03华杯复赛—计数及数论
第三届华杯赛全程详解
第三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛部分复赛部分决赛第一试决赛第二试团体决赛口试初赛试题与解答（1）光的速度是每秒30万千米，太阳离地球1亿5千万千米。
问：光从太阳到地球要用几分钟（得数保留一位小数）？[分析]知道距离和速度，求通过全程的时间，这是很容易做的一道题。
但是因为给出的数字很大，同学们在大数算术运算时一定要注意计量单位，不然便会出错。
[解法1] 将距离单位换为“万千米”，时间单位用“分”。
光速=30万千米／秒=1800万千米／分，距离=1亿5千万千米=15000万千米，时间=距离÷速度=15000÷1800[解法2]如果时间单位用“秒”，最后必须按题目要求换算为“分”．光速=30万千米／秒，距离=15000万千米，时间=15000÷30=500（秒），答：光从太阳到地球约需8.3分钟。
（2）计算[分析]这是一道很简单的分数四则运算题，但要在30秒钟内算出正确答案，需要平时养成简捷的思维习惯。
同学们可以比较一下后面的两种解法。
[解法1] 先求出30，35，63的最小公倍数。
30=2×3×5；35=5×7；63=3×3×7；所以公倍数是2×3×3×5×7=630。
原式通分，有〔解法2〕[注] 两种解法同样都用到通分和约分的技巧，只有一点小区别：解法2在通分时不急于把公分母算出来，而是边算边约分。
这一点小小的不同，却节省了求连乘积的运算，约分也简单些，使计算快了不少哩！（3）有3个箱子，如果两箱两箱地称它们的重量，分别是83公斤、85公斤和86公斤。
问：其中最轻的箱子重多少公斤？[分析]如果将3个箱子按重量区分为大、中、小，在草稿纸上可以这样写：83=中+小，85=大+小，86=大+中．这样分析后，便很容易想到简单的解法。
[解法1]（83＋85＋86）是3箱重量之和的2倍，所以小箱重量是[解法2] （83＋85）=中+大+2×小，所以小箱重量=（83+85-86）×答：最轻的箱子重41公斤。
华杯赛复赛中年级必考模块之数论,数字谜与数阵图
数论，高年级考察的比较多，中年级不是很多，
但基本的一些奇偶，整除特征等得会；2
数字谜是中年级的重点考察内容，尤其提醒大家关注弃9法关注末位定理数阵图也是中年级的重点考察内容基本的两种
关注弃9法，关注末位定理；3数阵图也是中年级的重点考察内容，基本的两种数阵图必会，数阵图模型要会用。
(2010年第十五届华杯赛决赛)在10个盒子中放乒乓球，每个盒子中的球22则()
已知A ＋B ＋C ＋D ＝22，则X ＋Y ＝( )A ．2B ．4C ．7D ．13年第十华杯赛中年组决赛3．(2012年第十七届华杯赛中年级组决赛)右图是两个两位数的减法竖式，其中A ，B ，C ，D 代表不同的数字当被减数取最大值时数字。
当被减数AB 取最大值时，A ×B ＋(C ＋
E )×(D ＋
F )＝_______。
4．(2009年第十四届华杯赛决赛)已知1＋2＋3＋⋯＋n (n >2)的和的个位数为3，十位数为0，则n 的最小值是_______。
(2009年第十四届华杯赛决赛)在51个连续的奇数135⋯101中选取5．(2009年第十四届华杯赛决赛)在51个连续的奇数1，3，5，，101中选取个数，使得它们的和为1949，那么k 的最大值是多少？。
华杯赛讲义_小高组第3讲计数专题和数论专题
第三讲 计数专题和数论专题1、如果说小学奥数试题中"行程""几何""数论"三大专题成为各大杯赛和小升初考试中的常客，占据了试卷的绝大部分版面的话，那么第四大专题就非计数莫属了，而且更重要的是，计数中的技巧多达十几种，堪称五大专题中的最具技巧与灵活性的必考专题。
2、数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。
数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。
