1 q 17=（a 1 q 8）3=为常数，所以a 9为常数，则T 17=a 1•a 2…a 17=（a 1•a 17）（a 2•a 16）（a 3•a 15）（a 4•a 14）（a 5 •a 13）（a 6•a 12）•（a 7•a 11）•（a 8•a 10）a 9=，为常数． 故选：C ．利用等比数列的通项公式、同底数幂的乘法法则化简a 3•a 6•a 12 =a 73是一个确定的常数，列举出T 13的各项，利用等比数列的性质得到T 13 =a 713，即可得到T 13为常数．此题主要考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值，要求学生掌握等比数列的性质，是一道中档题． 9.【答案】C【解析】解：∵关于x 的不等式ax 2-x+b≥0的解集为[-2，1]， ∴-2，1是关于x 的方程ax 2-x+b=0的两个根，∴，解得a=-1，b=2，∴关于x 的不等式bx 2-x+a≤0即2x 2-x-1≤0， 解方程2x 2-x-1=0，得x 1=-，x 2=1， ∴关于x 的不等式bx 2-x+a≤0的解集为{x|-}，即[-，1]．故选：C ．由已知得-2，1是关于x 的方程ax 2-x+b=0的两个根，从而求出a=-1，b=2，由此能求出关于x 的不等式bx 2-x+a≤0的解集．本题考查一元二次不等式的解法，是基础题，解题时要认真审题，注意一元二次不等式的性质的合理运用． 10.【答案】D【解析】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，相减得，∴．∵x1+x2=2，y1+y2=-2，==．∴，化为a2=2b2，又c=3=，解得a2=18，b2=9．∴椭圆E的方程为．故选：D．设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，利用“点差法”可得．利用中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=-2，利用斜率计算公式可得==．于是得到，化为a2=2b2，再利用c=3=，即可解得a2，b2．进而得到椭圆的方程．熟练掌握“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式是解题的关键．11.【答案】A【解析】解：∵对于任意的n∈N*都有a n＞a n+1，∴数列{a n}单调递减，可知0＜b＜1．①当＜b＜1时，n＞8，a n=（-b）n+2单调递减，而（n≤8）单调递减，∴（-b）×9+2＜b8-7，解得b＞，因此＜b＜1．②当0＜b＜时，n＞8，a n=（-b）n+2单调递增，应舍去．综上可知：实数b的取值范围是＜b＜1．故选：A．对于任意的n∈N*都有a n＞a n+1，可知：数列{a n}单调递减，可得0＜b＜1．再分河南省郑州市第一中学2018-2019年高二上学期期中考试数学（文）试题(解析版)9 / 15类讨论即可得出．本题考查数列递推式，熟练掌握一次函数和指数函数的单调性是解题的关键，是中档题． 12.【答案】B【解析】解：由正弦定理，有=2R ，又2c•cosB=2a+b ，可得：2sinC•cosB=2sinA+sinB ， 由A+B+C=π，得sin A=sin （B+C ），则2sinC•cosB=2sin （B+C ）+sinB ，即2sinB•cosC+sinB=0， 又0＜B ＜π，sinB ＞0，得cosC=-， 因为0＜C ＜π，得C=，则△ABC 的面积为S △=absinC=ab=c ，即c=ab ，由余弦定理，得c 2=a 2+b 2-2ab cosC ，化简，得a 2+b 2+ab=a 2b 2，由于：a 2+b 2≥2ab ，当仅当a=b 时取等号，可得：2ab+ab≤a 2b 2，即ab≥48，故ab 的最小值是48．故选：B ．由正弦定理将2ccosB=2a+b ，转化成2sinC•cosB=2sin A+sinB ，由三角形内角和定理，将sin A=sin （B+C ），利用两角和的正弦公式展开，化简求得sinC 的值，由余弦定理、三角形的面积公式及基本不等式关系，求得ab 的最小值． 本题考查正、余弦定理、三角形内角和定理及基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 13.【答案】【解析】解：∵数列1，，，，…的分母是相应项序号的平方，分子组成以1为首项，2为公差的等差数列 ∴数列1，，，，…的一个通项公式是a n =故答案为：数列1，，，，…的分母是相应项数的平方，分子组成以1为首项，2为公差的等差数列，由此可得结论．本题考查数列的通项公式，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．14.【答案】【解析】解：由题意可得简图如下可知∠BAC=75°，∠ACB=45°，∠B=60°，根据正弦定理可得：，∴x=，故答案为：．先画出简图，得到各角的值，再由正弦定理可确定答案．本题主要考查正弦定理的应用，关键在于能够画出简图．属基础题．15.【答案】【解析】解：∵点M在双曲线上，∴|||-|||=2a=2，||=2c=2又∵，∴△MF1F2为直角三角形，∴=12，∴=4设点M到x轴的距离为d，∵，∴MF1⊥MF2，∴=|MF1|•|MF2|=|F1F2|•d∴d==故答案为先根据双曲线的定义和直角三角形勾股定理计算焦半径之积，再利用等面积法计算点M到x轴的距离即可河南省郑州市第一中学2018-2019年高二上学期期中考试数学（文）试题(解析版)11 / 15本题考查了双曲线的定义及几何意义，特别是焦点三角形问题，解题时要善于总结此类问题的常用解法，提高解题速度 16.【答案】【解析】解：因为x ，y 都为正数，且+≤a•恒成立，分离参数a 得，a≥，所以，a≥[]max ，根据基本不等式：得，+≤=•，所以，≤，所以，[]max=，因此，a≥，故答案为：．先用分离参数法将问题等价为：a≥[]max，再用基本不等式，求该式的最大值．本题主要考查了基本不等式在求最值问题中的应用，运用分离参数法，属于中档题．17.【答案】解：：∀m ∈[-1，1]，有 ，若p 为真命题，则a 2-5a -3≥3，即a ≥6或a ≤-1；若q 为真命题，则△=（2a ）2-4（2-a ）＞0，解得a ＜-2或a ＞1． 由p ∨q 是真命题，￢q 是真命题，得p 真q 假．则或 ，∴-2≤a ≤1． 故实数a 的取值范围是[-2，-1]． 【解析】由m 的范围得到，由p 为真命题得到a 2-5a-3≥3，求得a 的范围，再由判别式大于0求得q 为真命题的a 的范围，结合复合命题的真假判断求解． 本题考查复合命题及其真假，考查数学转化思想方法，考查运算求解能力，是基础题．18.【答案】解：（Ⅰ）在递增等差数列{a n }中，∵a 2，a 4是方程x 2-6x +8=0的根，则，解得．∴d =．∴a n =a 2+（n -2）×d =2+n -2=n ； （Ⅱ）∵=，∴{}的前n 项和：①，②，①-②得：=1+．∴．【解析】（Ⅰ）由题意列式求出a 2，a 4，代入等差数列的通项公式求得公差，再代入等差数列的通项公式得答案；（Ⅱ）把等差数列的通项公式代入数列{}，然后由错位相减法求其和．本题考查了等差数列的通项公式，考查了错位相减法求数列的和，是中档题．19.【答案】解：设买甲食品x 份，乙食品y 份，由题意可得x ，y 满足， ，花费z =0.55x +0.4y ，z 在B （1，5）处值最小，此时花费z =0.55+0.4×5=2.55． 所以学生进餐应对甲、乙食品各买1份5份花费2.55元，能保证足够的营养要求，又花钱最少． 【解析】利用已知条件列出约束条件的可行域，表示出花费的表达式，利用线性规划河南省郑州市第一中学2018-2019年高二上学期期中考试数学（文）试题(解析版) 的知识求解即可．本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及计算能力．20.【答案】解：（1）f（x）的定义域为R∴（a2-1）x2+（a+1）x+1＞0恒成立当a2-1=0时，得a=-1，a=1不成立当a2-1≠0时，△ 解得＞或a＜-1综上得＞或a≤-1（2）当a2-1=0时，得a=1，a=-1不成立当a2-1≠0时，△ 解得＜综上得【解析】（1）因为f（x）的定义域为R，所以对数的真数一定大于0恒成立，讨论二次项系数为0不成立，系数不为0时，得到系数大于0且根的判别式小于0求出a 的范围即可；（2）因为函数值域为R，讨论二次项系数为0时，不成立，系数不为0时，让系数大于0且根的判别式大于等于0求出a的范围即可．考查学生理解对数函数定义域和值域的能力，以及理解函数恒成立条件的能力．21.【答案】解：（Ⅰ）由a=b tan A和正弦定理可得==，∴sin B=cos A，即sin B=sin（+A）又B为钝角，∴+A∈（，π），∴B=+A，∴B-A=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知C=π-（A+B）=π-（A++A）=-2A＞0，∴A∈（0，），∴sin A+sin C=sin A+sin（-2A）=sin A+cos2A=sin A+1-2sin2A=-2（sin A-）2+，∵A∈（0，），∴0＜sin A＜，13 / 15∴由二次函数可知＜-2（sin A-）2+≤∴sin A+sin C的取值范围为（，]【解析】（Ⅰ）由题意和正弦定理可得sinB=cosA，由角的范围和诱导公式可得；（Ⅱ）由题意可得A∈（0，），可得0＜sinA＜，化简可得sinA+sinC=-2（sinA-）2+，由二次函数区间的最值可得．本题考查正弦定理和三角函数公式的应用，涉及二次函数区间的最值，属基础题．22.【答案】解：（Ⅰ）设F（c，0），由条件知，得又，所以a，b2=a2-c2=1，故E的方程．…．（5分）（Ⅱ）依题意当l⊥x轴不合题意，故设直线l：y=kx-2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx-2代入，得（1+4k2）x2-16kx+12=0，当△=16（4k2-3）＞0，即＞时，，从而又点O到直线PQ的距离，所以△OPQ的面积△ =，设，则t＞0，△ ，当且仅当t=2，k=±等号成立，且满足△＞0，所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：y=x-2或y=-x-2．…（12分）【解析】（Ⅰ）通过离心率得到a、c关系，通过A求出a，即可求E的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx-2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx-2代入，利用△＞0，求出k的范围，利用弦长公式求出|PQ|，然后求出△OPQ的面积表达式，利用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程．河南省郑州市第一中学2018-2019年高二上学期期中考试数学（文）试题(解析版) 本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．15 / 15。
