数学概念的发现教学模式与案例
小学数学四种课型的教学模式和典型案例
小学数学四种课型的教学模式和典型案例（仅供参考）一、数学新授课的教学模式：1、创设情境2、建立模型3、解释与应用二、数学练习课的教学模式：1、情境导入，范例精解（明确目标，激发参与）2、启发回顾，巩固基础3、比较分析，强化认识4、应用实践，拓展延伸三、数学复习课的教学模式：1、交流回顾、调整起点2、自主梳理、引导建构3、综合练习、整体提升四、数学实践活动课的教学模式1、创设情境，提出问题（自主设计实践方案）2、自主实践，解决问题3、交流拓展，反思延伸新授课案例《平移与旋转》一、创设情境，初步感受平移与旋转随着优美的旋律，吴老师带领孩子们一起进入游乐园参观，并请孩子们跟随活动的画面用自己的动作和声音把看到的表演出来。
屏幕上展现出各种游乐项目，有激流勇进、波浪飞椅、弹射塔、勇敢者转盘、滑翔索道。
一张张小脸上露出兴奋的表情，同学们时而发出“嗖——嗖”的声音，时而高举手臂上下移动，尽情地表演着。
录像一停，吴老师开始了与学生的交流。
“刚才我们看到这么多的游乐项目，能按它们不同的运动方式分分类吗”生1：“激流勇进是直直地下冲的，可以叫它下滑类。
”生2：“我认为观缆车、波浪飞椅、勇敢者转盘可以分为一类，因为它们是旋转的。
”吴老师紧接着问：“其他的呢”生2：“弹射塔是向上弹射的，滑翔索道是往下滑的，它们和激流勇进可以分为一类。
”“刚才你们看到了不同的运动方式，像这样的——”只见吴老师用手势表示着旋转的动作“你们能给他起个名字吗”学生异口同声地说：“叫旋转。
”老师又接着用手势做出平移的动作，问：“像这样呢”几个学生小声说：可以叫“平移。
”吴老师抓住时机，“好，就用你们说的来命名。
”她边说边板书“旋转”、“平移”。
吴老师带领学生回顾生活，在观察中同学们发现了游乐园里平移与旋转现象，体会到数学就在身边。
接下来，吴老师请6名小朋友到黑板前，选择自己喜欢的游乐项目先用动作进行表演再将它归类，把所选项目的图片对应地板贴在“旋转”或“平移”的下面。
数学中的数学教学模式
数学中的数学教学模式在数学教学中，教师可以采用各种不同的教学模式来帮助学生理解数学概念和解决数学问题。
本文将介绍数学中常用的几种教学模式，并探讨它们的优势和适用场景。
一、直观模式直观模式是指通过具体的物体、实物或图形来进行教学。
这种模式能够帮助学生直观地理解数学概念，加深对数学规律的认识。
例如，在教授分数概念时，教师可以使用一块蛋糕，并将其切割成几份，让学生观察和比较不同分数的大小和关系。
这种模式适用于初学者，特别是幼儿和小学生。
二、启发模式启发模式是指通过启发学生自主探索和发现数学规律。
教师在这种模式下不直接给出答案，而是引导学生提出问题、提供问题的背景和条件，让学生通过观察、实验和推理来寻找解决方法。
例如，在教授面积和周长的关系时，教师可以给学生一些图形，让他们自己探索并总结出结论。
这种模式培养了学生的思维能力和问题解决能力，适用于培养学生创新精神和探索精神的阶段。
三、归纳演绎模式归纳演绎模式是指通过具体的实例引导学生总结出一般规律。
教师首先给出一些具体的例子，然后让学生归纳出其中的规律，并应用到更广泛的问题中。
例如，在教授等差数列时，教师可以给学生一些数字，让他们找出规律，并预测下一个数字。
这种模式培养了学生的归纳推理能力，适用于培养学生抽象思维和逻辑思维能力的阶段。
四、解释模式解释模式是指通过解释和演示来进行数学教学。
教师在这种模式下通过语言、图表、公式等方式向学生阐述数学概念和解题方法。
例如，在教授平面几何时，教师可以通过绘制示意图和演示证明过程来帮助学生理解定理。
这种模式适用于掌握一定基础知识的学生，特别是深入理解数学原理和定理的过程。
综上所述，数学教学模式是指教师在教学过程中采用的方法和方式。
不同的教学模式适用于不同的教学目标和学生群体。
教师可以根据具体情况选择合适的模式，创造积极的学习氛围，激发学生的学习兴趣和潜能。
通过合理运用各种教学模式，可以提高数学教学的效果，培养学生的数学思维和解决问题的能力，进一步推动数学教育的发展。
基于核心素养的数学概念教学案例设计与分析以初中《函数的概念》的教学为例
基于核心素养的数学概念教学案例设计与分析以初中《函数的概念》的教学为例一、本文概述本文旨在探讨基于核心素养的数学概念教学案例设计与分析，以初中《函数的概念》的教学为例。
在当前的教育背景下，培养学生的核心素养已成为教育改革的重要目标。
数学作为基础教育的重要学科，其核心素养的培养尤为重要。
函数是初中数学的重要概念之一，它不仅是数学学科的基础，也是培养学生逻辑思维、抽象思维、数学建模等核心素养的重要途径。
如何设计有效的函数概念教学案例，以培养学生的核心素养，成为当前数学教育研究的热点问题。
本文将首先介绍核心素养的概念及其在数学教育中的重要性，然后分析初中《函数的概念》的教学目标及其核心素养要求。
接着，将详细阐述基于核心素养的函数概念教学案例设计，包括教学内容的选择、教学方法的运用、教学评价的设计等方面。
将通过具体的教学实践案例分析，探讨如何有效地将核心素养培养融入函数概念教学中，以提高学生的数学素养和综合能力。
本文的研究旨在为初中数学教师提供有益的参考和启示，推动数学教育的改革与发展。
二、核心素养理念下的数学概念教学注重概念的形成过程。
在教授函数的概念时，我们不应仅仅停留在定义的陈述上，而应引导学生通过实例、观察、实验等方式，自己发现、总结函数的本质特征。
例如，可以通过让学生观察一些生活中的现象，如气温随时间的变化、汽车行驶距离随时间的变化等，来感受变量之间的关系，从而引出函数的概念。
强化概念的内在联系。
函数的概念与其他数学概念如方程、不等式、图象等有着密切的联系。
在教学中，我们应引导学生发现这些联系，形成完整的知识网络。
例如，可以通过对比函数与方程的关系，让学生理解函数是一种特殊的对应关系，而方程则是函数等于某个特定值时的特殊情况。
再次，注重概念的应用与拓展。
数学概念的最终目的是为了解决实际问题。
在教授函数的概念后，我们应引导学生将函数概念应用到实际生活中去，如通过函数模型预测未来的天气、规划行程等。
幼儿园数学概念教学案例分享与讨论