1、一串有规律排列的数，从第二项起每一项都等于1加前一项的倒数之和．当第五项是0时，第一项是（ ）【解析】：根据规律，可表示出每一项，根据第五项是0，可得一元一次方程，根据解方程，可得答案． 解：设第一项是a ，根据题意，得第二项是aa a 111+=+第三项是11211++=++a a a a 第四项是12231211++=+++a a a a 第五项是233523121++=+++a a a a 第五项是0，02335=++a a 解得：53-=a2、求使33+n 与n-4不互质的大于4的最小整数n 的值为（ )【解析】：令n-4=k ，k ≥1，得到n3+3=k3+12k2+48k+67，k ≥1，则k3+12k2+48k+67和k 的公约数就是67和k ，依此得到k 的值，进一步即可得到n 的值．解答：解：令n-4=k ，k ≥1，则n3+3=（k+4）3+3=k3+12k2+48k+67，k ≥1，则k3+12k2+48k+67和k 的公约数就是67和k而67是质数，最小的只能是67，于是最小的k=67所以n=71．故答案为：71．.3、从 2000 年到 2099 年, 有没有哪些年份可以表示成n m 33-的形式, 其中 m , n 均为正整数？如果有, 请列举出来；如果没有, 请说明理由.【解析】：没有.设p 为2000到2099任意一数;假设有那样的表达式存在，一定满足n m p 33+=①，显然有得13+=-a n m ，所以13-=-n m a ④，根据2000≦p ≦2099及④式，a 只能取下列值:2、8、26、80、242、728;根据③式及2000≦p ≦2099，3^n 只能取下列值1、3、9、27、81、243、729;当a=2时，a 乘3^n 的最大值(729)＜2000，所以a ≠2;当a=8时，8×243=1944＜2000，8×729=5832＞2099，所以a ≠8;当a=26，26×81=2106＞2099，26×27=702＜2000，所以a ≠26;当a=80，80×27=2160＞2099，80×9=720＜2000，所以a ≠80;当a=242，242×9=2178＞2099，242×3=726＜2000，所以a ≠242;当a=728，728×3=2184＞2099，728×1=728＜2000;综上所述，不存在满足要求的a;所以从2000年到2099年的年份，不能表示为nm 33-的形式.4、如果正整数x 与y 使得yx xy +2的值为质数，那么x+y 共有（ ）种可能的值。
第五届“华杯赛”复赛试题
第五届“华杯赛”复赛试题 1. 19956.15.019954.0199322.550276951922.510939519+⨯⨯÷+--+2. 甲、乙两位学生原计划每天自学的时间相同。
若甲每天增加自学时间半小时，乙每天减少自学时间半小时，则乙自学6天的时间等于甲自学1天的时间。
问：甲乙原订每天自学的时间是多少？3. 图5－4是由圆周、半圆周、直线线段画成经过量度计算出图中阴影部分以外整个“猪”面积（准确到1平方毫米）。
4. 羊和狼在一起时，狼要吃掉羊。
所以关于羊及狼，我们规定一种运算，用符号△表示：羊△羊＝羊；羊△狼＝狼；狼△羊＝狼；狼△狼＝狼。
以上运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，狼与羊在一起便只剩下狼了。
小朋友总是希望羊能战胜狼。
所以我们规定另一种运算，用符☆表示：羊☆羊＝羊；羊☆狼＝羊；狼☆羊＝羊；狼☆狼＝狼。
这个运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，由于羊能战胜狼，当狼与羊在一起时，它便被羊赶走而只剩下羊了。
对羊或狼可以用上面规定的运算作混合运算，混合运算的法规是从左到右，括号内先算。
运算的结果或是羊，或是狼。
求下式的结果：羊△（狼☆羊）☆羊△（狼△狼）5. 人的血通常为A型，B型，O型。
子女的血型与其父母血型间的关系如下表所示：父母的血型子女可能的血型O，O OO，A A，OO，B B，OO，AB A，BA，A A，OA，B A，B，AB，OA，AB A，B，ABB，B B，OB，AB A，B，ABAB，AB A，B，AB现有三个分别身穿红、黄、蓝上衣的孩子，他们的血型依次为O，A，B。
