近世代数高代选讲大纲

沈阳师范大学

教学日历

数学与应用数学专业课程名称：近世代数

《近世代数》课程教学大纲

第一部分大纲说明

一、总则

1.本课程的目的和要求：

近世代数不仅在数学中占有及其重要的地位，而且在学科中也有广泛的应用，如理论物理、计算机学科等。其研究的方法和观点，对其他学科产生了越来越大的影响。

群、环、域、模是本课程的基本内容，要求学生熟练掌握群、环、域的基本理论和方法，并对模的概念有所理解。

2.本课程的主要内容：

本课程讲授代数中典型的代数系统：群、环、域。要求学生能了解群的各种定义，循环群，n阶对称群，变换群，陪集，不变子群的定义及其性质，了解环、域、理想、唯一分解环的定义。能够计算群的元素阶，环中可逆元，零因子、素元，掌握Lagrange定理，群、环同态和同构基本定理，掌握判别唯一分解环的方法。

3.教学重点与难点：

重点：群、正规子群、环、理想、同态基本原理.

难点：商群、商环。

4.本课程的知识范围及与相关课程的关系

集合论初步与高等代数（线性代数）是学习本课程的准备知识。本课程学习以后可以继续研读：群论、环论、模论、李群、李代数、计算机科学等。

二、课程说明

1．课程基本情况

（中文）近世代数

（英文）Abstract Algebra

专业必修课

2．适用专业：数学与应用数学

适用对象：本科

3．首选教材：《近世代数基础》，张禾瑞，人民教育出版社，1978年修订

本。

二选教材：《近世代数》，吴品三，高等教育出版社，1978年修订本。

4.考核方式和成绩记载说明

考核方式为考试。严格考核学生出勤情况，达到学籍管理规定的旷课量则取消考试资格。综合成绩根据平时成绩和期末考试成绩评定，平时成绩占20%，期末考试成绩占80%。

三、教学安排

《近世代数》课程的讲授为一个学期，共72学时，内容包括第1章到第4章的内容。

学时分配

四、教学环节

该课程是理论性较强的学科，由于教学时数所限，本课程的理论推证较少，因此必须通过做练习题来加深对概念的理解和掌握，熟悉各种公式的运用，从而达到消化、掌握所学知识的目的。由此可知，独立完成作业是学好本课程的重要手段。

第二部分教学内容和教学要求

一、基本概念

(一)、教学内容

集合：子集与真子集，并集、交集。

映射：映射的定义，以及象与逆象的概念。

代数运算：代数运算的定义及表示法，二元运算的概念。

结合律：结合律的定义。

交换律：交换律的定义。

分配律：分配律的定义。

一一映射：满射、单射、一一映射；变换、单射变换、满射变换及一一变换。

同态：同态映射、同态满射。

同构、自同构：同构映射、自同构。

等价关系与集合：关系、等价关系，分类、全体代表团、剩余类。

重点：一一映射、同态、同构、自同构、分类。

难点：建立映射关系与同构关系，等价关系与分类之间的相互转换。

(二)教学基本要求

1、理解集合的概念，了解元素与集合之间的关系，以及集合之间的运算。

2、理解映射的概念，能在集合之间建立映射关系，并能判断两个映射是

否相同。

3、掌握代数运算与映射的关系，能建立有限集合之间的运算表。

4、掌握将结合律、交换律、第一、第二分配律推广到n元的定理，并能

判断给定的运算能否满足结合律、交换律以及两种分配律。

5、掌握一一映射的定义，并能建立两个集合之间的满射、单射、一一映

射，能判定给定的映射是否是一一映射。

6、掌握同态映射的概念，理解同态与同态满射的关系，并能判定映射是

否是同态满射，掌握具有同态满射的集合之间的联系。

7、掌握同构映射和自同构的概念，能区分同态与同构的差别，理解两个

具有同构关系的集合之间的关系，并能判定给定的映射和运算是否是同构关系，能建立两个集合之间的同构映射。

8、理解关系和等价关系的概念，掌握等价关系和分类之间的转换定理，，

和熟练判定给定的关系是否是等价关系。并熟悉剩余类的基本特性，以便为群、环提供典型的范例，能建立整数间给定的模的剩余类。

二、群论

（一）、教学内容

群的定义：群的第一定义、群的第二定义，左、右单位元，左、右逆元的，群的阶，有限群和交换群的定义。

单位元、逆元、消去律：单位元的存在性和唯一性，逆元的概念，元的

阶，消去律。

有限群的另一定义：有限群的另一定义。

群的同态：和一个群同态的非空集合也是一个群。在同态满射下，单位元的象也是单位元，元a的逆元的象是a的象的逆。

循环群：循环群、生成元。整数加群，剩余类加群，生成元的阶。

变换群：恒等变换，集合的若干个变换（包含恒等变换）构成的集合作成群，变换群的定义与基本定理。

置换群：置换、置换群，对称群，k-循环置换，循环置换的乘积，有限群与置换群的关系。

子群：子群的定义，子集成群的充分必要条件，有限子集成群的充分必要条件，S生成的子群。

子群的陪集：右陪集、左陪集，左、右陪集个数的关系。指数，Lagrange 定理，有限群中群的阶和元的阶的关系。

不变子群、商群：不变子群、商群。

重点：群的定义、变换群及其基本定理，置换群、子群。

难点：变换群、子群的陪集、商群。

(二)、教学基本要求

1、了解群的第一、第二定义，并掌握两者之间的等价转换，理解左、右

单位元，左、右逆元的意义，掌握有限群、无限群、群的阶和交换群的概念。

2、充分掌握单位元、逆元的存在性和唯一性，了解消去律的定义，能熟

练掌握群与阶的关系，会计算群元素的周期。

3、了解有限群的定义，并理解该定义不适用无限群的原因。

4、理解群同构、同态的定义，掌握和一个群同态的集合也成群的证明，

掌握群同态的有关性质，并能证明在同态满射下，单位元的象也是单位元，元a的逆元的象是a的象的逆。

5、掌握循环群的定义和由生成元决定循环群的性质与特点，熟练掌握剩

余类加群，并能证明任一循环群可以与整数加群或模为n的剩余类加群同构。以及与循环群同态的群的性质。

6、熟练掌握变换的符号的运用和变换的乘法，能证明可以成群的变换只

包含一一变换，且单位元一定是恒等变换。了解变换群的定义和性质。掌握任何一个群都同一个变换群同构的定理的证明。掌握元素求逆等运算。

7、理解置换与置换群的定义与性质，掌握每一个n元置换都可以写成若

干个互相没有共同数字的（不相连）的循环置换的乘积的证明与运用。理解有限群与置换群的同构关系。

8、了解子群的定义，掌握群的子集成群的充分而且必要的条件与判定定

理，并能掌握找出已知群的子群的一般方法，了解群与子群中的单位元与逆元的关系，以及子群与子群之间的关系。

9、掌握陪集的定义，以及与等价关系和分类之间的关系，了解子群与陪

集之间的映射关系，并能证明有限群的阶能被元的阶整除的定理，以及阶