2019-2020年高中数学苏教版选修2-1第2章《圆锥曲线与方程》(5)word学案
2019-2020年高中数学苏教版选修2-1课件： 2.1 圆锥曲线 课件
用一个平面去截一个圆锥面，当平面经过圆锥面的顶点 时，可得到两条相交直线； 当平面与圆锥面的轴垂直时，截 线（平面与圆锥面的交线）是一个圆．
当改变截面与圆锥面的轴的相对位置时，观察截线的变 化情况，并思考：
1. 观察1 （自主实验，自主观察）阳光灿烂的早晨，操场上一只篮球 的影子是什么图形？（假设：① 地面是平面；② 太阳光是平行光 束）.
2.观察2 （自主实验，自主观察）夜晚，一盏孤灯下的球和它的影子 对应的数学模型是什么？（假设：① 地面是平面；② 灯看成点光源； ③ 灯在球的非正上方，即灯与球心连线与地面不垂直）.
（2） 动手试试：如图，取一条拉链，打开它的一部分，在拉开的两 边上各选择一点，分别固定在点上，把笔尖放在点处，随着拉链逐渐 拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线，这条曲线是双曲线 的一支，试说明理由.
例2 动点到X轴的距离比它到定点的距离小1，试判断点的轨迹.
小结：
1．椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线.
轨迹又如何呢？
抛物线的定义 :
平面内到一个定点F和一条定直线l（F不在l 上）的距离 相等的点轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直 线l叫做抛物线的准线.
说明：
1．椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线.
2．我们可利用上面的三条关系式来判断动点M的 轨迹是什么．
（1） 动手试试：取一条一定长的细绳，把它的两端固定在画板的F1 和F2两点，当绳长大于F1和F2的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔 尖在图板上慢慢移动，画出一个椭圆，试说明理由.
2．判断动点M的轨迹．
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
苏教版高中数学选修2-1第2章 圆锥曲线与方程.docx
第2章 圆锥曲线与方程§2.1 圆锥曲线 课时目标 1.理解三种圆锥曲线的定义.2.能根据圆锥曲线的定义判断轨迹的形状．1．圆锥面可看成一条直线绕着与它相交的另一条直线l(两条直线不互相垂直)旋转一周所形成的曲面．其中直线l 叫做圆锥面的轴．2．圆锥面的截线的形状在两个对顶的圆锥面中，若圆锥面的母线与轴所成的角为θ，不过圆锥顶点的截面与轴所成的角为α，则α＝π2时，截线的形状是圆；当θ<α<π2时，截线的形状是椭圆；0≤α≤θ时，截线的形状是双曲线；当α＝θ时，截线的形状是抛物线．3．椭圆的定义平面内到______________________________等于常数(大于F 1F 2)的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F 1，F 2叫做椭圆的________．两焦点间的距离叫做椭圆的________．4．双曲线的定义平面内到____________________________________________等于常数(小于F 1F 2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F 1，F 2叫做双曲线的________，两焦点间的距离叫做双曲线的________．5．抛物线的定义平面内__________________________________________________________的轨迹叫做抛物线，________叫做抛物线的焦点，__________叫做抛物线的准线．6．椭圆、双曲线、抛物线统称为____________．一、填空题1．已知A ⎝⎛⎭⎫－12，0，B 是圆F ：⎝⎛⎭⎫x －122＋y 2＝4 (F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹为________．2．方程5(x ＋2)2＋(y －1)2＝|3x ＋4y －12|所表示的曲线是________．3．F 1、F 2是椭圆的两个焦点，M 是椭圆上任一点，从焦点F 2向△F 1MF 2顶点M 的外角平分线引垂线，垂足为P ，延长F 2P 交F 1M 的延长线于G ，则P 点的轨迹为__________(写出所有正确的序号)．①圆；②椭圆；③双曲线；④抛物线．4．已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ′，则线段PP ′的中点M 的轨迹是____________．5．一圆形纸片的圆心为O ，点Q 是圆内异于O 点的一定点，点A 是圆周上一点，把纸片折叠使点A 与点Q 重合，然后抹平纸片，折痕CD 与OA 交于P 点．当点A 运动时点P 的轨迹是________．6．若点P 到F(4,0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离小1，则点P 的轨迹表示的曲线是________．7．已知两点F 1(－5,0)，F 2(5,0)，到它们的距离的差的绝对值是6的点M 的轨迹是__________．8．一动圆与⊙C 1：x 2＋y 2＝1外切，与⊙C 2：x 2＋y 2－8x ＋12＝0内切，则动圆圆心的轨迹为______________．二、解答题9．已知圆A ：(x ＋3)2＋y 2＝100，圆A 内一定点B(3,0)，动圆P 过B 点且与圆A 内切，求证：圆心P 的轨迹是椭圆．10.已知△ABC 中，BC ＝2，且sin B －sin C ＝12sin A ，求△ABC 的顶点A 的轨迹．能力提升11．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是________(写出正确的所有序号)．①直线；②圆；③双曲线；④抛物线．12.如图所示，已知点P为圆R：(x＋c)2＋y2＝4a2上一动点，Q(c,0)为定点(c>a>0，为常数)，O为坐标原点，求线段PQ的垂直平分线与直线RP的交点M的轨迹．1．椭圆定义中，常数>F 1F 2不可忽视，若常数<F 1F 2，则这样的点不存在；若常数＝F 1F 2，则动点的轨迹是线段F 1F 2.2．双曲线定义中，若常数>F 1F 2，则这样的点不存在；若常数＝F 1F 2，则动点的轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线．3．抛物线定义中F ∉l ，若F ∈l ，则点的轨迹是经过点F ，且垂直于l 的直线． 第2章 圆锥曲线与方程§2.1 圆锥曲线知识梳理3．两个定点F 1，F 2的距离的和 焦点 焦距4．两个定点F 1，F 2距离的差的绝对值 焦点 焦距5．到一个定点F 和一条定直线l(F 不在l 上)的距离相等的点 定点F 定直线l6．圆锥曲线作业设计1．椭圆解析 由已知，得PA ＝PB ，PF ＋BP ＝2，∴PA ＋PF ＝2，且PA ＋PF>AF ，即动点P 的轨迹是以A 、F 为焦点的椭圆．2．抛物线解析 由题意知(x ＋2)2＋(y －1)2＝|3x ＋4y －12|5. 左侧表示(x ，y)到定点(－2,1)的距离，右侧表示(x ，y)到定直线3x ＋4y －12＝0的距离，故动点轨迹为抛物线．3．①解析∵∠F 2MP ＝∠GMP ，且F 2P ⊥MP ，∴F 2P ＝GP ，MG ＝MF 2.取F 1F 2中点O ，连结OP ，则OP 为△GF 1F 2的中位线．∴OP ＝12F 1G ＝12(F 1M ＋MG) ＝12(F 1M ＋MF 2)． 又M 在椭圆上，∴MF 1＋MF 2＝常数，设常数为2a ，则OP ＝a ，即P 在以F 1F 2的中点为圆心，a 为半径的圆上．4．椭圆5．椭圆6．抛物线解析 由题意知P 到F 的距离与到直线x ＝－4的距离相等，所以点P 的轨迹是抛物线．7．双曲线8．双曲线的一支9．证明 设PB ＝r.∵圆P 与圆A 内切，圆A 的半径为10，∴两圆的圆心距PA ＝10－r ，即PA ＋PB ＝10(大于AB)．∴点P 的轨迹是以A 、B 两点为焦点的椭圆．10．解 由正弦定理得：sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R. 代入sin B －sin C ＝12sin A 得：b －c ＝12a ，即b －c ＝1， 即AC －AB ＝1 (<BC)∴A 的轨迹是以B 、C 为焦点且靠近B 的双曲线的一支，并去掉与BC 的交点．11．④解析 ∵D 1C 1⊥面BCC 1B 1，C 1P ⊂平面BCC 1B 1，∴D 1C 1⊥C 1P ，∴点P 到直线C 1D 1的距离即为C 1P 的长度，由题意知，点P 到点C 1的距离与点P 到直线BC 的距离相等，这恰符合抛物线的定义．12．解 由题意，得MP ＝MQ ，RP ＝2a.MR －MQ ＝MR －MP ＝RP ＝2a<RQ ＝2c.∴点M 的轨迹是以R 、Q 为两焦点，实轴长为2a 的双曲线右支．。
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３足）P当F动1＋点PＰF2到< F定1F点2时F1,、ＰF点2距没离有P轨F1迹、定点 F1，F2 的距离的差的绝对值等于
常数（小于F1F2）的点的轨迹叫做双曲线，两个定
点 F1 ，F2 叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫
做双曲线的焦距。
双曲线形成演示
双曲线的定义性
质.gsp
可以用数学表达式来体现:
设平面内的动点为M,有 MF1 MF2 2a
（0<2a< F1F2 的常数）
思考：平面内到两个定点 Ｆ１，Ｆ２的距离的差的等于常数
(小于F1F2)的点的轨迹是什么？
MF1 + MF2 ＝MP + MQ ＝ PQ＝定值
V
Q O2
F2 F1
M
O1
P
椭圆的定义:
平面内到两定点 F1，F2的距离和等于常数（大于 F1F2） 的点的轨迹叫做椭圆，两个定点 F1，F2叫做椭圆的焦 点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
可以用数学表达式来体现:
椭圆形成演示 椭圆定义.gsp
设平面内的动点为M,有MF1 MF2 2a
• 是双曲线的一支。 问题２：怎样确定是哪一支？
看ＰＦ１和ＰＦ２谁大，偏向小 的一边。
抛物线的定义 :
平面内到一个定点F和一条定直线L（F不在L 上）的距离相等的点轨迹叫做抛物线，定点F叫做
抛物线的焦点，定直线L叫做抛物线的准线
可以用数学表达式来体现:
抛物线形成演示 §2.1圆锥曲 线.doc
设平面内的动点为M ,有 MF=d（d为动点M到 直线L的距离）
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高一上：必修一、二高一下：必修三、四高二上：必修五、选修1－1文、选修2－1理高二下：文选修1－2,理选修2－2、2－3高一数学上数学1第1章集合1.1集合的含义及其表示1.2子集、全集、补集1.3交集、并集第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ2.1函数的概念和图象函数的概念和图象函数的表示方法函数的简单性质映射的概念2.2指数函数分数指数幂指数函数2.3对数函数对数对数函数2.4幂函数2.5函数与方程二次函数与一元二次方程用二分法求方程的近似解2.6函数模型及其应用数学2第3章立体几何初步3.1空间几何体棱柱、棱锥和棱台圆柱、圆锥、圆台和球中心投影和平行投影直观图画法空间图形的展开图柱、锥、台、球的体积3.2点、线、面之间的位置关系平面的基本性质空间两条直线的位置关系直线与平面的位置关系平面与平面的位置关系第4章平面解析几何初步 4.1直线与方程直线的斜率直线的方程两条直线的平行与垂直两条直线的交点平面上两点间的距离点到直线的距离4.2圆与方程圆的方程直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系4.3空间直角坐标系空间直角坐标系空间两点间的距离高一数学下数学3第5章算法初步5.1算法的意义5.2流程图5.3基本算法语句5.4算法案例第6章统计6.1抽样方法6.2总体分布的估计6.3总体特征数的估计6.4线性回归方程第7章概率7.1随机事件及其概率 7.2古典概型7.3几何概型7.4互斥事件及其发生的概率数学4第8章三角函数8.1任意角、弧度8.2任意角的三角函数8.3三角函数的图象和性质第9章平面向量9.1向量的概念及表示9.2向量的线性运算9.3向量的坐标表示9.4向量的数量积9.5向量的应用第10章三角恒等变换10.1两角和与差的三角函数10.2二倍角的三角函数10.3几个三角恒等式高二数学上数学5第11章解三角形11．1正弦定理11．2余弦定理11．3正弦定理、余弦定理的应用第12章数列12．1等差数列12．2等比数列12．3数列的进一步认识第13章不等式13．1不等关系13．2一元二次不等式13．3二元一次不等式组与简单的线性规划问题 13．4基本不等式文科数学选修系列11-1上第1章常用逻辑用语1．1命题及其关系1．2简单的逻辑联结词1．3全称量词与存在量词第2章圆锥曲线与方程2．1圆锥曲线2．2椭圆2．3双曲线2．4抛物线2．5圆锥曲线与方程第3章导数及其应用3．1导数的概念3．2导数的运算3．3导数在研究函数中的应用3．4导数在实际生活中的应用1-2下第1章统计案例1．1假设检验1．2独立性检验1．3线性回归分析1．4聚类分析第2章推理与证明2．1合情推理与演绎推理2．2直接证明与间接证明2．3公理化思想第3章数系的扩充与复数的引入 3．1数系的扩充3．2复数的四则运算3．3复数的几何意义第4章框图4．1流程图5．2结构图理科数学选修系列22-1上第1章常用逻辑用语1．1命题及其关系1．2简单的逻辑连接词1．3全称量词与存在量词第2章圆锥曲线与方程第3章空间向量与立体几何2-2上第1章导数及其应用第2章推理与证明第3章数系的扩充与复数的引入 2-3下第1章计数原理第2章概率第3章统计案例。
高中数学(苏教版 选修2-1)第2章 圆锥曲线与方程 曲线与方程1
1．了解曲线与方程的对应关系，理解“曲线的方程”和“方程的曲线”的概念．(重点、难点) 2．理解数形结合思想，会处理一些简单的曲线与方程问题．(难点) 3．曲线与方程的对应关系．(易错点)[基础·初探]教材整理 曲线的方程 方程的曲线阅读教材P 60例1以上的部分，完成下列问题． 1．方程与曲线的定义在直角坐标系中，如果曲线C (看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f (x ，y )＝0的实数解满足以下关系：如果曲线C 上点的坐标(x ，y )都是方程f (x ，y )＝0的解，且以方程f (x ，y )＝0的解(x ，y )为坐标的点都在曲线C 上，那么，方程f (x ，y )＝0叫做曲线C 的方程，曲线C 叫做方程f (x ，y )＝0的曲线．2．方程与曲线的关系1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线上，那么方程f (x ，y )＝0就是曲线的方程．( ) (2)如果f (x ，y )＝0是某曲线C 的方程，则曲线上的点的坐标都适合方程．( )(3)若曲线C 上的点满足方程f (x ，y )＝0，则坐标不满足方程f (x ，y )＝0的点不在曲线C 上．( ) (4)方程x ＋y －2＝0是以A (2,0)，B (0,2)为端点的线段的方程．( ) (5)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为xy ＝1.( ) 【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)×2．点A ⎝⎛⎭⎫m 2，－m 在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，则m ＝________. 【解析】 据题意，有14m 2＋(－m －1)2＝10，解得m ＝2或－185.【答案】 2或－1853．方程|y |＝|2x |表示的曲线是________．【解析】 ∵|y |＝|2x |，∴y ＝±2x ，表示两条直线． 【答案】 两条直线4．已知曲线C 的方程为x 2－xy ＋2y －7＝0，则下列四点中，在曲线C 上的点有________(填序号)． ①(－1,2)；②(1，－2)；③(2，－3)；④(3,6)．【解析】 把各点的坐标代入检验知，只有(－1,2)满足方程． 【答案】 ①[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型](1)判断点25(x ≤0)所表示的曲线上；(2)方程x 2(x 2－1)＝y 2(y 2－1)所表示的曲线是C ，若点M (m ，2)与点N ⎝⎛⎭⎫32，n 在曲线C 上，求m ，n的值．【精彩点拨】 由曲线与方程的关系知，只要点M 的坐标适合曲线的方程，则点M 就在方程所表示的曲线上；而若点M 为曲线上的点，则点M 的坐标(x 0，y 0)一定适合曲线的方程．【自主解答】 (1)把点A (－4,3)的坐标代入方程x 2＋y 2＝25中，满足方程，且点A 的横坐标满足x ≤0，则点A 在方程x 2＋y 2＝25(x ≤0)所表示的曲线上；把点B (－32，－4)的坐标代入x 2＋y 2＝25，因为(－32)2＋(－4)2＝34≠25，所以点B 不在方程x 2＋y 2＝25(x ≤0)所表示的曲线上．把点C (5，25)的坐标代入x 2＋y 2＝25，得(5)2＋(25)2＝25，满足方程，但因为横坐标5不满足x ≤0的条件，所以点C 不在方程x 2＋y 2＝25(x ≤0)所表示的曲线上．(2)因为点M (m ，2)，N ⎝⎛⎭⎫32，n 在曲线C 上，所以它们的坐标都是方程的解，所以m 2(m 2－1)＝2×1，34×⎝⎛⎭⎫－14＝n 2(n 2－1)，解得m ＝±2，n ＝±12或±32.1．判断点与曲线的位置关系要从曲线与方程的定义入手．(1)要判断点是否在方程表示的曲线上，只需检验点的坐标是否满足方程即可；(2)若所给点在已知曲线上，则点的坐标适合已知曲线的方程，由此可求点或方程中的参数． 2．判断方程是否是曲线的方程，要从两个方面着手，一是检验点的坐标是否都适合方程，二是检验以方程的解为坐标的点是否都在曲线上．[再练一题]1．若命题“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”是正确的，则下列命题正确的是________(填序号)．①方程f (x ，y )＝0的曲线是C ； ②方程f (x ，y )＝0的曲线不一定是C ； ③f (x ，y )＝0是曲线C 的方程；④以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上．【解析】 只有正确地理解曲线与方程的定义，才能准确作答．易知①③④错误． 【答案】 ②方程2x 2＋y 2－【精彩点拨】 由曲线的方程研究曲线的特点，类似于用函数的解析式研究函数的图象，可由方程的特点入手分析．【自主解答】 方程的左边配方得2(x －1)2＋(y ＋1)2＝0， 而2(x －1)2≥0，(y ＋1)2≥0， ∴2(x －1)2＝0，(y ＋1)2＝0，∴x －1＝0且y ＋1＝0，即x ＝1，y ＝－1. ∴方程表示点(1，－1)．曲线的方程是曲线的代数体现，判断方程表示什么曲线，可根据方程的特点利用配方、因式分解等方法对已知方程变形，转化为我们熟知的曲线方程，在变形时，应保证变形过程的等价性.[再练一题]2．方程(x ＋y －1)x －1＝0表示什么曲线？【解】 方程(x ＋y －1)x －1＝0等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x ＋y －1＝0或x －1＝0，即x ＋y －1＝0(x ≥1)或x ＝1.故方程表示直线x ＝1和射线x ＋y －1＝0(x ≥1).(1)点P (a ＋1，a ＋(2)若曲线y 2＝xy ＋2x ＋k 通过点(a ，－a )，a ∈R ，则实数k 的取值范围是________．【精彩点拨】 (1)利用点在曲线上，则点的坐标满足方程，代入解方程可得；(2)点(a ，－a )在曲线上，则点(a ，－a )适合方程，把k 用a 表示出来，利用求值域的方法得k 的范围．【自主解答】 (1)因为点P (a ＋1，a ＋4)在曲线y ＝x 2＋5x ＋3上， 所以a ＋4＝(a ＋1)2＋5(a ＋1)＋3，即a 2＋6a ＋5＝0，解得a ＝－1或－5. (2)∵曲线y 2＝xy ＋2x ＋k 通过点(a ，－a )， ∴a 2＝－a 2＋2a ＋k ， ∴k ＝2a 2－2a ＝2⎝⎛⎭⎫a －122－12， ∴k ≥－12，∴k 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－12，＋∞. 【答案】 (1)－1或－5 (2)⎣⎡⎭⎫－12，＋∞判断点与曲线位置关系的方法如果曲线C 的方程是f (x ，y )＝0，点P 的坐标为(x 0，y 0)． (1)点P (x 0，y 0)在曲线C ：f (x ，y )＝0上⇔f (x 0，y 0)＝0. (2)点P (x 0，y 0)不在曲线C ：f (x ，y )＝0上⇔f (x 0，y 0)≠0.[再练一题]3．若点M (m ，m )在曲线x －y 2＝0上，则m 的值为________.【导学号：09390055】【解析】 ∵点M (m ，m )在曲线x －y 2＝0上，∴m －m 2＝0， 解得m ＝0或m ＝1. 【答案】 0或1[探究共研型]探究1 【提示】 定义中的条件(1)阐明了曲线具有纯粹性(或方程具有完备性)，即曲线上的所有点的坐标都适合这个方程而毫无例外；条件(2)阐明了曲线具有完备性(或方程具有纯粹性)，即适合条件的点都在曲线上而毫无遗漏．曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，曲线的方程反映的是图形所满足的数量关系，而方程的曲线反映的是数量关系所表示的图形．探究2 理解曲线的方程与方程的曲线的概念时应注意什么？ 【提示】 (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，二者缺一不可．方程(x －4y －12)[(－3)＋log 2(x ＋2y )]＝0的曲线经过点A (0，－3)，B (0,4)，C ⎝⎛⎭⎫53，－74，D (8,0)中的________个点．【精彩点拨】 方程表示两条直线x －4y －12＝0和x ＋2y －8＝0，但应注意对数的真数大于0，即x ＋2y >0.【自主解答】 由对数的真数大于0，得x ＋2y >0. ∴A (0，－3)，C ⎝⎛⎭⎫53，－74不符合要求； 将B (0,4)代入方程检验，符合要求；将D (8,0)代入方程检验，符合要求．【答案】 2点与实数解建立了如下关系：C上的点(x0，y0)f(x，y)＝0的解，曲线上的点的坐标都是这个方程的解，因此要判断点是否在曲线上只需验证该点是否满足方程即可.[再练一题]4．已知直线l：x＋y＋3＝0，曲线C：(x－1)2＋(y＋3)2＝4，若P(1，－1)，则点P与l，C的关系是________．【解析】由1－1＋3≠0，∴P不在l上，即P∉l；又(1－1)2＋(－1＋3)2＝4，∴点P在曲线C上，即P∈C.【答案】P∉l，P∈C[构建·体系]1．设方程F(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，则下面命题中正确的是________(填序号)．①坐标满足f(x，y)＝0的点都不在曲线C上；②曲线C上的点的坐标不满足f(x，y)＝0；③坐标满足f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上；④一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0.【解析】因为命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，所以其否定：存在不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0，是正确的，即④正确．【答案】④2．f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的________条件.【导学号：09390056】【解析】 ∵f (x 0，y 0)＝0，可知点P (x 0，y 0) 在曲线f (x ，y )＝0上，又P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上时，有f (x 0，y 0)＝0，∴f (x 0，y 0)＝0是P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上的充要条件． 【答案】 充要3．若P (2，－3)在曲线x 2－ay 2＝1上，则a 的值为_______________________． 【解析】 ∵P (2，－3)在曲线x 2－ay 2＝1上，∴4－9a ＝1，解得a ＝13.【答案】 134．如图2-6-1中，方程表示图中曲线的是________．图2-6-1【解析】 ∵x 2＋y 2＝1表示单位圆，故①错；x 2－y 2＝0表示两条直线y ＝x 和y ＝－x ，故②错；lg x ＋lg y ＝0可化为xy ＝1(x >0，y >0)，故④错；只有③正确．【答案】 ③5．方程(x ＋y －2)·x 2＋y 2－9＝0表示什么曲线？ 【解】 (x ＋y －2)·x 2＋y 2－9＝0变形为x 2＋y 2－9＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，x 2＋y 2－9≥0，表示以原点为圆心，3为半径的圆和直线x ＋y －2＝0在圆x 2＋y 2－9＝0外面的两条射线．我还有这些不足：(1) (2)我的课下提升方案：(1)(2)。
数学选修2-1苏教版：第2章 圆锥曲线与方程 2.3.2
解析由题意知c＝2，∴a2＝22－12＝3，
∴双曲线的方程为 －y2＝1.