每个孩子的父母都戴着同颜色的帽子，颜色也分红、黄、蓝三种，依次表示所具有的血型为AB、A、O。
问：穿红、黄、蓝上衣的孩子的父母各戴什么颜色的帽子？6. 一台天平，右盘上有若干重量相等的白球，左盘上有若干重量相等的黑球，这时两边平衡。
在右盘上取走一个白球置于左盘上，再把左盘的两个黑球置于右盘上，同时给左盘加20克进码，这时两边也平衡。
第三届华罗庚金杯赛复赛试题及解析
第三届华杯赛复赛试题第三届华杯赛复赛试题1计算：第三届华杯赛复赛试题2某年的10月里有5个星期六，4个星期日．问：这年的10月1日是星期几？第三届华杯赛复赛试题3、电子跳蚤每跳一步，可从一个圆圈跳到相邻的圆圈．现在，一只红跳蚤从标有数字“0”的圆圈按顺时针方向跳了1991步，落在一个圆圈里．一只黑跳蚤也从标有数字“0”的圆圈起跳，但它是沿着逆时针方向跳了1949步，落在另一个圆圈里．问：这两个圆圈里数字的乘积是多少？第三届华杯赛复赛试题4．173□是个四位数字．数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字，所得到的3个四位数，依次可被9、11、6整除．”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？第三届华杯赛复赛试题5．我们知道：9=3×3，16=4×4，这里，9、16叫做“完全平方数”，在前300个自然数中，去掉所有的“完全平方数”，剩下的自然数的和是多少？第三届华杯赛复赛试题6．如图，从长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长2厘米的正方形，然后，沿虚线折叠成长方体容器．这个容器的体积是多少立方厘米？第三届华杯赛复赛试题7．在射箭运动中，每射一箭得到的环数或者是“0”（脱靶），或者是不超过10的自然数．甲、乙两名运动员各射了5箭，每人5箭得到的环数的积都是1764，但是甲的总环数比乙少4环．求甲、乙的总环数．第三届华杯赛复赛试题8．下图中有6个点，9条线段．一只甲虫从A点出发，要沿着某几条线段爬到F点．行进中，同一个点或同一条线段只能经过1次．这只甲虫最多有多少种不同的走法？9．下图中的正方形被分成9个相同的小正方形，它们一共有16个顶点（共同的顶点算一个），以其中不在一条直线上的3个点为顶点，可以构成三角形．在这些三角形中，与阴影三角形有同样大小面积的有多少个？第三届华杯赛复赛试题10．已知：，求：S的整数部分．第三届华杯赛复赛试题11．今年，祖父的年龄是小明的年龄的6倍．几年后，祖父的年龄将是小明的年龄的5倍．又过几年以后，祖父的年龄将是小明的年龄的4倍．求：祖父今年是多少岁？第三届华杯赛复赛试题12．某个班的全体学生进行了短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到优秀，这部分学生达到优秀的项目、人数如下表：求这个班的学生数．第三届华杯赛复赛试题13．恰好能被6、7、8、9整除的五位数有多少个？第三届华杯赛复赛试题14．计算：1－3＋5－7＋9－11＋…－1999＋2001第三届华杯赛复赛试题15．五环图由内圆直径为8，外圆直径为10的五个圆环组成，其中两两相交的小曲边四边形（阴影部分）的面积都相等．已知五个圆环盖住的总面积是112.5，求每个小曲边四边形的面积（圆周率π取3.14）．第三届华杯赛复赛试题16．下图中8个顶点处标注的数字：a、b、c、d、e、f、g、h，其中的每一个数都等于相邻三个顶点处数的和的1/3，求：（a＋b+c+d）-（e+f＋g＋h）的值．。
成都华杯赛课程讲义(B)
