近世代数高代选讲大纲

沈阳师范大学教学日历数学与应用数学专业课程名称：近世代数《近世代数》课程教学大纲第一部分大纲说明一、总则1.本课程的目的和要求：近世代数不仅在数学中占有及其重要的地位，而且在学科中也有广泛的应用，如理论物理、计算机学科等。

其研究的方法和观点，对其他学科产生了越来越大的影响。

群、环、域、模是本课程的基本内容，要求学生熟练掌握群、环、域的基本理论和方法，并对模的概念有所理解。

2.本课程的主要内容：本课程讲授代数中典型的代数系统：群、环、域。

要求学生能了解群的各种定义，循环群，n阶对称群，变换群，陪集，不变子群的定义及其性质，了解环、域、理想、唯一分解环的定义。

能够计算群的元素阶，环中可逆元，零因子、素元，掌握Lagrange定理，群、环同态和同构基本定理，掌握判别唯一分解环的方法。

3.教学重点与难点：重点：群、正规子群、环、理想、同态基本原理.难点：商群、商环。

4.本课程的知识范围及与相关课程的关系集合论初步与高等代数（线性代数）是学习本课程的准备知识。

本课程学习以后可以继续研读：群论、环论、模论、李群、李代数、计算机科学等。

二、课程说明1．课程基本情况（中文）近世代数（英文）Abstract Algebra专业必修课2．适用专业：数学与应用数学适用对象：本科3．首选教材：《近世代数基础》，张禾瑞，人民教育出版社，1978年修订本。

二选教材：《近世代数》，吴品三，高等教育出版社，1978年修订本。

4.考核方式和成绩记载说明考核方式为考试。

严格考核学生出勤情况，达到学籍管理规定的旷课量则取消考试资格。

综合成绩根据平时成绩和期末考试成绩评定，平时成绩占20%，期末考试成绩占80%。

三、教学安排《近世代数》课程的讲授为一个学期，共72学时，内容包括第1章到第4章的内容。

学时分配四、教学环节该课程是理论性较强的学科，由于教学时数所限，本课程的理论推证较少，因此必须通过做练习题来加深对概念的理解和掌握，熟悉各种公式的运用，从而达到消化、掌握所学知识的目的。

由此可知，独立完成作业是学好本课程的重要手段。

第二部分教学内容和教学要求一、基本概念(一)、教学内容集合：子集与真子集，并集、交集。

映射：映射的定义，以及象与逆象的概念。

代数运算：代数运算的定义及表示法，二元运算的概念。

结合律：结合律的定义。

交换律：交换律的定义。

分配律：分配律的定义。

一一映射：满射、单射、一一映射；变换、单射变换、满射变换及一一变换。

同态：同态映射、同态满射。

同构、自同构：同构映射、自同构。

等价关系与集合：关系、等价关系，分类、全体代表团、剩余类。

重点：一一映射、同态、同构、自同构、分类。

难点：建立映射关系与同构关系，等价关系与分类之间的相互转换。

(二)教学基本要求1、理解集合的概念，了解元素与集合之间的关系，以及集合之间的运算。

2、理解映射的概念，能在集合之间建立映射关系，并能判断两个映射是否相同。

3、掌握代数运算与映射的关系，能建立有限集合之间的运算表。

4、掌握将结合律、交换律、第一、第二分配律推广到n元的定理，并能判断给定的运算能否满足结合律、交换律以及两种分配律。

5、掌握一一映射的定义，并能建立两个集合之间的满射、单射、一一映射，能判定给定的映射是否是一一映射。

6、掌握同态映射的概念，理解同态与同态满射的关系，并能判定映射是否是同态满射，掌握具有同态满射的集合之间的联系。

7、掌握同构映射和自同构的概念，能区分同态与同构的差别，理解两个具有同构关系的集合之间的关系，并能判定给定的映射和运算是否是同构关系，能建立两个集合之间的同构映射。