幼儿园数学概念教学案例分享与讨论一、案例分享：数目排列与分类教学目标：1.培养幼儿从多个对象中，根据相同的特点进行排列和分类的能力。
2.培养幼儿的逻辑思维和观察能力。
教学准备：1.数字卡片，用于教学演示和练习。
2.物品，如颜色相同的水果、动物、车辆等。
教学过程：1.引入活动：通过观察、提问等方式，引入今天的主题“数目排列与分类”。
例如：“同学们，你们有没有玩过排队游戏呢？每个人排成一队，可以按照什么顺序呢？”2.展示物品：给幼儿展示一些颜色相同的物品，例如不同颜色的水果，让幼儿观察并找出它们的共同点。
3.分类活动：将准备好的物品混合在一起，让幼儿一起进行分类。
教师可以提出问题引导幼儿思考，例如：“我们可以把这些物品分成几组呢？每组有哪些物品？”幼儿可以按颜色、形状、用途等特点进行分类。
4.数目排列：介绍数目排列的概念。
教师可以使用数字卡片演示，引导幼儿根据指定的规则进行数目排列。
例如：“请你们把数字卡片排成从小到大的顺序，或者排成从大到小的顺序。
”幼儿可以使用数字大小进行排列。
5.游戏练习：进行一些排队、排列的游戏，巩固幼儿的理解和能力。
例如，让幼儿按照指定的顺序排成一队，或者在玩具车辆中按照大小进行排列等。
6.总结回顾：询问幼儿本次学习的内容和收获，引导幼儿总结数目排列与分类的规律。
二、讨论：1.如何设计一些趣味性的活动，激发幼儿对数目排列与分类的兴趣？-可以通过游戏的方式进行，如角色扮演排队、物品分类等，让幼儿在玩乐中学习。
-可以利用图画、故事等内容，让幼儿通过观察和讲述来进行数目排列与分类的思考。
2.有哪些其他的数学概念可以与数目排列与分类结合起来进行教学？-可以与数量、大小、形状等概念结合进行教学，例如按大小排列物品、按数量分类物品等。
3.如何在幼儿园中进行数目排列与分类的评价？-可以观察幼儿在活动中的参与程度和表现，以及他们在排列和分类过程中的准确性和逻辑性。
-可以设计一些小组合作活动，观察幼儿是否能够合作并达到预期的排列和分类结果。
中班数学教案：用生动形象的方式呈现数学概念
中班数学教案：用生动形象的方式呈现数学概念数学是一门抽象的学科，对于幼儿来说，往往感到枯燥乏味，缺乏趣味性。
如何用生动形象的方式呈现数学概念，激起幼儿对数学的兴趣，是中班数学教案编写的重要考虑因素。
本文将介绍几种常见的数学教学方法，搭配具体的教案案例，帮助幼儿在轻松愉快的氛围中学习数学。
教学方法一：游戏化教学游戏化教学是目前比较流行的一种教学方法，它通过游戏的形式来学习知识和技能，让幼儿在自然、活泼的氛围中不知不觉地掌握知识。
在中班数学教学中，游戏化教学也不失为一种非常好的教学方式。
教案案例：《数码跳跳球》教学目标：让幼儿认识数字，掌握数字的大小。
教学步骤：1.老师给每个孩子分配一个数字，从1到10中自行抽取。
2.每个孩子拿着自己的数字球，围成一个圈，准备开始游戏。
3.老师按照一定的顺序喊出一个数字，例如“6”。
4.持有数字球为“6”的孩子，要把球向上跳起，在喊“6”的那一秒钟内，准确地接住球。
5.如果一个孩子接住了球，就轮到他喊出一个数字，其他孩子都要按照相同的方式去接住球。
6.如果一个孩子没有接住球或接球不准确，则退出游戏。
7.最后留下来的孩子获胜。
这个游戏可以让孩子在玩中学，学中玩，掌握数字的大小关系，同时还能锻炼孩子的反应能力和快速思维能力。
教学方法二：故事化教学故事化教学是一种通过故事方式来教授知识的教学方法，它能够激起幼儿的好奇心和兴趣，使幼儿在贯穿故事情境中去理解数学。
教案案例：《小熊一家的数字玩具》教学目标：让幼儿认识数字和数字的计数方法。
教学步骤：1.老师为幼儿讲述一个小故事：小熊一家去商场购物，在玩具区遇到了一位老奶奶。
老奶奶从包里掏出一盒数字玩具，每个数字玩具上都有一个数字。
2.小熊一家非常喜欢这些充满趣味的数字玩具，老奶奶告诉他们可以玩一些数字游戏。
3.老奶奶先让小熊拿出数字“1”玩具，问小熊有几只鞋子、几只手、几只脚等，让小熊用数字玩具计数。
4.接着老奶奶叫小熊拿出数字“2”的玩具，让小熊计数，并将同样的物品分为两组。
初中数学教学模式创新案例
初中数学教学模式创新案例本文主要阐述了一种全新的初中数学教学模式，通过创新的教学方法和学习策略，旨在提高学生的学习效果和兴趣。
本文将详细介绍该教学模式的主要特点、实施步骤和效果评估。
第一篇范文：初中学生学习方法技巧学好重要性数学作为一门基础学科，对于培养学生的逻辑思维能力、解决问题的能力和创新能力具有重要意义。
特别是在当今科技快速发展的时代，数学素养已经成为衡量一个人综合素质的重要标准之一。
因此，初中生在学习数学的过程中，需要掌握科学的学习方法，培养良好的学习习惯，提高学习效率。
主要学习内容初中数学的主要学习内容包括：数与代数、几何、统计与概率、综合与应用等。
在学习过程中，学生需要掌握基本的数学概念、定理、公式和方法，培养解决实际问题的能力。
学习注意事项在学习数学时，学生需要注意以下几点：1.注重概念的理解：加强对数学概念的理解，不要只是死记硬背，要理解其背后的含义和应用。
2.培养逻辑思维能力：通过解决数学问题，培养自己的逻辑思维和推理能力。
3.多做练习：数学是一门需要大量练习的学科，只有通过不断的练习，才能提高解题速度和正确率。
主要学习方法和技巧1.主动学习法：学生在学习过程中要主动思考，提出问题，并通过查找资料、讨论等方式解决问题。
2.分散学习法：将学习任务分解成若干小部分，分阶段进行学习，避免一次性的大量学习。
3.反思学习法：在每次学习后，进行总结和反思，找出自己的不足之处，及时调整学习方法和计划。
中考备考技巧1.熟悉考试大纲：了解中考数学考试的要求和题型，有针对性地进行复习。
2.制定合理的复习计划：根据自己的实际情况，制定合理的复习计划，确保每个知识点都得到充分的复习。
3.模拟考试：定期进行模拟考试，检验自己的复习效果，找出自己的薄弱环节并进行针对性的加强。
提升学习效果的策略1.创设良好的学习环境：保持学习空间的整洁、安静，减少干扰，提高学习效率。
2.寻求帮助：在学习过程中遇到问题，要主动向老师、同学请教，及时解决问题。
新课程理念下数学教学模式的探索
论证一运用结论一形成命题体系。
案例 ３ 由圆心角度数定理 到圆周角度数定理 ， ： 再到弦切角度
