平面向量的数量积 教案-2022届高三数学二轮复习微专题复习

微专题：平面向量数量积的探究
一、本专题在高考中的地位
平面向量数量积作为高考的热点问题有其必然性，从知识角度看，涉及到模、夹角、垂直和数量积范围等；从能力角度看，要求学生具备教材基础知识和较强的关键学科能力如：观察能力、直观想象、运算能力.
近年来，高考对平面向量的数量积考查得一直都很频繁，比如2021全国1卷10题，全国2卷15题，北京卷13题，天津卷15题，浙江卷3、17题都有考查. 二、考向分析
(1)主要考查平面向量的数量积与平面向量的坐标运算，并能运用数量积解决有关平面几何问题；
(2)主要考查向量与不等式、解析几何、三角函数等知识的综合，考查学生逻辑推理能力、运算能力和综合解决问题的能力. 三、基本思路
1.“数”化，即合理建系，利用坐标系求解.
2.“形”化，明确向量式的几何意义，挖掘图形特点，利用平面几何知识求解. 四、教学过程 （一）典型例题
【典例】（浙江卷）∆ABC 中，D 为BC 中点，AD=3，BC=10，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =_____. 解法一：利用坐标表示向量进行运算 如图所示，设A(x ，y)，B(-5，0)，C(5，0). 因为AD=3，所以x 2+y 2=9. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x+5，y)， AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-5，y). AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AC
⃗⃗⃗⃗⃗ =
解法二：利用定义法a ⃗ ∙b =|a ⃗ |∙|b |cos θ（三角形看作特殊的等腰三角形） 如图令∆ABC 中，AB=AC ， ∠BAD= θ 则|AB|=√34，cos θ=
√34
AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ | cos 2θ =(√34)2(2∙9
34−1)
=-16
解法三：利用基向量表示已知向量进行运算 (一)以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、AC
⃗⃗⃗⃗⃗ 作为基向量 {AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =1
2(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ①BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB
⃗⃗⃗⃗⃗ ② 由①得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2
+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =36 由②得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =100 则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AC
⃗⃗⃗⃗⃗ =-16 (二)以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 、BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 作为基向量 {AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −1
2BC
⃗⃗⃗⃗⃗ ①AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +1
2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ②
AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )∙(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +1
2
BC
⃗⃗⃗⃗⃗ ) =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−1
4BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2 =-16
解法四：利用极化恒等式a ⃗ ∙b ⃗⃗ =14[(a ⃗ +b )2
−(a ⃗ −b )2
]
AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =14
[(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )2
−(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC
⃗⃗⃗⃗⃗ )2
] = 1
4[(2AD
⃗⃗⃗⃗⃗ )2
−(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2
] =-16
解法五：利用向量形式的余弦定理AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AC
⃗⃗⃗⃗⃗ =12(|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2） AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AC
⃗⃗⃗⃗⃗ =12
(|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2） 在∆ABC 中，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=2(|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|BD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2） 代入得AB
⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-16 【设计意图】本题从不同出发点不同角度探求多重解法，分析对比这些解法，在同中求异，在异中求佳，更好地构建知识网络，累积解题经验，培养思维的灵活性，提升学生的思维品质.
【探究一】若将“D 为BC 中点”改为“D 为BC 的三等分点靠近B 点”，
（1）判断AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 是否为定值，并说明理由.
（2）在①∠A DC=120°；②AB=3；③面积为S ∆ABC =12这三个条件中任选一个_______,求AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AC
⃗⃗⃗⃗⃗ 的值． 【解析】若选择①：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ）∙（AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −2
3CB
⃗⃗⃗⃗⃗ ） =
=-10cos ∠ADC −1199
∵∠ADC=120° ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AC
⃗⃗⃗⃗⃗ =−749. 若选择②：∆ABD 中，cos ∠A DB=
103∙12
3
=5
9.
同①AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AC
⃗⃗⃗⃗⃗ =-10cos ∠A DC −1199=−10∙(−59)−1199=233. 若选择③: ∵S ∆ABC =12, ∴A 到BC 的距离h=12
5
.
∵ sin ∠A DB=12
5
3=45 ∴cos ∠A DC=±3
5. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AC
⃗⃗⃗⃗⃗ =−659或−1739
.
【设计意图】将中点改为三等分点，组织学生讨论，探究D 点在BC 上时AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 是否具有一般性的结论.通过多样化展示思维，让学生独立自主学习、思考、交流.学生探究出当三角形是确定三角形，D 为BC 的三等分点靠近B 点时AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值，并通过动画演示AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 随∠ADC 的变化趋势，更直观的感受AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AC
⃗⃗⃗⃗⃗ 与∠ADC 的关系. 【探究二】（改编自2020年高考天津卷）若将上题改为“∆ABC 中，M 、N 为BC 上的点，且|MN
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，AB=3，BC=10，∠ABC=60°”则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AN ⃗⃗⃗⃗⃗ 是否为定值？若是，求出此定值；若不是，求出AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AN ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围.
【解析】取MN 的中点O ，则
AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AN ⃗⃗⃗⃗⃗ =1
4
[(AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AN ⃗⃗⃗⃗⃗ )2−(MN
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2
]
= 1
4[(2AO ⃗⃗⃗⃗⃗ )2
−1] =AO
⃗⃗⃗⃗⃗ 2−14
∈[9,73] 【设计意图】根据问题的条件寻找与设计合理的解题方法，进一步巩固基底法，深化坐标法，主动构建极化恒等式等方法，综合、灵活运用所学的思想和方法，创造性的解决问题. （二）课堂练习
如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠A=90°，BC=2√2，G 是∆ABC 的重心，P 是∆ABC 内的一点（含边界），则BG
⃗⃗⃗⃗⃗ ∙BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为________. 【解析】由题意，当P 点与C 点重合时BG ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 最大， 所以（BG ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ）max
2
=BG ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BG|×|BC|cos ∠GBC =2
3√22+12×2√2×
22√2)2
2
2√5×2√2
=4 故答案为4. （三）课堂小结 你收获了什么？
1.复习了用定义法、基底法、坐标法、极化恒等式法等多种方法求解平面向量数量积问题；
2.有关平面向量的综合问题如何找切入点进行求解；
3.进一步提升了解决问题的能力和数学探究能力，培养了数学建模、逻辑推理等核心素养. （四）课后练习
1.已知菱形ABCD 的边长为3，∠BAD=60°，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交与点F ，则AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙BF
⃗⃗⃗⃗⃗ =_________. 2.如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ， AD ⊥CD ， ∠BAD=120°，AB=AD=1，若点E 为边CD 上的动点，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙BE ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为_________.
3.在∆ABC 中，D 是BC 中点，E 、F 是AD 上的两个三等分点，BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =4，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =-1，则BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是________. 【答案】 1.11
2 2. 21
16 3. 7
8 4. 4 （五）板书设计
E
D C
B
A
平面向量数量积的探究
典例：
法一：
法二：利用定义法
法三：利用基向量表示已知向量进行运算
法四：利用极化恒等式
法五：利用向量形式的余弦定理探究一:
探究二:
课堂练习:
课堂小结:
1.本节课在教师的预设下，在师生，生生的合作，对话、碰撞中完成.教师顺其自然，让学生发表自己的意见，才能使课堂更加和谐，学生的参与热情也会更高.
2.教学时敢于放手，给学生更多的时间思考和讨论，以此来完成任务，培养学生的创新精神和创造能力.。