15.2.2 第1课时 分式的加减
人教版八年级上册数学 15.2.2 第1课时 分式的加减 优秀教案
15．2.2 分式的加减 第1课时 分式的加减1．理解并掌握分式加减法法则．(重点) 2．会利用分式加减法法则熟练地进行异分母分式加减法计算．(难点) 一、情境导入 1．请同学们说出12x 2y3，13x 4y2，19xy2的最简公分母是什么？你能说出最简公分母的确定方法吗？2．你能举例说明分数的加减法法则吗？仿照分数加法与减法的法则，你会做以下题目吗？(1)1x ＋3x ；(2)2xy ＋4xy －5xy.分式的加减法的实质与分数的加减法相同，你能说出分式的加减法法则吗？今天我们就学习分式加减法． 二、合作探究探究点一：同分母分式的加减法计算：(1)a 2＋1a ＋b －b 2＋1a ＋b ；(2)2x －1＋x －11－x. 解析：按照同分母分式相加减的方法进行运算．解：(1)a 2＋1a ＋b－b 2＋1a ＋b＝a 2＋1－（b 2＋1）a ＋b ＝a 2＋1－b 2－1a ＋b ＝a 2－b 2a ＋b＝（a ＋b ）（a －b ）a ＋b＝a －b ；(2)2x －1＋x －11－x ＝2x －1－x －1x －1＝2－（x －1）x －1＝3－xx －1.方法总结：(1)当分子是多项式，把分子相减时，千万不要忘记加括号；(2)分式加减运算的结果，必须要化成最简分式或整式；(3)当两个分式的分母互为相反数时可变形为同分母的分式．探究点二：异分母分式的加减【类型一】异分母分式的加减运算计算：(1)x 2x －1－x －1；(2)x ＋2x 2－2x －x －1x 2－4x ＋4. 解析：(1)先将整式－x －1变形为分母为x －1的分式，再根据同分母分式加减法法则计算即可；(2)先通分，然后进行同分母分式加减运算，最后要注意将结果化为最简分式．解：(1)x 2x －1－x －1＝x 2x －1－x 2－1x －1＝1x －1； (2)x ＋2x 2－2x－x －1x 2－4x ＋4＝（x ＋2）（x －2）x （x －2）2－x （x －1）x （x －2）2＝x 2－4－x 2＋x x （x －2）2＝x －4x 3－4x 2＋4x. 方法总结：在分式的加减运算中，如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．【类型二】分式的化简求值先化简，再求值：3x －3－18x 2－9，其中x ＝2016.解析：先通分并利用同分母分式的减法法则计算，后约分化简，最后代入求值．解：原式＝3x －3－18（x ＋3）（x －3）＝3（x ＋3）－18（x ＋3）（x －3）＝3（x －3）（x ＋3）（x －3）＝3x ＋3，当x ＝2016时，原式＝32019. 方法总结：在解题的过程中要注意通分和化简．【类型三】分式的简便运算已知下面一列等式：1×12＝1－12；12×13＝12－13； 13×14＝13－14；14×15＝14－15；… (1)请你从左边这些等式的结构特征写出它的一般性等式；(2)验证一下你写出的等式是否成立；(3)利用等式计算：1x （x ＋1）＋1（x ＋1）（x ＋2）＋1（x ＋2）（x ＋3）＋1（x ＋3）（x ＋4）.解析：(1)观察已知的四个等式，发现等式的左边是两个分数之积，这两个分数的分子都是1，后面一个分数的分母比前面一个分数的分母大1，并且第一个分数的分母与等式的序号相等，等式的右边是这两个分数之差，据此可写出一般性等式；(2)根据分式的运算法则即可验证；(3)根据(1)中的结论求解．解：(1)1n ·1n ＋1＝1n －1n ＋1；(2)∵1n－1n ＋1＝n ＋1n （n ＋1）－n n （n ＋1）＝1n （n ＋1）＝1n ·1n ＋1，∴1n ·1n ＋1＝1n －1n ＋1； (3)原式＝(1x －1x ＋1)＋(1x ＋1－1x ＋2)＋(1x ＋2－1x ＋3)＋(1x ＋3－1x ＋4)＝1x －1x ＋4＝4x 2＋4x. 方法总结：本题是寻找规律的题型，考查了学生分析问题、归纳问题及解决问题的能力．总结规律要从整体和部分两个方面入手，防止片面总结出错误结论．