设点P的坐标为(x1，y1)(x1≥ )，则 －y ＝1，
∴ · ＝(x1，y1)·(x1＋2，y1)
＝x ＋2x1＋y ＝x ＋2x1＋ －1
＝ ＋2x1－1.
∵函数f(x1)＝ ＋2x1－1在[ ，＋∞)上单调递增，
而渐近线方程是y＝± x，
由 得B ，
由 得A ，
＝ ， ＝ ，
由 ＝－3 ，
得 ＝－3 ，
则 ＝－3· ，即b＝ a，
则c＝ ＝ a，则e＝ ＝ .
二、解答题
12．根据下列条件求双曲线的标准方程．
解(1)设双曲线的标准方程为
－ ＝1或 － ＝1(a＞0，b＞0)．
由题意知2b＝12， ＝ ，且c2＝a2＋b2，
∴b＝6，c＝10，a＝8.
∴所求双曲线的标准方程为 － ＝1或 － ＝1.
(2)当焦点在x轴上时，由 ＝ 且a＝3，得b＝ ，
∴所求双曲线的标准方程为 － ＝1.
当焦点在y轴上时，由 ＝ 且a＝3，得b＝2.
那么y＝± .
由PF2＝QF2，∠PF2Q＝90°，
知PF1＝F1F2，
所以 ＝2c，所以b2＝2ac，
所以c2－2ac－a2＝0，所以 2－2× －1＝0，
即e2－2e－1＝0，
所以e＝1＋ 或e＝1－ (舍去)．
所以双曲线的离心率为1＋ .
反思与感悟 求双曲线离心率的三种方法
(1)若可求得a，c，则直接利用e＝ 得解．
∴b2＝c2－a2＝12.故双曲线的方程为 － ＝1.
1．双曲线离心率及其范围的求法：
(1)双曲线离心率的求解，一般可采用定义法、直接法等方法．
2019-2020学年选修2-1苏教版：第2章圆锥曲线与方程2.3.1Word版含答案
2019-2020学年苏教版数学精品资料§2.3双曲线2.3.1双曲线的标准方程学习目标 1.掌握双曲线标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．知识点双曲线的标准方程思考双曲线标准方程中的a，b，c的关系如何？与椭圆标准方程中的a，b，c的关系有何不同？答案双曲线标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2＝c2－a2，即c2＝a2＋b2，其中c>a，c>b，a与b的大小关系不确定；而在椭圆中b2＝a2－c2，即a2＝b2＋c2，其中a>b>0，a>c，c与b大小不确定．梳理(1)两种形式的标准方程焦点所在的坐标轴x轴y轴标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形焦点坐标F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)a，b，c的关系式a2＋b2＝c2(2)焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上．(3)当双曲线的焦点位置不确定时，可设其标准方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)．(4)标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，注意这里的b2＝c2－a2与椭圆中的b2＝a2－c2相区别．1．方程x2m－y2n＝1(m·n＞0)表示焦点在x轴上的双曲线．(×)2．在双曲线标准方程x2a2－y2b2＝1中，a＞0，b＞0且a≠b.(×)3．在双曲线标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)中，焦距为2c，则a2＝b2＋c2.(×)类型一求双曲线的标准方程例1求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)与椭圆y225＋x216＝1有公共焦点，且过点(－2，10)；(2)双曲线上两点P1，P2的坐标分别为(3，－42)，94，5.考点双曲线的标准方程的求法题点待定系数法求双曲线的标准方程解(1)方法一椭圆y225＋x216＝1的焦点为F1(0，－3)，F2(0,3)，设双曲线的方程为y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)，则有10a2－4b2＝1，a2＋b2＝9，解得a2＝5，b2＝4.故所求双曲线的方程为y25－x24＝1.方法二由椭圆方程y225＋x216＝1知焦点在y轴上，设所求双曲线方程为y225－λ－x2λ－16＝1(16<λ<25)．∵双曲线过点(－2，10)，∴1025－λ－4λ－16＝1，解得λ＝20或λ＝7(舍去)，故所求双曲线的方程为y25－x24＝1.(2)设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，则9m＋32n＝1，8116m＋25n＝1，解得n＝116，m＝－19，∴双曲线的标准方程为y216－x29＝1.反思与感悟待定系数法求方程的步骤(1)定型：即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴．(2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式：①若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)；②与双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)共焦点的双曲线的标准方程可设为x2a2－k－y2b2＋k＝1(－b2<k<a2)．(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值．(4)结论：写出双曲线的标准方程．跟踪训练1(1)求以椭圆x216＋y29＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A(4，－5)的双曲线的标准方程；(2)已知双曲线过P3，154，Q－163，5两点，求双曲线的标准方程．考点双曲线的标准方程的求法题点待定系数法求双曲线的标准方程解(1)由题意，知双曲线的两焦点为F1(0，－3)，F2(0,3)．设双曲线方程为y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)，将点A(4，－5)代入双曲线方程，得25a2－16b2＝1.又a2＋b2＝9，解得a2＝5，b2＝4，所以双曲线的标准方程为y25－x24＝1.(2)若焦点在x轴上，设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，所以9a2－22516b2＝1，2569a2－25b2＝1，解得a2＝－16，b2＝－9(舍去)．若焦点在y轴上，设双曲线的方程为y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)，将P，Q两点坐标代入可得22516a2－9b2＝1，25a2－2569b2＝1，解得a2＝9，b2＝16，所以双曲线的标准方程为y29－x216＝1.综上，双曲线的标准方程为y29－x216＝1.类型二曲线方程的讨论例2若方程x25－m＋y2m2－2m－3＝1表示焦点在y轴上的双曲线，求实数m的取值范围．解由方程x25－m＋y2m2－2m－3＝1表示焦点在y轴上的双曲线，得5－m＜0，m2－2m－3＞0，解得m＞5.所以实数m的取值范围是(5，＋∞)．反思与感悟给出方程x2m＋y2n＝1(mn≠0)，当mn＜0时，方程表示双曲线，当m＞0，n＜0时，表示焦点在x轴上的双曲线；当m＜0，n＞0时，表示焦点在y轴上的双曲线．跟踪训练2(1)“3＜m＜5”是“方程x2m－5＋y2m2－m－6＝1表示双曲线”的_________条件．答案充分不必要解析(m－5)(m2－m－6)＝(m－5)(m－3)(m＋2)．①方程x2m－5＋y2m2－m－6＝1表示双曲线?(m－5)(m2－m－6)＜0，即(m－5)(m－3)(m＋2)＜0 ?3＜m＜5或m＜－2?3＜m＜5，∴3＜m＜5不是“x2m－5＋y2m2－m－6＝1表示双曲线”的必要条件．②3＜m＜5?(m－5)(m－3)(m＋2)＜0，即(m－5)(m2－m－6)＜0?x2m－5＋y2m2－m－6＝1表示双曲线．∴3＜m＜5是x2m－5＋y2m2－m－6＝1的充分条件．(2)讨论x 225－k ＋y29－k ＝1表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征．解由于k ≠9，k ≠25，则k 的取值范围为k ＜9,9＜k ＜25，k ＞25，分别进行讨论．①当k ＜9时，25－k ＞0,9－k ＞0，所给方程表示椭圆，此时a 2＝25－k ，b 2＝9－k ，c 2＝a2－b 2＝16，这些椭圆有共同的焦点(－4,0)，(4,0)．②当9＜k ＜25时，25－k ＞0,9－k ＜0，所给方程表示双曲线，此时a 2＝25－k ，b 2＝k －9，c 2＝a 2＋b 2＝16，这些双曲线也有共同的焦点(－4,0)，(4,0)．③当k ＞25时，所给方程没有轨迹．类型三双曲线的定义及标准方程的应用例3已知双曲线x 29－y216＝1的左，右焦点分别是F 1，F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．解由x 29－y216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5. 由定义和余弦定理得PF 1－PF 2＝±6，F 1F 22＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2cos60°，所以102＝(PF 1－PF 2)2＋PF 1·PF 2，所以PF 1·PF 2＝64，所以12F PF S＝12PF 1·PF 2·sin ∠F 1PF 2＝12×64×32＝16 3. 引申探究本例中若∠F 1PF 2＝90°，其他条件不变，求△F 1PF 2的面积．解由双曲线方程知a ＝3，b ＝4，c ＝5，由双曲线的定义得|PF 1－PF 2|＝2a ＝6，所以PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2＝36，①在Rt △F 1PF 2中，由勾股定理得PF 21＋PF 22＝F 1F 22＝(2c)2＝100，②将②代入①得PF 1·PF 2＝32，所以12F PF S＝12PF 1·PF 2＝16. 反思与感悟求双曲线x 2a 2－y2b2＝1中焦点三角形面积的方法(1)方法一：①根据双曲线的定义求出|PF 1－PF 2|＝2a ；②利用余弦定理表示出PF 1，PF 2，F 1F 2之间满足的关系式；③通过配方，利用整体思想求出PF 1·PF 2的值；④利用公式12PF F S ＝12PF 1·PF 2sin ∠F 1PF 2求得面积．(2)方法二：利用公式S △PF 1F 2＝12F 1F 2×|y P |(y P 为P 点的纵坐标)求得面积．同理可求得双曲线y 2a 2－x2b2＝1中焦点三角形的面积．特别提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件|PF 1－PF 2|＝2a的变形使用，特别是与PF 21＋PF 22，PF 1·PF 2间的关系．跟踪训练3如图所示，已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y2b2＝1的左，右焦点，点M 为双曲线上一点，并且∠F 1MF 2＝θ，求△MF 1F 2的面积．解在△MF 1F 2中，由余弦定理，得F 1F 22＝MF 21＋MF 22－2MF 1·MF 2·cos θ.①∵F 1F 22＝4c 2，MF 21＋MF 22＝(MF 1－MF 2)2＋2MF 1·MF 2＝4a 2＋2MF 1·MF 2，∴①式化为4c 2＝4a 2＋2MF 1·MF 2(1－cos θ)，∴MF 1·MF 2＝2b21－cos θ，∴12MF F S＝12MF 1·MF 2·sin θ＝b 2sin θ1－cos θ＝b 2·2sin θ2·cosθ21－1－2sin 2θ2＝b2tanθ2.1．若方程x 21＋k －y 21－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是________．答案(－1,1)解析依题意得(1＋k)(1－k)>0，即(k ＋1)(k －1)<0，解得－1<k<1.2．双曲线x 2k 2＋8－y28－k 2＝1的焦距为________．答案8解析依题意得焦距为2k 2＋8＋8－k 2＝8.3．已知圆C ：x 2＋y 2－6x －4y ＋8＝0，以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则所得双曲线的标准方程为________．答案x 24－y212＝1 解析令x ＝0，得y 2－4y ＋8＝0，方程无解，即该圆与y 轴无交点．令y ＝0，得x 2－6x ＋8＝0，解得x ＝2或x ＝4，则符合条件的双曲线中a ＝2，c ＝4，∴b 2＝c 2－a 2＝16－4＝12，且焦点在x 轴上，∴双曲线的方程为x 24－y212＝1. 4．已知双曲线2x 2－y 2＝k(k ≠0)的焦距为6，则k 的值为________．答案±6解析由题意知，k ≠0.当k>0时，方程化为x 2k 2－y2k ＝1，∴c 2＝k 2＋k ＝3k 2，∴2×3k2＝6，解得k ＝6. 当k<0时，方程化为y 2－k －x2－k2＝1，∴c 2＝－32k ，∴2×－3k 2＝6，解得k ＝－6.综上，k ＝－6或k ＝6.5．已知双曲线x 29－y 216＝1上一点M 的横坐标为5，则点M 到左焦点的距离是________．答案343解析由于双曲线x 29－y216＝1的右焦点为F(5,0)，设M(x M ，y M )，将x M ＝5代入双曲线方程可得|y M |＝163，即为点M 到右焦点的距离，由双曲线的定义知M 到左焦点的距离为163＋2×3＝343. 求双曲线标准方程的步骤：(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式．(2)定量：是指确定a 2，b 2的数值，常由条件列方程组求解．特别提醒：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1的形式，为简单起见，常标明条件mn<0.与双曲线x 2a 2－y2b2＝1有相同焦点的双曲线方程可设为x 2a 2＋k －y 2b2－k ＝1(－a 2＜k ＜b 2)．已知双曲线的渐近线方程为y ＝±nmx ，可设双曲线方程为x 2m 2－y2n2＝λ(λ≠0)．一、填空题1．满足条件：a ＝2，且一个焦点为(4,0)的双曲线的标准方程为________________．答案x 24－y212＝1 解析由一个焦点(4,0)知双曲线焦点在x 轴上，且c ＝4，由c 2＝a 2＋b 2，a ＝2，可得b 2＝12，故双曲线的标准方程为x 24－y212＝1. 2．椭圆x 24＋y 2a ＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a ＝________.答案 1解析由题意知焦点在x 轴上，因此4－a ＝a ＋2，所以a ＝1.经检验，a ＝1满足题意．故a ＝1.3．双曲线的焦点是(0，±6)，且过点A(－2，－5)，则双曲线的标准方程是________．答案y 220－x216＝1 解析由题意知，双曲线的焦点在y 轴上，且c ＝6.设F 1(0，－6)，F 2(0,6)分别为双曲线的焦点，AF 1＝－22＋－5＋62＝5，AF 2＝－22＋－5－62＝55，根据双曲线的定义，2a ＝|AF 1－AF 2|＝45，所以a ＝25，b 2＝c 2－a 2＝16，故所求双曲线的标准方程为y 220－x216＝1. 4．若双曲线的两个焦点坐标分别是F 1(0，－5)，F 2(0,5)，双曲线上任意一点P 满足到两个焦点的距离之差的绝对值是6，则双曲线的标准方程是________．答案y 29－x216＝1解析由题意得，焦点位于y轴上，且c＝5,2a＝6，所以a＝3，b2＝c2－a2＝16，因此所求双曲线的标准方程是y29－x216＝1.5．已知双曲线x24－y2m＝1的一个焦点坐标为(3,0)，则m＝________.答案 5解析因为c＝4＋m＝3，所以解得m＝5.6．已知方程x29－k＋y2k－3＝1表示焦点在y轴上的双曲线，则k的取值范围是________．答案(9，＋∞)解析由题意得9－k<0，k－3>0，解得k>9.7．设椭圆x26＋y22＝1和双曲线x23－y2＝1的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个公共点，则cos∠F1PF2＝________.答案1 3解析设PF1＝d1，PF2＝d2，则d1＋d2＝26，①|d1－d2|＝23，②①2＋②2，得d21＋d22＝18.①2－②2，得2d1d2＝6.而c＝2，∴cos∠F1PF2＝d21＋d22－4c22d1d2＝18－166＝13.8．与双曲线x24－y22＝1有相同焦点且过点P(2,1)的双曲线方程为________________．答案x23－y23＝1解析∵双曲线x 24－y22＝1的焦点在x轴上，∴设所求双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)．又∵两曲线有相同的焦点，∴a2＋b2＝c2＝4＋2＝6.①又点P(2,1)在双曲线x2a2－y2b2＝1上，∴4a2－1b2＝1.②由①②得，a2＝b2＝3，故所求双曲线方程为x23－y23＝1.9．已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其左，右焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则PF 1＋PF 2的值为________．答案2 3解析设P 在双曲线的右支上，PF 1＝2＋x ，PF 2＝x(x>0)，因为PF 1⊥PF 2，所以(x ＋2)2＋x 2＝(2c)2＝8，所以x ＝3－1，x ＋2＝3＋1，所以PF 2＋PF 1＝3－1＋3＋1＝2 3. 10．焦点在x 轴上的双曲线经过点P(42，－3)，且Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直，则此双曲线的标准方程为______________．答案x 216－y29＝1 解析设焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c>0)，则由QF 1⊥QF 2，得kQF 1·kQF 2＝－1，∴5c ·5－c ＝－1，∴c ＝5. 设双曲线方程为x 2a 2－y2b2＝1(a>0，b>0)，∵双曲线过点(42，－3)，∴32a 2－9b2＝1，又∵c 2＝a 2＋b 2＝25，∴a 2＝16，b 2＝9. ∴双曲线的标准方程为x 216－y29＝1. 11．已知双曲线x 24－y 25＝1上一点P 到F (3,0)的距离为6，O 为坐标原点，若OQ →＝12(OP →＋OF →)，则|OQ →|的值为________．答案1或5解析由题意得Q 为PF 的中点，设左焦点为F ′，其坐标为(－3,0)，∴OQ ＝12PF ′.若P 在双曲线的左支上，则OQ ＝12PF ′＝12(PF －2a)＝12×(6－2×2)＝1；若P 在双曲线的右支上，则OQ ＝12PF ′＝12(PF ＋2a)＝12(6＋2×2)＝5.综上，|OQ →|＝1或5.二、解答题12．设F 1，F 2是双曲线x 24a －y 2a ＝1(a>0)的两个焦点，若点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，|PF 1→|·|PF 2→|＝2，求双曲线的方程．解∵PF 1→·PF 2→＝0，∴PF 1→⊥PF 2→，∴|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝|F 1F 2→|2＝20a.①又||PF 1→|－|PF 2→||＝4 a.②①－②2，得2|PF 1→|·|PF 2→|＝4a.∵|PF 1→|·|PF 2→|＝2，∴a ＝1.∴双曲线的方程为x 24－y 2＝1. 13．已知双曲线x 216－y 24＝1的左，右焦点为F 1，F 2. (1)若点M 在双曲线上，且MF 1→·MF 2→＝0，求M 点到x 轴的距离；(2)若双曲线C 与已知双曲线有相同焦点，且过点(32，2)，求双曲线C 的方程．解(1)如图所示，不妨设M 在双曲线的右支上，M 点到x 轴的距离为h ，MF 1→·MF 2→＝0，则MF 1⊥MF 2，设MF 1＝m ，MF 2＝n ，由双曲线定义知，m －n ＝2a ＝8，①又m 2＋n 2＝(2c)2＝80，②由①②得m ·n ＝8，∴S △MF 1F 2＝12mn ＝4＝12F 1F 2·h ，∴h ＝255. (2)设所求双曲线C 的方程为x 216－λ－y 24＋λ＝1(－4<λ<16)，由于双曲线C 过点(32，2)，∴1816－λ－44＋λ＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．∴所求双曲线C的方程为x212－y28＝1.三、探究与拓展14．双曲线x2m－y2m－5＝1的一个焦点到中心的距离为3，则m的值为________．答案7或－2解析(1)当焦点在x轴上时，有m>5，则c2＝m＋m－5＝9，∴m＝7；(2)当焦点在y轴上时，有m<0，则c2＝－m＋5－m＝9，∴m＝－2.综上，m＝7或m＝－2.15．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点．(1)求双曲线的标准方程；(2)若点M在双曲线上，F1，F2为左，右焦点，且MF1＋MF2＝63，试判断△MF1F2的形状．解(1)椭圆方程可化为x29＋y24＝1，焦点在x轴上，且c＝9－4＝5，故设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1，则有9a2－4b2＝1，a2＋b2＝5，解得a2＝3，b2＝2.所以双曲线的标准方程为x23－y22＝1.(2)不妨设M点在右支上，则有MF1－MF2＝23，又MF1＋MF2＝63，故解得MF1＝43，MF2＝23，又F1F2＝25，所以在△MF1F2中，MF1边最长，cos∠MF2F1＝MF22＋F1F22－MF212MF2·F1F2<0，又因为∠MF2F1∈(0°，180°)，所以∠MF2F1为钝角，故△MF1F2为钝角三角形．。
