幻方数学题九宫格

合集下载

数阶幻方的编排方法

精心整理奇数阶幻方的编排方法简便易学的编排方法。

一、九子排列法宋朝数学家杨辉在《续古摘奇算法》中，总结“洛书”幻方的编排方法时说：三阶幻方的编排方法是“九子排列，上下对易，左右相更，四维挺出”。

这四个句子是什么意思呢？我们通过下面的一组图来加以理解。

先画出一个3×3的“九宫格”，并在第二列上、下方和第二行左、右边各添加一个虚线格子，把1～9这九个数字按顺序写在如上图所示的三排斜线上，然后上、下对调，左右交换，（因为我123图1）4然后把551下面以五阶幻方为例，再介绍一种奇数阶幻方的编排方法。

步骤如下：①先画出一个5×5（五行五列）的方格，在方格的四周画出凸阶梯式的虚线方格（如下图1）②把1～25这二十五个数按斜行方向从左到右依次填入图中（如上图2）；③以3、15、23、11四个数为顶点（实际上就是五阶幻方的四个顶点）画出一个正方形；④把正方形外面凸出的虚线方格中的数按“上移下，下移上；左移右，右移左”的方法，全部平移5格到对应部分的方格中，擦掉虚线格子，就得到一个五阶幻方（见下图）。

这种编排幻方的方法叫“巴舍法”，也叫平移补空法，它和“罗伯法”一样，也适用于一切的奇数阶幻方的编排。

需要提醒大家注意的是，在步骤②中，填写1～25这二十五个数时，可以从左向右上填写，也可以从右向左上填写，或者从上向右下填写，还可以从上向左下填写，其移动后的结果都是一个五阶幻方，同学们可以自己动手试一试。

另外，编排n 阶幻方时，不一定非要从1开始，只要是这些数能构成等差数列就可以了。

练习（一定要完成的哦）1、使用“罗伯法”将4～12编排一个三阶幻方。

2、用“罗伯法”将21、31、32、41、43、61、121、125、127编成一个三阶幻方。

3、使用“巴舍法”将1～49编排一个七阶幻方。

双偶数阶幻方的编排方法一、中心对称交换法例1、用1～16这十六个数编排一个四阶幻方（四行四列）。

【分析与解答】用1至16编排一个四阶幻方，就是把1～16这十六个数填入四行四列的方格34。

有趣的九宫格填数解读

有趣的九宫格填数江苏省泗阳县李口中学沈正中九宫格填数是幻方中最简单的一种填数形式。

如果一个n 2矩阵的每行、每列及两条对角线的所有数之和都相等，且这些数都是从1到 n2的自然数，这样的方阵就称为n 阶幻方。

有关幻方问题的研究在我国已流传了两千多年，这是一类形式独特的填数问题。

九宫格实质上是幻方中n ＝3时的三阶幻方。

三阶幻方传说最早出现在夏禹时代的“洛书” ，在北周的甄弯注《数术记遗》一书中，记有三阶幻方的填法：九宫内，二四为肩，六八为足，左七右三，戴九履一，五居中央。

我国南宋时期杰出的数学家杨辉，是最早系统研究幻方的数学家。

他曾将幻方命名为“纵横图” (三阶幻方也叫络书或九宫图，并给出了三阶、四阶幻方构造方法的说明，四阶以上幻方，杨辉只画出图形而未留下作法。

但他所画的五阶、六阶乃至十阶幻方全都准确无误。

杨辉在在《续古摘奇算法》中，总结出了三阶幻方构造的方法：“九子斜排（1、2、3，4、5、6，7、8、9），上下对调（1、9），左右相换（7、3），四维挺出（4、2、8、6）。

”意思是：先把l ～9九个数依次斜排（如下图一），再把上l 下9两数对调（如下图二），左7右3两数互换（如下图三），最后把四面的2、4、6、8向外面挺出（如下图四），这样就构造了一个三阶幻方。

1 9 9 42 4 2 4 2 4 9 2 7 53 7 5 3 3 5 7 3 5 7 8 6 8 6 8 6 8 1 6 9 1 1图一图二图三图四三阶幻方的填法不是唯一的，矩阵的第一行与第三行对调，或第一列与第三列对调，可以得出4种填法，将其中的任意一种填法旋转90°，又可以得到另外的4种填法。

例如，将上面图四的第一列与第三列对调，就可以得出前面口诀中的填法。

通常我们把幻方中每行3个数的和称为幻方的幻和，幻方正中心的那个数叫做中心数，中心数也就是这9个数的中位数。

从1到9这9个数的和为：1+2+3+…8+9=45；则三阶幻方每行3个数字之和即幻和为：45÷3=15。

三年级上册趣味数学(8)幻方(九宫格九宫阵)

三年级趣味数学（8）九宫格与阵班级姓名1.在1——9这九个数中，取其中3个不同的数相加，使和为15，你能写出哪些三组数？（例如1，5,9。

1+5+9=15）１＋５＋９＝１５２＋４＋９＝１５３＋４＋８＝１５１＋６＋８＝１５２＋５＋８＝１５３＋５＋７＝１５２＋６＋７＝１５４＋５＋６＝１５3.探索三阶幻方的特点（1）对角线上三个数之间有什么关系？（2）“十”字形中纵列或横行三个数之间有什么关系？（3）中宫数（最中间的数）与九个数之间有什么关系？（4）研究特殊的等腰三角形数之间的关系。

4.利用掌握三阶幻方的特点制作三阶幻方。

２９４７５３６１８６７２１５９８３４８１６３５７４９２４３８９５１２７６６１８７５３２９４2 7 6 9 5 1 43 87 22 13 22 16 10 19 4 257 8 12 14 9 4 6 10 1110 21 8 11 13 15 18 5 165.九宫阵（俗称数独）。

