北师大版七年级数学上册《绝对值》典型例题(含答案)
2019-2020年七年级上册和绝对值有关的问题典型例题(含答案)
2019-2020年七年级上册和绝对值有关的问题典型例题（含答案）一、知识结构框图：数二、绝对值的意义：(1)几何意义：一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。
(2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；③零的绝对值是零。
也可以写成：()()() ||0a aa aa a⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩当为正数当为0当为负数说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数；（Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。
三、典型例题例1．（数形结合思想）已知a、b、c在数轴上位置如图：则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ A ） A．-3a B． 2c－a C．2a－2b D． b解：| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c|=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。
脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。
这道例题运用了数形结合的数学思想，由a 、b 、c 在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。
例2．已知：，，且， 那么的值（ C ）A ．是正数B ．是负数C ．是零D ．不能确定符号解：由题意，x 、y 、z 在数轴上的位置如图所示：所以分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。
这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x 、y 、z 三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。
虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。
例3．（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。
【精品】数学北师大版《七年级上》 -绝对值 精选专项试题训练(含答案)
初中数学北师大版《七年级上》《第二章有理数及其运算》《2.3 绝对值》精选专项试题训练【72】(含答案考点及解析)班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________1.如图，数轴上A、B两点分别对应实数a、b，则下列结论正确的是（）A、a＋b＞0B、ab＞0C、a－b＞0D、|a|－|b|＞0【答案】C.【考点】初中数学知识点》数与式》有理数【解析】试题分析：先观察在数轴上的位置，得，然后对四个选项逐一分析：A、∵，∴||＞||，∴，故选项A错误；B、∵，∴，故选项错误；C、∵，∴，故选项正确；D、∵，∴||＞||即，故选项错误.故选C.考点：实数与数轴.2.右边的图形是由8个棱长为1个单位的小立方体组成的立体图形，这个立体图形的主视图是（）【答案】D.【考点】初中数学知识点》图形与变换》投影与视图【解析】试题分析：由图可知，主视图有三行，最下一层4个小正方体，中间两个，最上在正中间一个．故选D考点: 简单组合体的三视图．3.下列四个水平放置的几何体中，三视图如右图所示的是()【答案】D【考点】初中数学知识点》图形与变换》投影与视图【解析】三视图是指分别从物体的前面、左面、上面看到的平面图形．故选D.4.操场上站成一排的100名学生进行报数游戏，规则是：每位同学依次报自己的顺序数的倒数加1．如：第一位同学报（+1），第二位同学报（+1），第三位同学报（+1），……这样得到的100个数的积为 .【答案】101．【考点】初中数学知识点》数与式》有理数【解析】试题分析：∵第一位同学报的数为+1=，第二位同学报的数为+1=，第三位同学报的数为+1=，∴第100位同学报的数为+1=，∴这样得到的100个数的积=×××…×=101．故答案是101．考点：数字的变化规律．5.下面给出的正多边形的边长都是20cm，请分别按下列要求设计一种剪拼方法（用虚线表示你的设计方案，把剪拼线段用粗黑实线，在图中标注出必要的符号和数据，并作简要说明．（1）将图1中的正方形纸片剪拼成一个底面是正方形的直四棱柱模型，使它的表面积与原正方形面积相等；（2）将图2中的正三角形纸片剪拼成一个底面是正三角形的直三棱柱模型，使它的表面积与原正三角形的面积相等；（3）将图3中的正五边形纸片剪拼成一个底面是正五边形的直五棱柱模型，使它的表面积与原正五边形的面积相等．【答案】（1）作图见解析（2）作图见解析（3）作图见解析【考点】初中数学知识点》图形与证明》立体图形【解析】思路分析：（1）在正方形四个角上分别剪下一个边长为5的小正方形，拼成一个正方形作为直四棱柱的底面即可；（2）在正三角形的每一角上找出到顶点距离是5的点，然后作边的垂线，剪下后拼成一个正三角形，作为直三棱柱的一个底面即可；（3）在正五边形的每一角上找出到顶点距离是5的点，然后作边的垂线，剪下后拼成一个正五边形，作为直五棱柱的一个底面即可．解：（1）如图1，沿黑线剪开，把剪下的四个小正方形拼成一个正方形，再沿虚线折叠即可；（2）如图，2，沿黑线剪开，把剪下的三部分拼成一个正三角形，再沿虚线折叠即可；（3）如图3，沿黑线剪开，把剪下的五部分拼成一个正五边形，再沿虚线折叠即可．点评：本题考查了图形的剪拼，解题的关键在于根据拼成棱柱的表面积与原图形的面积相等，从而判断出剪下的部分拼成的图形应该是棱柱的一个底面．6.把下图折成正方体后，如果相对面所对应的值相等，那么xy的值为_________。
七年级数学上册难点突破04绝对值试题含解析新版北师大版
专题04 绝对值【专题说明】1．掌握一个数的绝对值的求法和性质；2．进一步学习使用数轴,借助数轴理解绝对值的几何意义；3．会求一个数的绝对值,并会用绝对值比较两个负有理数的大小；4. 理解并会熟练运用绝对值的非负性进行解题.【知识点总结】一、绝对值1.定义:一般地,数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值,记作|a |.要点诠释:（1）绝对值的代数意义:一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a 都有:（2）绝对值的几何意义:一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离,离原点的距离越远,绝对值越大；离原点的距离越近,绝对值越小．（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．2.性质:绝对值具有非负性,即任何一个数的绝对值总是正数或0．二、有理数的大小比较1.数轴法:在数轴上表示出这两个有理数,左边的数总比右边的数小. 如:a 与b 在数轴上的位置如图所示,则a ＜b ．2.法则比较法:两个数比较大小,按数的性质符号分类,情况如下: 两数同号同为正号:绝对值大的数大同为负号:绝对值大的反而小两数异号 正数大于负数 (0)||0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩要点诠释:利用绝对值比较两个负数的大小的步骤:（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小:（3）判定两数的大小．3. 作差法:设a 、b 为任意数,若a －b ＞0,则a ＞b ；若a －b ＝0,则a ＝b ；若a －b ＜0,a ＜b ；反之成立．4. 求商法:设a 、b 为任意正数,若1a b >,则a b >；若1a b =,则a b =；若1a b<,则a b <；反之也成立．若a 、b 为任意负数,则与上述结论相反．5. 倒数比较法:如果两个数都大于零,那么倒数大的反而小.【精典例题】一、绝对值的概念1、求下列各数的绝对值．112-,－0.3,0,132⎛⎫-- ⎪⎝⎭【思路点拨】112,－0.3,0,132⎛⎫-- ⎪⎝⎭在数轴上位置距原点有多少个单位长度,这个数字就是各数的绝对值．还可以用绝对值法则来求解．【答案与解析】方法1:因为112-到原点距离是112个单位长度,所以111122-=． 因为－0.3到原点距离是0.3个单位长度,所以|－0.3|＝0.3．因为0到原点距离为0个单位长度,所以|0|＝0．因为132⎛⎫-- ⎪⎝⎭到原点的距离是132个单位长度,所以113322⎛⎫--= ⎪⎝⎭． 方法2:因为1102-<,所以111111222⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭． 因为－0.3＜0,所以|－0.3|＝－(－0.3)＝0.3．因为0的绝对值是它本身,所以|0|＝0因为1302⎛⎫-->⎪⎝⎭,所以113322⎛⎫--=⎪⎝⎭【总结升华】求一个数的绝对值有两种方法:一种是利用绝对值的几何意义求解(如方法1),一种是利用绝对值的代数意义求解(如方法2),后种方法的具体做法为:首先判断这个数是正数、负数还是零．再根据绝对值的意义,确定去掉绝对值符号的结果是它本身,是它的相反数,还是零．从而求出该数的绝对值．2、已知一个数的绝对值等于2009,则这个数是________．【答案】2009或－2009【解析】根据绝对值的定义,到原点的距离是2009的点有两个,从原点向左侧移动2009个单位长度,得到表示数－2009的点；从原点向右侧移动2009个单位长度,得到表示数2009的点．【总结升华】已知绝对值求原数的方法:(1)利用概念；(2)利用数形结合法在数轴上表示出来．无论哪种方法都要注意若一个数的绝对值是正数,则此数有两个,且互为相反数.3、计算:（1）145--（2）|－4|+|3|+|0| （3）－|+(－8)|【答案与解析】运用绝对值意义先求出各个绝对值再计算结果.(1)111444555⎡⎤⎛⎫--=---=-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,(2)|－4|+|3|+|0|＝4+3+0＝7,(3)－|+(－8)|＝－[－(－8)]＝－8．【总结升华】求一个数的绝对值有两种方法:一种是利用绝对值的几何意义求解,一种是利用绝对值的代数意义求解,后种方法的具体做法为:首先判断这个数是正数、负数还是零．再根据绝对值的代数意义,确定去掉绝对值符号的结果是它本身,是它的相反数,还是零．从而求出该数的绝对值．4、如果|x|＝6,|y|＝4,且x＜y．试求x、y的值．【思路点拨】6和－6的绝对值都等于6,4和－4的绝对值都等于4,所以要注意分类讨论．【答案与解析】因为|x|＝6,所以x＝6或x＝－6；因为|y|＝4,所以y＝4或y＝－4；由于x＜y,故x只能是－6,因此x＝－6,y＝±4．【总结升华】已知绝对值求原数的方法:(1)利用概念；(2)利用数形结合法在数轴上表示出来．无论哪种方法但要注意若一个数的绝对值是正数,则此数有两个,且互为相反数.此外,此题x＝－6,y＝±4,就是x＝－6,y＝4或x＝－6,y＝－4.二、比较大小1、比较下列有理数大小:(1)－1和0； (2)－2和|－3| ；(3)13⎛⎫-- ⎪⎝⎭和12- ；（4）1--______0.1-- 【答案】(1)0大于负数,即－1＜0；(2)先化简|－3|＝3,负数小于正数,所以－2＜3,即－2＜|－3|；(3)先化简1133⎛⎫--= ⎪⎝⎭,1122-=,1123>,即1132⎛⎫--<- ⎪⎝⎭． (4)先化简11--=-,0.10.1--=-,这是两个负数比较大小:因为11-=,0.10.1-=,而10.1>, 所以10.1-<-,即1--＜0.1--【解析】(2)、(3)、（4）先化简,再运用有理数大小比较法则．【点评】在比较两个负数的大小时,可按下列步骤进行:先求两个负数的绝对值,再比较两个绝对值的大小,最后根据“两个负数,绝对值大的反而小”做出正确的判断．2、比较下列每组数的大小:(1)－(－5)与－|－5|；(2)－(+3)与0；(3)45-与34--；(4)π-与| 3.14|--． 【思路点拨】先化简符号,去掉绝对值号再分清是“正数与零、负数与零、正数与负数、两个正数还是两个负数”,然后比较．【答案与解析】 (1)化简得:－(－5)＝5,－|－5|＝－5．因为正数大于一切负数,所以－(－5)＞－|－5|．(2)化简得:－(+3)＝－3．因为负数小于零,所以－(+3)＜0．(3)化简得:3344--=-．这是两个负数比较大小,因为44165520-==,33154420-==,且16152020>．所以4354-<--． (4)化简得:－|－3.14|＝－3.14,这是两个负数比较大小,因为 |－π|＝π,|－3.14|＝3.14,而π＞3.14,所以－π＜－|－3.14|．【总结升华】在比较两个负数的大小时,可按下列步骤进行:先求两个负数的绝对值,再比较两个绝对值的大小,最后根据“两个负数,绝对值大的反而小”做出正确的判断．三、绝对值非负性的应用1、已知|2－m|+|n－3|＝0,试求m－2n的值．【思路点拨】由｜a｜≥0即绝对值的非负性可知,｜2－m｜≥0,｜n－3｜≥0,而它们的和为0．所以｜2－m｜＝0,|n－3|＝0．因此,2－m＝0,n－3＝0,所以m＝2,n＝3．【答案与解析】因为|2－m|+|n－3|＝0且|2－m|≥0,|n－3|≥0所以|2－m|＝0,|n－3|＝0即2－m＝0,n－3＝0所以m＝2,n＝3故m－2n＝2－2×3＝－4．【总结升华】若几个数的绝对值的和为0,则每个数都等于0,即|a|+|b|+…+|m|＝0时,则a＝b＝…＝m＝0．2、已知a、b为有理数,且满足:12,则a=_______,b=________．【答案与解析】由,,,可得∴【总结升华】由于任何一个数的绝对值大于或等于0,要使这两个数的和为0,需要这两个数都为0．几个非负数的和为0,则每一个数均为0．四、含有字母的绝对值的化简1、把下列各式去掉绝对值的符号．(1)|a－4|(a≥4)；(2)|5－b|(b＞5)．【答案与解析】(1)∵ a≥4,∴a－4≥0,∴ |a－4|＝a－4．(2)∵ b＞5,∴ 5－b＜0,∴ |5－b|＝－(5－b)＝b－5．【总结升华】由字母的取值范围来判断绝对值里面的符号情况,再根据绝对值的意义去掉绝对值的符号.五、绝对值的实际应用1、正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定,下面是6个足球的质量检测结果,用正数记超过规定质量的克数,用负数记不足规定质量的克数．检测结果(单位:克):－25,+10,－20,+30,+15,－40．裁判员应该选择哪个足球用于这场比赛呢?请说明理由．【答案】因为｜+10｜＜｜+15｜＜｜－20｜＜｜－25｜＜｜+30｜＜｜－40｜,所以检测结果为+10的足球的质量好一些．所以裁判员应该选第二个足球用于这场比赛．【解析】根据实际问题可知,哪个足球的质量偏离规定质量越小,则足球的质量越好．这个偏差可以用绝对值表示,即绝对值越小偏差也就越小,反之绝对值越大偏差也就越大．【点评】绝对值越小,越接近标准.。
专题2.3绝对值-2021年七年级数学上册尖子生同步培优题库(教师版含解析)【北师大版】
2020-2021学年七年级数学上册尖子生同步培优题典【北师大版】专题2.3绝对值姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2020•霍林郭勒市模拟)﹣2020的绝对值的相反数为()A．﹣2020B．2020C．12020D．−12020【分析】根据绝对值和相反数的概念求解可得．【解答】解：因为﹣2020的绝对值为2020，所以﹣2020的绝对值的相反数为﹣2020，故选：A．2．(2019春•普陀区期中)如果|3a|＝﹣3a，则a一定是()A．非正数B．负数C．非负数D．正数【分析】直接利用绝对值的性质分别分析得出答案．【解答】解：∵|3a|＝﹣3a，∴﹣3a≥0，∴a≤0，即a一定是非正数．故选：A．3．(2020•安丘市一模)|−23|的相反数是()A．−32B．12C．−23D．23【分析】直接利用相反数的定义以及绝对值的性质分析得出答案．【解答】解：|−23|=23的相反数是：−23．故选：C．4．(2018秋•惠民县校级月考)|x﹣3|+|y﹣2|＝0 成立的条件是() A．x＝3B．y＝2C．x＝3且y＝2D．x、y为任意数【分析】根据非负数的性质列方程求解即可．【解答】解：由题意得，x﹣3＝0且y﹣2＝0，解得x＝3，y＝2．故选：C．5．(2020•滨州)下列各式正确的是()A．﹣|﹣5|＝5B．﹣(﹣5)＝﹣5C．|﹣5|＝﹣5D．﹣(﹣5)＝5【分析】根据绝对值的性质和相反数的定义对各选项分析判断即可．【解答】解：A、∵﹣|﹣5|＝﹣5，∴选项A不符合题意；B、∵﹣(﹣5)＝5，∴选项B不符合题意；C、∵|﹣5|＝5，∴选项C不符合题意；D、∵﹣(﹣5)＝5，∴选项D符合题意．故选：D．6．(2020•岱岳区二模)下列各组数中，相等的是()A．﹣9和−19B．﹣|﹣9|和﹣(﹣9)C．9和|﹣9|D．﹣9和|﹣9|【分析】根据相反数的定义，绝对值的性质对各选项分别进行计算，然后利用排除法求解．【解答】解：A、﹣9≠−19，故本选项不符合题意；B、﹣|﹣9|＝﹣9，﹣(﹣9)＝9，﹣9≠9，故本选项不符合题意；C、|﹣9|＝9，故本选项符合题意；D、|﹣9|＝9，9≠﹣9，故本选项不符合题意．故选：C．7．(2019秋•新蔡县期中)如果x为有理数，式子2019﹣|x﹣2|存在最大值，这个最大值是() A．2016B．2017C．2019D．2021【分析】直接利用绝对值的性质得出|x﹣2|的最小值为0．进而得出答案．【解答】解：∵x为有理数，式子2019﹣|x﹣2|存在最大值，∴|x﹣2|＝0时，2019﹣|x﹣2|最大为2019，故选：C．8．(2019秋•越秀区期末)满足等式|x|+5|y|＝10的整数(x，y)对共有()A．5对B．6对C．8对D．10对【分析】先用含绝对值x的代数式表示绝对值y，根据等式的整数解确定x的取值范围和x的值，再确定等式整数解的对数．【解答】解：等式|x|+5|y|＝10可变形为：|y|=10−|x|5＝2−|x| 5∵|y|≥0，即2−|x|5≥0∴﹣10≤x≤10．∵x、y都是整数，所以x＝﹣10、﹣5、0、5、10．当x＝﹣10时，y＝0；当x＝﹣5时，y＝±1；当x＝0时，y＝±2；当x＝5时，y＝±1；当x＝10时，y＝0．所以满足条件的整数有8对．故选：C．9．(2019秋•越秀区期末)在0，−23，−32，0.05这四个数中，最大的数是()A．0B．−23C．−32D．0.05【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．【解答】解：∵0.05＞0＞−23＞−32，∴最大的数是0.05．故选：D．10．(2019秋•资阳区校级期中)有理数的比较，正确的是( ) A ．﹣1000＞0.0001 B ．45＜34C ．﹣(﹣2)＝﹣|﹣2|D ．−23＜−12【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可． 【解答】解：∵﹣1000＜0.0001， ∴选项A 不符合题意；∵45＞34，∴选项B 不符合题意；∵﹣(﹣2)＞﹣|﹣2|， ∴选项C 不符合题意；∵−23＜−12， ∴选项D 符合题意． 故选：D ．二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)请把答案直接填写在横线上 11．(2019秋•怀柔区期末)若|x |＝3，则x ＝ ±3 ． 【分析】根据绝对值的性质解答即可． 【解答】解：∵|x |＝3， ∴x ＝±3． 故答案为：±3．