2019数学选修2-1苏教版：第2章 圆锥曲线与方程§2-1
§2.1圆锥曲线学习目标 1.了解当一个平面截一个圆锥面时，所截得的图形的各种情况.2.初步掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及其几何特征.3.通过平面截圆锥面的实验和对有关天体运动轨道的了解，知道圆锥曲线在我们身边广泛存在．知识点一椭圆的定义观察图形，思考下列问题：思考1如图，把细绳两端拉开一段距离，分别固定在图板上的两点F1，F2处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么图形？答案椭圆思考2图中移动的笔尖始终满足怎样的几何条件？答案PF1＋PF2是常数(大于F1F2)．梳理平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．知识点二双曲线的定义观察图示，若固定拉链上一点F1或F2，拉开或闭拢拉链，拉链头M经过的点可画出一条曲线，思考下列问题：思考1图中动点M的几何性质是什么？答案|MF1－MF2|为一个正常数．思考2若MF1－MF2＝F1F2，则动点M的轨迹是什么？答案以F2为端点，向F2右边延伸的射线．梳理平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．知识点三抛物线的定义观察图形，思考下列问题：思考如图，定点C和定直线EF，用三角板画出到定点的距离等于到定直线的距离的动点D的轨迹．则动点D的轨迹是什么？其满足什么条件？答案抛物线，动点D到定点C和定直线EF距离相等，且C不在EF上．梳理平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线．1．平面内到两定点的距离之和为常数的点的轨迹是椭圆．(×)2．平面内到两定点的距离之差的绝对值为常数的点的轨迹是双曲线．(×)3．抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等．(√)。
2019-2020学年选修2-1苏教版：第2章圆锥曲线与方程2.2.2(一)Word版含答案
2019-2020学年苏教版数学精品资料2.2.2椭圆的几何性质(一)学习目标 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形．知识点一椭圆的范围、对称性和顶点坐标思考观察椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的形状(如图)，你能从图中看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？答案(1)范围：－a≤x≤a，－b≤y≤b；(2)对称性：椭圆关于x轴、y轴、原点都对称；(3)特殊点：顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)．梳理椭圆的几何性质焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形焦点坐标(±c,0)(0，±c)对称性关于x轴、y轴轴对称，关于坐标原点中心对称顶点坐标A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)范围|x|≤a，|y|≤b |x|≤b，|y|≤a长轴、短轴长轴A1A2长为2a，短轴B1B2长为2b知识点二椭圆的离心率思考如何刻画椭圆的扁圆程度？答案用离心率刻画扁圆程度，e越接近于0，椭圆越接近于圆，反之，越扁．梳理(1)焦距与长轴长的比ca称为椭圆的离心率．记为：e＝c a .(2)对于x2a2＋y2b2＝1，b越小，对应的椭圆越扁，反之，e越接近于0，c就越接近于0，从而b越接近于a，这时椭圆越接近于圆，于是，当且仅当a＝b时，c＝0，两焦点重合，图形变成圆，方程变为x2＋y2＝a2.(如图)1．椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的长轴长是 a.(×)2．椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(×)3．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10,8，则椭圆的方程为x225＋y216＝1.(×)4．设F为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的一个焦点，M为其上任一点，则MF的最大值为a＋c.(c为椭圆的半焦距)(√)类型一由椭圆方程研究其几何性质例1求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．解已知方程化成标准方程为x216＋y29＝1，于是a＝4，b＝3，c＝16－9＝7，∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6，离心率e ＝c a ＝74，又知焦点在x 轴上，∴两个焦点坐标分别是(－7，0)和(7，0)，四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)和(0,3)．引申探究本例中若把椭圆方程改为“9x 2＋16y 2＝1”，求其长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．解由已知得椭圆标准方程为x 219＋y2116＝1，于是a ＝13，b ＝14，c ＝19－116＝712. ∴长轴长2a ＝23，短轴长2b ＝12，离心率e ＝c a ＝74.焦点坐标为－712，0和712，0，顶点坐标为±13，0，0，±14. 反思与感悟解决由椭圆方程研究其几何性质的问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a ，b ，c 之间的关系和定义，求椭圆的基本量．跟踪训练1求椭圆9x 2＋y 2＝81的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．解椭圆的标准方程为x 29＋y281＝1，则a ＝9，b ＝3，c ＝a 2－b 2＝62，长轴长2a ＝18，短轴长2b ＝6，焦点坐标为(0,62)，(0，－62)，顶点坐标为(0,9)，(0，－9)，(3,0)，(－3,0)．离心率e ＝c a ＝223.类型二椭圆几何性质的简单应用命题角度1依据椭圆的几何性质求标准方程例2求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，其离心率为12，焦距为8；(2)已知椭圆的离心率为e ＝23，短轴长为8 5.解(1)由题意知，2c＝8，∴c＝4，∴e＝ca＝4a＝12，∴a＝8，从而b2＝a2－c2＝48，∴椭圆的标准方程是y264＋x248＝1.(2)由e＝ca＝23得c＝23a，又2b＝85，a2＝b2＋c2，所以a2＝144，b2＝80，所以椭圆的标准方程为x2144＋y280＝1或x280＋y2144＝1.反思与感悟依据椭圆的几何性质求标准方程问题应由所给的几何性质充分找出a，b，c 所应满足的关系式，进而求出a，b，在求解时，需注意椭圆的焦点位置．跟踪训练2根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程：(1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；(2)焦点在x轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且焦距为12.解(1)当焦点在x轴上时，设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．依题意有2b＝a，4a2＋36b2＝1，解得a＝237，b＝37，∴椭圆方程为x2148＋y237＝1.同样地可求出当焦点在y轴上时，椭圆方程为x213＋y252＝1.故所求椭圆的方程为x2148＋y237＝1或x213＋y252＝1.(2)依题意有b＝c，2c＝12，∴b＝c＝6，∴a2＝b2＋c2＝72，∴所求的椭圆方程为x272＋y236＝1.命题角度2最值问题例3椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e＝32，已知点P0，32到椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程．解设所求椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．∵b a＝a 2－c2a2＝1－e 2＝12，∴a ＝2b.∴椭圆方程为x 24b 2＋y2b2＝1. 设椭圆上点M(x ，y)到点P 0，32的距离为d ，则d 2＝x 2＋y －322＝4b 21－y 2b 2＋y 2－3y ＋94＝－3y ＋122＋4b 2＋3，令f(y)＝－3y ＋122＋4b 2＋3.当－b ≤－12，即b ≥12时，d 2max ＝f－12＝4b 2＋3＝7，解得b ＝1，∴椭圆方程为x 24＋y 2＝1.当－12<－b ，即0<b<12时，d 2max ＝f(－b)＝7，解得b ＝－32±7，与0＜b ＜12矛盾．综上所述，所求椭圆方程为x24＋y 2＝1. 反思与感悟求解椭圆的最值问题的基本方法有两种(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义及对称知识求解．(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再根据函数式的特征选用适当的方法求解目标函数的最值．常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等．跟踪训练3已知点F 1，F 2是椭圆x 2＋2y 2＝2的左，右焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF 1→＋PF 2→|的最小值是________．答案 2解析设P(x 0，y 0)，则PF 1→＝(－1－x 0，－y 0)，PF 2→＝(1－x 0，－y 0)，∴PF 1→＋PF 2→＝(－2x 0，－2y 0)，∴|PF 1→＋PF 2→|＝4x 20＋4y 20＝22－2y 20＋y 2＝2－y 20＋2.∵点P 在椭圆上，∴0≤y 20≤1，∴当y 20＝1时，|PF 1→＋PF 2→|取最小值 2.类型三求椭圆的离心率例4如图所示，F 1，F 2分别为椭圆的左，右焦点，椭圆上的点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率．解设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距长分别为a ，b ，c.则焦点为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，M 点的坐标为c ，23b ，且△MF 1F 2为直角三角形．在Rt △MF 1F 2中，F 1F 22＋MF 22＝MF 21，即4c 2＋49b 2＝MF 21.而MF 1＋MF 2＝4c 2＋49b 2＋23b ＝2a ，整理得3c 2＝3a 2－2ab.又c 2＝a 2－b 2，所以3b ＝2a.所以b 2a 2＝49.所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝59，所以e ＝53.反思与感悟求椭圆离心率的方法(1)直接求出a 和c ，再求e ＝ca ，也可利用e ＝1－b2a2求解．(2)若a 和c 不能直接求出，则看是否可利用条件得到a 和c 的齐次等式关系，然后整理成c a的形式，并将其视为整体，就变成了关于离心率e 的方程，进而求解．跟踪训练4已知椭圆C 以坐标轴为对称轴，长轴长是短轴长的5倍，且经过点A(5,0)，求椭圆C 的离心率．解若焦点在x 轴上，得2a ＝5×2b ，25a 2＋0b2＝1，解得a ＝5，b ＝1，∴c＝a2－b2＝52－12＝26，∴e＝ca＝265；若焦点在y轴上，得2a＝5×2b，a2＋25b2＝1，得a＝25，b＝5，∴c＝a2－b2＝252－52＝106，∴e＝ca＝10625＝265.故椭圆C的离心率为26 5.1．已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m(m>0)，则此椭圆的离心率为________．答案3 3解析由2x2＋3y2＝m(m>0)，得x 2m 2＋y2m3＝1，∴c2＝m2－m3＝m6，∴e2＝13，又∵0＜e＜1，∴e＝33.2．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程是________．答案x2＋y26＝1解析由已知得c＝5，b＝1，所以a2＝b2＋c2＝6，又椭圆的焦点在y轴上，故椭圆的标准方程为y26＋x2＝1.3．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________．答案3 5解析由题意有，2a＋2c＝2(2b)，即a＋c＝2b，又c2＝a2－b2，消去b整理得5c2＝3a2－2ac，即5e2＋2e－3＝0，又∵0＜e＜1，∴e＝35或e＝－1(舍去)．4．若焦点在y轴上的椭圆x2m＋y22＝1的离心率为12，则m的值为________．答案3 2解析∵焦点在y轴上，∴0<m<2，∴a＝2，b＝m，∴c＝2－m，又e＝ca＝12，∴2－m2＝12，解得m＝32.5．已知点(m，n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则2m＋4的取值范围是________________．答案[4－23，4＋23]解析因为点(m，n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，即在椭圆x 23＋y28＝1上，所以点(m，n)满足椭圆的范围|x|≤3，|y|≤22，因此|m|≤3，即－3≤m≤3，所以2m＋4∈[4－23，4＋23]．1．椭圆的顶点、焦点、中心坐标等几何性质与坐标有关，它们反映了椭圆在平面内的位置．2．椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率等几何性质与坐标无关，它们反映了椭圆的形状．3．讨论与坐标有关的几何性质应先由焦点确定出椭圆的类型，不能确定的应分焦点在x轴上、y轴上进行讨论．4．与椭圆x2a2＋y2b2＝1有相同焦点的椭圆可设为x2a2＋m＋y2b2＋m＝1.一、填空题1．椭圆4x2＋49y2＝196的长轴长、短轴长、离心率依次是________．答案14,4，35 7解析先将椭圆方程化为标准形式，得x249＋y24＝1，其中b＝2，a＝7，c＝3 5.2．焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的标准方程为________．答案x236＋y216＝1解析依题意得c＝25，a＋b＝10，又a2＝b2＋c2从而解得a＝6，b＝4.3．若椭圆的焦距、短轴长、长轴长构成一个等比数列，则椭圆的离心率为________．答案5－1 2解析依题意得，4b2＝4ac，∴b2a2＝ca，即1－e2＝e.∴e2＋e－1＝0，∴e＝5－12(舍去负值)．4．已知椭圆的方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的焦点分别为F1，F2，F1F2＝2，离心率e＝12，则椭圆的标准方程为________________．答案x24＋y23＝1解析因为F1F2＝2，离心率e＝1 2，所以c＝1，a＝2，所以b2＝3，椭圆方程为x24＋y23＝1.5．中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为32，且过点(2,0)的椭圆的标准方程是________．答案x24＋y2＝1或x24＋y216＝1解析若焦点在x轴上，则a＝2.又e＝32，∴c＝ 3.∴b2＝a2－c2＝1，∴方程为x24＋y2＝1.若焦点在y轴上，则b＝2.又e＝32，∴b2a2＝1－34＝14，∴a2＝4b2＝16，∴方程为x24＋y216＝1.6．椭圆x212＋y23＝1的左焦点为F1，点P在椭圆上，若线段PF1的中点M在y轴上，则点P的纵坐标是________．答案±3 2解析设椭圆的右焦点为F2，由题意知PF2⊥x轴，因为a2＝12，b2＝3，所以c2＝a2－b2＝9，c＝3.所以点P和点F2的横坐标都为 3.故将x＝3代入椭圆方程，可得y＝±3 2 .7．椭圆(m ＋1)x 2＋my 2＝1的长轴长是________．答案2m m解析椭圆方程可化简为x 211＋m ＋y 21m＝1，由题意知m>0，∴11＋m <1m ，∴a ＝mm ，∴椭圆的长轴长2a ＝2mm.8．已知椭圆C 的上，下顶点分别为B 1，B 2，左，右焦点分别为F 1，F 2，若四边形B 1F 1B 2F 2是正方形，则此椭圆的离心率e ＝________.答案22解析因为四边形B 1F 1B 2F 2是正方形，所以b ＝c ，所以a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，所以e ＝c a ＝22.9．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点1，12作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是____________．答案x 25＋y24＝1 解析∵x ＝1是圆x 2＋y 2＝1的一条切线．∴椭圆的右焦点为A(1,0)，即c ＝1.设P 1，12，则k OP ＝12，∵OP ⊥AB ，∴k AB ＝－2，则直线AB 的方程为y ＝－2(x －1)，它与y 轴的交点为(0,2)．∴b ＝2，a 2＝b 2＋c 2＝5，故椭圆的方程为x 25＋y24＝1. 10．设椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．考点椭圆的离心率问题题点求a ，b ，c 得离心率答案33解析由题意可设PF 2＝m ，结合条件可知PF 1＝2m ，F 1F 2＝3m ，故离心率e ＝c a ＝2c 2a＝F 1F 2PF 1＋PF 2＝3m 2m ＋m ＝33. 11．设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左，右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为________．答案3 4解析设直线x＝3a2与x轴交于点M，则∠PF2M＝60°，在Rt△PF2M中，PF2＝F1F2＝2c，F2M＝3a2－c，故cos60°＝F2MPF2＝3a2－c2c＝12，解得ca＝34，故离心率e＝34.二、解答题12．已知椭圆C1：x2100＋y264＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；(2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质．解(1)由椭圆C1：x2100＋y264＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6,0)，(－6,0)，离心率e＝3 5 .(2)椭圆C2：y2100＋x264＝1，性质：①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；②对称性：关于x轴、y轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)，焦点坐标(0,6)，(0，－6)；④离心率：e＝3 5 .13．分别求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)离心率是23，长轴长是6；(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为 6. 解(1)设椭圆的标准方程为x2 a2＋y2b2＝1 (a>b>0)或y2a2＋x2b2＝1 (a>b>0)．由已知得2a＝6，e＝ca＝23，∴a＝3，c＝2.∴b2＝a2－c2＝9－4＝5.∴椭圆的标准方程为x 29＋y 25＝1或x 25＋y 29＝1. (2)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a>b>0)．如图所示，△A 1FA 2为等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2上的中线(高)，且OF ＝c ，A 1A 2＝2b ，∴c ＝b ＝3，∴a 2＝b 2＋c 2＝18，故所求椭圆的标准方程为x 218＋y 29＝1. 三、探究与拓展14．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c>0)，过点E a 2c ，0的直线与椭圆相交于点A ，B 两点，且F 1A ∥F 2B ，F 1A ＝2F 2B ，则椭圆的离心率为________．答案33解析由F 1A ∥F 2B ，F 1A ＝2F 2B ，得EF 2EF 1＝F 2B F 1A ＝12，从而a 2c －c a 2c＋c ＝12，整理得a 2＝3c 2.故离心率e ＝c a ＝33. 15．已知椭圆E 的中心为坐标原点O ，两个焦点分别为A(－1，0)，B(1,0)，一个顶点为H (2,0)．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)对于x 轴上的点P(t,0)，椭圆E 上存在点M ，使得MP ⊥MH ，求实数t 的取值范围．解(1)由题意可得，c ＝1，a ＝2，∴b ＝ 3.∴所求椭圆E 的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)设M(x 0，y 0)(x 0≠±2)，则x 204＋y 203＝1.①MP →＝(t －x 0，－y 0)，MH →＝(2－x 0，－y 0)，由MP ⊥MH 可得MP →·MH →＝0，即(t －x 0)(2－x 0)＋y 20＝0.②由①②消去y 0，整理得t(2－x 0)＝－14x 20＋2x 0－3.∵x0≠2，∴t＝14x0－32.∵－2<x0<2，∴－2<t<－1.∴实数t的取值范围为(－2，－1)．。
