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专题中值定理和介值定理
专题 中值定理和介值定理【历年真题统计】闭连续单变量双变量泰勒中值法数一 3 8 0 1 数二 3 6 1 3 数三 1 7 0 0 总计 7 21 1 4【本章重点难点】1、 闭区间上连续函数的性质(设()f x 在[,]a b 上连续)(1)有界定理（或最大最小值定理）：()m f x M ≤≤(2)介值定理:μ是介于()f a 与()f b []()(),(),()f a f b f a f b μμ≠≠≠的任一值,则必(,)()a b f ξξμ∃∈⇒=.[推论] 当m M μ≤≤时,则必[,]()a b f ξξμ∃∈⇒=(3）根值(零点)定理: ()()0f a f b ⋅<,则(,)()0a b f ξξ∃∈⇒=.2、 中值定理(设()f x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可导)(1)费马定理:0000(,),()()(())x x x f x f x or f x ξξ∈−+≥≤,若0()f x ′存在,则0()0f x ′=.(2)罗尔定理：()()f a f b =,则至少(,)()0a b f ξξ′∃∈⇒=.(3)拉格朗日定理：至少()()(,)()f b f a a b f b aξξ−′∃∈⇒=−.(4)柯西定理：若()g x 也在[,]a b 上连续, 在(,)a b 内可导，且()0g x ′≠,则至少()()()(,)()()()f b f a f a bg b g a g ξξξ′−∃∈⇒=′−. (5)泰勒定理：定理1（拉格朗日余项） 设()f x 在0x 的邻域内(1)n +阶可导,那么对x I ∀∈,至少存在一个ξ使200000()00()()()()()()2!()()()!n n n f x f x f x f x x x x x f x x x R x n ′′′=+−+−++−+L 其中(1)10()()()(1)!n n n f R x x x n ξ++=−+ ξ在0x 与x 之间.定理2（皮亚诺余项） 设()f x 在0x 点n 阶可导,那么200000()00()()()()()()2!()()()!n n n f x f x f x f x x x x x fx x x R x n ′′′=+−+−++−+L其中 0()(),nn R x x x ο=− 0()x x →.(6)常见的麦克劳林形式的泰勒展开：20213502240231111 (,)2!!11 sin (1) (,)3!5!(21)!11 cos 1(1) (,)2!4!(2)!111 ln(1)(1) 231xnn n nn n nn nn n e x x x x n xx x x x x n xx x x x n x x x x x n ∞=+∞=∞=∞+=•=+++=∈−∞+∞•=−+−=−∈−∞+∞+•=−+−=−∈−∞+∞•+=−+=−+∑∑∑L L L L 21(1,1](1)(1)(1)(1)11 (1,1)2!!n n x k x x x x x n ααααααα∞=∈−−−−+•+=+++=+∈−∑∑L L3、 积分三定理 (1)保序定理:若()f x 在[],a b 上连续，()0f x ≥，且()f x 不恒为零，则()d 0b af x x >∫.(2)积分估值定理()()d (), ()[,]bam b a f x x M b a f x m M −<<−∈∫(3)中值定理[]()d ()(), ,b af x x f b a a b ξξ=−∈∫4、 证明等式(1)构造辅助函数()F x 的三个原则:a) 如只涉及非导数形式，应从闭区间连续函数的三个定理入手，优先考虑根值定理。
专题讲座的名词解释
专题讲座的名词解释专题讲座是一种针对特定主题的学术或者文化内容的演讲。
在专题讲座中，专家学者或者有相关经验的人士会分享他们的知识和观点，以增加听众的认知和理解。
这种形式的讲座通常由学术机构、文化组织或者企业组织，并邀请对该主题感兴趣的听众参与。
专题讲座在当今社会占据着重要的地位，因为它能为听众提供独特的学习机会。
通过专题讲座，听众可以接触到领域内的专业知识和最新研究成果。
这个过程不仅可以帮助听众深入了解该领域，还可以增加他们对该主题的兴趣。
此外，专题讲座还可以为听众提供与专家学者互动的机会，使他们能够提问、交流和分享自己的观点。
一个成功的专题讲座需要有一个清晰的主题。
主题应该明确并具有一定的深度，以吸引听众的兴趣。
例如，一个关于环境保护的专题讲座可以以"可持续发展"为主题，探讨如何平衡经济增长与环境保护之间的关系。
而一个关于人工智能的专题讲座可以以"人工智能的应用与未来发展"为主题，介绍人工智能在各个领域的应用以及可能的发展趋势。
专题讲座的内容应该具备一定的学术性和可信度。
演讲者应该具备该领域的专业知识和经验，并能够将复杂的概念和理论用简洁明了的语言传达给听众。
此外，演讲者应该引用可靠的来源和实例，以增加内容的可信度。
这样能够让听众对演讲者的观点和结论产生信任，并且对他们所讲授的内容保持兴趣。
除了学术内容，专题讲座还应该注重与听众之间的互动。
演讲者可以通过提问、小组讨论或者现场实践等形式，鼓励听众积极参与其中。
这种互动不仅可以帮助听众更好地理解和应用所学知识，还可以为演讲者提供反馈和启发。
通过这种互动，专题讲座可以成为一个知识共享和交流的平台，促进思想的碰撞和创新的产生。
专题讲座的形式可以多样化，以适应不同类型的听众和场合。
例如，对于大型学术会议，专题讲座可以采用演讲和讨论相结合的形式，让多位专家学者就同一主题进行深入交流。
而对于学校或者企业内部的培训活动，专题讲座可以更加注重实践操作和案例分析，让听众能够更好地将所学知识应用到实际工作中。
闭环af马达的工作原理
闭环af马达的工作原理
闭环AF（Active Field）马达是一种精密的定位驱动装置，其工作原理基于电流控制。
闭环AF马达内部包含一个永磁体和一组线圈，通过控制线圈中电流的方向和大小，可以调节马达的输出功率和位置。
马达内部还配备了位置和速度传感器，用于监测马达当前的位置和速度。
传感器将收集到的信号反馈给控制器，以实现对电流的精确控制。
具体工作原理如下：
1. 电流控制：控制器根据所需的输出功率和位置要求，通过调节线圈中电流的大小和方向来控制马达的转动。
根据Fleming 左手法则，电流通过线圈时会产生一个磁场，与马达内部的永磁体相互作用，产生电磁力使得马达转动。
2. 位置反馈：马达内部的位置传感器会持续监测马达的转动位置，并将实时的位置信息反馈给控制器。
控制器根据实际位置与目标位置的差异，调整电流控制方式，使马达能够精确地达到目标位置。
3. 速度反馈：马达内部的速度传感器会监测马达的转动速度，并将实时速度信息反馈给控制器。
控制器通过比较实际速度与目标速度的差异，进一步调整电流控制方式，以确保马达能够稳定地达到目标速度。
通过不断反馈和控制，闭环AF马达能够实现高精度的定位和
运动控制，广泛应用于工业自动化、机器人、医疗设备等领域。
专题 轴对称图形和性质 专项训练七年级数学下册
专题5.1轴对称图形和性质（专项训练）（2023春•青秀区校级月考）1. 下列图形中是轴对称图形的是（）A. B. C. D.（2023•莲湖区三模）2. 下面关于食品安全的图形中，是轴对称图形的是（）A. B.C. D.（2023•南岗区校级一模）3. 下列图形中，不是轴对称图形的是（）A. B. C. D.（2023•佛山一模）4. “甲骨文”是中国的一种古老文字，又称“契文”“殷墟文字”，下列甲骨文中，一定不是轴对称图形的是（）A. B. C. D.（2023春•海淀区校级月考）5. 图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（ ）A. 1B. 2C. 4D. 8（2021春•威宁县校级期末）6. 在汉字“生活中的日常用品”中，成轴对称的有（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个（2023•保亭县一模）7. 如图，ABC 与A B C '''∆关于直线l 对称，则B ∠的度数为___．（2023•大埔县校级开学）8. 如图，△ABC 与△DEF 关于直线l 对称，若∠C ＝40°，∠B ＝80°，则∠F ＝______．（2023•陵水县一模）9. 如图，ABC 与A B C '''∆关于直线l 对称，则B ∠的度数为___．（2023•崖州区一模）10. 如图，如果直线l 是ABC 的对称轴，其中70B ∠=︒，则C ∠的度数为___________．（2023•定安县一模）11. 如图，点D 为ABC 的边AC 上一点，点B ，C 关于DE 对称，若6AC =，2AD =，则线段BD 的长度为______．（2022秋•西湖区校级期末）12. 如图，ABC 与DEF 关于直线l 对称，若65A ∠=︒，80B ∠=︒，则F ∠=_________．（2023•琼海一模）13. △ABC 与A B C ''' 关于直线l 对称，则∠B 的度数为________．（2022秋•宣州区期末）14. 如图，在面积为4的等边ABC 中，AD 是BC 边上的高，点E 、F 是AD 上的两点，则图中阴影部分的面积是_____________．（2021春•含山县期末）15. 如图，在边长为1的小正方形网格中，△AOB 的顶点均在恪点上．（1）B 点关于y 轴的对称点坐标为 ；（2）将△AOB 向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到△A 1O 1B 1，在图中画出△A 1O 1B 1，并标出点的坐标；（3）在（2）的条件下，△AOB 边AB 上有一点P 的坐标为（a ，b ），则平移后点P 的对应点P 1的坐标为 ．（2020秋•南京期末）16. 如图，在平面直角坐标系中，已知点(14)(44)(21)A B C ---，，，，，，直线l 经过点（1，0），且与y 轴平行．（1）请在图中画出△ABC ；（2）若△A 1B 1C 1与△ABC 关于直线l 对称．请在图中画出△A 1B 1C 1；（3）若点P （a ，b ）关于直线l 的对称点为P 1，则点P 1的坐标是 ．（2022秋•陕州区期末）17. 如图，点M ，N 在直线l 的同侧，小东同学想通过作图在直线l 上确定一点Q ，使MQ 与QN 的和最小，那么下面的操作正确的是（ ）A. B.C. D.（2022秋•金平区期末）18. 某区计划在公路旁修建一个核酸采集点P，现有如下四种方案，则核酸采集点P到A B、两个小区之间的距离之和最短的是（）A. B.C. D.（2022秋•河口区期末）19. 如图，∠AOB内一点P，P1，P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA 于点M，交OB于点N．若△PMN的周长是5cm，则P1P2的长为（ ）A. 6cmB. 5cmC. 4cmD. 3cm（2022秋•香洲区期末）20. 已知30AOB ∠=︒，在AOB ∠内有一定点P ，点M ，N 分别是,OA OB 上的动点，若PMN 的周长最小值为3，则OP 的长为（ ）A. 1.5B. 3C.D. （2023•紫金县校级开学）21. 如图，点P 是∠AOB 内任意一点，OP =6cm ，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，若△PMN 周长的最小值是6 cm ，则∠AOB 的度数是（ ）A. 15B. 30C. 45D. 60（2022秋•湖里区期末）22. 如图，在四边形ABCD 中，C α∠=︒，90B D ∠=∠=︒，E ，F 分别是BC ，DC 上的点，当AEF △的周长最小时，EAF ∠的度数为（ ）A. αB. 2αC. 180α- D. 1802α-（2022秋•东丽区期末）23. 如图，在四边形ABCD 中，72,90C B D ∠=︒∠=∠=︒，M ，N 分别是BC ，DC 上的点，当AMN 的周长最小时，MAN ∠的度数为（ ）A. 72︒B. 36︒C. 108︒D. 38︒24. 如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，EF 垂直平分BC ，点P 为直线EF 上的任一点，则AP +BP 的最小值是（ ）A. 4B. 5C. 6D. 725. 如图，AD 是等边△ABC 的BC 边上的中线，F 是AD 边上的动点，E 是AC 边上动点，当EF +CF 取得最小值时，则∠ECF 的度数为（ ）A. 15°B. 22.5°C. 30°D. 45°26. 如图，在△ABC 中，AB=AC ，BC=4，面积是14，AC 的垂直平分线EF 分别交AC ，AB 边于E ，F 点．若点D 为BC 边的中点，点M 为线段EF 上一动点，则△CDM 周长的最小值为（ ）A. 6B. 8C. 9D. 1027. 如图，在等边△ABC 中，点E 是AC 边的中点，点P 是△ABC 的中线AD 上的动点，且AD ＝6，则EP +CP 的最小值是（ ）A. 12B. 9C. 6D. 3（2022秋•市北区校级期末）28. 如图，在ABC 中，30A ∠=︒，50B ∠=︒，将点A 与点B 分别沿MN 和EF 折叠，使点A 、B 与点C 重合，则NCF ∠的度数为（ ）A. 18︒B. 19︒C. 20︒D. 21︒（2021秋•琼海期末）29. 如图，点D 与点D 关于AE 对称，'56CED ∠=︒，则∠AED 的度数为（ ）A. 57°B. 60°C. 62°D. 67°（2023春•城阳区期中）30. 如图，将一张长方形纸条沿某条直线折叠，若1116∠=︒，则2∠＝（ ）A. 58︒B. 68︒C. 64︒D. 54︒54（2023春•江都区月考）31. 如图1是长方形纸带，25DEF ∠=︒，将纸带沿EF 折叠成图2，再沿GF 折叠成图3，则图3中的CFE ∠的度数是（ ）A. 100︒B. 105︒C. 110︒D. 120︒（2022秋•南充期末）32. 如图，长方形纸片ABCD ，P 为边AD 的中点，将纸片沿BP CP ，折叠，使点A 落在E 处，点D 落在F 处，若140∠=︒，则BPC ∠大小为（ ）A. 105︒B. 110︒C. 115︒D. 120︒（2022秋•川汇区期末）33. 如图，点D ，E 分别在ABC 的AB ，BC 边上，将BDE 沿DE 对折，使点B 与点C 重合，DE 为折痕，若70,A AC BD ∠=︒=，则B ∠的值是（ ）A. 45︒B. 60︒C. 35︒D. 40︒（2022秋•桥西区期末）34. 长方形ABCD 如图折叠，D 点折叠到D 的位置，已知40D FC '∠=︒，则∠=EFC （ ）A. 120︒B. 115︒C. 112︒D. 110︒（2022秋•路北区校级期末）35. 如图，将一张三角形纸片ABC 的一角折叠，使点A 落在ABC 外的A '处，折痕为DE ．如果A CEA BDA αβγ''∠=∠=∠=，，，那么α，β，γ三个角的关系是( )A. 2γβα=+B. 2γαβ=+C. 22γαβ=+D. γαβ=+（2022秋•汝阳县期末）36. 将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD 、BE 为折痕，则∠EBD 的度数（ ）A. 80°B. 90°C. 100°D. 110°（2022秋•禅城区期末）37. 