将1——9这九个数填入每行、每列、每个九宫格的小方格内。

每个数字在每行、每列、每个九宫格内只能出现一次。

13 15 108 11541057 4 13 981 6 92 3 68 2 95 7 46 47 23 1 982 7 1 68 4 532 5 9 7 3165 7342 48 9 1 73 9 16 8 2 4287 9 81 2 54 96 325 68 5 7 6 41 37 5 9294 8 7 637 1 56 5 3 14 298 5 67 74 1 3 9 8 2 56 52 3147 89。

九宫格的填数

九宫格的填数填数游戏：请将1-9个数字填到右面的9个方格中，要求方阵中每行、每列及对角线上的数字之和都相等。

这类问题有什么技巧吗？答案是肯定的。

一、口诀一：“一居上行正中央，依次斜填切莫忘；上出框时向下放，右出框时向左放；排重便在下格填，右上排重一个样。

”这口诀不仅适用于九宫,也适用于推广的奇数九宫,如五五图,七七图等等. 1、先将1填入第1行最中间一格；2、沿着右斜向上方向填入下一个数字2；如果右上方的方格不在这个区域内，就将它向水平方向或竖直方向移动（水平方向向左移动到最左端的方格中，竖直方向向下移动到最下面的方格中）；3、如果右上方的方格已经有数字，那么就将下个数字填在前一个数字的下方；4、如果右上方的方格向左或向右移动都不在区域内，仍然将它填在前一个数字的下方；5、继续以上步骤，就可以完成所有方格数字的填写。

特别注意的是，这种方法不但可以填3×3的方阵，还可以填所有奇数×奇数方阵。

如7×7，9×9方阵等。

二、在《射雕英雄传》中黄蓉曾破解九宫格，口诀：戴九履一，左七右三，二四有肩，六八为足，五居中央。

但是“二四有肩，六八为足“只是提示答案的快捷方法，并不是具体的解法。

三、九宫格填数的决窍（三阶幻方）活动要求：1、熟练100以内的加法口算。

2、知道两个单数或两个双数相加的和一定是双数，一个单数和一个双数相加的和是单数。

例1：把1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数分别填入右边的九宫格里，使横行、竖行、斜行三个数的和都相等。

1、要解决这个问题，关键是什么？先要求出“和”是多少？怎么求呢？方法是先把所有数的和求出来：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45然后因为三行和都相等，所以45/ 3=15 所以各行各列的和是15。

（写在格子旁）师：接下来再考虑什么？2、中间数是几？是53、然后将凑成10的四对数填在四周，这四对数的填法也很有讲究。

因为“15”是单数，根据：单数+单数=双数单数+双数=单数双数+双数=双数只能把两对双数（2、4、6、8）填在四个角上，并且对角线的和=15，四角可以旋转。

有趣的九宫格填数

有趣的九宫格填数江苏省泗阳县李口中学沈正中九宫格填数是幻方中最简单的一种填数形式.如果一个n2矩阵的每行、每列及两条对角线的所有数之和都相等，且这些数都是从1到 n2的自然数，这样的方阵就称为n阶幻方。

有关幻方问题的研究在我国已流传了两千多年，这是一类形式独特的填数问题。

九宫格实质上是幻方中n＝3时的三阶幻方.三阶幻方传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，在北周的甄弯注《数术记遗》一书中，记有三阶幻方的填法：九宫内，二四为肩，六八为足，左七右三，戴九履一，五居中央。

我国南宋时期杰出的数学家杨辉，是最早系统研究幻方的数学家。

他曾将幻方命名为“纵横图”（三阶幻方也叫络书或九宫图), 并给出了三阶、四阶幻方构造方法的说明,四阶以上幻方，杨辉只画出图形而未留下作法.但他所画的五阶、六阶乃至十阶幻方全都准确无误。

杨辉在在《续古摘奇算法》中,总结出了三阶幻方构造的方法：“九子斜排（1、2、3，4、5、6，7、8、9)，上下对调（1、9)，左右相换（7、3），四维挺出（4、2、8、6）。

”意思是：先把l~9九个数依次斜排（如下图一），再把上l下9两数对调（如下图二),左7右3两数互换(如下图三）,最后把四面的2、4、6、8向外面挺出（如下图四），这样就构造了一个三阶幻方。

1 994 2 4 2 4 24 927 5 3 75 3 3 57 3 578 686868 1 69 11图一图二图三图四三阶幻方的填法不是唯一的，矩阵的第一行与第三行对调，或第一列与第三列对调，可以得出4种填法，将其中的任意一种填法旋转90°，又可以得到另外的4种填法。

例如，将上面图四的第一列与第三列对调,就可以得出前面口诀中的填法.通常我们把幻方中每行3个数的和称为幻方的幻和，幻方正中心的那个数叫做中心数，中心数也就是这9个数的中位数。

从1到9这9个数的和为：1+2+3+…8+9=45;则三阶幻方每行3个数字之和即幻和为：45÷3=15。

三年级上册趣味数学(8)幻方(九宫格九宫阵)ys

三年级趣味数学（8）
九宫格与阵
班级姓名
1.在1——9这九个数中，取其中3个不同的数相加，使和为15，你能写出哪些三组数？（例如1，5,9。

1+5+9=15）
2.如右图把一个正方形划分为3行3列9个方格，我们俗称“九宫
格”。

每个方格填一个数，使横行、数列以及对角线上三个数的和相
等。

这样的九宫格成为三阶幻方。

把上面的1——9这九个数填入格子中，使横行、数列以及对角线上
三个数相加的和为15，怎样填呢？
3.探索三阶幻方的特点
（1）对角线上三个数之间有什么关系？
（2）“十”字形中纵列或横行三个数之间有什么关系？（3）中宫数（最中间的数）与九个数之间有什么关系？（4）研究特殊的等腰三角形数之间的关系。

4.利用掌握三阶幻方的特点制作三阶幻方。

5.九宫阵（俗称数独）。

将1——9这九个数填入每行、每列、每个九宫格的小方格内。

每个数字在每行、每列、每个九宫格内只能出现一次。

九宫格的解题过程讲解

九宫格的解题过程第1步首先计算每行数字之和。

1－9九个数字之和：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45九宫格共有三行，并且每行的数字之和相等，因此45/3＝15，即每行数字之和为15。