成都华杯赛课程讲义（B ）主要内容：计数、几何、数论【例1】(2009年第十四届“华罗庚金杯赛”初赛)按照中国篮球职业联赛组委会的规定，各队队员的号码可以选择的范围是0～55号，但选择两位数的号码时，每位数字均不能超过5，那么，可供每支球队选择的号码共( )个．【分析】 根据题意，可供选择的号码可以分为一位数和两位数两大类，其中一位数可以为0～9，有10种选择；两位数的十位可以为1～5，个位可以为0～5，根据乘法原理，两位数号码有5630⨯=种选择．所以可供选择的号码共有103040+=种．【巩固】一种电子表在6时24分30秒时的显示为6：2430，那么从5时到7时这段时间里，此表的5个数字都不相同的时刻一共有多少个？【分析】 设DE A:BC 是满足题意的时刻，有A 为6，B 、D 应从0，1，2，3，4，5这6个数字中选择两个不同的数字，所以有26A 种选法，而C 、E 应从剩下的7个数字中选择两个不同的数字，所以有27A 种选法，所以共有26A ×27A =1260种选法；A 为5，B 、D 应从0，1，2，3，4，这5个数字中选择两个不同的数字，所以有25A 种选法，而C 、E 应从剩下的7个数字中选择两个不同的数字，所以有27A 种选法，所以共有25A ×27A =840种选法，因此一共有12608402100+=个【例2】(2008年第十三届“华罗庚金杯赛”初赛)已知图中是一个轴对称图形．若将图中某些黑色的图形去掉后，得到一些新的图形，则其中轴对称的新图形共有( )个．(A)9 (B)8 (C)7 (D)6【分析】 原图是一个轴对称图形，且对称轴只有1条，那么去掉图中的某些黑色图形后，剩下的轴对称图形的对称轴与原图的相同．阴影5部分中去掉1个，有1种情况；阴影5部分去掉2个，有2种情况；阴影5部分去掉3个，有2种情况；阴影5部分中去掉4个，有1种情况；阴影5部分中去掉5个，有1种情况；所以共7种情况，答案为C ．EDA BC 计数另解：如右图，将阴影5部分标上字母，则A 和B 关于对称轴对称，C 部分单独关于对称轴对称，D 和E 关于对称轴对称，所以，如果要去掉某些黑色部分图形，则A 和B 必须同时去掉或保留，C 既可去掉也可保留，D 和E 必须同时去掉或保留，对这3组每组都有去掉或保留2种选择，共有2228⨯⨯=种选择，但是其中有种情况5部分都没有去掉的情况，这样情况应予排除，所以符合条件的情况共有817-=种．【例3】在图中15⨯的格子中填入1，2，3，4，5，6，7，8中的5个数，要求填入的数各不相同，并且填在黑格里的数比它旁边的两个数都大．共有 种不同的填法．【分析】 首先看填入1、2、3、4、5这五个数的情况．由于黑格里的数至少比两个数大，所以至少为3；而白格里的数不能是最大的，所以5必须在黑格里．那么这五个数填在黑格里的数是5和4时，不同的填法有2!3!12⨯=(种)；填在黑格里的数是5和3时，4只能在5的一侧，不同的填法有224⨯=(种)．所以，共有不同填法12416+=(种)．而要将填入的五个数选出来，一共有58C 56=种，然后按照分析1～5这5个数的方法对应着数的相对大小来分析选出来的五个数，也各有16种填法，所以一共有：5616896⨯=种填法．【巩固】在图23-5的空格内各填入一个一位数，使同一行内左边的数比右边的数大，同一列内下面的数比上面的数大，并且方格内的6个数字互不相同，例如图23-6就是一种填法。
届华杯赛复赛试题及答案
第二届华杯赛复赛试题(0.5 + 0.25 + 0.125) - (0.5 X 0.25 X 0.125) X 2 •有三张卡片，在它们上面各写有一个数字（下图）次序排起来，可以得到不同地一位数、二位数、三位数档，请勿用做商业用途3•有大、中、小三个正方形水池，它们地内边长分别是沉没在中、小水池地水里，两个水池地水面分别升高了都沉没在大水池地水里，大水池地水面升高了多少厘米?4. 在一个圆圈上有几十个孔（不到100个），如图.小明像玩跳棋那样，从A孔出发沿着逆时针方向，每隔几个孔跳一步，希望一圈以后能跳回到A孔.他先试着每隔2孔跳一步，结果只能跳到B孔•他又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔.最后他每隔6孔跳一步，正好跳回到A孔•你知道这个圆圈上共有多少个孔吗？版权文档，请勿用做商业用途使得这三个数中任意两个都互质•其中一个三位数已填好，它是714.