12．(2020•湘西州)−13的绝对值是13．【分析】根据绝对值的意义，求出结果即可．【解答】解：根据负数的绝对值等于它的相反数可得，|−13|=13， 故答案为：13．13．(2019秋•内乡县期末)化简：﹣|−35|＝−35．【分析】根据绝对值的性质化简即可求解．【解答】解：﹣|−35|=−35．故答案为：−3 5．14．(2019秋•新昌县期末)已知|a|＝2020，则a＝±2020．【分析】直接利用绝对值的性质得出答案．【解答】解：∵|a|＝2020，∴a＝±2020．故答案为：±2020．15．(2019•包头二模)若|3x﹣2|与|y﹣1|互为相反数，则3xy＝2．【分析】利用非负数的性质求出x与y的值，代入所求式子计算即可求出值．【解答】解：∵|3x﹣2|+|y﹣1|＝0，∴3x﹣2＝0，y﹣1＝0，∴x=23，y＝1，所以3xy＝3×23×1，故答案为：2．16．(2019秋•钟楼区期中)用“＞”或“＜”或“＝”填空：(1)﹣|﹣2|＜﹣(﹣3)；(2)−45＜−34．【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．【解答】解：(1)﹣|﹣2|＝﹣2，﹣(﹣3)＝3，∴﹣|﹣2|＜﹣(﹣3)；(2)∵|−45|＞|−34|，∴−45＜−34．故答案为：(1)＜；(2)＜．17．(2019春•黄浦区期中)比较大小：﹣|﹣4.25| ＜ ﹣(﹣414)(填“＞”、“＜”或“＝”)．【分析】根据有理数大小比较的方法即可得到结论． 【解答】解：∵﹣|﹣4.25|＝﹣4.25，﹣(﹣414)＝4.25，∴﹣|﹣4.25|＜﹣(﹣414)，故答案为：＜．18．(2019秋•海淀区校级期中)比较大小：−23＜ −47；−(−13) ＞ −|−13|． 【分析】根据有理数大小比较方法解答即可． 【解答】解：∵|−23|＞|−47|， ∴−23＜−47；∵−(−13)=13，−|−13|=−13， ∴−(−13)＞−|−13|． 故答案为：＜；＞三、解答题(本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19．分别写出下列各数的绝对值．−135，﹣(+6.3)，+(﹣32)，12，312．【分析】由于一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，所以根据绝对值的性质即可解答． 【解答】解：|−135|=135， |﹣(+6.3)|＝|﹣6.3|＝6.3， |+(﹣32)|＝|﹣32|＝32， |12|＝12，|312|=312．20．(2019秋•沙雅县期中)把下列各数填在相应的括号里： ﹣8，0.275，227，0，﹣1.04，﹣(﹣3)，−13，|﹣2|正数集合{ 0.275，227，﹣(﹣3)，|﹣2| …}负整数集合{ ﹣8 …}分数集合{ 0.275，227，﹣1.04，−13 …}负数集合{ ﹣8，﹣1.04，−13 …}．【分析】根据正、负数以及分数的定义，在给定有理数中分别挑出正数、负整数、分数以及负数，此题得解．【解答】解：在﹣8，0.275，227，0，﹣1.04，﹣(﹣3)，−13，|﹣2|中，正数有：0.275，227，﹣(﹣3)，|﹣2|；负整数有：﹣8；分数有：0.275，227，﹣1.04，−13；负数有：﹣8，﹣1.04，−13． 故答案为：0.275，227，﹣(﹣3)，|﹣2|；﹣8；0.275，227，﹣1.04，−13；﹣8，﹣1.04，−13．21．(2016秋•高密市校级月考)把下列各数填在相应的集合里 +7，−35，﹣10，0，0.674，﹣4，334，﹣9.08，400%，﹣|﹣12| 负分数集{ −35，﹣9.08 } 正整数集{ +7，400% }整数集 { +7，﹣10，0，﹣4，﹣400%，﹣|﹣12| } 自然数集{ +7，0，400% } 负整数集{ ﹣10，﹣4，﹣|﹣12| } 非负数集{ +7，0，0.674，334，400% }．【分析】按照有理数的分类进行判断：有理数包括：整数和分数；整数包括：正整数、0和负整数；分数包括：正分数和负分数．【解答】解：负分数集合：{−35，﹣9.08 } 正整数集合：{+7，400%}整数集合：{+7，﹣10，0，﹣4，400%，﹣|﹣12|} 自然数集合：{+7，400%，0 } 负整数集合：{﹣10，﹣4，﹣|﹣12|} 非负数集合：{+7，0，0.674，334，400%}．故答案为：−35，﹣9.08；+7，400%；+7，﹣10，0，﹣4，400%，﹣|﹣12|；+7，0，400%；﹣10，﹣4，﹣|﹣12|；+7，0，0.674，334，400%．22．(1)已知a 是非零有理数，试求a|a|的值； (2)已知a ，b 是非零有理数，试求a|a|+b|b|的值；(3)已知a ，b ，c 是非零有理数，请直接写出a|a|+b |b|+c |c|的值．【分析】根据正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，即可解答． 【解答】解：(1)当a 为正数时，a |a|=1；当a 为负数时，a |a|=−1 (2)当a ，b 同为正数时，a|a|+b |b|=2；当a ，b 同为负数时，a|a|+b |b|=−2；当a ，b 异号时，a|a|+b |b|=0(3)±1，±3．23．(2019秋•淅川县期中)画一条数轴，把数﹣|﹣3|，4，﹣1.5，﹣5，212表示在数轴上，(1)将这五个数按从小到大的顺序排列：(2)把这五个数分成两类，其中一类含三个数，另一类含两个数，并写出每类数的特征 【分析】(1)直接将各数在数轴上表示，进而比较大小即可； (2)直接利用正数和负数进行分类即可． 【解答】解：(1)如图所示：则﹣5＜﹣3＜﹣1.5＜212＜4；(2)212，4正数，﹣5，﹣3，﹣1.5负数．24．(2019秋•海州区校级期中)先在数轴上画出表示﹣3、|﹣1|、﹣5、0、﹣(﹣4.5)、212各数的点，再用“＜”把这些数连接起来．【分析】先在数轴上表示出各数，再从左到右用“＜”把这些数连接起来即可． 【解答】解：在数轴上表示如图所示，排列为﹣5＜﹣3＜0＜|﹣1|＜212＜−(﹣4.5)．。
最新北师大版七年级数学上册《绝对值》同步精品练习题
2.3 绝对值一、课前导学：在给出的数轴上，标出以下各数及它们的相反数.－1，2，0，25，－4 观察以上各数在数轴上的位置，回答： 距原点一个单位长度的数是_______________距原点2个单位长度的数是____________和__________距原点25个单位长度.________和________距原点4个单位长度距原点最近的是__________.像1，2，25，4，0分别是±1，±2，±25，±4，0的绝对值.在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫该数的绝对值.如：+2的绝对值是2，记作|+2|=2－2的绝对值是2，记作|－2|=2因此绝对值是2的数有_____个，它们是_____，绝对值是101的数有_____个，它们是_____，那么0的绝对值记作| |=_____，－100的绝对值是_____，记作| |=_____.思考：一个数的绝对值能是负数吗？二、基础训练：一、填空题1.一个数a 与原点的距离叫做该数的_______.2.－|－76|=_______，－（－76）=_______，－|+31|=_______，－（+31）=_______，+|－（21）|=_______，+（－21）=_______.3._______的倒数是它本身，_______的绝对值是它本身.4.a +b =0,则a 与b _______.5.若|x |=51，则x 的相反数是_______.6.若|m －1|=m －1,则m _______1.若|m －1|>m －1,则m _______1.若|x |=|－4|,则x =_______.若|－x |=|21|,则x =_______.二、选择题1.|x |=2,则这个数是（ ）A.2B.2和－2C.－2D.以上都错 2.|21a |=－21a ，则a 一定是（ ）A.负数B.正数C.非正数D.非负数 3.一个数在数轴上对应点到原点的距离为m ，则这个数为（ ） A.－mB.mC.±mD.2m 4.如果一个数的绝对值等于这个数的相反数，那么这个数是（ ） A.正数 B.负数 C.正数、零D.负数、零 5.下列说法中，正确的是（ ）A.一个有理数的绝对值不小于它自身B.若两个有理数的绝对值相等，则这两个数相等C.若两个有理数的绝对值相等，则这两个数互为相反数D.－a 的绝对值等于a三、判断题1.若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等.（ ） 2.若两个数相等，则这两个数的绝对值也相等.（ ） 3.若x <y <0,则|x |<|y |.（ ）四、解答题1.若|x －2|+|y +3|+|z －5|=0计算:（1）x ,y ,z 的值.（2）求|x |+|y |+|z |的值.2.若2<a <4,化简|2－a |+|a －4|.3.（1）若x x=1,求x . （2）若x x =－1,求x .三、能力提升：一、填空题1.互为相反数的两个数的绝对值_____.2.一个数的绝对值越小，则该数在数轴上所对应的点，离原点越_____.3.－32的绝对值是_____.4.绝对值最小的数是_____.5.绝对值等于5的数是_____，它们互为_____.6.若b＜0且a=|b|，则a与b的关系是______.7.一个数大于另一个数的绝对值，则这两个数的和一定_____0（填“＞”或“＜”）.8.如果|a|＞a，那么a是_____.9.绝对值大于2.5小于7.2的所有负整数为_____.10.将下列各数由小到大排列顺序是_____.－32，51，|－21|，0，|－5.1|11.如果－|a|=|a|，那么a=_____.12.已知|a|+|b|+|c|=0，则a=_____，b=_____，c=_____.13.比较大小（填写“＞”或“＜”号）（1）－53_____|－21| （2）|－51|_____0（3）|－56|_____|－34| （4）－79_____－5614.计算（1）|－2|×(－2)=_____ （2）|－21|×5.2=_____（3）|－21|－21=_____ （4）－3－|－5.3|=_____二、选择题15.任何一个有理数的绝对值一定（）A.大于0B.小于0C.不大于0D.不小于016.若a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，则a+b一定是（）A.正数B.负数C.非负数D.非正数17.下列说法正确的是（）A.一个有理数的绝对值一定大于它本身B.只有正数的绝对值等于它本身C.负数的绝对值是它的相反数D.一个数的绝对值是它的相反数，则这个数一定是负数18.下列结论正确的是（）A.若|x|=|y|，则x=－yB.若x=－y，则|x|=|y|C.若|a|＜|b|，则a＜bD.若a＜b，则|a|＜|b|三、解答题19.“南辕北辙”这个成语讲的是我国古代某人要去南方，却向北走了起来，有人预言他无法到达目的地，他却说：“我的马很快，车的质量也很好”，请问他能到达目的地吗？“马很快，车质量好”会出现什么结果，用绝对值的知识加以说明.20.某班举办“迎七一”知识竞赛，规定答对一题得10分，不答得0分，答错一题扣10分，今有甲、乙、丙、丁四名同学所得分数，分别为+50，+20，0，－30，请问哪个同学分数最高，哪个最低，为什么？最高分高出最低分多少？21.把－3.5、|－2|、－1.5、|0|、331、|－3.5|记在数轴上，并按从小到大的顺序排列出来.良好的学习态度能够更好的提高学习能力。
北师大版七年级数学上册《绝对值》
A.1 个
B.2 个
C.3 个D.4个 Nhomakorabea究新知知识点 2 绝对值
观察下列每对数，并把它们在数轴上标出:
6和- 6，2和 -2，1和-1
-6
-2 -1 1 2
6
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
表示每对数的两个点在数轴上有什么特点？ 表示每对数的两点分别位于原点的两边且到原点的距离相等.
，
21 . 解：｜-21｜=21；
｜
+
4 9
｜=
｜0｜= 0;
｜-7.8｜=7.8; 49｜21｜;=21.
方法点拨：求一个数的绝对值的方法：先判断这个数是 正数、0、还是负数，再根据正数和0的绝对值是它本身， 负数的绝对值是它的相反数，求出这个数的绝对值.
巩固练习
变式训练
2018的绝对值是（ C
答：｜-1.5｜=1.5，｜-3｜=3，｜-1｜=1，｜-5｜=5. ｜-1｜﹤｜-1.5｜﹤｜-3｜﹤｜-5｜
(3)你发现了什么？ 答：两个负数比较大小，绝对值大的反而小.
探究新知
素养考点 利用绝对值比较两个负数的大小
例 比较下列每组数的大小（1）-1和-5； （2）-56和-2.7
解法一 （利用数轴比较两个负数的大小） 还可以怎么比较？
A.
1 2018
C. 2018
）
B. -2018
D.
1 2018
探究新知
知识点 3 利用绝对值比较两个负数的大小 做一做
(1)在数轴上表示下列各数，并比较它们的大小： -1.5，-3，-1，-5
-5
-4
-3
-2 −1.5 -1
0
1
初一数学绝对值典型例题精讲
第三道 千万于值之阳早格格创做基础思维及数教要收是初中数教教习的基石，期视共教们通过教习、坚韧对付千万于值的相闭知识不妨掌握办法. 千万于值的定义及本量千万于值 简朴的千万于值圆程化简千万于值式，分类计划（整面分段法） 千万于值几许意思的使用千万于值的定义：正在数轴上，一个数所对付应的面与本面的距离称为该数的千万于值，记做|a|.千万于值的本量：（1） 千万于值的非背性，不妨用下式表示：|a|≥0，那是千万于值非常要害的本量；a （a ＞0）（2） |a|= 0 （a=0） （代数意思）-a (a ＜0)（3）若|a|=a ，则a≥0；若|a|=-a ，则a≤0； （4） 所有一个数的千万于值皆没有小于那个数，也没有小于那个数的差异数，即|a|≥a ，且|a|≥-a ；（5） 若|a|=|b|，则a=b 大概a=-b ；（几许意思）（6） |ab|=|a|·|b|；|b a |=||||b a （b≠0）； （7）|a|2=|a 2|=a 2； （8） |a+b|≤|a|+|b| |a -b|≥||a|-|b|| |a|+|b|≥|a+b||a|+|b|≥|a -b|[例1]（1）千万于值大于2.1而小于4.2的整数有几个？ （2）若ab<|ab|，则下列论断精确的是（ ） A.a ＜0，b ＜0 B.a ＞0，b ＜0 C.a ＜0，b ＞0 D.ab ＜0 （3）下列各组推断中，精确的是（ ） A ．若|a|=b ，则一定有a=b B.若|a|＞|b|,则一定有a ＞b C. 若|a|＞b ，则一定有|a|＞|b| D.若|a|=b ，则一定有a 2=(-b)2 （4）设a ，b 是有理数，则|a+b|+9有最小值仍旧最大值？其值是几？ 分解： （1）分离数轴绘图分解.千万于值大于2.1而小于4.2的整数有±3，±4，有4个 （2）问案C 没有完备，采用D.正在此注意复习坚韧知识面3.（3）采用D. （4） 根据千万于值的非背性不妨了解|a+b|≥0，则|a+b|≥9，有最小值9[坚韧] 千万于值小于3.1的整数有哪些？它们的战为几？ <分解>：千万于值小于3.1的整数有0，±1，±2，±3，战为0.[坚韧] 有理数a 与b 谦脚|a|>|b|，则底下哪个问案精确（ ） 分解：采用D.[坚韧] 若|x-3|=3-x ，则x 的与值范畴是____________分解：若|x-3|=3-x ，则x-3≤0，即x≤3.对付知识面3的复习坚韧[坚韧] 若a ＞b ，且|a|<|b|，则底下推断精确的是（ ）A.a ＜0B.a ＞0C.b ＜0D.b ＞0分解：采用C[坚韧] 设a ，b 是有理数，则-8-|a-b|是有最大值仍旧最小值？其值是几？分解：|a-b|≥0，-8-|a-b|≤-8，所以有最大值-8[例2]（1）（竞赛题）若3|x-2|+|y+3|=0，则xy 的值是几？ （2）若|x+3|+(y-1)2=0，供n xy )4(--的值 分解：（1）|x-2|=0，|y+3|=0，x=2，y=-3，x y =23-（2）由|x+3|+（y-1）2=0，可得x=-3，y=1.x y --4=314+-=-1 n 为奇数时，本式=1；n 为奇数时，本式=-1 小知识面汇总：（基础 |a|≥0 b 2≥0）若(x-a)2+(x-b)2=0,则x-a=0且x-b=0；若|x-a|+(x-b)2=0,则x-a=0且x-b=0；若|x-a|+|x-b|=0，则x-a=0且x-b=0；天然各项前里存留正系数时仍旧创造，非背项减少到多项时，每一项均为0，二个非背数互为差异数时，二者均为0（1）已知x 是有理数，且|x|=|-4|，那么x=＿＿＿＿ （2）已知x 是有理数，且-|x|=-|2|，那么x=＿＿＿＿ （3）已知x 是有理数，且-|-x|=-|2|，那么x=＿＿＿＿ （4） 如果x ，y 表示有理数，且x ，y 谦脚条件|x|=5，|y|=2，|x-y|=y-x ，那么x+y 的值是几？分解：（1）4，-4 （2）2，-2， （3）2，-2（4）x=±5，y=±2，且|x-y|=y-x ，x-y≤0；当x=5，y=2时没有谦脚题意；当x=5，y=-2时没有谦脚题意；当x=-5，y=2时谦脚题意；x+y=-3；当x=-5，y=-2时谦脚题意，x+y=-7.【坚韧】坚韧|x|=4，|y|=6，供代数式|x+y|的值分解：果为|x|=4，所以x=±4，果为|y|=6，所以y=±6当x=4，y=6时，|x+y|=|10|=10； 当x=4，y=-6时，|x+y|=|-2|=2;当x=-4，y=6时，|x+y|=|2|=2； 当x=-4，y=-6时，|x+y|=|10|=10【例4】解圆程：（1）05|5|23=-+x （2）|4x+8|=12（3）|3x+2|=-1（4）已知|x-1|=2，|y|=3，且x 与y 互为差异数，供y xy x 4312--的值 分解：（1）本圆程可变形为：|x+5|=310，所以有x+5=±310，从而可得：x=-35，-325； （2）4x+8=±12，x=1，x=-5（3）此圆程无解（4）|x-1|=2，x-1=±2，x=3，x=-1，|y|=3，y=±3，且x与y 互为差异数，所以x=3，y=-3，244312=--y xy x 【例5】 若已知a 与b 互为差异数，且|a-b|=4，供12+++-ab a b ab a 的值分解：a 与b 互为差异数，那么a+b=0.12+++-ab a b ab a =,4,4||,1001)(±=-=--=+⨯-=++-+b a b a ab a ab b a a ab b a 当a-b=4时，且a+b=0，那么a=2，b=-2，-ab=4； 当a-b=-4时，且a+b=0，那么a=-2，b=2，-ab=4； 综上可得12+++-ab a b ab a =4（1） 已知a=-21，b=-31，供||32|34|2|2|4)2(|42|2--+-+-++a b b a b a ba 的值（2）若|a|=b ，供|a+b|的值 （3） 化简：|a-b|分解：（1）本式=718||31|334|2|3221|4)3221(|341|2-=---+--------- （2）|a|=b ，咱们不妨了解b≥0，当a<0时，a=-b ，|a+b|=0；当a≥0时，a=b ，|a+b|=2b（3）分类计划.当a-b ＞0时，即a ＞b ，|a-b|=a-b ；当a-b=0时，即a=b ，|a-b|=0；当a-b ＜0时，即a ＜b ，|a-b|=b-a.【坚韧】 化简：（1）|3.14-π| （2）|8-x|（x≥8）分解：（1）3.14<π，3.14-π＜0，|3.14-π|=π-3.14（2）x≥8，8-x≤0，|8-x|=x-8.