第2步计算中间格的数字。

考虑第2行，第2列，和2条对角线的数字之和。

它们的总和为 15/4 ＝ 60。

在它们的总和中，中间格子的数字出现了4次，其它位置格子的数字都出现了而且仅出现了1次。

所以，它们的总和＝（4×中间格子的数字）＋（其它8个数字）＝（3×中间格子的数字）＋（1－9九个数字之和）因此， 60＝3×中间格子的数字＋45，中间格子的数字等于5第3步，奇数不能出现在4个角上的格子里。

比如，如果数字9出现在角上的格子里，那么为了保证9所在行或所在列的数字和为15，必须需要4个数字，两两之和必须为6。

1，2，3，4，6，7，8中，只有2和4组成和为6的数字对，找到第2个和为6的数字对是不可能的。

因此，数字9不能出现在4个角上的格子里。

同样道理，1，3，7也不能出现在4个角上的格子里。

第4步，2，4，6，8必须填在4个角上的格子里，并且保证对角线数字和为15。

第5步，将1，3，7，9填入相应的格子里就完成了九宫格填数字任务，注意和为15的条件。

完成了填九宫格的任务后，我们进一步考虑，如果上面九宫格内所有数字都加数字1会发生什么呢？即可不可以用数字2，3，4，5，6，7，8，9，10填九宫格，得到每一行，每一列，每一对角线的三个数字之和都相等的新九宫格呢。

显而易见，上面九宫格每行每列每对角线数字之和为18，奇数3，5，7，9处在4个角上的格子里，中间数6处在中间的格子里。

从1－9和2－10各九个数字所填充的九宫格可以得出下列规律：1）九个数字是由9个相连的整数构成的。

2）九个数字中正中间的数字填在九宫格的中间格子里。

1－9中的5，2-10中的6等。

3）每行每列的数字和等于中间数字的三倍。

九宫格的解题过程

九宫格的解题过程第1步首先计算每行数字之和。

1－9九个数字之和：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45九宫格共有三行，并且每行的数字之和相等，因此45/3＝15，即每行数字之和为15。

第2步计算中间格的数字。

考虑第2行，第2列，和2条对角线的数字之和。

它们的总和为 15/4 ＝ 60。

在它们的总和中，中间格子的数字出现了4次，其它位置格子的数字都出现了而且仅出现了1次。

比如，如果数字9出现在角上的格子里，那么为了保证9所在行或所在列的数字和为15，必须需要4个数字，两两之和必须为6。

1，2，3，4，6，7，8中，只有2和4组成和为6的数字对，找到第2个和为6的数字对是不可能的。

因此，数字9不能出现在4个角上的格子里。

同样道理，1，3，7也不能出现在4个角上的格子里。

第4步，2，4，6，8必须填在4个角上的格子里，并且保证对角线数字和为15。

第5步，将1，3，7，9填入相应的格子里就完成了九宫格填数字任务，注意和为15的条件。

显而易见，上面九宫格每行每列每对角线数字之和为18，奇数3，5，7，9处在4个角上的格子里，中间数6处在中间的格子里。

从1－9和2－10各九个数字所填充的九宫格可以得出下列规律：1）九个数字是由9个相连的整数构成的。

2）九个数字中正中间的数字填在九宫格的中间格子里。

1－9中的5，2-10中的6等。

3）每行每列的数字和等于中间数字的三倍。

趣味数学游戏——幻方

趣味数学游戏——幻方当你还是个小学生的时候，也许就玩过这样一种数学益智游戏，就是把1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字，分别填在3×3的方格里，使之横、竖、对角线的数字相加都等于15（如下图），这样的“填数”的问题，在数学语言里就叫“幻方"。

而填在3×3方格里的,就叫3阶幻方.3阶幻方是最简单的幻方.这个简单的幻方相信大家都会了。

数学家们都喜欢研究幻方.幻方又称为魔方，方阵或厅平方，它最早起源于中国，宋代数学家杨辉称之为纵横图。

现在的幻方种类很多，有平面幻方,还有立体幻方、高次幻方等，平面幻方又分三角幻方,六角幻方(蜂窝幻方）等。

我们现在来讲一个简单的三角形的幻方。

将1~9九个数分别填入下图的圈内，使外面三角形上三边上的6个数之和等于里面三角形三边上的6个数字之和。

那么这个幻方有多少种答案呢?这个是我在小学的时候看到的题目,那时候对幻方一直都比较感兴趣，当时算出了39种答案，现在给大家分享下,也希望大家对幻方能够有更多的了解。

1 5 28 66 4 3和为27的填法72 13 9 8 645 8 1 2 3 7 96 5 4 9 1 3 278 5 6 4 和为28的填法9 1 4 2 6 7 5 8 35 7 4 9 1 2 4 7 8 56 3 8 2 1 37 9 5 6 48 2 1 4 79 6 5 3 和为29 的填法8 2 1 4 6 9 5 7 3 97 1 2 4 9 5 6 8 3 9 2 1 5 7 8 4 6 3 7 1 2 3 6 8 5 9 4 91 2 5 6 8 4 7 39 2 4 3和为30的填法7 1 8 5 4 3 2 9 6 9 1 3 6 5 7 4 8 2 7 2 1 3 6 8 5 9 4 9 3 1 5 6 8 4 7 2 7 2 1 4 6 82 1 6 5 9 4 73 9 3 24 6 75 8 4 和为31的填法9 2 3 7 6 5 4 8 1 8 1 3 7 5 6 4 9 3 8 3 1 5 6 7 4 9 25 8 3 7 2 9 3 26 57 48 1 84 1 65 7 3 9 2 8 2 3 64 75 9 1 和为32的填法84 1 65 7 3 9 24 9 1 94 2 75 6 3 8 1 7 2 3 84 65 9 1 9 5 26 47 38 1 和为33的填法74 1 85 6 3 9 2 89 6 3 7 4 6 1 8 2 和为34的填法7 6 2 8 4 5 3 9 1。