高中数学(苏教版 选修2-1)第2章 圆锥曲线与方程 抛物线1
1．掌握抛物线的标准方程，会求抛物线的标准方程．(重点) 2．抛物线标准方程与定义的应用．(难点) 3．抛物线标准方程、准线、焦点的应用．(易错点)[基础·初探]教材整理 抛物线的标准方程阅读教材P 51例1以上的部分，完成下列问题.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)标准方程y 2＝2px (p ＞0)中的p 的几何意义是焦点到准线的距离．( ) (2)抛物线的焦点位置由一次项及一次项系数的正负决定．( ) (3)抛物线的方程都是二次函数．( )(4)抛物线的开口方向由一次项及一次项系数的正负决定．( ) 【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)√2．若抛物线的方程为x ＝2ay 2(a ＞0)，则焦点到准线的距离p ＝________.【导学号：09390039】【解析】 把抛物线方程化为标准形式：y 2＝12a x ，故p ＝14a .【答案】14a3．已知抛物线的焦点坐标是(0，－3)，则抛物线的标准方程是________． 【解析】 ∵p2＝3，∴p ＝6，∴x 2＝－12y .【答案】 x 2＝－12y[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型](1)准线方程是________．(2)若抛物线的方程为y ＝ax 2(a ≠0)，则抛物线的焦点坐标为________，准线方程为________． 【自主解答】 (1)抛物线2y 2－3x ＝0的标准方程是y 2＝32x ，∴2p ＝32，p ＝34，p 2＝38，焦点坐标是⎝⎛⎭⎫38，0，准线方程是x ＝－38. (2)抛物线方程y ＝ax 2(a ≠0)化为标准形式：x 2＝1ay ，当a >0时，则2p ＝1a ，解得p ＝12a ，p 2＝14a ，∴焦点坐标是⎝⎛⎭⎫0，14a ，准线方程是y ＝－14a . 当a <0时，则2p ＝－1a ，p 2＝－14a.∴焦点坐标是⎝⎛⎭⎫0，14a ，准线方程是y ＝－14a ， 综上，焦点坐标是⎝⎛⎭⎫0，14a ，准线方程是y ＝－14a . 【答案】 (1)⎝⎛⎭⎫38，0 x ＝－38 (2)⎝⎛⎭⎫0，14a y ＝－14a求抛物线的焦点及准线步骤1．把解析式化为抛物线标准方程形式． 2．明确抛物线开口方向． 3．求出抛物线标准方程中p 的值． 4．写出抛物线的焦点坐标或准线方程．[再练一题]1．求抛物线y ＝－mx 2(m >0)的焦点坐标和准线方程． 【解】 抛物线y ＝－mx 2(m >0)的标准方程是x 2＝－1my .∵m >0，∴2p ＝1m ，p 2＝14m ，焦点坐标是⎝⎛⎭⎫0，－14m ，准线方程是y ＝14m.(1)关于y 轴对称且过点(－1，－3)； (2)过点(4，－8)；(3)焦点在x －2y －4＝0上．【精彩点拨】 (1)用待定系数法求解；(2)因焦点位置不确定，需分类讨论求解；(3)焦点是直线x －2y －4＝0与坐标轴的交点，应先求交点再写方程．【自主解答】 (1)法一：设所求抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，将点(－1，－3)的坐标代入方程，得(－1)2＝－2p ·(－3)，解得p ＝16，所以所求抛物线方程为x 2＝－13y .法二：由已知，抛物线的焦点在y 轴上，因此设抛物线的方程为x 2＝my (m ≠0)．又抛物线过点()－1，－3，所以1＝m ·(－3)，即m ＝－13，所以所求抛物线方程为x 2＝－13y . (2)法一：设所求抛物线方程为y 2＝2px (p >0)或x 2＝－2p ′y (p ′>0)，将点(4，－8) 的坐标代入y 2＝2px ，得p ＝8；将点(4，－8)的坐标代入x 2＝－2p ′y ，得p ′＝1.所以所求抛物线方程为y 2＝16x 或x 2＝－2y .法二：当焦点在x 轴上时，设抛物线的方程为y 2＝nx (n ≠0)，又抛物线过点(4，－8)，所以64＝4·n ，即n ＝16，抛物线的方程为y 2＝16x ；当焦点在y 轴上时，设抛物线的方程为x 2＝my (m ≠0)，又抛物线过点(4，－8)，所以16＝－8m ，即m ＝－2，抛物线的方程为x 2＝－2y .综上，抛物线的标准方程为y 2＝16x 或x 2＝－2y .(3)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，x －2y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝－2，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝0，x －2y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x ＝4.所以所求抛物线的焦点坐标为(0，－2)或(4,0)．当焦点为(0，－2)时，由p2＝2，得p ＝4，所以所求抛物线方程为x 2＝－8y ；当焦点为(4,0)时，由p2＝4，得p ＝8，所以所求抛物线方程为y 2＝16x .综上所述，所求抛物线方程为x 2＝－8y 或y 2＝16x .求抛物线的标准方程求抛物线方程都是先定位，即根据题中条件确定抛物线的焦点位置；后定量，即求出方程中的p 值，从而求出方程．(1)定义法：先判定所求点的轨迹是否符合抛物线的定义，进而求出方程． (2)待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定参数值．①对于对称轴确定，开口方向也确定的抛物线，根据题设中的条件设出其标准方程：y 2＝2px (p >0)，或y 2＝－2px (p >0)，或x 2＝2py (p >0)，或x 2＝－2py (p >0)，进行求解，关键是能够依据抛物线的几何性质首先确定出抛物线方程的形式，然后采用待定系数法求出其标准方程．②对于对称轴确定，而开口方向不确定的抛物线： 当焦点在x 轴上时，可将抛物线方程设为y 2＝ax (a ≠0)；当焦点在y 轴上时，可将抛物线方程设为x 2＝ay (a ≠0)，再根据条件求a .[再练一题]2．以双曲线16x 2－9y 2＝144的左顶点为焦点的抛物线方程是________.【导学号：09390040】【解析】 双曲线16x 2－9y 2＝144的标准方程是x 29－y 216＝1，左顶点是(－3,0)，由题意设抛物线的方程为y 2＝－2px (p >0)， ∴－p2＝－3，∴p ＝6，抛物线的标准方程是y 2＝－12x .【答案】 y 2＝－12x(1)x ＝－1的距离之和的最小值．(2)已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3,2)，求P A ＋PF 的最小值，并求出取得最小值时点P 的坐标．【精彩点拨】 (1)把点P 到准线的距离转化为点P 到焦点F 的距离，利用PB ＋PF ≥BF 求解．(2)把点P 到焦点F 的距离转化为点P 到准线的距离，利用垂线段时最短求解．【自主解答】 (1)∵抛物线的顶点为O (0,0)，p ＝2，∴准线方程为x ＝－1，焦点F 坐标为(1,0)，∴点P 到点B (－1,1)的距离与点P 到准线x ＝－1的距离之和等于PB ＋PF .如图，PB ＋PF ≥BF ，当B ，P ，F 三点共线时取得最小值，此时BF ＝(－1－1)2＋(1－0)2＝ 5.(2)将x ＝3代入抛物线方程y 2＝2x ，得y ＝±6. ∵6>2，∴A 在抛物线内部．设抛物线上点P 到准线l ：x ＝－12的距离为d ，由定义知P A ＋PF ＝P A ＋d .由图可知，当AP ⊥l 时，P A＋d 最小，最小值为72，即P A ＋PF 的最小值为72，此时点P 的纵坐标为2，代入y 2＝2x ，得x ＝2，∴点P 的坐标为(2,2)．抛物线定义在求最值中的应用1．解此类最值、定值问题时，首先要注意抛物线定义的转化应用，其次是注意平面几何知识的应用，例如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等．2．数形结合思想是求解几何最值的常用方法之一．[再练一题]3．已知定长为3的线段AB 的端点A ，B 在抛物线y 2＝x 上移动，求AB 的中点M 到y 轴距离的最小值．【解】 如图，设点F 是抛物线y 2＝x 的焦点，过A ，B 两点分别作其准线的垂线AC ，BD ，过AB 的中点M 作准线的垂线MN ，C ，D ，N 为垂足，则MN ＝12(AC ＋BD )．由抛物线的定义，知AC ＝AF ，BD ＝BF ，∴MN ＝12(AF ＋BF )≥12AB ＝32.设点M 的横坐标为x ， MN ＝x ＋14，则x ≥32－14＝54.当线段AB 过焦点F 时，等号成立，此时点M 到y 轴的最短距离为54.[探究共研型]探究1 【提示】 对四种位置不同的抛物线和它们的标准方程进行对比、分析，其共同点有：(1)过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于顶点对称，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的14，即2p 4＝p2(p >0)；(4)焦点到准线的距离均为p .不同点：(1)对称轴为x 轴时，方程的右端为±2px ，左端为y 2；对称轴为y 轴时，方程的右端为±2py ，左端为x 2；(2)开口方向与x 轴(或y 轴)的正方向相同时，焦点在x 轴(或y 轴)的正半轴上，方程的右端取正号；开口方向与x 轴(或y 轴)的正方向相反时，焦点在x 轴(或y 轴)的负半轴上，方程的右端取负号．探究2 通过抛物线的标准方程，如何判断焦点位置及开口方向？【提示】 在抛物线的标准方程中，一次项起了关键作用．(1)如果一次项含有x ，则说明抛物线的焦点在x 轴上，系数为正，则焦点在正半轴上，开口向右；系数为负，则焦点在负半轴上，开口向左；(2)如果一次项含有y ，则说明抛物线的焦点在y 轴上，系数为正，则焦点在正半轴上，开口向上；系数为负，则焦点在负半轴上，开口向下．探究3 我们知道，二次函数y ＝ax 2的图象是抛物线，如何确定它的焦点和准线？【提示】 焦点在y 轴上的抛物线的标准方程为x 2＝2py ，通常又可以写成y ＝ax 2，这与以前所学习的二次函数的解析式是完全一致的，但需要注意的是，由方程y ＝ax 2来求其焦点和准线时，必须先化成标准形式．动点M (x ，y )到y 轴的距离比它到定点(2,0)的距离小2，求动点M (x ，y )的轨迹方程． 【精彩点拨】 设F (2,0)，由题意MF ＝|x |＋2，或根据点M ，F 在y 轴的同侧或异侧分类讨论． 【自主解答】 法一：设F (2,0)，由题意MF ＝|x |＋2，(x －2)2＋y 2＝|x |＋2，化简得y 2＝4x ＋4|x |＝⎩⎨⎧8x (x ≥0)，0(x <0).∴动点M 的轨迹方程是y ＝0(x <0)或y 2＝8x (x ≥0)．法二：(1)当x ≥0时，∵动点M (x ，y )到y 轴的距离比它到定点(2,0)的距离小2，∴动点M 到定点(2,0)的距离与到定直线x ＝－2的距离相等，∴动点M 的轨迹是以(2,0)为焦点，x ＝－2为准线的抛物线，且p ＝4， ∴抛物线的方程为y 2＝8x (x ≥0)．(2)当x <0时，由于x 轴上原点左侧的点到y 轴距离比它到(2,0)的距离小于2，∴动点M 的轨迹方程y ＝0(x <0)．综上，动点M 的轨迹方程为y ＝0(x <0)和y 2＝8x (x ≥0)．[构建·体系]1．设抛物线的顶点在原点，准线方程x ＝－2，则抛物线的方程是________．【解析】 由准线方程x ＝－2，顶点在原点，可得抛物线焦点为F (2,0)，p ＝4.故所求抛物线方程为y 2＝8x .【答案】 y 2＝8x2．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值是________.【导学号：09390041】【解析】 抛物线的标准方程为x 2＝1a y .则a ＜0且2＝－14a ，得a ＝－18.【答案】 －183．若抛物线y 2＝12p x 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为________．【解析】 椭圆的右焦点为(2,0)，故p ＝116.【答案】1164．已知点P (2，y )在抛物线y 2＝4x 上，则P 点到抛物线焦点F 的距离为________．【解析】 ∵点P (2，y )在抛物线y 2＝4x 上，∴点P 到焦点F 的距离等于点P 到准线x ＝－1的距离．∵点P 到准线x ＝－1的距离为3，∴点P 到焦点F 的距离为3.【答案】 35．已知抛物线的方程为y 2＝－8x . (1)求它的焦点坐标和准线方程；(2)若该抛物线上一点到y 轴的距离为5，求它到抛物线的焦点的距离； (3)该抛物线上的点M 到焦点的距离为4，求点M 的坐标．【解】(1)焦点坐标为(－2,0)，准线方程为x＝2.(2)设M(x0，y0)是抛物线y2＝－8x上一点，F是它的焦点，由抛物线定义知，|MF|＝x0＋p2＝5＋2＝7.∴它到抛物线焦点的距离为7.(3)∵M到焦点的距离为4，∴M到准线的距离为4，即M到y轴的距离为2，M的横坐标为－2.∴M的坐标为(－2，±4)．我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)。
高中数学(苏教版 选修2-1)第2章 圆锥曲线与方程 抛物线2
1．掌握抛物线的简单几何性质．(重点) 2．会用抛物线的几何性质处理简单问题．(难点) 3．直线与抛物线的公共点问题．(易错点)[基础·初探]教材整理1 抛物线的几何性质阅读教材P 52表格的部分，完成下列问题.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)抛物线是中心对称图形．( ) (2)抛物线的范围是x ∈R .( ) (3)抛物线是轴对称图形．( )(4)过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长是p .( )(5)抛物线x 2＝2py (p ＞0)上任意一点P (x 0，y 0)到其焦点的距离是x 0＋p2.( )【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× 2．抛物线y ＝2px 2(p >0)的开口方向是________．【解析】 法一：y ＝2px 2(p >0)可以看作是二次函数，2p >0，开口方向向上．法二：抛物线y ＝2px 2(p >0)的标准方程是x 2＝12p y ，12p >0，开口方向向上．【答案】 向上教材整理2 抛物线的焦点弦、通径阅读教材P 52例1上面的部分，完成下列问题．抛物线的焦点弦即为过焦点F 的直线与抛物线所成的相交弦．弦长公式为AB ＝x 1＋x 2＋p ，在所有的焦点弦中以垂直于对称轴的焦点弦弦长最短，A 0B 0＝2p ，称为抛物线的通径．1．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 做垂直于抛物线对称轴的直线，交抛物线于A ，B 两点，则线段AB 的长为________．【解析】 易知线段AB 为抛物线的通径，所以AB ＝4. 【答案】 42．如图2-4-2，过抛物线x 2＝－4y 的焦点作直线垂直于y 轴，交抛物线于A ，B 两点，O 为抛物线的顶点，则△OAB 的面积是________．图2-4-2【解析】 F (0，－1)，将y ＝－1代入得x A ＝2，∴AB ＝4， ∴S △OAB ＝12×4×1＝2.【答案】 2[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型](1)已知双曲线C 1：x a 2－y b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为________．(2)已知抛物线的焦点F 在x 轴正半轴上，直线l 过F 且垂直于x 轴，l 与抛物线交于A ，B 两点，O 是坐标原点，若△OAB 的面积等于4，则此抛物线的标准方程为________．【自主解答】 (1)∵双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，∴ca＝a 2＋b 2a＝2，∴b ＝3a ， ∴双曲线的渐近线方程为3x ±y ＝0，∴抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)的焦点⎝⎛⎭⎫0，p2到双曲线的渐近线的距离为⎪⎪⎪⎪3×0±p 22＝2，∴p ＝8.∴所求的抛物线方程为x 2＝16y .(2)不妨设抛物线的方程为y 2＝2px ，如图所示，AB 是抛物线的通径，∴AB ＝2p ，又OF ＝12p ，∴S △OAB＝12·AB ·OF ＝12·2p ·12p ＝12p 2＝4，故p ＝2 2.所以抛物线的方程为y 2＝42x . 【答案】 (1)x 2＝16y (2)y 2＝42x利用抛物线几何性质可以解决的问题1．对称性：解决抛物线的内接三角形问题． 2．焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题． 3．范围：解决与抛物线有关的最值问题． 4．焦点：解决焦点弦问题．[再练一题]1．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝kx (k ＞0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝__________________________________________.【解析】 ∵y 2＝4x ，∴F (1,0)．又∵曲线y ＝kx (k ＞0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，∴P (1,2)．将点P (1,2)的坐标代入y ＝kx (k ＞0)得k ＝2.【答案】 2求抛物线y 【导学号：09390044】【精彩点拨】 本题的解法有两种：法一，设P (t ，－t 2)为抛物线上一点，点P 到直线的距离为d ＝|4t －3t 2－8|5，再利用二次函数求最小距离；法二，设直线4x ＋3y ＋m ＝0与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线相切，求出m 的值后，再利用两平行线间的距离公式求最小距离．【自主解答】 法一：设P (t ，－t 2)为抛物线上的点， 它到直线4x ＋3y －8＝0的距离 d ＝|4t －3t 2－8|5＝|3t 2－4t ＋8|5＝15⎪⎪⎪⎪3⎝⎛⎭⎫t －232－43＋8 ＝15⎪⎪⎪⎪3⎝⎛⎭⎫t －232＋203 ＝35⎝⎛⎭⎫t －232＋43. ∴当t ＝23时，d 有最小值43.法二：如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行的抛物线的切线方程为4x ＋3y ＋m ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，4x ＋3y ＋m ＝0，消去y 得3x 2－4x －m ＝0， ∴Δ＝16＋12m ＝0，∴m ＝－43.