8、理解关系和等价关系的概念，掌握等价关系和分类之间的转换定理，，和熟练判定给定的关系是否是等价关系。

并熟悉剩余类的基本特性，以便为群、环提供典型的范例，能建立整数间给定的模的剩余类。

二、群论（一）、教学内容群的定义：群的第一定义、群的第二定义，左、右单位元，左、右逆元的，群的阶，有限群和交换群的定义。

单位元、逆元、消去律：单位元的存在性和唯一性，逆元的概念，元的阶，消去律。

有限群的另一定义：有限群的另一定义。

群的同态：和一个群同态的非空集合也是一个群。

在同态满射下，单位元的象也是单位元，元a的逆元的象是a的象的逆。

循环群：循环群、生成元。

整数加群，剩余类加群，生成元的阶。

变换群：恒等变换，集合的若干个变换（包含恒等变换）构成的集合作成群，变换群的定义与基本定理。

置换群：置换、置换群，对称群，k-循环置换，循环置换的乘积，有限群与置换群的关系。

子群：子群的定义，子集成群的充分必要条件，有限子集成群的充分必要条件，S生成的子群。

子群的陪集：右陪集、左陪集，左、右陪集个数的关系。

指数，Lagrange 定理，有限群中群的阶和元的阶的关系。

不变子群、商群：不变子群、商群。

重点：群的定义、变换群及其基本定理，置换群、子群。

难点：变换群、子群的陪集、商群。

(二)、教学基本要求1、了解群的第一、第二定义，并掌握两者之间的等价转换，理解左、右单位元，左、右逆元的意义，掌握有限群、无限群、群的阶和交换群的概念。

2、充分掌握单位元、逆元的存在性和唯一性，了解消去律的定义，能熟练掌握群与阶的关系，会计算群元素的周期。

3、了解有限群的定义，并理解该定义不适用无限群的原因。

4、理解群同构、同态的定义，掌握和一个群同态的集合也成群的证明，掌握群同态的有关性质，并能证明在同态满射下，单位元的象也是单位元，元a的逆元的象是a的象的逆。

5、掌握循环群的定义和由生成元决定循环群的性质与特点，熟练掌握剩余类加群，并能证明任一循环群可以与整数加群或模为n的剩余类加群同构。

以及与循环群同态的群的性质。

6、熟练掌握变换的符号的运用和变换的乘法，能证明可以成群的变换只包含一一变换，且单位元一定是恒等变换。

了解变换群的定义和性质。

掌握任何一个群都同一个变换群同构的定理的证明。

掌握元素求逆等运算。

7、理解置换与置换群的定义与性质，掌握每一个n元置换都可以写成若干个互相没有共同数字的（不相连）的循环置换的乘积的证明与运用。

理解有限群与置换群的同构关系。

8、了解子群的定义，掌握群的子集成群的充分而且必要的条件与判定定理，并能掌握找出已知群的子群的一般方法，了解群与子群中的单位元与逆元的关系，以及子群与子群之间的关系。