九宫格的解题过程

九宫格的解题过程第1步首先计算每行数字之和。

1－9九个数字之和：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45九宫格共有三行，并且每行的数字之和相等，因此45/3＝15，即每行数字之和为15。

第2步计算中间格的数字。

考虑第2行，第2列，和2条对角线的数字之和。

它们的总和为 15/4 ＝ 60。

在它们的总和中，中间格子的数字出现了4次，其它位置格子的数字都出现了而且仅出现了1次。

比如，如果数字9出现在角上的格子里，那么为了保证9所在行或所在列的数字和为15，必须需要4个数字，两两之和必须为6。

1，2，3，4，6，7，8中，只有2和4组成和为6的数字对，找到第2个和为6的数字对是不可能的。

因此，数字9不能出现在4个角上的格子里。

同样道理，1，3，7也不能出现在4个角上的格子里。

第4步，2，4，6，8必须填在4个角上的格子里，并且保证对角线数字和为15。

第5步，将1，3，7，9填入相应的格子里就完成了九宫格填数字任务，注意和为15的条件。

显而易见，上面九宫格每行每列每对角线数字之和为18，奇数3，5，7，9处在4个角上的格子里，中间数6处在中间的格子里。

从1－9和2－10各九个数字所填充的九宫格可以得出下列规律：1）九个数字是由9个相连的整数构成的。

2）九个数字中正中间的数字填在九宫格的中间格子里。

1－9中的5，2-10中的6等。

3）每行每列的数字和等于中间数字的三倍。

九宫格填数

九宫格的填数填数游戏：请将1-9个数字填到右面的9个方格中，要求方阵中每行、每列及对角线上的数字之和都相等。

这类问题有什么技巧吗？答案是肯定的。

一、口诀一：“一居上行正中央，依次斜填切莫忘；上出框时向下放，右出框时向左放；排重便在下格填，右上排重一个样。

”这口诀不仅适用于九宫,也适用于推广的奇数九宫,如五五图,七七图等等. 1、先将1填入第1行最中间一格；1；如果右上方的方格不在这个区域内，就将、沿着右斜向上方向填入下一个数字22它向水平方向或竖直方向移动（水平方向向左移动到最左端的方格中，竖直方向向下移动到最下面的方格中）；21133223、如果右上方的方格已经有数字，那么就将下个数字填在前一个数字的下方；在这里，但这本方格中已有数字！132 44、如果右上方的方格向左或向右移动都不在区域内，仍然将它填在前一个数字的下方；向左或向下移动都不在方阵区域中，所以7只能放在前一个数7 61的下方！7 3 52 4、继续以上步骤，就可以完成所有方格数字的填写。

5的方阵，还可以填所有奇数×奇数方阵。

3×3特别注意的是，这种方法不但可以填方阵等。

××如77，9915 17 8 24 116 23 14 5 722 13 6 20 4 6 1 83 19 12 21 10 7 3 591821125249二、在《射雕英雄传》中黄蓉曾破解九宫格，口诀：戴九履一，左七右三，二四有肩，六八为足，五居中央429357861上图按顺时针转动一周，可得到以下三个变化图2769514836183 5 729 44 3 85 9 17 2 6但是“二四有肩，六八为足“只是提示答案的快捷方法，并不是具体的解法。

三、九宫格填数的决窍（三阶幻方）活动要求：1、熟练100以内的加法口算。

2、知道两个单数或两个双数相加的和一定是双数，一个单数和一个双数相加的和是单数。

例1：把1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数分别填入右边的九宫格里，使横行、竖行、斜行三个数的和都相等。

幻方例题

幻方例题一一、三阶幻方（九宫图）例1、将1-9这9个数，填在图中的空格内，使横行、竖行和对角线上各数的和都相等。

解：这种图形填数，在我国称为“纵横图”“九宫格”。

国外叫它幻方或魔方阵。

宋代数学家杨辉介绍它的解答方法是：“九子斜排，左右相更，四维突出”共有八种解法。

九子斜排上下对易左右相更四维突出例2：将17、27、37、18、38、19、29、39这九个数填在正方形的空格中，使得每行、每列、每条对角线上3数之和相等。

从到达小排列：17〈18〈19〈27〈28〈29〈37〈38〈39 共分为3组：17、18、19；27、28、29；37；38；39 （17+18+19+27+28+29+37+38+39）÷9=28 中间填28因为每条都要对称，所以28×2=56 17+39=56 19+37=56 29+27=56 38+18=56 例3、将100、99、98、96、95、94、93、92这8个数填在正方形的空格中，使得每行、每列、每条对角线上3数之和相等。

平均数：96 中间数：96 相应两数关于96×2互补（100+99+98+96+95+94+93+92）÷8=96二、四阶幻方（十六宫图）例4、将1~16这16个数填在图中十六宫的方格中，使得每行、每列、每条对角线上四个数之和相等。

因为每行、列、对角线上四数之和为：（1+2+3+…+16）÷4=34而图中对角线上关于17互补的数有四对，所以将这四对数中互补的两数位置互换得到一解，或将另四对关于17互补的两数位置互换得到另一解，共有8种解法。

或例5、将12、14、16、18、20、22、24、26、28、30、32、34、36、38、40、42这16个数填在图中十六宫的方格中，使得行、列、对角线上四个数之和相等。

答：先将12~42横向排开，然后按4×4的对角交换再将中间的2×2的正方形中的数字对角交换例6、选择16个整数填在图中，使得每行、每列、每条对角线上四个数之和都为38。