∴最小距离为⎪⎪⎪⎪－8＋435＝2035＝43.抛物线中最值的求解策略1．可借助于抛物线的有关知识转化为函数的最值求解，但要注意抛物线的范围．2．当条件中有关于抛物线上的点P 到焦点F 的距离问题一定要考虑抛物线的定义，注意点P 到F 的距离与点P 到准线距离的转化．[再练一题]2．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是________．【解析】 因为抛物线的方程为y 2＝4x ，所以焦点坐标F (1,0)，准线方程为x ＝－1，所以设P 到准线的距离为PB ，则PB ＝PF ，P 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离为P A ，所以P A ＋PB ＝P A ＋PF ≥FD ，其中FD 为焦点到直线4x －3y ＋6＝0的距离，所以FD ＝|4－0＋6|32＋42＝105＝2，所以距离之和最小值是2.【答案】 2[探究共研型]探究1【提示】 (1)抛物线的几何性质和双曲线几何性质比较起来，差别较大，它的离心率为1，只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线，它没有对称中心．(2)抛物线与双曲线的一支，尽管它们都是不封闭的有开口的光滑曲线，但是它们的图象性质是完全不同的．事实上，从开口的变化规律来看，双曲线的开口是越来越阔，而抛物线开口越来越趋于扁平．探究2 如何认识抛物线的焦点弦？【提示】 如图，AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)过焦点F 的一条弦，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，相应的准线为l .(1)以AB 为直径的圆必与准线l 相切； (2)AB ＝2⎝⎛⎭⎫x 0＋p2(焦点弦长与中点关系)； (3)AB ＝x 1＋x 2＋p ；(4)若直线AB 的倾斜角为α，则AB ＝2psin 2 α； 如当α＝90°时，AB 叫抛物线的通径，是焦点弦中最短的；(5)A ，B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x 1·x 2＝p 24，y 1·y 2＝－p 2；(6)1AF ＋1BF ＝2p. 探究3 设抛物线上任意一点P (x 0，y 0)，焦点弦端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则四种标准形式下的焦半径PF 、焦点弦AB ，如何表示．【提示】已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，且AB ＝52p ，求AB 所在的直线方程．【精彩点拨】 求AB 所在直线的方程的关键是确定直线的斜率k ，利用直线AB 过焦点F ，AB ＝x 1＋x 2＋p ＝52p 求解．【自主解答】 由题意可知，抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，A ，B 到抛物线准线的距离分别为d A ，d B . 由抛物线的定义，知AF ＝d A ＝x 1＋p 2，BF ＝d B ＝x 2＋p2，于是AB ＝x 1＋x 2＋p ＝52p ，∴x 1＋x 2＝32p .当x 1＝x 2＝p 2时，AB ＝2p <52p ，故直线AB 与x 轴不垂直． 设直线AB 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，y 2＝2px ，得k 2x 2－p (k 2＋2)x ＋14k 2p 2＝0，∴x 1＋x 2＝p (k 2＋2)k 2，即p (k 2＋2)k 2＝32p ，解得k ＝±2.故直线AB 的方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －p 2或y ＝－2⎝⎛⎭⎫x －p2. [再练一题]3．斜率为1的直线经过抛物线y 2＝4x 的焦点，与抛物线相交于A ，B 两点，求线段AB 的长． 【解】 由题意知抛物线焦点为F (1,0)，k AB ＝1，所以AB 的方程为y ＝x －1，代入y 2＝4x 得(x －1)2＝4x ，即x 2－6x ＋1＝0，Δ＝32＞0，∴设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6，AB ＝AF ＋FB ＝x 1＋x 2＋2＝8，∴线段AB 的长为8.探究1 判断？【提示】 三种位置关系，相交——两个或一个交点；相切——一个交点；相离——没有公共点．当判断交点个数时，要注意二次项系数不为零时，才可使用判别式进行判断．探究2 设直线l ：y ＝kx ＋b ，抛物线y 2＝2px (p >0)，如何判断直线与抛物线的交点个数？【提示】 直线与抛物线交点的个数等价于方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y 2＝2px的解的个数，也等价于方程ky 2－2py＋2bp ＝0的解的个数．(1)若k ≠0，当Δ>0时，直线和抛物线相交，有两个公共点； 当Δ＝0时，直线和抛物线相切，有一个公共点； 当Δ<0时，直线和抛物线相离，无公共点．(2)若k ＝0，则直线l 与抛物线y 2＝2px (p >0)相交，有一个公共点．特别地，当直线l 的斜率不存在时，设直线l 的方程为x ＝m ，则当m >0时，l 与抛物线相交，有两个公共点；当m ＝0时，l 与抛物线相切，有一个公共点；当m <0时，l 与抛物线相离，无公共点．(3)直线与抛物线只有一个公共点并不一定表示直线与抛物线相切，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个公共点．求过定点P (0,1)且与抛物线y 2＝2x 只有一个公共点的直线方程．【精彩点拨】 当直线和抛物线只有一个公共点时，应该有两种情况：一是直线和抛物线相切；二是直线与抛物线的对称轴平行，容易忽略的是第二种情况，还有第一种情况中应考虑斜率不存在的情形．【自主解答】 若直线的斜率不存在，则过点P (0,1)的直线方程为x ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y 2＝2x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，∴直线x ＝0与抛物线只有一个公共点；若直线的斜率存在，则由题意，设直线的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝2x ，消去y 得k 2x 2＋2(k －1)x ＋1＝0.当k ＝0时，有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝1，即直线y ＝1与抛物线只有一个公共点；当k ≠0时，有Δ＝4(k －1)2－4k 2＝0，∴k ＝12，即方程为y ＝12x ＋1的直线与抛物线只有一个公共点．综上所述，所求直线的方程为x ＝0或y ＝1或y ＝12x ＋1.[再练一题]4．设直线y ＝2x ＋b 与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，已知弦AB 的长为35，则b ＝________. 【导学号：09390045】【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋b ，y 2＝4x ，消去y ，得4x 2＋4(b －1)x ＋b 2＝0.由Δ>0，得－2b ＋1>0，即b <12.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝1－b ，x 1x 2＝b 24，∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1－2b ，∴|AB |＝1＋22|x 1－x 2|＝5·1－2b ＝35，∴1－2b ＝9，即b ＝－4.【答案】 －4[构建·体系]1．经过抛物线y 2＝2px (p >0)的所有焦点弦中，弦长的最小值为________． 【解析】 通径长为2p . 【答案】 2p2．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线与抛物线相交于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝8，则PQ 的值为________. 【导学号：09390046】【解析】 PQ ＝x 1＋x 2＋2＝10. 【答案】 103．直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2＝4y 相切于点A ，则实数b 的值为________．【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＝4y ，得x 2－4x －4b ＝0，因为直线l 与抛物线C 相切，所以Δ＝(－4)2－4×(－4b )＝0，解得b ＝－1. 【答案】 －14．已知抛物线C ：y ＝14x 2，则过抛物线焦点F 且斜率为12的直线l 被抛物线截得的线段长为________．【解析】 由题意得l 的方程为y ＝12x ＋1，即x ＝2(y －1)．代入抛物线方程，得y ＝(y －1)2，即y 2－3y＋1＝0.设线段端点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则线段长度为y 1＋y 2＋p ＝5.【答案】 55．若抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，动点P 在曲线y 2＝－4x (y ≥0)上，求△P AB 的面积的最小值．【解】 由题意，得p ＝2，直线AB 过抛物线的焦点(1,0)，所以直线AB 的方程为y ＝x －1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y 2＝4x ，可得x 2－6x ＋1＝0，所以x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1，则AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(x 1－x 2)2＋(x 1－x 2)2＝2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝262－4＝8.设P ⎝⎛⎭⎫－y 204，y 0，则点P 到直线AB 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪y 204＋y 0＋12，∴△P AB 的面积S ＝12AB ·d ＝|y 20＋4y 0＋4|2＝(y 0＋2)22≥22，即△P AB 的面积的最小值是2 2.我还有这些不足：(1) (2)我的课下提升方案：(1)(2)11。
2019-2020学年高中数学(苏教版 选修2-1)教师用书：第2章 圆锥曲线与方程 2.1
2.1圆锥曲线1．了解椭圆、双曲线和抛物线的定义和几何图形．(重点)2．了解圆锥曲线特别是双曲线的形成过程．(难点))3．椭圆定义与双曲线定义的区别．(易混点[基础·初探]教材整理圆锥曲线阅读教材P27～P28例1以上内容，完成下列问题．1．用平面截圆锥面能得到的曲线图形是两条相交直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线．2．设P为相应曲线上任意一点，常数为2a(a>0).判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到两定点F1(－5,0)，F2(5,0)的距离之和为10的动点的轨迹是椭圆．( )(2)在双曲线定义中，若去掉“绝对值”，其轨迹不是双曲线．( )(3)在抛物线定义中，“F不在l上”可以省略．( )(4)在椭圆、双曲线、抛物线的定义中“平面内”这一条件都不能丢掉，否则动点的轨迹就是空间图形．( )【解析】(1)×.因为|F1F2|＝10，所以动点轨迹是线段F1F2，不是椭圆，故不正确．(2)√.双曲线定义中，若去掉“绝对值”，其轨迹是双曲线的一支，不是双曲线，故正确．(3)×.抛物线定义中，“F不在l上”不能省略，因为F在l上时，轨迹是一条直线，故不正确．(4)√.圆锥曲线是平面图形，因此是正确的．【答案】(1)×(2)√(3)×(4)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型](1)在△ABC A的轨迹；(2)已知F1，F2为椭圆的两焦点，直线AB过点F1，若椭圆上任一点P满足PF1＋PF2＝5，求△ABF2的周长．【精彩点拨】(1)利用正弦定理转化为边之间的关系，结合椭圆的定义求解；(2)利用椭圆的定义，把△ABF2的周长分解为点A和点B到焦点的距离之和．【自主解答】(1)∵sin B＋sin C＝2sin A，由正弦定理可得AC＋AB＝2BC＞BC，又∵B，C是两个定点，由椭圆的定义可知，点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆(除去与B，C所在同一直线的两个定点)．(2)由椭圆的定义可知，AF1＋AF2＝BF1＋BF2＝PF1＋PF2＝5，∴△ABF2的周长为AB＋AF2＋BF2＝(AF1＋AF2)＋(BF1＋BF2)＝5＋5＝10.椭圆定义的应用方法1．判定动点P的轨迹为椭圆，关键分析两点：(1)点P到两定点的距离之和是否为常数，(2)该常数是否大于两定点之间的距离．2．判定点的轨迹时，应注意对个别点进行检验，如本例(1)中，因为△ABC三顶点不共线，所以应去掉直线BC与椭圆的两个交点．3．若已知某点在椭圆上时，要应用椭圆的定义PF1＋PF2＝2a进行求解．[再练一题]1．命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和P A＋PB＝2a(a>0，a为常数)；命题乙：P点轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的________条件．【解析】根据椭圆的定义，应填必要不充分．【答案】必要不充分已知点P(x P的轨迹是什么图形？(1)|错误!－错误!|＝6；(2)错误!－错误!＝6.【精彩点拨】把代数方程转化为几何问题解决，严格扣准双曲线的定义．【自主解答】(1)∵|错误!－错误!|表示点P(x，y)到两定点F1(－5,0)，F2(5,0)的距离之差的绝对值，|F1F2|＝10，∴||PF1|－|PF2||＝6<|F1F2|，故点P的轨迹是双曲线．(2)∵错误!－错误!表示点P(x，y)到两定点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离之差，|F1F2|＝8，∴|PF1|－|PF2|＝6<|F1F2|，故点P的轨迹是双曲线的右支．在双曲线的定义中，注意三个关键点：①在平面内；②差的绝对值；③定值且定值小于两定点间距.在这三个条件中，缺少一个条件，其动点轨迹也不是双曲线.[再练一题]2．已知A (0，－5)，B (0,5)，若|P A |－|PB |＝6，则P 点的轨迹为________，若|P A |－|PB |＝10，则P 点的轨迹为________. 【导学号：09390018】【解析】 ∵|P A |－|PB |＝6<10时， ∴P 的轨迹为双曲线的一支． 又∵|P A |－|PB |＝10且|AB |＝10，∴P 的轨迹为射线，是以B 为端点向上的一条射线． 【答案】 双曲线的一支 一条射线【精彩点拨】 把条件式化为点M 到点(1,2)与点M 到直线3x ＋4y ＋1＝0的距离相等，利用抛物线的定义求解．【自主解答】 选定直线l ：3x ＋4y ＋1＝0，定点F (1,2)，则M 到l 的距离为d ＝|3x ＋4y ＋1|5，MF ＝错误!.由题意知d ＝MF ，且F ∉l ，由抛物线定义知，M 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线．抛物线定义的应用方法1．涉及点线距、两点间距离的轨迹问题，要充分联想抛物线的定义，判别动点的轨迹． 2．应用抛物线的定义判定动点的轨迹，关键是看动点到定点与到定直线的距离是否相等，并且注意定点不在定直线上．3．若已知某点在抛物线上，则该点到抛物线焦点的距离与该点到抛物线准线的距离相等．[再练一题]3．点P 到点F (4,0)的距离比它到直线l ：x ＝－6的距离小2，则点P 的轨迹为________．【解析】由题意可知，点P到F(4,0)的距离与到直线x＝－4的距离相等．根据抛物线的定义知，点P的轨迹为抛物线．【答案】抛物线[探究共研型]探究1已知F1(－2,0)，F2(2,0)，若PF1＋PF2＝6时，点P的轨迹是什么？若|PF1－PF2|＝2时，点P的轨迹是什么？【提示】若PF1＋PF2＝6>4，则P的轨迹为椭圆；若|PF1－PF2|＝2<4，则P的轨迹为双曲线．理解椭圆关注几个词：“和”“定值”“大于焦距”；理解双曲线关注几个词：“差”“绝对值”“定值”“小于焦距”．探究2抛物线的定义应注意什么？定点为F(2,0)，定直线为x＝－2时，动点P到F的距离与到直线x＝－2的距离相等，动点P的轨迹是什么？【提示】在抛物线定义中，要特别注意：①在平面内；②到定点距离等于到定直线距离；③定点不在定直线上．因为(2,0)不在直线x＝－2上，所以点P的轨迹为抛物线．已知圆C1：(x＋2)2＋y2＝1和圆C2：(x－2)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹．【精彩点拨】根据M到C1，C2的距离的关系，扣住圆锥曲线的定义．【自主解答】由已知得，圆C1的圆心C1(－2,0)，半径r1＝1，圆C2的圆心C2(2,0)，半径r2＝3.设动圆M的半径为r，因为动圆M与圆C1相外切，所以MC1＝r＋1.①又因为动圆M与圆C2相外切，所以MC2＝r＋3.②②－①得MC2－MC1＝2，且2<C1C2＝4.所以动圆圆心M的轨迹为双曲线的左支，且除去点(－1,0)．设动圆半径为r，利用动圆M同时与圆C1及圆C2相外切得两个等式，相减后消去r，得到点M的关系式.注意到MC2－MC1＝2中没有绝对值，所以轨迹是双曲线的一支，又因为圆C1与圆C2相切于点(－1，0)，所以M的轨迹不过点(－1，0).[再练一题]4．已知圆A ：(x ＋3)2＋y 2＝100，圆A 内有一定点B (3,0)，动圆M 过B 点且与圆A 内切，求证：圆心M 的轨迹是椭圆. 【导学号：09390019】【证明】 设MB ＝r .∵圆M 与圆A 内切，圆A 的半径为10， ∴两圆的圆心距MA ＝10－r ， 即MA ＋MB ＝10(大于AB )，∴圆心M 的轨迹是以A ，B 两点为焦点的椭圆．[构建·体系]1．已知F 1(－2,0)，F 2(2,0)，动点P 满足PF 1＋PF 2＝6，则点P 的轨迹是________． 【解析】 ∵PF 1＋PF 2＝6＞F 1F 2，∴点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的椭圆． 【答案】 以F 1，F 2为焦点的椭圆2．已知抛物线上一点P 到焦点F 的距离为32，则点P 到抛物线准线的距离为________． 【解析】 根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离与它到准线的距离相等，故点P 到准线的距离为32.【答案】 323．以F 1，F 2为焦点作椭圆，椭圆上一点P 1到F 1，F 2的距离之和为10，椭圆上另一点P 2满足P 2F 1＝P 2F 2，则P 2F 1＝________.【解析】 由椭圆的定义可知P 2F 1＋P 2F 2＝10. 又∵P 2F 1＝P 2F 2，∴P 2F 1＝5. 【答案】 54．已知M (－2,0)，N (2,0)，PM －PN ＝3，则动点P 的轨迹为________． 【解析】 ∵MN ＝4，PM －PN ＝3<4， ∴动点P 的轨迹为双曲线的右支．【答案】双曲线的右支5．动点P(x，y)的坐标满足错误!－错误!＝4，试确定点P的轨迹．【解】错误!的几何意义是点P到定点A(5,0)的距离，错误!的几何意义是点P到定点B(－5,0)的距离，因此原式可化为P A－PB＝4＜AB＝10，故点P的轨迹是以A，B为焦点靠近点B 的双曲线的一支．我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)。
2019-2020学年选修2-1苏教版：第2章圆锥曲线与方程2.6.1Word版含答案
