2020年人教A版高中数学必修第一册4.2指数函数解析版

思维导图

解析式的3个特征

4.2指数函数

函麹=於（心0且厂1）叫做指数函数，其中乂是白变最

齐为大于0且不等于攵.

留霧希缓蠶在槪比且册系数杲.

指

数

函

数

尸h a>L0

r r

图象

..曲必…心\ (OJ)

r=1

JTLX

1 勺O 1 X

定义域R

值域（a 十8）

过定点（0,1）

当Q0时.y>h当xX)时.0

性质当K0 时.(KX1 当K0时，y>l

在（一E, 4 G上鳧增函花（一E, 4-E）上是减

ft 曲数

奇偶性1F奇『偶函数非奇苗偶函数

指数函数的判断指数

函数的性质运用

同底找单调性

图像法：扌皺函数底大图高

杵差作商法

特殊值二找-2等

运用一指数函数判断

【例1］（1）函数/•（刃=（九2一九一1）分是指数函数，则实数祝=（）

A・2 B・1 C・3 D・2或一1

（2）函数尸（3^53+5）沪是指数函数，则有（）

A・a=l或a=4 B・a=l C・a=4 D・a>0,且呼1

【答案】（1） D （2） C

【解析】（l）由指数函数的定义，得m2-m-l=l,解得m = 2或一1,故选D.

/ — 5a + 5 = 1

(2) •••函数尸(a2-5a+5) 是指数函数，二«>0 ，解得a=4・故选C・

a 1

【触类旁通】

L下列函数是指数函数的是（）

A. y = n x

B. y = x2

C. y = —2X

D. y = 2x

【答案】A

【解析】根据指数函数的泄义：形如y = k（a> 1且aHl）的函数叫做指数函数，A中歹=十符合指数函数的怎义，是指数函数：B中，y = %2符合指数函数的左义，不是指数函数：C中，y = —2"不符合指数函数的圮义，系数为-1，不是指数函数：D中，y = 2^不符合指数函数的定义，不是指数函数.故选A.

2.若函数f（x） = （a? _ 2a — 2）• a”是指数函数，贝％的值是（）

A. —1

B. 3

C. 3或—1

D. 2

【答案】B

【解析】根据指数函数的立义：形如y = a”（a> 1且a工1）的函数叫做指数函数，根据这一沱义得到函数

(a2— 2a — 2 = 1

f (%) = (a? - 2a —2)・a*是指数函数> Aj a > 0 >解得a=3・故选B・

( a工1

运用二定义域值域

【例2】(1)函数的泄义域是(一oo, 0],则a的取值范围为()

A. a>0

B. a

C. 0

D.辱1

(2)若2「+】 < (扌)”7,则函数y = 2”的值域是()

A.右,2) B 扌厨C(一8,弓 D.[2, +oo)

(3)设a>0,且府1,函数y=^4-2^-1在[一1, 1]上的最大值是14,则实数a的值为_______________ .

【答案】(1) C (2) B (3)丄或3

3

【解析】(1)要使函数，=后=T(a> 0且a = l)有意义，

则a" — 1 > 0，即a x> 1 = a0,

当a > 1时，x > 0：

当0 V a V 1时，x <0.

因为y =后=1的泄义域为(-co, 0]所以可得0 V a V 1符合题意，

•••a的取值范用为0 VaVl,故选C.

(2)将2录+1 < (扌)"7化为F + 1 < -2(%-2),即X2 + 2%-3 < 0,解得x G [-3,1]»所以2一3 < 2X< 21, 所以函数y = 2乂的值域是[i,2].故选C.

(3 )令r=a\a>0,且辱1),

则原函数化为y =代)=(r +1严一2(r>0).

①当gvi, h 1]时，t=d K^[a.丄].

a

此时代)在["丄1上为增函数.

a

所以代加xj丄=丄+ 1] 2 = 14.

3丿U/

(1 \2 1 1

所以一 + 1 =16,解得a=-(舍去)或a=F・

\a y 5 3

②当a>l 时，xG[ 1, 1], r=a v G[丄，a].

此时代）在[丄，a}m伽数.所以/（『）沖=皿=3+1）2—2=14，解得a=3或幺=一5（金公）.综上得a a

=丄或3.

3

【触类旁通】

1.（2019浙江期中）已知函数y = 二方定义域为R ,则实数d的取值范囤是 ____________ .

【答案】

【解析】丁函数的定义域为R，则2r-«>Ofe成立，即a<2x恒成立，

•.•2v>0, :.a<0,故答案为：“SO

2.（2018浙江学军中学高一期中）已知f（x） = 73?+2ax-a-l的泄义域为R，则实数a的取值范用是_____ . 【答案】[-1, 0]

【解析】T/CO =丁3*心~_1的定义域为R, 3?+2—*_1> 0对任惫WR恒成立，

即3宀2心虫> 1 = 3。恒成立，即x2+2ax -处0对任意xwR恒成立，

•••△=4°2+仕0,则-l

3.（2019•贵州高一期末）若函数y = y]6 + x-x2的左义域为A，则函数y = 4v-2v+，UeA）的值域为