数定理 。通过特殊化 、 图形变化 。 揭示数学命题发生 、 发展 、 成过 形 程 以及命题之间的联 系， 形成了角度数定理 的命题域。
和时间。
１ 数 学 教 学 模式 的发 展 趋 势
新课 程理念下数学课堂教学模式呈现 出以下趋势 ：
１１ 更 突 出 学生 在 教 学 中 的 主体 地 位 ．
（） ２ 用表格所给出的某水库的存水量 与水深 。
（） ３ 由某一天气温变化 的曲线所揭示的气温和时间。 （） ４ 任何整数的平方运算 中， 底数与它的二次幂。 第二， 出上述各题 中两个变量之间关系的一些共同属性 。 找 第三， 进一步考察各题 ， 确认本质属性 。 （ ） 底数取 一５和 在 ４ 中， ５ 其二次幂都是 ２ ， ， ５ 没有发生变化 ， 可见一个量变化 ， 另一个 量也 跟着变化不是它们 的本质属性 ； 而一个 变量 每取一个 确定的值 ， 相 应地另一个变量也唯一地确定一个值 ， 这才是它们的本质属性 。同
２ 不 同 类 型 的数 学教 学模 式
２１数 学概念的教学模式 ． ２１１概念形成教学模式 ．．
新课程理念下三种不同类型的 中学数学课堂教学模 式： 数学概念、
数学命题及数学解题的教学模 式。
关键 词 新课程 数学 课堂 教 学模 式
基本程序 ： 具体例子一观察共性一抽象本质一形成定义一强化
概念一应用概念一形成概念体系。 案 例 １“ ： 函数” 概念 内容的教学设计 ， 如果教学方案按如下 过 程设计 ， 就是一种典型的概念形成方式。
数学教学模式 的发展受到数学教 学理论 、 教学手段 、 社会 因素 等各方面的影响和制约。教学理论方 面 ： 认知学 习理论 、 构主义 建
初中数学概念形成的教学模式——以“‘数轴’的教学设计”为例
㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２１ １２初中数学概念形成的教学模式初中数学概念形成的教学模式㊀㊀㊀ 以 数轴 的教学设计 为例Һ何德军㊀（深圳市龙岗区上海外国语大学附属龙岗学校，广东㊀深圳㊀５１８１７２）㊀㊀ʌ摘要ɔ数学概念是学生进行推理和判断的依据，也是形成数学定理㊁法则㊁公式的基础．现代数学教育心理学认为，概念形成和概念同化是初中学生获得概念的主要方式．本文基于概念形成的心理过程，以数轴概念的教学为例，通过一系列报数活动抽象出数轴这一基本概念，然后通过教学活动强化概念，最后应用数轴的概念解决数学问题．ʌ关键词ɔ初中数学；概念形成；数轴概念的教学在初中数学教学中占有重要地位．作为思维的基本单位，数学概念能够反映事物在数量关系和空间形式方面的本质属性．数学定理㊁法则㊁公式的建立及数学方法和数学思想的形成，也都建立在数学概念的基础之上．扎实有效的概念学习是学生进行数学推理㊁数学判断的前提和依据，学生数学能力的发展也取决于他对数学概念的获得．笔者将结合数学教育心理学中对 数学概念形成教学模式 的研究，以 数轴 （北师大版教材七年级上册）的教学设计为例，对初中数学概念的教学方法进行探究．数学教育心理学认为，概念形成的心理过程主要包括以下四个阶段：基于概念形成的心理过程，设计如下教学过程帮助学生获得 数轴 这一概念：一㊁概念引入： 报数 活动学生对于概念的理解需要一个过程．在概念的教学中，教师要舍得花时间创设情境，使概念的发生与形成能和学生的认知规律协调一致．在数轴概念的引入中，我组织了 报数 活动，通过学生熟悉的活动引导学生分析事物的本质属性．ʌ第一轮ɔ学生起立，教师指定基准点，从基准点开始向右依次报数：１２３４基准点左边的学生以同样方式报数．要求：①所报数字能体现出自己的位置；②与右边同学相异：－３－２－１１２３４这轮报数活动与体育课上传统的报数方式有所不同，为了体现出与右边学生所报数字的不同，左边学生可以借助表示相反意义的负数进行报数．ʌ第二轮ɔ教师指定基准点，变换报数方向，即从基准点开始向左依次报数：２１－１－２－３－４－５在第一轮报数的基础上，学生能较好地进行报数活动．ʌ第三轮ɔ教师指定基准点，变换报数间隔，即从基准点开始向右依次报偶数：－８－６－４－２２４６基于前两轮报数活动，学生参与本轮报数活动时毫不犹豫，活动顺利进行．ʌ第四轮ɔ无条件报数：对于本轮报数活动，教师不制定任何要求，要求学生直接报数．但此时学生困惑不已，本轮报数活动无法完成数学概念往往具有较强的抽象性，这就导致学生在理解概念的时候有些被动吃力．传统的概念教学模式是直接把概念告诉学生，比如数轴是规定了原点㊁正方向㊁单位长度的直线，而没有让学生在生活中体验实实在在的数轴，这就割断了数学和生活的联系，进而导致学生机械地去记忆概念，舍弃了概念的本质．数学源于生活，北师大版教材由温度计引入数轴，形象且直观，但与小学知识有过多重复，因此不能帮助学生深刻体会数轴的 三要素 ，只能算形似．而 报数 活动是学生熟悉的活动，其强度适当㊁富有变化性和新颖性，以此引入数轴有利于学生进行数学思考．概念的形成需要学生从具体例子出发，归纳一类事物的共同本质属性．把数学概念的获得与数学活动结合在一起，为学生创造生活情境，有利于学生将抽象的数学概念形成具象的认知．二㊁概念形成：认识数轴数学概念的获得是提升数学素养的基础．为了帮助学生对概念有正确且深刻的理解，教师需要引导学生剖析概念内涵，挖掘概念本质，拓展概念外延．在数轴的教学过程中，经过三轮有条件报数，在第四轮无条件报数时，学生主动提出困惑： 本次报数活动无法完成． 没办法报数，缺少条件啊！ 这些困惑的产生源于学生在学习过程中产生的认知冲突，也正是这种冲突促使学. All Rights Reserved.㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２１ １２生进行主动思考．教师顺势提出问题： 在第四轮报数活动中缺少哪些条件呢？ 引导学生进行回忆和思考．学生经过思考，发现第四轮报数活动中存在的问题主要为没有告知：①基准点．②报数方向．③报数间隔．而这些恰恰对应着数轴的 三要素 ：原点㊁正方向㊁单位长度．通过这样的教学，学生在教师引导下顺理成章地抽象出数轴的概念：规定了原点㊁正方向㊁单位长度的直线叫作数轴．