郑州市高中2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学
郑州市高中2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 若关于x 的不等式07|2||1|>-+-++m x x 的解集为R ，则参数m 的取值范围为（ ） A ．),4(+∞ B ．),4[+∞ C ．)4,(-∞ D ．]4,(-∞【命题意图】本题考查含绝对值的不等式含参性问题，强化了函数思想、化归思想、数形结合思想在本题中的应用，属于中等难度.2． 给出下列结论：①平行于同一条直线的两条直线平行；②平行于同一条直线的两个平面平行； ③平行于同一个平面的两条直线平行；④平行于同一个平面的两个平面平行．其中正确的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3． 若直线L ：047)1()12(=--+++m y m x m 圆C ：25)2()1(22=-+-y x 交于B A ,两点，则弦长||AB 的最小值为（ ）A ．58B ．54C ．52D ．5 4． 复数满足2＋2z 1－i ＝i z ，则z 等于（ ）A ．1＋iB ．－1＋iC ．1－iD ．－1－i5． 在△ABC 中，C=60°，AB=，AB 边上的高为，则AC+BC 等于（ ）A ．B ．5C ．3D ．6． 直线2x+y+7=0的倾斜角为（ ） A ．锐角 B ．直角 C ．钝角 D ．不存在7． 已知命题“p ：∃x ＞0，lnx ＜x ”，则￢p 为（ ）A ．∃x ≤0，lnx ≥xB ．∀x ＞0，lnx ≥xC ．∃x ≤0，lnx ＜xD ．∀x ＞0，lnx ＜x8． 已知f （x ）=4+a x ﹣1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是（ ） A ．（1，5） B ．（1，4） C ．（0，4） D ．（4，0）9． 已知实数x ，y 满足a x ＜a y （0＜a ＜1），则下列关系式恒成立的是（ ）A ．B ．ln （x 2+1）＞ln （y 2+1）C ．x 3＞y 3D ．sinx ＞siny10．已知集合{}2|10A x x =-=，则下列式子表示正确的有（ ）①1A ∈；②{}1A -∈；③A ∅⊆；④{}1,1A -⊆．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 11．若定义在R 上的函数f （x ）满足f （0）=﹣1，其导函数f ′（x ）满足f ′（x ）＞k ＞1，则下列结论中一定错误的是（ ）A ．B ．C ．D ．12．若l 、m 、n 是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列结论正确的是（ ） A ．α∥β，l ⊂α，n ⊂β⇒l ∥n B ．α∥β，l ⊂α⇒l ⊥β C ．l ⊥n ，m ⊥n ⇒l ∥m D ．l ⊥α，l ∥β⇒α⊥β二、填空题13．若函数f （x ）=3sinx ﹣4cosx ，则f ′（）= ．14．在等差数列{a n }中，a 1=7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n=8时S n 取得最大值，则d 的取值范围为 ．15．已知平面上两点M （﹣5，0）和N （5，0），若直线上存在点P 使|PM|﹣|PN|=6，则称该直线为“单曲型直线”，下列直线中：①y=x+1 ②y=2 ③y=x ④y=2x+1 是“单曲型直线”的是 ． 16．log 3+lg25+lg4﹣7﹣（﹣9.8）0= ．17．复数z=（i 虚数单位）在复平面上对应的点到原点的距离为 ．18．长方体1111ABCD A BC D -中，对角线1AC 与棱CB 、CD 、1CC 所成角分别为α、β、， 则222sin sin sin αβγ++= ．三、解答题19．如图，矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE ∥CF ，BC ⊥CF ，，EF=2，BE=3，CF=4．（Ⅰ）求证：EF ⊥平面DCE ；（Ⅱ）当AB 的长为何值时，二面角A ﹣EF ﹣C 的大小为60°．20．定义在R 上的增函数y=f （x ）对任意x ，y ∈R 都有f （x+y ）=f （x ）+f （y ），则 （1）求f （0）； （2）证明：f （x ）为奇函数；（3）若f （k •3x ）+f （3x ﹣9x﹣2）＜0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围．21．（本小题满分12分）已知函数2()(21)ln f x x a x a x =-++（a R ∈）.（I ）若12a >，求)(x f y =的单调区间； （II ）函数()(1)g x a x =-，若0[1,]x e ∃∈使得00()()f x g x ≥成立，求实数a 的取值范围.22．在极坐标系内，已知曲线C1的方程为ρ2﹣2ρ（cosθ﹣2sinθ）+4=0，以极点为原点，极轴方向为x正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，曲线C2的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）求曲线C1的直角坐标方程以及曲线C2的普通方程；（Ⅱ）设点P为曲线C2上的动点，过点P作曲线C1的切线，求这条切线长的最小值．23．已知曲线C1：ρ=1，曲线C2：（t为参数）（1）求C1与C2交点的坐标；（2）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C1′与C2′，写出C1′与C2′的参数方程，C1与C2公共点的个数和C1′与C2′公共点的个数是否相同，说明你的理由．2015-2016学年安徽省合肥168中学高三（上）10月月考数学试卷（理科）24．已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）﹣1（Ⅰ）求f（x）在区间[0，]上的最大值；（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（B）=1，a+c=2，求b的取值范围．郑州市高中2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1． 【答案】A2． 【答案】B 【解析】考点：空间直线与平面的位置关系．【方法点晴】本题主要考查了空间中直线与平面的位置关系的判定与证明，其中解答中涉及到直线与直线平行的判定与性质、直线与平面平行的判定与性质的应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中熟记直线与直线平行和直线与平面平行的判定与性质是解答的关键．3． 【答案】B 【解析】试题分析：直线:L ()()0472=-++-+y x y x m ，直线过定点⎩⎨⎧=-+=-+04072y x y x ，解得定点()1,3，当点（3,1）是弦中点时，此时弦长AB 最小，圆心与定点的距离()()5123122=-+-=d ，弦长545252=-=AB ,故选B.考点：1.直线与圆的位置关系；2.直线系方程.【方法点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，属于基础题型，涉及一些最值问题，当点在圆的外部时，圆上的点到定点距离的最小值是圆心到直线的距离减半径，当点在圆外，可做两条直线与圆相切，当点在圆上，可做一条直线与圆相切，当点在圆内，过定点做圆的弦时，过圆心即直径最长，当定点是弦的中点时，弦最短，并且弦长公式是222d R l -=，R 是圆的半径，d 是圆心到直线的距离. 1111]4． 【答案】【解析】解析：选D.法一：由2＋2z1－i＝i z 得2＋2z ＝i z ＋z ， 即（1－i ）z ＝－2，∴z ＝－21－i ＝－2（1＋i ）2＝－1－i.法二：设z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）， ∴2＋2（a ＋b i ）＝（1－i ）i （a ＋b i ）， 即2＋2a ＋2b i ＝a －b ＋（a ＋b ）i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＋2a ＝a －b2b ＝a ＋b ， ∴a ＝b ＝－1，故z ＝－1－i. 5． 【答案】D【解析】解：由题意可知三角形的面积为S===AC •BCsin60°，∴AC •BC=．由余弦定理AB 2=AC 2+BC 2﹣2AC •BCcos60°=（AC+BC ）2﹣3AC •BC ，∴（AC+BC ）2﹣3AC •BC=3，∴（AC+BC ）2=11．