【例7】有理数a ，b ，c 正在数轴上对付应面如图所示，化简|b+a|+|a+c|+|c-b|分解：|b+a|+|a+c|+|c-b|=b+a-（a+c ）-（c-b ）=2b-2c【坚韧】已知a ，b ，c 正在数轴上的位子如图所示，化简|a|+|c-b|+|a-c|+|b-a|分解：|a|+|c-b|+|a-c|+|b-a|=-a+b-c-a+c+b-a=2b-3a【坚韧】数a ，b 正在数轴上对付应的面如图所示，是化简|a+b|+|b-a|+|b|-|a-|a||分解：|a+b|+|b-a|+|b|-|a-|a||=-（a+b ）+（b-a ）+b-（-2a ）=b【例8】（1）若a<-b 且0>ba ，化简|a|-|b|+|a+b|+|ab| （2）若-2≤a≤0，化简|a+2|+|a-2|（3）已知x<0<z,xy>0,|y|>|z|>|x|,供|x+z|+|y+z|-|x-y|的值 分解：（1）若a<-b 且0>ba ，a<0,b<0,a+b<0,ab>0 |a|-|b|+|a+b|+|ab|=-a+b-a-b+ab=ab-2a(2)果为-2≤a≤0，所以a+2≥0，a-2≤0，|a+2|+|a-2|=(a+2)-(a-2)=4(3)由x<0<z,xy>0可得：y<0<z,又|y|>|z|>|x|,可得：y<x<z;本式=x+z-y-z-x+y=0【坚韧】如果0<m<10而且m≤x≤10，化简|x-m|+|x-10|+|x-m-10| 分解：|x-m|+|x-10|+|x-m-10|=x-m+10-x+m+10-x=20-xC B 0A【例9】（1）已知x<-3,化简|3+|2-|1+x|||（2）若a<0，试化简||3|||3|2a a a a -- 分解：（1）当x<-3时，|3+|2-|1+x|||=|3+|2+1+x||=|3+|3+x||=|3-3-x|=|-x|=-x（2）||3|||3|2a a a a --=|3|32a a a a --+=aa 45-=-45 【例10】若abc≠0，则||||||c c b b a a ++的所有大概值 分解：从完齐思量：（1）a ，b ，c 齐正，则||||||c c b b a a ++=3； （2）a ，b ，c 二正一背，则||||||c c b b a a ++=1； （3）a ，b ，c 一正二背，则||||||c c b b a a ++=-1； （4）a ，b ，c 齐背，则||||||c c b b a a ++=-3 【坚韧】有理数a ，b ，c ，d ，谦脚1||-=abcd abcd，供d d c c b b a a ||||||||+++的值 分解：有1||-=abcd abcd知abcd<0，所以a ，b ，c ，d 里含有1个背数大概3个背数：（1）若含有1个背数，则d d c c b b a a ||||||||+++=2； （2） 若含有3个背数，则dd c c b b a a ||||||||+++=-2 【例11】化简|x+5|+|2x-3|3，整面不妨将分解：先找整面.x+5=0，x=-5；2x-3=0，x=2数轴分成几段.3，x+5＞0,2x-3≥0，|x+5|+|2x-3|=3x+2；当x≥23，x+5≥0,2x-3＜0，|x+5|+|2x-3|=8-x；当-5≤x＜2当x<-5，x+5<0,2x-3，|x+5|+|2x-3|=-3x-2【坚韧】化简：|2x-1|1，依次整面不妨将数轴分成分解：先找整面.2x-1=0，x=2几段1,2x-1<0，|2x-1|=﹣（2x-1）=1﹣2x；（1）x<21，2x-1=0，|2x-1|=0（2）x=21，2x-1>0，|2x-1|=2x-1.也可将（2）与（1）合（3）x>2并写出截止【例12】供|m|+|m-1+|m-2|的值分解：先找整面，m=0，m-1=0，m-2=0，解得m=0,1,2依那三个整面将数轴分为四段：m＜0,0≤m＜1,1≤m＜2，m≥2.当m<0时，本式=﹣m﹣（m-1）-（m-2）=-3m+3当0≤m＜1时，本式=m-（m-1）-（m-2）=-m+3当1≤m＜2时，本式=m+（m-1）-（m-2）=m+1当m≥2时，本式m+(m-1)+（m-2）=3m-3|a|的几许意思：正在数轴上，表示那个数的面离启本面的距离|a-b|的几许意思：正在数轴上，表示数a，b对付应数轴上二面间的距离【例13】供|x-3|+|x-5|+|x-2|+|x+1|+|x+7|的最小值分解：由上题可知，本题中的式子值应为x所对付应的面分别到3,5,2，-1，-7所对付应的面距离战.通过数轴不妨瞅到，当x=2时，五段距离的战有最小值16.那里咱们不妨把小教奥数中的相闭知识通联到所有道解：【小教奥数相闭题目】如图，正在交到上有A、B、C、D、E五栋住户楼，当前创造一个邮筒，为使五栋楼的住户到邮筒的便齐力之战最短，邮局应坐于那边？A B C D E分解：咱们去分解以下A、E二个面，没有管那个邮筒搁正在AE之间的哪一面，A到邮筒的距离加上E到邮筒的距离便是AE的少度.也便是道邮筒搁正在哪没有会做用那二个面到邮筒的距离之战.那么咱们便使其余的3个面到邮筒的距离之战最短，再瞅为了使B、D二个到邮筒的距离之战也是没有变的，等于BD.末尾，只需要思量C面到邮筒的距离迩去便止了.那么天然也便是把邮筒搁正在C面了.那里便体现了一个“背核心靠拢的思维”题后小论断：供|x-a1|+|x-a2|+…+|x-an|的最小值：当n为奇数时，把a1、a2、…an从小到大排列，x等于最中间的数值时，该式子的值最小.当n为奇数时，把a1、a2、…an从小到大排列，x与最中间二个数值之间的数（包罗最中间的数）时，该式子的值最小.【坚韧】商量|a|与|a-b|的几许意思分解：|a|即为表示a的面A与本面之间的距离，也即为线段AO的少度.闭于|a-b|，咱们不妨引进简直数值加以分解：当a=3，b=2时，|a-b|=1；当a=3，b=-2时，|a-b|=5；当a=3，b=0时，|a-b|=3；当a=-3，b=-2时，|a-b|=1；从上述四种情况分别正在数轴上标注出去，咱们没有克没有及易创造：|a-b|对付应的是面A与面B之间的距离，即线段AB的少度.【坚韧】设a1、a2、a3、a4、a5为五个有理数，谦脚a1<a2<a3<a4<a5,供|x-a1|+|x-a2|+|x-a3|+|x-a4|+|x-a5|的最小值分解：当x=a3时有最小值，a4+a5-a1-a2【例14】设a<b<c<d,供y=|x-a|+|x-b|+|x-c|+|x-d|的最小值，并供出此时x的与值分解：根据几许意思不妨得到，当b≤x≤c时，y有最小值为c+d-a-b【例1】若|a|=1，|b|=2，|c|=3，且a>b>c,那么a+b-c=＿＿＿＿＿＿分解：根据题意可得：a=±1，b=-2，c=-3，那么a+b-c=0大概2【例2】已知(a+b)2+|b+5|=b+5,且|2a-b-1|=0，那么ab=＿＿＿＿＿＿分解：果为(a+b)2+|b+5|=b+5,咱们不妨了解b+5>0，所以本式不妨表示为：(a+b)2+b+5=b+5，(a+b)2=0，a=-b ，又果为|2a-b-1|=0，从而2a-b-1=0，从而2a-b-1=0,3a=1，a=31，b=-31，ab=-91【例3】对付于|m-1|，下列论断精确的是（ ）A.|m-1|≥|m|B.|m -1|≤|m|C.|m -1|≥|m|-1D.|m-1|≤|m|-1分解：咱们不妨分类计划，但是那样对付于干采用题皆过于贫苦了.咱们不妨用特殊值法代进考验，对付于千万于值的题目咱们普遍需要戴进正数、背数、0,3种数助闲找到准确问案.易得问案为C.【例4】设a ，b ，c 为真数，且|a|+a=0，|ab|=ab ，|c|-c=0，化简|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|分解：|a|+a=0，|a|=-a ，a≤0；|ab|=ab ，ab≥0；|c|-c=0，|c|=c ，c≥0.所以不妨得到a≤0，b≤0，c≥0；|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|=-b+（a+b ）-（c-b ）-（a-c ）=b【例5】化简：||x-1|-2|+|x+1|分解：先找整面.x-1=0，x=1，|x-1|-2=0，|x-1|=2，x-1=2大概x-1=-2，可得x=3大概者x=-1；x+1=0，x=-1；综上所得整面有1.，-1,3，依次整面不妨将数轴分成几段.（1） x≥3，x-1>0，|x-1|-2≥0，x+1>0,||x-1|-2|+|x+1|=2x-2； （2） 1≤x<3，x-1≥0，|x-1|-2<0，x+1>0，||x-1|-2|+|x+1|=4； （3）-1≤x≤1，x-1<0，|x-1|-2<0，x+1≥0，||x-1|-2|+|x+1|=2x+2；（4） x<-1,x-1<0,|x-1|-2<0,x+1<0,||x-1|-2|+|x+1|=-2x-2 【例6】已知有理数a ，b ，c 谦脚1||||||=++cc bb aa ，供abcabc ||的值分解：对付于任性的整数a ，有1||±=aa ，若1||||||=++cc b b a a ，则a ，b ，c 中必是二正一背，则abc<0，abcabc ||=-1【例7】若a ，b ，c ，d 为互没有相等的有理数，且|a-c|=|b-c|=|d-b|=1，供|a-d|分解：从|a-c|=|b-c|咱们不妨了解，c 到a ，b 的距离皆是1，且三者没有相等，那么正在数轴上便有：(b)(a)果为|d-b|=1，且a ，b ，c ，d 为互没有相等的有理数，则有：隐然易得|a-d|=32供p+2m+3n 的值分解：千万于值为非背数，|m+3 |+|n-27|+|2p-1|=0,所以m+3=0，n-27=0，2p-1=0，即得m=-3，n=27，p=21，所以p+2m+3n=21-6+3×27=52、（1）已知|x|=2，|y|=3且x-y>0，则x+y 的值为几？ （2）解圆程：|4x-5|=8 分解：（1）x=±2，y=±3，当x=2，y=3时，没有谦脚x-y ＞0；x=2，y=-3时，谦脚x-y ＞0，那么x+y=-1； x=-2，y=3时，没有谦脚x-y ＞0；x=-2，y=-3时，谦脚x-y ＞0，那么x+y=-5. 综上可得x+y 的值为-1，-5（2）4x-5=±8，x=413，x=-433、（1）有理数a ，b ，c 正在数轴上对付应面如图所示，化简|a-b|-|a+b|+|b-c|-|c|（2）若a ＜b ，供|b-a+1|-|a-b-5|的值 （3）若a ＜0，化简|a-|-a||(b)(a)分解：（1）a-b ＜0，b-c ＞0，a+b ＜0|a-b|-|a+b|+|b-c|-|c|=-（a-b ）+（a+b ）+（b-c ）+c=3b （2）|b-a+1|-|a-b-5|=b-a+1+a-b-5=-4 （3）|a-|-a||=|a+a|=|2a|=-2a 4、已知a 利害整有理数，供||||||3322a a a a a a ++的值分解：若a ＞0，那么||||||3322a a a a a a ++=1+1+1=3；若a ＜0，那么||||||3322a a a a a a ++=-1+1-1=-15、化简|x-1|-|x-3|分解：先找整面.x-1=0,，x=1；x-3=0，x=3，依照整面不妨将数轴分成几段.（1） x≥3，x-1＞0，x-3≥0，|x-1|-|x-3|=x-1-（x-3）=2； （2） 1≤x ＜3，x-1≥0，x-3＜0 ，|x-1|-|x-3|=x-1+（x-3）=2x-4； （3）x ＜1，x-1＜0，x-3＜0，|x-1|-|x-3|=-（x-1）+（x-3）=-26、设a ＜b ＜c ，供当x 与何值时|x-a|+|x-b|+|x-c|的最小值 分解：|x-a|+|x-b|+|x-c|本量表示x 到a ，b ，c 三面距离战，绘图可知当x=b 时，本式有最小值c-a。
21--22学年北师大版七年级上册 2、1-2、3：有理数、数轴与绝对值 一课一练(含答案)
《有理数、数轴与绝对值 》习题2一、选择题1．在0，1-，3，12，﹣0.1，0.08中，负数的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．在下列数﹣56，+1，6.7，﹣15，0，722，﹣1，25%中，属于整数的有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个3．下列各数：78,1.010010001,,0,, 2.626626662,0.12,433π---其中有理数的个数是 ( )A ．3B ．4C ．5D ．64.实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是( )A ．a ＞﹣2B ．a ＜﹣3C ．a ＞﹣bD ．a ＜﹣b5.如图所示，a 、b 、c 表示有理数，则a 、b 、c 的大小顺序是( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c b a <<6.a 、b 两数在数轴上位置如图所示，将a 、b 、﹣a 、﹣b 用“＜”连接，其中正确的是( )A ．a ＜﹣a ＜b ＜﹣bB ．﹣b ＜a ＜﹣a ＜bC ．﹣a ＜b ＜﹣b ＜aD ．﹣b ＜a ＜b ＜﹣a7.实效m ，n 在数轴上的对应点如图所示，则下列各式子正确的是( )A ．m n >B ．n m ->C ．m n ->D ．m n <8.一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动。
设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离是1个单位长，n x 表示第n 秒时机器人在数轴上的位置所对应的数。
给出下列结论：①33x =；②51x =；③108104x x <；④20182019x x >。
其中，正确的结论的序号是( )A ．①③B ．②③C ．①②③D ．①②④9.一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位，再向左移动7个单位长度，这时点所对应的数是( )A ．3B ．1C ．﹣2D ．﹣410.下列各组数中，互为相反数的是( )A ．﹣2与|﹣2|B ．﹣2与﹣|﹣2|C ．﹣2与﹣12 D ．2与|﹣2|11.如图，数轴上有 A ，B ，C ，D 四个点，其中到原点距离相等的两个点是( )A ．点B 与点 D B ．点 A 与点C C ．点 A 与点D D ．点 B 与点 C12.下列各组数中，互为相反数的是( )A ．(2)--和2B ．(5)--和(5)+-C ．12和2- D ．(6)+-和(6)-+13.如图表示互为相反数的两个点是( )A ．点A 与点B B ．点A 与点DC ．点C 与点BD ．点C 与点D14.下列各组数中，互为相反数的一组是( )A ．3-和-3B ．3和13C ．-3和13 D ．3-和315.数轴上点A ，B 表示的数分别是5，－2，它们之间的距离可以表示为() A ．|25|－－ B ．25－－ C ．25+－ D ．||25+－16.若x 与3的绝对值相等，则x ﹣1等于( )A ．2B ．﹣2C ．﹣4D ．2或﹣417.数轴上有A 、B 、C 、D 四个点，其中绝对值等于2的点是( )A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D18.已知下列说法：①符号相反的两个数互为相反数；②符号相反且绝对值相等的两个数互为相反数；③一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上越靠右；④一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远；⑤一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数一定是负数．其中正确的说法有( )个．A ．1B ．2C ．3D ．419.如图，实数3-，x ，3，y 在数轴上的对应点分别为M ，N ，P ，Q ，那么这四个数中绝对值最小的数对应的点是( )A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q20.如图，数轴上A ，B ，C ，D 四个点所表示的实数分别为a ，b ，c ，d 在这四个数中绝对值最小的数是( )A ．aB ．bC ．cD ．d21.设x 为有理数，若|x|＝x ，则( )A ．x 为正数B ．x 为负数C ．x 为非正数D ．x 为非负数22.若|x+2|+|y ﹣3|=0，则|x+y|的值为( )A ．1B ．﹣1C ．1或﹣1D ．以上都不对23.若|m|＝5，|n|＝7，m+n ＜0，则m ﹣n 的值是( )A ．﹣12或﹣2B ．﹣2或12C ．12或2D ．2或﹣1224.已知15a -=，则a 的值为( )A ．6B ．-4C ．6或-4D ．-6或425.若3,a =5b =，则a b -=( )A ．2B ．78C ．8-D ．2或8二、填空题1.如图，在数轴上有三个点A 、B 、C ，请回答下列问题．(1)A 、B 、C 三点分别表示 、 、 ；(2)将点B 向左移动3个单位长度后，点B 所表示的数是 ；(3)将点A 向右移动4个单位长度后，点A 所表示的数是 .2.|﹣34|的相反数是_____． 3.已知2x+4与3x ﹣2互为相反数，则x=_____．4.已知a 与b 的和为2，b 与c 互为相反数，若c =1，则a=__________．5.33x x -=-，则x 的取值范围是______．6.若210x y -++=，则2x y -的值为_______________．7.已知()2231a b +++取最小值，则a ab b+=____________。
北师大版七年级数学上册相反数倒数绝对值
