第五章弯曲应力知识讲解

第五章弯曲应力

第五章弯曲应力

内容提要

一、梁的正应力

I、纯弯曲和横力弯曲

纯弯曲：梁横截面上的剪力为零，弯矩为常量，这种弯曲称为纯弯曲。

横力弯曲：梁横截面上同时有剪力和弯矩，且弯矩为横截面位置x的函数，这种弯曲称为横力弯曲。

U、纯弯曲梁正应力的分析方法：

1. 观察表面变形情况，作出平面假设，由此导出变形的几何方程；

2. 在线弹性范围内，利用胡克定律，得到正应力的分布规律；

3. 由静力学关系得出正应力公式。

川、中性层和中性轴

中性层：梁变形时，其中间有一层纵向线段的长度不变，这一层称为中性层。

中性轴：中性层和横截面的交线称为中性轴，梁发生弯曲变形时横截面就是绕中性轴转动的，在线弹性范围内，中性轴通过横截面的形心。

中性层的曲率，平面弯曲时中性层的曲率为

1 M x

x El z

式中：x为变形后中性层的曲率半径，M x为弯矩，El z为梁的弯曲刚度示梁弯曲变形的程度。

W、梁的正应力公式

1. 横截面上任一点的正应力为

My

I

(5-1) (5-1)式表

(5-2)

t ,max ，使t,max 和c,max 同时达到其许用应力

c ,max

正应力的大小与该点到中性轴 z 的距离y 成正比，试中M 和y 均取其绝对值，可根据 梁的变形情况判断是拉应力或压应力。 2. 横截面上的最大正应力，为

My max

（5-3）

max

1 z

W z 丄

（5-

4）

y max

W z 为弯曲截面系数，对于矩形、圆形和弯环截面等， W z 的公式应熟记。

3. 弯曲正应力公式的适用范围： 1）

在线弹性范围内 p ，在小变形条件下的平面弯曲弯。

2） 纯弯曲时，平面假设成立，公式为精确公式。横力弯曲时，平面假设不成立，公式 为近似公式，当梁的跨高比-5时，误差 2%。

h

V 、梁的正应力强度条件

拉、压强度相等的等截面梁

式中， 为料的许用正应力。

当梁内t,max c,max ，且材料的t

c

时， t,max

t ?

切、提高梁正应力强度的措施

1） 设法降低最大弯矩值，而提高横截面的弯曲截面系数。可使梁的最大正应力降低, 从而提高梁的承载能力。

2） 对于t c 的梁，应使横截面的中性轴偏于受拉一侧，最好使

M max

max

W z

(5-5)

强度条件应为

c,max

3）采用等强度梁或变截面梁，使每个横截面上的最大正应力同时达到许用应力或接近 许用应力。

二、梁的切应力

梁的切应力公式的分析方法是，首先对切应力在横截面上的分布规律作出部分假设， 再根据微段的平衡条件导出切应力公式。横截面形状态不同，对切应力在横截面分布规 律的假设不同，必须按不同横截面形状分别导出其切应力公式。

I 、矩形截面梁

线部分微段的平衡条件，得

F s S zX bj

的横向线以下（或以上）的部分面积b

J y 对中性轴z 的静面矩，其值为

[| \M dM x

M"煬 初 x .d> 丄 y

「

yT h b

假设切应力的方向平行于剪力F s ，

其大小沿宽度 b 均匀分布（图b ）,由图a 中带阴影

(5-6)

式中，F s 为横截面上的剪力，b 为横截面的宽度,

I z

bh 3 12，

S ；为横截面上距中性轴为

y

(a)

max

s；y2，可见切应力沿横截面高度h按抛物线规律变化, h2处, y 0（中性轴处）时, max，其值为

3 F s max

2 bh

3 Fs

2 A

(5-7)

U、工字形截面梁

1.腹板上的切应力

切应力的分布假设同矩形截面梁，由微段（图5-2b ）的平衡条件，得

F s S X "dlT

式中，F s 为横截面上的剪力，d 为腹板的宽度，I z 为整个工字形截面对中性轴的惯性矩, S ；为距中性轴z 为y 的横向线以下（或以上）的部分横截面面对对中性轴z 的静面矩 1 1 h S ：丄b h

-d - y 2，可见剪应力沿腹板高按抛物规律分布（图5-2，d ），

2

2

2

在腹板和翼缘交界处min ，在中性轴处max ，其值为

式中，S z,max 为中性轴以下（或以上）的半个横截面对中性轴z 的静面矩，计算min 时，S ：为 下（或上）翼缘的面积对中性轴z 的静面矩。型钢时l z ；S z,max 为型钢表中的l x ；S x

腹板的主要功能之一是抗剪切，腹板承受铅垂剪力的约 95%~97%

2. 翼缘上的切应力

翼缘上的水平切应力沿其厚度 均匀分布，由图c 所示微段的平衡条件得

(5-8)

max

dI

(5-9)

F s S x

I z

(5-10)

式中，为翼缘的厚度，F s和I z的意义和(5-8)式相同，S：为距翼缘端部为的部分翼缘面积对

中性轴z的静面矩，S；h，0 --，可见i沿翼缘宽度

2 2 2 2

按线性规律变化(图5-2，d)。

3. 切应力流

根据剪力F s的指向确定腹板上切应力的指向，按顺流方向确定翼缘上的切应力方向，

例如：设F s的方向向下，上翼缘上的切应力犹如水流一样由其两端的两股水流流向腹

板，经由腹板，再分成两股流入下翼缘两端。根据切应力流的概念可以判断开口薄壁杆

的切应力方向。

川、由狭长矩形组合的组合截面梁的切应力