2019-2020学年苏教版数学精品资料§2.6曲线与方程2.6.1曲线与方程学习目标 1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.2.初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.3.学会分析、判断曲线与方程的关系，强化“形”与“数”的统一以及相互转化的思想方法．知识点曲线与方程的概念思考到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么？为什么？答案y＝±x.在直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点M的坐标(x0，y0)满足y0＝x0或y0＝－x0，即(x0，y0)是方程y＝±x的解；反之，如果(x0，y0)是方程y＝x或y＝－x的解，那么以(x0，y0)为坐标的点到两坐标轴距离相等．梳理如果曲线C上点的坐标(x，y)都是方程f(x，y)＝0的解(条件①，即纯粹性)，且以方程f(x，y)＝0的解(x，y)为坐标的点都在曲线C上(条件②，即完备性)，那么，方程f(x，y)＝0叫做曲线C的方程，曲线C叫做方程f(x，y)＝0的曲线．特别提醒：(1)曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，是从不同角度出发的两种说法．曲线C的点集和方程f(x，y)＝0的解集之间是一一对应的关系，曲线的性质可以反映在它的方程上，方程的性质又可以反映在曲线上．定义中的条件①说明曲线上的所有点都适合这个方程；条件②说明适合方程的点都在曲线上而毫无遗漏．(2)曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系，通过曲线上的点与实数对(x，y)建立了一一对应关系，使方程成为曲线的代数表示，通过研究方程的性质可间接地研究曲线的性质．1．过点A(3,0)且垂直于x轴的直线的方程为x＝3.(√)2．到y轴距离为2的点的直线方程x＝－2.(×)3．方程xy－2＝1表示斜率为1，在y轴上的截距是2的直线．(×)类型一曲线与方程的概念例1命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，下列命题中正确的是________．(填序号)①方程f(x，y)＝0的曲线是C；②方程f(x，y)＝0的曲线不一定是C；③f(x，y)＝0是曲线C的方程；④以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上．答案②解析不论方程f(x，y)＝0是曲线C的方程，还是曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线，都必须同时满足两层含义：曲线上的点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在曲线上，所以①，③，④错误．反思与感悟解决“曲线”与“方程”的判定这类问题(即判定方程是不是曲线的方程或判定曲线是不是方程的曲线)，只要一一检验定义中的“两性”是否都满足，并作出相应的回答即可．判断点是否在曲线上，就是判断点的坐标是否适合曲线的方程．跟踪训练1设方程f(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，给出下列命题：①坐标满足方程f(x，y)＝0的点都不在曲线C上；②曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x，y)＝0；③坐标满足方程f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上；④一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0.其中判断正确的是________．(填序号)答案④解析“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”不正确，即“坐标满足方程f(x，y)＝0的点不都在曲线C上”是正确的．“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故①③错，②显然错．类型二点与曲线的位置关系例2方程(x－4y－12)[(－3)＋log2(x＋2y)]＝0表示的曲线经过点A(0，－3)，B(0,4)，C 53，－74，D(8,0)中的________个．答案 2解析由对数的真数大于0，得x＋2y＞0，∴A(0，－3)，C 53，－74不符合要求；将B(0,4)代入方程检验，符合要求；将D(8,0)代入方程检验，符合要求．反思与感悟点与实数解建立了如下关系：C上的点(x0，y0)??f(x，y)＝0的解，曲线上的点的坐标都是这个方程的解，因此要判断点是否在曲线上只需验证该点是否满足方程即可．跟踪训练2证明圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程是x2＋y2＝25，并判断点M1(3，－4)，M2(－25，2)是否在这个圆上．解(1)设M(x0，y0)是圆上任意一点，因为点M到原点的距离等于5，所以x20＋y20＝5，也就是x20＋y20＝25，即(x0，y0)是方程x2＋y2＝25的解．(2)设(x0，y0)是方程x2＋y2＝25的解，那么x20＋y20＝25，两边开方取算术平方根，得x20＋y20＝5，即点M(x0，y0)到原点的距离等于5，点M(x0，y0)是这个圆上的点．由(1)，(2)可知，x2＋y2＝25是圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程．把点M1(3，－4)的坐标代入方程x2＋y2＝25，左右两边相等，(3，－4)是方程的解，所以点M1在这个圆上；把点M2(－25，2)的坐标代入方程x2＋y2＝25，左右两边不等，(－25，2)不是方程的解，所以点M2不在这个圆上．类型三曲线与方程关系的应用例3判断下列结论的正误，并说明理由．(1)到x轴距离为4的点的直线方程为y＝－4；(2)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为xy＝1；(3)△ABC的顶点A(0，－3)，B(1,0)，C(－1,0)，D为BC的中点，则中线AD的方程为x＝0.解(1)因到x轴距离为4的点的直线方程还有一个y＝4，即不具备完备性．所以结论错误．(2)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为|x|·|y|＝1，即xy＝±1.所以所给问题不具备完备性．所以结论错误．(3)中线AD是一条线段，而不是直线，应为x＝0(－3≤y≤0)，所以所给问题不具备纯粹性．所以结论错误．反思与感悟判断曲线与方程关系问题时，可以利用曲线与方程的定义；也可利用互为逆否关系的命题的真假性一致判断．跟踪训练3若曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)(a∈R)，求k的取值范围．解∵曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)，∴a2＋a2＋2a＋k＝0.∴k＝－2a2－2a＝－2a＋122＋12.∴k≤1 2，∴k的取值范围是－∞，12.1．已知坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上，那么下列说法正确的是________．(填序号)①曲线C上的点的坐标都适合方程f(x，y)＝0；②凡坐标不适合f(x，y)＝0的点都不在曲线C上；③不在曲线C上的点的坐标必不适合f(x，y)＝0；④不在曲线C上的点的坐标有些适合f(x，y)＝0，有些不适合f(x，y)＝0.答案③2．已知方程9x－12＋y24＝1，下列所给的点在此方程表示的曲线上的为________．(填序号)①(－2,0)②(1,2)③(4,0)④(3,1)答案①③解析将点(－2,0)和(4,0)代入方程后成立，而②，④代入后方程不成立，故只有①③符合题意．3．若点M m2，－m在方程x2＋(y－1)2＝10所表示的曲线上，则实数m＝________.答案－185或2解析依题意得m22＋(－m－1)2＝10，解得m＝2或m＝－18 5.所以m的值为2或－18 5.4．方程4x2－y2＋6x－3y＝0表示的图形为________．答案两条相交直线解析原方程可化为(2x－y)(2x＋y＋3)＝0，即2x－y＝0或2x＋y＋3＝0，∴原方程表示直线2x－y＝0和直线2x＋y＋3＝0. 5．方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是________．答案4个点解析由题意，得x2－4＝0，y2－4＝0，∴x＝2，y＝2或x＝－2，y＝2或x＝2，y＝－2或x＝－2，y＝－2，∴方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是4个点．1．判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程．若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上．2．已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题．一、填空题1．方程y＝3x－2 (x≥1)表示的曲线为________．(填序号)①一条直线②一条射线③一条线段④不能确定答案②解析方程y＝3x－2表示的曲线是一条直线，当x≥1时，它表示一条射线．2．曲线C的方程为y＝2x－1(1<x<5)，则下列四个点中在曲线C上的是________．(填序号) ①(0,0)②(7,15)③(2,3)④(4,4)答案③解析由y＝2x－1(1<x<5)得①，②的横坐标不满足题意，④中坐标代入后不满足方程，故只有③符合题意．3．方程|x|＋|y|＝1表示的曲线所围成的平面图形的面积为________．答案 2解析由题得该曲线所围成平面图形如下图所示，故其面积为 2.4．下列方程对应的曲线是同一条曲线的是________．(填序号)①y＝alog a x；②y＝x2；③y＝log a a x；④y＝3x3.答案③④解析由y＝log a a x＝x，y＝3x3＝x，得③④表示同一条曲线．5．方程(x－1)2＋y－2＝0表示的是____________．答案点(1,2)解析由(x－1)2＋y－2＝0，知(x－1)2＝0，且y－2＝0，即x＝1且y＝2，所以(x－1)2＋y－2＝0表示的是点(1,2)．6．若点M到两坐标轴的距离的积为2016，则点M的轨迹方程是________．答案xy＝±2016解析设M(x，y)，则由题意得|x|·|y|＝2016，所以xy＝±2016.7．直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，则“k≠0”是“直线l与抛物线C有两个不同交点”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 答案必要不充分解析由(kx＋1)2＝4x，得k2x2＋2(k－2)x＋1＝0，则当k≠0时，Δ＝[2(k－2)]2－4k2＝16(1－k)>0，得k<1且k≠0，故“k≠0”是“直线l与抛物线C有两个不同交点”的必要不充分条件．8．若直线kx－y＋3＝0与椭圆x216＋y24＝1有一个公共点，则k的值为________．答案±5 4解析联立方程组y＝kx＋3，x216＋y24＝1，消去y并整理，得(4k2＋1)x2＋24kx＋20＝0，当Δ＝16(16k2－5)＝0，即k＝±54时，直线与椭圆有一个公共点．9．如果曲线C上的点满足方程F(x，y)＝0，有以下说法：①曲线C的方程是F(x，y)＝0；②方程F(x，y)＝0的曲线是C；③坐标满足方程F(x，y)＝0的点在曲线C上；④坐标不满足方程F(x，y)＝0的点不在曲线C上．其中正确的是________．(填序号)答案④10．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，若动点P满足P A＝2PB，则点P的轨迹所围的面积为________．答案4π解析设P(x，y)，∵P A＝2PB，∴(x＋2)2＋y2＝4(x－1)2＋4y2，∴(x－2)2＋y2＝4.∴点P的轨迹为以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，∴所围成的面积S＝π·２2＝4π．11．下列命题正确的是________．(填序号)①△ABC的顶点坐标分别为A(0,3)，B(－2,0)，C(2,0)，则中线AO的方程是x＝0；②到x轴距离为5的点的轨迹方程是y＝5；③曲线2x2－3y2－2x＋m＝0通过原点的充要条件是m＝0.答案③解析对照曲线和方程的概念，①中“中线AO的方程是x＝0 (0≤y≤3)”；而②中，动点的轨迹方程为|y|＝5.从而只有③是正确的．二、解答题12．已知曲线C的方程为x＝4－y2，说明曲线C是什么样的曲线，并求该曲线与y轴围成的图形的面积．解由x＝4－y2，得x2＋y2＝4.又x≥0，∴方程x＝4－y2表示的曲线是以原点为圆心，2为半径的右半圆，从而该曲线C与y轴围成的图形是半圆，其面积S＝12π·4＝2π．所以所求图形的面积为2π．13．已知两曲线f(x，y)＝0与g(x，y)＝0的一个交点为P(x0，y0)．求证：点P在曲线f(x，y)＋λｇ(x，y)＝0(λ∈R)上．证明因为P(x0，y0)是两曲线的交点，所以点P的坐标既满足方程f(x，y)＝0，又满足方程g(x，y)＝0，即f(x0，y0)＝0且g(x0，y0)＝0，故f(x0，y0)＋λｇ(x0，y0)＝0，所以P(x0，y0)的坐标是方程f(x，y)＋λｇ(x，y)＝0的解，故点P在曲线f(x，y)＋λｇ(x，y)＝0(λ∈R)上．三、探究与拓展14．已知方程①x－y＝0；②x－y＝0；③x2－y2＝0；④xy＝1，其中能表示直角坐标系的第一、三象限的角平分线C的方程的序号是________．答案①解析①是正确的；②不正确，如点(－1，－1)在第三象限的角平分线上，但其坐标不满足方程x－y＝0；③不正确．如点(－1,1)满足方程x2－y2＝0，但它不在曲线C上；④不正确．如点(0,0)在曲线C上，但其坐标不满足方程xy＝1.15．方程(2x＋3y－5)(x－3－1)＝0表示的曲线是什么？解因为(2x＋3y－5)(x－3－1)＝0，所以可得2x＋3y－5＝0，x－3≥0，或者x－3－1＝0，即2x＋3y－5＝0(x≥3)或者x＝4，故方程表示的曲线为一条射线2x＋3y－5＝0(x≥3)和一条直线x＝4.。
2019-2020学年选修2-1苏教版：第2章圆锥曲线与方程2.4.1Word版含答案
2019-2020学年苏教版数学精品资料§2.4抛物线2.4.1抛物线的标准方程学习目标 1.掌握抛物线的标准方程.2.明确抛物线标准方程中p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题．知识点抛物线的标准方程思考抛物线的标准方程有何特点？答案(1)对称轴为坐标轴；(2)p为大于0的常数，其几何意义表示焦点到准线的距离；(3)准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称；(4)焦点、准线到原点的距离都等于p 2 .梳理由于抛物线焦点位置不同，方程也就不同，故抛物线的标准方程有以下几种形式：y2＝2px(p>0)，y2＝－2px(p>0)，x2＝2py(p>0)，x2＝－2py(p>0)．现将这四种抛物线对应的图形、标准方程、焦点坐标及准线方程列表如下：图形标准方程焦点坐标准线方程y2＝2px(p>0)p2，0x＝－p2y2＝－2px(p>0)－p2，0x＝p2x2＝2py(p>0)0，p2y＝－p2x2＝－2py(p>0)0，－p2y＝p21．抛物线的方程都是y关于x的二次函数．(×)2．方程x2＝2py(p＞0)表示开口向上的抛物线．(√)3．抛物线的焦点到准线的距离为p.(√)4．抛物线的开口方向由一次项确定．(√)类型一由抛物线的标准方程求焦点坐标和准线方程例1已知抛物线的方程y＝ax2(a≠0)，求它的焦点坐标和准线方程．解将抛物线方程化为标准方程x2＝1ay(a≠0)，则抛物线焦点在y轴上，(1)当a＞0时，p＝12a，∴焦点坐标F0，14a，准线方程y＝－1 4a.(2)当a＜0时，p＝－12a，∴焦点坐标F0，14a，准线方程y＝－14a，综合(1)(2)知抛物线y＝ax2(a≠0)的焦点坐标是F0，14a，准线方程是y＝－14a.反思与感悟根据抛物线的方程求焦点坐标和准线方程时，应首先把方程化为标准形式，再分清抛物线是四种中的哪一种，然后写出焦点及准线方程．跟踪训练1(1)若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝________；准线方程为________．答案2x＝－1解析因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以p2＝1，p＝2，准线方程为x＝－p2＝－1.(2)求下列抛物线的焦点坐标和准线方程．①y2＝40x；②4x2＝y；③3y2＝5x；④6y2＋11x＝0. 解①焦点坐标为(10,0)，准线方程为x＝－10.②由4x2＝y得x2＝14 y.∵2p＝14，∴p＝18.∴焦点坐标为0，116，准线方程为y＝－116.③由3y2＝5x，得y2＝53x.∵2p＝53，∴p＝56.∴焦点坐标为512，0，准线方程为x＝－512.④由6y2＋11x＝0，得y2＝－116x，故焦点坐标为－1124，0，准线方程为x＝1124.类型二求解抛物线的标准方程例2根据下列条件分别求抛物线的标准方程．(1)抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；(2)抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，AF＝5.解(1)双曲线方程可化为x29－y216＝1，左顶点为(－3,0)，由题意设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)且－p2＝－3，∴p＝6，∴抛物线的方程为y2＝－12x.(2)设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y2＝2px(p≠0)，A(m，－3)，由抛物线定义得5＝AF＝m＋p 2.又(－3)2＝2pm，∴p＝±1或p＝±9，故所求抛物线方程为y2＝±2x或y2＝±18x.反思与感悟抛物线标准方程的求法(1)定义法：建立适当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出方程，进行化简，根据定义求出p，最后写出标准方程．(2)待定系数法：由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定p的值．跟踪训练2已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值，并写出抛物线的焦点坐标和准线方程．解设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，则焦点F－p2，0，由题意，得m2＝6p，m2＋－3＋p22＝5，解得p＝4，m＝26或p＝4，m＝－2 6.故所求的抛物线方程为y2＝－8x，m＝±2 6.抛物线的焦点坐标为(－2,0)，准线方程为x＝2.类型三抛物线在实际生活中的应用例3河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5m时，水面宽为8m，一小船宽4m，高2m，载货后船露出水面上的部分高34m，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？解如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系．设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，由题意可知，点B(4，－5)在抛物线上，故p＝85，得x2＝－165y.当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA′，则A(2，y A)，由22＝－165y A，得y A＝－54.又知船面露出水面上的部分高为34m，所以h＝|y A|＋34＝2(m)．所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2m时，小船开始不能通航．反思与感悟涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解．跟踪训练3喷灌的喷头装在直立管柱OA的顶点A处，喷出水流的最高点B高5m，且与OA所在的直线相距4m，水流落在以O为圆心，半径为9m的圆上，则管柱OA的长是多少？解如图所示，以点B为坐标原点，过点B与地面平行的直线为x轴，建立直角坐标系，设水流所形成的抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，因为点C(5，－5)在抛物线上，所以25＝－2p·(－5)，因此2p＝5，所以抛物线的方程为x2＝－5y，点A(－4，y0)在抛物线上，所以16＝－5y0，即y0＝－165，所以OA的长为5－165＝1.8(m)．所以管柱OA的长为 1.8m.1．已知抛物线的准线方程为x＝7，则抛物线的标准方程为________．答案y2＝－28x解析可设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，由准线方程为x＝7知，p2＝7，即p＝14.故抛物线的标准方程为y2＝－28x.2．已知点(－2,3)与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的距离是5，则p的值为________．