幻方九宫格填写方法

幻方九宫格填写方法宝子们，今天来唠唠幻方九宫格的填写方法，可有趣啦。

幻方九宫格呢，就是一个3×3的格子，要把1 - 9这九个数字填进去，让每行、每列还有两条对角线上的数字之和都相等。

这个相等的和是15哦。

有一种简单的方法叫“罗伯法”。

咱先把1填在最下面一行中间的格子里。

这就像找个小角落先扎根。

然后呢，按顺序填数字。

下一个数字2就往右上格填。

可是右上格如果出了九宫格的范围，那就像调皮的小数字迷路了一样，这时候就把它放到九宫格的另一边。

就像2右上格出界了，那就把2填在九宫格最左边一列对应的格子里。

再填3的时候呢，继续右上格原则。

如果右上格已经有数字了，那这个数字就填在当前数字的下方。

比如说3右上格有1了，那3就填在2的下面。

按照这个规律一直填下去，就能把1 - 9顺利填进九宫格啦。

还有一种思路呢，咱可以从数字的组合来想。

因为每行每列对角线的和是15嘛。

那1 + 5+ 9 = 15，1 + 6 + 8 = 15，2 + 4+ 9 = 15，2 + 5+ 8 = 15，2 + 6 + 7 = 15，3 + 4+ 8 = 15，3 + 5+ 7 = 15，4 + 5+ 6 = 15。

咱可以先确定中间数字是5，为啥呢？因为5在这些组合里出现的次数最多呀，就像它是数字里的小明星，在九宫格中间坐镇最合适。

然后再根据这些组合，把其他数字安排到合适的位置。

宝子们，幻方九宫格是不是很神奇呀？你要是自己动手填一填，会发现特别好玩。

就像玩数字游戏一样，当你成功把九宫格填好的时候，那感觉就像打游戏通关了一样，超级有成就感呢。

这小小的九宫格，可藏着大大的数学乐趣哦。

趣味数学游戏——幻方

趣味数学游戏——幻方当你还是个小学生的时候，也许就玩过这样一种数学益智游戏，就是把1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字，分别填在3×3的方格里，使之横、竖、对角线的数字相加都等于15（如下图），这样的“填数”的问题，在数学语言里就叫“幻方”。

而填在3×3方格里的，就叫3阶幻方。

3阶幻方是最简单的幻方。

历代数学家们，都喜欢研究幻方，现在的幻方种类很多，有平面幻方，还有立体幻方、高次幻方等，平面幻方又分三角幻方，六角幻方（蜂窝幻方）等。

这里要重点介绍的，还是平面正方形幻方，3阶正方形幻方的等值是15，,这个等值是不可改变的，即是说你永远都无法设计出等值是14或者16的3阶幻方，对于4阶、5阶幻方乃至n阶幻方都一样，其等值都是唯一的、确定的。

其中4阶幻方的等值是34，5阶幻方的等值是65，对于任意n阶幻方，其等值为（n3+n）÷2。

其实，任意阶幻方构造法,任意维幻方构造法,任意次幻方构造法,数学家们都早已找到，不存在最大阶幻方的世界纪录之类的说法。

对平面幻方的构造，分为三种情况：N为奇数、N为4的倍数、N为其它偶数(4n+2的形式)1、 N 为奇数时，最简单(1)将1放在第一行中间一列;(2)从2开始直到n×n止各数依次按下列规则存放：按 45°方向行走，如向右上，每一个数存放的行比前一个数的行数减1，列数加1(3)如果行列范围超出矩阵范围，则回绕。

例如1在第1行，则2应放在最下一行，列数同样加1;(4) 如果按上面规则确定的位置上已有数，或上一个数是第1行第n列时，则把下一个数放在上一个数的下面。

2、 N为4的倍数时采用对称元素交换法。

首先把数1到n×n按从上至下，从左到右顺序填入矩阵然后将方阵的所有4×4子方阵中的两对角线上位置的数关于方阵中心作对称交换，即a(i,j)与a(n-1-i,n-1-j)交换，所有其它位置上的数不变。

九宫格数学

九宫格数学
九宫格数学是一种由九个方格组成的数学游戏。

每个方格中填入
一个数字，使得每一行、每一列和对角线上的数字之和都相等。

这个
和被称为“幻方常数”。

九宫格数学游戏可以通过逻辑推理和试错来解决。

通过观察已填
入的数字，我们可以尝试找出可能的数字组合，并逐步填入空白方格。

如果发现某一行、列或对角线上的和不等于幻方常数，就需要重新调
整数字的摆放位置，直到找到满足条件的解答。

九宫格数学不仅仅是一种有趣的游戏，它也被广泛应用于数学教
育和研究中。

通过解决九宫格问题，可以培养学生的逻辑思维能力和
问题解决能力。

同时，研究幻方的结构和性质也是数学领域的重要课
题之一。

九宫格数学的历史可以追溯到古代中国，早在约公元前2世纪，
中国数学家就开始研究幻方。

在后来的几个世纪里，幻方逐渐传播到
其他国家和地区，成为全球范围内受欢迎的数学游戏。

总之，九宫格数学是一种有趣的数学游戏，通过填入数字来满足
一定条件。

它有助于培养逻辑思维和问题解决能力，并且在数学教育
和研究中具有重要意义。

一起来学一学｜三阶幻方的填写技巧及其扩展应用

一起来学一学｜三阶幻方的填写技巧及其扩展应用三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，是由1,2,3,4,5,6,7,8,9九个数字组成的一个三行三列的矩阵，其对角线、横行、纵向的和都为15，称这个最简单的幻方的幻和为15。

中心数为5。

例题一用1，2，3，4，5，6，7，8，9填入三阶幻方中，使横竖斜的和相等。

例题一解析（1）1，2，3，4，5，6，7，8，9为公差是1的等差数列，求和：1+2+3+4+......+9=(1+9)×9÷2=45等差数列和=(首项+末项）×项数÷2（2）求出横竖斜的和为：45÷3=15（3）求出中间数为：15÷3=5例题一（4）列出3个数相加和为15的算式1+5+9 1+6+82+5+82+4+93+5+7 2+6+74+5+6 3+4+8例题一（5）◉在横竖斜中都会共用3次，看上面算式出现3次的有2，4，6，8由2+5+8，4+5+6两个算式可以看出2和8、4和6应分列对角。