9、掌握陪集的定义，以及与等价关系和分类之间的关系，了解子群与陪集之间的映射关系，并能证明有限群的阶能被元的阶整除的定理，以及阶为素数的群一定为循环群的证明。

10、了解不变子群的定义，能掌握一个群的子群是不变子群的充分必要条件的定理，理解商群的定义，了解NGNG/的阶的阶的意义及其应用。

11、能证明一个群同它的每一个商群同态的定理，了解核的定义，掌握两个具有同态关系的群之间子群或不变子群的象的性质。

并能将子群或不变子群的性质运用到循环群、变换群等中。

三、环与域（一）、教学内容加群、环的定义：加群、负元、零元，环。

交换律、单位元、零因子、整环：交换律、交换环，单位元、零因子、整环。

除环、域：除环、域，除环的乘群，四元数除环。

无零因子环的特征：没有零因子的环的性质，特征的定义，整环、除环以及域的特征的性质。

子环、环的同态：子环、子除环，子整域、子域，同态环或子环的性质，同构环的性质。

多项式环：多项式、系数，多项式环，未定元，次数，多项式的系数、无关未定元。

理想：理想子环，零理想，单位理想，主理想。

剩余类环、同态与理想：模ц的剩余类，剩余类环，在环到环的同态映射下的性质。

最大理想：最大理想。

商域：商域，商域适合的计算规则。

重点：环、域，理想。

难点：环的同态，最大理想，商域。

(二)、教学基本要求1、掌握加群的定义，熟悉环的定义，环中的计算规则。

2、理解交换环的定义，熟悉单位元、逆元和零因子的性质并能熟练运用。

掌握消去律与零因子的关系。

3、了解除环的定义，与能举出域的例子，除环与加群、乘群的关系，理顺环——交换环、有单位元环和无零因子环——整环、除环——域的关系。

4、熟悉无零因子环中的计算规则，掌握无零因子环中特征的性质5、理解子环、子除环的定义，并能写出子整环、子域的概念，熟悉子除环的子集作成子除环的条件，了解同态、同构环之间的性质，并对环、除环的中心有一定的了解。

6、了解多项式成环，熟悉多项式环中的未定元、次数以及系数、无关未定元的作用。

7、理解理想子环的构成，以及零理想、单位理想和主理想的构成，能判断一个环是否是理想子环，和理想子环是否为主理想子环。

8、理解一个环的所有模ц的剩余类作成的集合也是环，且与原来的环同态。

了解在同态映射下的两个环相互之间的关系、性质。

9、了解什么是最大理想，且和剩余类环的关联。

10、掌握没有零因子的交换环一定是一个域的子环，了解商域的构成，并掌握同构的环的商域也同构的定理。

四、整环里的因子分解（一）、教学内容素元、唯一分解：整除，单位、相伴元，平凡因子、真因子、素元，唯一分解。

唯一分解环：唯一分解环，唯一分解环的性质。

公因子、最大公因子，最大公因子的存在性。

主理想环：主理想环，主理想和最大理想、分解环的关系。

欧氏环：欧氏环的定义，欧氏环和主理想环的关系。

多项式环的因子分解：本原多项式的定义及其引理。

因子分解与多项式的根：多项式的根、重根、导数；重根的判别定理。

重点：唯一分解，主理想环，多项式和多项式的根。

难点：唯一分解环，主理想、最大理想，欧氏环。

(二)、教学基本要求1、了解整除，单位、相伴元和平凡因子、真因子、素元的概念，以及掌握整环中不等于零的元有真因子的充分而且必要的条件，掌握唯一分解的定义，了解整环中的元是否都有唯一分解。

2、知道唯一分解环的定义和性质，以及公因子、最大公因子的概念和定理，了解互素的概念。

理解判别唯一分解环的方法。

3、理解主理想环的概念和引理，能证明主理想环是唯一分解环。

4、了解欧氏环的定义，理解欧氏环、整数环都是主理想环与唯一分解环的证明，并能证明域一定是一个欧氏环。

5、知道本原多项式的定义，理解本原多项式的性质，和本原多项式的唯一分解性，并对分解环有进一步的认识。

6、了解多项式的根和性质，掌握重根和导数的定理和推论。

参考书目《近世代数》，吴品山，人民教育出版社， 1979。

《抽象代数学》，谢邦杰，上海科学技术出版社，1982。

《近世代数基础》，刘绍学,高等教育出版社。

撰写人：张彩华《高等代数选讲》课程教学大纲一、课程代码：二、课程类别：专业必修课三、预修课程：高等代数四、学分：4学分五、学时：72学时六、课程概述：本课程在数学与应用数学专业按照《代数学教学大纲》（高代部分）完成教学之后的必修课。

它设想将《高等代数》中由于课时太少而未学完且实际需要的内容继续学完，以使同学的知识面更广，理论更系统，更扎实，更完备，为同学继续学习新的学科和将来作一名合格的中学教师作好理论知识的准备。