在活动中引发学生的共鸣，让学生感受数轴的 三要素 缺一不可，这能更好地体现北师大版教材 螺旋上升 的设计理念，也能让学生对数轴的认识从感性阶段上升到理性阶段．把具体事物抽象为数学概念，这是概念形成的关键阶段．为了检测概念形成的效果，笔者设计一组问题，将抽象的概念回归到具体的数学问题，帮助学生在实际问题中理解数轴 三要素 ．练习１㊀判断以下数轴的画法是否正确？并说明理由．（１）（２）（３）（４）义务教育数学课程标准指出，学生应敢于发表自己的想法㊁敢于质疑㊁敢于创新，进而形成严谨求实的科学态度．正是在这种不断思考㊁不断探究的过程中，学生对数轴的概念形成了初步认识．三㊁概念深化： 复述 数轴心理学认为，记忆和遗忘是有规律的．获得数学概念后，需要对其进行及时巩固，以保证所获得的概念能够长时间保存．因此在教学过程中，教师可以要求学生在获得数学概念后通过朗读㊁背诵㊁辨析等方式对其进行巩固．在 数轴 这节课的教学过程中，笔者要求学生在初步形成概念后，进行 操作性复述 ．这里的复述不是死记硬背，而是让学生在复述概念的过程中，把握概念的重点和本质特征．练习２㊀在练习本上独立画出一条数轴，并与小组成员相互检查．现代学习方式的基本特征之一是体验性，在学生认识了数轴的基础上，教师可以要求学生独立画出一条数轴，让学生在自己动手的过程中深刻感受数轴．巡视课堂后，教师采取以小组为单位的评价方式，在小组发现问题㊁解决问题的基础上，针对学生集中出现的问题展开分析．在生生对话㊁师生对话的过程中，实现 正确画出数轴 的教学目标．这样的设计不仅能培养学生的动手能力与合作精神，还能使学生在小组交流的过程中提高发现问题㊁解决问题的能力． 复述 之后，教师可以向学生展示不同形态的数轴，如纵向的数轴，生活中的数轴，历史时间轴等，同时教师借机向学生提出问题： 在生活中，你还见过怎样的数轴？ 在概念强化的过程中，教师要引导学生积极思考㊁踊跃交流，这样一方面能通过大量的实例拓展数学概念，达到活化思维的效果，另一方面能把抽象的数学概念具体化㊁生活化．四㊁概念运用：借助数轴实现数形结合概念教学必须体现概念的应用价值．利用数轴解决代数问题的前提是数形结合，因此必须要让学生建立有理数和数轴上点之间的对应关系．练习３㊀（１）写出数轴上各点所表示的数．Ａ表示，Ｂ表示，Ｃ表示．（２）在数轴上分别画出表示２，－１，－３２的点．在教学过程中，教师可以先要求学生指出数轴上的点所表示的数，这是由 形 到 数 的思维过程；再要求学生把给定的数用数轴上的点表示，这是由 数 到 形 的思维过程．通过点与数的对应关系，可以使学生加深对数轴的认识．为了帮助学生深刻体会数与数轴上点的对应关系，在学生完成练习后，教师继续向学生提出问题：①任意一个整数都可以用数轴上的一个点表示吗？②任意一个分数都可以用数轴上的一个点表示吗？学生独立思考后，进一步感受到：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示．基于这一结论，抽象的代数问题基本上都可以通过数轴直观解决．例如，以某排学生中的某一个为基准点建立数轴，先请代表１的学生举手，然后请所代表数字比１大的学生举手．变换数字再进行几次，这样学生可以形象地感知到：在数轴上，比一个数大的数都在它的右边．通过活动设计，学生可以深刻理解利用数轴比较有理数大小的方法，并经历从几何的角度解决代数问题的过程．练习４㊀利用数轴比较下列每组数的大小，并用 ＜ 将其连接．（１）－２和＋６；㊀㊀㊀（２）０和－１．８；（３）－３２和－４；（４）－３４，－１３和３２．需要指出的是，本文所列举的概念的形成过程以学生的直接经验为基础，它不要求学生的认知结构中具备较多的概念，只需要有概念例证方面的直接经验．从学生角度来看，这种学习方式适合基础相对薄弱的学生；从概念角度来看，这种学习方式适合在数学概念体系中起着基础作用的抽象概念的学习．ʌ参考文献ɔ［１］何小亚．数学学与教的心理学［Ｍ］．广州：华南理工大学出版社，２０１１．［２］中华人民共和国教育部．义务教育数学课程标准［Ｍ］．北京：北京师范大学出版社，２０１２．［３］吕小兵．重视概念生成强化数学能力：例谈初中数学概念教学［Ｊ］．数学教学通讯，２０１４（０４）：３３－３４．. All Rights Reserved.。
发现式教学模式的应用实例
现以推导等比数列前n项和公式的教学案例说明如下：1．创设问题情景根据教学内容和学生的学习要求,通过举出与新知识有关的实际事例、从旧知识中寻找出与新知识相似的数学对象、准备好与新知识相关的教具和材料等方法，精心创设问题情景，将学生的注意力和兴趣引导到数学知识的探究活动中来．本节课问题情景我是这样设计的：SARS病毒曾给我们带来了无限的恐慌，现假设第一天有一位SARS病人，他在第二天感染两人就不再感染别人了，而另两人又在第三天各感染两人，以后他们也不再感染别人了，如此下去33天共有多少人感染了SARS病毒（不考虑死亡人数）．（这样引入课题出于以下三点考虑：(1)利用学生求知好奇心理，以一个真实事件为切入点，便于调动学生学习本节课的趣味性和积极性．(2)事件内容紧扣本节课教学内容的主题与重点．（3)有利于知识的迁移，使学生明确知识的现实应用性．）2．组织学生活动学生活动包括观察、操作、归纳、猜想、验证、推理、建立模型、提出方法等个体活动，也包括讨论、合作、交流、互动等小组活动，或者是在教师引导下的师生互动，目的是让学生亲身体验数学知识的发生、发展的过程．求解上述问题时，可引导学生把这个问提跟教材讲等比数列通项时的细胞分裂问题进行比较，找出不同之处：不同在于细胞分裂成两个后本身就消失了，而在这个问题中SARS病人传染给另两人后本身并没有消失，所以最后算多少人时要把这一部分人加上去，那么第1天是1人，第2天是2人，第3天是人，第33天是人，所以33天总共应有（）人．3．引导探究发现在学生通过独立思考、自主探究的基础上，引导学生发现数学概念、数学定理、数学公式等数学知识，发现论证数学定理、推导数学公式、解决数学问题的思想方法，争取给学生更多的参与机会，使他们象数学家那样经历数学的过程，感受成功的体验．在求和时，笔者是这样做的：师：同学们，要知道我们猜测的数据正确与否或者说谁的误差更小些，我们就必须给出这个式子的正确解答过程．