∴AC+BC=故选：D【点评】本题考查解三角形，三角形的面积与余弦定理的应用，整体法是解决问题的关键，属中档题．6． 【答案】C【解析】【分析】设直线2x+y+7=0的倾斜角为θ，则tan θ=﹣2，即可判断出结论． 【解答】解：设直线2x+y+7=0的倾斜角为θ， 则tan θ=﹣2， 则θ为钝角． 故选：C ． 7． 【答案】B【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“p ：∃x ＞0，lnx ＜x ”，则￢p 为∀x ＞0，lnx ≥x ．故选：B ．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．8． 【答案】A【解析】解：令x ﹣1=0，解得x=1，代入f （x ）=4+ax ﹣1得，f （1）=5，则函数f （x ）过定点（1，5）．故选A ．9． 【答案】C【解析】解：∵实数x 、y 满足a x ＜a y（1＞a ＞0），∴y ＜x ．对于A ．取x=1，y=0，不成立，因此不正确；对于B ．取y=﹣2，x=﹣1，ln （x 2+1）＞ln （y 2+1）不成立； 对于C ．利用y=x 3在R 上单调递增，可得x 3＞y 3，正确；对于D ．取y=﹣π，x=，但是sinx=，siny=，sinx ＞siny 不成立，不正确．故选：C ．【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力，属于基础题．10．【答案】C 【解析】试题分析：{}1,1A =-，所以①③④正确.故选C. 考点：元素与集合关系，集合与集合关系． 11．【答案】C【解析】解；∵f ′（x ）=f ′（x ）＞k ＞1，∴＞k ＞1，即＞k ＞1，当x=时，f （）+1＞×k=，即f （）﹣1=故f （）＞，所以f （）＜，一定出错， 故选：C ．12．【答案】D【解析】解：对于A，α∥β，l⊂α，n⊂β，l，n平行或异面，所以错误；对于B，α∥β，l⊂α，l 与β可能相交可能平行，所以错误；对于C，l⊥n，m⊥n，在空间，l与m还可能异面或相交，所以错误．故选D．二、填空题13．【答案】4．【解析】解：∵f′（x）=3cosx+4sinx，∴f′（）=3cos+4sin=4．故答案为：4．【点评】本题考查了导数的运算法则，掌握求导公式是关键，属于基础题．14．【答案】（﹣1，﹣）．【解析】解：∵S n =7n+，当且仅当n=8时S n取得最大值，∴，即，解得：，综上：d的取值范围为（﹣1，﹣）．【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式，解不等式方程组，属于中档题．15．【答案】①②．【解析】解：∵|PM|﹣|PN|=6∴点P在以M、N为焦点的双曲线的右支上，即，（x＞0）．对于①，联立，消y得7x2﹣18x﹣153=0，∵△=（﹣18）2﹣4×7×（﹣153）＞0，∴y=x+1是“单曲型直线”．对于②，联立，消y得x2=，∴y=2是“单曲型直线”．对于③，联立，整理得144=0，不成立．∴不是“单曲型直线”．对于④，联立，消y 得20x 2+36x+153=0，∵△=362﹣4×20×153＜0∴y=2x+1不是“单曲型直线”．故符合题意的有①②． 故答案为：①②．【点评】本题考查“单曲型直线”的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线定义的合理运用．16．【答案】．【解析】解：原式=+lg100﹣2﹣1=+2﹣2﹣1=， 故选：【点评】本题考查了对数的运算性质，属于基础题．17．【答案】．【解析】解：复数z==﹣i （1+i ）=1﹣i ，复数z=（i 虚数单位）在复平面上对应的点（1，﹣1）到原点的距离为：．故答案为：．【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的几何意义，考查计算能力．18．【答案】 【解析】试题分析：以1AC 为斜边构成直角三角形：1111,,AC D AC B AC A ∆∆∆，由长方体的对角线定理可得：2222221111222111sin sin sin BC DC AC AC AC AC αβγ++=++2221212()2AB AD AA AC ++==.考点：直线与直线所成的角．【方法点晴】本题主要考查了空间中直线与直线所成的角的计算问题，其中解答中涉及到长方体的结构特征、直角三角形中三角函数的定义、长方体的对角线长公式等知识点的考查，着重考查学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中熟记直角三角形中三角函数的定义和长方体的对角线长定理是解答的关键．三、解答题19．【答案】【解析】证明：（Ⅰ）在△BCE中，BC⊥CF，BC=AD=，BE=3，∴EC=，∵在△FCE中，CF2=EF2+CE2，∴EF⊥CE由已知条件知，DC⊥平面EFCB，∴DC⊥EF，又DC与EC相交于C，∴EF⊥平面DCE解：（Ⅱ）方法一：过点B作BH⊥EF交FE的延长线于H，连接AH．由平面ABCD⊥平面BEFC，平面ABCD∩平面BEFC=BC，AB⊥BC，得AB⊥平面BEFC，从而AH⊥EF．所以∠AHB为二面角A﹣EF﹣C的平面角．在Rt△CEF中，因为EF=2，CF=4．EC=∴∠CEF=90°，由CE∥BH，得∠BHE=90°，又在Rt△BHE中，BE=3，∴由二面角A﹣EF﹣C的平面角∠AHB=60°，在Rt△AHB中，解得，所以当时，二面角A﹣EF﹣C的大小为60°方法二：如图，以点C为坐标原点，以CB，CF和CD分别作为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系C﹣xyz．设AB=a（a＞0），则C（0，0，0），A（，0，a），B（，0，0），E（，3，0），F（0，4，0）．从而，设平面AEF的法向量为，由得，，取x=1，则，即，不妨设平面EFCB的法向量为，由条件，得解得．所以当时，二面角A﹣EF﹣C的大小为60°．【点评】本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，其中（I）的关键是熟练掌握线线垂直、线面垂直与面面垂直的之间的相互转化，（II）的关键是建立空间坐标系，将二面角问题，转化为向量的夹角问题．20．【答案】【解析】解：（1）在f（x+y）=f（x）+f（y）中，令x=y=0可得，f（0）=f（0）+f（0），则f（0）=0，（2）令y=﹣x，得f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x），又f（0）=0，则有0=f（x）+f（﹣x），即可证得f（x）为奇函数；（3）因为f（x）在R上是增函数，又由（2）知f（x）是奇函数，f（k•3x）＜﹣f（3x﹣9x﹣2）=f（﹣3x+9x+2），即有k•3x＜﹣3x+9x+2，得，又有，即有最小值2﹣1，所以要使f（k•3x）+f（3x﹣9x﹣2）＜0恒成立，只要使即可，故k的取值范围是（﹣∞，2﹣1）．21．【答案】【解析】【命题意图】本题考查导数的应用等基础知识，意在考查转化与化归思想的运用和综合分析问题解决问题的能力．请22．【答案】【解析】【专题】计算题；直线与圆；坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，即可得到曲线C1的直角坐标方程，再由代入法，即可化简曲线C2的参数方程为普通方程；（Ⅱ）可经过圆心（1，﹣2）作直线3x+4y﹣15=0的垂线，此时切线长最小．再由点到直线的距离公式和勾股定理，即可得到最小值．【解答】解：（Ⅰ）对于曲线C1的方程为ρ2﹣2ρ（cosθ﹣2sinθ）+4=0，可化为直角坐标方程x2+y2﹣2x+4y+4=0，即圆（x﹣1）2+（y+2）2=1；曲线C2的参数方程为（t为参数），可化为普通方程为：3x+4y﹣15=0．（Ⅱ）可经过圆心（1，﹣2）作直线3x+4y﹣15=0的垂线，此时切线长最小．则由点到直线的距离公式可得d==4，则切线长为=．故这条切线长的最小值为．【点评】本题考查极坐标方程、参数方程和直角坐标方程、普通方程的互化，考查直线与圆相切的切线长问题，考查运算能力，属于中档题．23．【答案】【解析】解：（1）∵曲线C1：ρ=1，∴C1的直角坐标方程为x2+y2=1，∴C1是以原点为圆心，以1为半径的圆，∵曲线C2：（t为参数），∴C2的普通方程为x﹣y+=0，是直线，联立，解得x=﹣，y=．∴C2与C1只有一个公共点：（﹣，）．（2）压缩后的参数方程分别为：（θ为参数）：（t为参数），化为普通方程为：：x2+4y2=1，：y=，联立消元得，其判别式，∴压缩后的直线与椭圆仍然只有一个公共点，和C1与C2公共点个数相同．【点评】本题考查两曲线的交点坐标的求法，考查压缩后的直线与椭圆的公共点个数的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意一元二次方程的根的判别式的合理运用．24．【答案】【解析】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）f（x）=2cosx（sinx+cosx）﹣1=2sinxcosx+2cos2x﹣1=sin2x+2×﹣1=sin2x+cos2x=sin（2x+），∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，∴当2x+=，即x=时，f（x）min=…6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（B）=sin（+）=1，∴sin（+）=，∴+=，∴B=，由正弦定理可得：b==∈[1，2）…12分【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．。
郑州市一中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