如图把一张长方形的纸按如图那样折叠后，B 、D 两点分别落在了B '，D 点处，若6128AOB ''∠=︒，则BOG ∠的度数为( )A. 596'︒B. 5916'︒C. 574'︒D. 5744'︒（2023春•青秀区校级月考）38. 如图，长方形纸带ABCD 中，AD ∥CB ，将ABCD 沿EF 折叠，C 、D 两点分别与C ′、D ′对应，若∠1＝2∠2，则∠1的度数为_____．（2023春•新城区校级月考）39. 如图，将长方形纸片ABCD 沿对角线BD 折叠，点C 的对应点为E ．若35CBD ∠=︒，则ADE ∠的度数为________．（2022秋•山西期末）40. 如图，在长方形纸片ABCD 中，AB CD ∥，将纸片ABCD 沿EF 折叠，A ，D 两点的对应点分别为点A '，D ．若2CFE CFD ∠∠'=，则∠=AEF _________︒．（2023•长安区四模）41. 如图所示，将长方形ABCD 沿图中标示的DE 折叠，点E 在AB 边上，点A 恰好落在边BC 的点G 处，若54CDG ∠=︒，则DEG ∠的度数为___．专题5.1轴对称图形和性质（专项训练）（2023春•青秀区校级月考）【1题答案】【答案】A【解析】【分析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．【详解】解：选项B、C、D均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形；选项A能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形；故选：A．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．（2023•莲湖区三模）【2题答案】【答案】B【解析】【分析】根据轴对称图形的定义：在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，据此解答即可．【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；B、该图形是轴对称图形，故此选项符合题意；C、该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；D、该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意．故选：B．【点睛】本题考查了轴对称图形的识别，熟记轴对称图形的定义是解本题的关键．（2023•南岗区校级一模）【3题答案】【答案】A【解析】【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项正确；B、是轴对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项错误；故选：A．【点睛】掌握轴对称图形的意义，判断是不是轴对称图形的关键是找出对称轴，看图形沿对称轴对折后两部分能否完全重合．（2023•佛山一模）【4题答案】【答案】D【解析】【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】解：A，B，C选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以都是轴对称图形；D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；故选：D．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．（2023春•海淀区校级月考）【5题答案】【答案】C【解析】【分析】根据轴对称的性质画出该图形的对称轴即可求解．【详解】解：由题意可知该图的对称轴如图所示：由图可知该图形的对称轴有4条．故选：C ．【点睛】本题主要考查了轴对称图形，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键．（2021春•威宁县校级期末）【6题答案】【答案】B【解析】【分析】根据轴对称的定义即可求解．【详解】根据轴对称的定义，在汉字“生活中的日常用品”中，成轴对称的字有“中、日、品”3个；故选：B ．【点睛】此题主要考查轴对称图形的识别，解题的关键是熟知轴对称的定义．（2023•保亭县一模）【7题答案】【答案】100︒##100度【解析】【分析】根据轴对称的性质得出30C C '==︒∠∠，进而根据三角形内角和定理即可求解．【详解】解：ABC 与A B C '''∆关于直线l 对称，∴30C C '==︒∠∠；1805030100B ∴∠=︒-︒-︒=︒．故答案为：100︒．【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理，熟练掌握轴对称的性质以及三角形内角和定理是解题的关键．（2023•大埔县校级开学）【8题答案】【答案】40°【解析】【分析】根据轴对称的性质可得结果．【详解】∵△ABC 与△DEF 关于直线l 对称，∴△ABC ≌△DEF ，∴∠F=∠C=40°，故答案为40°．【点睛】本题考查了轴对称的性质．关于轴对称的两个三角形全等是解题的关键．（2023•陵水县一模）【9题答案】【答案】100︒##100度【解析】【分析】根据轴对称的性质得出30C C '==︒∠∠，进而根据三角形内角和定理即可求解．【详解】解：ABC 与A B C '''∆关于直线l 对称，∴30C C '==︒∠∠；1805030100B ∴∠=︒-︒-︒=︒．故答案为：100︒．【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理，熟练掌握轴对称的性质以及三角形内角和定理是解题的关键．（2023•崖州区一模）【10题答案】【答案】70︒##70度【解析】【分析】根据直线l 是ABC 的对称轴，得到C B ∠=∠，即可得解．【详解】解：∵直线l 是ABC 的对称轴，70B ∠=︒，∴ABC 是轴对称图形，70C B ∠=∠=︒；故答案为：70︒．【点睛】本题考查轴对称图形．根据直线l 是ABC 的对称轴，得到三角形是轴对称图形，是解题的关键．（2023•定安县一模）【11题答案】【答案】4【解析】【分析】证明BD DC =，可得结论．【详解】解：6AC = ，2AD =，624CD AC AD ∴=-=-=，B ，C 关于DE 对称，4DB DC ∴==，故答案为：4．【点睛】本题考查轴对称的性质，线段的和差定义等知识，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质，属于中考常考题型．（2022秋•西湖区校级期末）【12题答案】【答案】35°##35度【解析】【分析】根据轴对称的性质与三角形的内角和等于180°可得．【详解】∵△ABC 与△DEF 关于直线l 对称，∴∠A ＝∠D ＝65°，∠B ＝∠E ＝80°，∴∠F ＝180°﹣∠D ﹣∠E ＝180°﹣65°﹣80°＝35°．故答案为：35°．【点睛】本题考查轴对称的性质与三角形的内角和，解题的关键是掌握轴对称的性质与三角形的内角和．（2023•琼海一模）【13题答案】【答案】105︒【解析】【分析】根据轴对称的性质，轴对称图形全等，则,,A A B B C C '''∠=∠=∠∠=∠，再根据三角形内角和定理即可求得【详解】 △ABC 与A B C ''' 关于直线l 对称ABC A B C '''∴△≌△∴,,A A B B C C '''∠=∠=∠∠=∠30C C '∴∠=∠=︒45A ∠=︒1804530105B ∴∠=︒-︒-︒=︒故答案为：105︒【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，全等的性质，三角形内角和定理，理解轴对称图形的性质是解题的关键．（2022秋•宣州区期末）【14题答案】【答案】2【解析】【分析】根据AD 是等边三角形的高可知，AD 是线段BC 的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质及三角形全等的判定定理可求出EBF ECF ≌△△，故阴影部分的面积等于ABD △的面积，据此即可求解．【详解】解：∵AD 是等边三角形的高，∴AD 是线段BC 的垂直平分线，∴BE CE BF CF EF EF ===，，，∴EBF ECF ≌△△，∴ABD S S = 阴影，∴122ABD ABC S S S === 阴影．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了三角形的面积与等边三角形的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.（2021春•含山县期末）【15题答案】【答案】（1）（﹣3，2）；（2）见解析，A1（-2，5），O1（-3，2），B1（0，4）；（2）（a﹣3，b＋2）．【解析】【分析】（1）根据点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（﹣x，y）解答即可；（2）利用坐标平移变换的性质分别作出O，A，B的对应点O1，A1，B1即可．（3）根据平移变换的规律解决问题即可．【详解】解：（1）∵B（3，2），∴B点关于y轴的对称点坐标为（﹣3，2），故答案为：（﹣3，2）；（2）如图，△A1O1B1即为所求，由图可知，A1（-2，5），O1（-3，2），B1（0，4）；（3）在（2）的条件下，△AOB边AB上有一点P的坐标为（a，b），则平移后点P的对应点P1的坐标为（a﹣3，b＋2）．故答案为：（a﹣3，b＋2）．【点睛】本题考查坐标与图形变换-轴对称、坐标与图形变换-平移，理解变换规律是解答的关键．（2020秋•南京期末）【16题答案】【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）(2,)a b -．【解析】【分析】（1）依次将点(14)(44)(21)A B C ---，，，，，表示在平面直角坐标系中，顺次连接三个点即可；（2）分别作出(14)(44)(21)A B C ---，，，，，关于直线1x =的对称点111A B C 、、，再顺畅连接111A B C 、、即可；（3）根据题意，1P P 、关于直线1x =对称，则1P P 、的横坐标的和的一半是1，纵坐标不变，据此解题．【详解】解：（1）如图所示，△ABC 即为所求；（2）如图所示，△A 1B 1C 1即为所求；（3）设点(,)P a b 关于直线l 的对称点为1(,)P x y ，由题意得，12a x y b+⎧=⎪⎨⎪=⎩2x a y b=-⎧∴⎨=⎩1(2,)P a b ∴-故答案为：(2,)a b -．【点睛】本题考查作图—轴对称变换，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．（2022秋•陕州区期末）【17题答案】【答案】C【解析】【分析】先作点M 关于l 的对称点M ′，连接M ′N 交l 于点Q ，即可．【详解】作点M 关于直线l 的对称点M ′，再连接M ′N 交l 于点Q ，则MQ+NQ=M ′Q+NQ=M ′N ，由“两点之间，线段最短”，可知点Q 即为所求．故选C【点睛】本题主要考查轴对称的应用以及线段的性质，熟练掌握“马饮水”模型，是解题的关键．（2022秋•金平区期末）【18题答案】【答案】B【解析】【分析】用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线转化为两点之间的距离．【详解】解：作点A 关于直线m 的对称点A '，连接A B '交直线m 于P ，根据两点之间线段最短，可知选项B 中的核酸采集点P 到A B 、两个小区之间的距离之和最短，故选：B ．【点睛】本题考查了最短路径的数学问题，熟练掌握两点之间，线段最短是解题的关键．（2022秋•河口区期末）【19题答案】【答案】B【解析】【分析】对称轴就是两个对称点连线的垂直平分线，由垂直平分线的性质可得MP =1M P ,NP =2N P ，所以12PP =MP +MN +NP =5cm .【详解】∵P 与1P 关于OA 对称，∴OA 为线段1P P 的垂直平分线，∴MP =1M P ，同理，P 与2P 关于OB 对称，∴OB 为线段2P P 的垂直平分线，∴NP =2N P ，∵△PMN 的周长为5cm ．∴12PP =1M P +MN +2N P =MP +MN +NP =5cm ，故选B【点睛】对称轴是对称点的连线垂直平分线，再利用垂直平分线的性质是解此题的关键.（2022秋•香洲区期末）【20题答案】【答案】B【解析】【分析】根据题意画出符合条件的图形，求出60OD OE OP DOE ==∠=︒，，得出等边三角形DOE ，求出3DE =，求出PMN 的周长DE =，即可求出答案．【详解】解：作P 关于OA 的对称点D ，作P 关于OB 的对称点E ，连接DE 交OA 于M ，交OB 于N ，连接PM PN ，，则此时PMN 的周长最小，连接OD OE ，，∵P 、D 关于OA 对称，∴OD OP PM DM ==，，同理OE OP PN EN ==，，∴OD OE OP ==，∵P 、D 关于OA 对称，∴OA PD ⊥，∵OD OP =，∴DOA POA ∠=∠，同理POB EOB ∠=∠，∴223060DOE AOB ∠=∠=⨯︒=︒，∵OD OE =，∴DOE 是等边三角形，∴DE OD OP ==，∵PMN 的周长是3PM MN PN DM MN EN DE ++=++==，∴3OP =故选：B ．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，关键是画出符合条件的图形．（2023•紫金县校级开学）【21题答案】【答案】B【解析】【分析】分别作点P 关于OA 、OB 的对称点C 、D ，连接CD ，分别交OA 、OB 于点M 、N ，连接OC 、OD 、PM 、PN 、MN ，由对称的性质得出PM=DM ，OP=OC ，∠COA=∠POA ；PN=DN ，OP=OD ，∠DOB=∠POB ，得出∠AOB=12∠COD ，证出△OCD 是等边三角形，得出∠COD=60°，即可得出结果．【详解】分别作点P 关于OA 、OB 的对称点C 、D ，连接CD ，分别交OA 、OB 于点M 、N ，连接OC 、OD 、PM 、PN 、MN ，如图所示：∵点P 关于OA 的对称点为D ，关于OB 的对称点为C ，∴PM=DM ，OP=OD ，∠DOA=∠POA ；∵点P 关于OB 的对称点为C ，∴PN=CN ，OP=OC ，∠COB=∠POB ，∴OC=OP=OD ，∠AOB=12∠COD ，∵△PMN 周长的最小值是6cm ，∴PM+PN+MN=6，∴DM+CN+MN=6，即CD=6=OP ，∴OC=OD=CD ，即△OCD 是等边三角形，∴∠COD=60°，∴∠AOB=30°，故选：B ．【点睛】此题考查轴对称的性质，最短路线问题，等边三角形的判定与性质，熟练掌握轴对称的性质，证明三角形是等边三角形是解题的关键．（2022秋•湖里区期末）【22题答案】【答案】D【解析】【分析】要使AEF △的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A 关于BC 和CD 的对称点A '，A ''，即可得出AA E A α'''∠+∠=，即可得出答案．