函数的恒成立、存在性问题的方法总结大全(干货)

关于函数的恒成立、存在性（能成立）问题
关于二次函数的恒成立、存在性（能成立）问题是常考考点，其基本原理如下：
（1）已知二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，则：0
()00a f x >⎧>⇔⎨
∆<⎩
恒成立；0
()00a f x <⎧<⇔⎨∆<⎩
恒成立． （2）若表述为：“已知函数2()(0)f x ax bx c a =++≠”，并未限制为二次函数，则应有：
00()000a a b f x c >==⎧⎧>⇔⎨⎨∆<>⎩⎩恒成立或；00
()000a a b f x c <==⎧⎧<⇔⎨⎨
∆<<⎩⎩
恒成立或．注：在考试中容易犯错，要特别注意！！！
恒成立问题与存在性（能成立）问题，在解决此类问题时，可转化为其等价形式予以解答，将此类问题的可能出现的17种情形归纳总结大全如下，并通过常考例题进行讲解：
已知定义在[,]a b 上的函数()f x ，()g x ．
（1）[,]x a b ∀∈，都有()f x k >（k 是常数）成立等价于min [()]f x k >（[,]x a b ∈）． （2）[,]x a b ∀∈，都有()f x k <（k 是常数）成立等价于max [()]f x k <（[,]x a b ∈）． （3）[,]x a b ∀∈，都有()()f x g x >成立等价于min [()()]0f x g x ->（[,]x a b ∈）． （4）[,]x a b ∃∈，都有()()f x g x >成立等价于max [()()]0f x g x ->（[,]x a b ∈）． （5）1[,]x a b ∀∈，2[,]x a b ∀∈都有12()()f x g x >成立等价于min max [()][()]f x g x >． （6）1[,]x a b ∀∈，2[,]x a b ∃∈使得12()()f x g x >成立等价于min min [()][()]f x g x >． （7）1[,]x a b ∃∈，2[,]x a b ∀∈使得12()()f x g x >成立等价于max max [()][()]f x g x >． （8）1[,]x a b ∃∈，2[,]x a b ∃∈使得12()()f x g x >成立等价于max min [()][()]f x g x >．
（9）1[,]x a b ∀∈，2[,]x a b ∃∈使得12()()f x g x =成立等价于min min
max max [()][()][()][()]g x f x g x f x ≤⎧⎨≥⎩
．
（10）1[,]x a b ∃∈，2[,]x a b ∃∈使得12()()f x g x =成立等价于()f x 的值域与()g x 的值域交集不为∅．
（11）1[,]x a b ∀∈，2[,]x a b ∃∈使得12()()f x g x k +≥（k 是常数）成立等价于min max [()][()]f x g x k +≥．
（12）1[,]x a b ∀∈，2[,]x a b ∀∈都有12|()()|f x g x k -≤（k 是常数）成立等价于max min [()][()]g x f x k
-≤且．
max min [()][()]f x g x k -≤． 特别地，1[,]x a b ∀∈，2[,]x a b ∀∈都有12|()()|f x f x k -≤（k 是常数）成立等价于max min ()()f x f x k -≤．
（13）1[,]x a b ∀∈，2[,]x a b ∀∈都有12|()()|f x g x k -≥（k 是常数）成立等价于min max [()][()]g x f x k
-≥或．
min max [()][()]f x g x k -≥． 特别地，1[,]x a b ∀∈，2[,]x a b ∀∈都有12|()()|f x f x k -≥（k 是常数）成立等价于min max ()()f x f x k -≥．
（14）1[,]x a b ∃∈，2[,]x a b ∃∈使得12|()()|f x g x k -≤（k 是常数）成立等价于min max [()][()]g x f x k
-≤且．
min max [()][()]f x g x k -≤． 特别地，1[,]x a b ∃∈，2[,]x a b ∃∈使得12|()()|f x f x k -≤（k 是常数）成立等价于min max ()()f x f x k -≤．
（15）1[,]x a b ∃∈，2[,]x a b ∃∈使得12|()()|f x g x k -≥（k 是常数）成立等价于max min [()][()]g x f x k
-≥或．
max min [()][()]f x g x k -≥． 特别地，1[,]x a b ∃∈，2[,]x a b ∃∈使得12|()()|f x f x k -≥（k 是常数）成立等价于max min ()()f x f x k -≥．
（16）1[,]x a b ∀∈，2[,]x a b ∃∈使得12|()()|f x g x k -≤（k 是常数）成立等价于min min [()][()]g x f x k
-≤且．
max max [()][()]f x g x k -≤． （17）1[,]x a b ∀∈，2[,]x a b ∃∈使得12|()()|f x g x k -≥（k 是常数）成立等价于max max [()][()]g x f x k
-≥或．
min min [()][()]f x g x k -≥． 【评注】（9）1[,]x a b ∀∈，2[,]x a b ∃∈使得12()()f x g x =成立等价于min min
