数列知识点总结

数列知识点

一.基本概念：数列的定义及表示方法；数列的项与项数；有穷数列与无穷数列；常数列、递增（减）数列、摆动数列、循环数列；通项公式n a ；前n 项和公式n S 。

二.任意数列的通项n a 与前n 项和n S 的关系：⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n

n 注意：若1a 满足由1--=n n n S S a 推出的n a ，则需要统一“合写”

；若不满足，则数列的通项应分段表示。 三.等差数列

1.等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=，d k n a a k n )(-+=

注：当0≠d 时，n a 是关于n 的一次式；当0=d 时，n a 是一个常数。

2.等差数列的前n 项和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=

注：当0≠d 时，n S 是关于n 的二次式且常数项为0；当0=d 时（01≠a ），1na S n =是关于n 的 正比例式。

3.等差中项：若x ，A ，y 成等差数列，则称A 为y x ,的等差中项，且y x A +=2

4.等差数列}{n a 中，若∈q p n m ,,,N *且满足q p n m +=+，则q p n m a a a a +=+。

5.等差数列}{n a 的公差为d ，则任意连续m 项的和构成的数列m S 、m m S S -2、m m S S 23-、…仍为等差数列。例如：若}{n a 为等差数列，则2S ,24S S -,46S S -仍成等差数列。

6.两个等差数列}{n a 与}{n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，则1

212--=n n n n T S b a （略证：1212121

1212)12(2)

12()12()12(----=+-+-=--=n n n n n n n n T S b b n a a n b n a n b a ） 7.在等差数列}{n a 中,有关n S 的最值问题

（1）邻项变号法

①当01>a ，0

m m a a 的项数m 使得m S 取最大值。 ②当01d 时，满足⎩⎨⎧≥≤+0

01m m a a 的项数m 使得m S 取最小值。 （2）利用n S （0≠d 时，n S 是关于n 的二次函数）进行配方（注意n 应取正整数）

四.等比数列

1.等比数列的通项公式：11-=n n q a a ，k n k n q a a -=

2.等比数列的前n 项和公式：当1=q 时，1na S n =

当1≠q 时，q

q a S n n --=1)1(1 3.等比中项：若x ，A ，y 成等比数列，则称A 为y x ,的等比中项，且y x A ⋅=2

4.等比数列}{n a 中，若∈q p n m ,,,N *且满足q p n m +=+，则q p n m a a a a ⋅=⋅

5.等比数列}{n a 的公比为q ，且0≠n S ,则任意连续m 项的和构成的数列m S 、m m S S -2、m m S S 23-、……仍为等比数列。例如：若}{n a 为等比数列，则2S ,24S S -,46S S -仍成等比数列。

注意：（1）等比数列中不含0项

（2）等比数列中奇数项（ 531,,a a a ）符号一致，偶数项（ 642,,a a a ）符号一致

五.由数列递推关系式求通项公式n a

1.公式法：利用等差等比定义求通项公式；

2.累加法：求)(1n f a a n n +=+型通项；

例1.已知数列}{n a 满足11=a ，n a a n n 21+=+，则=n a ______________

例2.已知数列}{n a 满足11=a ，()2311≥+=--n a a n n n ，则=n a

3.累乘法：求1)(-⋅=n n a n f a 型通项

例.已知数列{}n a 满足21=a ，)2()11(1≥+

=-n a n

a n n ，则=n a

4.通过n S 求n a :即已知数列}{n a 前n 项和n S ，则⎩⎨

⎧≥-==-2111n S S n S a n n n （注意：不能忘记讨论1=n ）

例1.已知数列}{n a 前n 项和n n S n 322+-=，则=n a __________

例2.已知数列}{n a 前n 项和232++=n n S n ，则=n a

注意：若1a 满足由1--=n n n S S a 推出的n a ，则需要统一“合写”；若不满足，则数列的通项应分段表示。

5.用构造等比数列求B Aa a n n +=-1型数列通项

例1.已知数列}{n a ，11=a ，1321+=

+n n a a ，则=n a

例2.数列}{n a 中，11=a ，)2(221≥+=-n a a n n ，则=n a

6.取倒数转化为等差数列

例1.数列{a n }中,a 1=1,()N n a a a n n n ∈+=

+221

例2.已知数列}{n a 满足11=a ，131+=

+n n n a a a ，则n a =_______

六.数列求和n S 的常用方法（关键是找数列的通项结构）

1.分组法（n n n b a c +=，其中}{},{n n b a 为两类数列）

例.已知数列}{n a 的通项为n n n a 32+=，则=n S

2.错位相减法（n n n b a c ⋅=其中}{n a 为等差数列，}{n b 为等比数列，

且公比为q ，求数列{}n c 的前n 项和时，可采用这一思路和方法。

（2）写出“n S ”与“n qS ”的表达式时，将两式“错项对齐”，计算“n n qS S -” 例.已知数列}{n a 的通项为：n n n a 2)12(-=，则=n S

3.裂项相消法（将数列的通项裂成两项之差求和时，正负相消，剩下首尾若干项） **裂项后注意通分检查** 常见裂项有：)11(1)(1k n n k k n n +-=+、)(11n k n k

n k n -+=++…… 例1.已知数列}{n a 的通项为)12)(12(1+-=

n n a n ，则前n 和=n S

例2.已知数列}{n a 中，n

n a n ++=

11。若其前n 项和10=n S ，则项数=n 。

4.有关绝对值的问题（关键是找到数列中负数的项有多少个，再求和）

例.在等差数列}{n a 中201-=a ，2=d ，则数列|}{|n a 前n 和=n T