绝对值、倒数、相反数【知识要点】一、绝对值1、绝对值的几何定义：在数轴上表示一个数a的点到原点的距离叫这个数a的绝对值，记作|a|2、绝对值的代数定义：一个正数的绝对值是它本身一个负数的绝对值是它的相反数0的绝对值是0a（a>0）,|a|= 0(a=0),-a(a<0),注：A、绝对值表示一个数对应的点到原点的距离，由于距离总是正数或零，则有理数的绝对值不可能事负数，即a取任意有理数，都有|a| 0B、离原点的距离越远，绝对值越大，离原点的距离越近，绝对值越小C、互为相反数的两个数绝对值相等，如：|2|=2，|-2|=23、绝对值的求法：先判断这个数是正数、负数、还是零，再根据绝对值的代数定义去掉绝对符号【典型例题】例一、绝对值去号的符号判定，看绝对值小于5的所有整数之积为（）例二、已知|a|<|b|，且a>0，b<0，把a、b、－a、－b按次序由大到小排列例三、有理数a、b、c在数轴上的对应点如图，化简|a－b|＋|a＋b|＋|c－a|－|c－b|例四、|a|+|b|=5，且a,b 都在原点的右边，则a+b=例五、|x|+|y|+|z|=0,那么，x=y=z=0【知识要点】二、倒数：乘积为1的两个有理数互为倒数注意：① 倒数的求法：求一个数的倒数，直接可写成这个数分之一② 求一个分数的倒数，只要将分子、分母颠倒即可③ 求一个带分数的倒数，应先将带分数化成假分数，再将分子、分母颠倒 ④ 求一个小数的倒数，应先将小数化成分数，然后再求倒数⑤ 零没有倒数⑥正数的倒数为正数，负数的倒数为负数【典型例题】例一、写出下列数的倒数 -1 -1.5 1.2 72 12例二、a 乘以8等于-1，则a 的值为【知识要点】三、相反数：如果两个数相加和为零，那么这两个数互为相反数（0的相反数是0）即：A+B=0，则A,B 互为相反数比如3+a=0,则3和a 互为相反数，a=-3注意：相反数的表示方法和意义如下-9的相反数是9-（-2）表示的数的意义是，-2的相反数-8表示的数的意义是8的相反数【典型例题】例一、 --()4的意义是___________，+-()4的意义是___________ 例二、若|x|=-x ，且x=1x ，则x=【课堂练习】1、下列各式中，等号不成立的是（ ）A 、│-4│=4B 、-│4│=-│-4│C 、│-4│=│4│D 、-│-4│=42、下列说法错误的是（ ）A 、一个正数的绝对值一定是正数B 、任何数的绝对值都是正数C 、一个负数的绝对值一定是正数D 、任何数的绝对值都不是负数3、绝对值大于-3而不大于3的整数的个数有（ ）A 、3个B 、4个C 、5个D 、6个4、若a ，b 是有理数，那么下列结论一定正确的是（ ）A 、若a<b ，则│a │<│b │B 、若a>b ，则│a │>│b │C 、若a=b ，则│a │=│b │D 、若a ≠b ，则│a │≠│b │5、若│a │=4，│b │=9，则│a+b │的值是（ ）A 、13B 、5C 、13或5D 、以上都不是6、下列说法中正确的有（ ）①互为相反数的两个数的绝对值相等；②正数和零的绝对值都等于它本身；③只有负数的绝对值是它的相反数；④一个数的绝对值是相反数的一定是负数A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个7、在判断①｜＋2｜＝2 ②｜－2｜＝2 ③－｜－5｜＝5④｜a ｜≥0 中正确的有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个8、|a|=-a ，则a 一定是（ ）A 、负数B 、正数C 、非正数D 、非负数9、一个数在数轴上对应点到原点的距离为m ，则这个数为（ ）A 、－mB 、mC 、±mD 、2m10、如果一个数的绝对值等于这个数的相反数，那么这个数是（ ）A 、正数B 、负数C 、正数、零D 、负数、零11、+7.2的相反数的绝对值是12、数轴上与原点的距离是6的点有___________个，这些点表示的数是___________；与原点的距离是9的点有___________个，这些点表示的数是___________13、 12的相反数是___________；___________的相反数是-23 414、如果一个数的相反数是负数，那么这个数一定是（）A、正数B、负数C、零D、正数、负数或零15、__________的相反数是它本身16、一个数的相反数是非负数，这个数一定是（）A、正数或零B、非零的数C、负数或零D、零17、下列叙述正确的是（）A、符号不同的两个数是互为相反数B、一个有理数的相反数一定是负有理数C、234与2.75都是-114的相反数 D、 0没有相反数18、|a|-|b|=15,并且a,b都在原点左边，求a-b=19、2的倒数与-3的倒数的和的倒数是20、已知|a-3|+|b+2|=0，求a+b2的值21、已知∣a∣=5，∣b ∣=2, ∣c∣=4.且有理数a,b,c在数轴上的位置如下图所示，试计算a+b+c的值a b 0 c22、在数轴上表示出1531412.，，各数及它们的相反数23、如图，已知a、b、c在数轴上的位置，化简：|a-b|-|b-c|+|c-a|【课后练习】一、选择题：1、已知a≠b，a=-5,|a|=|b|,则b等于( )A、+5B、-5C、0D、+5或-52、一个数在数轴上对应的点到原点的距离为m，则这个数的绝对值为( )A、-mB、mC、±mD、2m3、绝地值相等的两个数在数轴上对应的两点距离为8，则这两个数为( )A、+8或- 8B、+4或-4C、-4或+8D、-8或+44、一个数等于它的相反数的绝对值，则这个数是( )A、正数和零B、负数或零C、一切正数D、所有负数5、已知|a|>a,|b|>b,且|a|>|b|,则( )A、a>bB、a<bC、不能确定D、a=b6、-103，π，-3.3的绝对值的大小关系是( )A、103->|π|>|-3.3| B、103->|-3.3|>|π|C、|π|>103->|-3.3| D、103->|π|>|-3.3|7、若|a|>-a,则( )A、a>0B、a<0C、a<-1D、1<a二、填空题：1、在数轴上表示一个数的点，它离开原点的距离就是这个数的2、绝对值为同一个正数的有理数有个3、一个数比它的绝对值小10，这个数是4、一个数的相反数的绝对值与这个数的绝对值的相反数的关系是5、一个数的绝对值与这个数的倒数互为相反数，则这个数是6、若a<0,b<0,且|a|>|b|，则a与b的大小关系是7、绝对值不大一3的整数是，其和为8、在有理数中，绝对值最小的数是；在负整数中，绝对值最小的数是9、设|x|<3,且x>1x,若x为整数，则x=三、判断题1、任何一个有理数的绝对值是正数（）2、若两个数不相等，则这两个数的绝对值也不相等（）3、如果一个数的绝对值等于它们的相反数，这个数一定是数（）4、绝对值不相等的两个数一定不相等（）5、若|a|>|b|时，则a>b （）6、当a为有理数时，|a|≥a （）。
七年级数学上册 第二章 3绝对值例题与讲解 北师大版
3 绝对值1．相反数(1)相反数的定义像4和－4,3和－3,2.5和－2.5等这样只有符号不同的两个数，我们称其中一个数是另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数，特别地，0的相反数是0. 辨误区 相反数的理解 ①相反数“只有符号不同”，即符号相反，数字相同，不能误理解为“只要符号不同”就行，例如：－1与2符号不同，但不是互为相反数．②相反数是成对出现的，不能单独存在．例如，5是－5的相反数，－5也是5的相反数．③0的相反数为0是相反数定义的重要组成部分．【例1－1】 关于相反数下列说法正确的是( )．A ．－14和0.25不互为相反数 B ．－3是相反数 C ．任何一个数都有相反数 D ．正数与负数互为相反数解析：A × 只有符号不同，互为相反数B × 相反数是成对出现的C √ 正数、0、负数都有相反数D × 正数与负数中的数字不一定相同，不一定是互为相反数答案：C(2)相反数的求法求一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“－”号，就表示这个数的相反数． 一个有理数a ，它的相反数是多少呢?有理数a 的相反数是－a .这里a 可以表示任意一个数，可以是正数，可以是0，可以是负数，还可以是一个式子．比如：当a ＝2时，－a ＝－2,2与－2是互为相反数；当a ＝－1时，－a ＝－(－1)，因为－1的相反数是1，所以－(－1)＝1；当a ＝m ＋n 时，－a ＝－(m ＋n )，所以m ＋n 的相反数是－(m ＋n )．【例1－2】 填空：(1)－8的相反数是__________；－(－2.8)的相反数是__________；__________的相反数是14；100和__________是互为相反数． (2)如果m ＝－9，则－m ＝__________.解析：(1)根据相反数的定义和求法直接写出相反数即可．其中应注意－(－2.8)表示－2.8的相反数，等于2.8，所以－(－2.8)的相反数也就是2.8的相反数，应该填－2.8.(2)－m 表示m 的相反数，也就是求－9的相反数．答案：(1)8 －2.8 －14－100 (2)9 (3)相反数的几何意义一对相反数在数轴上对应的点，位于原点的两侧，并且到原点的距离相等．【例1－3】 如图，数轴上的点A ，B ，C ，D ，E 表示的数中哪些互为相反数？分析：解：(方法1)由图可知A ，B ，C ，D ，E 各点分别表示－4，－2.5,0.5,2.5,4.因为－4与4互为相反数，－2.5与2.5互为相反数，所以A 与E ，B 与D 表示的数互为相反数．(方法2)由图可知，点A ，B 在原点的左侧，且到原点的距离分别是4个单位长度和2.5个单位长度．C ，D ，E 在原点的右侧，且到原点的距离分别是0.5个单位长度，2.5个单位长度和4个单位长度．根据互为相反数的几何意义可得A 与E ，B 与D 表示的数互为相反数．2．绝对值(1)绝对值的几何定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值．①绝对值是一个数在数轴上的对应点离开原点的长度，如图中，点－4距离原点4个单位长度，则－4的绝对值就是4.②绝对值是一个距离．(2)绝对值的表示方法一个数a 的绝对值记作|a |，读作a 的绝对值．如，＋4的绝对值记作|＋4|，－8的绝对值记作|－8|.(3)绝对值的代数意义①一个正数的绝对值是它本身；②一个负数的绝对值是它的相反数；③0的绝对值是0.用式子表示为：|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，a >0，0，a ＝0，－a ，a <0.【例2】 下列说法正确的是( )．A ．|－5|表示－5的绝对值，等于－5B ．负数的绝对值等于它本身C ．－10距离原点10个单位长度，所以－10的绝对值是10D ．绝对值等于它本身的数有两个，是0和1 A × 绝对值是一个距离，不能为负数B × 负数的绝对值等于它的相反数C √ 一个数的绝对值是它在数轴上对应点与原点的距离D × 正数和0的绝对值都等于它本身3．绝对值的性质(1)数轴上表示某个数的点到原点的距离越近，它的绝对值就越小，到原点的距离越远，它的绝对值就越大．(2)任何一个有理数的绝对值一定是非负数，即|a |≥0.0是绝对值最小的有理数．(3)互为相反数的两个数的绝对值相等．反过来，若两个数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数．(4)任何一个有理数都有唯一的绝对值．但绝对值为某一正数的数有两个，它们互为相反数．例如，如果|a |＝2，那么a ＝±2.(5)任何一个数的绝对值都大于或等于它本身，即|a |≥a .【例3】 下列说法：①若|x |＝2 013，则x ＝2 013；②⎪⎪⎪⎪⎪⎪－23＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪＋32；③绝对值最小的有理数是1；④0没有绝对值；⑤一个有理数的绝对值一定是非负数．正确的个数为( )．A ．1B ．2C ．3D ．4解析：绝对值是2 013的数是±2 013；⎪⎪⎪⎪⎪⎪－23＝23，⎪⎪⎪⎪⎪⎪＋32＝32；绝对值最小的有理数是0；0的绝对值是0；正数的绝对值是正数，负数的绝对值是它的相反数，也是正数，0的绝对值是0.所以⑤正确．答案：A4．多重符号的化简化简规律：化简一个含有多重括号的非零有理数，结果与这个有理数前面的负号的个数有关．①当“－”号的个数是奇数时，结果为负；②当“－”号的个数是偶数时，结果为正．由于正号可以省略，所以化简符号时，主要看这个数前面“－”号的个数．【例4】 化简下列各数的符号：(1)－{－[＋(－10)]}；(2)－[－(＋5)]．分析：题号 负号的个数 答案(1) 3 －10(2) 2 5解：(1)－{－[＋(－(2)－[－(＋5)]＝5.点评：化简一个含有多重括号的非零有理数，可以逐步地由内向外层层化简，也可以根据“奇负偶正”的规律进行化简．5.绝对值的求法绝对值的求法有两种方式：一是给出数字，直接按要求求这个数的绝对值；二是给出含有绝对值符号的式子，求式子的值．求绝对值的方法：(1)先判断这个数是正数、负数，还是0.(2)根据绝对值的代数意义确定它的绝对值是它本身，还是它的相反数，从而求得它的绝对值．绝对值的代数意义：①一个正数的绝对值是它本身；②一个负数的绝对值是它的相反数；③0的绝对值是0.弄清绝对值与相反数符号的意义及相反数和绝对值的求法，是求含有绝对值符号式子的关键．【例5－1】 求下列各数的绝对值：＋11，－3.4,0，－32. 分析：可根据绝对值的意义，即根据“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0”进行求解．解：|＋11|＝11，|－3.4|＝3.4，|0|＝0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－32＝32. 【例5－2】 求下列各式的值：|＋2 013|，|－3.9|，－⎪⎪⎪⎪⎪⎪－56，－|＋18|. 分析：|＋2 013| 求＋2 013的绝对值 |－3.9| 求－3.9的绝对值－⎪⎪⎪⎪⎪⎪－56 求－56的绝对值的相反数 －|＋18| 求＋18的绝对值的相反数解：|＋2 013|＝2 013，|－3.9|＝3.9，－⎪⎪⎪⎪⎪⎪－56＝－56，－|＋18|＝－18. 6.利用绝对值比较大小(1)利用绝对值比较两个负数的大小两个负数比较大小，绝对值大的反而小．比较的具体步骤：①先求两个负数的绝对值；②比较绝对值的大小；③根据“两个负数，绝对值大的反而小”作出判断．(2)几个有理数的大小比较①同号两数，可以根据它们的绝对值来比较：a.两个正数，绝对值大的数较大；b.两个负数，绝对值大的反而小．②多个有理数的大小比较，需要先将它们按照正数、0、负数分类比较，然后利用各数的绝对值或借助于数轴来进一步比较．【例6－1】 比较下列每组数的大小：(1)－3和－2.9；(2)－23和－0.6. 分析：可先求出它们的绝对值，再根据“两个负数，绝对值大的反而小”比较大小． 解：(1)因为|－3|＝3，|－2.9|＝2.9,3＞2.9，所以－3＜－2.9；(2)因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪－23＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪23，|－0.6|＝0.6，23＞0.6， 所以－23＜－0.6. 【例6－2】 求下列各数的绝对值，并用“>”将各数排列起来：－32，＋1,0，－2.3. 分析：根据绝对值的意义来求各数的绝对值；根据“正数大于0”“0大于负数”“两个负数，绝对值大的反而小”来比较它们的大小．解：因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪－32＝32，|＋1|＝1，|0|＝0，|－2.3|＝2.3，所以＋1＞0＞－32＞－2.3. 7．绝对值的非负性的应用绝对值的非负性(1)绝对值具有非负性，即对于任意有理数，都有|a |≥0.绝对值的最小值为0.(2)若几个数的绝对值相加和为0，则这几个数的值都为0.用式子表示为：若|a |＋|b |＋|c |＝0，则a ＝0，且b ＝0，且c ＝0.可以利用上面的知识求字母的值．【例7－1】 当m ＝__________时，5＋|m －1|有最小值，最小值是__________． 解析：根据“任意一个有理数的绝对值都是非负数”来解答．因为|m －1|≥0，所以当m ＝1时，|m －1|有最小值为0，则5＋|m －1|的最小值是5＋0＝5.答案：1 5【例7－2】 已知|a －2|＋|7－b |＋|c －3|＝0，求a ，b ，c 的值．分析：当3个绝对值相加等于0时，说明每个绝对值都等于0.解：因为|a－2|≥0，|7－b|≥0，|c－3|≥0，且|a－2|＋|7－b|＋|c－3|＝0，所以|a－2|＝0，|7－b|＝0，|c－3|＝0，所以a＝2，b＝7，c＝3.8.相反数与数轴的综合应用比较一组数的大小时，若需要比较相反数的大小，可按以下方法进行：(1)表示数：根据相反数的几何意义，将各数或字母的相反数在数轴上表示出来；(2)排顺序：按照数轴上“右边的数总是大于左边的数”，排列这组数的大小关系．【例8】如图，若A是有理数a在数轴上对应的点，则关于a，－a,1的大小关系表示正确的是( )．A．a＜1＜－a B．a＜－a＜1C．1＜－a＜a D．－a＜a＜1解析：观察数轴可知，a＜0，且|a|＞1.因为－a是a的相反数，所以－a＞0，且－a＞1.先在数轴上标出有理数a的相反数－a的对应点，再排列大小可以得到a，－a,1的大小关系是a＜1＜－a，故选A.答案：A9.利用绝对值解决实际问题绝对值的产生来源于实际问题的需要，反过来又可以运用它解决一些实际问题，主要有以下两类：(1)判断物体或产品质量的好坏可以用绝对值判断物体或产品偏离标准的程度，绝对值越小，越接近标准，质量就越好．方法：①求每个数的绝对值；②比较所求绝对值的大小；③根据“绝对值越小，越接近标准”作出判断．(2)利用绝对值求距离路程问题中，当出现用“＋”、“－”号表示的带方向的路程，求最后的总路程时，实际上就是求绝对值的和．方法：①求每个数的绝对值；②求所有数的绝对值的和；③写出答案．【例9－1】如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是( )．解析：因为|－0.8|＜|＋0.9|＜|＋2.5|＜|－3.6|，所以从轻重的角度看，最接近标准的是C.答案：C【例9－2】一天上午，出租车司机小王在东西走向的路上运营，如果规定向东为正，向西为负，出租车的行车里程如下(单位：千米)：＋15，－3，＋12，－11，－13，＋3，－12，－18，请问小王将最后一位乘客送到目的地时，共行驶了多少千米？分析：本题是绝对值意义在实际问题中的具体应用，有理数中的“＋”号和“－”号在本题中表示的是方向，而它们的绝对值是小王在运营中所行驶的路程，因此求总共行驶的路程应是每次行车里程绝对值之和．解：|＋15|＋|－3|＋|＋12|＋|－11|＋|－13|＋|＋3|＋|－12|＋|－18|＝15＋3＋12＋11＋13＋3＋12＋18＝87(千米)．答：小王将最后一位乘客送到目的地时，共行驶了87千米．。
北师大版七年级数学上册《绝对值》典型例题(含答案)
《绝对值》典型例题例1求下列各数的绝对值，并把它们用“＞”连起来．87-，91+，0，－1.2 分析 首先可根据绝对值的意义，即正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0来求出各数的绝对值．在比较大小时可以根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”比较出2.187->-，其他数的比较就容易了． 解 .2.12.1,00,9191,8787=-==+=- .2.187091->->>+ 说明： 利用绝对值只是比较两个负数．例2求下列各数的绝对值：（1）－38；（2）0.15；（3）)0(<a a ；（4）)0(3>b b ；（5）)2(2<-a a ；（6）b a -．分析：欲求一个数的绝对值，关键是确定绝对值符号内的这个数是正数还是负数，然后根据绝对值的代数定义去掉绝对值符号，(6)题没有给出a 与b 的大小关系，所以要进行分类讨论．解：（1）|-38|＝38；（2）|+0.15|＝0.15；（3）∵a ＜0，∴|a |＝－a ；（4）∵b ＞0，∴3b ＞0，|3b|＝3b ；（5）∵a ＜2，∴a -2＜0，|a -2|＝-(a -2)＝2-a ；（6）⎪⎩⎪⎨⎧<-=>-=-).();(0);(b a a b b a b a b a b a说明：分类讨论是数学中的重要思想方法之一，当绝对值符号内的数(用含字母的式子表示时)无法判断其正、负时，要化去绝对值符号，一般都要进行分类讨论．例3一个数的绝对值是6，求这个数．分析 根据绝对值的意义我们可以知道，绝对值是6的数应该是6±． 说明：互为相反数的两个数的绝对值相等．例4 计算下列各式的值（1）272135-+++-；（2）21354543-+--； （3）71249-⨯-；（4）.21175.0-÷- 分析 这些题中都带有绝对值符号，我们应先计算绝对值再进行其他计算． 解 （1）83272135272135=++=-+++-；（2）2162135454321354543=+-=-+--； （3）1057124971249=⨯=-⨯-； （4）.5.021175.021175.0=÷=-÷- 说明：在去掉绝对值之后，要注意能简算的要简算，如（2）题．例5 已知数a 的绝对值大于a ，则在数轴上表示数a 的点应在原点的哪侧？分析 确定表示a 的点在原点的哪侧，其关键是确定a 是正数还是负数．由于负数的绝对值是它的相反数正数，所以可确定a 是负数．解 由于负数的绝对值是它的相反数，所以负数的绝对值大于这个负数；又因为0和正数的绝对值都是它本身，所以a 是负数，故表示数a 的点应在原点的左侧．说明：只有负数小于其本身的绝对值，而0和正数都等于自己的绝对值． 例6 判断下列各式是否正确(正确入“T”，错误入“F”)：（1）a a =-；（ ）（2）a a -=-；（ ）（3）)0(≠=a aa a a；（ ） （4）若|a |＝|b|，则a ＝b ；（ ）（5）若a ＝b ，则|a |＝|b|；（ ）分析：判断上述各小题正确与否的依据是绝对值的定义，所以思维应集中到用绝对值的定义来判断每一个结论的正确性．判数(或证明)一个结论是错误的，只要能举出反例即可．如第(2)小题中取a ＝1，则-|a |＝-|1|＝-1，而|-a |＝|-1|＝1，所以-|a |≠|-a |．在第(4)小题中取a ＝5，b ＝-5等，都可以充分说明结论是错误的．要证明一个结论正确，须写出证明过程．如第(3)小题是正确的．证明步骤如下：当0>a 时，1==a a aa ，而1==a a a a ，a a a a =∴成立； 当0<a 时，1-=-=aa a a ，而1-=-=a a a a ，a a a a=∴也成立． 这说明0≠a 时，总有成立．此题证明的依据是利用的定义，化去绝对值符号即可．解：其中第(2)、(4)、小题不正确，(1)、(3)、(5)小题是正确的．说明：判断一个结论是正确的与证明它是正确的是相同的思维过程，只是在证明时需要写明道理和依据，步骤都要较为严格、规范．而判断一个结论是错误的，可依据概念、性质等知识，用推理的方法来否定这个结论，也可以用举反例的方法，后者有时更为简便．例7 若0512=-++y x ，则y x +2等于（ ）．分析与解：“任意有理数的绝对值一定为非负数．”利用这一特点可得012≥+x ；05≥-y ．而两个非负数之和为0，只有一种可能：两非负数均为0．则012=+x ，21-=x ；05=-y ，5=y ．故452122=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=+y x ． 说明：任意有理数的绝对值一定为非负数，因为它表示的是一个数在数轴上的对应点到原点的距离．绝对值的这个特性今后会经常用到．几个非负数的和为0，则每一个非负数都是0．例8 计算)5(13>-+-x x x ．分析：要计算上式的结果，关键要弄清x -3和1-x 的符号，再根据正数的绝对值等于本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0．可求上式的结果，又∵5>x ，故03<-x ，而01>-x ．解：又∵5>x ，∴03<-x ，01>-x ， ∴421313-=-+-=-+-x x x x x ．说明：利用绝对值的代数定义灵活化简含绝对值的式子同，首先应确定代数式的符号．另外，要求出负数的相反数．。