【类型四】关于分式的实际应用在下图的电路中，已测定CAD 支路的电阻是R 1，又知CBD 支路的电阻R 2比R 1大50欧姆，根据电学有关定律可知总电阻R 与R 1、R 2满足关系式1R ＝1R 1＋1R 2，试用含有R1的式子表示总电阻R .解析：由题意知R 2＝R 1＋50，代入1R ＝1R 1＋1R 2，然后整理成用R 1表示R 的形式．解：由题意得R 2＝R 1＋50，代入1R ＝1R 1＋1R 2得1R ＝1R 1＋1R 1＋50，则R ＝11R 1＋1R 1＋50＝12R 1＋50R 1（R 1＋50）＝R 1（R 1＋50）2R 1＋50.方法总结：此题属于物理知识与数学知识的综合，熟练掌握分式运算法则是解本题的关键．三、板书设计分式的加法与减法1．同分母分式的加减法：分母不变，把分子相加减，用式子表示为a c ±b c ＝a ±bc.2．异分母分式的加减法：先通分，变为同分母的分式，再加减，用式子表示为ab±c d ＝ad bd ±bc bd ＝ad ±bcbd.从分数加减法引入，类比得出分式的加减法，最关键的是法则的探究，重点是法则的运用，易错点是分母互为相反数，要化成同分母分式，在这个过程中要注意变号．学生在教师的指导下，先独立进行自学，自己解决不了的问题在小组内讨论交流进行解决．。
15.2.2 分式的加减 第1课时
和
1.上面计算运用的法则是什么？
2、如何类比分数的加减计算
a b . c c
3 1 ________ ______ ____. 5 2
3.想一想,同分母的分式应该如何加减?
二、异分母分式相加减 请计算： 2 1
______ _____ ___; 3 2
.
2.看谁算的又对又快：
x2 4 (1) x2 x2
(2)
x 2 x 1 x 3 x 1 x 1 x 1
【讲一讲】
例2
(1) 计算： 1 1 . x-3 x+3
解析： (1)
1 1 x 3 x 3 x+3 x-3 = (x-3)(x+3) (x-3)(x+3)
=
a+3 a+1 a-1
a 3 . 2 a 1
谈一谈
1.通过本节课的学习你有哪些收获？存在的有疑惑吗？
2、本节课你学习的数学思想是什么？ 3、应该注意哪些问题？ （１）异分母分式相加减，关键是先要找准最简公分 母转化为同分母分式相加减； （２）如果分子是多项式，在进行减法时要先把分子
x y.
1 2 （ 2） a 1 1 a2 1 2 2 解：原式 a1 a 1
1 2 a 1 ( a 1)( a 1)
a 1 2 ( a 1)( a 1) ( a 1)( a 1)
a 1 ( a 1)( a 1)
用括号括起来； （３）加减运算完成后，能化简的要化简，最后结果
化成最简分式.
作业
A级作业：P141练习1、2题 B级作业： P146第4、5题
15.2.2 第1课时 分式的加减
a b c c
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；
讲授新课
一 分式的加减 类比探究：分数的加减
1 1 2 3
3 1 4 6
a c b d
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.
分式的加减法则 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.
两队共同工作一天完成这项工程的几分之几?
答:甲工程队一天完成这项工程的 乙工程队一天完成这项工程的 ， ,
两队共同工作一天完成这项工程的 ____________.
第十五章 分 式
15.2.2 分式的加减
第1课时 分式的加减
讲授新课
一 分式的加减 类比探究：分数的加减
1 2 5 5
1 2 5 5
想一想： 到目前为止，正整数指数幂的运算法则都有什么？
(1) am· an ＝am+n ；
(2) am÷an＝am-n； (3) (am)n＝amn； (4) (ab)n＝anbn；
n a a 5 n . b b n
导入新课
问题1
甲工程队完成一项工程需n天,
乙工程队要比甲工程队多用3天才能完成这项工程,
C．－1
2.填空：
3 5 (1) xy xy
4x 4y (2) x y yx
;
;
3 1 5 、 、 （3） 4x 2x 6x
的最简公分母是
.