郑州市一中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 在ABC ∆中，若60A ∠=，45B ∠=，BC =AC =（ ）A ．B ． C.D 2． 已知函数f （x ）=ax 3﹣3x 2+1，若f （x ）存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（1，+∞） B ．（2，+∞）C ．（﹣∞，﹣1）D ．（﹣∞，﹣2）3． 如图，四面体D ﹣ABC 的体积为，且满足∠ACB=60°，BC=1，AD+=2，则四面体D ﹣ABC 中最长棱的长度为（ ）A ．B ．2C ．D ．34． sin45°sin105°+sin45°sin15°=（ ）A ．0B ．C ．D ．15． 1F ，2F 分别为双曲线22221x y a b-=（a ，0b >）的左、右焦点，点P 在双曲线上，满足120PF PF ⋅=，若12PF F ∆ ）C. 1D. 1【命题意图】本题考查双曲线的几何性质，直角三角形内切圆半径与外接圆半径的计算等基础知识，意在考查基本运算能力及推理能力．6． 为了得到函数y=sin3x 的图象，可以将函数y=sin （3x+）的图象（ ）A ．向右平移个单位 B ．向右平移个单位C ．向左平移个单位D ．向左平移个单位7． 函数f （x ）=x 2﹣2ax ，x ∈[1，+∞）是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．RB ．[1，+∞）C ．（﹣∞，1]D ．[2，+∞）8． 已知PD ⊥矩形ABCD 所在的平面，图中相互垂直的平面有（ ）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对9． 设集合{}|||2A x R x =∈≤，{}|10B x Z x =∈-≥，则A B =（ ）A.{}|12x x <≤B.{}|21x x -≤≤C. {}2,1,1,2--D. {}1,2【命题意图】本题考查集合的概念，集合的运算等基础知识，属送分题．10．给出下列各函数值：①sin100°；②cos （﹣100°）；③tan （﹣100°）；④．其中符号为负的是（ ） A ．①B ．②C ．③D ．④11．已知函数f （x ）=log 2（x 2+1）的值域为{0，1，2}，则满足这样条件的函数的个数为（ ） A ．8 B ．5 C ．9 D ．2712．设l ，m ，n 表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ∥l ，m ⊥α，则l ⊥α； ②若m ∥l ，m ∥α，则l ∥α；③若α∩β=l ，β∩γ=m ，γ∩α=n ，则l ∥m ∥n ； ④若α∩β=l ，β∩γ=m ，γ∩α=n ，n ∥β，则l ∥m ． 其中正确命题的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4二、填空题13．在ABC ∆中，已知sin :sin :sin 3:5:7A B C =，则此三角形的最大内角的度数等 于__________.14．已知角α终边上一点为P （﹣1，2），则值等于 ．15．81()x x的展开式中，常数项为___________．（用数字作答）【命题意图】本题考查用二项式定理求指定项，基础题.16．当下社会热议中国人口政策，下表是中国人民大学人口预测课题组根据我过2000年第五次人口普查预测1564的线性回归方程为附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： =， =﹣．17．设MP 和OM 分别是角的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式：①MP ＜OM ＜0；②OM ＜0＜MP ；③OM ＜MP ＜0；④MP ＜0＜OM ， 其中正确的是 （把所有正确的序号都填上）．18．直线l ：（t 为参数）与圆C ：（θ为参数）相交所得的弦长的取值范围是 ．三、解答题19．如图，边长为2的等边△PCD 所在的平面垂直于矩形ABCD 所在的平面，BC=，M 为BC 的中点．（Ⅰ）证明：AM ⊥PM ； （Ⅱ）求点D 到平面AMP 的距离．20．已知抛物线C ：x 2=2py （p ＞0），抛物线上一点Q （m，）到焦点的距离为1． （Ⅰ）求抛物线C 的方程（Ⅱ）设过点M （0，2）的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，且A 点的横坐标为n （n ∈N *）（ⅰ）记△AOB 的面积为f （n ），求f （n ）的表达式（ⅱ）探究是否存在不同的点A ，使对应不同的△AOB 的面积相等？若存在，求点A 点的坐标；若不存在，请说明理由．21．已知函数()()21+2||02()1()102x x x x f x x ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩．（1）画出函数()f x 的图像，并根据图像写出函数()f x 的单调区间和值域；（2）根据图像求不等式3(x)2f ≥的解集（写答案即可）22．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】已知函数()()2ln R f x x ax x a =-+-∈.（1）若函数()f x 是单调递减函数，求实数a的取值范围； （2）若函数()f x 在区间()0,3上既有极大值又有极小值，求实数a 的取值范围.23．已知集合A={x|x ＜﹣1，或x ＞2}，B={x|2p ﹣1≤x ≤p+3}． （1）若p=，求A ∩B ；（2）若A ∩B=B ，求实数p 的取值范围．24．已知斜率为2的直线l被圆x2+y2+14y+24=0所截得的弦长为，求直线l的方程．郑州市一中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题1．【答案】B【解析】考点：正弦定理的应用.2．【答案】D【解析】解：∵f（x）=ax3﹣3x2+1，∴f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；①当a=0时，f（x）=﹣3x2+1有两个零点，不成立；②当a＞0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上有零点，故不成立；③当a＜0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（0，+∞）上有且只有一个零点；故f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上没有零点；而当x=时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上取得最小值；故f（）=﹣3•+1＞0；故a＜﹣2；综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）；故选：D．3．【答案】B【解析】解：因为AD•（BC•AC•sin60°）≥V D﹣ABC=，BC=1，即AD•≥1，因为2=AD+≥2=2，当且仅当AD==1时，等号成立，这时AC=，AD=1，且AD ⊥面ABC ，所以CD=2，AB=，得BD=，故最长棱的长为2．故选B ．【点评】本题考查四面体中最长的棱长，考查棱锥的体积公式的运用，同时考查基本不等式的运用，注意等号成立的条件，属于中档题．4． 【答案】C【解析】解：sin45°sin105°+sin45°sin15°=cos45°cos15°+sin45°sin15°=cos （45°﹣15°） =cos30°=．故选：C ．【点评】本题主要考查了诱导公式，两角差的余弦函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．5． 【答案】D【解析】∵120PF PF ⋅=，∴12PFPF ⊥，即12PF F ∆为直角三角形，∴222212124PF PF F F c +==，12||2PF PF a -=，则222221212122()4()PF PF PF PF PF PF c a ⋅=+--=-， 2222121212()()484PF PF PF PF PF PF c a +=-+⋅=-.所以12PF F ∆内切圆半径12122PF PF F F r c +-==，外接圆半径R c =.c =，整理，得2()4ca=+1e =，故选D. 6． 【答案】A【解析】解：由于函数y=sin （3x+）=sin[3（x+）]的图象向右平移个单位，即可得到y=sin[3（x+﹣）]=sin3x 的图象，故选：A ．【点评】本题主要考查函数y=Asin （ωx+∅）的图象平移变换，属于中档题．7． 【答案】C【解析】解：由于f （x ）=x 2﹣2ax 的对称轴是直线x=a ，图象开口向上，故函数在区间（﹣∞，a]为减函数，在区间[a ，+∞）上为增函数，又由函数f （x ）=x 2﹣2ax ，x ∈[1，+∞）是增函数，则a ≤1．故答案为：C8． 【答案】D【解析】解：∵PD ⊥矩形ABCD 所在的平面且PD ⊆面PDA ，PD ⊆面PDC ， ∴面PDA ⊥面ABCD ，面PDC ⊥面ABCD ， 又∵四边形ABCD 为矩形 ∴BC ⊥CD ，CD ⊥AD ∵PD ⊥矩形ABCD 所在的平面 ∴PD ⊥BC ，PD ⊥CD ∵PD ∩AD=D ，PD ∩CD=D∴CD ⊥面PAD ，BC ⊥面PDC ，AB ⊥面PAD ， ∵CD ⊆面PDC ，BC ⊆面PBC ，AB ⊆面PAB ，∴面PDC ⊥面PAD ，面PBC ⊥面PCD ，面PAB ⊥面PAD 综上相互垂直的平面有5对 故答案选D9． 【答案】D 【解析】由绝对值的定义及||2x ≤，得22x -≤≤，则{}|22A x x =-≤≤，所以{}1,2A B =，故选D.10．【答案】B【解析】解：：①sin100°＞0，②cos （﹣100°）=cos100°＜0，③tan （﹣100°）=﹣tan100＞0，④∵sin＞0，cos π=﹣1，tan＜0，∴＞0，其中符号为负的是②， 故选：B ．