北师大版数学七年级上册《2.3 绝对值》 同步练习
2.3 绝对值一．选择题1．设x是有理数，那么下列各式中一定表示正数的是（）A．2015x B．x+2015C．|2015x|D．|x|+20152．|a|＝﹣a，则a一定是（）A．负数B．正数C．零或负数D．非负数3．2019相反数的绝对值是（）A．9102B．﹣2019C．D．20194．如果|x|＝|﹣5|，那么x等于（）A．5B．﹣5C．+5或﹣5D．以上都不对5．下列语句：①一个数的绝对值一定是正数；②﹣a一定是一个负数；③没有绝对值为﹣3的数；④若|a|＝a，则a是一个正数；⑤离原点左边越远的数就越小；正确的有多少个（）A．0B．3C．2D．46．|﹣2|的相反数是（）A．﹣B．﹣2C．D．27．比﹣4小的数是（）A．﹣2B．﹣1C．﹣6D．68．绝对值大于1而小于5的所有整数的和是（）A．0B．1C．﹣1D．﹣29．a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把a，﹣a，b，﹣b按照从小到大的顺序排列（）A．﹣b＜﹣a＜a＜b B．﹣a＜﹣b＜a＜b C．﹣b＜a＜﹣a＜b D．﹣b＜b＜﹣a＜a 10．比﹣7.1大，而比1小的整数的个数是（）A．6B．7C．8D．911．以下选项中比|﹣|小的数是（）A．1B．2C．D．12．在﹣5，﹣，﹣3.5，﹣0.01，﹣2，﹣212各数中，最大的数是（）A．﹣212B．﹣C．﹣0.01D．﹣513．有理数a、b在数轴上表示的点如图，则a、﹣a、b、﹣b大小关系是（）A．﹣b＞a＞﹣a＞b B．a＞﹣a＞b＞﹣b C．b＞a＞﹣b＞﹣a D．﹣b＜a＜﹣a＜b 14．如图，四个有理数在数轴上的对应点M，P，N，Q，若点M，N表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数的点是（）A．点M B．点N C．点P D．点Q二．填空题15．若|x﹣6|+|y+5|＝0，则x+y＝．16．已知|a|＝2，|b|＝3，且在数轴上表示有理数b的点在a的左边，则a﹣b的值为．17．甲数的绝对值是乙数绝对值的2倍，在数轴上甲、乙两数在原点的同侧，并且对应两点的距离等于10，这两个数为．18．数a、b在数轴上的位置如图所示，化简a﹣|b﹣a|＝．三．解答题19．化简：|2x﹣3|+|3x﹣5|﹣|5x+1|20．若用点A、B、C分别表示有理数a、b、c如图：（1）比较a、b、c的大小．（2）化简2c+|a+b|+|c﹣b|﹣|c﹣a|．参考答案一．选择题1．解：当x为负数时，2015x为负数，A错误；当x＜﹣2015时，x+2015＜0，B错误；当x＝0时，|2015x|＝0，C错误；∵|x|≥0，∴|x|+2015＞0，D正确，故选：D．2．解：∵a的相反数是﹣a，且|a|＝﹣a，∴a一定是负数或零．故选：C．3．解：2019相反数是﹣2019，﹣2019的绝对值是2019，故选：D．4．解：∵|x|＝|﹣5|，∴|x|＝5，∴x＝±5，故选：C．5．解：①0的绝对值是0，故①错误；②当a≤0时，﹣a是非负数，故②错误；③绝对值是非负数，所以没有绝对值为﹣3的数，故③正确；④|a|＝a，则a≥0，故④错误；⑤离原点左边越远的数绝对值越大，而绝对值大的负数反而小，故⑤正确；所以正确的结论是③和⑤．故选：C．6．解：∵|﹣2|＝2，2的相反数是﹣2．∴|﹣2|的相反数是﹣2．故选：B．7．解：∵﹣6＜﹣4＜﹣2＜﹣1＜6，∴比﹣4小的数是﹣6．8．解：绝对值大于1且小于5的所有整数有：﹣4，﹣3，﹣2，2，3，4．则﹣4﹣3﹣2+2+3+4＝0．故选：A．9．解集：观察数轴可知：b＞0＞a，且b的绝对值大于a的绝对值．在b和﹣a两个正数中，﹣a＜b；在a和﹣b两个负数中，绝对值大的反而小，则﹣b＜a．因此，﹣b＜a＜﹣a＜b．故选：C．10．解：比﹣7.1大，而比1小的整数的个数有﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，共8个，故选：C．11．解：∵|﹣|＝，A、1＞，故本选项错误；B、2＞，故本选项错误；C、＝，故本选项错误；D、﹣＜，故本选项正确；故选：D．12．解：∵|﹣212|＞|﹣5|＞|﹣3.5|＞|﹣2|＞|﹣|＞|﹣0.01|，∴﹣0.01＞＞﹣2＞﹣3.5＞﹣5＞﹣212，故选：C．13．解：∵从数轴可知：a＜0＜b，且|a|＜|b|，∴﹣b＜0，﹣b＜a，﹣a＞0，﹣a＜b，∴﹣b＜a＜﹣a＜b．故选：D．14．解：∵点M，N表示的有理数互为相反数，∴原点的位置大约在O点，∴绝对值最小的数的点是P点，二．填空题（共4小题）15．解：∵|x﹣6|+|y+5|＝0，∴x﹣6＝0，y+5＝0，解得，x＝6，y＝﹣5，则x+y＝1，故答案为：1．16．解：∵|a|＝2，|b|＝3，∴a＝±2，b＝±3；又∵在数轴上表示有理数b的点在a的左边，∴①当a＝2时，b＝﹣3，∴a﹣b＝2﹣（﹣3）＝5；②当a＝﹣2时，b＝﹣3，∴a﹣b＝﹣2﹣（﹣3）＝1；综合①②知，a﹣b的值为1或5；故答案为1或5．17．解：①当同在原点的右侧，设乙为x，则甲为2x，由题意可得2x﹣x＝10，解得：x＝10，所以甲数为20，乙数为10；②若同在原点的左侧，设乙为x，则甲为2x，x﹣2x＝10，解得：x＝﹣10，所以甲数为﹣20，乙数为﹣10．18．解：∵a＞0，b＜0，∴a﹣|b﹣a|＝a+b﹣a＝b．故答案为b．三．解答题（共2小题）19．解：①当x＜﹣时，原式＝3﹣2x+5﹣3x+5x+1＝9．②当﹣≤x＜时，原式＝3﹣2x+5﹣3x﹣5x﹣1＝﹣10x+7．③当≤x＜时，原式＝2x﹣3+5﹣3x﹣5x﹣1＝﹣6x+1．④当x≥时，原式＝2x﹣3+3x﹣5﹣5x﹣1＝﹣920．解：（1）由数轴可知a＜c＜b．（2）由数轴可知b＞0，a＜c＜0，且a+b＜0，c﹣b＜0，c﹣a＞0，所以原式＝2c﹣a﹣b﹣c+b﹣c+a＝0．。
北师大版七年级上册数学期中常考题《绝对值》专项复习
北师大版七年级上册数学期中常考题《绝对值》专项复习一、选择题（共7小题）1．（2021•新丰县模拟）﹣3的相反数是（）A．﹣3B．﹣C．3D．±3 2．（2021•高新区模拟）五个新篮球的质量（单位：克）分别是+5、﹣3.5、+0.7、﹣2.5、﹣0.6，正数表示超过标准质量的克数，负数表示不足标准质量的克数．仅从轻重的角度看，最接近标准的篮球的质量是（）A．﹣2.5B．﹣0.6C．+0.7D．+53．若a≠0，b≠0，且，则的值为（）A．1或﹣1B．﹣1C．1D．04．已知a，b，c三个数的位置如图所示．则下列结论不正确的是（）A．a+b＜0B．b﹣a＞0C．a+b＞0D．a+c＜05．已知|x﹣2|+|y+|＝0，则xy＝（）A．﹣1B．1C．0D．﹣26．如果x为有理数式子2018﹣|x+2|存在最大值，这个最大值是（）A．2016B．2017C．2018D．20207．代数式|x﹣2|+3的最小值是（）A．0B．2C．3D．5二、填空题（共4小题）8．如果数a与2互为相反数，那么a＝．9．如果|a﹣|+|b﹣1|＝0，那么a+b等于．10．若|x+4|＝4，则x＝．11．若abc＞0，a+b+c＝0，则＝．三、解答题（共8小题）12．（2020秋•郯城县期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且表示数a的点、数b的点与原点的距离相等．（1）用“＞”“＜”或“＝”填空：b0，a+b0，a﹣c0，b﹣c0；（2）|b﹣1|+|a﹣1|＝；（3）化简|a+b|+|a﹣c|﹣|b|+|b﹣c|．13．画出数轴，把下列各组数分别在数轴上表示出来，并用“＜”连接起来：2，0，﹣3，|﹣0.5|，，﹣22．14．数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：如图所示，点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离表示为|AB|＝|a﹣b|．根据以上知识解题：（1）若数轴上两点A、B表示的数为x、﹣1，①A、B之间的距离可用含x的式子表示为；②若该两点之间的距离为2，那么x值为．（2）|x+1|+|x﹣2|的最小值为，此时x的取值是；（3）已知（|x+1|+|x﹣2|）（|y﹣3|+|y+2|）＝15，求x﹣2y的最大值和最小值．15．若|a+1|+|b+2|＝0，求a+b﹣ab．16．按下列要求去做：（1）画一条数轴；（2）先在（1）中的数轴上画出表示数﹣2的点A．然后将点A向左移动1个单位长度到点B，接着向右移动4个单位长度到点C，再向左移动5个单位长度到点D，请分别在数轴上画出点B、C、D；（3）用“＞”把点A、B、C、D表示的数连接起来．17．已知a的相反数是5，|b|＝4，求|a+b|﹣|a﹣b|的值．18．【归纳】（1）观察下列各式的大小关系：|﹣2|+|3|＞|﹣2+3|，|﹣6|+|3|＞|﹣6+3||﹣2|+|﹣3|＝|﹣2﹣3|，|0|+|﹣8|＝|0﹣8|归纳：|a|+|b||a+b|（用“＞”或“＜”或“＝”或“≥”或“≤”填空）【应用】（2）根据上题中得出的结论，若|m|+|n|＝13，|m+n|＝1，求m的值．【延伸】（3）a、b、c满足什么条件时，|a|+|b|+|c|＞|a+b+c|．19．在数轴上表示下列各数，并用“＜”号连接起来．﹣（﹣2），﹣|2|，﹣1，0.5，﹣（﹣3），﹣|﹣4|，3.5．参考答案一、选择题（共7小题）1．（2021•新丰县模拟）﹣3的相反数是（）A．﹣3B．﹣C．3D．±3【考点】相反数．【答案】C【分析】根据只有符号不同的两数叫做互为相反数解答．【解答】解：﹣3的相反数是3．故选：C．【点评】本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．2．（2021•高新区模拟）五个新篮球的质量（单位：克）分别是+5、﹣3.5、+0.7、﹣2.5、﹣0.6，正数表示超过标准质量的克数，负数表示不足标准质量的克数．仅从轻重的角度看，最接近标准的篮球的质量是（）A．﹣2.5B．﹣0.6C．+0.7D．+5【考点】绝对值．【专题】符号意识．【答案】B【分析】求它们的绝对值，比较大小，绝对值小的最接近标准的篮球的质量．【解答】解：|+5|＝5，|﹣3.5|＝3.5，|+0.7|＝0.7，|﹣2.5|＝2.5，|﹣0.6|＝0.6，∵5＞3.5＞2.5＞0.7＞0.6，∴最接近标准的篮球的质量是﹣0.6，故选：B．【点评】本题考查了正数和负数，掌握正数和负数的定义以及意义是解题的关键．3．若a≠0，b≠0，且，则的值为（）A．1或﹣1B．﹣1C．1D．0【考点】绝对值．【专题】实数．【答案】B【分析】根据绝对值的性质及知a和b异号，据此得ab＜0，再利用绝对值性质化简即可．【解答】解：∵a≠0，b≠0，且，∴a，b异号，则ab＜0，∴原式＝＝﹣1，故选：B．【点评】本题主要考查绝对值，解题的关键是掌握绝对值的性质及有理数的运算法则．4．已知a，b，c三个数的位置如图所示．则下列结论不正确的是（）A．a+b＜0B．b﹣a＞0C．a+b＞0D．a+c＜0【考点】数轴；有理数大小比较．【答案】C【分析】根据数轴得出a＜b＜0＜c，|a|＞|c|＞|b|，再判断即可．【解答】解：∵从数轴可知：a＜b＜0＜c，|a|＞|c|＞|b|，∴A、a+b＜0，正确，故本选项错误；B、b﹣a＞0，正确，故本选项错误；C、a+b＞0，错误，故本选项正确；D、a+c＜0，正确，故本选项错误；故选：C．【点评】本题考查了数轴和有理数的大小比较的应用，关键是能根据a＜b＜0＜c，|a|＞|c|＞|b|进行判断．5．已知|x﹣2|+|y+|＝0，则xy＝（）A．﹣1B．1C．0D．﹣2【考点】非负数的性质：绝对值．【专题】实数；整式．【答案】A【分析】直接利用绝对值的性质分析得出答案．【解答】解：∵|x﹣2|+|y+|＝0，∴x＝2，y＝﹣，∴xy＝2×（﹣）＝﹣1．故选：A．【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确得出x，y的值是解题关键．6．如果x为有理数式子2018﹣|x+2|存在最大值，这个最大值是（）A．2016B．2017C．2018D．2020【考点】非负数的性质：绝对值．【专题】实数．【答案】C【分析】直接利用绝对值的性质得出|x+2|的最小值为0．进而得出答案．【解答】解：∵x为有理数式子2018﹣|x+2|存在最大值，∴|x+2|＝0时，2018﹣|x+2|最大为2018，故选：C．【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确利用绝对值的性质是解题关键．7．代数式|x﹣2|+3的最小值是（）A．0B．2C．3D．5【考点】非负数的性质：绝对值．【专题】常规题型．【答案】C【分析】根据非负数的性质得出|x﹣2|≥0，得出代数式|x﹣2|+3的最小值．【解答】解：∵|x﹣2|≥0，∴|x﹣2|+3≥3，∴代数式|x﹣2|+3的最小值是3，故选：C．【点评】本题考查了非负数的性质，掌握非负数的性质是解题的关键．二、填空题（共4小题）8．如果数a与2互为相反数，那么a＝﹣2．【考点】相反数．【专题】实数．【答案】见试题解答内容【分析】一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．【解答】解：﹣2的相反数是2，那么a等于2．故答案是：﹣2．【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．9．如果|a﹣|+|b﹣1|＝0，那么a+b等于．【考点】非负数的性质：绝对值．【答案】见试题解答内容【分析】根据非负数的性质，可求出a、b的值，然后代入代数式计算即可．【解答】解：根据题意得：，解得：，则a+b＝+1＝．故答案是：．【点评】本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．10．若|x+4|＝4，则x＝0或﹣8．【考点】绝对值．【专题】实数．【答案】见试题解答内容【分析】根据绝对值的定义确定x+4的值，然后求得x的值即可．【解答】解：∵|x+4|＝4，∴x+4＝±4，∴x＝0或﹣8，故答案为：0或﹣8．【点评】本题考查了绝对值的知识，了解绝对值等于一个正数的数有两个，它们互为相反数．11．若abc＞0，a+b+c＝0，则＝0．【考点】绝对值．【专题】实数；运算能力．【答案】见试题解答内容【分析】根据a、b、c是非零实数，且a+b+c＝0可知a，b，c为两负一正，根据绝对值的意义即可得到结论．【解答】解：∵abc＞0，a+b+c＝0，∴a，b，c为两负一正，∴＝0，故答案为：0．【点评】本题考查了分式的化简求值，涉及到绝对值、非零实数的性质等知识点，注意分情况讨论未知数的取值，不要漏解．三、解答题（共8小题）12．（2020秋•郯城县期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且表示数a的点、数b的点与原点的距离相等．（1）用“＞”“＜”或“＝”填空：b＜0，a+b＝0，a﹣c＞0，b﹣c＜0；（2）|b﹣1|+|a﹣1|＝a﹣b；（3）化简|a+b|+|a﹣c|﹣|b|+|b﹣c|．【考点】数轴；绝对值；有理数大小比较．【专题】图表型．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据数轴，判断出a，b，c的取值范围，进而求解；（2）根据绝对值的性质，去绝对值号，合并同类项即可；（3）根据绝对值的性质，去绝对值号，合并同类项即可．【解答】解：∵b＜﹣1＜c＜0＜1＜a，|a|＝|b|，∴（1）b＜0，a+b＝0，a﹣c＞0，b﹣c＜0；（2）|b﹣1|+|a﹣1|＝﹣b+1+a﹣1＝a﹣b；（3）|a+b|+|a﹣c|﹣|b|+|b﹣c|＝0+（a﹣c）+b﹣（b﹣c）＝0+a﹣c+b﹣b+c＝a．故答案为：＜，＝，＞，＜；a﹣b．【点评】本题主要考查数轴、绝对值、整式的加减等知识的综合运用，解决此题的关键是能够根据数轴上的信息，判断出a，b，c等字母的取值范围，同时解决此题时也要注意绝对值性质的运用．13．画出数轴，把下列各组数分别在数轴上表示出来，并用“＜”连接起来：2，0，﹣3，|﹣0.5|，，﹣22．【考点】数轴；有理数大小比较．【答案】见试题解答内容【分析】先在数轴上表示出来，再比较即可．【解答】解：在数轴上表示出来为：用“＜”连接起来为：﹣22＜﹣3＜0＜|﹣0.5|＜2＜﹣（﹣4）．【点评】本题考查了数轴和有理数的大小比较的应用，注意：在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大．14．数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：如图所示，点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离表示为|AB|＝|a﹣b|．根据以上知识解题：（1）若数轴上两点A、B表示的数为x、﹣1，①A、B之间的距离可用含x的式子表示为|x+1|；②若该两点之间的距离为2，那么x值为﹣3或1．（2）|x+1|+|x﹣2|的最小值为3，此时x的取值是﹣1≤x≤2；（3）已知（|x+1|+|x﹣2|）（|y﹣3|+|y+2|）＝15，求x﹣2y的最大值6和最小值﹣7．【考点】数轴；绝对值．【答案】见试题解答内容【分析】（1）①根据题目已知中的A、B两点间的距离表示为|AB|＝|a﹣b|．即可解答；②使①中的式子等于2，解出即可；（2）求|x+1|+|x﹣2|的最小值，由线段的性质，两点之间，线段最短，可知当﹣1≤x≤2时，|x+1|+|x﹣2|有最小值，再根据绝对值的性质即可求出最小值及x的取值；（3）由于（|x+1|+|x﹣2|）（|y﹣3|+|y+2|）＝15＝3×5，可知﹣1≤x≤2，﹣2≤y≤3，依此得到x﹣2y的最大值和最小值．【解答】解：（1）①A、B之间的距离可用含x的式子表示为|x+1|；②依题意有|x+1|＝2，x+1＝﹣2或x+1＝2，解得x＝﹣3或x＝1．故x值为﹣3或1．（2）|x+1|+|x﹣2|的最小值为3，此时x的取值是﹣1≤x≤2；（3）∵（|x+1|+|x﹣2|）（|y﹣3|+|y+2|）＝15，∴﹣1≤x≤2，﹣2≤y≤3，∴x﹣2y的最大值为2﹣2×（﹣2）＝6，最小值为﹣1﹣2×3＝﹣7．故x﹣2y的最大值6，最小值﹣7．故答案为：|x+1|；﹣3或1；3，﹣1≤x≤2；6，﹣7．