【详解】解：作A 关于BC 和CD 的对称点A '，A ''，连接A A '''，交BC 于E ，交CD 于F ，∴AF A F ''=，AE A E '=，∴EA A EAA ''∠=∠，FAD A ''∠=∠，则A A '''即为AEF △的周长最小值，C α∠= ，90ABC ADC ∠=∠=︒180DAB α∴∠=︒-，()180180AA E A αα'''∴∠+∠=︒-︒-=，EA A EAA ''∠=∠ ，FAD A ''∠=∠，EAA A AF α'''∴∠+∠=，1801802EAF ααα∴∠=︒--=︒-，故选：D ．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出E ，F 的位置是解题关键．（2022秋•东丽区期末）【23题答案】【答案】B【解析】【分析】根据要使AMN 的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A 关于BC 和BC 的对称点A A '"，，即可得出72AA M A HAA ∠'∠"∠'︒+==，进而得出2AMN ANM AA M A ∠∠∠'∠"+=（+）即可得出答案．【详解】解：作A 关于BC 和CD 的对称点A A '"，，连接A A '"，，交BC 于M ，交CD 于N ，则A A '"即为AMN 的周长最小值．作DA 延长线AH ，∵108DAB ∠=︒，∴72HAA ∠'=︒，∴72AA M A HAA ∠'∠"∠'︒+==，∵MA A MAA NAD A ∠'∠'∠∠"=，=，且MA A MAA AMN NAD A ANM ∠'∠'∠∠∠"∠+=，+=，∴2272144AMN ANM MA A MAA NAD A AA M A ∠∠∠'∠'∠∠"∠'+∠"⨯︒︒+=+++=（）=＝，∴36MAN ∠=︒，故选：B ．【点睛】本题考查的是轴对称−最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出E ，F 的位置是解题关键．【24题答案】【答案】A【解析】【分析】根据题意知点B 关于直线EF 的对称点为点C ，故当点P 在AC 上时，AP+BP 有最小值．【详解】解：连接PC ．∵EF是BC的垂直平分线，∴BP＝PC．∴PA+BP＝AP+PC．∴当点A，P，C在一条直线上时，PA+BP有最小值，最小值＝AC＝4．故选：A．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题的应用，明确点A、P、C在一条直线上时，AP+PB有最小值是解题的关键．【25题答案】【答案】C【解析】【分析】过点B作BE⊥AC于点E，交AD于点F，连接CF，根据垂线段最短可知此时EF+CF取得最小值，再利用等边三角形的性质求解即可．【详解】解：如图：过点B作BE⊥AC于点E，交AD于点F，连接CF，根据垂线段最短可知此时EF+CF取得最小值，∵△ABC是等边三角形，∴AE＝EC，AF＝FC，∴∠FAC＝∠FCA，∵AD是等边△ABC的BC边上的中线，∴∠BAD＝∠CAD＝30°，∴∠ECF＝30°．故选：C．【点睛】本题考查最短路径问题——垂线段最短，等边三角形的性质，根据垂线段最短找到点E、F是解题的关键．【26题答案】【答案】C【解析】【详解】解：连接AD，如图所示：∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC=12BC•AD=12×4×AD=14，解得AD=7，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM的周长最短=（CM+MD）+CD=AD+12BC=7+12×4=7+2=9．故选C．【27题答案】【答案】C【解析】【分析】要求EP+CP的最小值，需考虑通过作辅助线转化EP，CP的值，从而找出其最小值求解即可．【详解】解：作点E关于AD的对称点F，连接CF，∵△ABC 是等边三角形，AD 是BC 边上的中线，∴AD ⊥BC ，∴AD 是BC 的垂直平分线，∴点E 关于AD 的对应点为点F ，∴CF 就是EP +CP 的最小值．∵△ABC 是等边三角形，E 是AC 边的中点，∴F 是AB 的中点，∴CF 是△ABC 的中线，∴CF ＝AD ＝6，即EP +CP 的最小值为6，故选：C ．【点睛】本题主要考查了轴对称-最短路线问题以及等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形和轴对称的性质是解题的关键．（2022秋•市北区校级期末）【28题答案】【答案】C【解析】【分析】根据三角形内角和定理求出100ACB ∠=︒，再根据折叠的性质得，30ACN A ︒∠=∠=，50FCE B ︒∠=∠=，进而得20NCF ∠=︒．【详解】解：∵30A ∠=︒，50B ∠=︒，∴100ACB ∠=︒，∵将点A 与点B 分别沿MN 和EF 折叠，使点A 、B 与点C 重合，∴30ACN A ︒∠=∠=，50FCE B ︒∠=∠=，∴100305020NCF ︒∠=︒-︒-︒=，故选：C ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理，折叠的性质是解题关键．（2021秋•琼海期末）【29题答案】【答案】C【解析】【分析】利用轴对称的性质，平角的定义求解即可．【详解】解：∵点D 与点D'关于AE 对称，∴∠AED =∠AED′，∵∠CED′=56°，∴∠AED =12（180°-∠'CED ）=12（180°-56°）=62°，故选：C ．【点睛】本题考查轴对称的性质，平角的定义等知识，解题的关键是掌握轴对称的性质．（2023春•城阳区期中）【30题答案】【答案】A【解析】【分析】先标注图形，根据“两直线平行，内错角相等”得BAC ∠，再根据折叠的性质得BAD ∠，最后根据“两直线平行，内错角相等”得出答案.【详解】解：如图，∵AB CD ，∴1116B A C ∠=∠=︒.由折叠可得，1582BAD BAC ∠=∠=︒.∵AB CD ，∴258B A D ∠=∠=︒.故选：A ．【点睛】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质等，灵活选择平行线的性质定理是解题的关键．（2023春•江都区月考）【31题答案】【答案】B【解析】【分析】根据长方形的性质和翻折的性质求出BFE ∠和BFC ∠的度数，即可求出CFE ∠的度数．【详解】解： 四边形ABCD 为长方形，AD BC ∴∥，25BFE DEF ∴∠=∠=︒．由长方形的性质可知：90A B C D ∠=∠=∠=∠=︒，由翻折的性质可知，图2中，180********EFC DEF ∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴15525130BFC EFC BFE ∠=∠-∠=︒-︒=︒．∴图3中，13025105CFE BFC BFE ∠=∠-∠=︒-︒=︒．故答案选：B ．【点睛】本题考查了翻折的性质，要充分利用长方形的性质和翻折的性质解题，从翻折变化中找到不变量是解题的关键．（2022秋•南充期末）【32题答案】【答案】B【解析】【分析】根据折叠的性质的到12APB EPB APE ∠=∠=∠，12DPC FPC DPF ∠=∠=∠，结合平角的定义及140∠=︒即可得到答案；【详解】解：∵纸片沿BP CP ，折叠，使点A 落在E 处，点D 落在F 处，∴12APB EPB APE ∠=∠=∠，12DPC FPC DPF ∠=∠=∠，∵140∠=︒，∴1801140APE DPF ∠+∠=︒-∠=︒，∴11()170401102BPC EPB FPC APE DPF ∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒+︒=︒，故选B ．【点睛】本题考查矩形中折叠及整体代换的思想，解题的关键是根据折叠得到角度相等整体代换．（2022秋•川汇区期末）【33题答案】【答案】C【解析】【分析】由折叠的性质得出B BCD ∠=∠，设B BCD x ∠=∠=，由三角形的外角的性质求出2ADC x ∠=，再由,BD CD AC BD ==可得AC CD =，则可得2ADC A x ∠=∠=．最后列方程求解即可．【详解】解：∵将BED 沿DE 折叠，使点B 与点C 重合，∴BD CD =，∴B BCD ∠=∠，设B BCD x ∠=∠=，∴2ADC B BCD x ∠=∠+∠=，∵,BD CD AC BD ==，∴AC CD =，∴2ADC A x ∠=∠=，∵70,A ∠=︒∴270x =解得：35x =，∴35B ∠=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质及三角形的外角性质，利用折叠的性质及三角形的外角性质，理解等腰三角形的性质解题的关键．（2022秋•桥西区期末）【34题答案】【答案】D【解析】【分析】根据翻折不变性可知，DFE D FE ∠∠='，又因为40D FC ∠'=︒，根据平角的定义，可求出EFC ∠的度数．【详解】根据翻折不变性得出，DFE EFD ∠∠='，∵40180D FC DFE EFD D FC ∠∠∠∠'=︒+'+'=︒，，∴218040140EFD ∠'=︒-︒=︒，∴70EFD ∠'=︒，∴7040110EFC EFD D FC ∠∠∠='+'=︒+︒=︒．故选D ．【点睛】此题考查了角的计算和翻折变化，掌握长方形的性质和翻折不变性是解题的关键．（2022秋•路北区校级期末）【35题答案】【答案】B【解析】【分析】设,AC A D '交于点F ，由折叠得：A A '∠=∠，根据将三角形的外角的性质得出BDA A AFD AFD A CEA '''∠=∠+∠∠=∠+∠，，进而即可求解．【详解】解：如图所示，设,AC A D '交于点F ，由折叠得：A A '∠=∠，BDA A AFD AFD A CEA '''∠=∠+∠∠=∠+∠， ，A CEA BDA αβγ''∠=∠=∠=，， ，2BDA γααβαβ'∴∠==++=+，故选：B ．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，折叠问题，熟练掌握三角形外角的性质以及折叠的性质是解题的关键．（2022秋•汝阳县期末）【36题答案】【答案】B【解析】【分析】根据翻折的性质可知，∠ABE =∠A ′BE ，∠DBC =∠DBC ′，又∠ABE +∠A ′BE +∠DBC +∠DBC ′=180°，且∠EBD =∠A ′BE +∠DBC ′，继而即可求出答案．【详解】解：根据翻折的性质可知，∠ABE =∠A ′BE ，∠DBC =∠DBC ′，又∵∠ABE +∠A ′BE +∠DBC +∠DBC ′=180°，∴∠EBD =∠A ′BE +∠DBC ′=180°×12=90°．故选B ．【点睛】此题考查翻折变换的性质，三角形折叠以后的图形和原图形全等，对应的角相等，得出∠ABE =∠A ′BE ，∠DBC =∠DBC ′是解题的关键．（2022秋•禅城区期末）【37题答案】【答案】B【解析】【分析】根据折叠的性质得出BOG B OG ∠=∠'，进而根据平角的定义可得1(180)2B OG AOB ''∠=∠︒-，代入数据即可求解．【详解】解： 折叠后，B 、D 两点分别落在了B '，D 点处，BOG B OG ∴∠='∠，'6128AOB ∠=︒' ，1(180)2B OG AOB ''︒∴∠=-∠()118061282=⨯︒︒'-=5916'︒．故选：B ．【点睛】本题考查了角度的计算，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．（2023春•青秀区校级月考）【38题答案】【答案】72°【解析】【分析】由题意∠1＝2∠2，设∠2＝x ，易证∠DEF ＝∠1＝∠FED ′＝2x ，构建方程即可解决问题．【详解】解：由翻折的性质可知：∠DEF ＝∠FED ′，∵AD ∥BC ，∴∠DEF ＝∠1，∵∠1＝2∠2，∴设∠2＝x ，则∠DEF ＝∠1＝∠FED ′＝2x ，∵∠2+∠DEF +∠FED ′＝180°，∴5x ＝180°，∴x ＝36°，∴∠1＝2∠2＝2x ＝72°．故答案为：72°．【点睛】本题考查平行线的性质，翻折变换等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．（2023春•新城区校级月考）【39题答案】【答案】20︒【解析】【分析】根据折叠的性质和平行线的性质，可以得到ADB ∠和EDB ∠的度数，然后即可得到ADE ∠的度数．【详解】解：由折叠的性质可得：CDB EDB ∠=∠，AD BC ∥ ，35CBD ∠=︒，35CBD ADB ∴∠=∠=︒，90C ∠=︒ ，903555CDB ∴∠=︒-︒=︒，55EDB ∴∠=︒，553520ADE EDB ADB ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，故答案为：20︒．【点睛】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．（2022秋•山西期末）【40题答案】【答案】72【解析】【分析】设CFD x '∠=，则22CFE CFD x '∠=∠=，3EFD x '∠=，由折叠的性质得：23180x x +=︒，36272CFE ∠=︒⨯=︒，进而得出根据平行线的性质即可求解．【详解】解：设CFD x '∠=，则22CFE CFD x '∠=∠=，3EFD x '∠=，由折叠的性质得：3DFE EFD x '∠=∠=，180DFE CFE ∠+∠=︒ ，即23180x x +=︒，36x ∴=︒，36272CFE ∴∠=︒⨯=︒，AB CD ∥，72AEF CFE ∴∠=∠=︒．故答案为：72．【点睛】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握平行线的性质，折叠性质是解题的关键．（2023•长安区四模）【41题答案】【答案】72︒##72度【解析】【分析】根据折叠的性质得出18ADE GDE ∠=∠=︒，进而根据90DEG GDE ∠=︒-∠，即可求解．【详解】解：54CDG ∠=︒ ，90905436ADG CDG ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，又11361822ADE GDE ADG ︒︒∠=∠=∠=⨯= ，90D A E D G E ∠=∠=︒90901872DEG GDE ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒．故答案为：72︒．【点睛】本题考查了折叠的性质，熟练掌握是折叠的性质解题的关键．。
专题1 集合与常用逻辑用语、不等式 第2讲 不等式与线性规划
