确定二次的函数的表达式

确定二次的函数的表达式

知识点1 用一般式确定二次函数表达式

1.已知抛物线上的三点坐标，可以设函数解析式为)0(2≠++=a c bx ax y ，代入后得到一个三元一次方程，解之即可得到c b a ,,的值，从而求出函数解析式，这种解析式叫一般式.

2.用待定系数法确定二次函数表达式的一般步骤：

步骤一：设含有待定系数的二次函数表达式y =ax 2

+bx +c (a ≠0)；

步骤二：将题设中满足二次函数图象的点代入所设表达式，得到关于待定系数a 、b 、c 的方程组；

步骤三：解这个方程组，得到待定系数a 、b 、c 的值； 步骤四：将待定系数的值代入表达式，得到所求函数表达式.

例1.已知二次函数的图象经过点(0,3)，(−3,0)，(2,−5)，且与x 轴交于A 、B 两点。 (1)试确定此二次函数的解析式； (2)求出抛物线的顶点C 的坐标；

(3)判断点P (−2,3)是否在这个二次函数的图象上?如果在，请求出△P AB 的面积；如果不在，试说明理由。

例2.抛物线y ＝ax 2

＋bx ＋c 过(0，0)，(12，0)，(6，3)三点，则此抛物线的表达式是 .

知识点2 用顶点式确定二次函数表达式

已知二次函数的顶点坐标为（h ,k ）的话，可以设成顶点式：y =a (x -h )2

+k （a 、h 、k 为常数且a ≠0）

然后再找一点带入二次函数的顶点式，即可求得a 的值，最后回代到顶点式即可（提示：最后一般要把二次函数的解析式化成一般式）。

例1.已知抛物线y =ax 2

+bx +c 的图象顶点为(−2,3)，且过(−1,5)，则抛物线的表达式为______. 例2.已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c ，当x =2时，y 有最大值4，且过(1，2)点，此抛物线的表达式为 .

例3.有一个二次函数，当x ＜-1时，y 随x 的增大而增大；当x ＞-1时，y 随x 的增大而减小；且当x =-1时，y =3，它的图象经过点（2，0），请用顶点式求这个二次函数的表达式.

例4.由表格中的信息可知，若设y ＝ax 2

＋bx ＋c ,则下列y 与x 之间的函数表达式正确的（ ）

A . y ＝x 2－x ＋4

B . y ＝x 2

－x ＋6 C . y ＝x 2

＋x ＋4 D . y ＝x 2

＋x ＋6

例5. 已知函数抛物线的顶点坐标为(-3，-2)，且过点(1，6)，求此抛物线的解析式。

知识点3 用交点式确定二次函数表达式

如果知道抛物线与x 轴的两个交点坐标分别为A （x 1,0）和B （x 2,0）两点，这时可以设二次函数的解析式是))((21x x x x a y --=，这种形式，我们称为二次函数的交点式。 设出交点式后，只需再找出二次函数图象上的一点，把它带入二次函数的交点式，解方程即可求得a 的值，最后回代到交点式即可（提示：最后一般要把二次函数的解析式化成一般式）。

例1.抛物线y ＝ax 2

＋bx ＋c 过(-3，0)，(1，0)两点，与y 轴的交点为(0，4)，则该抛物线的表达式为 ．

例2.抛物线y =ax 2

+bx +c 与x 轴的两个交点为（-1，0），（3，0），其形状与抛物线y =-2x 2

相同，则y =ax 2

+bx +c 的函数表达式为_______________.

例3.已知二次函数y =x 2

+bx +c 的图象经过点A （-1，0），B （1，-2），该图象与x 轴的另一个交点为C ，则AC 长为_______.

例4.已知二次函数y ＝2316x bx c -

++的图象经过A （0，3）

，B （－4，9

2

-）两点． （1）求b ，c 的值； （2）二次函数y ＝2

316

x bx c -

++的图象与x 轴是否存在公共点？若有求公共点的坐标；若没有，请说明理由．

二次的函数的应用

利用二次函数求图形的最大面积

销售中的最大利润

二次函数中的实际应用综合

知识点1 利用二次函数求图形的最大面积

1.矩形的一边长为l m ，则另一边长为?矩形的面积S 怎样表示?

2. 本题中有几个变量?分别是?S 是l 的函数吗?l 的取值范围是什么?

3. 利用什么知识来确定l 是多少时S 的值最大？

4.不规则图形的面积如何求:割补法、铅垂线法、等积法等。

例1.如图，利用一面长为34米的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地ABCD，在AB和BC边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏）．设矩形ABCD的边AD长为x米，AB长为y 米，矩形的面积为S平方米，且x＜y．

（1）若所用铁栅栏的长为40米，求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）在（1）的条件下，求S与x的函数关系式，并求出怎样围才能使矩形场地的面积为192平方米？

知识点2 销售中的最大利润

复习回顾一下商品销售中的各个相关量以及它们之间的数量关系

利润＝售价－进价＝进价×利润率

利润率＝售价进价

进价

×100%＝

利润

进价

×100%

打折销售中的售价＝标价（定价）×打折数×0.1

售价＝成本＋利润＝成本×（1＋利润率）

利息＝本金×利率

例1.某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出400千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．

（1）当每千克涨价为多少元时，每天的盈利最多？最多是多少？

（2）若商场只要求保证每天的盈利为4420元，同时又可使顾客得到实惠，每千克应涨价为多少元？