动力学~3

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注意到：v mv
0,
r F M0 F
d M 0 mv M 0 F dt
质点（相对于定点O）动量矩定理： 质点对某定点O的动量矩对时间的一阶导数等于它所受 外力对同一点O的力矩。 投影式：
质点系对于质心（平移）的动量矩
LC r mi v i r mi v C v ir
' i ' i
mi ri' v C ri' mi v ir
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由质心坐标公式，有
mr
LC
N A 2 N 不 可 能
x
所以，NA=0，aC≠0
A
NA
G
B
NB
maC P cos 45 0 G cos 45 0 0 N B P cos 45 0 G cos 45 0
解 得 ： N B 140 . 01 N , a C 0 . 141 m / s 2
方向： 按右手法则
A mv
M 0 m v
x
质点动量mv在oxy平面内的投 影(mv)xy对于点O的矩，称对于z 轴的动量矩。

o
Q r A' y Q' (mv)xy 2
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Mz(mv) = 2OQ'A'
质点对点O的动量矩与对轴之矩的关系：
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解：选圆柱A为研究对象 1P 2 r A Tr 2g 选圆柱B为研究对象
1P 2 r B T 'r 2g P a C P T ' g


运动学关系：
aC r A r B

由、式得： 代入、式得：
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例3 均质圆柱体A和B的重量均为P，半径均 为r，一绳缠在绕固定轴O转动的圆柱A上，绳 的另一端绕在圆柱B上，绳重不计且不可伸长， 不计轴O处摩擦。 求： 圆柱B下落时质心的加速度。 若在圆柱体A上作用一逆时 针转向的转矩M，试问在什么条 件下圆柱B的质心将上升。
'
又 mivi mvC
x
o
y
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质点系对定点O的动量矩定理
d LO d rC m v C LC ri Fi e dt dt dLC e M C Fi dt ———质点系对于质心的动量矩定理
M
解2：利用运动微分方程求解 T 1G 2 R M T ' R 2 g a P a T P P g 又 a at R 求解得a .
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例2 均质圆柱质量m=10kg、半径r=0.5m，置 于光滑斜面上，今受一力P=100N作用，试求 圆柱体的角加速度及斜面约束反力。
解1：取系统研究。 动量矩：
外力矩：
ω
1G 2 P Lz R v R 2 g g
G O N v
M
M
e z
M PR
P
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又有ω=v/R，由动量矩定理 dL z M ze dt 得：
α
G
N T′
dv 2 M PR a g G 2 P R dt
由上可知：
1）若作用于刚体的主动力对转轴的矩的代数和不 等于零，则刚体的转动状态一定发生变化。 2）若作用于刚体的主动力对转轴的矩的代数和等 于零，则刚体的作匀速转动；若作用于刚体的主动力 对转轴的矩的代数和为常量，则刚体的作匀变速转动。 3）当主动力对转轴的矩一定时，刚体的转动惯 量越大，转动状态变化越小，转动惯量越小，转动状 态变化越大。
' i i
mr 0
' C
ri' m i v i
ri' m i v ir
即，以质点的相对速度或以其绝对速度计算质点系对 于质心的动量矩，其结果是相等的
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刚体的平面运动微分方程
刚体平面运动分解为随质心平动和绕质心转动 应用质心运动定理和相对于质心的动量矩定理， 得 e
质点、质点系动量矩定理的守恒形式
质点动量矩定理的守恒形式
M O F 0 M z F 0
M O mv 恒 矢 量 M z mv 恒 量
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刚体绕定轴的转动微分方程
Lz J z
A B
2g A B , 5r
4 aC g 5
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※ 转动惯量是刚体转动时惯性的度量
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刚体对轴的转动惯量
定义式 量纲 单位
Jz m i ri 2
i
d im J M L 2
kg m2
计算 简单形状物体的转动惯量计算（表11－1）
例：均质细长杆对z轴的转动惯量 z o x dx L 12 x
刚体的动量矩
平动：按质心计算 转动：
Z
Lz m z mi v i mi vi ri
i i 2
mivi
ri mi ω
mi ri ri mi ri
i i
引入：
Jz
m i ri 2 转动惯量
i

L z J z
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C d d1
J z J zc m d 2
*证明见教材
实验法测定复杂物体的转动惯量 怎样求？
J z1 ？ z m d 12 J
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质点系相对质心（平移坐标）动量矩定理
动量矩
z'
o ' i i i i i
Lo
又 ri rC r i
转动惯量：
J z m
2 z
即刚体的转动惯量等于该刚体的质量与回转半径平方的乘积
13Байду номын сангаас
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平行轴定理
刚体对某轴z的转动惯量，等于它 对过质心C并与Z轴平行的轴Zc的 转动惯量，加上刚体质量m与两轴 距离d的平方的乘积。
z
zc z1
动量矩定理
质点（相对定点）动量矩定理 动量矩
求导，得
M 0 m v r m v
d d dr d M 0 m v r m v m v r m v dt dt dt dt d dr 又 m v F, v O 为 定 点 dt dt d d M 0 m v r m v v m v r F dt dt

d M 0 m i v i M 0 Fi i M 0 F i e dt i i i i M 0 Fi 0 i d d d dt M 0 mi v i dt M 0 mi v i dt L0 i i d L0 M 0 F i e 质点系动量矩定理 dt i
理论力学
朱成九 主讲
土建学院力学教研室
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第十一章 动量矩定理
质点和质点系的动量矩
质点的动量矩（角动量）：质点的动量对于点O 之矩称为质点对点O的动量矩。
M 0 m v r m v
z φ
| rsinφ=2OQA 大小：Mo(mv)|=mv·


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投影式——质点系（相对于定轴）的动量矩定理
e e e M o M x i M y j M ze k
Lo Lx i Ly j Lz k
求导：
dL y d Lo dL x dL z i j k dt dt dt dt
d J C J C M C F e dt
刚体的平面运动微分方程
maC F

d rC e m 2 F dt 2 d J C 2 M C F e dt
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例题
例1 卷扬机鼓轮重G，半径为R，悬挂重物P, 今受一力矩M，试求重物的加速度。鼓轮视 为均质圆柱，绳重、摩擦不计。
d m x mv m x F dt d m y mv m y F dt d mz mv mz F dt
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