【点评】本题主要考查三角函数值的符号的判断，判断角所在的象限是解决本题的关键，比较基础．11．【答案】C【解析】解：令log 2（x 2+1）=0，得x=0，令log2（x2+1）=1，得x2+1=2，x=±1，令log（x2+1）=2，得x2+1=4，x=．2则满足值域为{0，1，2}的定义域有：{0，﹣1，﹣}，{0，﹣1，}，{0，1，﹣}，{0，1，}，{0，﹣1，1，﹣}，{0，﹣1，1，}，{0，﹣1，﹣，}，{0，1，﹣，}，{0，﹣1，1，﹣，}．则满足这样条件的函数的个数为9．故选：C．【点评】本题考查了对数的运算性质，考查了学生对函数概念的理解，是中档题．12．【答案】B【解析】解：∵①若m∥l，m⊥α，则由直线与平面垂直的判定定理，得l⊥α，故①正确；②若m∥l，m∥α，则l∥α或l⊂α，故②错误；③如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面ABB1A1∩平面ABCD=AB，平面ABB1A1∩平面BCC1B1=BB1，平面ABCD∩平面BCC1B1=BC，由AB、BC、BB1两两相交，得：若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，则l∥m∥n不成立，故③是假命题；④若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，n∥β，则由α∩γ=n知，n⊂α且n⊂γ，由n⊂α及n∥β，α∩β=m，得n∥m，同理n∥l，故m∥l，故命题④正确．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．二、填空题13．【答案】120 【解析】考点：解三角形．【方法点晴】本题主要考查了解三角形问题，其中解答中涉及到三角形的正弦定理、余弦定理的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于基础题，本题的解答中根据sin :sin :sin 3:5:7A B C =，根据正弦定理，可设3,5,7a b ===，即可利用余弦定理求解最大角的余弦，熟记正弦、余弦定理的公式是解答的关键．14．【答案】．【解析】解：角α终边上一点为P （﹣1，2）， 所以tan α=﹣2．===﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查二倍角的正切函数，三角函数的定义的应用，考查计算能力．15．【答案】70【解析】81()x x -的展开式通项为8821881()(1)r r r r r rr T C x C x x--+=-=-，所以当4r =时，常数项为448(1)70C -=.16．【答案】 y=﹣1.7t+68.7【解析】解： =， ==63.6．=（﹣2）×4.4+（﹣1）×1.4+0+1×（﹣1.6）+2×（﹣2.6）=﹣17．=4+1+0+1+2=10．∴=﹣=﹣1.7.=63.6+1.7×3=68.7．∴y 关于t 的线性回归方程为y=﹣1.7t+68.7．故答案为y=﹣1.7t+68.7．【点评】本题考查了线性回归方程的解法，属于基础题．17．【答案】②【解析】解：由MP，OM分别为角的正弦线、余弦线，如图，∵，∴OM＜0＜MP．故答案为：②．【点评】本题的考点是三角函数线，考查用作图的方法比较三角函数的大小，本题是直接比较三角函数线的大小，在大多数此种类型的题中都是用三角函数线比较三个函数值的大小．18．【答案】[4，16]．【解析】解：直线l：（t为参数），化为普通方程是=，即y=tanα•x+1；圆C的参数方程（θ为参数），化为普通方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=64；画出图形，如图所示；∵直线过定点（0，1），∴直线被圆截得的弦长的最大值是2r=16，最小值是2=2×=2×=4∴弦长的取值范围是[4，16]．故答案为：[4，16]．【点评】本题考查了直线与圆的参数方程的应用问题，解题时先把参数方程化为普通方程，再画出图形，数形结合，容易解答本题．三、解答题19．【答案】【解析】（Ⅰ）证明：取CD的中点E，连接PE、EM、EA∵△PCD为正三角形∴PE⊥CD，PE=PDsin∠PDE=2sin60°=∵平面PCD⊥平面ABCD∴PE⊥平面ABCD∵四边形ABCD是矩形∴△ADE、△ECM、△ABM均为直角三角形由勾股定理得EM=，AM=，AE=3∴EM2+AM2=AE2，∴∠AME=90°∴AM⊥PM（Ⅱ）解：设D点到平面PAM的距离为d，连接DM，则V P﹣ADM=V D﹣PAM∴而在Rt△PEM中，由勾股定理得PM=∴∴∴，即点D 到平面PAM 的距离为20．【答案】【解析】解：（Ⅰ）依题意得|QF|=y Q +=+=1，解得p=1，∴抛物线C 的方程为x 2=2y ；（Ⅱ）（ⅰ）∵直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点， ∴直线l 的斜率存在，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），直线l 的方程为：y=kx+2，联立方程组，化简得：x 2﹣2kx ﹣4=0，此时△=（﹣2k ）2﹣4×1×（﹣4）=4（k 2+4）＞0，由韦达定理，得：x 1+x 2=2k ，x 1x 2=﹣4，∴S △AOB =|OM|•|x 1﹣x 2|=×2==2（*）又∵A 点横坐标为n ，∴点A 坐标为A （n ，），又直线过点M （0，2），故k==﹣，将上式代入（*）式，可得：f （n ）=2=2=2=n+（n ∈N *）；（ⅱ）结论：当A 点坐标为（1，）或（4，8）时，对应不同的△AOB 的面积相等． 理由如下：设存在不同的点A m （m ，），A n （n ，）（m ≠n ，m 、n ∈N *），使对应不同的△AOB 的面积相等，则f （m ）=f （n ），即m+=n+，化简得：m ﹣n=﹣=，又∵m ≠n ，即m ﹣n ≠0，∴1=，即mn=4，解得m=1，n=4或m=4，n=1，此时A 点坐标为（1，），（4，8）．【点评】本题考查抛物线的定义及其标准方程、直线与抛物线的位置关系、函数的性质等基础知识，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程的思想、数形结合思想、化归与转化思想，注意解题方法的积累，属于中档题．21．【答案】（1）图象见答案，增区间：(],2-∞-，减区间：[)2,-+∞，值域：(],2-∞；（2）[]3,1--。
2019-2020学年河南省郑州市第一中学高二上学期入学测试数学试题(解析版)
2019-2020学年河南省郑州市第一中学高二上学期入学测试数学试题一、单选题1．下列说法正确的是（ ）A ．数列1，-2，-3，-4，…是一个摆动数列B ．数列-2，3，6，8可以表示为{}2,3,6,8-C ．{}n a 和n a 是相同的概念D ．每一个数列的通项公式都是唯一确定的 【答案】A【解析】利用数列的定义及其性质即可判断出结论． 【详解】根据摆动数列的概念，A 正确；数列2-，3，6，8 不能表示为集合{2-，3，6，8}，数列和元素顺序有关，集合和元素顺序无关，故B 错误．{}n a 表示数列的全部的项，而n a 表示数列的第n 项，不是同一概念，故C 错；数列的通项公式可以有多个，D 错误． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了数列的定义及其性质，考查推理能力，属于基础题． 2．数列7，9，11，…，21n -的项数是（ ） A ．3n - B ．2n -C ．1n -D ．n【答案】A【解析】设数列有x 项，解方程217(1)225n x x -=+-⋅=+即可得出此数列的项数． 【详解】由题得数列是一个等差数列，设数列有x 项，由等差数列的通项得217(1)225,n x x -=+-⋅=+所以3x n =-.∴此数列的项数是3n -．故选：A ． 【点睛】本题主要考查等差数列的通项的基本量的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.3．《九章算术》是我国第一部数学专著，下有源自其中的一个问题：“今有金箠（chuí），长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问金箠重几何？”其意思为：“今有金杖（粗细均匀变化）长5尺，截得本端1尺，重4斤，截得末端1尺，重2斤.问金杖重多少？” 则答案是（ ） A ．14斤 B ．15斤C ．16斤D ．17斤【答案】B【解析】由题意可知等差数列的首项和第五项，由等差数列前n 项和公式可得答案． 【详解】由题意可知等差数列中14a =，52a =， 则1555()152a a S +==． ∴金杖重15斤．故选：B ． 【点睛】本题考查了数学文化、等差数列的通项公式及前n 项和的公式，属于基础题．4．已知等差数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，则过()11,P a ，()22,Q a 两点的直线的斜率是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，则12a =，212226a a +=+=，解得1a ，2a ．利用斜率计算公式即可得出． 【详解】数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，则12a =，212226a a +=+=， 解得12a =，24a =．则过1(1,)P a ，(Q 2，2a )两点的直线的斜率21221a a -==-． 故选：B ． 【点睛】本题考查了数列递推关系、通项公式、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．在等差数列{}n a 中，23452534,52a a a a a a +++=⋅=，且42a a >，则5a =（ ） A ．