不等式与线性规划1．已知实数a ，b ，c ，( )A ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2＋c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2＜100B ．若|a 2＋b ＋c |＋|a 2＋b －c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2＜100C ．若|a ＋b ＋c 2|＋|a ＋b －c 2|≤1，则a 2＋b 2＋c 2＜100D ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2－c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2＜100 答案 D解析 由于此题为选择题，可用特值排除法找正确选项． 对选项A ，当a ＝b ＝10，c ＝－110时，可排除此选项； 对选项B ，当a ＝10，b ＝－100，c ＝0时，可排除此选项； 对选项C ，当a ＝10，b ＝－10，c ＝0时，可排除此选项． 故选D.2．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0， 则z ＝x ＋y 的最大值为________．答案 32解析 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0的可行域为以A (－2，－1)，B (0,1)，C ⎝⎛⎭⎫1，12为顶点的三角形内部及边界，如图，过C ⎝⎛⎭⎫1，12时取得最大值32.3．(2016·上海)设x ∈R ，则不等式|x －3|<1的解集为________． 答案 (2,4)解析 －1<x －3<1，即2<x <4，故解集为(2,4)．4．(2016·上海)设a >0，b >0，若关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋y ＝1，x ＋by ＝1无解，则a ＋b 的取值范围是________． 答案 (2，＋∞)解析 由已知得，ab ＝1，且a ≠b ， ∴a ＋b >2ab ＝2.1.利用不等式性质比较大小，利用基本不等式求最值及线性规划问题是高考的热点；2.一元二次不等式常与函数、数列结合考查一元二次不等式的解法和参数取值范围；3.利用不等式解决实际问题.热点一 不等式的解法 1．一元二次不等式的解法先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)，再求相应一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集． 2．简单分式不等式的解法 (1)f (x )g (x )>0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0)； (2)f (x )g (x )≥0(≤0)⇔f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. 3．指数不等式、对数不等式及抽象函数不等式，可利用函数的单调性求解．例1 (1)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为__________．(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤0，log 2x ，x >0，若f (x 0)>0，则x 0的取值范围是________________．答案 (1)9 (2)(－∞，0]∪(1，＋∞) 解析 (1)由值域为[0，＋∞)，可知当x 2＋ax ＋b ＝0时有Δ＝a 2－4b ＝0，即b ＝a 24，∴f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝x 2＋ax ＋a 24＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22. ∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋a22<c ， 解得－c <x ＋a 2<c ，－c －a 2<x <c －a2.∵不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)， ∴⎝⎛⎭⎫c －a 2－(－c －a2)＝2c ＝6，解得c ＝9.(2)当x 0≤0时，由03x>0，得x 0≤0；当x 0>0时，由log 2x 0>0，得x 0>1，所以x 0的取值范围是(－∞，0]∪(1，＋∞)．思维升华 (1)对于和函数有关的不等式，可先利用函数的单调性进行转化；(2)求解一元二次不等式的步骤：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得不等式的解集；(3)含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论．跟踪演练1 (1)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝________. (2)不等式22x x－＜4的解集为________．答案 (1)52(2)(－1,2)解析 (1)由x 2－2ax －8a 2<0，得(x ＋2a )(x －4a )<0，因为a >0，所以不等式的解集为(－2a,4a )，即x 2＝4a ，x 1＝－2a ，由x 2－x 1＝15，得4a －(－2a )＝15，解得a ＝52.(2)∵22x x－＜4＝22，∴x 2－x ＜2，即x 2－x －2＜0，解得－1<x <2.热点二 基本不等式的应用利用基本不等式求最大值、最小值，其基本法则是：(1)如果x >0，y >0，xy ＝p (定值)，当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p (简记为：积定，和有最小值)；(2)如果x >0，y >0，x ＋y ＝s (定值)，当x ＝y 时，xy 有最大值14s 2(简记为：和定，积有最大值)．例2 (1)已知向量a ＝(m,2)，b ＝(1，n －1)，若a ⊥b ，则2m ＋4n 的最小值为( ) A ．2 B ．2 2 C ．4D ．8(2)已知正实数x ，y 满足xy ＋x ＋y ＝17，则x ＋2y ＋3的最小值为________． 答案 (1)C (2)12解析 (1)因为向量a ＝(m,2)，b ＝(1，n －1)，a ⊥b ， 所以m ＋2(n －1)＝0，即m ＋2n ＝2. 所以2m＋4n≥22m·4n＝22m ＋2n＝222＝4(当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＝4n ，m ＋2n ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝0.5时，等号成立)，所以2m ＋4n 的最小值为4，故选C.(2)由题意，得y ＝17－x x ＋1>0，x >0，则0<x <17，所以x ＋2y ＋3＝x ＋34－2x x ＋1＋3＝(x ＋1)＋36x ＋1≥2(x ＋1)·36x ＋1＝12，当且仅当x ＝5时取等号，故x ＋2y ＋3的最小值为12.思维升华 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．跟踪演练2 (1)若正数a ，b 满足a ＋b ＝1，则a a ＋1＋bb ＋1的最大值为________．(2)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，y ≥2，x ＋y ≤8时，z ＝x a ＋yb(a ≥b >0)的最大值为2，则a ＋b 的最小值为( )A ．4＋2 3B ．4－2 3C ．9D ．8答案 (1)23(2)D解析 (1)∵正数a ，b 满足a ＋b ＝1， ∴a a ＋1＋bb ＋1＝a (b ＋1)＋b (a ＋1)(a ＋1)(b ＋1)＝2ab ＋a ＋b ab ＋a ＋b ＋1＝2ab ＋1ab ＋2＝2(ab ＋2)－3ab ＋2＝2－3ab ＋2 ≤2－3⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＋2＝2－314＋2＝23，当且仅当a ＝b ＝12时取等号，∴a a ＋1＋b b ＋1的最大值为23.(2)画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分(包括边界)所示．由z ＝x a ＋y b (a ≥b >0)，得y ＝－ba x ＋bz .当直线y ＝－bax ＋bz 经过点A 时，z 有最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y ＝8，得A (2,6)，∴2a ＋6b ＝2，即1a ＋3b ＝1.∵a ＋b ＝(a ＋b )(1a ＋3b )＝4＋b a ＋3ab ，令ba ＝t ，则0<t ≤1， ∴a ＋b ＝4＋t ＋3t ，0<t ≤1.令f (t )＝4＋t ＋3t ，0<t ≤1，则f ′(t )＝1－3t 2＝t 2－3t 2<0，∴y ＝f (t )在(0,1]上是减函数．∴(a ＋b )min ＝f (1)＝4＋1＋3＝8.故选D. 热点三 简单的线性规划问题解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．例3 (1)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y ＋1≤0，2x －y ＋2≥0，则z ＝3x ＋y 的最大值为__________．(2)若关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＋y ≥0，kx －y ＋1≥0表示的平面区域是等腰直角三角形，则其表示的区域面积为( ) A ．1或14B.12或18 C ．1或12D.12或14答案 (1)4 (2)D解析 (1)可行域为△ABC 及其内部，其中A (1,1)，B (0,2)，C (－1,0)，当直线z ＝3x ＋y 过点A 时取最大值4.(2)直线kx －y ＋1＝0过点(0,1)，要使不等式组表示的区域为直角三角形，只有直线kx －y ＋1＝0垂直于y 轴(如图(1))或与直线x ＋y ＝0垂直(如图(2))时才符合题意．所以S ＝12×1×1＝12或S ＝12×22×22＝14.思维升华 (1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围．(2)一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得．跟踪演练3 (1)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤2，则z ＝4x ＋y 的取值范围是( )A ．[0,2]B ．[0,8]C ．[2,8]D ．[2,10](2)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ≤1，x ≥a ，若x ＋2y ≥－5恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－1]B ．[－1，＋∞)C ．[－1,1]D ．[－1,1)答案 (1)B (2)C 解析 (1)作出不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分所示，由图知当目标函数z ＝4x ＋y 经过点B (2,0)时z 取得最大值，最大值为4×2＋0＝8；当目标函数z ＝4x ＋y 经过点O (0,0)时z 取得最小值，最小值为4×0＋0＝0，所以z ＝4x ＋y 的取值范围是[0,8]，故选B. (2)由题意作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，则x ＋2y ≥－5恒成立可转化为图中的阴影部分在直线x ＋2y ＝－5的上方，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，x ＋2y ＝－5， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2， 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，x ＋y ＝1， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0，则实数a 的取值范围为[－1,1].1．若点A (a ，b )在第一象限，且在直线x ＋2y ＝1上，则ab 的最大值为( ) A ．1 B.12 C.14D.18押题依据 基本不等式在历年高考中的地位都很重要，已成为高考的重点和热点，用基本不等式求函数(和式或积式)的最值问题，有时与解析几何、数列等知识相结合． 答案 D解析 因为点A (a ，b )在第一象限，且在直线x ＋2y ＝1上，所以a >0，b >0，且a ＋2b ＝1， 所以ab ＝12·a ·2b ≤12·(a ＋2b 2)2＝18，当且仅当a ＝2b ＝12，即a ＝12，b ＝14时，“＝”成立．故选D.2．在R 上定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，若不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 a －2a ＋1 x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为( ) A ．－12B ．－32C.12D.32押题依据 不等式的解法作为数学解题的一个基本工具，在高考中是必考内容．往往与函数的单调性相结合，最后转化成一元一次不等式或一元二次不等式． 答案 D解析 由定义知，不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 a －2a ＋1 x ≥1等价于x 2－x －(a 2－a －2)≥1，∴x 2－x ＋1≥a 2－a 对任意实数x 恒成立， ∵x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34≥34，∴a 2－a ≤34，解得－12≤a ≤32，则实数a 的最大值为32.3．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0，x ≥12，y ≥1，则z ＝x ＋2y 的最小值为( )A ．2 B.52 C.72D ．5押题依据 线性规划的实质是数形结合思想的应用，利用线性规划的方法求一些线性目标函数的最值是近几年高考的热点． 答案 B解析 由题意可得不等式组所表示的可行域为如图中阴影部分所示的四边形ABCD 及其内部．因为目标函数z ＝x ＋2y 可化为y ＝－x 2＋z 2，其表示过可行域上的点(x ，y )，斜率为－12且在y轴上的截距为z 2的直线；由图可知，当z ＝x ＋2y 过点D (12，1)时，z 取得最小值z min ＝12＋2＝52.故选B. 4．若不等式x 2＋2x <a b ＋16ba 对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是( )A ．(－4,2)B ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(0，＋∞)D ．(－2,0)押题依据 “恒成立”问题是函数和不等式交汇处的重要题型，可综合考查不等式的性质，函数的值域等知识，是高考的热点． 答案 A解析 不等式x 2＋2x <a b ＋16ba对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，等价于不等式x 2＋2x <⎝⎛⎭⎫a b ＋16b a min .