例题一（6）按横竖斜的和为15将剩余空填满例题一例题二用1， 4， 7， 10， 13， 16， 19， 22， 25填入9宫格，是横竖斜的和相等。

例题二解析（1）1， 4， 7 ，10， 13， 16 ，19 ，22， 25 为公差是3的等差数列；例一中的1，2，3，4，5，6，7，8，9 为公差是1的等差数列。

1 2 3 4 5 6 7 8 91 4 7 10 13 16 19 22 25对照前一个三阶幻方数字位置可以直接填出例题二这里来前面的方法验证一下：1+4+7+……+25=26×9÷2=117可求出横竖斜的和117÷3=39中间数为39÷3=13例题二列出3个数相加和为45的算式1+13+25 1+16+224+13+224+16+197+13+19 4+10+2510+13+16 7+10+22得出4个角的数分别为4，10，16，22按规律即可填写完整例题三将如图的三阶幻方填写完整。

六年级下册数学试题 - 数学竞赛奇阶幻方问题全国通用(含答案)

2019小学数学六年级（全国通用）-数学竞赛部分-奇阶幻方问题（含答案）一、填空题1.把4～12这九个自然数填入九宫图内（如图），使每行、每列、每条对角线上三个数的和都等于24（每个数用一次）．2.把11、12、13、14、15、16、17、18、19填在图合适的方格里，使每横行、竖行、斜行的三个数相加都得45．3.字1～9被填入到下面3×3的方格中，其中每个数字都恰好被用了一次．如果在方格的右边和下边所写的数字代表的是该行或该列中所填数的乘积，则在“*”格中所填的数字应该是________ ．4.如图是九宫格，每个格子中有一个数（图中没有全部标出），已知它每行、每列、每条对角线上三个数的和都相等，则A格中的数是________ ．5.用11﹣﹣﹣35填出下列五阶幻方：6.在九宫格中，填入的都是大于0的整数，且每行，每列，每条对角线上三数之积相等，则图中A表示的整数等于________ ．7.请你在图中的空格里填上数，使横、竖的三个数的和都相等．8.将8、12、16、20、24、28、32、36、40这9个数，分别填入右图方格内，使每行每列及对角线上的三个数的和都相等．9.在如图中每个没有数字的格内各填一个数，使每行、每列及每条对角线的三个格中的数之和都等于108．那么，画有“？”的格内所填的数是________ ．10.将不大于12且互不相同八个自然数填入图中八个方格中，使九宫格图中的每一行，每一列以及对角线上的三个数的和都等于21．11.九个小方格，每个小方格内都有一个数，每行、每列以及对角线上三个数的和都相等，这样的九个数所组成的方块叫做九宫图!如表一就是一个九宫图．在表二的空格中分别填入________ ．表一表二．12.在右面的9个方格中分别填入﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6，使得每一行的三个数、每一列的三个数、斜对角的三个数之和都相等．13.在如图所示的3×3方格表中填入合适的数，使每行、每列以及每条对角线上的三个数的和相等．那么标有“★”的方格内应填入的数是________ ．14.在图的九个方格里，每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，则N=________ ．15.所谓“三阶乘法幻方”是指在3×3的方格中填入9个不等于0的整数，使得每行、每列及每条对角线上的三个数之积都相等．请将如图的“乘法幻方”补充完整，则其中的“X”所代表的数是________ ．二、解答题16.把2，3，4，…，10这九个数字填到图中的3X3方格内，使每行、每列及对角线上的三个数的和都相等．三、综合题17.智力填空（1）如图个正方形中各有一个数字，已知每一行、每一列及每条对角线上的三个数之和都相等那么右上角的数x=________ ．（2）一个三位数与其数字之和之比可能取得的最大值是________ ．（3）计算：（÷×÷×÷）×÷×÷×÷…，那么算到第130个数的结果是________ ．四、应用题18.在如图中的空格内填入适当的数，使每行、每列、每条对角线上各数的和都等于27．19.你将﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6这9个数分别填入图中的9个空格内，使每行的3个数、每列的3个数、斜对角的3个数相加均为6．20.将1～9填在右面的方格中，使每一横行、竖行、斜行的数相加的和都相等21.把20个棋子放到图中的方格里，每个格子都要放，怎样放才能使每边的棋子加起来都是6个？22.在下面的空格里填上合适的数，使每一横行、竖行、斜行的三个数的和都相等．45．答案解析部分一、填空题1.【答案】【考点】奇阶幻方问题【解析】【解答】解：中间数是24÷3=8；剩下的两个数的和是16，16=4+12=5+11=6+10=7+9；这个幻方是：【分析】根据题意，要使三阶幻方的幻和为24，所以中心数必为24÷3=8，那么与20在一条直线上的各个组的其余两个数的和为16，调整和为16两个数的位置填入幻方即可．2.【答案】【考点】奇阶幻方问题【解析】【解答】解：中间数是：45÷3=15；经过推算其它各数位置如下：【分析】先求出中间数：45÷3=15；剩余的每两个数的和是30；由30=11+19=12+18=13+17=14+16；调整每一对数的位置填入表格即可．3.【答案】4【考点】奇阶幻方问题【解析】【解答】解：有分析可知因为20=1×4×5，1×9×8=72，8×3×6=144，9×7×2=126，1，×4×5=20，填表如下：故答案为：4．【分析】首先从最小的数20开始分析，20=1×4×5，所以下面一行的数字只能是1、4、5，而由于与1、4、5再乘得出72、105、48，5只能在中间位置，如果第一个数字是4，则得出第一行的第一个数字是2；105=5×21，只有3×7=21，正中间数是3，得不出9×3×（）=126，是7，则有9×7×2=126，就与4×9×2矛盾，因此下面一行的数字顺序为1、4、5，得出*=4，进一步经过计算得出答案即可．