11 B ．12C ．13D ．14【答案】C【解析】由等差数列性质得2345252()34a a a a a a +++=+=，即2517a a +=，然后与2552a a =联立方程组可求得5a ．【详解】∵42a a >，∴等差数列{}n a 是递增数列．∴52a a >．由数列{}n a 是等差数列，得2345252()34a a a a a a +++=+=，即2517a a +=， 由25251752a a a a +=⎧⎨=⎩，∴25413a a =⎧⎨=⎩（25134a a =⎧⎨=⎩舍去），故选：C ． 【点睛】本题考查等差数列的性质，掌握等差数列的性质是解题基础．等差数列{}n a 中，,,,m n p q N ∈，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+．6．若数列{}n a 是公差为1的等差数列，则数列{}2122n n a a -+是（ ） A ．公差为3的等差数列 B ．公差为4的等差数列 C ．公差为6的等差数列 D ．公差为9的等差数列【答案】C【解析】构造新数列2122n n n c a a -=+，求出相邻两项的差，利用等差数列的定义，即可得到结论． 【详解】设{}n a 的公差为d ，则1d =，设2122n n n c a a -=+，则121222n n n c a a +++=+， 121222122266n n n n n n c c a a a a d +++-∴-=+--==，故选：C ． 【点睛】本题重点考查等差关系的确定，考查等差数列的定义，直接利用等差数列的定义判断是关键． 7．已知在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,60,43A b ∠=︒=,若此三角形有且只有一个,则a 的取值范围是（ ） A ．043a << B ．6a = C ．43a ≥或6a = D ．043a <≤【答案】C【解析】根据题意求出sin 6b A =,然后数形结合可得a 的范围． 【详解】由60,43A b ∠=︒=,正弦定理可得3sin 436b A =⨯=；∵这样的三角形有且只有一个,∴43a ≥6a =； 故选C ． 【点睛】本题考查正弦定理的应用,考查三角形解的情况,考查特殊角的三角函数值,属于基础题． 8．在钝角ABC ∆中，已知3AB =1AC =，30B ∠=︒，则ABC ∆的面积是（ ） A 3B 3C ．32D ．34【答案】A【解析】利用余弦定理列出关系式，把c ，b ，以及cos B 的值代入求出a 的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC 面积． 【详解】Q在钝角ABC ∆中，已知AB c =1AC b ==，30B ∠=︒，∴由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即2133a a =+-，解得1a =或2a =，当1a =时，a b =，即30A B ==︒∠∠，此时120C ∠=︒，满足题意，ABC ∆的面积1sin 2S ac B =； 当2a =时，满足222a b c =+，即ABC ∆为直角三角形，不合题意，舍去，所以ABC ∆ 故选：A ． 【点睛】此题考查了余弦定理以及三角形面积公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．9．在ABC V 中，边a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且满足()cos 3cos b C a c B =-，若4BC BA ⋅=u u u r u u u r，则ac 的值为 ()n n A ．12 B ．11C ．10D ．9【答案】A【解析】利用正弦定理把题设等式中的边换成角的正弦，进而利用两角和公式化简整理可得cos B 的值，由4BC BA ⋅=u u u r u u u r可得ac 的值【详解】在ABC n 中，()3bcosC a c cosB =-Q由正弦定理可得()sin cos 3sin sin cos B C A C B =-3sin cos sin cos sin cos A B C B B C ∴-=化为：3sin cos sin cos sin cos A B C B B C =+即()sin sin B C A +=在ABC n 中，sin 0A ≠，故1cos 3B =4BC BA ⋅=u u u r u u u rQ ,可得cos 4ac B =，即12ac = 故选A 【点睛】本题以三角形为载体，主要考查了正弦定理，向量的数量积的运用，考查了两角和公式，考查了分析问题和解决问题的能力，属于中档题。
河南省郑州市第一中学2019-2020学年高二上学期入学测试 数学试题含答案
石家庄二中2019--2020学年度第一学期开学考试一、选择题（每题5分，共60分）1.若,,,,b a R c b a >∈且则下列不等式成立的是( ) A.22b a > B.b a 11< C.c b c a > D.1122+>+c bc a 2.若ABC B A ∆是,的内角，且,sin sin B A >则B A 与的关系正确的是( ) A. B A < B. B A > C. 2π>+B A D.无法确定3.已知实数1,,,9a x b --，依次成等比数列，则实数x 的值为( ) A. 3或－3 B. 3 C.－3 D.不确定4．过点()01，且与直线022=--y x 垂直的直线方程为（ ） A ．012=--y xB ．012=+-y xC ．022=-+y xD ．012=-+y x5.如图，一圆锥形物体的母线长为4，其侧面积为π4，则这个圆锥的体积为（ ） A ．315B ．338 C ．π315 D ．π338 6.已知n m ，是两条不同的直线，βα,是两个不同的平面，若,,βα⊂⊂n m 则下列命题正确的是（ ） A ．若//n α，//m β，则//αβ B ．若ββα⊥⊥=⋂m l m l 则且,, C ．若//m n ，//m β，则//αβ D ．若l αβ=I ，且//m l ，则//m β7．已知,,a b c 分别为ABC ∆内角,,A B C 的对边,若45,30B C =︒=︒,b=2则a =( ) A ．62+ B ．62+ C ．62- D ．62- 8.若P (2，－1)为圆C ：(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是( ) A ．052=--y x B ．032=-+y x C ．01=-+y x D ．03=--y x9．已知正数x ，y 满足x+y=1，则yx ++141的最小值为（ ）A. 5B.143 C. 92D.2 10．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，145DAD ∠=o ，130CDC ∠=o，那么异面直线1AD 与1DC 所成角的余弦值是（ ） A ．24B ．28C ．3 D ．3 11．已知数列{}n a 的通项公式21021n a n n =-+-，前n 项和为n S ，若>n m ，则n m S S -的最大值是（ ）A ．5B ．10C ．15D ．2012．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2π,43BAC AP ∠==，23AB AC ==，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．32πB ．48πC ．64πD ．72π二、填空题（每题5分，共20分）13、直线210mx y m +--=恒过定点_________. 14、ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知12b =，23B π=，则ABC S V 的最大值为________15、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11=n n n n S S S S ++-⋅，且112a =-，则20191S =_________. 16、设圆221:(5)(2)4C x y -++=圆222:(7)(1)25C x y -++=.点,A B 分别是圆12,C C 上的动点，P为直线y x =上的动点，则PA PB +的最小值为_________.三、解答题（每题10分，共40分）17．在长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，E 是AB 的中点，F 是1BB 的中点. （1）求证：//EF 平面11A DC ；（2）若123AA =，求二面角11E A D C --的正弦值.18.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足：()2222sin sin b c a C c B +-=. （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若1a =，求b c +的最大值.19.设n S 为正项数列{}n a 的前n 项和，且满足2243n n n a a S +=+.（1）求{}n a 的通项公式； （2）令11n n n b a a +=，12n n T b b b =+++…，若n T m <恒成立，求m 的取值范围.20．已知两个定点(0,4),(0,1)A B ，动点P 满足||2||PA PB =.设动点P 的轨迹为曲线E ，直线:4l y kx =-.（1）求曲线E 的轨迹方程；（2）若l 与曲线E 交于不同的,C D 两点，且120COD ︒∠=（O 为坐标原点），求直线l 的斜率； （3）若1k =， Q 是直线l 上的动点，过Q 作曲线E 的两条切线,QM QN ，切点为,M N ，试研究直线MN 是否过定点.2019--2020学年度第一学期开学考试数学答案1. 【答案】D2. 【答案】B3. 