因为对任意a ，b ∈(0，＋∞)，a b ＋16b a ≥2a b ·16b a ＝8(当且仅当a b ＝16ba，即a ＝4b 时取等号)，所以x 2＋2x <8，解得－4<x <2，故选A.A 组 专题通关1．已知a >b ，则下列不等式中恒成立的是( ) A ．ln a >ln b B.1a <1bC ．a 2>abD ．a 2＋b 2>2ab答案 D解析 只有当a >b >0时A 成立；只有当a ，b 同号时B 成立；只有当a >0时C 成立；因为a ≠b ，所以D 恒成立，故选D.2．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，－2x ＋12，x ≤0，则“0<x <1”是“f (x )<0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 当0<x <1时，f (x )＝log 2x <0， 所以“0<x <1”⇒“f (x )<0”；若f (x )<0，则⎩⎪⎨⎪⎧x >0，log 2x <0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，－2x ＋12<0，解得0<x <1或－1<x ≤0，所以－1<x <1， 所以“f (x )<0”D ⇒/“0<x <1”．故选A. 3．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x ＋2y －2≥0，2x －y －2≤0，则目标函数z ＝3x ＋4y 的最小值为( )A ．1B ．3 C.265 D ．－19答案 B解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x ＋2y －2≥02x －y －2≤0，表示的平面区域如图所示(图中阴影部分)，作出直线3x ＋4y ＝0并平移，可知当直线z ＝3x ＋4y 经过点(－1，32)时，z 取得最小值，最小值为3.4．设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≤0，x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，则y －1x －1的最小值是( ) A ．－5 B ．－12C.12 D ．5答案 B解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≤0，x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0表示的可行域如图阴影部分所示．y －1x －1表示可行域内的点(x ，y )与点P (1,1)连线的斜率．结合图形可知，当点(x ，y )取直线2x ＋y －2＝0与x －y ＋1＝0的交点A (13，43)时，y －1x －1取得最小值，最小值为－12.5．若不等式tt 2＋9≤a ≤t ＋2t 2在t ∈(0,2]上恒成立，则a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤16，1 B.⎣⎡⎦⎤16，22 C.⎣⎡⎦⎤16，413 D.⎣⎡⎦⎤213，1答案 D解析 ∵t t 2＋9＝1t ＋9t ，而t ＋9t 在区间(0,2]上单调递减，∴t ＋9t ≥2＋92＝132，t t 2＋9＝1t ＋9t ≤213(当且仅当t ＝2时等号成立)．又t ＋2t 2＝1t ＋2t 2＝2⎝⎛⎭⎫1t ＋142－18， ∵1t ≥12，∴2⎝⎛⎭⎫1t ＋142－18≥1(当且仅当t ＝2时等号成立)．故a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤213，1. 6．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0所表示的平面区域的面积为4，则k 的值为( )A ．1B ．－3C ．1或－3D ．0答案 A解析 先作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，x ＋y －2≥0表示的平面区域，可得点(2,0)，(0,2)．要使不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0表示的平面区域的面积为4，那么直线kx －y ＋2＝0与直线x ＝2的交点应为(2,4)，将其代入kx －y ＋2＝0，得k ＝1.7．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元． 答案 160解析 由题意知，体积V ＝4 m 3，高h ＝1 m ，所以底面积S ＝4 m 2，设底面矩形的一条边长是x m ，则另一条边长是4x m ，又设总造价是y元，则y ＝20×4＋10×⎝⎛⎭⎫2x ＋8x ≥80＋202x ·8x ＝160，当且仅当2x ＝8x，即x ＝2时取得等号．8．已知x >0，y >0，若2y x ＋8xy >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是________．答案 (－4,2)解析 由题意可得m 2＋2m 应小于2y x ＋8x y 的最小值，所以由基本不等式可得2y x ＋8xy≥2 2y x ·8xy＝8， 所以m 2＋2m <8⇒－4<m <2.9．设0<a <1，集合A ＝{x ∈R |x >0}，B ＝{x ∈R |2x 2－3(1＋a )x ＋6a >0}，D ＝A ∩B ，求集合D .(用区间表示)解 令g (x )＝2x 2－3(1＋a )x ＋6a ， 其对称轴方程为x ＝34(1＋a )，Δ＝9(1＋a )2－48a ＝9a 2－30a ＋9＝3(3a －1)(a －3)． ①当0<a ≤13时，Δ≥0，x ＝34(1＋a )>0，g (0)＝6a >0，方程g (x )＝0的两个根分别为0<x 1＝3a ＋3－9a 2－30a ＋94<x 2＝3a ＋3＋9a 2－30a ＋94，∴D ＝A ∩B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3a ＋3－9a 2－30a ＋94∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋3＋9a 2－30a ＋94，＋∞；②当13<a <1时，Δ<0，则g (x )>0恒成立，所以D ＝A ∩B ＝(0，＋∞)． 综上所述，当0<a ≤13时，D ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3a ＋3－9a 2－30a ＋94∪ ⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋3＋9a 2－30a ＋94，＋∞；当13<a <1时，D ＝(0，＋∞)． 10．运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米(按交通法规限制50≤x ≤100)(单位：千米/小时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油(2＋x 2360)升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值． 解 (1)行车所用时间为t ＝130x(h)，y ＝130x ×2×(2＋x 2360)＋14×130x ，x ∈[50,100]．所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是 y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50,100]．(2)y ＝2 340x ＋1318x ≥2610，当且仅当2 340x ＝1318x ，即x ＝1810时，上述不等式中等号成立．故当x ＝1810时，这次行车的总费用最低，最低费用为2610元．B 组 能力提高11．设f (x )＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( ) A ．q ＝r ＜p B ．q ＝r ＞p C ．p ＝r ＜q D ．p ＝r ＞q答案 C解析 ∵0＜a ＜b ，∴a ＋b2＞ab ，又∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数， 故f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p .又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝12ln a ＋12ln b ＝ln(ab )12 ＝f (ab )＝p . 故p ＝r ＜q .选C.12．已知正实数m ，n 满足m ＋n ＝1，且使1m ＋16n 取得最小值，若曲线y ＝x α过点P (m 5，n 4)，则α的值等于( ) A ．－1 B.12 C ．2 D ．3答案 B解析 因为正实数m ，n 满足m ＋n ＝1，所以1m ＋16n ＝m ＋n m ＋16m ＋16n n ＝n m ＋16mn ＋17≥25，当且仅当m ＝15，n ＝45时，1m ＋16n 取得最小值．所以曲线y ＝x α过点P (125，15)，即15＝(125)α，所以α＝12.13．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ≥－1，y ≥0所表示的平面区域为D ，若直线(m ＋2)x －(m ＋1)y ＋2＝0与平面区域D 有公共点，则实数m 的取值范围为( ) A ．(－4,0) B ．[－4,0]C ．(－∞，－4)∪(0，＋∞)D ．(－∞，－4]∪[0，＋∞) 答案 D解析 如图所示，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ≥－1，y ≥0对应的平面区域D 是以点(－1,0)，(0,1)和(1,0)为顶点的三角形．直线(m ＋2)x －(m ＋1)y ＋2＝0可化为m (x －y )＋2x －y ＋2＝0，该直线恒过点(－2，－2)．若直线与平面区域D 有公共点，经过点(1,0)时，直线的斜率取得最小值23，经过点(－1,0)时，直线的斜率取得最大值2，则23≤m ＋2m ＋1≤2.解得m ≤－4或m ≥0，故实数m 的取值范围是(－∞，－4]∪[0，＋∞)．14．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)解 (1)由题意：当0≤x ≤20时，v (x )＝60；当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b ，显然v (x )＝ax ＋b 在[20,200]上是减函数，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎨⎧a ＝－13，b ＝2003，故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60 (0≤x <20)，13(200－x ) (20≤x ≤200).(2)依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60x (0≤x <20)，13x (200－x ) (20≤x ≤200)，当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200；当20≤x ≤200时，f (x )＝13x (200－x )≤13[x ＋(200－x )2]2＝10 0003，当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立，所以，当x ＝100时，f (x )在区间[20,200]上取得最大值10 0003.综上，当x ＝100时，f (x )在区间[0,200]上取得最大值10 0003≈3 333， 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约3 333辆/小时．。
专题12 验证阿基米德原理-2019年中考物理必考22个实验考学练(解析版)
实验十二、验证阿基米德原理的实验或者【实验目的】：定量探究浸在液体中的物体受到的浮力大小与物体排开液体的重力之间的关系。
【实验器材】：弹簧测力计、金属块、量筒（小桶）、水、溢水杯、【实验步骤】：①把金属块挂在弹簧测力计下端，记下测力计的示数F1。
②在量筒中倒入适量的水，记下液面示数V1。
③把金属块浸没在水中，记下测力计的示数F2和此时液面的示数V2。
④根据测力计的两次示数差计算出物体所受的浮力（F 浮=F1-F2）。
⑤计算出物体排开液体的体积（V2-V1），再通过G水=ρ（V2-V1）g 计算出物体排开液体的重力。
⑥比较浸在液体中的物体受到浮力大小与物体排开液体重力之间的关系。
（物体所受浮力等于物体排开液体所受重力）【实验结论】：液体受到的浮力大小等于物体排开液体所受重力的大小【考点方向】：1、实验更合适的操作顺序是：b a c d2、实验中溢水杯倒水必须有水溢出后才能做实验，否则会出现什么结果：答：会出现浮力大于物体排开水的重力3、此实验弹簧测力计的示数关系是：Fa-Fc=Fd-Fb4、实验结论：物体受到的浮力等于物体排开液体的重力【经典例题】：例题：（2018•河南）某实验小组利用弹簧测力计、小石块、溢水杯等器材，按照图所示的步骤，探究浮力的大小与排开液体所受重力的关系。
（1）先用弹簧测力计分别测出空桶和石块的重力，其中石块的重力大小为 3.8 N。
（2）把石块浸没在盛满水的溢水杯中，石块受到的浮力大小为 1.4 N．石块排开的水所受的重力可由AD （填字母代号）两个步骤测出。
（3）由以上步骤可初步得出结论：浸在水中的物体所受浮力的大小等于排开液体的重力。
（4）为了得到更普遍的结论，下列继续进行的操作中不合理的是 A 。
A．用原来的方案和器材多次测量取平均值B．用原来的方案将水换成酒精进行实验C．用原来的方案将石块换成体积与其不同的铁块进行实验（5）另一实验小组在步骤C的操作中，只将石块的一部分浸在水中，其他步骤操作正确，则能（选填“能”或“不能”）得到与（3）相同的结论。
专题椭圆中焦半径与角度关系讲义-高三数学一轮复习(1)
专题 椭圆中焦半径与角度关系知识点梳理1.平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．2．椭圆的标准方程222c b a += 离心率：221ab ac e -== 经典结论及其证明已知椭圆方程为：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，左右焦点分别为21,F F ，若θ=∠21F AF如图：则推论一：θcos 21⋅-=c a b AF ，θcos 21⋅+=c a b BF ，θ2222cos 2⋅-=c a ab AB 推论二：211211ba BF AF =+（大题中经常运用，可利用下面证明方法） 推论三：11111cos 2+-+=⇒+-=⋅λλλλθk e e ，其中)2(tan ,11πθθλ≠==k BF AF 证明过程如下：（大题中可利用如下过程）推论一：在21F AF ∆中，由余弦定理：即211221)2(cos 44AF a AF c c AF -=⋅-+θ 整理得：θcos 21⋅-=c a b AF 同理可得：θcos 21⋅+=c a b BF 则θ222211cos 2⋅-=+=c a ab BF AF AB 推论二：222112cos cos 11ba b c a b c a BF AF =⋅++⋅-=+θθ（利用推论一） 推论三： 因为)2(tan ,11πθθλ≠==k BF AF ，θcos 21⋅-=c a b AF ，θcos 21⋅+=c a b BF 则θλλθλλθθθλcos )1()1cos cos cos cos 11⋅⋅+-=-⇒⋅-=⋅+⇒⋅-⋅+==c a c a c a c a c a BF AF （ 即11cos +-=⋅λλθe ，两边同时平方222)11(cos +-=⋅λλθe 即2222222)11)(1()11)(tan 1()11(cos 1+-+=+-+=+-⋅=λλλλθλλθk e 所以1112+-+=λλk e 注意：以上θ钝角锐角都适用。