到B,最快需要几分钟? 版权文档，请勿用做商业用途三角形ABG地面积是梯形ABC画积地1/5，那么EG地长是几厘米?1.计算:IxM18 2 66.下图是一 -张道路图,每段路上地数字是小王走这段路所需地分钟数.请问小王从A出发走7.梯形ABCD&中位线EF长15厘米（见图），Z AB（=Z AEF=90°，G是EF上地一点.如果.从中抽出一张、二张、三张，按任意.请你将其中地素数都写出来•版权文6米、3米、2米.把两堆碎石分别6厘米和4厘米.如果将这两堆碎石版权文档，请勿用做商业用途5 .试将1，2，3，4, 5，6，7分别填入下图地方框中，每个数字只用一次:□□□□□□□＜这是一亍三位数）（这是一什位数）版权文档，请勿用做商业用途&有三堆砝码，第一堆中每个法码重3克，第二堆中每个砝码重5克，第三堆中每个砝码重7克.请你取最少个数地砝码，使它们地总重量为130克写出地取法：需要多少个砝码？其中3克、5克和7克地砝码各有几个？版权文档，请勿用做商业用途9. 有5块圆形地花圃，它们地直径分别是3米、4米、5米、8米、9米；请将这5块花圃分成两组，分别交给两个班管理，使两班所管理地面积尽可能接近•版权文档，请勿用做商业用途10. 一串数排成一行，它们地规律是这样地：头两个数都是1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数地和，也就是：1，2，3，5，8，13，21，34，55，问：这串数地前100个数中（包括第100个数）有多少个偶数？版权文档，请勿用做商业用途11. 王师傅驾车从甲地开乙地交货•如果他往返都以每小时60公里地速度行驶，正好可以按时返回甲地•可是，当到达乙地时、他发现他从甲地到乙地地速度只有每小时55公里，如果他想按时返回甲地，他应以多大地速度往回开？版权文档，请勿用做商业用途12. 如图，大圈是400米跑道，由A到B地跑道长是200米，直线距离是50米•父子俩同时从A点出发逆时针方向沿跑道进行长跑锻炼，儿于跑大圈，父亲每跑到B点便沿各直线跑• 父亲每100米用20秒，儿子每100米用19秒.如果他们按这样地速度跑，儿子在跑第几圈时，第一次与父亲再相遇？版权文档，请勿用做商业用途□□参考答案版权文档，请勿用做商业用途8011. 一2.共有五个质数：2，3，13, 23, 316. 48分钟7. 6厘米&（见下）9. 千米/小时12.儿子在跑第3圈时,第一次与父亲再相遇£3.出4. 91个5.（见下）（见下）10.（见下）11. 667 1,14呂丿（2 4 8丿13--3x4 1.【解】原式= 37 , 1一+ —4 6I + 1 + IV3--U=（二：l：）X 2X 4X 8X 二21+212 12=（4+2+ 1 ）X 2X4X 匚=7X 2X 4X'I "-. '1 = 7X]= j2. 【解】因为三张卡片上地数字和为 6,能被3整除，所以用这三个数字任意排成地三位数 都能被3整除，因此不可能是质数 版权文档，请勿用做商业用途再看二张卡片地情形•因为1 + 2 = 3，根据同样地道理，用 1. 2，组成地二位数也能被 3整 除，因此也不是质数•这样剩下要讨论地二位数只有 13、31、23、32这四个了，其中13,31和23都是质数，而32不是质数最后，一位数有三个： 1, 2，3.1不是质数，2和3都是 质数所以，本题中地质数共有五个：2，3，13，23，31版权文档，请勿用做商业用途答：共有五个质数：2，3，13, 23，31.3. ［解】把碎石沉没在水中，水面升高所增加地体积•就等于所沉入地碎石地体积 •因此，沉入在水池中地碎石地体积是:3 X 3X 0.06 = 0.54（米），版权文档，请勿用做商业用途 而沉入小水池中地碎石地体积是:2 X 2X 0.04 =0.16（米），这两堆碎石地体积一共是 :0.54 + 0.16 = 0.7（米3） 把它们都沉入大水池里，大水池地水面升高所增加地体积也就是 0.7米3，而大水池地底面积是:6 X 6= 36（米），22 TO所以大水池地水面升高了 :0.7十36= 二（米）=二（厘米）=（厘米）112答：大水池地水面升高了「厘米.4. ［解】设想圆圈上地孔已按下面方式编了号： A 孔编号为1，然后沿逆时针方向顺次编号 为2，3，4,…B 孔地编号就是圆圈上地孔数 ，每隔2孔跳一步，跳在1，4, 7，10,…上. 