点集拓扑讲义熊金城部分习题参考答案

点集拓扑讲义部分答案

P73 第2.1节

3．设(),X ρ是一个 的度量空间,证明: (1) X 的每一个子集都是开集;

(2) 如果Y 也是一个度量空间,则任何映射:f X Y →都是连续的. 证 (1) 对任意的A X ⊂和任意顶的x A ∈,取1

4

ε=,则(){},B x x A ε=⊂,所以A 是开集.

(2) 设:f X Y →为任一映射,U ∈T Y

,由(1)知,()1f U -∈T

X

,所以,f 是连续映

射.

6.从殴氏平面

2

到实数空间

的映射2

,:

m s →

定义为对任何()12,x x x =，

(){}()1212max ,,m x x x s x x x ==+

证明m 和s 都是连续函数。（提示：分别用

2

的度量1ρ和2ρ（参见第5题）.）

证 先证m 是连续映射.设()2

12,x x x =∈

是任意一点,对任意的0ε>,对任意

()2

12,y y y =∈

,因为

(){}{}{}()()111221212,max ,max ,max ,x y x y x y x x y y m x m y ρ=--≥-=-

(其中1ρ是习题5中定义的

2

的度量),故()()()()

,,m B x B m x εε⊂,即m 在2

x ∈

对于

2

的度量1ρ而言是连续的,由于2

x ∈

是任意的,从而对于

2

的度量1ρ而言连续.由习

题5的结论知,m 对于2

的度量ρ而言是连续的.

下面再证s 是连续映射.设()2

12,x x x =∈

是任意一点,对任意的0ε>,对任意

()2

12,y y y =∈

,因为

()()()()()211221212,x y x y x y x x y y s x s y ρ=-+-≥+-+=-

(其中2ρ是习题5中定义的

2

的度量),故()()()()

,,s B x B s x εε⊂,即s 在2

x ∈

对于

2

的度量2ρ而言是连续的,由于2

x ∈

是任意的,从而对于

2

的度量2ρ而言连续.由习

题5的结论知,s 对于2

的度量ρ而言是连续的.

P73 第2.2节

2. 对于每一个n +

∈,令{

}n A m m n +

=∈

≥,(1) 证明P ={}{}n A n +

∈

⋃∅是正

整数集

+

的一个拓扑;(2) 写出1+

∈

的所有开邻域.

(1) 证 显然1,

A +

∅=∈P .又n A ∅⋂=∅∈P ,1,2,

n =.任意

,n m A A ∈P ,{}max ,n m m n A A A ⋂=∈P ,对任意的P 1⊂P ，

{}11

min :n n n n A TB A TB A A ∈∈=∈P ，

因此P 为+

的拓扑.

(2) 1+∈

的唯一开邻域为1A +

=

.

7. 设P 1和P 2

是集合X 的两个拓扑,证明P

1

⋂P 2也是X 的一个拓扑.举例说明

P

1

⋃P 2可以不是X 的拓扑.

证 若P 1和P

2

都是X 的拓扑,,由于,X ∅∈P 1,P

2

,所以,X ∅∈P

1

⋂P 2;

任意,A B ∈P 1,P 2

,则A B ⋂∈P 1,P

2

,所以A B ⋂∈P

1

⋂P 2;

对任意的P '⊂P 1

⋂P

2

,即P '⊂P

1

,P

2

,则

'

A T A ∈∈P 1,P

2

,所以

'

A T A ∈∈P 1⋂P 2. 因此P 1⋂P 2是X 的拓扑.

例,设{},,X a b c =, P {}{}{}{}1,,,,,,a b c a b c =∅, P

{}{}{}{}2

,,,,,,b a c a b c =∅,显

然, P

1

,P

2

都是X 的拓扑,P

1

⋃P

2

{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,a b b c a c a b c =∅,因

{}{},a b ∈P 1⋃P

2

,{}{}{},a b a b =⋃∉P

1

⋃P 2,因此P 1⋃P 2不是X 的拓扑.

10. 证明:

(1) 从拓扑空间到平庸空间的任何映射都是连续的; (2) 从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续的. 证 (1) 设(X ,P 1)是任意拓扑空间,( ,Y P 2

)是平庸拓扑空间,:f X Y →,对任意

的U ∈P

2

,,U Y =或∅,所以()1

,f

U X -=或∅,它们都属于P 1,所以f 连续.

(2) 设(X ,P 1)是离散拓扑空间,( ,Y P

2

)是任意拓扑空间,:f X Y →,对任意的

U ∈P 2 ,(){}()

11x f U f U x --∈=

∈P

1

,所以f 连续.(因为离散拓扑空间的单点集是开

集).

P73 第2.4节