§5 数学模型：定积分的应用

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§5 数学模型：定积分的应用

定积分的概念来源于几何学上求曲边梯形的面积和物理学中的实际问题，因而有着广泛的应用。由于定积分定义为积分和的极限，因此当所研究的量可以归结为求类似积分和的和式的极限时，就可用定积分来求解。其思想方法为：“分割，代替，求和，取极限。”

定积分的思想常应用在建立求总量的数学模型中，它在几何、物理、经济、社会学等几乎每一门学科中都有着广泛的用途，成为定量研究各种自然规律与社会现象的必不可少的工具。各种在整体范围内为变化的或弯曲的几何或物理对象，在经过分割后的局部范围内可以近似的认为是不变的或直的，然后用定积分（求和）的思想建立定积分模型。

为了今后讨论方便，需要寻找建立这一类模型的共同的简单方法，从而在建立积分模型时，不必重复定积分概念引入时的分析和推导过程。 5.1 定积分的微元法 1 定积分概念的实质分析

引例(积水问题) 设水流到水箱的速度为)(t r 升／分钟，问从0=t 到2=t 这段时间水流入水箱的总量W 是多少？

利用定积分的思想，这个问题要用以下几个步骤来解决。

Step(1) 分割：用任意一组分点把区间[]2,0分成长度为

),,2,1(1n i t t t i i i =-=∆-的n 个小时间段；

Step(2) 代替：设第i 个小时间段里流入水箱的水量是i W ∆ ，在每个小时间段上，水的流速可视为常量，得i W ∆的近似值

i i i t r W ∆≈∆)(ξ （i i i t t ≤≤-ξ1）

； Step(3) 求和：得W 的近似值

∑=∆=n

i i i t r W 1

)(ξ；

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Step(4) 取极限：得W 的精确值

⎰∑=∆==→2

1

d )()(lim t t r t r W n

i i i ξλ。

上述四个步骤 “分割－代替－求和－取极限” 可概括为两个步骤。 第一个步骤：包括分割和求近似．其主要过程是将时间间隔细分成很多小的时间段，在每个小的时间段内，“以常代变”，将水的流速近似看作是匀速的，设为)(i t r ，得到在这个小的时间段内流入水箱的水量

i i i t t r W ∆≈∆)(。

在实际应用时，为了简便起见，省略下标i ，用W ∆表示任意小的时间段

],[t t t ∆+上流入水箱的水量，这样

t t r W d )(≈∆，

其中，t t r d )(是流入水箱水量的微元（或元素）。

第二个步骤：包括“求和”和“取极限”两步，即将所有小时间段上的水量全部加起来，

∑∆=W W 。

取极限，当最大的小时间段趋于零时，得到总流水量：区间]2,0[上的定积分，即

⎰=2

d )(t t r W 。

2 微元法的步骤

一般地，如果某一个实际问题中所求量U 符合下列条件： (1) U 与变量x 的变化区间],[b a 有关；

(2) U 对于区间],[b a 具有可加性．也就是说，如果把区间],[b a 分成许多部分区间，则U 相应地分成许多部分量，而U 等于所有部分量之和；

(3) 部分量i U ∆的近似值可以表示为i i x f ∆)(ξ；

那么，在确定了积分变量以及其取值范围后，就可以用以下两步来求解： Step(1) 写出U 在小区间],[dx x x +上的微元x x f dU d )(≈，常运用“以常代变，以直代曲”等方法；

Step(2) 以所求量U 的微元x x f d )(为被积表达式，写出在区间],[b a 上的定

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积分，得

⎰=b

a

x x f U d )( 。

上述方法称为微元法或元素法，也称为微元分析法。这一过程充分体现了积分是将微分“加”起来的实质。

下面，我们将应用微元法求解各类实际问题。

5.2 定积分的几何应用

积分的计算产生于几何学问题：求平面图形的面积。后来，定积分广泛地应用在几何学中。德国天文学家、数学家开普勒1615年发表的《测量酒桶体积的新科学》中，应用无限小微元的思想计算出了大量复杂图形的面积和旋转体的体积。中国的刘徽在求圆面积时用的“割元素”——用圆的内接正多边形求圆面积，其作法也可以用微元法处理。本节将用微元法讨论一般平面图形的面积的计算。 1 平面图形的面积

我们讲过，若[,]f C a b ∈且()0f x ≥，则定积分()b

a f x dx ⎰表示由连线曲线

)(x f y =，以及直线b x a x ==， (a < b ) 以及x 轴所围成的曲边梯形的面积。当

()b

a

f x dx ⎰

0<时，定积分表示的是负面积，即()b

a

f x dx ⎰表示的是)(x f y =在]

,[b a 上的正负面积代数和。

例如

552220

2sin (sin sin )sin 321xdx xdx xdx xdx π

ππ

π

π

π

=++=-=⎰

⎰⎰⎰。若计算

x y sin =在[0，5

2

π]上的面积，则变为

552220

2sin (sin sin )sin 325x dx xdx xdx xdx πππ

π

π

π

=+-=+=⎰

⎰⎰⎰。

(1) 直角坐标形式下的面积公式 下面考察两种情形下图形的面积。 Case(1) 求由曲线)(x f y =、)(x g y =与 直线a x =、b x =围成的图形的面积。 如图5-1。对任一],[b a x ∈有)()(x f x g ≤. Step(1) 任意的一个小区间],[dx x x +（其

图5-1