我们先来仔细看一下这个式子，很显然1，2，，…，是一个等比数列，共有33项，那么也就是说我们现在要做的就是求一个等比数列前33项的和．一般地，设有等比数列他的前n项和是 .请同学们自己看课本上的证明，看完请大家思考这样两个问题：1、你认为公式中应该注意哪些问题？2、除了课本上的证明方法你还有其它方法证明吗？给足够的时间鼓励学生对问题自由思考，积极解决）等比数列求和公式q≠1时Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-anq)/(1-q)q=1时Sn=na1(a1为首项,an为第n项,d为公差,q 为等比)生2：我觉得公式应该对q=1与分类进行讨论．生3：我觉得等比数列的项数还应该值得重视．师：很好，的确以往同学们容易出错的地方也是这两个方面，所以以后我们在运用公式时要注意对q的讨论以及数列的项数．课本上的证明方法叫做错位相减法．（教师板演）（这种求和的思路在解决某些求和问题时经常用到，应使学生掌握）那除了课本上的证法还有没其它证法了呢？生4：由等比数列通项得：将上面n个等式的等号两边分别相加，得，， .当时，；当时， .生5：（板演）由等比数列的定义得：，运用等比定理，，于是，得出或，或（q=1）．生6：（板演），则所以有，即，或（q=1）.4．建构数学理论数学理论包括概念定义、定理叙述、模型描述、算法程序以及解决数学问题过程中的思想方法等．在学生经过探究活动、体验过程、感受意义、形成表象以后，教师要及时地帮助整理、补充和完善，使之规范化，纳入学生的认知系统，形成完整的数学理论体系，为掌握应用奠定基础．在构建数学理论时课堂实录如下：师：同学们能够想出三种不同的方法相当不容易，我们再来仔细学习以上三种方法：生4根据等比数列的定义，用迭加的方法推导出了等比数列{a n }的前n项和公式；生5围绕等比数列的基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式．生6当然还有我们课本上的错为相减法也是相当重要的一种方法，这种方法在我们以后的习题中还会大量出现．由此，我们得出了求等比数列的前项和的公式．请同学们思考，有了这个公式，要求一个等比数列的前项之和，我们应该怎样做？众生：直接用公式．师：运用公式要注意什么．启发学生得出：需按公比是否为1分类讨论．师：这个公式除了可以用来求等比数列的前项和之外，还有其它用途吗？（仔细观察公式，引导学生发现知三求二）5．尝试数学运用数学运用主要是指运用通过探究发现得来的数学理论实现问题解决,包括辨别、解释、解决简单问题、解决复杂问题等．教师要精心组织系列化的问题题组，指导学生尝试数学运用，培养学生的应用意识，检测和反馈学生学习活动的效果．课堂实录如下：师：我们已经掌握了等比数列的求和公式，让我们再回到开始的问题上去，请同学们精确计算33天后的SARS病人．众生： .师：计算出最后结果．众生：8589934591．师：也就是将近有85亿人被感染SARS病毒，而我们知道全世界人口才60几亿．从这个数据也能说明SARS的可怕，值得庆幸的是，在党和政府的领导下我们战胜了SARS，这也说明我党，我们社会主义国家的优越性．6．总结回顾反思总结回顾反思可以先由学生叙述,教师进行补充和提炼,目的是:一方面让学生再次回顾本节课的活动过程、重点和难点所在以及在学习活动中取得的成绩和存在的问题；另一方面，更是对探索过程的再认识，对研究数学问题的思想方法的升华，对数学思维的反思，为学生以后的进一步学习研究和解决问题提供经验和教训．笔者让同学们对本节课的教学内容作一个回顾和反思：(1)等比数列的前n项和公式；(2)公式的推导方法；(3)公式的应用．追问：从这节课的学习中，你有哪些体会和收获？这个问题留给大家课后思考。
数学概念教学设计
（6）符号表示：用习惯的形式符号表示概念。例如平行线用符号“∥”表示。 （7）具体运用。通过举出概念的实例，在一类事物中辨认出概念，或运用概念
解答数学问题，使新概念与已有的认知结构中的相关概念建立起牢固的实质性联
系，把所学的概念纳入到相应的概念体系中。 在实际的数学学习中，对那些初次接触或教难理解的概念，大多数会采用概 念形成的学习方式，以减少学习上的困难，使学生更容易接受。 2、概念同化 数学概念的同化，是指学生在直接用定义形式陈述概念时，主动地与其认知 结构中原有的相关概念相联系，相互作用，并理解和领会新概念的本质属性，从
数学概念
PART 01
数学概念：
概念是反映客观事物本质属性的思维形式。
数学概念是事物在数量关系和空间形式方面的本质属性的反映，是人们通过 实践，从数学所研究的对象的许多属性中，抽出其本质属性概括而成的。它是进 行数学推理、判断的依据，是建立数学定理、法则、公式的基础，也是形成数学 思想方法的出发点。概念包括内涵和外延两个方面，内涵就是概念所反映的一切 事物的本质属性，即反映概念质的方面；外延就是概念所反映的事物的范围，即 反映了概念的量的方面。
案例1
模式三：数学概念的现代教学模式（APOS模式） 1、杜宾斯基的APOS理论 美国教育学家杜宾斯基（Ed Dubinsky）等人在数学教育研究实践中提出了APOS
理论，对数学概念教学具有指导意义。APOS 理论分别是由英文 action（活
动）,process（过程）,object（对象）,scheme（图式）的首字母大写所组合而
一、数学概念学习的内容： 一般来说，数学概念学习包括以下四个方面：
（1）数学概念名称。例如“三角形”、“正方形”、“圆”、“函数”等。
数学概念课教学模式
“数学概念课”课堂教学模式的实践与认识当阳市第二高级中学李海燕国丰玲一、问题的提出《数学课程标准》明确指出：“教师应……帮助他们（学生）在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识和技能，数学思想和方法，获得广泛的数学活动的经验。
”这就清楚地表明，探究应是数学教学的重要方式。
在数学概念课教学中进行探究活动，是数学概念教学的一个重要过程。
学生是认识的主体，又是创造与发展的主体，充分尊重学生的主体地位，正确发挥教师的主导作用，是“数学概念课”课堂教学模式这一教学模式的提导思想。