答案 4解析焦点的坐标为p2，0，由两点间的距离公式得－2－p22＋32＝5?p＝4.3．若抛物线y2＝2px(p>0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p＝________.答案 2解析因为抛物线上的动点到焦点的距离为动点到准线的距离，所以抛物线上的动点到焦点的最短距离为顶点到准线的距离，即p2＝1，p＝2.4．若抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝________. 答案2 2解析抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程是x＝－p 2，因为抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点F1(－2，0)，所以－p2＝－2，解得p＝2 2.5．已知M为抛物线y2＝4x上一动点，F为抛物线的焦点，定点N(2,3)，则MN＋MF的最小值为________．答案10解析将x＝2代入抛物线方程，得y＝±2 2.∵3>22，∴点N在抛物线的外部．MN＋MF≥NF，而F(1,0)，则NF＝2－12＋32＝10，∴MN＋MF≥10，当N，M，F三点共线时有最小值，最小值为10.1．焦点在x轴上的抛物线，其标准方程可以统设为y2＝mx(m≠0)，此时焦点为F m4，0，准线方程为x＝－m4；焦点在y轴上的抛物线，其标准方程可以统设为x2＝my(m≠0)，此时焦点为F0，m4，准线方程为y＝－m4.2．设M是抛物线上一点，焦点为F，则线段MF叫做抛物线的焦半径．若M(x0，y0)在抛物线y2＝2px(p>0)上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径MF＝x0＋p2.一、填空题1．抛物线y＝14x2的准线方程是________．答案y＝－1解析由y＝14x2，得x2＝4y，则抛物线的焦点在y轴正半轴上，且2p＝4，即p＝2，因此准线方程为y＝－p 2＝－1.2．以坐标原点为顶点，(－1,0)为焦点的抛物线的方程为____________________．答案y2＝－4x解析由题意可设抛物线的方程为y2＝－2px(p>0)，则有－p2＝－1，得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝－4x.3．经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程为________．答案y2＝x或x2＝－8y解析设所求抛物线的标准方程为y2＝2mx(m≠0)或x2＝2ny(n≠0)，代入点P(4，－2)，解得m＝12或n＝－4，所以所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－8y.4．以双曲线x216－y29＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为________．答案y2＝16x解析∵双曲线的方程为x216－y29＝1，∴右顶点为(4,0)．设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，则p2＝4，即p＝8，∴抛物线的标准方程为y2＝16x.5．已知抛物线C1：y＝2x2与抛物线C2关于直线y＝x对称，则C2的准线方程是________．答案x＝－1 8解析y＝2x2关于y＝x对称的曲线为抛物线y2＝12x，其准线方程为x＝－18.6．已知一个圆的圆心C在抛物线y2＝4x上，并且与x轴、抛物线的准线都相切，则此圆的半径为________．答案 2解析设圆心C(x0，y0)，则y20＝4x0，①依题意得，半径r＝|y0|＝|x0＋1|，②由①②得x0＝1，故圆的半径r＝2.7．顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是________．答案x2＝±12y解析因为顶点与焦点距离等于3，∴2p＝12，又∵对称轴是y轴，∴抛物线的方程为x2＝±12y.8．抛物线方程为7x＋4y2＝0，则焦点坐标为________．答案－716，0解析方程化为y 2＝－74x ，抛物线开口向左，2p ＝74，p 2＝716，故焦点坐标为－716，0. 9．设抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，点A(0,2)．若线段FA 的中点B 在抛物线上，则点B到该抛物线准线的距离为________．答案324解析如图所示，由已知，得点B 的纵坐标为1，横坐标为p 4，即B p 4，1.将其代入y 2＝2px ，得1＝2p ×p 4，解得p ＝2，故点B 到准线的距离为p 2＋p 4＝34p ＝324.10．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 为抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A 的坐标为________．答案(1,2)或(1，－2)解析设A(x 0，y 0)，F(1,0)，OA →＝(x 0，y 0)，AF →＝(1－x 0，－y 0)，OA →·AF →＝x 0(1－x 0)－y 20＝－4. ∵y 20＝4x 0，∴x 0－x 20－4x 0＋4＝0，即x 20＋3x 0－4＝0，x 0＝1或x 0＝－4(舍)．∴x 0＝1，y 0＝±2.则点A 的坐标为(1,2)或(1，－2)．11．若点P 在抛物线y 2＝x 上，点Q 在圆(x －3)2＋y 2＝1上，则PQ 的最小值是________．答案112－1 解析设圆(x －3)2＋y 2＝1的圆心为O ′(3,0)，要求PQ 的最小值，只需求PO ′的最小值．设点P 坐标为(y 20，y 0)，则PO ′＝y 20－32＋y 20＝y40－5y 20＋9＝y 20－522＋114，∴PO ′的最小值为112，从而PQ 的最小值为112－1.二、解答题12．已知抛物线的顶点在原点，它的准线过x2a2－y2b2＝1的一个焦点，而且与x轴垂直．又抛物线与此双曲线交于点32，6，求抛物线和双曲线的方程．解因为交点在第一象限，抛物线的顶点在原点，其准线垂直于x轴，所以可设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，将点32，6代入方程得p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x.准线方程为x＝－1，由此可知双曲线方程中c＝1，焦点为(－1,0)，(1,0)，点32，6到两焦点距离之差2a＝1，所以双曲线的标准方程为x214－y234＝1.13．已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A，B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，且AF＋BF＝8，线段AB的垂直平分线恒经过点Q(6,0)，求抛物线的方程．解设抛物线的方程为y2＝2px(p>0), 则其准线方程为x＝－p2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵AF＋BF＝8，∴x1＋p2＋x2＋p2＝8，即x1＋x2＝8－p.∵Q(6,0)在线段AB的中垂线上，∴QA＝QB，即6－x12＋－y12＝6－x22＋－y22，又y21＝2px1，y22＝2px2，∴(x1－x2)(x1＋x2－12＋2p)＝0.∵AB与x轴不垂直，∴x1≠x2.故x1＋x2－12＋2p＝8－p－12＋2p＝0，即p＝4.从而抛物线方程为y2＝8x.三、探究与拓展14．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，AF＋BF＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为________．答案5 4解析设A(x A，y A)，B(x B，y B)，∵AF＋BF＝x A＋x B＋12＝3，∴x A＋x B＝5 2 .∴线段AB的中点到y轴的距离为x A＋x B2＝54.15．设点P是抛物线y2＝4x上的一个动点．(1)求点P到A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；(2)若B(3,2)，求PB＋PF的最小值．解(1)如图，抛物线的焦点为F(1,0)，准线为x＝－1，由抛物线的定义知点P到直线x＝－1的距离等于点P到焦点F的距离．于是，问题转化为在曲线上求一点P，使点P到点A(－1，1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小．显然，连结AF交曲线于点P，故最小值为22＋12＝ 5.(2)如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，此时，P1Q＝P1F，那么PB＋PF≥P1B＋P1Q＝BQ＝4，即最小值为 4.。
2019-2020学年高中数学(苏教版 选修2-1)教师用书：第2章 圆锥曲线与方程 2.2.2
2.2.2椭圆的几何性质1．掌握椭圆的简单几何性质．(重点)2．掌握椭圆的离心率的求法，领会离心率是刻画椭圆“扁圆程度”的量．(难点) 3．会用椭圆及性质处理一些实际问题．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1椭圆的简单几何性质阅读教材P34，完成下列问题.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的长轴长等于a.( )(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c.( )(3)椭圆的长轴，短轴就是x轴和y轴．( )(4)椭圆x22＋y2＝1中，变量x的范围是[－2,2]．( )【解析】(1)x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的长轴长等于2a，故错误；(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c，最大值为a＋c，故正确；(3)椭圆的长轴和短轴是线段，而不是直线，故错误；(4)椭圆x22＋y2＝1中，a＝2，故x的范围是[－2，2]，故错误．【答案】(1)×(2)√(3)×(4)×教材整理2离心率阅读教材P34～P35例1以上部分，完成下列问题．1．定义：焦距与长轴长的比ca叫做椭圆的离心率．2．范围：e＝ca∈(0,1)．3．作用：当椭圆的离心率越接近于1时，则椭圆越扁；当椭圆的离心率越接近于0时，则椭圆越接近于圆．填空：(1)椭圆x24＋y23＝1的离心率是________．(2)两个椭圆x24＋y2＝1和x236＋y224＝1中，更接近于圆的是________．(3)椭圆x2a2＋y24＝1(a>2)的离心率e＝22，则实数a的值为________．【解析】(1)x24＋y23＝1中，a＝2，c＝4－3＝1，所以离心率e＝12.(2)椭圆x24＋y2＝1的离心率e1＝32，椭圆x236＋y224＝1的离心率e2＝33.因为e1>e2，所以椭圆x2 36＋y224＝1更接近于圆．(3)因为a>2，所以e＝a2－4a＝22，解得a＝2 2.【答案】(1)12(2)x236＋y224＝1 (3)2 2[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型](1)(2)求椭圆81x2＋y2＝81的长轴和短轴的长及其焦点和顶点坐标，离心率．【精彩点拨】分清椭圆的焦点所在的轴，确定a，b后研究性质．【自主解答】(1)把椭圆2x2＋3y2＝12化为标准方程，得x26＋y24＝1，易知a2＝6，b2＝4，∴c2＝a2－b2＝2，∴c＝2，故2c＝2 2.【答案】2 2(2)椭圆的方程可化为x2＋y281＝1，∴a＝9，b＝1，∴c＝81－1＝80＝45，∴椭圆的长轴和短轴长分别为18,2.∵椭圆的焦点在y轴上，故其焦点坐标为F1(0，－45)，F2(0,45)，顶点坐标为A1(0，－9)，A2(0,9)，B1(－1,0)，B2(1,0)，e＝ca＝459.研究椭圆几何性质的方法求椭圆的几何性质时，应把椭圆化为标准方程，注意分清楚焦点的位置，这样便于直观地写出a ，b 的数值，进而求出c ，求出椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标等几何性质．[再练一题]1．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长，焦点坐标，顶点坐标. 【导学号：09390025】【解】 椭圆方程可化为x2m ＋y2m m ＋3＝1(m >0)，因为m －mm ＋3＝错误!>0，所以m >错误!，所以焦点在x 轴上，即a 2＝m ，b 2＝错误!，c ＝错误!＝错误!.由e ＝32，得e ＝ca ＝m ＋2m ＋3＝32，所以m ＝1. 所以椭圆的标准方程为x 2＋y214＝1.所以a ＝1，b ＝12，c ＝32，所以椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为F 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，F 2⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0；四个顶点坐标分别为A 1(－1,0)，A 2(1,0)，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.(1)中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴长是6，离心率是23；(2)中心在原点，焦点在坐标轴上，在x 轴上的一个焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.【精彩点拨】 确定焦点位置→设标准方程→求出a2，b2→写出标准方程 【自主解答】 (1)设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)或y2a2＋x2b2＝1(a >b >0)．由已知得2a ＝6， ∴a ＝3.又e ＝c a ＝23，∴c ＝2. ∴b 2＝a 2－c 2＝9－4＝5.∴椭圆的标准方程为x29＋y25＝1或y29＋x25＝1. (2)由题意知焦点在x 轴上，故可设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)，且两焦点为F ′(－3，0)，F (3,0)． 如图所示，△A 1F A 2为等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2的中线，且|OF |＝c ，|A 1A 2|＝2b ，∴c ＝b ＝3，∴a 2＝b 2＋c 2＝18.∴椭圆的标准方程为x218＋y29＝1.由椭圆的几何性质求方程的方法步骤1．利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法．2．根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，即先明确焦点的位置或分类讨论．一般步骤是：①求出a 2，b 2的值；②确定焦点所在的坐标轴；③写出标准方程．[再练一题]2．已知椭圆C 以坐标轴为对称轴，长轴长是短轴长的5倍，且经过点A (5,0)，求该椭圆的标准方程．【解】 法一：若椭圆的焦点在x 轴上，则设其标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5×2b ，25a2＋0b2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝5，b ＝1，故所求椭圆的标准方程为x225＋y 2＝1.若椭圆的焦点在y 轴上，则设其标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a >b >0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5×2b ，0a2＋25b2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝25，b ＝5，故所求椭圆的标准方程为y2625＋x225＝1.综上可知，所求椭圆的标准方程为x225＋y 2＝1或y2625＋x225＝1. 法二：设椭圆的标准方程为x2m ＋y2n ＝1(m >0，n >0，m ≠n )， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧25m ＋0n＝1，2m ＝5×2n 或⎩⎪⎨⎪⎧25m ＋0n ＝1，2n ＝5×2m ，解得⎩⎨⎧ m ＝25，n ＝1或⎩⎨⎧m ＝25，n ＝625.故所求椭圆的标准方程为x225＋y 2＝1或y2625＋x225＝1.(1)如图2-2-2，已知F 是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点， P 是椭圆上的一点，PF ⊥x 轴， OP ∥AB (O 为原点), 则该椭圆的离心率是______．图2-2-2(2)已知椭圆C 的中心在坐标原点，连接椭圆的长轴的一个端点A 和短轴的一个端点B ，∠OAB ＝30°，则椭圆的离心率为________．【精彩点拨】 (1)利用OP ∥AB 找到a ，c 或a ，b 的关系，可求离心率．(2)在直角三角形OAB 中，由∠OAB ＝30°，可得a ，b 的关系，利用这个a ，b 的关系可求离心率．【自主解答】 (1)由椭圆可知F (－c,0)， 故得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b2a ，∴k OP ＝－b2ac ，又B (0，b )，A (a,0)，∴k AB ＝－b a .∵OP ∥AB ，∴－b2ac ＝－b a ，得b ＝c ，∴a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，即e 2＝c2a2＝12，∴e ＝22.(2)如图所示，不妨设椭圆的焦点在x 轴上，由条件得∠OAB ＝30°，OA ＝a ，OB ＝b ，∴b a ＝tan 30°＝33，∴e 2＝c2a2＝1－b2a2＝1－13＝23， ∴e ＝63. 【答案】 (1)22 (2)63求椭圆的离心率，关键是寻找a 与c 的关系，一般地： (1)若已知a ，c ，则直接代入e ＝ca 求解；(2)若已知a ，b ，则由e ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2求解； (3)若已知a ，b ，c 的关系，则可转化为a ，c 的齐次式，再转化为含e 的方程求解即可.[再练一题]3．A 为y 轴上一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，△AF 1F 2为正三角形，且AF 1的中点B 恰好在椭圆上，求此椭圆的离心率. 【导学号：09390026】【解】 如图，连接BF 2.∵△AF 1F 2为正三角形， 且B 为线段AF 1的中点， ∴F 2B ⊥BF 1.又∵∠BF 2F 1＝30°，|F 1F 2|＝2c ， ∴|BF 1|＝c ，|BF 2|＝3c . 据椭圆定义得|BF 1|＋|BF 2|＝2a ， 即c ＋3c ＝2a ，∴ca ＝3－1.∴椭圆的离心率e ＝3－1.[探究共研型]探究1直线与椭圆有几种位置关系？能否像判断直线与圆的位置关系那样判断吗？如何判断直线与椭圆的位置关系？【提示】 (1)直线与椭圆有相交、相切和相离三种位置关系，其几何特征分别是直线与椭圆有两个交点、有且只有一个交点、无公共点，并且二者互为充要条件．但不能像判断直线与圆的位置关系那样进行判断．(2)判断直线与椭圆的位置关系可使用代数法，即先将直线方程与椭圆的方程联立，消去一个未知数y (或x )，得到关于x (或y )的一个一元二次方程．利用一元二次方程根的判别式Δ，根据Δ>0，Δ<0还是Δ＝0即可判断方程组解的个数，从而得出直线与椭圆的交点情况．探究2直线与椭圆相交时，若交点为A ，B ，则线段AB 是椭圆的弦，如何计算弦AB 的长呢？【提示】 将直线方程与椭圆方程联立，得到关于x (或y )的一元二次方程，然后运用根与系数的关系，再求弦长．设直线y ＝kx ＋m 与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则弦长公式为： |AB |＝1＋k2|x 1－x 2| ＝1＋k2·错误!， 或|AB |＝1＋1k2|y 1－y 2|＝1＋1k2错误!.探究3 与弦的中点有关的问题称为中点弦问题，若已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的弦AB 的中点坐标为(x 0，y 0)，能否确定直线AB 的斜率？【提示】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，⎩⎪⎨⎪⎧x21a2＋y21b2＝1，x22a2＋y22b2＝1，所以1a2(x 21－x 2)＋1b2(y 21－y 2)＝0， 变形得y1－y2x1－x2＝－b2a2·x1＋x2y1＋y2＝－b2a2·x0y0， 即k AB ＝－b2x0a2y0.