4.【答案】9【考点】奇阶幻方问题【解析】【解答】解：由以上分析可得答案如下：因此A=9．故答案为：9．【分析】已知它每行、每列、每条对角线上三个数的和都相等，设中间的数为x，则幻和为3x，由图可知，B=2x﹣5，10+1+（2x﹣5）=3x，解得x=6；由此求得幻和为18，进一步推出C=3，A=9，B=7，D=11，E=2．5.【答案】【考点】奇阶幻方问题【解析】【解答】解：可以写出这个五阶幻方是：【分析】本题用爬楼梯的方法求解：最小的数（11）放在第一行正中；按以下规律排列剩下的24个数：（1）、每一个数放在前一个数的右上一格；（2）、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；（3）、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；（4）、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；（5）、如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同（4）．6.【答案】9【考点】奇阶幻方问题【解析】【解答】解：如图，因为3×4×C=C×1×B，所以B=12；因为3×B×x=4×x×A，3所以A=9．故答案为：9．【分析】已知它每行、每列、每条对角线上三个数的积都相等，由图可知，3×4×C=C×1×B，得出B=12，再由3×B×x=4×x×A，得出A=9；由此求得答案解决问题．7.【答案】【考点】奇阶幻方问题【解析】【解答】解：幻和是6×3=18；第二行第三列的数是：18﹣10﹣6=2；第三行第三列的数是：18﹣7﹣2=9；第一行第一列的数是：18﹣6﹣9=3；第一行第二列的数是：18﹣3﹣7=8；第三行第一列的数是：18﹣3﹣10=5；第三行第三列的数是：18﹣8﹣6=4；这个幻方就是：【分析】中间数是6，那么幻和是6×3=18；由此进行逐步推算即可．8.【答案】【考点】奇阶幻方问题【解析】【解答】解：8+12+16+20+24+28+32+36+40=216；幻和：216÷3=72；中间数：72÷3=24；这个幻方是：【分析】先求出这个9个数的总和，总和除以3就是幻和，再用幻和除以3就是中间数，根据中间数依次找出剩下数两两之和相等，填入方格．9.【答案】46【考点】奇阶幻方问题【解析】【解答】解：中间的数：108÷3=36；右下角：108﹣（54+36），=108﹣90，=18；左下角：108﹣（64+18），=108﹣82，=26；右上角：108﹣（36+26），=108﹣62，=46；要求的数是46；这个格子是：故答案为：46．【分析】使每行、每列及每条对角线的三个格中的数之和都等于108．那么最中间的数就是108÷3=36；由此求出右下角的数；再根据右下角的数和64两个数推算出左下角的数；进而推算出要求的数．10.【答案】【考点】奇阶幻方问题【解析】【解答】解：21÷3=7，中间数是7；21﹣7=14=2+12=4+10=5+9=6+8调整各个数的位置可得：【分析】幻和是21，所以中间数是21÷3=7，由此可以先前推算出前面的4个数是6、5、4、2，后面的四个数就是8、9、10、12；21﹣7=14=2+12=4+10=5+9=6+8，由此进行求解即可．11.【答案】90【考点】奇阶幻方问题九个数的和是：9×10=90；故答案为：90．【分析】表一中填入的是1～9这九个不同的自然数，中心数是5；表二中的中心数是10，还有另外两个数9、11，这三个数都是表一中相应位置上的数加5得来的，由此可把表一其它格中的数也加5填入表二即可；要求表二中九个数的和可用中心数乘9求得即可．12.【答案】【考点】奇阶幻方问题【解析】【解答】解：这个方格如下：【分析】（1）首先计算幻和：[（﹣2）+（﹣1）+0+1+2+3+4+5+6）]÷3=18÷3=6；再算出中心数：6÷3=2；剩余的每两个数的和是4：（﹣1）+5=4+0=（﹣2+6）=3+1；调整每一对数的位置填入表格即可．13.【答案】8【考点】奇阶幻方问题【解析】【解答】解：3+7+★=★+□+4，得出□=6，6×3=18，所以★=18﹣7﹣3=8；具体答案如下，故答案为：8．【分析】如图，首先由3+7+★=★+□+4，推出中间的数字为6；又因每行、每列以及每条对角线上的三个数的和相等，说明行、列以及对角线上的三个数的和是6的3倍为18，由此解决问题．14.【答案】18【考点】奇阶幻方问题【解析】【解答】解：每行、每列、每条对角线上的三个数的和是：8+6+16=30；中心数是：30﹣8﹣12=10，右上角的数是：30﹣16﹣10=4；第一行中间的数是：N=30﹣8﹣4=18．【分析】先确定每行、每列、每条对角线上的三个数的和，8+6+16=30；再确定对角线上的中心数：30﹣8﹣12=10，然后求出右上角的数：30﹣16﹣10=4；最后得出第一行中间的数N=30﹣8﹣4=18．15.【答案】8【考点】奇阶幻方问题【解析】【解答】解：如图：由20×16×A=A×4×B得出B=80，20×C×80=4×C×D得出D=400，20×400×X=80×E×X得出E=100，20×16×A=20×400×X得出A=25X，16×C×100=20×400×X得出C=5X，所以A×C×X=20×C×80，25X×X=1600X×X=64，X=8．故答案为：8．【分析】如图：因为每行、每列及每条对角线上的三个数之积都相等，可以得到20×16×A=A×4×B=B×E×X=X×D×20=A×C×X=20×C×B=4×C×D=16×C×E，选择合适的等式求得结论即可．二、解答题16.