中职数学指数函数及对数函数

指数函数与对数函数

一、实数指数幂

1、实数指数幂：如果x n

=a （n ∈N +且n ＞1），则称x 为a 的n 次方根。当n 为奇数时，正数a 的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数。这时，a 的n 次方根只有一个，记作n a 。当n 为偶数时，正数a 的n 次方根有两个，它们互为相反数，分别记作n a ，－n a 。它们可以写成±n a 的形式。负数没有（填“奇”或“偶”）次方根。

例：填空：

（1）、（38）3=；（38-）3

=。

（2）33

8=；33)8(-=。 （3）、44

5=；44)5(-=。

巩固练习：

1、将下列各分数指数幂写成根式的形式： （1）3

2a （2）5

3-b

（b ≠0）

2、将下列各根式写成分数指数幂的形式： （1）5

2

a （2）

3

5

1

a

（a ≠0）

3、求下列幂的值：

（1）、（-5）0； （2）、（a-b ）0； (3)、2-1； （4）、（47）4

。

2、实数指数幂的运算法则 ①、β

α

a a •＝β

α+a

②、βαa

a ＝β

α-a

③、β

α)(a ＝αβ

a

④、α

)(ab ＝α

α

b a •⑤、α)(b

a ＝αα

b a

例1：求下列各式的值：

⑴、2

1100⑵、3

2

8

-

⑶3

23

188•

例2：化简下列各式：

⑴、3a a ⑵、633333••

巩固练习：1、求下列各式的值：

⑴、4

33

162

⋅-

⑵、4482⋅ ⑶553

25.042

⋅⋅-

2、化简下列各式：

⑴2

)3(-x

⑵232)(-y

x

⑶203

53

2a a a a •••-（a ≠0）

二、幂函数

1、幂函数：形如α

x y =（α∈Ｒ，α≠0）的函数叫做幂函数，其中x 为自变量，α为常数。

例1、判断下列函数是否是幂函数：

⑴、y ＝4

x ⑵、y ＝3

-x ⑶、y ＝

21x

⑷、y ＝x 2⑸、s ＝4t ⑹、y ＝x

x ++2)1(⑺、y ＝2

x +2x+1

巩固练习：观察下列幂函数在同一坐标系中的图象，指出它们的定义域：

⑴、y ＝x ；⑵、y ＝2

1x ；⑶y ＝1

-x ； ⑷y ＝2

x ；⑸y ＝4

1-

x

。

三、指数函数

1、指数函数：形如y ＝x a （a ＞0,且a ≠1）的函数叫做指数函数，其中x 为自变量，a 为常数，指数函数的定义域为R 。

例1：判断下列函数是不是指数函数？

(1)x

y )3(-= (2)4

3x y = （3）21x

y =

（4）x y -⎪⎭

⎫ ⎝⎛=52 (5) y ＝x

2 (6) y ＝x )21(

例1：已知指数函数y=a x

的图像过点（2，16）。

①求函数的解析式及函数的值域。 ②分别求当x=1，3时的函数值。

例2：判断下列函数在（﹣∞，﹢∞）上的单调性

①y=0.5x

②y=x

-⎪⎭

⎫ ⎝⎛31

四、对数

1、对数：如果b

a ＝N(a ＞0，a ≠1),那么

b 叫做以a 为底N 对数，记作㏒

a

N ＝b ，其中，a

叫做对数的底数，简称底；N 叫做真数。㏒a

N 读作:“以a 为底N 的对数”。

我们把b

a ＝N 叫做指数式，把㏒

a

N ＝b 叫做对数式。

2、对数式与指数式关系：

例1：将下列对数式改写成指数式：

（1）㏒381=4； （2）㏒5125=3； 例2：将下列指数式改写成对数式： （1）、3

5=125， （2）、4

1

16=2

3、常用对数：把以10为底的对数叫做常用对数。N(N

＞0)

的常用对数㏒

10

N 可简记为lg N 。

例如：㏒107可简记为 lg7

4、自然对数：以e 为底的对数，这里e=2.718281…是一个无理数。N （N ＞0）的自然对数㏒eN 可简记为㏑N 。

对数

底数

指数 b a ＝N ㏒

a

N ＝ b

真数 幂

例如：㏒e5可简记为㏑5 5、零和负数没有对数。

6、根据对数定义，可以证明：㏒a 1=0；㏒a a=1（a ＞0,且a ≠1）

7、对数的运算性质：

（1）积的对数：两个正数的积的对数，等于同一底数的这两个数的对数的和，即

㏒a （MN ）=㏒a M ＋㏒a N

（２）商的对数：两个正数的商的对数，等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数，即

㏒a

N

M

=㏒a M-㏒a N （３）幂的对数：一个正数的幂的对数，等于幂指数乘以这个数的对数，即

㏒a b M ＝b ㏒a M 其中，a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0

例：求出下列各式的值：

1、㏒2（4×8）

2、㏒3（9×27）

3、㏒21664

4、㏒575

25

5、3㏒24

6、㏒321

9

五、对数函数

1、对数函数：函数log a y x =（0,a >且1a ≠）就是对数函数。是指数函数x

y a =（0,

a >且1a ≠）的反函数。

2、对数函数的图象和性质

对数函数log a y x =()1a >()01a <<

性质1.对数函数log a y x =的图像都在Ｙ轴的右方. 性质2.对数函数log a y x =的图像都经过点（1，0）

性质3.当1x >时，0y >； 当1x >时，0y <；