【点评】考查了绝对值和数轴，借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题，反之，有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题．这种相互转化在解决某些问题时可以带来方便．事实上，|A﹣B|表示的几何意义就是在数轴上表示数A与数B的点之间的距离．这是一个很有用的结论，我们正是利用这一结论并结合数轴的知识解决了（2）（3）这两道难题．15．若|a+1|+|b+2|＝0，求a+b﹣ab．【考点】非负数的性质：绝对值．【专题】计算题．【答案】见试题解答内容【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：由题意得，a+1＝0，b+2＝0，解得a＝﹣1，b＝﹣2，所以，a+b﹣ab＝（﹣1）+（﹣2）﹣（﹣1）×（﹣2）＝﹣1﹣2﹣2＝﹣5．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．16．按下列要求去做：（1）画一条数轴；（2）先在（1）中的数轴上画出表示数﹣2的点A．然后将点A向左移动1个单位长度到点B，接着向右移动4个单位长度到点C，再向左移动5个单位长度到点D，请分别在数轴上画出点B、C、D；（3）用“＞”把点A、B、C、D表示的数连接起来．【考点】数轴；有理数大小比较．【专题】实数；数感．【答案】（1）（2）如图所示，（3）1＞﹣2＞﹣3＞﹣4．【分析】（1）根据数轴的定义画出数轴即可；（2）根据题意在数轴上标出即可；（3）把有理数从大到小进行排列即可．【解答】解：（1）如图所示，（2）A点坐标为﹣2，B点坐标为﹣2﹣1＝﹣3，C点坐标为﹣3+4＝1，D点坐标为：1﹣5＝﹣4．（3）1＞﹣2＞﹣3＞﹣4．【点评】本题考查了数轴和有理数大小比较，掌握数轴的定义以及数轴上的点从左到右依次增大是解题关键．17．已知a的相反数是5，|b|＝4，求|a+b|﹣|a﹣b|的值．【考点】相反数；绝对值．【答案】见试题解答内容【分析】依据题意可知得到a＝﹣5，b＝±4，然后分为两种情况求解即可．【解答】解：∵a的相反数是5，∴a＝﹣5．∵|b|＝4，∴b＝±4．当a＝﹣5，b＝4时，原式＝|﹣5+4|﹣|﹣5﹣4|＝1﹣9＝﹣8；当a＝﹣5，b＝﹣4时，原式＝|﹣5﹣4|﹣|﹣5+4|＝9﹣1＝8．所以代数式|a+b|﹣|a﹣b|的值为8或﹣8．【点评】本题主要考查的是绝对值、相反数的定义，熟练掌握绝对值的性质和相反数的定义是解题的关键．18．【归纳】（1）观察下列各式的大小关系：|﹣2|+|3|＞|﹣2+3|，|﹣6|+|3|＞|﹣6+3||﹣2|+|﹣3|＝|﹣2﹣3|，|0|+|﹣8|＝|0﹣8|归纳：|a|+|b|≥|a+b|（用“＞”或“＜”或“＝”或“≥”或“≤”填空）【应用】（2）根据上题中得出的结论，若|m|+|n|＝13，|m+n|＝1，求m的值．【延伸】（3）a、b、c满足什么条件时，|a|+|b|+|c|＞|a+b+c|．【考点】绝对值．【专题】实数．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据提供的关系式得到规律即可；（2）根据（1）中的结论分当m为正数，n为负数时和当m为负数，n为正数时两种情况分类讨论即可确定答案；（3）分第一类：a、b、c三个数都不等于0、第二类：a、b、c三个数中有1个0、第三类：a、b、c三个数中有2个0、第四类：a、b、c三个数都为0，此时|a|+|b|+|c|＝|a+b+c|，四种情况分类讨论即可确定正确的答案．【解答】解：（1）根据题意得：|a|+|b|≥|a+b|，故答案为：≥；（2）由上题结论可知，因为|m|+|n|＝13，|m+n|＝1，|m|+|n|≠|m+n|，所以m、n异号．当m为正数，n为负数时，m﹣n＝13，则n＝m﹣13，|m+m﹣13|＝1，m＝7或6；当m为负数，n为正数时，﹣m+n＝13，则n＝m+13，|m+m+13|＝1，m＝﹣7或﹣6；综上所述，m为±6或±7（3）分析：若按a、b、c中0的个数进行分类，可以分成四类：第一类：a、b、c三个数都不等于0①1个正数，2个负数，此时|a|+|b|+|c|＞|a+b+c|②1个负数，2个正数，此时|a|+|b|+|c|＞|a+b+c|③3个正数，此时|a|+|b|+|c|＝|a+b+c|，故排除④3个负数，此时|a|+|b|+|c|＝|a+b+c|，故排除第二类：a、b、c三个数中有1个0【结论同第（1）问】①1个0，2个正数，此时|a|+|b|+|c|＝|a+b+c|，故排除②1个0，2个负数，此时|a|+|b|+|c|＝|a+b+c|，故排除③1个0，1个正数，1个负数，此时|a|+|b|+|c|＞|a+b+c|第三类：a、b、c三个数中有2个0①2个0，1个正数：此时|a|+|b|+|c|＝|a+b+c|，故排除②2个0，1个负数：此时|a|+|b|+|c|＝|a+b+c|，故排除第四类：a、b、c三个数都为0，此时|a|+|b|+|c|＝|a+b+c|，故排除综上所述：1个负数2个正数；1个正数2个负数；1个0，1个正数和1个负数．【点评】本题考查了绝对值的知识，解题的关键是能够根据题意分类讨论解决问题，难度不大．19．在数轴上表示下列各数，并用“＜”号连接起来．﹣（﹣2），﹣|2|，﹣1，0.5，﹣（﹣3），﹣|﹣4|，3.5．【考点】数轴；绝对值；有理数大小比较．【专题】实数．【答案】见试题解答内容【分析】根据数轴上的点表示的是右边的总比左边的大，可得答案．【解答】解：如图，．【点评】本题考查了有理数大小比较，利用数轴上的点表示的是右边的总比左边的大是解题关键．。
北师大版数学七年级上册解答题专题训练50题(含答案)
北师大版数学七年级上册解答题专题训练50题含答案1．如果2,a b =与3-是相反数，c 是绝对值最小的有理数，a c <，求,,a b c 的值． 【答案】a ＝−2，b ＝3，c ＝0【分析】利用绝对值的性质，以及互为相反数的定义，进而分析得出即可． 【详解】∵|a|＝2， ∵a ＝±2，∵b 与−3互为相反数， ∵b ＝3，∵c 是绝对值最小的有理数， ∵c ＝0， ∵a ＜c ， ∵a ＝−2．综上所述：a ＝−2，b ＝3，c ＝0．【点睛】此题主要考查了绝对值和相反数，正确把握相关定义是解题关键．2．为了解某校学生的身高情况，随机抽取该校男生、女生进行抽样调查．已知抽取的样本中，男生、女生的人数相同，利用所得数据绘制如下统计图表：根据图表提供的信息，回答下列问题： （1）本次调查的学生人数为___________人；（2）样本中，女生身高E 组所占的圆心角的度数为 度；（3）已知该校共有男生400人，女生380人，请估计身高在160≤<170之间的学生约有多少人？【答案】（1）80；（2）18；（3）332．【详解】试题分析：（1）∵抽取的样本中，男生、女生的人数相同，∵算出男生人数，再乘以2即可；（2）用圆周角360度乘以E 所占的百分比即是；（3）观察分组表得知，身高在160≤<170之间的是C 组和D 组，求出男生400人中C ，D 组人数，再加上女生380人中C ，D 组的人数即可．试题解析：（1）抽取的男生人数为4+12+10+8+6=40，40×2=80（人），∵本次调查的学生人数为80人；（2）先求E 占的百分比：1-37．5%-17．5%-15%-25%=5%，再求圆心角：360°×5%=18°，∵女生身高E 组所占的圆心角的度数为18°；（3）身高在160≤<170之间的是C 组和D 组，男生400人中C ，D 组人数为：400×10840+人，女生380人中C ，D 组的人数为：380×（25%+15%）人，∵400×＋380×（25%＋15%）=332（人）．3．已知,,a b c 在数轴上的位置如图所示，化简：（1）||||a c c -+ （2）||||a b c b +--4．计算：（1）()()33.122.910.5--+-； （2）()()()()815912---+---；（3）1241()()()2352+---+-；（4）101157()()()34612+---+-5．已知2324A x x y xy =-+-，223B x x y xy =--+． (1)化简23A B -． (2)当57x y +=，2xy =-时，求23A B -的值．键．6．计算：(1)111()(12) 624-+⨯-；(2)（﹣2）3÷4﹣（﹣1）2022+|﹣6|．111121212624=﹣2+6﹣3=17．合肥某110巡警骑摩托车在南北方向的徽州大道上巡逻．某天他从岗亭出发，晚上停留在A处．规定向北方向为正．当天行驶记录如下（单位：千米）：+9，﹣8，+6，﹣10，+7，﹣12，+3，﹣2．（1）该巡警巡逻时离岗亭最远是多少千米？（2）A处在岗亭何方，距岗亭多远？（3）若摩托车每行1千米耗油0.03升，那么该摩托车这天巡逻共耗油多少升？【答案】（1）离岗亭的位置分别是9千米，1千米，7千米，3千米，4千米，8千米，5千米，7千米，所以最远是9米；（2）A在岗亭南方7千米处；（3）该摩托车这天巡逻共耗油1.71升．【分析】（1）依次计算相邻两个数据之和,选和为最大者;（2）由已知，把所有数据相加，如果得数是正数，则A处在岗亭北方，否则在北方．所得数的绝对值就是离岗亭的距离．（3）把所有数据的绝对值相加就是行驶的路程，已知摩托车每行驶1千米耗油0.03升，那么乘以0.03就是一天共耗油的量． 【详解】根据题意，得（1）离岗亭的位置分别是9千米，1千米，7千米，3千米，4千米，8千米，5千米，7千米，所以最远是9米；（2）根据题意，可得：9﹣8+6﹣10+7﹣12+3﹣2=﹣7， 即A 在岗亭南方7千米处；（3）该巡警巡逻时，共走了9+8+6+10+7+12+3+2=57（km ）， 那么该摩托车这天巡逻共耗油：57×0.03=1.71升．【点睛】解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．一般情况下具有相反意义的量才是一对具有相反意义的量．8．画一条数轴，在数轴上分别表示3.5，0，2.5，1-，3-，12-，并用“<”把这些数连接起来．19．化简：（1）3x +2y ﹣5x ﹣y ；（2）2（x 2+xy ﹣5）﹣（x 2﹣2xy ）． 【答案】（1）2x y -+；（2）2104x xy -+ 【分析】（1）根据整式加减运算，求解即可； （2）去括号，然后根据整式加减运算求解即可． 【详解】解：（1）3252x y x y x y +--=-+； （2）222(5)(2)x xy x xy --+-22=+--+22102x xy x xy21+40=-x xy【点睛】此题考查了整式的加减运算，解题的关键是掌握整式加减运算法则．10．作为一项惠农强农应对国际金融危机、拉动国内消费需求的重要措施，“家电下乡”工作已取得成效，在气温较低的季节，电冰箱也有一定的销量．我市某家电公司营销点对自去年10月份至今年3月份销售两种不同品牌冰箱的数量做出统计，数据如图所示：根据图提供的信息解答下列问题：（1）请你从平均数角度对这6个月甲、乙两品牌冰箱的销售量作出评价；（2）请你从方差角度对这6个月甲、乙两品牌冰箱的销售情况作出评价；（3）请你依据折线图的变化趋势，对营销点今后的进货情况提出建议．11．某路公交车从起点A出发，依次经过B、C、D三站到达终点E，到达终点站时乘客全部下车．该车某趟出车途中上下乘客如下表所示．（1）上述表中，=a；（2）当公交车行驶在站和站（相邻两站）之间时，车上的乘客最多；（3）若该路公交车的票价为2元/人次，请问该路公交车此趟出车的营业额为多少钱？【答案】（1）5；（2）C，D；（3）60【分析】（1）根据正负数的意义，上车为正数，下车为负数，求出A、B、C、D站以及中点站的人数，即可得解；（2）根据（1）的计算解答即可；（3）根据各站之间的人数，乘票价2元，然后计算即可得解．【详解】解：（1）由题意有：12+7-3+6-4+a-6=17解得a=5（2）在A-B站之间有：12人；在B-C之间有：12+7-3=16（人）；在C-D之间有：16+6-4=18（人）；在D-E之间有：18+5-6=17（人）；故行驶在C站和D站之间时，车上乘客最多；（3）2×（12+7+6+5）=2×30=60（元）【点睛】本题考查了正数和负数，有理数的混合运算，读懂图表信息，求出各站点上的人数是解题的关键．12．计算：﹣14﹣16÷（﹣2）3+|﹣32|×（﹣1）．13．化简求值：3223242(32)x x x x x x +--+-其中2x =- 【答案】32435x x x +-，58-【分析】先去括号，再合并同类项，然后代值计算即可． 【详解】3223242(32)x x x x x x +--+- 322324232x x x x x x =+---+，32435x x x =+-；当2x =-时，原式()()()324232523262058=⨯-+⨯--⨯-=---=-．【点睛】本题考查整式加减中的化简求值．熟练掌握合并同类项进行化简是解题的关键．14．计算：()2215130.34130.343737-⨯-⨯+⨯--⨯15．如图，C 为线段AB 的中点，D 是线段CB 的中点，CB=2cm ，请你求出图中以A 为端点的所有线段长度的和．【答案】9【分析】先找到以A 为端点的所有线段有：AC 、AD 、AB ，再根据中点性质求出各线段的长，即可得到答案．【详解】解：∵C 为线段AB 的中点，CB=2 ，16．（1）如图，在无阴影的方格中选出两个画出阴影，使它们与图中4个有阴影的正方形一起可以构成一个正方体的表面展开图．（在图1和图2中分别只画出一种符合题意的图形即可）、，求（2）拿起圆规和直尺，耐心做一做，不写作法，保留作图痕迹．已知线段a b作线段AB，使2=-．AB a b【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）和一个正方体的平面展开图相比较，可得出一个正方体11种平面展开图，据此补全图形可得；（2）先作AD=2a，再在AD上截取BD=b，AB即为所求．【详解】解：（1）如图1、图2所示：（图1、图2中分别画出任意一种符合题意的图形即可）图1：图2：（2）如图所示，线段AB 即为所求．【点睛】本题考查了作图-应用与设计作图，解题的关键是掌握正方体共有11种表面展开图及线段和差的作法．17．先化简，再求值：()()23232a a b b a --+-，其中2a =-，1b .【答案】59a b -+，1【分析】先去括号，再算加减，最后代入计算即可． 【详解】解：原式2364a a b b a =-++- 59a b =-+；当2a =-，1b 时，595(2)9(1)1091a b -+=-⨯-+⨯-=-=．【点睛】本题考查了整式的加减及化简求值，熟练掌握知识点是解题的关键． 18．如图，A 、B 、C 、D 是在同一平面内不在同一直线上的四个点，请按要求完成下列问题．(1)∵作射线AC ；∵作直线BD 与射线AC 相交与点O ；∵分别连接AB 、AD ； (2)如作图所示，从点B 到点D 的路线有 条；若选最近路线走，你的选择为走线段 ，理由为 ． 【答案】(1)见解析(2)4；BD ；两点之间，线段最短【分析】（1）根据题意作图即可；（2）根据（1）所作图形找到从点B 到点D 的所有路线即可；再根据两点之间线段最短选择路线即可． （1）解：如图所示，即为所求；（2）解：从B到D可以有如下路线：B—A—D，B—O—D，B—A—O—D，B—O—A—D，一共4条路线，选择走线段BD最近，理由是两点之间，线段最短．【点睛】本题主要考查了作直线，射线，线段，两点之间，线段最短等等，熟知相关知识是解题的关键．19．如图，O为直线AB上一点，∵AOC＝13∵BOC，OC是∵AOD的平分线．判断OD与AB的位置关系，并说明理由．20．（随着双减政策的落实，同学们的家庭作业减少了．为了解同学们完成家庭作业需要的时间，某校数学兴趣小组随机调查了部分学生（问卷调查的内容如图1所示），并根据调查结果绘制了如图2所示的尚不完整的统计图．图1(1)本次接受调查的学生共有______人；(2)请补全条形统计图；(3)求被调查的学生中，完成家庭作业时间不超过40分钟的学生人数占总调查人数的百分比．【答案】(1)50(2)见解析(3)82%【分析】（1）用A组的人数除以A组所占比例即可求出调查人数；（2）用总人数分别减去其它四组人数，可得出B组人数，即可补全条形统计图；（3）用1分别减去C、D两组的比例即可．（1）解：本次接受调查的学生共有：20÷40%=50（人），故答案为：50．（2）解：B组人数为：50-20-9-5-4=12（人），补全条形统计图如下：（3）解：1-10%-8%=82%，答：完成家庭作业时间不超过40分钟的学生人数占总调查人数的百分比为82%．【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．21．公路养护小组乘车沿南北公路巡视维护，某天早晨从A地出发，晚上最后到达B 地，约定向北为正方向，当天的行驶记录如下（单位：km）：189********，，，，，，，，问：+-+--+--(1)B地在A地何方，相距多少千米？(2)若汽车行驶每千米耗油1.2升，求该天共耗油多少升？意义是解题的关键．22．温度的变化与高度有关：高度每增加1km ，气温大约下降5.8∵．（1）已知地表温度是12∵，则此时高度为3km 的山顶温度是多少？（2）如果山顶温度是﹣6.1∵，此时地表温度是20∵，那么这座山的高度是多少？ 【答案】（1）山顶温度为 5.4-℃；（2）这座山的高度为4.5千米【分析】（1）根据题意，列出算式进行计算即可；（2）根据题意先求温度差，利用温度差除以5.8，即可得出高度．【详解】解：（1）由题意，得123 5.81217.4 5.4()-⨯=-=-℃．答：山顶温度为 5.4-℃．（2）[20( 6.1)] 5.8--÷26.1 5.8=÷4.5=（千米）答：这座山的高度为4.5千米．【点睛】本题考查有理数的混合运算．解题的关键是根据题意列出算式进行计算． 23．计算(1)()()()()3.1 4.5 4.4 1.3---++-+；(2)()()324112345⎡⎤--⨯-----⎣⎦．乘方的有理数的混合运算的运算顺序”是解本题的关键，运算顺序为：先乘方，再乘除，最后算加减，同级运算按照从左至右的顺序进行，有括号先计算括号内的运算．24．小王上周买进某种股票1000股，每股27元．（1）星期三收盘时，每股是多少元？（2）本周内最高价是每股多少元？最低价是每股多少元？（3）若小王在本周五的收盘价将股票全部卖出，你认为他会获利吗？【答案】（1）28元；（2）最高29.5元，最低25.5元；（3）不会获利【分析】（1）看懂统计表，正确列出算式，按照正负数相加的问题即可解决；（2）由表格列出算式每天的价格即可；（3）利用正负数加法求出周五的收盘价，与上周购进价格进行比较就能得出结论．【详解】解：（1）27+1+1.5-1.5=28（元），则星期三收盘时，每股是28元；（2）由表格可知，周一：27+1=28（元）；周二：28+1.5=29.5（元）；周三：29.5-1.5=28（元）；周四：28-2.5=25.5（元）；周五：25.5+0.5=26（元），所用周二最高是：29.5（元），周四最低是：25.5（元）；（3）本周五的收盘价为26（元），则26＜27，所以若小王按本周五的收盘价将股票全部卖出，不会获利．【点睛】本题考查的是学生读表和计算正负数加法的问题，看清数据读懂表格就可以解决该题了，本题的关键是列对算式．25．如图是正方体的展开图，如果将它叠成一个正方体后相对的面上的数相等，试求xy的值．【答案】xy的值是±3．【分析】根据正方体后相对的面上的数相等，求出x、y的值，再求xy即可.【详解】正方体的平面展开图中，相对面的特点是中间必须间隔一个正方形，所以与“x2”相对的是1，与“y”相对的是3，所以x＝±1，y＝3，所以xy的值是±3．【点睛】本题考查正方体表面展开图，将展开图还原是解决本题的关键.26．先化简，再求值：()222233a ab b ab ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，其中3,2a b ==-．27．