最后跳到B 孔，因此总孔数是 3地倍数加1,同样道理，每隔4孔跳一步最后跳到 B 孔，就 意味着总孔数是5地倍数加1 ;而每隔6孔跳一步最后跳回到 A ,就意味着总孔数是 7地倍 数.版权文档，请勿用做商业用途 如果将孔数减1，那么得数既是3地倍数也是5地倍数，因而是15地倍数.这个15地倍数 加上1就等于孔数，而且能被7整除.注意：15被7除余1，所以15X6被7除余6, 15地6倍加1正好被7整除.我们还可以看出，15地其他（小于7地）倍数加1都不能被7整除， 而15X 7= 105已经大于100. 7以上地倍数都不必考虑，因此，圆圈上总孔数是 15X6十1=91版权文档，请勿用做商业用途 答：圆圈上共有91个孔. 5. ［解】714= 2X 3X 7X 17.由此可以看出，要使最下面方框中地数与 选5,也就是说，第三行地一位数只能填 现在来讨论第二行地三个方框中应该怎样填 因为任意两个偶数都有公约数2,而714是偶数，所以第二行地三位数不能是偶数，因此个 位数字只能是3 .这样一来，第二行地三位数只能是 263或623 .但是623能被7整除，所以623与714不互质.版权文档，请勿用做商业用途 最后来看263这个数通过检验可知： 714地质因数2, 3, 7和17都不是263地因数，所以714与263这两个数互质，显然，263与5也互质.因此714, 263和5这三个数两两互质.于 是填法是：版权文档，请勿用做商业用途Em E E E3EI6. ［解】为叙述方便，我们把每个路口都标上字母，如图714互质，在剩下未填地数字 2，3，5，6中只能5.版权文档，请勿用做商业用途2，3，6这三个数字.a 、图b 所示b首先我们将道路图逐步简化•从A出发经过C到B地路线都要经过DC和GC面从A到C有两条路线可走：ADC需时间14 + 13 = 27 （分钟）；AGC需时间15+ 11 = 26 （分钟）.我们不会走前一条路线，所以可将DC 这段路抹去•但要注意，AD不能抹去，因为从A到B还有别地路线（例如AHB经过AD需要进一步分析.版权文档，请勿用做商业用途由G到E也有两条路线可走：CCE需16分钟，GIE也是16分钟.我们可以选择其中地任一条路线，例如选择前一条，抹掉GIE （也可以选择后一条而抹掉CE但不能抹掉GC因为还有别地路线经过它•）这样，道路图被简化成图49地形状.版权文档，请勿用做商业用途在图b中，从A到F有两条路线，经过H地一条需14 + 6 + 17= 37 （分钟），经过G地一条需15+ 11+ 10= 36 （分钟），我们又可以将前一条路线抹掉（图C）•版权文档，请勿用做商业用途2 7 7图c中，从C到B也有两条路线，比较它们需要地时间，又可将经过E地一条路线抹掉•最后，剩下一条最省时间地路线（图d），它需要15+ 11 + 10+ 12= 48 （分钟）•版权文档，请勿用做商业用途【又解】要抓住关键点C.从A到B地道路如果经过C点，那么，从A到C地道路中选一条最省时间地，即AGC从C到B地道路中也选一条最省时间地，即CFB因而从A到B经过C地所有道路中最省时间地就是这两条道路接起来地，即AGCF.B它地总时间是48分钟.版权文档，请勿用做商业用途剩下地只要比较从A到B而不经过C点地道路与道路AGCF B看那个更省时间• 不经过C点地道路只有两条：①ADHFB它需要49分钟；②AGIEB它也需要49分钟• 所以，从A到B最快需要48分钟•答：最快需要48分钟.17. 【解】梯形ABCD地面积等于EF X AB而三角彤ABG地面积等于［EG<AB因此三角形1ABG和梯形ABCD地面积比等于1 EG与EF地比.由题目地条件，三角形ABG地面积是梯形1 2 2ABCD地面积地-，即EG是EF地］.