max max
[()][()][()][()]g x f x g x f x ≤⎧⎨≥⎩．()
y g x =所在区域能包含()y f x =所在区域时，满足条件．∀⊆∃．
题目中有时会这样表述：对任意的1[,]x a b ∈，都有2[,]x a b ∈，使得12()()f x g x =成立，（9）的表达的意思完全相同．所以大家要深入理解定理中的“任意的”、“都有”的内涵：即当1[,]x a b ∈时，()f x 的值域不过是()g x 的子集．
【例1】（1）（2010•山东•理14）若对任意0x >，
2
31
x
a x x ++恒成立，则a 的取值范围是 ． （2）现已知函数2()41f x x x =-+，且设12314n x x x x <<<⋯<，若有
12231|()()||()()||()()|n n f x f x f x f x f x f x M --+-+⋯+-，则M 的最小值为( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
（3）已知21
()lg(31)()()2x f x x x g x m =++=-，，若对任意1[03]x ∈，，存在2[12]x ∈，，使12()()f x g x >，
则实数m 的取值范围是 ．
（4）
已知函数()f x x =，2()252()g x x mx m m R =-+-∈，对于任意的1[2,2]x ∈-，总存在2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．1[,1]9
B ．(,1]-∞
C ．(,1][4,)-∞+∞
D ．(,1][3,)-∞+∞
（5）已知函数2()1f x x x =-+，[1,2]x ∈，函数()1g x ax =-，[1,1]x ∈-，对于任意1[1,2]x ∈，总存在2[1,1]x ∈-，使得21()()g x f x =成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,4]-∞- B ．[4,)+∞
C ．(,4][4,)-∞-+∞
D ．(,4)(4,)-∞-+∞
（6）（2008•天津•文10）设1a >，若对于任意的[,2]x a a ∈，都有2[,]y a a ∈满足方程log log 3a a x y +=，这时a 的取值集合为( ) A ．{|12}a a <
B ．{|2}a a
C ．{|23}a a
D ．{2,3}
（7）（2008•天津•理15）设1a >，若仅有一个常数c 使得对于任意的[,2]x a a ∈，都有2[,]y a a ∈满足方程log log a a x y c +=，这时a 的取值的集合为 ．
）0x >，1
2
x
∴（当且仅当112353=+15，故答案为：1
[,)5
+∞．2()x x =-的图象是开口向上，过的抛物线，由图象可知，函数在
上单调递减，在上单调递增，12314n x x x x <<<⋯<，(1)2f ∴=-，(2)f =-对应的函数值（2()41f x x x =-+图象上的点的纵坐标）之差的绝对值，结合
231)||()()||()()|n n f x f x f x f x -+-+⋯+-表示函数
max M ，
|
|(1)(2)f f -5M ，故
上单调递增，）法一：
()2(2f x x ==-+2,2]时，x 2()3f x ，(f x ∴12)
(22)2
x x +=
--<+，令f 单调递增，当(1,2]x ∈-，也是最大值；又(2)f 22[52m m --∈--，对于任意的的值域的子集，22m ，1m 或4m ，故选：）因为2()f x x x =-0时，()g x 在[1-[1,1]B a a =---，由题意可得，1113-，解得4a ；
0时，()g x 在[1-的值域为[1,1]a a ---， 11
13-，解得4a -，
4][4,)+∞．故选：C ．
)3xy =，得，在[,2a a 上单调递减，所以2a ，即2a 故选：B ．
）log log a x c +，log a xy c ∴=，c
xy a ∴=c a
1
12
2
a a -⇒223a c log c +⎧⎨⎩的取值的集合为{2}．故答案为：【评注】深入理解（6）题题干中的“任意的”、“都有”的内涵：即当[,2]x a a ∈时，()f x 的值域M 不过是2[,]a a 的子集．
值得关注的是：“[,2]x a a ∈”是指每一个
这样的x ，2[,]y a a ∈是指存在这样的y ，理解到由函数的定义域导
出值域M 是2
[,]a a 的子集，由此才有：22
2[,][,]2
a a a a ⊆．
（6）与（7）唯一的差别就是：（7）中要求时唯一的，如何转化“唯一”这个条件是本题的关键，与函数的单调性联系起来来进行解答，需要有较强的转化问题的能力． 【例2】已知函数2()[2sin()sin ]cos ,3f x x x x x x R π
=++∈．
（1）求函数()f x 的最小正周期； （2）若存在05[0,]12
x π
∈，使不等式0()f x m <成立，求m 的取值范围． ）
）x ．存在【例3】已知实数0a >，且满足以下条件：①x R ∃∈，|sin |x a >有解；
②3[,]44
x ππ
∀∈，2sin sin 10x a x +-； 求实数a 的取值范围．
【解析】实数10得：1
sin sin a x
-2[
,1]2t ∈时，2()2f t f =
1sin sin a
x -22
a ；综上，a 的取值范围是2
{1}a a <．