上学期，我们课题组对“数学概念课”课堂教学模式进行了初步的探索，并总结出“启导探究式”的教学模式，其流程大致分为六个步骤：情景导入→自主探索→课上交流→归纳小结→反馈评价→升华提高。
本学期，我们对六个步骤的教学过程和教学设计进行了探讨，并对上述模式进行了修改和调整。
二、“启导探究式”课堂教学模式教学过程及认识课型１形成性概念教学模式1.1模式结构图1.2操作实践及认识学生学习数学概念的心理过程主要有两种方式，一种是概念的形成，一种是概念的同化。
概念的形成是在大量的感性认识下，以归纳的方法概括出一类事物的本质属性。
高中数学教学中，有不少的概念学习仍可采用概念形成的方式来进行。
1.2.1情境导入环节。
数学概念是抽象的，但都有其客观的物质基础。
创设情境，呈现刺激模式，就是为概念的形成提供“物质基础”。
呈现的刺激模式或者是经验事实，或者是典型事例，或者是直观演示。
这些刺激模式应该是出自于学生熟悉的生产和生活背景，而且是正面的肯定例证，数量和刺激强度要适当，要有一定的变化性且新颖有趣，并宜采用同时呈现的方式，以利于学生分析比较。
例1椭圆概念课的引入。
教学时可先出示准备好的油罐车图片和演示截面图，再引导学生联想鸡蛋的外形，并演示截面图，最后展示嫦娥1号的奔月轨道视频画面。
从而引出学习椭圆概念这个课题。
1.2.2启导探索环节。
分化出概念的不同属性。
数学概念教学模式
试论数学概念的教学模式一、问题的提出概念同化教学模式是建立在一般学习理论基础之上，偏重于概念的逻辑结构。
这种教学模式比较简明，使学生能够比较直接的学习概念，因此，被称为是“学生获得概念的最基本方式”。
概念同化虽然是一种省时、省力而见效快的概念教学模式，但在这种模式下，它忽视了数学概念本身所蕴含的现实背景，学生的学习缺乏“活动”，对概念的形成过程没有充分的体验。
数学概念本身具有“过程——对象”的双重性，既是逻辑分析的对象，又是具有现实背景和丰富寓意的数学过程。
因此，应该返朴归真，揭示数学概念的形成过程，让学生从概念的现实原型、概念的抽象过程、数学思想的指导作用、形式表述和符号化的运用等多方位理解一个数学概念，使之符合学生主动建构的教育原理。
近年来，美国数学教育家杜宾斯基（dubinsky）等人提出一种建构主义学说——apos理论。
这个理论对数学概念的建立步骤提供了新的界定，也体现了一种教学规律，为概念教学提供了新的理论支持，为教师提供了一种实用的教学策略。
二、 apos理论的构建apos分别是由英文action（操作）、process（过程）、object （对象）和schema（图式）的第一个字母所组合而成，称其为apos 理论。
这种理论认为，在数学概念学习中，如果引导个体经过思维的操作、过程和对象等几个阶段后，个体一般就能在建构、反思的基础上把它们组成图式从而理清问题情景、顺利解决问题。
这四个阶段的介绍如下。
（1）活动阶段（action）：亲身体验、感受概念的直观背景和概念间的关系。
通过操作活动，理解概念的意义。
（2）过程阶段（process）：对“操作”进行思考，经历思维的内化、压缩过程，在头脑中进行描述和反思，抽象出概念所特有的性质。
（3）对象阶段（object）：认识概念本质，对其赋予形式化的定义及符号，使其达到精致化，成为一个具体的对象。
（4）图式阶段（scheme）：反映概念的定义及符号，建立与其它概念、规则、图形的联系，形成综合的心理图式。
幼儿园数学认知教学：大班数学启蒙与应用案例
幼儿园数学认知教学：大班数学启蒙与应用案例一、前言在幼儿园教育中，数学认知教学一直备受关注。
数学是一门抽象而且有意义的学科，而幼儿正处在认知和智力发展的关键阶段。
如何进行有效的数学认知教学，引导幼儿对数学的正确认知和兴趣成为了教育工作者们的重要课题。
针对大班幼儿的数学认知教学，本文将通过几个具体的应用案例来探讨幼儿园数学启蒙的方法和实践。
二、认知教学的起步：数学概念引入在进行数学认知教学时，要注意在大班幼儿中引入数学概念。
可以通过引导幼儿观察周围的事物，认识几何形状、颜色、大小等基本数学概念。
教师可以带领幼儿在校园中进行有针对性的数学探索，比如观察不同形状的物体，认识正方形、三角形、圆形等几何图形。
可以通过数学游戏和趣味活动来引入数学概念。
利用积木、拼图等教具进行手工制作，让幼儿在动手的过程中感受形状、数量等数学概念。
又在室内外环境中，设置数学角落，让幼儿进行自主探索和学习。
三、数学活动的应用案例在引入数学概念的基础上，可以通过具体的数学活动来深化幼儿的数学认知。
以下是一些数学活动的应用案例：1. 数学故事角：在幼儿园的“数学角”，教师可以准备一些富有数学元素的故事书，并通过图书阅读和故事讲解的形式，让幼儿在趣味中感受数学的魅力。
教师可以讲述《三只小猪》这样的故事，通过小猪搭房子的过程让幼儿感受到图形的概念，培养他们的空间想象力和创造力。
2. 数学游戏：在幼儿园的日常活动中，可以穿插一些数学游戏，比如数学角落中的数学拼图游戏、数学角色扮演游戏等。
通过这些游戏，幼儿可以在玩乐中学习，感受到数学的趣味性和实用性，提高他们的数学兴趣。
3. 数学实践：在幼儿园的实践活动中，可以融入数学元素。
在植物种植环节中，教师可以引导幼儿学习种植的基本步骤、数数种子的数量等；在手工制作环节中，可以让幼儿感受到几何图形的结构与运用等。
四、总结与回顾在进行大班幼儿的数学认知教学时，要从概念引入、数学活动的应用等方面进行充分的评估并安排。
幼教中的数学概念教学方法
幼教中的数学概念教学方法数学作为一门重要的学科，在幼儿教育中起着至关重要的作用。
幼儿时期是儿童接触和掌握数学概念的关键时期，因此，幼教中的数学概念教学方法至关重要。
本文将探讨在幼教中如何有效地教授数学概念。
一、通过游戏与实物引入概念在幼教中，通过游戏和实物的引入可以帮助幼儿更好地理解和掌握数学概念。
比如，可以用水果或玩具等实物来进行分类的游戏，引导幼儿认识形状、颜色等数学概念。
同时，可以设计一些趣味性的游戏，如拼图、积木等，帮助幼儿培养空间感和数量概念。
二、多种教具辅助教学使用适当的教具可以加深幼儿对数学概念的理解。
例如，对于数字概念，可以使用磁性数字卡片，让幼儿通过触摸和拼接的方式学习数字及其相互之间的关系；对于形状概念，可以用各种形状的模型教具进行教学，帮助幼儿观察、比较和分类不同的形状。