【答案】C4. 【答案】C 【解析】由于直线220x y --=的斜率为12，故所求直线的斜率等于2-， 所求直线的方程为02(1)y x -=--，即220x y +-=，故选：C ．5. 【答案】C 【解析】:圆锥的展开图为扇形，半径R 4=，侧面积为为扇形的面积，所以扇形的面积,42121πα==R S 解得2πα= ，所以弧长,2πα==R l 所以底面周长为2π，由此可知底面半径r 1=，所以底面面积为S π=，体高为h 15=，故圆锥的体积115V 3Sh π==，故选C.6.【答案】D 【解析】：对于A ，若n ∥α，m ∥β，则α∥β或α与β相交，故错；对于B ，若α∩β＝l ，且m ⊥l ，则m 与β不一定垂直，故错；对于C ，若m ∥n ，m ∥β，则α与β位置关系不定，故错；对于D ，∵α∩β＝l ，∴l ⊂β，∵m ∥l ，则m ∥β，故正确．故选：D ． 7.【答案】B 【解析】45B =︒Q ，30C =︒，2b =，∴由正弦定理sin sin b c B C=，可得：12sin 21sin 2b C c B ⨯===g ， ∴由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得：2210a a -=-，解得：6+2a =，负值舍去．8.【答案】D 【解析】圆心()0,1C ，()12110-=---=PC k ， 则1=ABk ，AB 的方程为21-=+x y ，即03=--y x ，故选D .9.【答案】C10.【答案】A 【解析】连接1AB ，11B D ,如图11//AD B C Q ∴四边形11ADC B 为平行四边形11//AB C D ∴∴异面直线1AD 与1DC 所成角即为1AD 与1AB 所成角，即11B AD ∠设11DD CC a ==145DAD ∠=o Q ，130C DC ∠=oAD a ∴=，3CD a =12AD a ∴=，12AB a =，112B D a =在11AB D ∆中，由余弦定理得：222222*********cos 24222AB AD B D B AD AB AD a a +-∠===⋅⨯⨯正确选项：A11.【答案】B 【解析】数列{}n a 的通项公式21021(3)(7)n a n n n n =-+-=---当37n ≤≤时0n a ≥，当2n ≤或8n ≥是0n a <n S 最大值为6S 或7S ，m S 最小值为2S 或3Sn m S S -的最大值为6345634310S S a a a -=++=++= 故答案为B12.【答案】C 【解析】在ABC △中，23AB AC ==，23BAC π∠=，可得6ACB π∠=，则ABC △的外接圆的半径2323π2sin 2sin 6AB r ACB ===，取ABC △的外接圆的圆心G ，过G 作//GO AP ，且122GO AP ==， 因为PA ⊥平面ABC ，所以点O 为三棱锥P ABC -的外接球的球心，则222OA OG AG =+，即外接球半径()222234R =+=，则三棱锥P ABC -的外接球表面积为24π4π1664πR =⨯=.故选C.13.【答案】112（，）【解析】由题得1210(21)(1)0,,2101x x m x y y y ⎧-==⎧⎪-+-=∴∴⎨⎨-=⎩⎪=⎩，所以直线过定点112（，）. 14.【答案】3【解析】由23B π=，又12b =，由余弦定理得222222cos 3b a c ac B a c ac ac =+-=++≥，112ac ∴≤，故13sin 248ABC S ac B =≤V . 15.【答案】2020- 【解析】11=()n n n n S S S S n N *++-⋅∈,1111()n nn N S S *+-=-∈， 所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1-为公差的等差数列，11112S a ==-，所以等差数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式为2019112(1)(1)12020n n n S S =-+-⋅-=--⇒=-. 16.【答案】3137-【解析】可知圆C 1的圆心（5，﹣2），r ＝2，圆C 2的圆心（7，﹣1），R ＝5，如图所示：对于直线y ＝x 上的任一点P ，由图象可知，要使|PA |+|PB |的得最小值， 则问题可转化为求|PC 1|+|PC 2|﹣R ﹣r ＝|PC 1|+|PC 2|﹣7的最小值， 即可看作直线y ＝x 上一点到两定点距离之和的最小值减去7， 又C 1关于直线y ＝x 对称的点为C 1′（﹣2，5），由平面几何的知识易知当C 1′与P 、C 2共线时，|PC 1|+|PC 2|取得最小值，即直线y ＝x 上一点到两定点距离之和取得最小值为|C1′C2|∴|PA|+|PB|的最小值为 ＝﹣7．17.解：（1）证明：连接1AB ，∵,E F 分别为1,AB BB 的中点，∴1//EF AB ∵长方体1111ABCD A B C D -中，11AD B C =，11//AD B C ， ∴四边形11ADC B 是平行四边形，∴11//AB DC ，∴1//EF DC∵EF ⊄平面11A DC ，1DC ⊂平面11A DC ，∴//EF 平面11A DC ---------------4分 （2）解：在长方体中，分别以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立如图所示空间直角坐标系， 则(0,0,0)D ，(2,0,0)A ，(2,2,0)B ，(2,1,0)E ，1(2,0,23)A ，1(0,2,23)C ，--------5分 ∴11(2,2,0)AC =-u u u u r ，1(2,0,23)DA =u u u u r ，1(0,1,23)EA =-u u u r ， 设平面11A DC 的一个法向量(,,)m x y z =u r，则222230x y x z -+=+=，取3x =，则(3,3,3)m =-u r，--------6分同样可求出平面1A DE 的一个法向量(3,23,1)n =--r----7分∴237cos ,14||||2116m n m n m n ⋅-〈〉===-⋅u r ru r r u r r ∴二面角11E A D C --的正弦值为321.---------10分18.解：（I ）由正弦定理得：()2222b c ac c b +-=，因为0c ≠，所以222b c a bc +-=，所以由余弦定理得：2221cos 22b c a A bc +-==， 又在ABC ∆中，0A π<<，所以3A π=. ------5分（II ）方法1：由（I ）及=1a ，得221b c bc +=+，即2()31b c bc +=+，因为22b c bc +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，（当且仅当=b c 时等号成立） 所以223()()14b c b c +≤++. 则2b c +≤（当且仅当==1b c 时等号成立） 故b c +的最大值为2. ------10分19.解：（1）由题知：0n a >，2243n n n a a S +=+……①令1n =得：2111243a a S +=+，解得：13a =------------------1分当2n ≥时，2111243n n n a a S ---+=+……②①-②得：()()1120n n n n a a a a --+--= ------2分 ②- ∴120n n a a -∴--=，即12n n a a --=-------------3分{}n a ∴是以3为首项，2为公差的等差数列 ()32121n a n n ∴=+-=+经验证13a =满足21n a n =+ 21n a n ∴=+-------------5分 （2）由（1）知：()()1111212322123n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭-----6分1111111111112355721232323646n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯-+-+⋅⋅⋅+-=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦-------------8分 1046n >+Q 16n T ∴< ---------9分 16m ∴≥ 即1,6m ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭-----------10分20.（1）设点P 的坐标为(,)x y ，由||2||PA PB =可得，2222(4)2(1)x y x y +-=+-， 整理可得224x y +=，所以曲线E 的轨迹方程为224x y +=. -------------3分（2）依题意，2OC OD ==，且120COD ︒∠=，则点O 到CD 边的距离为1 即点(0,0)O 到直线:40l kx y --=1=，解得k =，所以直线l的斜率为分（3）依题意，,ON QN OM QM ⊥⊥，则M N ，都在以OQ 为直径的圆F 上Q 是直线:4l y x =-上的动点，设(,4)Q t t -，则圆F 的圆心为4,22t t -⎛⎫⎪⎝⎭，且经过坐标原点，即圆的方程为22(4)0x y tx t y +---= ，又因为,M N 在曲线22:4E x y +=上，由22224(4)0x y x y tx t y ⎧+=⎨+---=⎩，可得(4)40tx t y +--=即直线MN 的方程为(4)40tx t y +--=，由t R ∈且()440t x y y +--=可得，0440x y y +=⎧⎨+=⎩解得11x y =⎧⎨=-⎩，所以直线MN 是过定点(1,1)-.----------------10分。
2018-2019学年河南省郑州市第一中学高二上学期入学测试数学试题(word)