专题11 功和功率及动能定理的理解与应用-2023届高考物理一轮复习热点题型专练(解析版)
专题11功和功率及动能定理的理解与应用目录题型一恒力做功的分析和计算..................................................................................................................................1题型二变力做功的分析和计算. (4)类型1微元法计算变力做功...............................................................................................................................5类型2图像法计算变力做功...............................................................................................................................5类型3等效转换法求变力做功...........................................................................................................................7类型4平均力法求变力做功...............................................................................................................................7类型5应用动能定理求变力做功.......................................................................................................................8题型三功率的分析和计算 (9)类型1功率的分析和计算...................................................................................................................................9类型2功率和功综合问题的分析和计算.........................................................................................................11题型四机车启动问题 (13)类型1恒定功率启动.......................................................................................................................................14类型2恒加速度启动问题...............................................................................................................................15题型五动能定理的理解............................................................................................................................................17题型六动能定理的基本应用....................................................................................................................................19题型七动能定理与图像的“数形结合”. (21)类型1E k －x (W －x )图像问题.............................................................................................................................22类型2F －x 图像与动能定理的结合.................................................................................................................23类型3其他图像与动能定理的结合.................................................................................................................25题型八动能定理在多过程、往复运动问题中的应用.. (27)类型1运用动能定理解决多过程问题...........................................................................................................27类型2动能定理在往复运动问题中的应用.. (30)题型一恒力做功的分析和计算【解题指导】1．判断力是否做功及做正、负功的方法(1)恒力做的功直接用W ＝Fl cos α计算或用动能定理计算。
专题片的分类
专题片的分类
1.纪实类专题片：反映某一事件、人物、社会问题等真实情况的专题片，如《中国好声音》、《中国农民调查》等。
2.历史类专题片：以历史为主题，反映某一历史时期或历史事件，如《大清盛世》、《岳飞传》等。
3.宣传类专题片：以宣传某一主题或政策为目的，如《中国梦》、
《美丽中国》等。
4.科技类专题片：以科技知识或科技实践为主题，介绍某一领域的发
展情况和成果，如《穿越未来》、《金立M5智慧城市》等。
5.文化类专题片：以文化传承和创新为主题，反映文化演变和文化问题，以及文化人物、文化遗产等，如《中华文化宝典》、《华人世界》等。
6.自然环境类专题片：以自然环境和生态保护为主题，反映自然资源
和环境问题，如《蓝色星球》、《雪域高原》等。
专题六：机器人问题及其试题解析
专题六机器人问题及其试题解析一、机器人问题概述主要考查无人机等智能化机械涉及到的物理知识，比如电磁波的应用、一次能源和二次能源的定义。
太阳能的利用，以及能量的转化基础问题。
考查电磁感应的应用。
还有考查了热值、电动机效率和功等知识在生活中的应用与计算，综合性较强得物理问题。
扫地机器人为载体，考查流体压强与流速的关系，考查学生应用物理知识解决实际问题的能力。
也有的题考查压强和功的大小计算、速度公式及其应用，综合性较强，难度适中，关键是知道无人机停放在水平地面时，对地面产生的压力和它们的重力相等。
二、机器人问题解析【例题1】如图为四旋翼无人机，它的操控系统能够实现“一键起飞、一键返回、GPS悬停、规划航线自动飞行和自动跟踪”等功能，它的操控系统是靠传递信息的，无人机是利用电能来工作的，电能属于（选填“一次能源”或“二次能源”）。
答案：电磁波；二次能源。
解析：电磁波可以传递信息；可以从自然界直接获取的能源叫一次能源，不能从自然界直接获取必须通过一次能源的消耗才能得到的能源叫二次能源。
（1）四旋翼无人机，它的操控系统是靠电磁波传递信息的；（2）我们生活中所使用的电能都是通过其他形式的能转化而来的，是二次能源。
【例题2】某智能百叶窗的叶片上贴有太阳能板，在光照时发电，给电动机供电以调节百叶窗的开合。
该过程中发生的能量转换是（）A．电能→机械能→光能B．光能→机械能→电能C．光能→电能→机械能D．机械能→电能→光能答案：C解析：太阳能电池板，把太阳能转化为电能，电动机把电能转化为机械能。
太阳能板，在光照时发电，即把太阳能转化为电能；电能供给电动机，转化为机械能，调节百叶窗的开合；故该过程中发生的能量转换是光能→电能→机械能。
【例题3】现在兴起的智能手机无线充电主要是运用电磁感应技术，当电源的电流通过充电底座中的送电金属线圈产生磁场，带有金属线圈的智能手机靠近该磁场就能接受磁场，产生电流，实现充电过程。
以下设备也是利用“磁生电”工作的是（）A．电磁起重机 B．扬声器C．电烙铁 D．动圈式话筒答案：D解析：本题考查电磁感应的应用。
专题12 资本主义殖民体系的瓦解(世界史)
资本主义殖民体系的瓦解引言：新航路的开辟到20世纪初，资本主义列强已经奴役和控制了世界上绝大部分土地和人口，建立了资本主义世界殖民体系，形成了人类历史上由少数资本主义国家奴役和控制世界上绝大多数国家和地区的极不合理的状态。
资本主义殖民侵略使资本主义列强与殖民地半殖民地的矛盾空前激化，殖民地半殖民地人民争取民族独立的斗争不断高涨。
亚非拉民族独立过程也就是资本主义世界殖民体系瓦解过程。
一、亚非拉民族独立运动发展进程（一）拉丁美洲民族解放运动发展进程小结：资本主义殖民体系及其崩溃形成：新航路开辟到19世纪末20世纪初，资本主义世界殖民体系逐渐形成。
特点：资本主义世界殖民体系是人类历史上由少数资本主义国家奴役和控制世界上绝大多数国家和地区的极不合理的状态。
瓦解：亚非拉人民长期坚持反对殖民侵略的斗争是资本主义世界殖民体系瓦解的根本动力。
1945—1991年，全世界有90多个国家摆脱了殖民统治获得独立，以惊人的速度摧毁了世界殖民体系。
意义：世界殖民体系的崩溃是20世纪伟大変化之一，是人类历史的巨大迸歩。
二、新兴国家的发展1、发展中国家的成就①发展中国家：发展中国家，又称“第三世界”，是指原来的殖民地半殖民地国家取得独立后建立的拥有完整主权的新兴民族国家。
这些国家努力探索适合本国国情的发展道路，掀起了现代化建设浪潮。
②发展中国家现代化发展成就：背景：广大发展中国家在政治独立后，现代化建设成就显著。
（现代化最基本的是：政治民主化和国家工业化）概况：2、发展中国家面临挑战（发展中国家面临的发展问题多种多样）探究：美国独立战争和拉丁美洲独立战争相继取得胜利后，英属北美13个殖民地成立统一的美利坚合众国，而西班牙属拉美殖民地却建立起一系列独立国家。
试从两个独立战争的背景和进程说明造成这种现象的原因。
(16 分)参考答案：背景：北美13个殖民地的宗主国是资本主义的英国。
移民主要是英国和欧洲其它国家的劳动人民。
(1分) 到独立前，殖民地的经济和资本主义关系得到发展，形成了资产阶级和使用奴隶劳动的资本家——种植园主阶级。
专题07 二元一次方程组(归纳与讲解)(原卷版)
专题07 二元一次方程组【专题目录】技巧1：二元一次方程组的五种特殊解法技巧2：二元一次方程组中六种类型数学思想的应用 技巧3：二元一次方程(组)的解的五种常见应用 【题型】一、二元一次方程组的有关概念 【题型】二、用代入法解二元一次方程组 【题型】三、用加减法解二元一次方程组 【题型】四、用整体消元法解二元一次方程组 【题型】五、同解方程组 【题型】六、列二元一次方程组 【考纲要求】1、了解二元一次方程的概念，能把二元一次方程化为用一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，能举例说明二元一次方程及其中的已知数和未知数；2、理解二元一次方程组和它的解等概念，会检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解。
【考点总结】一、二元一次方程组(1)概念：具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．(2)一般形式：⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋b 1y ＝c 1，a 2x ＋b 2y ＝c 2(a 1，a 2，b 1，b 2均不为零)．(3)二元一次方程组的解一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．【注意】1.解二元一次方程组的步骤（1）代入消元法① 变：将其一个方程化为y=ax+b或者为x=ay+b的形式① 代：将y=ax+b或者为x=ay+b代入另一个方程① 解：解消元后的一元一次方程① 求：将求得的未知数值代入y=ax+b或x=ay+b，求另一个未知数的值① 答:写出答案（2）加减消元法① 化：将原方程组化成有一个未知数的系数相等(互为相反数)的形式,① 加减：将变形后的方程组通过加减消去一个未知数① 解：解消元后的一元一次方程① 求：将求得的知数的值代入方程组中任意一个方程求另一个未知数的值2.解二元一次方程组的方法选择（1）当方程组中某一个未知数的系数是1或者-1时，选用代入消元法；（2）当方程组中某一个方程的常数项为0时，选用代入消元法；（3）方程组中同一个知数的数相同或互为相反数时，选用加减消无法（4）当两个方程中同一个未知数的系数成整数倍关系时，选用加减消元法 【技巧归纳】技巧1：二元一次方程组的五种特殊解法 【类型】一、引入参数法解二元一次方程组 1．用代入法解方程组： ⎩⎪⎨⎪⎧x 5＋y 6＝0，①3（x －y ）－4（3y ＋x ）＝85.①【类型】二、特殊消元法解二元一次方程组 题型1：方程组中两未知数系数之差的绝对值相等2．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧2 015x ＋2 016y ＝2 017，①2 016x ＋2 017y ＝2 018.①题型2：方程组中两未知数系数之和的绝对值相等3．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧13x ＋14y ＝40，①14x ＋13y ＝41.②【类型】三、利用换元法解二元一次方程组 4．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3（x ＋y ）＋4（x －y ）＝20，x ＋y 4－x －y 2＝0.【类型】四、同解交换法解二元一次方程组5．已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax －by ＝4，3x －y ＝5与方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝16，4x －7y ＝1的解相同，求(a －b)2 018的值． 