三、故事情境创设通过故事情境创设可以帮助幼儿将数学概念与实际生活相结合。
教师可以编写一些有关数学概念的故事，让幼儿在情节中感受到数学的乐趣和实用性。
通过与故事中的角色一起解决问题，幼儿可以更加深入地理解和应用数学概念。
四、启发式教学法启发教学法是一种激发幼儿思维和创造力的教学方法。
在数学概念教学中，教师可以通过提问和引导幼儿思考的方式，引发幼儿对数学问题的兴趣，并鼓励他们独立思考和探索数学规律。
通过培养幼儿的逻辑思维和解决问题的能力，可以有效提高他们对数学概念的理解和掌握。
五、个性化教学每个幼儿的兴趣和学习方式都不尽相同，因此，在幼教中实施个性化教学非常重要。
教师应根据幼儿的特点和需求，设置不同的教学活动，满足每个幼儿的学习需求。
这样可以更好地促进幼儿对数学概念的学习和理解。
六、体验式教学数学概念的学习不仅仅局限于课堂，还可以结合户外实践活动来进行。
参观自然界中数学的应用，如植物的生长规律、动物的数量等，能够让幼儿切身感受到数学在日常生活中的应用。
通过亲身体验，幼儿能够更加直观地理解数学概念，加深对数学的兴趣。
幼儿园大班数学发现与探究教学案例
幼儿园大班数学发现与探究教学案例1. 背景介绍在幼儿园教育中，数学是一个重要的学科内容，而幼儿园大班的数学教学更是关乎学生未来学习数学的基础。
在幼儿园大班数学教学中，发现与探究教学是一种非常有效的教学方式，通过引导学生参与实际的数学活动，激发他们的学习兴趣和探究欲望，达到全面发展的目的。
2. 实践案例分析以“数学中的形状”为主题，教师在幼儿园大班进行了一次数学发现与探究教学。
教师在课前准备了各种形状的实物，如正方形、圆形、三角形等，让学生通过观察和摸索来感知形状的特点。
在课堂上，教师提出了一些问题，如“哪些物品是圆形的？有什么特点？”、“正方形和三角形有什么不同？”等，引导学生自主探究形状的特点和规律。
在活动中，学生们积极参与，互相交流，通过发现和探究，深入理解了形状的概念，并在实际生活中主动应用。
3. 效果评估这次数学发现与探究教学取得了良好的效果。
学生的学习积极性得到了充分激发，他们在课堂上充满好奇心，积极主动地发现和探究形状相关的问题。
学生的数学思维能力得到了有效的培养，通过自主探究，他们逐渐形成了抽象思维的能力，能够归纳总结形状的特点和规律。
再次，学生的学习兴趣得到了提升，通过这次活动，他们对数学产生了浓厚的兴趣，愿意主动参与到数学学习中来。
4. 个人观点从这次实践案例中，我深刻认识到了数学发现与探究教学的重要性。
这种教学方式能够有效地培养学生的学习主动性和创造性，促进他们对数学概念的深刻理解和灵活运用。
在今后的教学实践中，我将更加注重发现与探究教学，引导学生通过实际的数学活动，去深入探讨数学问题，从而提高他们的数学学习能力。
5. 总结回顾通过这篇文章的撰写，我更加深入地了解了幼儿园大班数学发现与探究教学的重要性，以及它对学生的促进作用。
在今后的实践中，我将充分运用这种教学方式，引导学生通过实际活动去发现和探究数学问题，培养他们的数学思维能力和学习兴趣。
希望我能通过这样的实践，让学生在数学学习中能够更加主动、深入地去理解和运用数学知识。
幼儿园数学发现课程设计
幼儿园数学发现课程设计数学是一门重要的学科，培养幼儿对数学的兴趣和能力是幼儿园教育的重要目标之一。
为了帮助幼儿在数学方面发现和学习，我们设计了一门创新的数学发现课程。
本文将详细介绍该课程的内容和教学方法。
一、课程目标1. 培养幼儿对数学的兴趣和好奇心。
2. 培养幼儿观察、探索和解决问题的能力。
3. 培养幼儿的逻辑思维和分析能力。
4. 让幼儿体验数学的乐趣和实用性。
二、课程内容1. 数字认知和计数通过游戏和互动活动，引导幼儿逐渐认识数字，并学会正确计数。
例如，设计一个数字迷宫游戏，让幼儿根据题目中的数字找到正确的路径。
2. 形状和空间感知通过观察和比较不同的形状，帮助幼儿认识正方形、三角形等基本图形，并理解它们在空间中的位置关系。
可以使用拼图游戏或配对游戏来加强幼儿的形状识别能力。
3. 数量和比较通过物品的比较和分类，培养幼儿理解数量和比较大小的能力。
例如，设计一个水果分拣游戏，让幼儿按照数量将水果分类，以及学习使用“多”和“少”这两个概念。
4. 模式和序列通过复杂的举例、图形和颜色等多种方法，帮助幼儿发现模式和识别序列。
可以使用积木或者贴纸来让幼儿自主创建和延续模式。
三、教学方法1. 游戏化教学通过游戏化教学的方式，让幼儿在游戏和互动中学习数学。
教师可以设计各种有趣的数学游戏，鼓励幼儿积极参与并激发他们的学习兴趣。
2. 实践探索引导幼儿亲身参与数学实践，让他们通过实际操作和探索问题。
例如，在户外教学时，可以让幼儿观察自然界中的数学现象，并帮助他们提出问题和解决问题。
3. 多媒体辅助利用多媒体教具和资源，增强幼儿对数学的感知和兴趣。
例如，使用数学软件或动画片，展示数学概念和原理，帮助幼儿更好地理解和记忆。
四、评估方法1. 观察记录教师通过观察记录幼儿在课堂上的表现，包括他们的参与程度、解决问题的能力和对数学的理解。
根据观察记录，可以及时调整授课方法和内容。
2. 作品展示鼓励幼儿将自己在数学课上的作品展示给其他同学和家长。
大班数学教学案例(二)
大班数学教学案例（二）引言概述：本文档旨在分享一份关于大班数学教学案例的经验，旨在帮助教师们设计有趣且有效的数学教学活动。
通过这些案例，教师们可以引导学生们对数学概念的理解和应用，培养他们的数学思维和解决问题的能力。
正文内容：一、启发性问题引导学生探索：1. 提出一个有趣的问题，引起学生的兴趣和思考。
2. 引导学生自主思考和探索问题的解决方法。
3. 鼓励学生之间进行小组合作，让他们分享和讨论自己的思路和答案。
4. 引导学生总结并理解问题的解决过程，培养他们的逻辑思维能力。
5. 结合实际生活和游戏等情境，增加问题的趣味性和可操作性。
二、游戏化教学增强学习兴趣：1. 设计有趣的数学游戏，激发学生的兴趣和积极性。
2. 利用游戏中的数字、图形等元素，引导学生进行实际操作和计算。
3. 设置竞赛、合作等游戏形式，培养学生的团队合作和竞争意识。