【答案】【考点】奇阶幻方问题【解析】【解答】解：2+3+…+8+9+10=54，幻和：54÷3=18；中间数：18÷3=6；剩下两个数=18﹣6=12=10+2=9+3=8+4=7+5，所以幻方如下：【分析】只看行，有三行，三行的总和是：2+3+…+8+9+10=54，由于每行上的三个数的和都相等，所以幻和是：54÷3=18；由于三个数的和是18，所以中心格的数字必须是：18÷3=6；然后把剩下的和为18﹣6=12的两个数：2和10，3和9，4和8，5和7，调整填入方格即可．三、综合题17.【答案】（1）16（2）100（3）【考点】奇阶幻方问题【解析】【解答】解：（1）如图，①X+a+b=c+d+19，②X+c+e=e+f+13，③X+d+f=X+a+b，所以3X+a+b+c+d+e+f=X+a+b+c+d+e+f+13+19X=16；（2）设三位数的百位、十位、个位分别是a，b，c，三位数表示为100a+10b+c；设（100a+10b+c）：（a+b+c）=k则100a+10b+c=ka+kb+kc；由于abc均为自然数，可知，k最大值是100，此时b，c均为0；（3）130÷6=21…4，（÷×÷×÷）×（÷×÷×÷）×…×（÷×÷）=1×1×1×…×（÷）=×=．故答案为：（1）16；（2）100；（3）．【分析】（1）如图，为了便于分析推导，先在方格内填入相应的字母来代替数，由于方格内已填好了两个数19和13，还有一个未知数x，根据“每一行、每一列以及两条对角线上的三个数的和都相等”可得等式：①X+a+b=c+d+19，②X+c+e=e+f+13，③X+d+f=X+a+b，三个等式左右两边各相加整理得出答案即可；（2）设三位数的百位、十位、个位分别是a，b，c；三位数表示为100a+10b+c；比值为k，探讨k的最大值得出答案即可；（3）÷×÷×÷=1每6个数为一组，用130除以6，看得到的余数是多少，确定最后算到那个数，进一步计算得出答案即可．四、应用题18.【答案】解：中心数为27÷3=9；第三列第二行的数为：27﹣5﹣10=12；第一列第三行的数为：27﹣5﹣9=13；第一列第一行的数为：27﹣13﹣6=8；第二列第一行的数为：27﹣8﹣5=14；第二列第三行的数为：27﹣14﹣9=4；把数填入图中得：【考点】奇阶幻方问题【解析】【分析】因为每行、每列、每条对角线上各数的和都等于27，所以幻和为27，中心数为27÷3=9，再据表格中的其它数，利用幻和取出即可．19.【答案】解：根据分析可得：【考点】奇阶幻方问题【解析】【分析】根据幻和是6，可得中心数是：6÷3=2；那么对角线、第二行、第二列剩下两个数的和就为：6﹣2=4；所以只要凑成：4=3+1=5+（﹣1）=0+4=﹣2+6，然后稍微调整一下即可得出答案．20.【答案】解：幻和：（1+2+3+4+…+9）÷3=45÷3=15；中间数：15÷3=5；其它两个数的和是10，1+9=2+8=3+7=4+6；【考点】奇阶幻方问题【解析】【分析】先求出这9个数的和，用这个9个数的和除以3求出幻和，再用幻和除以3求出中间数；再根据幻和减去中间数，就是剩下两个数的和，根据幻和，调整这些数的位置，得出幻方．21.【答案】解：四个角各放一个，其余四格各放4个，这样每边都是6个；如下图：【考点】奇阶幻方问题【解析】【分析】要使每边都是6个，从最简单的情况着手，即四个角的数量相等；如果四个角的数量都是3个，那么每边两个方格就有6个棋子，每边会空出一格不合适，所以角上的棋子数量不会超过2个；如果每个角上都是2个，那么每边中间的空格也是2个棋子，这样一共是2×8=16个棋子，不是20个，不合题意；如果每个角上都是1个，那么每边的中间的空格就是4个棋子，一共是1×4+4×4=20个棋子，符合题意．四个角各放一个，其余四格各放4个，这样每边都是6个．22.【答案】解：给未知的数编号如下：幻和是60×3=180a=180﹣48﹣60=72；b=180﹣72﹣12=96c=180﹣48﹣96=36d=180﹣24﹣72=84这个幻方就是：【考点】奇阶幻方问题【解析】【分析】中间数是60，那么幻和就是60×3=180，用这个幻和减去已知的数，即可得出其它的数，从而得解．23.【答案】解：第3行第3列的数是：45﹣24﹣3=18第3行第1列的数是：45﹣21﹣18=6第2行第2列的数是：45﹣24﹣6=15第2行第1列的数是：45﹣15﹣3=27第1行第1列的数是：45﹣27﹣6=12第2行第1列的数是：45﹣15﹣21=9【考点】奇阶幻方问题【解析】【分析】（1）根据横、竖、斜行的三个数的和都是45，用45减去24和3，求出第3行第3列的数是多少；（2）根据横、竖、斜行的三个数的和都是45，用45减去第3行第2列和第3行第3列的数，求出第3行第1列的数是多少；（3）根据横、竖、斜行的三个数的和都是45，用45减去24和第3行第1列的数，求出第2行第2列的数是多少；（4）根据横、竖、斜行的三个数的和都是45，用45减去第2行第2列和第2行第3列的数，求出第2行第1列的数是多少；（5）根据横、竖、斜行的三个数的和都是45，用45减去第2行第1列和第3行第1列的数，求出第1行第1列的数是多少；（6）根据横、竖、斜行的三个数的和都是45，用45减去第2行第2列和第3行第2列的数，求出第1行第2列的数是多少．。

幻方数学题九宫格

数阶幻方的编排方法

有趣的九宫格填数解读

三年级上册趣味数学(8)幻方(九宫格九宫阵)

九宫格的填数

有趣的九宫格填数

三年级上册趣味数学(8)幻方(九宫格九宫阵)ys

九宫格的解题过程讲解

九宫格的解题过程

趣味数学游戏——幻方

九宫格的解题过程

九宫格填数

幻方例题

幻方九宫格填写方法

趣味数学游戏——幻方

九宫格数学

一起来学一学｜三阶幻方的填写技巧及其扩展应用

六年级下册数学试题 - 数学竞赛 奇阶幻方问题 全国通用(含答案)

六年级下册数学试题 - 数学竞赛奇阶幻方问题全国通用(含答案)