2018-2019学年河南省郑州市第一中学高二上学期入学测试数学试题说明：1．试卷分第I卷和第II卷，满分150分，时间120分钟．2．将第I卷和第II卷的答案填涂在答题卡相应的答题栏内．第I卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知x1，x2，…，x n的平均数为10，标准差为2，则2x i -1，2x2 -1，…，2x n -1的平均数和标准差分别为( )A．19和2 B．19和4 C．20和2 D．20和42．在三棱锥的六条棱中任意选择两条，则这两条棱是一对异面直线的概率为( ) A．B．C．D．3．函数的最小正周期为π，若其图象向左平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数f(x)的图象( )A．关于直线x=一对称B．关于点对称C．关于点对称D．关于直线x= 对称4．满足条件a=4，b=5，A=45°的△ABC的个数为( )A． 1 B． 2 C．无数个不存在5．已知向量，向量，则的最大值与最小值的和为( ) A．4 B．4C．16 D．4+46．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别a，b，c，已知a= ，c=2，cosA= ，则b的值为( )A．B．C．2 D．37．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且其面积则角C的度数为( )．A．B．C．D．8．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+ c2= a2+ bc. 若sinB·sinC=sin2A，则△ABC的形状是( )A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形9．已知．则的值等于( )A．B．C．D．10. tan10°tan 20°+ tan 20°tan 60° + tan 60° tan10° = ( )A, 1 B. 2 C, tan10° D. tan20°11.设，不等式8x2一(8 sin a)x+cos2a≥0对x∈R恒成立，则a的取值范围为( )A．B．C．D．12．定义向量一种运算“”如下：对任意的令，下面错误的是( )A．若与共线，则B．C．对任意的，有D．第II卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．在平行四边形ABCD中，O是两对角线AC，BD的交点，设点集S={A，B，C，D，O}，向量集合T={|M，N∈S，且M，N不重合} ，则集合T中元素的个数为．14.利用随机模拟方法计算y=x2与y=4围成的面积时，先利用计算器产生两组[0，1]区间上的均匀随机数a l=RAND，b1=RAND，然后进行平移与伸缩变换a=4a1-2，b= 4b1．试验进行了100次，前98次中，落在所求面积区域内的样本点数为65,己知最后两次试验的随机数为(0.3，0.08)，(0.4，0.3)，那么本次模拟得到的面积的近似值为（保留小数点后两位）．15．己知=3，=4，与的夹角为60°，则与的夹角余弦值为．16.在△ABC中，角A，B、C所对的边分别为a，b，c，其中a=2，c=3，且满足(2a-c) cosB=bcosC，则= .三，解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.化简(1)(2)18．若点(p，q)，在|p|<3，|q|≤3中按均匀分布出现．(1)点M(x，y)横、纵坐标分别由掷骰子确定，第一次确定横坐标，第二次确定纵坐标，则点M(x，y)落在上述区域的概率？(2)试求方程x2 +2 px - q2 +1=0有两个实数根的概率．19,某中学团委组织了“弘扬奥运精神，爱我中华”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后画出如下部分频率分布直方图．观察图形给出的信息，回答下列问题：(1)求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图：(2)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分；(3)从成绩是[40，50)和[90，100]的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率。
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2 0届高二入学测试数学试题
说明：1．试卷分第I卷和第II卷，满分150分，时间120分钟．
2．将第I卷和第II卷的答案填涂在答题卡相应的答题栏内．
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．已知x1，x2，…，x n的平均数为10，标准差为2，则2x i -1，2x2 -1，…，2x n -1的平均数和标准差分别为( )
A．19和2 B．19和4 C．20和2 D．20和4
2．在三棱锥的六条棱中任意选择两条，则这两条棱是一对异面直线的概率为( ) A．B．C．D．
3．函数的最小正周期为π，若其图象向左平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数f(x)的图象( )
A．关于直线x=一对称B．关于点对称
C．关于点对称D．关于直线x= 对称
4．满足条件a=4，b=5，A=45°的△ABC的个数为( )
A． 1 B． 2 C．无数个不存在
5．已知向量，向量，则的最大值与最小值的和为( ) A．4 B．4C．16 D．4+4
6．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别a，b，c，已知a= ，c=2，cosA= ，则b 的值为( )
A．B．C．2 D．3
7．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且其面积则角C的度数为( )．
A．B．C．D．
8．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+ c2= a2+ bc. 若sinB·sinC=sin2A，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形
9．已知．则的值等于( )
A．B．C．D．
tan 60°
tan10°
= ( )
+ tan 60°
10. tan10°
tan 20°
+ tan 20°
A, 1 B. 2 C, tan10° D. tan20°
11.设，不等式8x2一(8 sina)x+cos2a≥0对x∈R恒成立，则a的取值范围为( ) A．B．C．D．
12．定义向量一种运算“”如下：对任意的令，下面错误的是( )
A．若与共线，则B．
C．对任意的，有D．
第II卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．在平行四边形ABCD中，O是两对角线AC，BD的交点，设点集S={A，B，C，D，O}，向量集合T={|M，N∈S，且M，N不重合} ，则集合T中元素的个数为．
14.利用随机模拟方法计算y=x2与y=4围成的面积时，先利用计算器产生两组[0，1]区间上的均匀随机数a l=RAND，b1=RAND，然后进行平移与伸缩变换a=4a1-2，b= 4b1．试验进行了100次，前98次中，落在所求面积区域内的样本点数为65,己知最后两次试验的随机数为(0.3，0.08)，(0.4，0.3)，那么本次模拟得到的面积的近似值为（保留小数点后两位）．
15．己知=3，=4，与的夹角为60°，则与的夹角余弦值为．16.在△ABC中，角A，B、C所对的边分别为a，b，c，其中a=2，c=3，且满足(2a-c) cosB=bcosC，则= .
三，解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.化简(1)
(2)
18．若点(p，q)，在|p|<3，|q|≤3中按均匀分布出现．
(1)点M(x，y)横、纵坐标分别由掷骰子确定，第一次确定横坐标，第二次确定纵坐标，
则点M(x，y)落在上述区域的概率？
(2)试求方程x2 +2 px - q2 +1=0有两个实数根的概率．
19,某中学团委组织了“弘扬奥运精神，爱我中华”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出
60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后画出如下部分频率分布直方图．观察图形给出的信息，回答下列问题：
(1)求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图：
(2)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分；
(3)从成绩是[40，50)和[90，100]的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率。
20.在△ABC中，向量向量且满足
(1)求角B的大小；
(2)求sin2A+sin2C的取值范围及sinAsinC的最大值．
21.△ABC中，角A，B,C所对边分别是a、b、c，且.
(1)求的值;
(2)若a=，求△ABC面积的最大值．
22.如图，某湖泊湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台P。
己知射线AB，AC为湿地两边夹角为120°的公路（长度均超过2
千米），在两条公路AB, AC上分别设立游客接送点M，N从观景台P
到M，N建造两条观光线路PM，PN，测得AM =2千米，AN=2千米．
(1)求线段MN的长度：
(2)若∠MPN=60°，求两条观光线路PM与PN之和的最大值。