【类型】五、运用主元法解二元一次方程组6．已知⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y －3z ＝0，x －3y －z ＝0(x ，y ，z 均不为0)，求xy ＋2yzx 2＋y 2－z 2的值．技巧2：二元一次方程组中六种类型数学思想的应用 【类型】一、整体思想 1．先阅读，然后解方程组．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，①4（x －y ）－y ＝5②时，由①，得x －y ＝1，③然后再将③代入②，得4×1－y ＝5，解得y ＝－1，从而进一步求得x ＝0.所以方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1.这种方法被称为“整体代入法”．请用这样的方法解下面的方程组：⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y －2＝0，2x －3y ＋57＋2y ＝9. 2．若x ＋2y ＋3z ＝10，4x ＋3y ＋2z ＝15，求x ＋y ＋z 的值． 【类型】二、化繁为简思想3．阅读下面解方程组的方法，然后解决问题：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧19x ＋18y ＝17，①17x ＋16y ＝15②时，我们如果直接考虑消元，会很繁琐，而采用下面的解法则是轻而易举的．解：①－②，得2x ＋2y ＝2，所以x ＋y ＝1.③ ③×16，得16x ＋16y ＝16，④②－④，得x ＝－1，将x ＝－1代入③，得y ＝2.所以原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.请用上述方法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2 018x ＋2 017y ＝2 016，2 016x ＋2 015y ＝2 014.【类型】三、方程思想4．已知(5x －2y －3)2＋|2x －3y ＋1|＝0，求x ＋y 的值． 5．若3x 2m＋5n ＋9＋4y 4m－2n －7＝2是二元一次方程，求(n ＋1)m＋2 018的值．【类型】四、换元思想6．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y 2＋x －y 3＝6，4（x ＋y ）－5（x －y ）＝2.【类型】五、数形结合思想7．如图，母亲节那天，很多同学给妈妈准备了鲜花和礼盒，从图中信息可知，买5束鲜花和5个礼盒共需多少元？【类型】六、分类组合思想8．若方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x －y ＝5，ax ＋by ＝－1与⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝9，3ax －4by ＝18有公共解，求a ，b 的值．技巧3：二元一次方程(组)的解的五种常见应用 【类型】一、已知方程(组)的解求字母的值1．若关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝m ，x ＋my ＝n 的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，则|m －n|的值为( ) A ．1 B ．3 C ．5 D ．22．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝2是关于x ，y 的二元一次方程2ax －by ＝2的两组解，求a ，b 的值．【类型】二、已知二元一次方程组与二元一次方程同解求字母的值3．已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝3m ，x －y ＝9m 的解也是方程3x ＋2y ＝17的解，求m 的值．【类型】三、已知二元一次方程组的解满足某一关系求字母的值4．已知m ，n 互为相反数，关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋ny ＝60，3x －y ＝8的解也互为相反数，求m ，n 的值．【类型】四、已知两个二元一次方程组共解求字母的值5．关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝－6，ax －by ＝－4与⎩⎪⎨⎪⎧3x －5y ＝16，bx ＋ay ＝－8有相同的解，求(2a ＋b)2 018的值．【类型】五、已知二元一次方程组的误解求字母的值6．在解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2ax ＋y ＝5，2x －by ＝13时，由于粗心，甲看错了方程组中的a ，得解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝72，y ＝－2；乙看错了方程组中的b ，得解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－7.(1)甲把a 错看成了什么？乙把b 错看成了什么？ (2)求出原方程组的正解． 【题型讲解】【题型】一、二元一次方程组的有关概念例1、若21a b =⎧⎨=⎩是二元一次方程组3522ax by ax by ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩的解，则x ＋2y 的算术平方根为（ ）A ．3B ．3，－3CD【题型】二、用代入法解二元一次方程组例2、二元一次方程组224x yx y+=⎧⎨-=⎩的解是()A．2xy=⎧⎨=⎩B．2xy=⎧⎨=⎩C．31xy=⎧⎨=-⎩D．11xy=⎧⎨=⎩【题型】三、用加减法解二元一次方程组例3、由方程组+=43x my m⎧⎨-=⎩可得出x与y之间的关系是()．A．x＋y＝1B．x＋y＝－1C．x＋y＝7D．x＋y＝－7【题型】四、用整体消元法解二元一次方程组例4、若方程组237351m nm n-=⎧⎨+=⎩的解是21mn=⎧⎨=-⎩，则方程组()()()()2132731521x yx y⎧+--=⎪⎨++-=⎪⎩的解是（）A．11xy=⎧⎨=⎩B．11xy=⎧⎨=-⎩C．31xy=⎧⎨=⎩D．33xy=⎧⎨=-⎩【题型】五、同解方程组例5、已知关于x①y的方程组2342x yax by-=⎧⎨+=⎩，与3564x ybx ay-=⎧⎨+=-⎩，有相同的解，则a①b的值为① ①A．21ab=-⎧⎨=⎩B．12ab=⎧⎨=-⎩C．12ab=⎧⎨=⎩D．12ab=-⎧⎨=-⎩【题型】六、列二元一次方程组例6、《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（）A．2392xyxy⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩B．2392xyxy⎧=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩C．2392xyxy⎧=+⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩D．2392xyxy⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩二元一次方程组（达标训练）一、单选题1．（2022·广东·深圳外国语学校模拟预测）“绿水青山就是金山银山”，某地准备购买一些松树和柏树绿化荒山，已知购买2棵松树和3棵柏树需要120元，购买2棵松树比1棵柏树多20元，设每棵松树x 元，每棵柏树y 元，则列出的方程组正确的是（ ）A ．23120220x y x y +=⎧⎨-=⎩B ．23120220x y x y +=⎧⎨+=⎩C ．23120220x y y x +=⎧⎨-=⎩D ．32120220x y x y +=⎧⎨+=⎩2．（2022·天津河北·一模）方程组282x y x y+=⎧⎨=⎩的解是( )A ．21x y =⎧⎨=⎩B ．42x y =⎧⎨=⎩C ．12x y =⎧⎨=⎩D ．24x y =⎧⎨=⎩3．（2022·天津红桥·三模）方程组21230x y y x +=-⎧⎨+=⎩的解是（ ）．A ．11x y =-⎧⎨=⎩B ．12x y =-⎧⎨=-⎩C ．23x y =-⎧⎨=⎩D ．23x y =⎧⎨=-⎩4．（2022·上海杨浦·二模）下列方程中，二元一次方程的是（ ） A ．1xy =B ．210x -=C ．1x y -=D ．11x y+= 5．（2022·山东威海·一模）已知关于x ，y 的二元一次方程组231ax by ax by +=⎧⎨-=⎩的解为11x y =⎧⎨=-⎩，则2a b-的值是（ ） A ．2- B ．2C ．3D ．3-二、填空题6．（2022·湖南娄底·二模）我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托．如果一托为5尺，那么索长与竿子长之和为______尺．7．（2022·江苏无锡·二模）已知方程组26221x y x y +=⎧⎨+=⎩，则x y +的值为______．三、解答题8．（2022·广东·广州市第一二三中学模拟预测）阅读材料：善于思考的小军在解方程组()1045x y x y y --=⎧⎪⎨--=⎪⎩①②时，采用了一种“整体代入”的解法： 解：由①得x ﹣y ＝1①将①代入①得：4×1﹣y ＝5，即y ＝﹣1把y＝﹣1代入①得x＝0，①方程组的解为1 xy=⎧⎨=-⎩请你模仿小军的“整体代入”法解方程组，解方程232235297x yx yy-=⎧⎪-+⎨+=⎪⎩．二元一次方程组（提升测评）一、单选题1．（2022·广东·江门市新会东方红中学模拟预测）若最简二次根式3a则a、b的值分别是（）A．2和1B．1和2C．2和2D．1和12．（2022·福建·平潭翰英中学一模）已知12xy=⎧⎨=⎩是二元一次方程组{mx−ny=8nx+my=1的解，则43m n+的立方根为（）A．±1BC．±D．1-3．（2022··二模）我们知道二元一次方程组233345x yx y-=⎧⎨-=⎩的解是31xy=⎧⎨=⎩．现给出另一个二元一次方程组2(21)3(31)33(21)4(31)5x yx y+--=⎧⎨+--=⎩，它的解是（）A．123xy=-⎧⎪⎨=⎪⎩B．123xy=-⎧⎪⎨=-⎪⎩C．123xy=⎧⎪⎨=⎪⎩D．123xy=⎧⎪⎨=-⎪⎩4．（2022·福建宁德·二模）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有二人共车九人步；三人共车，二车空．问：人与车各几何？译文：若每辆车都坐2人，则9需要步行：若每辆车都坐3人，则两辆车是空的，问：车与人各多少？设有x辆车，y人，根据题意，列方程组是（）A．2932y xy x=+⎧⎨=-⎩B．293(2)y xy x=+⎧⎨=-⎩C．2932y xy x=-⎧⎨=-⎩D．()2932y xy x=-⎧⎨=-⎩5．（2022·广东·揭阳市实验中学模拟预测）如果关于x，y的方程组436626x yx my-=⎧⎨+=⎩的解是整数，那么整数m的值为（）A ．4，4-，5-，13B ．4，4-，5-，13-C ．4，4-，5，13D ．4-，5，5-，13二、填空题6．（2022·江苏南通·二模）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，原文：今有人盗库绢，不知所失几何．但闻草中分绢，人得六匹，盈六匹；人得七匹，不足七匹．问人、绢各几何？注释：（娟）纺织品的统称；（人得）每人分得；（匹）量词，用于纺织品等，（盈）：剩下．若设贼有x 人，库绢有y 匹，则可列方程组为______．三、解答题7．（2022·广东·华南师大附中三模）解下列方程组： (1)1223334m nm n ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩；(2)6234()5()2x y x yx y x y +-⎧+=⎪⎨⎪+--=⎩； (3)0.10.3 1.3123x y x y+=⎧⎪⎨-=⎪⎩； (4)23433x y x y ⎧=⎪⎨⎪-=⎩． 8．（2022·浙江温州·二模）为促进学生体育活动，学校计划采购一批球类器材，当每班购进5个排球和6个篮球时花费360元；购进10个排球和2个篮球时花费270元． (1)求排球和篮球的单价．(2)为扩充器材室储备，现还需购买120个排球和篮球，其中排球的数量不少于篮球数量的23，如何购买总费用最少．(3)经调查，为满足不同学生的需要，学校准备新增购进进价为每个60元的足球，篮球和排球的仍按需购进，进价不变，排球是篮球的4倍，共花费9000元，则学校至少可以购进多少个球类器材？。
AF大气逆温现象
例10． (2004全国卷I)对流层中的上升气流会使飞行中的飞机颠 簸。导致对流层气流上升的原因是：上层实际气温低于理论气温 (按垂直递减率计算的气温)。图3表示四种对流层气温分布状况，分 析下图回答 1-2题
1）.①图表示的气温降低速率在 ( B ) A．3000米以下低于垂直递减率 B．3000～6000米高于垂直递减率 C．6000米以下等于垂直递减率 D．6000米以下均低于垂直递减率 2）.飞机可以在5000米高度平稳飞行的是 A．① B．② C．③ D．④ ( D )
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二十世纪世界著名公害事件
2、1948年多诺拉烟雾事件 10月下旬，美国的宾夕法尼亚州多诺拉城有许多大 型炼铁厂、炼锌厂和硫酸厂。1948年10月26日清晨，大 雾弥漫，受反气旋和逆温控制，工厂排出的有害气体扩 散不出去，全城14000人中有6000人眼痛、喉咙痛、头 痛胸闷、呕吐、腹泻。17人死亡。 3、 1952年伦敦烟雾事件 1952年12月那一次，5天内就有4000人死亡。祸首是 燃煤排放的粉尘和二氧化硫。烟雾逼迫所有飞机停飞， 汽车白天开灯行驶，行人走路都困难。烟雾事件使呼吸 道疾病患者猛增，5天内有4000多人死亡，两个月内又 有8000多人死去。自1952年以来，伦敦发生过12次大的 烟雾事件。
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二十世纪世界著名公害事件
4、1943年洛杉矶光化学烟雾事件 美国夏季西海岸的洛杉矶市。该市250万辆汽车每天 燃烧掉1100吨汽油。汽油燃烧后产生的碳氢化合物等在 太阳紫外光线照射下引起光化学反应，形成浅蓝色烟雾 ，使该市大多市民患了眼红、头疼病。后来人们称这种 污染为光化学烟雾。1955年和1970年洛杉矶又两度发生 光化学烟雾事件，前者有400多人因五官中毒、呼吸衰 竭而死，后者使全市四分之三的人患病。
专题3费雪(Fisher)对资本和资产关系的解释与财务管理研究内容
➢ 《利息理论》最大的贡献在于建立了资本预算净现值规则。
➢ 通过将未来现金流量折成现值，可以决定投资决策的经济 价值。投资方案的选择要遵循“现值最大化原则”，即在 所有备选方案中，应选择市场利率计算后具有最大现值的 那个方案。入选方案应满足“收益大于成本原则”，即入 选方案的收益率应该大于市场基本利率。
利息不是收入的局部，而是收入的全部 Interest is not a part of income, but the