数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，如下图，线段()011AB =--=；线段202BC =-=；线段()213AC =--=则：(1)数轴上点M 、N 代表的数分别为9-和1，则线段MN =______；(2)数轴上点E 、F 代表的数分别为6-和3-，则线段EF =______；(3)数轴上的两个点之间的距离为5，其中一个点表示的数为2，则另一个点表示的数为______．【答案】(1)10(2)3(3)7或3-【分析】（1）根据数轴上两点间的距离解答；（2）根据数轴上两点间的距离解答；（3）根据题意、结合数轴、方程解答．【详解】（1）解：∵点M N 、代表的数分别为9-和1，∵线段1(9)10MN =--=；故答案为：10；（2）∵点E F 、代表的数分别为6-和3-，28．把下列各数在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序用“＜”连接起来． 132-，()1--，2.5，5--．29．先化简，再求值．2(ab-5ab 2)-(2ab 2-ab)，其中a=﹣1,b=2【答案】42【详解】试题分析：本题考查了整式的化简求值，整式的化简就是去括号合并同类项，化简后再把a =﹣1,b =2代入求值.解：原式=2ab-10a-2a+ab=3ab-12a当 a=﹣1,b=2时，原式=3ab-12a=3×（－1）×2－12×（－1）×=－6+48=4230．化简求值：22212()3()22xy x x xy y xy ⎡⎤----++⎣⎦，其中x=2，y=12-31．观察下列等式：第1个等式：11111212a ==-⨯ 第2个等式：21112323a ==-⨯ 第3个等式：31113434a ==-⨯ 第4个等式：41114545a ==-⨯ 第5个等式：51115656a ==-⨯ 解答下列问题：（1）按以上规律写出第6个等式： ；（2）求a 1+a 2+…+a 2020的值；（3）求1111366991220192022++++⨯⨯⨯⨯ 的值．1++-201932．某校为了解学生的课外阅读情况，对部分学生进行了调查，并统计他们平均每天的课外阅读时间t（单位：min），然后利用所得数据绘制如图两幅不完整的统计图，请你根据以上信息解答下列问题：（1）本次调查活动的样本容量是．（2）图2中E的圆心角度数为度，并补全图1的频数分布直方图．（3）该校有800名学生，估计该校学生平均每天的课外阅读时间不少于70min的人数．16+233．化简求值()()2222+-+--，其中()22212a b ab ab a b-+-=．b a21|3|034．先化简，再求值：7ab ﹣3(a 2﹣2ab )﹣5(4ab ﹣a 2)，其中a =3，b =﹣2．【答案】2a 2﹣7ab ，60．【分析】先根据整式加减的方法步骤进行化简，再代数计算即可．【详解】解:原式=7ab ﹣3a 2+6ab ﹣20ab +5a 2=2a 2﹣7ab ，当a =3，b =﹣2时，原式=2×32﹣7×3×(﹣2)=18+42=60．【点睛】本题以代数求值的方式考查整式加减与有理数运算，熟练掌握有关知识点是解答关键．35．已知：21m =，求代数式2(1)(2)(3)m m m +--+的值.【答案】8或6 .【详解】试题分析：由21m =求出m=±1，分别代入化简后的代数式求值即可. 原式=222167m m m m m ++--+=+ .∵21m =，∵m="±1" .当m=1时，原式=8；当m=-1时，原式=6.∵原式的值为8或6 .考点：1.代数式求值；2.分类思想的应用.36．先化简，再求值：()()2237547a ab ab a -+--+，其中21(1)0a b -++=．【详解】解：1(a b -+10b +=，，1b ， 754ab ab +-+1b 时， (61-⨯⨯-【点睛】本题考查了非负数的性质，以及整式的化简求值，熟练掌握非负数的性质和37．（-12）+18-23-（-17）【答案】0【分析】先去括号，再将18和17结合、-12和-23结合，最后计算减法即可．【详解】解：原式12182317=-+-+()18171223=+-+3535=-0=．【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 38．计算．（1）()321244312⎛⎫-+-⨯- ⎪⎝⎭．（2）()(()20092135-⨯--．()()()2122=-⨯---24=-2=-．【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．39．某厂三个车间共有140人，第二车间人数是第一车间人数的2倍还多1人，第三车间人数是第一车间人数的一半还少一人，三个车间各有多少人？40．解方程：（1）7x+2=3x﹣2（2）253164x x---=．【答案】（1）x=﹣1；（2）x=13【分析】（1）此题可项移、合并同类项，系数化1，可求出x的值．（2）此题的两个分母一个为6一个为4，因此可让方程两边同乘4，6的最小公倍数12，然后对方程进行化简即可．【详解】解：（1）移项、合并同类项，得4x=﹣4系数化1，得x=﹣1．（2）去分母，得12﹣2（2x﹣5）=3（3﹣x）去括号，得12﹣4x+10=9﹣3x移项、合并同类项，得﹣x=﹣13系数化1，得x=13．【点睛】本题容易在去分母，移项上出错，将方程移项要注意符号的改变．学生往往不知如何寻找公分母，怎样合并同类项，怎样化简，所以我们要教会学生分开进行，从而达到分解难点的效果．41．某学校准备组织部分教师到杭州旅游，现联系了甲、乙两家旅行社，两家旅行社报价均为400元/人，同时两家旅行社都对10人以上的团体推出了优惠举措：甲旅行社对每位游客七五折优惠，而乙旅行社是免去一位带队老师的费用，其余老师八折优惠．（1）如果设参加旅游的老师共有()10x x ＞人，则甲旅行社的费用为 元，乙旅行社的费用为 元；（用含x 的代数式表示，并化简）（2）假如某校组织17名教师到杭州旅游，该校选择哪一家旅行社比较优惠？请说明理由；（3）如果计划在11月份内外出旅游五天，假如这五天的日期之和为30的倍数，则他们可能于11月多少号出发？【答案】（1）300x ，320x -320；（2）甲旅行社比较优惠，理由见解析；（3）4号或10号或16号或22号【分析】（1）甲旅行社的费用为：总价×0.75，乙旅行社的费用为（x -1）个人的总价×0.8；（2）把x =17代入（1）中，求得值进行比较；（3）相邻日期相隔1，中间一天的日期为a ．由此我们可以用含一个字母的代数式表示其他四天日期，五天的日期之和为5a ．从而求得11月出发日期．【详解】解：（1）甲旅行社的费用为：400x ×0.75=300x ，乙旅行社的费用为（x -1）×400×0.8=320x -320；（2）x =17时，需付甲：300×17=5100元，需付乙320×17-320=5120元；5100＜5120，∵选甲旅行社；（3）中间一天的日期为a ，那么其他日期为a -2、a -1、a +1、a +2，五天的日期之和为5a ．∵五天的日期之和为30的倍数，∵5a =30k ，a =6k ，当k =1时，a =6，第一天为4，当k =2时，a =12，第一天为10，当k =3时，a =18，第一天为16，当k =4时，a =24，第一天为22，当k =5时，a =30，后面的天数就到了12月．∵他们可能于11月出发的日期是4号或10号或16号或22号．【点睛】本题考查列代数式．解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．注意（3）中出发日期的变化．42．几个相同的数码摆成一个数，并且不用任何数学运算符号（含括号），如果要使摆成的数尽可能的大，该怎样摆呢？如用3个1按上述要求摆成一个数，有如下四种形式：∵111；∵111；∵111；∵．显然，111是这四个数中的最大的数．那么3个2有几种摆法？请找出其中的最大数．【答案】222是这四个数中的最大的数【详解】试题解析：按照题目中的数字的排列方法即可得到3个2所有的摆法，然后找到最大的即可．试题解析：∵222；∵222；∵222；∵222．显然，222是这四个数中的最大的数．【点睛】此题主要考查了有理数的乘方，综合性较强，做题的关键是：根据要求把几种形式分别表示出来．43．求下列各式的值(1)已知：22y a b 与233a b 是同类项，且()250x m -+=，求：()()2222339x xy m x xy y --+的值．(2)已知6,4x y xy +==-，求：()3445x y xy x y xy +--++的值．44．解方程：（1）23(5)4x x +-=（2）314112x x -+-=45．已知a ＝﹣(﹣2)2×3，b ＝|﹣9|+(﹣7)，c ＝(1153-)÷115． (1)求2[a ﹣(b+c)]﹣[b ﹣(a ﹣2c)]的值．(2)若A ＝(﹣13)2÷(﹣127)+(1﹣12)2×(1﹣3)2，B ＝|a|﹣5b+2c ，试比较A 和B 的大小． (3)如图，已知点D 是线段AC 的中点，点B 是线段DC 上的一点，且CB ：BD ＝2：3，若AB═12ab ccm ，求BC 的长．46．（8分）我市中学组篮球比赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分．某队为了争取较好名次，想在全部22场比赛中得到40分，那么这个队胜负场数分别是多少？ 【答案】胜负场数应分别是18和4．【详解】试题分析：设胜了x 场，那么负了（22-x ）场，根据得分为40分可列方程求解．试题解析：设胜了x 场，那么负了（22﹣x ）场，根据题意得：2x+1•（22﹣x ）=40解得x=1822﹣18=4．那么这个队的胜负场数应分别是18和4．点睛：本题考查一元一次方程的应用.主要考查学生理解题意的能力，关键是设出胜的场数，以总分作为等量关系列方程求解.47．因式分解：26. (1)(2)2(2)(4)3'(2)(2)(2)6'm n m n n =-----=-+---解：原式 27.(3) 【答案】222225)2102143'10254'(6'x y x xy y y x xy y -=-++----=-+----=----解：原式 2)22(3'(2)(2)6'a b a b a b -=-----=-+------解：原式 2)22(3'(2)(2)6'a b a b a b -=-----=-+------解：原式 【详解】(1) (2)222225)2102143'10254'(6'x y x xy y y x xy y -=-++----=-+----=----解：原式2)22(3'(2)(2)6'a b a b a b -=-----=-+------解：原式 (3)2)22(3'(2)(2)6'a b a b a b -=-----=-+------解：原式 48．化简：(1)()22214632x y xy xy x y ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭； (2)()()()4335x y y x x y x ⎡⎤----+--⎣⎦49．观察下面三行数：2，﹣4，8，﹣16，32，﹣64，…4，﹣2，10，﹣14，34，﹣62，…﹣1，2，﹣4，8，﹣16，32，…在上面三行数的第n 列中，从上往下的三个数分别记为a ，b ，c ，观察这些数的特点，根据你所得到的规律，解答下列为问题．（1）用含n 的式子分别表示出a ，b ，c ；（2）根据（1）的结论，若a ，b ，c 三个数的和为770，求n 的值．【答案】（1）a ＝﹣(﹣2)n ，b ＝﹣(﹣2)n +2，c ＝﹣(﹣2)n －1；（2）9.【分析】（1）由题意可知，第一行数中的各数可变形为：()()()()12342,2,2,2--------，由此即可得出第一行数的规律，第二行每个数是第一行数对应列的数加2，第三行每个数是第一行数对应列的数除以(﹣2)，据此即可表示出a ，b ，c ；（2）根据（1）题的结果即可得出关于n 的方程，解方程即可求出n 的值．【详解】解：（1）由题意可知，第一行数的规律为﹣(﹣2)n ，第二行每个数是第一行数对应列的数加2，即第二行数的规律为﹣(﹣2)n +2，第三行每个数是第一行数对应列的数除以(﹣2)，即第三行数的规律为﹣(﹣2)n －1； 所以a ＝﹣(﹣2)n ，b ＝﹣(﹣2)n +2，c ＝﹣(﹣2)n －1；（2）∵a ，b ，c 三个数的和为770，∵﹣(﹣2)n ﹣(﹣2)n +2﹣(﹣2)n －1＝770，设(﹣2)n －1＝x ，则上式变形为：222770x x x ++-=，解得：x =256，即(﹣2)n －1＝256，解得：n ＝9．【点睛】本题考查了数字的变化类规律、有理数乘方的意义和一元一次方程的应用，解题的关键是正确表示出第一行中各数的规律，第（2）小题中的关于n 的方程求解时有一定的难度，需要灵活应用乘方的意义进行变形.50．解方程：x 12x 1123+--=． 【答案】x 1=-．【分析】按去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤进行求解即可.【详解】去分母得：()()3x 122x 16+--=，去括号得：3x 34x 26+-+=，移项得：3x-4x=6-3-2，合并同类项得：x 1-=，系数化为1得：x 1=-．【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤以及注意事项是解题的关键.。
第03讲 绝对值(10类热点题型)(原卷版)-2023-2024学年七年级数学上册学与练(北师大版)
第03讲绝对值1.掌握绝对值的定义及其性质；2.掌握正数、负数、0的绝对值的算法；3.灵活应用绝对值比较大小；4.灵活掌握绝对值在解题中的应用；5.掌握非负数的应用.知识点01绝对值的定义（1）一般地，数轴上表示数a 的点与的距离叫做数a 的绝对值，记作.【答案】原点；a知识点02绝对值的性质正数的绝对值是，负数的绝对值是，0的绝对值是.即当a>0时，a 是它的；当a<0时，a 是它的；当a =0时，a 是.【答案】本身；相反数；0【注意】①绝对值等于它本身的数是__________.②若a a =，那么a 就是非负数；若a a -=，那么a 就是非正数.【答案】正数和0知识点03绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若0=+b a ，则00==b a 且．题型01相反数的定义【典例1】（2023·福建龙岩·统考模拟预测）实数2023的相反数是（）A ．12023-B ．12023C ．2023-D ．2023【变式1】（2023春·江西南昌·九年级校考阶段练习）3-的相反数是（）A ．3B ．-3C ．13D ．13-【变式2】（2023·吉林松原·校联考三模）2023-的相反数是（）A ．2023B ．12023-C ．12023D ．2023-题型02化简多重符号【典例2】（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）化简()20--的结果是（）A ．120-B ．20C ．120D ．20-【变式1】（2023·广东阳江·统考二模）化简()3--的结果为（）A ．3-B ．0C ．3D ．4【变式2】（2023·吉林长春·一模）下列计算结果为2的是（）A ．()2--B ．()2+-C ．()2-+D ．2--题型03判断是否互为相反数【典例3】（2023·吉林长春·东北师大附中校考三模）下列各组数中互为相反数的是（）A ．3和3-B ．3--和()3--C ．3-和13-D ．3-和13【变式1】（2023·浙江·七年级假期作业）下列各组数中，互为相反数的组是（）A ．2023-和2023B ．2023和12023C ．2023-和12023D ．2023-和2023-【变式2】（2023·辽宁朝阳·校考二模）下列各组数中互为相反数的是（）A ．12-与2-B ．1-与()1-+C ．(3)--与3-D ．2与2-题型04相反数的应用【典例4】（2023·浙江·七年级假期作业）已知23x +与5-互为相反数，则x 等于______．【变式1】（2023秋·湖南湘西·七年级统考期末）已知4a +与2互为相反数，那么=a ___________．【变式2】（2023秋·全国·七年级专题练习）若a 、b 互为相反数，则a +b +2的值为______．题型05绝对值的意义【典例5】（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，数轴上点,,,A B C D 分别对应实数a b c d ,,,，下列各式的值最小的是（）A ．aB ．bC ．cD ．d【变式1】（2023秋·内蒙古巴彦淖尔·七年级统考期末）数轴上A B C ，，三点所表示的数分别为a b c ，，，其中AB BC =，如果c a b >>，那么该数轴的原点O 的位置应该在（）A ．点A 与点B 之间B ．点B 与点C 之间C ．点A 的左边D ．点C 的右边题型06求一个数的绝对值【典例6】（2023·河南南阳·统考三模）2023-的绝对值是()A ．2023-B ．2023C ．12023-D ．12023【变式1】（2023·辽宁鞍山·校考三模）12023的绝对值是（）A ．12023B ．12023-C ．－2023D ．2023【变式2】（2023·全国·七年级假期作业）7-的绝对值是（）A ．7-B ．7C ．17D ．7±题型07化简绝对值【典例7】（2023春·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨市萧红中学校考期中）有理数,,a b c 在数轴上的位置如图所示，化简：a a b b c++--【变式1】（2023春·上海浦东新·六年级上海市民办新竹园中学校考期中）有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图，化简：a c b c a b +-+--．【变式2】（2023秋·广西南宁·七年级南宁市天桃实验学校校考期末）已知a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，所对应的点分别为A ，B ，C ．(1)填空：A ，B 之间的距离为______，B ，C 之间的距离为______．(2)化简：22a b c b c a +--+-．题型08绝对值非负性的应用【典例8】（2023·全国·九年级专题练习）如果|2|||0a b -+=，那么a ，b 的值为（）A ．11a b ==，B ．13a b =-=，C ．20a b ==，D ．02a b ==，【变式1】（2023春·上海浦东新·六年级上海市民办新竹园中学校考期中）130x y -++=，则12y x --的值是（）A ．142-B ．122-C ．112-D ．1【变式2】（2023秋·贵州毕节·七年级校联考期末）若()2120m n -++=，则2m n +=（）A ．5-B ．3-C ．5D ．3题型09有理数大小比较【典例9】（2023·江苏·七年级假期作业）比较大小：4-_____1-（在横线上填“＜”、“＞”或“＝”）．【变式1】（2023春·上海浦东新·六年级校联考期末）比较大小：23-___________0.6--【变式2】（2023春·上海松江·六年级统考期中）比较大小：123--___________( 2.4)--题型10绝对值方程【典例10】（2023·浙江·七年级假期作业）解下列方程：(1)53x +=(2)217x -=(3)1412x +=(4)35244x +-=【变式1】（2023秋·辽宁鞍山·七年级统考期末）阅读材料并回答问题：x 的含义是数轴上表示数x 的点与原点的距离，即0x x =-，也就是说，x 表示在数轴上数x 与数0对应的点之间的距离；因此可以推断1x -表示在数轴上数x 与数1对应的点之间的距离．例如，12x -=，就是在数轴上到1的距离为2的点对应的数，即为=1x -或3x =；回答问题：(1)若2x =，则x 的值是______；(2)利用上述方法解下列方程：①32x -=；②138x x -+-=1．（2023辽宁统考中考真题）2的绝对值是（）A ．12-B ．