这种方法叫平方差法，也叫点差法．已知椭圆x24＋y 2＝1.(1)当m 为何值时，直线y ＝x ＋m 与椭圆有两个不同的交点？ (2)当m ＝2时，求直线y ＝x ＋m 被椭圆截得的线段长． 【精彩点拨】 联立，消去y 得一元二次方程→Δ判别式→m 的范围→根与系数的关系→由弦长公式求弦长【自主解答】 (1)联立⎩⎪⎨⎪⎧x24＋y2＝1，y ＝x ＋m消去y ，得5x 2＋8mx ＋4(m 2－1)＝0.(*)∵Δ＝64m 2－80(m 2－1)>0，∴－5<m <5，∴当－5<m <5时，直线与椭圆有两个不同的交点． (2)当m ＝2时，方程(*)化为5x 2＋16x ＋12＝0， 设线段端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由韦达定理得 x 1＋x 2＝－165，x 1x 2＝125，又k ＝1， ∴AB ＝1＋k2·错误!＝错误!错误!.直线与椭圆位置关系的判定及弦长公式1．直线与椭圆公共点个数问题，一般转化为方程根的问题，由判别式进行判断． 2．求直线被圆锥曲线截得的弦长，一般用弦长公式AB ＝1＋k2|x 1－x 2|＝1＋k2·错误!进行求解，也可利用AB ＝1＋1k2|y 1－y 2|＝1＋1k2· 错误!进行求解．[再练一题]4.如图2-2-3，已知一直线与椭圆4x 2＋9y 2＝36相交于A 、B 两点，弦AB 的中点坐标为M (1,1)，求直线AB 的方程．图2-2-3【解】 设通过点M (1,1)的直线AB 的方程为y ＝k (x －1)＋1， 代入椭圆方程，整理得(9k 2＋4)x 2＋18k (1－k )x ＋9(1－k )2－36＝0. 设A ，B 的横坐标分别为x 1，x 2， 则x1＋x22＝错误!＝1，解得k ＝－错误!.故直线AB 的方程为y ＝－49(x －1)＋1， 即4x ＋9y －13＝0.[构建·体系]1．椭圆6x 2＋y 2＝6的长轴的端点坐标是________．【解析】 6x 2＋y 2＝6可变形为y26＋x 2＝1，长轴在y 轴上，易知a ＝6，所以端点坐标为(0，±6)．【答案】 (0，±6)2．椭圆的长轴长为10，一个焦点坐标为(4,0)，则它的标准方程为________．【解析】 由条件可知，椭圆的焦点在x 轴上，且a ＝5，c ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9，所以标准方程为x225＋y29＝1.【答案】 x225＋y29＝13．椭圆x24＋y 2＝1被过右焦点且垂直于x 轴的直线所截得的弦长为________.【导学号：09390027】【解析】 右焦点为(3，0)，把x ＝3代入得34＋y 2＝1，解得y ＝±12，所以过焦点且垂直于x 轴的直线所截得的弦长为12×2＝1.【答案】 14．设F 1，F 2是椭圆E ：x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a 2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为________．【解析】 如图，∵△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形， ∴∠PF 2A ＝60°，PF 2＝F 1F 2＝2c ，∴AF 2＝c ，∴2c ＝32a ，∴e ＝34.【答案】 345．已知点P (4,2)是直线l 被椭圆x236＋y29＝1所截得的线段的中点，求直线l 的方程．【解】 设直线l 与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴⎩⎨⎧x21＋4y21－36＝0，x22＋4y22－36＝0， 两式相减，有(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. 又x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，∴y1－y2x1－x2＝－12， 即k ＝－12，∴直线l 的方程为x ＋2y －8＝0.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)。
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2019-2020年高中数学苏教版选修2-1第2章《圆锥曲线与方程》（5）word 学案 [学习目标] 1.了解圆锥曲线的统一定义.2.能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题．[知识链接]1．椭圆上一点到准线距离与它到对应焦点距离之比等于多少？ 答：1e. 2．动点M 到一个定点F 的距离与到一条定直线l 的距离之比为定值的轨迹一定是圆锥曲线吗？ 答：当F ∉l 时，动点M 轨迹是圆锥曲线．当F ∈l 时，动点M 轨迹是过F 且与l 垂直的直线． [预习导引]1．圆锥曲线的统一定义平面内到一个定点F 和到一条定直线l (F 不在l 上)的距离的比等于常数e 的点的轨迹． 0<e <1时，它表示椭圆；e >1时，它表示双曲线；e ＝1时，它表示抛物线．2．对于椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)和双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)中，与F (c,0)对应的准线方程是l ：x ＝a 2c ，与F ′(－c ，0)对应的准线方程是l ′：x ＝－a 2c；如果焦点在y 轴上，则两条准线方程为y ＝±a 2c.要点一 统一定义的简单应用例1 椭圆x 225＋y 29＝1上有一点P ，它到左准线的距离等于2.5，那么，P 到右焦点的距离为________．答案 8解析 如图所示，PF 1＋PF 2＝2a ＝10，e ＝c a ＝45， 而PF 12.5＝e ＝45，∴PF 1＝2，∴PF 2＝10－PF 1＝10－2＝8.规律方法 椭圆的两个定义从不同角度反映了椭圆的特征，解题时要灵活运用．一般地，如果遇到有动点到两定点距离和的问题，应自然联想到椭圆的定义；如果遇到有动点到一定点及一定直线距离的问题，应自然联想到统一定义；若两者都涉及，则要综合运用两个定义才行．跟踪演练1 已知椭圆x 24b 2＋y 2b 2＝1上一点P 到右焦点F 2的距离为b (b >1)，求P 到左准线的距离．解 方法一 由x 24b 2＋y 2b 2＝1，得a ＝2b ，c ＝3b ，e ＝32.由椭圆第一定义， PF 1＋PF 2＝2a ＝4b ，得PF 1＝4b －PF 2＝4b －b ＝3b .由椭圆第二定义，PF 1d 1＝e ，d 1为P 到左准线的距离， ∴d 1＝PF 1e ＝23b ，即P 到左准线的距离为23b . 方法二 ∵PF 2d 2＝e ，d 2为P 到右准线的距离． e ＝c a ＝32，∴d 2＝PF 2e ＝233b . 又椭圆的两准线的距离为2·a 2c ＝833b ， ∴P 到左准线的距离为833b －233b ＝23b . 要点二 应用统一定义转化求最值例2 已知椭圆x 28＋y 26＝1内有一点P (1，－1)，F 是椭圆的右焦点，在椭圆上求一点M ，使MP ＋2MF 之值为最小．解 设d 为M 到右准线的距离．∵e ＝c a ＝12，MF d ＝12， ∴MF 12＝d ，即d ＝2MF (如图)． 故MP ＋2MF ＝MP ＋MM ′.显然，当P 、M 、M ′三点共线时，所求的值为最小，从而求得点M 的坐标为(2315，－1)．规律方法 本例中，利用统一定义，将椭圆上点M 到焦点F 的距离转化为到准线的距离，再利用图形的形象直观，使问题得到简捷的解决．跟踪演练2 已知双曲线x 29－y 216＝1的右焦点为F ，点A (9,2)，试在双曲线上求一点M ，使MA ＋35MF 的值最小，并求这个最小值． 解 过M 作MN 垂直于双曲线的右准线l 于N ，由第二定义可知MN ＝MF e(如图)． 又a ＝3，b ＝4，c ＝5，e ＝53， ∴MN ＝35MF ，∴MA ＋35MF ＝MA ＋MN ，显然当M 、N 、A 三点共线时MA ＋MN ＝AN 为最小，即MA ＋35MF 取得最小值，此时AN ＝9－a 2c ＝9－95＝365，∴MA ＋35MF 的最小值为365，此时点M (352，2)． 要点三 圆锥曲线统一定义的综合应用例3 已知A 、B 是椭圆x 2a 2＋y 2925a 2＝1上的点，F 2是右焦点，且AF 2＋BF 2＝85a ，AB 的中点N 到左准线的距离等于32，求此椭圆方程． 解 设F 1为左焦点，则根据椭圆定义有：AF 1＋BF 1＝2a －AF 2＋2a －BF 2＝4a －(AF 2＋BF 2)＝4a －85a ＝125a . 再设A 、B 、N 三点到左准线距离分别为d 1，d 2，d 3，由梯形中位线定理有d 1＋d 2＝2d 3＝3，而已知b 2＝925a 2， ∴c 2＝1625a 2，∴离心率e ＝45， 由统一定义AF 1＝ed 1，BF 1＝ed 2，∴AF 1＋BF 1＝125a ＝e (d 1＋d 2)＝125，∴a ＝1， ∴椭圆方程为x 2＋y 2925＝1. 规律方法 在圆锥曲线有关问题中，充分利用圆锥曲线的共同特征，将曲线上的点到准线的距离与到焦点的距离相互转化是一种常用方法．跟踪演练3 设P (x 0，y 0)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上任意一点，F 1为其左焦点． (1)求PF 1的最小值和最大值；(2)在椭圆x 225＋y 25＝1上求一点P ，使这点与椭圆两焦点的连线互相垂直． 解 (1)对应于F 1的准线方程为x ＝－a 2c， 根据统一定义：PF 1x 0＋a 2c＝e ， ∴PF 1＝a ＋ex 0.又－a ≤x 0≤a ，∴当x 0＝－a 时，(PF 1)min ＝a ＋c a×(－a )＝a －c ； 当x 0＝a 时，(PF 1)max ＝a ＋c a·a ＝a ＋c . (2)∵a 2＝25，b 2＝5，∴c 2＝20，e 2＝45. ∵PF 21＋PF 22＝F 1F 22，∴(a ＋ex 0)2＋(a －ex 0)2＝4c 2. 将数据代入得25＋45x 20＝40.∴x 0＝±532. 代入椭圆方程得P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫532，52，⎝⎛⎭⎫532，－52，⎝⎛⎭⎫－532，52，⎝⎛⎭⎫－532，－52.1．已知方程(1＋k )x 2－(1－k )y 2＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围为________． 答案 －1<k <1解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋k >0，1－k >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k >－1，k <1，即－1<k <1. 2．已知点F 1，F 2分别是椭圆x 2＋2y 2＝2的左，右焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF→1＋PF →2|的最小值是________． 答案 2解析 设P (x 0，y 0)，则PF →1＝(－1－x 0，－y 0)，PF →2＝(1－x 0，－y 0)，∴PF →1＋PF →2＝(－2x 0，－2y 0)，∴|PF →1＋PF →2|＝4x 20＋4y 20＝22－2y 20＋y 20＝2－y 20＋2.∵点P 在椭圆上，∴0≤y 20≤1，∴当y 20＝1时，|PF →1＋PF →2|取最小值为2.3．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点．满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．答案 (0，22) 解析 ∵MF 1→·MF 2→＝0，∴M 点轨迹方程为x 2＋y 2＝c 2，其中F 1F 2为直径，由题意知椭圆上的点在圆x 2＋y 2＝c 2外部，设点P 为椭圆上任意一点，则OP >c 恒成立，由椭圆性质知OP ≥b ，其中b 为椭圆短半轴长，∴b >c ，∴c 2<b 2＝a 2－c 2，∴a 2>2c 2，∴(c a )2<12，∴e ＝c a <22. 又∵0<e <1，∴0<e <22. 4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线x 2m 2－y 2n2＝1(m ＞0，n ＞0)，有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若c 是a 、m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率是________．答案 12解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2＝c 2， ①m 2＋n 2＝c 2，②c 2＝am ，③2n 2＝2m 2＋c 2，④由②④可得m 2＋n 2＝2n 2－2m 2，即n 2＝3m 2，⑤⑤代入②得4m 2＝c 2⇒c ＝2m ，⑥⑥代入③得4m 2＝am ⇒a ＝4m .所以椭圆的离心率e ＝c a ＝12.1.三种圆锥曲线的共同特征是曲线上的点到定点的距离与它到定直线距离的比是常数．2．利用圆锥曲线的统一定义可实现曲线上的点到焦点的距离与到准线距离的相互转化．一、基础达标1．若直线ax －y ＋1＝0经过抛物线y 2＝4x 的焦点，则实数a ＝______.答案 －1解析 焦点为(1,0)，代入直线方程，可得a ＝－1.2．已知椭圆的准线方程为y ＝±4，离心率为12，则椭圆的标准方程为____________． 答案 x 23＋y 24＝1 解析 由⎩⎨⎧ a 2c ＝4，c a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，c ＝1. 所以b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆的标准方程为x 23＋y 24＝1. 3．双曲线3x 2－y 2＝9，P 是双曲线上一点，则P 点到右焦点的距离与P 点到右准线的距离的比值为________．答案 2解析 由统一定义，所求距离之比即为双曲线的离心率．双曲线方程可化为x 23－y 29＝1， 得a 2＝3，b 2＝9，c 2＝a 2＋b 2＝12，所以e ＝c a ＝123＝2. 4．椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到左焦点F 1的距离为3，则点P 到左准线的距离为________． 答案 5解析 依题意e ＝35，所以点P 到左准线的距离d ＝PF 1e＝5. 5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，右准线方程为x ＝33，则双曲线方程为__________．答案 x 2－y 22＝1 解析 由⎩⎨⎧c a ＝3，a 2c ＝33，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝3，所以b 2＝3－1＝2. 所以双曲线方程为x 2－y 22＝1. 6．已知抛物线y 2＝2px 的准线与双曲线x 2－y 2＝2的左准线重合，则抛物线的焦点坐标为________．答案 (1,0)解析 双曲线的左准线为x ＝－1，抛物线的准线为x ＝－p 2，所以p 2＝1，所以p ＝2. 故抛物线的焦点坐标为(1,0)．7．已知双曲线的渐近线方程为3x ±4y ＝0，一条准线方程为y ＝95，求该双曲线的标准方程． 解 由已知可设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)． 由题意有⎩⎨⎧a 2c ＝95，ab ＝34，a 2＋b 2＝c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16. 所以所求双曲线方程为y 29－x 216＝1. 二、能力提升8．已知点P 在椭圆x 216＋y 225＝1上，F 1、F 2是椭圆的上、下焦点，M 是PF 1的中点，OM ＝4，则点P 到下准线的距离为________．答案 403解析 因为OM 是△F 1F 2P 的中位线，所以PF 2＝2OM ＝8.又e ＝35，所以P 到下准线的距离d ＝PF 2e ＝8×53＝403. 9．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上横坐标为3a 2的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线的离心率的取值范围是________．答案 (2，＋∞)解析 由已知得(3a 2－a 2c )e >3a 2＋a 2c，即3c 2>5ac ＋2a 2， 所以3e 2－5e －2>0，解得e >2或e <－13(舍去)． 10．在给定的椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应的准线的距离为1，则椭圆的离心率为________．答案 22解析 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)， 则右焦点F (c,0)，右准线l ：x ＝a 2c. 把x ＝c 代入椭圆的方程得y 2＝b 2(1－c 2a 2)＝b 4a 2，即y ＝±b 2a. 依题设知2b 2a ＝2且a 2c －c ＝b 2c＝1， 所以e ＝c a ＝b 2a ·c b 2＝22×1＝22. 11．已知双曲线过点(3，－2)，且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点．(1)求双曲线的标准方程；(2)求以双曲线的右准线为准线的抛物线的标准方程．解 (1)椭圆的焦点为(5，0)，(－5，0)，它也是双曲线的焦点．设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)． 则由题设得⎩⎪⎨⎪⎧ 9a 2－4b 2＝1，a 2＋b 2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3，b 2＝2. 所以双曲线的标准方程为x 23－y 22＝1. (2)由(1)可知双曲线的右准线为x ＝a 2c ＝355. 它也是抛物线的准线，所以p 2＝355， 故抛物线的标准方程为y 2＝－1255x . 12．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率e ＝22，点F 2到右准线l 的距离为 2.(1)求a 、b 的值；(2)设M 、N 是l 上的两个动点，F 1M →·F 2N →＝0，证明：当|MN →|取最小值时，F 2F 1→＋F 2M →＋F 2N →＝0.(1)解 因为e ＝c a ，F 2到l 的距离d ＝a 2c－c ， 所以由题设得⎩⎨⎧ c a ＝22，a 2c －c ＝2，解得c ＝2，a ＝2.由b 2＝a 2－c 2＝2，得b ＝ 2.故a ＝2，b ＝ 2.(2)证明 由c ＝2，a ＝2得F 1(－2，0)，F 2(2，0)，l 的方程为x ＝22， 故可设M (22，y 1)，N (22，y 2)．由F 1M →·F 2N →＝0知(22＋2，y 1)·(22－2，y 2)＝0，得y 1y 2＝－6，所以y 1y 2≠0，y 2＝－6y 1. |MN →|＝|y 1－y 2|＝|y 1＋6y 1|＝|y 1|＋6|y 1|≥26， 当且仅当y 1＝±6时，上式取等号，此时y 2＝－y 1，所以，F 2F 1→＋F 2M →＋F 2N →＝(－22，0)＋(2，y 1)＋(2，y 2)＝(0，y 1＋y 2)＝0.三、探究与创新13.如图所示，已知某椭圆的焦点是F 1(－4，0)、F 2(4,0)，过点F 2作垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且F 1B ＋F 2B ＝10，椭圆上不同的两点A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)满足条件：F 2A 、F 2B 、F 2C 成等差数列．(1)求该椭圆的方程；(2)求弦AC 中点的横坐标．解 (1)由椭圆定义及条件知，2a ＝F 1B ＋F 2B ＝10，得a ＝5，又c ＝4，所以b ＝a 2－c 2＝3.故椭圆方程为x 225＋y 29＝1.(2)由点B (4，y B )在椭圆上，得F 2B ＝y B ＝95. 因为椭圆右准线方程为x ＝254，离心率为45， 根据椭圆定义，有F 2A ＝45⎝⎛⎭⎫254－x 1，F 2C ＝45⎝⎛⎭⎫254－x 2，由F 2A 、F 2B 、F 2C 成等差数列，得 45⎝⎛⎭⎫254－x 1＋45⎝⎛⎭⎫254－x 2＝2×95，由此得出x 1＋x 2＝8.设弦AC 的中点为P (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝4.。