【例4】（1）已知函数2()2f x k x k =+，[0,1]x ∈，函数22()32(1)5g x x k k x =-+++，[1,0]x ∈-．对任意1[0,1]x ∈，存在2[1,0]x ∈-，21()()g x f x <成立．求k 的取值范围．（min min ()()g x f x <）
（2）已知函数2()2f x k x k =+，[0,1]x ∈．函数22()32(1)5g x x k k x =-+++，[1,0]x ∈-．对任意1[0,1]x ∈，存在2[1,0]x ∈-，21()()g x f x =成立，求k 的取值范围．（()f x 的值域是()g x 的值域的子集即可．） （3）已知函数2()2f x k x k =+，[0,1]x ∈．函数22()32(1)5g x x k k x =-+++，[1,0]x ∈-．存在1[0,1]x ∈，存在2[1,0]x ∈-，21()()g x f x =成立，求k 的取值范围．（()g x 的值域与()f x 的值域的交集非空．）
5k ，解得5k ，则求5k ．
，当[0,1]x ∈时，函数单调递增，2[,2k k k +2)[5,2210]k k ∈++，[0,1]，存在210]k +，即22
5222k k k k k ⎧⎨++⎩，解得5k ，则求5k ． 时，函数单调递增，2,2]k k +，1)k x +++10]+，由对存，存在2x 1()f x =成2][5,2k +，即252k k +且22210k k k +，解得4114
k
-或141
4k --．【例5】已知(2)23x f x x =-+． （1）求()f x 的解析式；
（2）函数2(2)5()1
x a x a
g x x +-+-=-，若对任意1[24]x ∈，，总存在2[24]x ∈，，使12()()g x f x =成立，求a 取
值范围．
，即2()(log )2log f t t =-)(log 2log x x =-+【例6】（1）已知函数1()f x e =-，3(4)g x x x =-+-，若有()()f a g b =，则b 的取值范围为（ ）
A ．]2222[+-，
B ．)2222(+-，
C ．]31[，
D ．)31(，
（2）已知函数()1x f x e =-，2()44g x x x =-+-．若有()()f a g b =，则b 的取值范围为( ) A
．[2-+ B
．(2-+ C ．[1,3]
D ．(1,3)
）
()f x e =【例7】（1）（2014•江苏•10）已知函数2()1f x x mx =+-，若对于任意[,1]x m m ∈+都有()0f x <，则实数m 的取值范围为 ．
（2）已知函数2()(f x x bx c b =
++、)c R ∈且当1x
时，()0f x ，当13x 时，()0f x 恒成立． （ⅰ）求b ，c 之间的关系式；
（ⅱ）当3c 时，是否存在实数m 使得2()()g x f x m x =-在区间(0,)+∞上是单调函数？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．
（3）（2017•天津•理8）已知函数23,1
()2
,1
x x x f x x x x ⎧-+⎪
=⎨+>⎪⎩
，设a R ∈，若关于x 的不等式()||2x f x a +在R 上恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．47
[,2]16
-
B ．4739[,]1616
-
C ．[-
D ．39[]16
- （4）已知定义域为R 的函数()f x 满足22(())()f f x x x f x x x -+=-+． （①）若(2)3f =，求(1)f ；又若(0)f a =，求()f a ；
（①）设有且仅有一个实数0x ，使得00()f x x =，求函数()f x 的解析表达式．
【解析】（1）二次函数2()1f x x mx =+-的图象开口向上，对于任意[,1]x m m ∈+，都有()0f x <成立，∴(1)0与(1)0f 同时成立，则必有m ，使满足题设的(g 2
2
()()g x f x b m x c =+-+开口向上，且在
0b ．20b m ∴．3c ，1)4b ∴=-．这与上式矛盾，从而能满足题设的实数【评注】本题主要考查一元二次函数的图象与性质．一元二次函数的对称性、最值、单调性是每年高考必
考内容，要引起重视．
）法一：当1x 时，关于x 的不等式)||2x x a +在R 2332
x a x x +-+，2133322x a x x +
--+，由132y x =+-的对称轴为14处取得最大值-3的对称轴为334x =处取得最小值4739
1616
a
① 时，关于x 的不等式)|
|2x x a +在R 上恒成立，即为22
)2x a x x
++， 22
)2x a x +，由3232()2
2322x x x x =-+-=-（当且仅当21)3
x =>取得最大值212222x x x =（当且仅当21)x =>取得最小值2．则32a ①由①①可得，47
216
a ． ()x 的图象和折线|
|2
x
a =+，
1x 时，y =11145x
解得47
16
a =-
；1x >时，y 解得2a =．由图象平移可得，47
216
a ．故选：法三：根据题意，作出的大致图象，如图所示．
【例8】（2012•陕西•理21第2问•文21第3问）设函数2()f x x bx c =++，若对任意1x ，2[1,1]x ∈-，有12|()()|4f x f x -，求b 的取值范围．
|4， 4M ，即min 4M ． 2b <-时，min )|(1)f =-
102b -<时，即2b 时，24M 恒成立，所以2b ；
012
b
- 时，即20b 时，21)4M 恒成立，所以20b ；
综上可得，22b -，即b 的取值范围是。