whole of income。
费雪格言（dictum）
费雪《利息理论》
Irving Fisher, The Theory of Interest, 1930
➢ 《利息理论》是迄今为止最伟大的关于资本理 论的研究，
FM 财务理论专题
The Topic of Financial Theory
专题三:费雪（Fisher）对资本和资产关系 的解释与财务管理研究内容
财务管理
➢ “良好的财务管理对一个工商企业、一个国家 乃至整个世界经济状况都至关重要。
➢ 财务管理是一件较为复杂多变的事情，因此颇 具刺激性，使人为之着迷和兴奋，同时也给人 以挑战，令人困惑。”
➢ 这个价是因为时间有先后而起，而物品或资源的 现值（present value）与期值（future value） 之别就是利息。
➢ 因为时间有长短之分，我们就以一个同期的利息 率乘以现值来算出利息。
费雪名言： 收入是一连串的事件 Income is a series of events
0 财富
➢ 费雪提出:通货膨胀率+实际利率=名义利率，强调了预期通货膨胀对 名义利率一对一的影响。
专题02 阿伏伽德罗常数及定律
专题02 阿伏伽德罗常数及定律【知识框架】【基础回顾】1、阿伏伽德罗常数（1）定义：把1mol任何粒子的粒子数叫做阿伏伽德罗常数，通常用6.02×1023来表示。
（2）符号：N A。
（3）单位：mol-1。
2、阿伏伽德罗定律在同温同压下，同体积的气体含有相同的分子数。
同温、同压、同体积、同分子数，这“四同”相互制约，只要其中“三同”成立，第“四同”也成立，即“三同”定“一同”。
【技能方法】1、阿伏伽德罗常数考查易错点：（1）温度和压强：22.4L/mol是在标准状况（0 ℃，1.01×105Pa）下的气体摩尔体积。
命题者有意在题目中设置非标准状况下的气体体积，让考生与22.4L/mol进行转换，从而误入陷阱。
（2）物质状态：22.4L/mol使用的对象是气体（包括混合气体）。
命题者常把一些容易忽视的液态或固态物质作为气体来命题，让考生落入陷阱。
如SO3：常温下是固态；水：常温下是液态。
戊烷，辛烷常温下是液态等。
（3）物质变化：一些物质间的变化具有一定的隐蔽性，有时需要借助方程式分析才能挖掘出隐含的变化情况。
考生若不注意挖掘隐含变化往往会误入陷阱。
如NO2：存在与N2O4的平衡。
（4）单质组成：气体单质的组成除常见的双原子分子外，还有单原子分子（如稀有气体Ne：单原子分子）、三原子分子（如O3）、四原子分子（如P4）等。
考生如不注意这点，极容易误入陷阱。
（5）粒子数目：粒子种类一般有分子、原子、离子、质子、中子、电子等。
1mol微粒的数目即为阿佛加德罗常数，由此可计算分子、原子、离子、质子、中子、电子等微粒的数目。
命题者往往通过N A与粒子数目的转换，巧设陷阱。
2、阿伏加德罗定律的应用阿伏伽德罗定律及推论的复习不在于死记硬背，要熟记相关化学计量的定义式，并结合相互关系进行推导，灵活运用。
原理：同T、P下，气体状态方程 PV=nRT ③（1）三正比：同温同压下，气体的体积比等于它们的物质的量之比V1/V2=n1/n2同温同体积下，气体的压强比等于它们的物质的量之比P1/P2=n1/n2同温同压下，气体的密度比等于它们的相对分子质量之比M1/M2=ρ1/ρ2（2）二反比：同温同压下，相同质量的任何气体的体积与它们的相对分子质量成反比V1/V2=M2/M1同温同体积时，相同质量的任何气体的压强与它们的摩尔质量的反比ρ1/ρ=M2/M1。
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心房颤动的治疗方法选择（ ） 心房颤动的治疗方法选择（11）
1）、抗心律失常药物 ）、抗心律失常药物 转复心律的有效药物为Ia Ic或III类 Ia、 转复心律的有效药物为Ia、Ic或III类 AAD。 AAD。 长期应用AAD副反应多， AAD副反应多 长期应用AAD副反应多，致心律失常显 房颤复发率仍比较高，复律1 见，房颤复发率仍比较高，复律1年后约只 25%的患者能维持窦性心律 如服用Ia 的患者能维持窦性心律。 Ia、 有25%的患者能维持窦性心律。如服用Ia、 Ic类 年后有50%的患者为窦性心律。 50%的患者为窦性心律 Ic类，则1年后有50%的患者为窦性心律。
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心房颤动的治疗方法选择（ ） 心房颤动的治疗方法选择（10）
2、控制心室节律：论上讲节律控制优于室率控制，但 尚无明确的证据显示二者在控制病死率方 面有差异， 面有差异，也没有证据表明接受节律控制 的患者脑卒中的发生率显著降低。 的患者脑卒中的发生率显著降低。 目前认为，基础心脏病轻， 目前认为，基础心脏病轻，年轻的有 症状的房颤患者转复心律有益。 症状的房颤患者转复心律有益。
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心房颤动的治疗方法选择（ ） 心房颤动的治疗方法选择（2）
房颤分为阵发性、 房颤分为阵发性、持续性和永久 阵发性房颤（ 1/4） 性3类：阵发性房颤（占1/4）的持续 时间短（小于2 7d）， ），可以自行终止 时间短（小于2-7d），可以自行终止 或药物终止；持续性房颤（ 1/4） 或药物终止；持续性房颤（占1/4）的 持续时间长于2 7d，药物不能终止， 持续时间长于2-7d，药物不能终止， 通常只能靠电转复； 通常只能靠电转复；如果无法恢复窦 性心律，就成为永久房颤 永久房颤（ 1/2）。 性心律，就成为永久房颤（占1/2）。
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心房颤动的治疗方法选择（ ） 心房颤动的治疗方法选择（5）
1、控制心室率 通过药物治疗的方法使室率控制 静息状态下60-80次/min， 在静息状态下60-80次/min，中等运动 为90-115次/min。 90-115次/min。 目前用于控制心室率的主要有： 目前用于控制心室率的主要有： 受体阻滞剂、钙离子拮抗剂、 β-受体阻滞剂、钙离子拮抗剂、洋地 黄类和某些抗心律失常药物。 黄类和某些抗心律失常药物。
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心房颤动的治疗方法选择（ ） 心房颤动的治疗方法选择（4）
心房颤动的治疗策略 心房颤动的治疗原则包括： 心房颤动的治疗原则包括： a、治疗基础心脏疾病和触发因素； 基础心脏疾病和触发因素； 、治疗基础心脏疾病和触发因素 b、控制快速的心室率； 快速的心室率； 、控制快速的心室率 C、转复并维持窦性心律； 窦性心律； 、转复并维持窦性心律 d、预防血栓栓塞。 血栓栓塞。 、预防血栓栓塞
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心房颤动的治疗方法选择（ ） 心房颤动的治疗方法选择（9）
其他抗心律失常药物： 其他抗心律失常药物： 胺碘酮具有交感抑制和钙通道阻滞作用 具有交感抑制和钙通道阻滞作用， 胺碘酮具有交感抑制和钙通道阻滞作用， 能有效减缓房颤患者心室率， 能有效减缓房颤患者心室率，适用于房颤 伴快速心室率而其他方法有禁忌或无法有 效控制时（ 效控制时（因胺碘酮具有心脏外毒副作用 的限制）。 的限制）。
心房颤动（ 心房颤动（atrial fibrillation）是临床上最常 ） 见的心律失常之一，是脑卒中、 见的心律失常之一，是脑卒中、心功能障碍和致 死的重要危险因素，我国房颤的患病率为0.7%。 死的重要危险因素，我国房颤的患病率为 。 房颤的独立危险因素包括：年龄、性别、 独立危险因素包括 房颤的独立危险因素包括：年龄、性别、慢 性心力衰竭、瓣膜病、糖尿病、 性心力衰竭、瓣膜病、糖尿病、高血压和心肌梗 死史等基础心脏疾病或相关疾病 近年来， 基础心脏疾病或相关疾病。 死史等基础心脏疾病或相关疾病。近年来，高血 压成为房颤最常见的危险因素， 压成为房颤最常见的危险因素，占非瓣膜病房颤 患者的半数。 患者的半数。
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进一步优化心房颤动的治疗方案（3） 进一步优化心房颤动的治疗方案（ ） 控制心室率和转复窦律两种方 法在提高患者的生活质量、 法在提高患者的生活质量、降低病 死率和心血管事件上无统计学差异， 死率和心血管事件上无统计学差异， 在住院率、医疗费用、 在住院率、医疗费用、患者依从度 等方面控制心室率还具有一定优势。 等方面控制心室率还具有一定优势。
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进一步优化心房颤动的治疗方案（6） 进一步优化心房颤动的治疗方案（ ）
并据此对非瓣膜性房颤提出了CHADS 并据此对非瓣膜性房颤提出了CHADS2[cardiac failure，hypertension，age，diabetes， failure，hypertension，age，diabetes， stroke（doubled） 卒中风险评分表。 stroke（doubled）]卒中风险评分表。 其评分方法是：存在心衰、高血压、 其评分方法是：存在心衰、高血压、年龄 75岁 糖尿病等危险因素时，每项1 ≥75岁、糖尿病等危险因素时，每项1分，如果 存在卒中史、TIA史记 史记2 存在卒中史、TIA史记2分，各项合计总分即为 评分。 CHADS2评分。 指南建议患者没有危险因素（或低危因素） 没有危险因素 指南建议患者没有危险因素（或低危因素） 只需服阿司匹林（81-325mg/d）；当评为1 ）；当评为 时，只需服阿司匹林（81-325mg/d）；当评为1 分时，可选择阿司匹林或华法林；当评为≥ 分时，可选择阿司匹林或华法林；当评为≥2分 2012-3-9 7 选择华法林。 时，选择华法林。
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进一步优化心房颤动的治疗方案（8） 进一步优化心房颤动的治疗方案（ ）
目前认为， 目前认为，对于阵发性房颤射频消 融是较为理想的选择，慢性房颤尤合 融是较为理想的选择， 并器质性心脏病者控制心室率及抗凝 治疗可以作为首选。 治疗可以作为首选。
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B、心房颤动的治疗方法选择（1） 、心房颤动的治疗方法选择（ ）
进一步优化心房颤动的治疗方案（ ） 进一步优化心房颤动的治疗方案（7） 使用华法林时，INR应维持在 使用华法林时，INR应维持在 而换瓣术后的患者INR INR应 2．0-3．0，而换瓣术后的患者INR应 2.5以上 INR在 维持在2.5以上。国人推荐INR 1.8维持在2.5以上。国人推荐INR在1.82.5之间 之间。 2.5之间。 已接受抗凝治疗的患者应定期 评估其抗凝需要以及抗凝药物的使用 剂量。推荐每周检测INR 每周检测INR， 剂量。推荐每周检测INR，稳定后改为 每月检测 每月检测。
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进一步优化心房颤动的治疗方案（ ） 进一步优化心房颤动的治疗方案（4）
抗凝治疗是降低房颤致残率、 抗凝治疗是降低房颤致残率、 致死率， 致死率，提高患者的生活质量的关 键。抗凝治疗的关键在于根据患者 的具体情况选择抗凝药物、 的具体情况选择抗凝药物、决定抗 凝强度。 凝强度。
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心房颤动的治疗方法选择（ ） 心房颤动的治疗方法选择（6）
洋地黄类药物： 洋地黄类药物： 主要通过兴奋迷走神经，增加隐匿传导， 主要通过兴奋迷走神经，增加隐匿传导， 减慢夜间心率， 减慢夜间心率，增多长间歇来达到有效控 制静息状态下的房颤心室率。 制静息状态下的房颤心室率。此对白天和 运动时的心室率控制效果差，常需加以β 运动时的心室率控制效果差，常需加以β受体阻滞剂和非二氢吡啶类钙离子拮抗剂。 受体阻滞剂和非二氢吡啶类钙离子拮抗剂。 主要适用房颤伴心力衰竭者，同时还应加 主要适用房颤伴心力衰竭者， 受体阻滞剂。 用β-受体阻滞剂。
心房颤动
的
治疗方案
内一科 吴斌
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A进一步优化心房颤动的治疗方案（1） 进一步优化心房颤动的治疗方案（ ） 进一步优化心房颤动的治疗方案 心房颤动的治疗手段： 心房颤动的治疗手段： 1、药物治疗包括：控制心室率和 药物治疗包括：控制心室率和 转复窦性心律两大策略， 转复窦性心律两大策略， 两大策略 非药物治疗包括：射频消融、 2、非药物治疗包括：射频消融、 外科手术、起搏治疗、 外科手术、起搏治疗、植入性心房除 颤仪（IACD） 颤仪（IACD）等， 抗凝治疗也是重要组成部分 也是重要组成部分。 抗凝治疗也是重要组成部分。 但总体效果远不如人意。 但总体效果远不如人意。
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进一步优化心房颤动的治疗方案（2） 进一步优化心房颤动的治疗方案（ ）
转复窦性心律可以提高患者的生活质 改善预后， 存在下列不利因素： 量，改善预后，但存在下列不利因素： ）、抗心律失常药物 抗心律失常药物（ 1）、抗心律失常药物（antiarrhythmia drugs，AAD） drugs，AAD）的副反应抵消了转复窦性心 律带来的益处； 律带来的益处； ）、长期随访 AAD维持窦性心律的比例 长期随访， 2）、长期随访，AAD维持窦性心律的比例 不高； 不高； ）、转复窦性心律后存在高危因素的患者 3）、转复窦性心律后存在高危因素的患者 仍然不能停止抗凝治疗。 仍然不能停止抗凝治疗。
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心房颤动的治疗方法选择（ ） 心房颤动的治疗方法选择（3）
国外提出“首发房颤” 国外提出“首发房颤”：即既往 没有房颤的病史或对发作时间不清楚 者归4 者归4类。 还有一类称孤立性房颤：指年龄 还有一类称孤立性房颤： 孤立性房颤 小于60岁，没有糖尿病、高血压等心 小于60岁 没有糖尿病、 60 肺疾病，占所有房颤的12-30 %，占年 肺疾病，占所有房颤的12%， 12 轻人房颤的20-45%。 轻人房颤的20-45%。 20
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心房颤动的治疗方法选择（ ） 心房颤动的治疗方法选择（7）
非二氢吡啶类钙离子拮抗剂： 非二氢吡啶类钙离子拮抗剂： 地尔硫卓、 地尔硫卓、维拉帕米等能有效降低窦房结和 房室结动作电位振幅，延长房室结有效不应期， 房室结动作电位振幅，延长房室结有效不应期， 减少心房重构现象的发生， 减少心房重构现象的发生，并且有降血压和心肌 缺血作用， 缺血作用，是控制房颤患者休息和运动时心室率 的有效药物。适用于合并哮喘、肺心病。 的有效药物。适用于合并哮喘、肺心病。地尔硫 维拉帕米两种效果相当， 卓、维拉帕米两种效果相当，对大多数房颤患者 均可提高运动耐力。由于其负性肌力作用， 均可提高运动耐力。由于其负性肌力作用，对合 并心力衰竭者应慎， 并心力衰竭者应慎，通常与地高辛联合控制运动 时的快速心室率。 时的快速心室率。