课堂小结
加减法运算
异分母分式相加减先转
化为同分母分式的加减 运算
分式加减 运 算
(1)减式的分子是多项式时，在进行 运算时要适时添加括号
最新人教版八年级数学上册《15.2.2 分式的加减(第1课时)》优质教学课件
a
b
a b
c
c
c
探究新知
素养考点 1 同分母分式的加减的计算
5x 3 y
2x
2
例 计算： 2
2
x y
x y2
5x 3 y 2x
解：原式
x2 y2
3x 3 y
( x y)( x y)
3
x y
归纳总结：
同分母分式的加减，分母
=
，
c
c
c
a
c ad
bc ad bc
=
=
．
b
d bd
bd
bd
注意事项：
①若分子是多项式，则加上括号，然后再加减；
②计算结果一定要化成最简分式或整式.
你还有什么疑惑？
请与同伴交流！
这节课的学习你有
什么收获？
小
结
与
思
考
课后总结
通过这节课的学习，你明白了什
么? 还有什么疑问吗?
课后作业
S3 S2
S S1
2
S2
S1
2011年与2010年相比，森林面积增长率提高____________.
探究新知
请计算：
1.同分母分数加减法的法则如何叙述？
2.你认为
探究新知
同分母的分式加减法的法则
【同分母的分数加减法的法则】 同分母的分数相加减，
分母不变，把分子相加减.
【同分母的分式加减法的法则】 同分母分式相加减，
(a 2)(a 2)
a2
(a 2)(a 2)
15.2.2 第1课时 分式的加减
x 3 2 x 3 2 x 1
①
x2 1 1 x x 1 x 1 x 1 x 1
= x 32x 1
②
= x32x2
③
= x 1
④
（1）上述计算过程，从哪一步开始错误，请写出该步的代号_______；
（2）错误原因___________；
（3）本题的正确结果为：
.
例
4：先化简再求值：
2m m2 9
1 2 ? 1 2 ? a 2 ? a a x 2 x 2 x 1 x 1
典例精析
例
1：计算
5a2b ab2
3
3a2b ab2
5
8
a2b ab2
.
方法总结:（1） 当分子是多项式时，把分子相减时，千万不要忘记加括号；（2） 将结果化为最简。 探究点 2：异分母分数的加减法 想一想：请类比异分母分数的加减法，说一说异分母的分式应该如何加减?
内容
同分母分 式的加减
分母________，把________相加减．即：ac±bc＝_______.
异分母分 式的加减
先________，变为同分母的分式，再________．即：ba±dc＝____
±____＝________. 解题策略 (1)一个分式与一个整式相加减时，可以把整式看做是分母为 1
.
4.先化简，再求值：x－3 3－x21－8 9，其中 x＝2016.
5.拓展提升：甲、乙二人一个月里两次同时到一家粮油商店买大米,两次大米的价 格有变化,但他们两人购买的方式不一样,其中甲每次总是购买相同重量的大米,乙 每次只能拿 出相同数量的钱来买米,而不管能买多少,问这两种买米方式哪一种更 合算？请说明理由. 四、课堂小结
15.2.2 第1课时 分式的加减
15.2.2 第1课时 分式的加减
学习指 知 南识 管 归 理类 探 当 究堂 测 分 评层 作
业
学习指 南
教学目标
1．熟练地进行同分母的分式加减法的运算；
2．会把异分母的分式通分，转化成同分母的分式相加减．
情景问题引入 将价值 200 元的甲种糖果和价值 480 元的乙种糖果混合成什锦糖，其单价比 原甲糖少 3 元，比乙糖多 1 元．已知什锦糖单价为 x 元，那么： (1)甲糖、乙糖各有多少千克？(用含有 x 的代数式表示) (2)乙糖比甲糖多多少千克？ (3)甲、乙两种糖共有多少千克？ 如何列式计算？
当堂测 评
1．[2018·台州]计算x＋x 1－1x，结果正确的是( A )
A．1
B．x
C．1x
D．x＋x 2
2．[2018·天津]计算2xx＋＋13－x2＋x1的结果为( C )
A．1
B．3
C．x＋3 1
D．xx＋＋31
【解析】原式＝2x＋x＋3－1 2x＝x＋3 1.故选 C.
3．计算2ba2－3acb＋6cac的结果是( A )
【点悟】 (1)当两个分母互为相反数时，可根据分式的符号法则转化为同分 母；(2)分子相加减后，分子、分母能因式分解的一定要因式分解，以便约分化简．
类型之二 异分母分式的加减运算 计算：
(1)52aa2b＋103abb2； (2)xx＋＋32＋x22－－x4； (3)a－b2b＋a＋b.
解：(1)原式＝104aa2bb2＋103aa2bb2＝107aa2bb2＝107ab. (2)原式＝xx＋＋32－x＋x2－x2－2 ＝xx＋＋32－x＋1 2＝x＋x＋32－1＝xx＋＋22＝1. (3)原式＝a－b2 b＋aa2－－bb2＝a－a2 b.