12C ．2-D ．22．（2023秋·云南·七年级校考期末）2023的相反数是（）A ．12023B ．2023-C ．2023D ．12023-3．（2023·河北沧州·校考模拟预测）若m 与13--互为相反数．则m 的值为（）A ．3-B ．13-C ．13D ．34．（2023·江苏·七年级假期作业）下列各对数中，互为相反数的是（）A ．()1-+和()1+-B ．()1--和()1+-C ．()1-+和1-D ．()1+-和1-5．（2023春·上海黄浦·六年级统考期中）在136、7--、0.1-、22()7--、100-、0、0.213、3.14中，非负数的个数是（）A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个6．（2023·江苏·七年级假期作业）下列说法中正确的有（）①3-和3+互为相反数；②符号不同的两个数互为相反数；③互为相反数的两个数必定一个是正数，一个是负数；④π的相反数是 3.14-；⑤一个数和它的相反数不可能相等．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个或更多7．（2023·江苏·七年级假期作业）3-的绝对值为______，相反数为______．8．（2023春·上海宝山·六年级校考阶段练习）比较大小：34-_____45-；()2--_____2--．9．（2023春·上海宝山·六年级校考阶段练习）在下列数()33,0,1,4,44----中，非负数是________．10．（2023·浙江·七年级假期作业）已知5a =，7b =，且a b a b +=+，则a b +的值为______．11．（2023春·四川成都·七年级成都外国语学校校考开学考试）如果39x -=，那么x =___________．12．（2023秋·河北保定·七年级统考期末）如图，数轴上有三个点A 、B 、C ，若点A 、B 表示的数互为相反数．（1）图中点C 表示的数是___________；（2）若点D 在数轴上，且3CD =，则点D 表示的数为_____________．13．（2023江苏七年级假期作业）化简下列各数中的符号．(1)123⎛⎫-- ⎪⎝⎭(2)()5-+(3)()0.25--(4)12⎛⎫+- ⎪⎝⎭(5)()1--+⎡⎤⎣⎦(6)()a --14．（2023·江苏·七年级假期作业）把下列各数在数轴上表示出来，并将它们按从小到大的顺序用“<”连接起来：()4--，6--，0， 1.5-，3．15．（2023·全国·七年级假期作业）在数轴上画出下列各点，它们分别表示：4+，0，112-，3-，122-，并用“<”把它们连接起来．16．（2023秋·湖南湘潭·七年级统考期末）有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，试化简：a b b c c a-+-+-17．（2023秋·海南省直辖县级单位·七年级统考期末）已知有理数0a >，0b >，0c <，且b c a <<．(1)在如图所示的数轴上将a ，b ，c 三个数表示出来；(2)化简：a b c a b ++--．18．（2023春·湖南衡阳·七年级校联考阶段练习）阅读与探究：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”．如：3x =，212x -+=，．．．都是含有绝对值的方程，怎样求含有绝对值的方程的解呢?基本思路是：把“含有绝对值的方程”转化为“不含有绝对值的方程”．例如：解方程34x x +=．解：当0x ≥时，原方程可化为：34x x +=，解得1x =，符合题意；当0x <时，原方程可化为：34x x +=，解得2x =-，符合题意．所以，原方程的解为：1x =或2x =-．根据以上材料解决下列问题：(1)若22x x -=-，则x 的取值范围是________；(2)解方程：142x x +-=．。
第08讲 化简绝对值(热点题型)(原卷版)-2023-2024学年七年级数学上册同步学练(北师大版)
第08难点探究专题：化简绝对值(4类热点题型讲练)目录【考点一利用数轴化简绝对值】 (1)【考点二分类讨论化简绝对值】 (2)【考点三利用几何意义化简绝对值】 (3)【考点四解绝对值方程】 (6)【考点一利用数轴化简绝对值】例题：（2023春·上海徐汇·六年级上海市西南位育中学校考阶段练习）a 、b 、c 三个数在数轴上所对应的点的位置如图所示，计算：a b b c -++＝1．（2023春·黑龙江哈尔滨·六年级统考期中）有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，化简b c a c ++-=．2．（2023秋·广西南宁·七年级南宁市天桃实验学校校考期末）已知a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，所对应的点分别为A ，B ，C ．(1)填空：A ，B 之间的距离为______，B ，C 之间的距离为______．(2)化简：22a b c b c a +--+-．3．（2023·江苏·七年级假期作业）有理数a ,b ,c 在数轴上的位置如图所示．(1)用“＜”连接：a ,a -,b ,b -,c ,c -；(2)化简：a b a b b c -+++-．4．（2023秋·湖南邵阳·七年级统考期末）a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示：(1)求a b c a b c++=_______(2)a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则：化简：a c a b c a +--+-；5．（2023春·上海·六年级专题练习）如图，已知a 、b 、c 在数轴上的位置．（1）a +b 0，abc 0，ac 0．填（“＞”或“＜”）（2）如果a 、c 互为相反数，求a c ＝．（3）化简：|b +c |﹣2|a ﹣b |﹣|b ﹣c |．【考点二分类讨论化简绝对值】例题：（2023春·黑龙江绥化·六年级绥化市第八中学校校考期中）已知a 、b 、c 均为不等式0的有理数，则abca b c ++的值为．1．（2023秋·七年级单元测试）若0ab <，则||||||a b ab a b ab ++=．2．（2023秋·河南南阳·七年级南阳市实验中学校考期末）已知0x a +≠、0x b +≠，那么||||x a x b x a x b +++++＝3．（2023春·上海·六年级专题练习）（1）若>0a ，a a=；若0<a ，a a =；（2）若0a b a b +=，则ab ab -＝；（3）若0abc <，则a b ca b c ++=．4．（2023秋·陕西西安·七年级西安市第八十三中学校考期末）计算：已知5x =，3y =．若0xy <，求||x y -的值．5．（2023·江苏·七年级假期作业）如果a ，b ，c 是非零有理数，求式子222||||||||a b c abc a b c abc -+++的所有可能的值．6．（2023·全国·七年级假期作业）请利用绝对值的性质，解决下面问题：(1)已知a ，b 是有理数，当0a >时，则||a a =_______；当0b <时，则||b b =_______．(2)已知a ，b ，c 是有理数，0a b c ++=，<0abc ，求||||b c a c a b +++||a b c ++的值．(3)已知a ，b ，c 是有理数，当0abc ≠时，求||||||a b c a b c++的值．【考点三利用几何意义化简绝对值】例题：（2023秋·浙江·七年级专题练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：(1)数轴上表示3和2的两点之间的距离是_____；表示2-和1两点之间的距离是_____；一般地，数轴上表示数m 和数n 的两点之间的距离等于m n -．(2)如果12x +=，那么x =______；(3)若34a -=，23b +=，且数a 、b 在数轴上表示的数分别是点A 、点B ，则A 、B 两点间的最大距离是______，最小距离是_____．(4)若数轴上表示数a 的点位于3-与5之间，则35a a ++-=_____．(5)当=a _____时，154a a a -+++-的值最小，最小值是_____．【变式训练】1．（2023春·广东梅州·七年级校考开学考试）已知点A 、B 在数轴上表示的数分别是a 、b ，A 、B 两点之间的距离为d(1)对照数轴填写下表．a22-4-3-3b1032-1-a b -12-7-A ，B 两点之间的距离d 127(2)观察上表，发现d 与a b -之间的数量关系是，(3)点A 表示的数为x ，式子|2|x +、表示A 、B 两点之间的距离，则点B 表示的数是；若||21x +=，则x ＝．(4)适合式子5||2||3x x -+=+的整数x 的值是；(5)式子||||78x x +-+的最小值是多少？2．（2023·江苏·七年级假期作业）【阅读】若点A ，B 在数轴上分别表示有理数a ，b ，A ，B 两点之间的距离表示为AB ，则AB a b =-，即53-表示为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．(1)点A ，B 表示的数分别为7-，2，则AB =_______，2x +在数轴上可以理解为______；(2)若 3.14x -=，则x =_________，若43y y +=-，则y =________；【应用】(3)如图，数轴上表示点a 的点位于3-和2之间，求32a a ++-的值；(4)由以上的探索猜想，对于任意有理数x ，631x x x ++++-是否有最小值？如果有，求出最小值，并写出此时x 的值；如果没有，说明理由．3．（2023·四川自贡·校考一模）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：(1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是；表示3-和2两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m 和数n 的两点之间的距离等于．(2)如果13x +＝，那么x ＝；(3)若32|1|2a b +﹣＝，＝，且数a 、b 在数轴上表示的数分别是点A 、点B ，则A 、B 两点间的最大距离是，最小距离是．(4)利用数轴，找出所有符合条件的x ，使2510x x ++-＝，则x =．(5)已知(|1||2|)(|1||2|)(|1||3|)36x x y y z z ++-⨯++-⨯++-=，求x y z ++的最大值和最小值．4．（2023·江苏·七年级假期作业）如图，请回答问题：(1)点B 表示的数是，点C 表示的数是．(2)折叠数轴，使数轴上的点B 和点C 重合，则点A 与数字重合．(3)m 、n 两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为|m ﹣n |，如5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为|5﹣（﹣2）|，从而很容易就得出在数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是7．①若x 表示一个有理数，则|x ﹣3|+|x ﹣6|的最小值＝．②若x 表示一个有理数，且|x ﹣4|+|x +3|＝7，则满足条件的所有整数x 的和是．③当x ＝时，2|x ﹣2|+2|x ﹣3|+5|x ﹣4|取最小值．④当x 取何值时，2|2x ﹣1|+|3x ﹣2|+|x ﹣52|+|2x ﹣7|+|3x ﹣9|取最小值？最小值为多少？【考点四解绝对值方程】例题：（2023春·湖南衡阳·七年级校联考阶段练习）阅读与探究：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”．如：3x =，212x -+=，．．．都是含有绝对值的方程，怎样求含有绝对值的方程的解呢基本思路是：把“含有绝对值的方程”转化为“不含有绝对值的方程”．例如：解方程34x x +=．解：当0x ≥时，原方程可化为：34x x +=，解得1x =，符合题意；当0x <时，原方程可化为：34x x +=，解得2x =-，符合题意．所以，原方程的解为：1x =或2x =-．根据以上材料解决下列问题：(1)若22x x -=-，则x 的取值范围是________；(2)解方程：142x x +-=．【变式训练】1．（2023·浙江·七年级假期作业）解下列方程：(1)53x +=(2)217x -=(3)1412x +=(4)35244x +-=2．（2023秋·辽宁鞍山·七年级统考期末）阅读材料并回答问题：x 的含义是数轴上表示数x 的点与原点的距离，即0x x =-，也就是说，x 表示在数轴上数x 与数0对应的点之间的距离；因此可以推断1x -表示在数轴上数x 与数1对应的点之间的距离．例如，12x -=，就是在数轴上到1的距离为2的点对应的数，即为=1x -或3x =；回答问题：(1)若2x =，则x 的值是______；(2)利用上述方法解下列方程：①32x -=；②138x x -+-=3．（2023·四川内江·校考三模）阅读下列材料：我们知道||x 的几何意义是在数轴上数x 对应的点与原点的距离；即0x x =-；这个结论可以推广为12||x x -表示在数轴上数1x ，2x 对应点之间的距离．绝对值的几何意义在解题中有着广泛的应用：例1：解方程||4x =．容易得出，在数轴上与原点距离为4的点对应的数为±4，即该方程的x =±4；例2：解方程125x x ++-=．由绝对值的几何意义可知，该方程表示求在数轴上与-1和2的距离之和为5的点对应的x 的值．在数轴上，-1和2的距离为3，满足方程的x 对应的点在2的右边或在-1的左边．若x 对应的点在2的右边，如图可以看出3x =；同理，若x 对应点在-1的左边，可得2x =-．所以原方程的解是3x =或2x =-．例3：解不等式13x ->．在数轴上找出1=3x -的解，即到1的距离为3的点对应的数为-2，4，如图，在-2的左边或在4的右边的x 值就满足13x ->，所以13x ->的解为<2x -或>4x ．参考阅读材料，解答下列问题：（1）方程35x +=的解为；（2）方程201712020x x -++=的解为；（3）若4311x x ++-≥，求x 的取值范围．。
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《绝对值》典型例题
例1
求下列各数的绝对值，并把它们用“＞”连起来．
87-，9
1+，0，－1.2 分析 首先可根据绝对值的意义，即正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0来求出各数的绝对值．在比较大小时可以根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”比较出2.18
7->-
，其他数的比较就容易了． 解 .2.12.1,00,9191,8787=-==+=- .2.18
7091->->>+ 说明： 利用绝对值只是比较两个负数．
例2
求下列各数的绝对值：
（1）－38；（2）0.15；（3）)0(<a a ；（4）)0(3>b b ；
（5）)2(2<-a a ；（6）b a -．
分析：欲求一个数的绝对值，关键是确定绝对值符号内的这个数是正数还是负数，然后根据绝对值的代数定义去掉绝对值符号，(6)题没有给出a 与b 的大小关系，所以要进行分类讨论．
解：（1）|-38|＝38；（2）|+0.15|＝0.15；
（3）∵a ＜0，∴|a |＝－a ；
（4）∵b ＞0，∴3b ＞0，|3b|＝3b ；
（5）∵a ＜2，∴a -2＜0，|a -2|＝-(a -2)＝2-a ；
（6）⎪⎩
⎪⎨⎧<-=>-=-).();(0);(b a a b b a b a b a b a
说明：分类讨论是数学中的重要思想方法之一，当绝对值符号内的数(用含字母的式子表示时)无法判断其正、负时，要化去绝对值符号，一般都要进行分类讨论．
例3
一个数的绝对值是6，求这个数．
分析 根据绝对值的意义我们可以知道，绝对值是6的数应该是6±． 说明：互为相反数的两个数的绝对值相等．
例4 计算下列各式的值
（1）272135-+++-；（2）2
1354543-+--； （3）71249-⨯-；（4）.2
1175.0-÷- 分析 这些题中都带有绝对值符号，我们应先计算绝对值再进行其他计算． 解 （1）83272135272135=++=-+++-；
（2）2
162135454321354543=+-=-+--； （3）1057
124971249=⨯=-⨯-； （4）.5.021175.0211
75.0=÷=-÷- 说明：在去掉绝对值之后，要注意能简算的要简算，如（2）题．
例5 已知数a 的绝对值大于a ，则在数轴上表示数a 的点应在原点的哪侧？
分析 确定表示a 的点在原点的哪侧，其关键是确定a 是正数还是负数．由于负数的绝对值是它的相反数正数，所以可确定a 是负数．
解 由于负数的绝对值是它的相反数，所以负数的绝对值大于这个负数；又因为0和正数的绝对值都是它本身，所以a 是负数，故表示数a 的点应在原点的左侧．
说明：只有负数小于其本身的绝对值，而0和正数都等于自己的绝对值． 例6 判断下列各式是否正确(正确入“T”，错误入“F”)：
（1）a a =-；（ ）
（2）a a -=-；（ ）
（3）)0(≠=a a
a a a
；（ ） （4）若|a |＝|b|，则a ＝b ；（ ）
（5）若a ＝b ，则|a |＝|b|；（ ）
分析：判断上述各小题正确与否的依据是绝对值的定义，所以思维应集中到用绝对值的定义来判断每一个结论的正确性．判数(或证明)一个结论是错误的，只要能举出反例即可．如第(2)小题中取a ＝1，则-|a |＝-|1|＝-1，而|-a |＝|-1|＝1，所以-|a |≠|-a |．在第(4)小题中取a ＝5，b ＝-5等，都可以充分说明结论是错误的．要证明一个结论正确，须写出证明过程．如第(3)小题是正确的．证明步骤如下：
当0>a 时，1==a a a
a ，而1==a a a a ，a a a a =∴成立； 当0<a 时，1-=-=a
a a a ，而1-=-=a a a a ，a a a a
=∴也成立． 这说明0≠a 时，总有成立．此题证明的依据是利用的定义，化去绝对值符号即可．
解：其中第(2)、(4)、小题不正确，(1)、(3)、(5)小题是正确的．
说明：判断一个结论是正确的与证明它是正确的是相同的思维过程，只是在证明时需要写明道理和依据，步骤都要较为严格、规范．而判断一个结论是错误的，可依据概念、性质等知识，用推理的方法来否定这个结论，也可以用举反例的方法，后者有时更为简便．
例7 若0512=-++y x ，则y x +2等于（ ）．
分析与解：“任意有理数的绝对值一定为非负数．”利用这一特点可得
012≥+x ；05≥-y ．
而两个非负数之和为0，只有一种可能：两非负数均为0．则012=+x ，21-=x ；05=-y ，5=y ．故452122=+⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⨯=+y x ． 说明：任意有理数的绝对值一定为非负数，因为它表示的是一个数在数轴上的对应点到原点的距离．绝对值的这个特性今后会经常用到．几个非负数的和为0，则每一个非负数都是0．
例8 计算)5(13>-+-x x x ．
分析：要计算上式的结果，关键要弄清x -3和1-x 的符号，再根据正数的绝对值等于本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0．可求上式的结果，又∵5>x ，故03<-x ，而01>-x ．
解：又∵5>x ，
∴03<-x ，01>-x ， ∴421313-=-+-=-+-x x x x x ．
说明：利用绝对值的代数定义灵活化简含绝对值的式子同，首先应确定代数式的符号．另外，要求出负数的相反数．。