附合导线测量的内业计算

第三节 导线测量的内业计算

导线测量内业计算的目的就是计算各导线点的平面坐标x 、y 。

计算之前，应先全面检查导线测量外业记录、数据是否齐全，有无记错、算错，成果是否符合精度要求，起算数据是否准确。然后绘制计算略图，将各项数据注在图上的相应位置，如图6-11所示。

一、坐标计算的基本公式 1．坐标正算

根据直线起点的坐标、直线长度及其坐标方位角计算直线终点的坐标，称为坐标正算。如图6-10所示，已知直线AB 起点A 的坐标为（x A ，y A ），AB 边的边长及坐标方位角分别为D AB 和αAB ，需计算直线终点B 的坐标。

直线两端点A 、B 的坐标值之差，称为坐标增量，用Δx AB 、Δy AB 表示。由图6-10可看出坐标增量的计算公式为：

y

图6-10

坐标增量计算

⎭⎬

⎫

=-=∆=-=∆AB AB A B AB AB AB A B AB D y y y D x x x ααsin cos （6-1）

根据式（6-1）计算坐标增量时，sin 和cos 函数值随着α角所在象限而有正负之分，因此算得的坐标增量同样具有正、负号。坐标增量正、负号的规律如表6-5所示。

⎭⎬

⎫

+=∆+=+=∆+=AB AB A AB A B AB AB A AB A B D y y y y D x x x x ααsin cos （6-2）

例

6-1 已知AB 边的边长及坐标方位角为456380m 62.135'''︒==AB AB D α，，若A 点的坐标为

m 82.658m 56.435==A A y x ，，试计算终点B 的坐标。

解 根据式（6-2）得

m 62.792456380sin m 62.135m 82.658sin m 68.457456380cos m 62.135m 56.435cos ='''︒⨯+=+=='''︒⨯+=+=AB AB A B AB AB A B D y y D x x αα

2．坐标反算

根据直线起点和终点的坐标，计算直线的边长和坐标方位角，称为坐标反算。如图6-10所示，已知直线AB 两端点的坐标分别为（x A ，y A ）和（x B ，y B ），则直线边长D AB 和坐标方位角αAB 的计算公式为：

2

2AB AB AB y x D ∆+∆= （6-3）

AB

AB

AB

x y ∆∆=arctan

α （6-4）

应该注意的是坐标方位角的角值范围在0˚～360˚间，而arctan 函数的角值范围在－90˚～＋90˚间，两者是不一致的。按式（6-4）计算坐标方位角时，计算出的是象限角，因此，应根据坐标增量Δx 、Δy 的正、负号，按表6-5决定其所在象限，再把象限角换算成相应的坐标方位角。

例6-2 已知A 、B 两点的坐标分别为 m 72.525m 50.304m 29.814m 99.342====B B A A y x y x ，，，

试计算AB 的边长及坐标方位角。

解 计算A 、B 两点的坐标增量

m 57.288m 29.814m 72.525m 49.38m 99.342m 50.304-=-=-=∆-=-=-=∆A B AB A B AB y y y x x x

根据式（6-3）和式（6-4）得

m 13.291m)57.288(m)49.38(2

222=-+-=∆+∆=AB

AB AB y x D 9042262m 49.38m

57.288arctan arctan '

''︒=--=∆∆=AB AB AB x y α

二、闭合导线的坐标计算

现以图6-11所注的数据为例（该例为图根导线），结合“闭合导线坐标计算表”的使用，说明闭合导线坐标计算的步

骤。

1．准备工作

将校核过的外业观测数据及起算数据填入“闭合导线坐标计算表”中，见表6-6，起算数据用单线标明。 2．角度闭合差的计算与调整

（1）计算角度闭合差 如图6-11所示，n 边形闭合导线内角和的理论值为：

︒⨯-=∑180)2(th n β （6-5）

1＝500.00m 1＝500.00m

图6-11 闭合导线略图

式中 n ——导线边数或转折角数。

由于观测水平角不可避免地含有误差，致使实测的内角之和∑m β不等于理论值∑th β，两者之差，称为角度闭合差，用f β表示，即

︒⨯--=-=∑∑∑180)2(th n f m m ββββ （6-6）

（2）计算角度闭合差的容许值 角度闭合差的大小反映了水平角观测的质量。各级导线角度闭合差的容许值f βp 见表6-3和表6-4，其中图根导线角度闭合差的容许值f βp 的计算公式为：

n f 06p ''±=β （6-7）

如果βf ＞p βf ，说明所测水平角不符合要求，应对水平角重新检查或重测。 如果

β

f ≤

p

βf ，说明所测水平角符合要求，可对所测水平角进行调整。

（3）计算水平角改正数 如角度闭合差不超过角度闭合差的容许值，则将角度闭合差反符号平均分配到各观测水平角中，也就是每个水平角加相同的改正数v β，v β的计算公式为：

n

f v ββ-

= （6-8）

计算检核：水平角改正数之和应与角度闭合差大小相等符号相反，即

∑-=β

βf v

（4）计算改正后的水平角 改正后的水平角βi 改等于所测水平角加上水平角改正数

β

ββv i i +=改 （6-9）

计算检核：改正后的闭合导线内角之和应为（n －2）×180˚，本例为540˚。

本例中f β、f βp 的计算见表6-5辅助计算栏，水平角的改正数和改正后的水平角见表6-6第3、4栏。 3．推算各边的坐标方位角

根据起始边的已知坐标方位角及改正后的水平角，按式（4-18）和式（4-19）推算其它各导线边的坐标方位角。 本例观测左角，按式（4-18）推算出导线各边的坐标方位角，填入表6-6的第五栏内。

计算检核：最后推算出起始边坐标方位角，它应与原有的起始边已知坐标方位角相等，否则应重新检查计算。 4．坐标增量的计算及其闭合差的调整

（1）计算坐标增量 根据已推算出的导线各边的坐标方位角和相应边的边长，按式（6-1）计算各边的坐标增量。例

如，导线边1-2的坐标增量为：

m 30.1830042335cos m 60.201cos 121212+='''︒⨯==∆αD x m 92.830042335sin m 60.201sin 121212-='''︒⨯==∆αD y

用同样的方法，计算出其它各边的坐标增量值，填入表6-6的第7、8两栏的相应格内。

（2）计算坐标增量闭合差 如图6-12a 所示，闭合导线，纵、横坐标增量代数和的理论值应为零，即

⎭⎬

⎫

=∆=∆∑∑00th th y x （6-10）