2012年秋季学期 概率论考题及答案

哈工大 2012年秋季学期

概率论与数理统计 试题

一、填空题（每小题3分，共5小题，满分15分）

1．设事件A 、B 相互独立，事件B 、C 互不相容，事件A 与C 不能同时发生，且

()()0.5P A P B ==，()0.2P C =，则事件A ，B 和C 中仅C 发生或仅C 不发生的概

率为__________ ．

2．设随机变量X 服从参数为2的指数分布， 则21e X Y

-=-的概率密度为

()Y f y =______ ____．

3．设随机变量X 的概率密度为21e ,0

()20, 0

x

x x f x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，利用契比雪夫不等式估计概率

≥<<)51(X P ______．

4．已知铝的概率密度2~(,)X N μσ，测量了9次，得 2.705x =，0.029s =，在置信度0.95

下，μ的置信区间为______ ____．

5．设二维随机变量(,)X Y 服从区域{(,)|01,02}G x y x y =≤≤≤≤上的均匀分布，令

),min(Y X Z =，),max(Y X W =, 则)1(≥+W Z P = ．

（0.0250.050.050.025(8)23060,(8)18595,(9) 1.8331,(9) 2.2622t t t t =⋅=⋅==

()1.960.975Φ=，()1.6450.95Φ=)

二、选择题（每小题3分，共5小题，满分15分）

（每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项的字母填在题后的括号内）

1．设0()1, 0()1, ()()P A P B P B A P B <

<<<=，则与上式不等价的是

（A ）A 与B 不相容. （B ）()()P B A P B A =.

（C ）)()(A P B A P =. （D ）)()(A P B A P =． 【 】

2．设总体X 服从参数为λ的泊松分布，12,,,n X X X 是来自X 的样本，X 为样本均值，

则 （A ）1

EX λ

=，2

1

DX n λ=

． （B ）,

λ=X E n X D λ=． （C ）,n

X E λ

=

2

n X D λ

=

． （D ）,λ=X E λ

n X D 1

=

． 【 】 3．设随机变量X 的概率密度为2, 01

()0, x x f x <<⎧=⎨⎩其他

，则)2(DX EX X P ≥-等于

（A

）

99-. （B

）69

+. （C ）928-6. （D

）69-． 【 】 4．如下四个函数，能作为随机变量X 概率密度函数的是

（A ）⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=0,

00

,11)(2x x x x f . （B ）0,

157(),1116160, 1x f x x x x <-⎧⎪⎪=+-≤<⎨⎪≥⎪⎩.

（C ）1()e ,.2x

f x x -=∈R . （D ）1e ,0()0,

0x x f x x -⎧->=⎨≤⎩ . 【 】

5．设12,,

,n X X X 为来自总体2~(,)X N μσ的一个样本，统计量2)(1μ

-=

X S

n Y 其中X 为样本均值，2

S 为样本方差，则 【 】 （A ）2

~(1)Y x n -（B ）~(1)Y t n -（C ）~(1,1)Y F n - （D ）~(1,1)Y F n -．

三、（8分）假设某段时间内来到百货公司的顾客数服从参数为λ的Poisson 分布，而在百货

公司里每个顾客购买电视机的概率均为p ，且顾客之间是否购买电视机相互独立，试求=A “该段时间内百货公司售出k 台电视机”的概率（假设每顾客至多购买一台电视机）。

四、（8分）设随机变量[]~0,1X U ，求（1）2

41Y X X =-+的概率密度

()Y f y ；

（2）X 与Y 的相关系数XY ρ.

五、（8分）设随机变量X 和Y 的分布列分别为

X 0 1 Y —1 0 1

P 1/3 2/3 P 1/3 1/3 1/3

且1)(22==Y X P ，求（1）二维随机变量),(Y X 的概率分布；（2）XY Z =的概率分布；（3）X 与Y 的相关系数XY ρ

.

六、（12分）设随机变量X 与Y 相互独立,且分别服从正态分布)2,(σμN 和)22,(σμN ,其

中σ为未知参数且0σ>. 记Y X Z -=.（1）求的概率密度Z 2

(;)f z σ；（2）设

12,,,n Z Z Z 为来自总体Z 的简单随机样本, 求2

σ的最大似然估计2

σ∧

;（3）证明2σ∧

是

2σ的无偏估计量。

七、（4分）在x 轴上的一个质点可以在整个数轴的整数点上游动，记n S 为时刻n 时质点的位置。若在时刻0t =时，处于初始位置为原点，即00S =，它移动的规则：每隔单位时间，它总是收到一个外力的随机作用，使位置发生变化，分别以概率p 及概率1q p =-向正的或负的方向移动一个单位（直线上无限制的随机游动）。求质点在时刻n 时处于位置k 的概率，即求()n P S k =.