15.2.2 第1课时 分式的加减
把分子相加减即可．
(1)m＋n n－m－n n；
解：(1)原式＝（m＋n）－n （m－n）＝2nn＝2.
(2)a－a2 b＋b－b2 a.
解：(2)a－a2b＋b－b2 a＝a－a2b－a－b2b＝aa2－－bb2＝（a＋ba）－（ba－b）＝a＋b.
【归纳总结】同分母分式加减“三注意” (1)分子加减，特别是分子相减时，一定要把减式的分子加上括 号，否则易出现符号错误； (2)若分母是互为相反数的多项式，则视它们是同一个分母(将其 中一个分母的负号移到分数线的前面即可)； (3)最后的结果必须是最简分式或整式．
＝1－aa－ ＋bb ＝a＋ba＋－ba＋b ＝a2＋bb.
【归纳总结】异分母分式加减运算的一般步骤及注意点
一般步骤：
异分母 分式相 加减
通分
同分母 分式相
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
分子去括号、合并同类项
加减
分子、分母约分
最简 分式
注意点：(1)不要急于通分，应先观察分式能否约分，若能， 则先约分，使之变为同分母或者易于通分的分式或整式； (2)多项式与分式相加减时，应将多项式视为分母是1的一个 整体进行通分，不宜将多项式的各项逐一通分． (3)分式相加减时，如果分子是一个多项式，要将分子看成一 个整体，先用括号括起来再运算，可减少出现符号错误．
＝a2ba＋b.
(2)aa2－＋bb2－a－b；
解：(2)原式＝aa2－ ＋bb2－(a＋b) ＝aa2－＋bb2－（a＋ba）－（ba－b）
＝a2＋ba2－－ba2＋b2 ＝a2－b2b.
(3)aa2－－11＋a＋a 1－a2＋a22－abb＋2 b2.
解：(3)原式＝（a＋1a）－（1a－1）＋a＋a 1－（a＋（ba）＋（b）a－2 b） ＝a＋1 1＋a＋a 1－aa－＋bb
15.2.2 第1课时 分式的加减
15.2.2 分式的加减第1课时 分式的加减学教目标：1、 经历探索分式加减运算法则的过程，理解其算理2、 会进行简单分式的加减运算，具有一定的代数化归能力3、不断与分数情形类比以加深对新知识的理解学教重点：同分母分数的加减法学教难点：通分后对分式的化简学教关键点：找最简公分母学教过程：一、温故知新：阅读课本P 139—1411.计算并回答下列问题①12345555+++= ②=--3132342、同分母分数如何加减？3、猜一猜，同分母的分式应该如何加减？(与同分母分数加减进行类比)4、把你猜想的结论用数学符号表示出来二、学教互动例1.计算：（1）b a a +2+b a ab b ++22 （2）y x x -23－y x y x -+2例2. 计算：（1）．21y x --311y x +-－1y x - (2)6386577575x x x x x x--+-+---三、拓宽延伸1、填空题(1) 374x x x -+= ； (2) 542332a ba b b a ++--= ；2、在下面的计算中，正确的是（ ）A.a 21+b 21 =)(21b a +B.a b ＋c b =ac b 2C.a c －a c 1+=a 1D.b a -1＋a b -1=03、 计算：（1）252x x - （2）12-x ＋x x --11 ()ba b a a +-+2.34．.老师出了一道题“化简：23224x x x x +-++-” 小明的做法是：原式222222(3)(2)26284444x x x x x x x x x x x +--+----=-==----； 小亮的做法是：原式22(3)(2)(2)624x x x x x x x =+-+-=+-+-=-； 小芳的做法是：原式32313112(2)(2)222x x x x x x x x x x +-++-=-=-==++-+++． 其中正确的是（ ） A ．小明B ．小亮C ．小芳D ．没有正确的 四、反馈检测： 1、化简xy y x y x ---22的结果是( ) (A) y x -- (B) x y - (C) y x - (D) y x +2、甲、乙2港分别位于长江的上、下游，相距s km ，一艘游轮往返其间，如果游轮在静水中的速度是a km/h ，水流速度是b km/h ，那么该游轮往返2港的时间差是多少？3、 计算： （1)22233343365cba b a c ba a b bc a b a +--++ （2）1123----x x x x五.小结与反思：。