4. 利用数学游戏设计多种难度和挑战，逐渐提高学生的数学水平。
5. 注重反馈和奖励机制，激励学生积极参与数学游戏，并及时纠正错误。
三、实践结合巩固知识点：1. 将抽象的数学概念与实际问题相结合，提供具体的实例。
2. 引导学生观察、感知和理解实际问题中的数学规律和关系。
3. 利用实际问题进行实地探索和操作，并引导学生进行数学思考和解决。
4. 提供各种不同类型的问题，让学生从多个角度理解和应用知识点。
5. 设计个别或小组作业，让学生巩固和应用所学数学知识。
四、巧妙运用教具和技术手段：1. 使用具体的教具，如计算器、几何工具等，增强学生对数学概念的感知。
2. 利用电子设备和互联网资源，例如数学软件、应用程序等，提供多样化的学习方式。
3. 组织学生进行实验和观察，通过数据的呈现和分析，加深对数学原理的理解。
4. 利用投影仪、电子白板等现代化教学工具，让学生更直观地理解和学习数学内容。
5. 引导学生使用电子邮件、学习平台等方式与教师和同学进行交流和讨论。
五、总结与评价：通过以上的案例分析和实践经验总结，大班数学教学案例二体现了一种有效的教学方法。
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数学概念的发现教学模式与案例分析
数学概念是数学科学知识体系的重要基础之一，也是数学思维的一种形式，它是反映数学对象本质属性和特征的思维形式。
数学概念的学习与数学知识的掌握、知识结构的形成、数学能力
的提高密切相关，因此，上好概念课对提高教学质量极其重要。
在教学活动中怎样实施概念课的教学呢？以下结合教学实例介
绍数学概念的一种教学方法—发现式教学。
（一）概念的发现教学模式
概念的发现教学是鼓励学生借助归纳推理从实例中发现数学概念的教学，其学习理论基础是概念形成，即通过对概念所反
映的事物的不同例子中，让学生积极主动地去发现其本质属性，从而形成新概念。
概念的发现教学模式一般可以概括出以下四阶
段：辨别和分类；假设和解释；概括；验证和调整。
第一阶段：辨别和分类
在这一阶段，教师呈现给学生的应该是一些要求学生对事物进行知觉辨别或分类的任务。
这个时候，教师应更多地作为引导
者，不要过多干涉学生感知事物的活动，更不要包办代替，而要
为学生提供动手操作的机会，让学生充分地利用多种感觉器官参
与活动，这样有利于学生全方位地感知概念，分析概念的共同特
征。
第二阶段：假设和解释
在这一阶段，学生需要对他们分类的事物作出假设或解释。
比如，为什么把这些事物归为一类，假定这类事物具有的共同特征是什么？这时教师应该扮演促进者的角色，通过提出一些启发性问题，激发学生的思考，引导他们把假设和解释表达得更为清晰。
第三阶段：概括
在这一阶段，学生应该试着根据概念的属性对概念加以描述（也就是找到那些正例才有而反例没有的属性），甚至进一步对概念下一个定义。
不过，对这个概念的命名就不可能通过学生的独立探索能够发现，这时教师应该作为讲授者把传统上我们给这个概念赋予的名称告诉学生。
第四阶段：验证和调整
在这一阶段，学生将用其他一些例子（不是自己用来归纳出概念的那些例子）来检验自己关于概念的定义或描述是否正确：把已经知道的那些属于该概念的正例拿来检验是否符合自己给出的概念的定义或描述，同时也把那些已经知道不属于该概念的反例拿来检验是否确实不符合自己给出的概念的定义或描述。
如果发现有不适合的情况，就需要对定义或描述做适当的修订。
必要时，可能还要回到前三个阶段重新考虑。
这阶段教师作为裁判员，对学生的验证过程进行裁决和指导。
总之，观察—猜想—操作—验证是进行试验的基本方法和步骤。
在初中数学教学中，有许多方面，比如图形的变换，勾股定
理的证明，多边形内角和的探索等，都是鼓励学生开展数学实验
的好素材。
（二）案例分析：《函数》教学设计
这里可以用人教版八年级上册第十四章第二节《函数》的教学设计来说明概念的发现教学模式。
第一节《变量》的教学中，教师提供了教材上的行程问题、票房收入、弹簧长度等五个问题，学生通过观察发现这些问题反映了不同事物的变化过程，在变化
过程中，一些量的数值发生变化，一些量的数值始终不变，经教
师提供常量和变量这两个术语后，学生对照他们见到的数据，不
难理解常量和变量两个概念。
本节课是在学生掌握了常量和变量
的基础上利用发现教学模式学习“函数”这一重要数学概念。
1、观察实例与辨别实例的特征
教师继续用上节提供的五个实例让学生深入探究。
让学生指出每个问题中哪些是常量，哪些是变量，观察同一个问题中的变
量之间有什么联系，激发学生思考。
例如问题（1）中，让学生
填表观察两个变量，行驶时间t和行驶里程s的变化情况；问题
（2）中，经过计算让学生发现售票数量x与票房收入y之间的
变化情况。
2、假设与解释
通过教师引导性提问，学生需要发现所列表格中两个变量取值之间的关系，于是学生发现，在两组数据中，当其中一个变量
取定一个值时，另一个变量随之确定一个值。
这五个实例的两个变量都具有同样的特征。
3、抽象和概括
上述五个例子，学生要概括函数的定义是有困难的。
这里教师直接提供函数的定义。
由于事先有五个实例的分析，学生对照实例能初步理解函数定义和与之相关的x变量（自变量）和y 变量（自变量的函数）。
但这种理解是初步的，所以可以说定义性概念学习处于陈述性阶段。
4、验证和调整
教师为学生出示教材中96页“思考”的两个问题：（1）心电图，（2）我国人口数统计表，学生将用这两个例子来检验自己关于函数的定义或描述是否正确。
例如在心电图中，时间x 是自变量，心脏电流y是x的函数；人口数统计表中，年份x 是自变量，人口数y是x的函数，教师将对学生检验过程进行指导。
下一步教师将用变式练习让学生对函数的理解更加深刻。
变式练习是把学习得的定义性概念运用于解决日常生活中的问题，包括解决汽车油箱中的油量y与行驶里程x的关系；人均占有耕地面积y与这个村人数n的关系等。
在这些练习中，学生必须应用学习得的函数定义，分析实例中的常量、变量、自变量和自变量对应的函数等相关概念。
应指出，以上在教师指导下的发现学习形式，函数学习的关键性部分不是学生发现的，而是教师或教科书提供的，但教
师让学生参与了发现的过程。
要知道，要求完全的发现教学设计是不现实的。