平面向量的基本定理及坐标表示

平面向量的基本定理及坐标表示

【知识梳理】

一、平面向量基本定理及坐标表示

1．平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.

其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

2．平面向量的正交分解： 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．

3．平面向量的坐标表示

(1)在平面直角坐标系中，分别取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底．对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x ，y ，使a ＝x i ＋y j ，把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y )，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标．

(2)设OA ＝x i ＋y j ，则向量OA 的坐标(x ，y )就是终点A 的坐标，即若OA ＝(x ，y )，则A 点坐标为(x ，y )，反之亦成立．(O 是坐标原点)

二、平面向量坐标运算:

1．向量加法、减法、数乘向量及向量的模:

设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)．

2．向量坐标的求法:

(1)若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．

(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.

三、平面向量共线的坐标表示:

设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.若a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.

【基础自测】 1．若向量AB ＝(1,2)，BC ＝(3,4)，则AC ＝______

解析： ∵AC ＝AB ＋BC ，∴AC ＝(1,2)＋(3,4)＝(4,6)．

2．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(x ，－2)，若a ∥b ，则a ＋b 等于________

解析：选A 由a ∥b 可得2×(－2)－1×x ＝0，故x ＝－4，所以a ＋b ＝(－2，－1)．

3．已知两点A (4,1)，B (7，－3)，则与AB 同向的单位向量是__________ 解析：∵A (4,1)，B (7，－3)，∴AB ＝(3，－4)，∴与AB 同向的单位向量为AB |AB |

＝⎝⎛⎭⎫35，－45. 4．在平行四边形ABCD 中，若AB ＝(1,3)，AC ＝(2,5)，则AD ＝________，BD ＝________. 解析：AD ＝BC ＝AC －AB ＝(2,5)－(1,3)＝(1,2)，BD ＝AD －AB ＝(1,2)－(1,3)＝(0，－1)．

5．梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别是CD ，AB 的中点，设AB

＝a ，AD ＝b .若MN ＝m a ＋n b ，则n m

＝________. 解析：∵MN ＝MD ＋DA ＋AN ＝－14a －b ＋12a ＝14

a －

b ，

∴m ＝14，n ＝－1.∴n m

＝－4. 【说明】 1.基底的不唯一性: 只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量a 都可被这个平面的一组基底e 1，e 2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的．

2．向量坐标与点的坐标的区别

要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向的信息也有大小的信息．

【考点探究】 【考点探究一】平面向量基本定理及其应用

[例1] 如图，在四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于点O ，设AD ＝a ，AB ＝b ，若AB ＝2DC ，则AO ＝________(用向量a 和b 表示)．

[解] ∵AB ＝2DC ，∴△DOC ∽△BOA ，且OC OA ＝12，∴AO ＝23AC ＝23(AD ＋DC )＝23⎝

⎛⎭⎫a ＋12b

＝23a ＋13

b .

【由题悟法】

用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，再用该基底表示向量，也就是利用已知向量表示未知向量，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算．

【以题试法】

1．在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 中点，AN ＝λAB ＋μAC ，则λ＋μ的值为_______

解析： 设CM ＝m CB ＝m (AB －AC )(0≤m ≤1)，则AM ＝AC ＋CM ＝(1－m ) AC ＋

m AB ，AN ＝12AM ＝m 2AB ＋1－m 2AC ，所以λ＋μ＝m 2＋1－m 2＝12

. 【考点探究二】平面向量的坐标运算

[例2] 已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB ＝a ，BC ＝b ，CA ＝c .

①求3a ＋b －3c ；②求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n .

[解] 由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)．

①3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．

②∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，

∴⎩⎪⎨⎪⎧ －6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧

m ＝－1，n ＝－1. 【一题多变】

本例中第(2)题增加条件CM ＝3c ，ON ＝2b ，求M ，N 的坐标及向量MN 的坐标．

解：∵CM ＝OM －OC ＝3c ，∴OM ＝3c ＋OC ＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．

∴M (0,20)．又∵CN ＝ON －OC ＝－2b ，

∴ON ＝－2b ＋OC ＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N (9,2)．∴MN ＝(9，－18)．