大一下学期高等数学期中考试试卷及答案

大一第二学期高等数学期中考试试卷

一、填空题本题满分15分,共有5道小题,每道小题3分,请将合适的答案填在空中;

1、已知球面的一条直径的两个端点为()532，，-和()314-，，,则该球面的方程为

______________________

2、函数ln(u x =在点(1,0,1)A 处沿点A 指向点(3,2,2)B -方向的方向导数为

3、曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程为

4、22

22222

(,)(0,0)

(1cos())sin lim

()e

x y x y x y xy x y +→-+=+

5、设二元函数y x xy z 3

2

+=,则

=∂∂∂y

x z

2_______________ 二、选择填空题本题满分15分,共有5道小题,每道小题3分;以下每道题有四个答案,其中只有一个答案是正确的,请选出合适的答案填在空中,多选无效; 1、旋转曲面1222=--z y x 是

A ．xOz 坐标面上的双曲线绕Ox 轴旋转而成；

B ．xOy 坐标面上的双曲线绕Oz 轴旋转而成；

C ．xOy 坐标面上的椭圆绕Oz 轴旋转而成；

D ．xOz 坐标面上的椭圆绕Ox 轴旋转而成．

2、微分方程23cos 2x x x y y +=+''的一个特解应具有形式 其中3212211,,,,,,d d d b a b a 都是待定常数.

A.212211sin )(cos )(x d x b x a x x b x a x ++++;

B.32212211sin )(cos )(d x d x d x b x a x x b x a x ++++++;

C.32212211)sin cos )((d x d x d x b x a b x a x +++++;

D.322111)sin )(cos (d x d x d x x b x a x +++++

3、已知直线π

22122

:

-=

+=

-z

y x L 与平面4 2:=-+z y x ππ,则 A.L 在π内; B.L 与π不相交; C.L 与π正交; D.L 与π斜交. 4、下列说法正确的是

A 两向量a 与b 平行的充要条件是存在唯一的实数λ,使得b a λ=；

B 二元函数()y x f z ,=的两个二阶偏导数22x z ∂∂,22y

z

∂∂在区域D 内连续,则在该区域内两个

二阶混合偏导必相等；

C 二元函数()y x f z ,=的两个偏导数在点()00,y x 处连续是函数在该点可微的充分条件；

D 二元函数()y x f z ,=的两个偏导数在点()00,y x 处连续是函数在该点可微 的必要

条件.

5、设),2,2(y x y x f z -+=且2

C f ∈即函数具有连续的二阶连续偏导数,则=∂∂∂y

x z

2

A 122211322f f f --;

B 12221132f f f ++;

C 12221152f f f ++;

D 12221122f f f --.

三、计算题本大题共29分

1、本题13分计算下列微分方程的通解;

16分221xy y x y +++='

27分x xe y y y 223=+'-''

2、本题8分设u t uv z cos 2+=,t e u =,t v ln =,求全导数

dt

dz ; 3、本题8分求函数()()y y x e y x f x 2,22++=的极值; 四、应用题本题8分

1、某工厂生产两种型号的机床,其产量分别为x 台和y 台,成本函数为

xy y x y x c -+=222),

( 万元,若市场调查分析,共需两种机床8台,求如何安排生产使其

总成本最少最小成本为多少 五、综合题本大题共21分

1、本题10分已知直线⎪⎩⎪⎨⎧==+011x c z b y l ：,⎪⎩⎪⎨⎧==-0

1

2y c z a x l ：,求过1l 且平行于2l 的平面方程．

2、本题11分设函数(,,)ln ln 3ln f x y z x y z =++ 在球面

22225(0,0,0)x y z R x y z ++=>>>上求一点,使函数(,,)f x y z 取到最大值．

六、证明题本题共12分

1、设函数⎪⎭

⎫

⎝⎛=x y x z

F x u k ,

,其中k 是常数,函数F 具有连续的一阶偏导数．试证明:z u z y u y x u x

∂∂+∂∂+∂∂⎪⎭

⎫ ⎝⎛=x y x

z F kx k , 第二学期高等数学期中考试试卷答案

一、填空题本题满分15分,共有5道小题,每道小题3分 1.、 ()()()21113222=-+++-z y x

2、12

．

3、2450x y z +--=．

4、0

5、232x y +；

二、选择填空题本题满分15分,共有5道小题,每道小题3分

1A 2B 3C 4C 5A

三、计算题本大题共29分

1、1解：将原微分方程进行分离变量,得：

x x y

y

d )1(1d 2

+=+ 上式两端积分得c x x x x y y

y ++=+==+⎰⎰2)d 1(arctan 1d 2

2

即 ： c x x y ++=2

arctan 2

其中c 为任意常数． 2解：题设方程对应的齐次方程的特征方程为,0232=+-r r 特征根为,11=r ,22=r 于是,

该齐次方程的通解为,221x e C x C Y +=因2=λ是特征方程的单根,故可设题设方程的特解：.)(210*x e b x b x y +=代入题设方程,得,22010x b b x b =++比较等式两端同次幂的系数,得,2

10=b ,11-=b

于是,求得题没方程的一个特解*y .)12

1(2x e x x -= 从而,所求题设方程的通解为.)12

1(2221x x x e x x e C e C y -++= 2、解：

()

u t v u t uv u

u z sin cos 22-=+∂∂=∂∂,