因为EF长15厘米，EG地长就是：15X_「= 6（厘米）•版权文档，请勿用做商业用途答：EG长6厘米8・【解】为了使问题简化，我们首先分析一下这三堆砝码之间地关系•很明显，一个3克地砝码加上一个7克地砝码正好等于两个5克地砝码（都是10克），因此，如果用一个3克地砝码和一个7克地砝码去替换两个5克地砝码，砝码地个数及总重量都保持不变. 这样一来，我们就可以把5克砝码两个两个地换掉，直到只剩下一个5克地砝码或者没有5克砝码为止. 版权文档，请勿用做商业用途问题归结为下面两种情形：（1）所取地砝码中没有5克砝码.很明显，为了使所取地砝码个数尽量少，应该尽可能少取3克砝码.而130克减去3克砝码地总重量应该是7克地倍数.计算一下就可以知道，取0个、1个、2个、3个、4个、5个3克砝码，所余下地重量都不是7克地倍数.如果取6个3克砝码，那么130克—3克X 6= 112克=7克X 16.于是可以取16个7克砝码和6个3克砝码，总共22个砝码版权文档，请勿用做商业用途（2）所取地砝码中有一个5克地.那么3克和7克砝码地总重量是130克—5克=125克.和第一种情形类似，可以算出应取2个3克砝码和17个7克砝码，这样总共有17+ 2 + 1= 20 个砝码版权文档，请勿用做商业用途比较上面两种情形，我们得知最少要取20个砝码.取法可以就像后一种情形那样：2个3克地，1个5克地，17个7克地，当然也可以用两个5克砝码换掉一个3克和1个7克地砝码，例如可以取5个5克地和15个7克地.版权文档，请勿用做商业用途9. 【解】我们知道，每个圆地面积等于直径地平方乘以（n /4 ）.现在要把5个圆分组，两组地总面积要尽可能接近，或者说；两组总面积地比尽可能接近 1.由于每个圆面积都有因子（n / 4）.而我们关心地只是面积地比，所以可把这个共同地因子都去掉，使问题简化为：将5个圆公成两组，使两组圆地直径地平方和尽可能接近•版权文档，请勿用做商业用途5个圆地直径地平方分别是9，16，25,64，81.这5个数地和是195.由于195是奇数，所以不可能把这5个数分成两组，使它们地和相等.另一方面，81十16= 97，9+ 25+ 64= 98,二者仅相差 1.版权文档，请勿用做商业用途因此，应该把直径4米和9米地两个花圃交给一个班管理，其余三个花圃交给另一个班管理. 答：应该把直径4米和9米地两个花圃交给一个班管理，其余三个花圃交给另一个班管理. 10. 【解】观察一下已经写出地数就会发现，每隔两个奇数就有一个偶数.这个规律是不难解释地：因为两个奇数地和是偶数，所以两个奇数后面一定是偶数.另一方面，一个奇数和一个偶数地和是奇数，所以偶数后面一个是奇数，再后面一个还是奇数.这样，一个偶数后面一定有连续两个奇数，而这两个奇数后面一定又是偶数，等等•版权文档，请勿用做商业用途因此，偶数出现在第三、第六、第九…第九十九个位子上.所以偶数地个数等于100以内3地倍数地个数，即等于99-3= 33,于是，这串数地前100个数中共有33个偶数.版权文档，请勿用做商业用途本题给出地这串数叫做“菲波那西数列”，又叫“兔子数列”.答：这串数地前100个数中共有33个偶数.丄丄11. 【解】王师傅每两千米应行X 2（小时），现来时每1千米行丁.小时，] 丄丄所以返回时每1千米应行：「I X 2—二；=T （小时）即应以每小时66千米地速度往回开.【又解】根据题意，如果王师傅往返都以每小时60公里地速度行驶，正好按时返回甲地.丄也就是说，按计划行驶1公里地时间是」小时.而王师傅从甲地到乙地地实际行驶速度只有55公里/小时，这样一来、实际行驶1公里所花费地时间是 工小时，比计划多用 时，为了能按时返回甲地， 王师傅从乙地返回甲地时， 行驶1公里所花地时间必须比原计划小时.也就是说,只能花二二J （小时）.因此王师傅往回开 地速度应是 66公/小时.版权文档，请勿用做商业用途 答：王师傅应以66公里/小时地速度往回开•12.【解】首先我们要注意到： 父亲和儿子只能在由 A 沿逆时针方向到 B 这一段跑道上相遇， 而且儿子比父亲跑得快，所以相遇时一定是儿子从后面追上父亲•版权文档，请勿用做商业用途儿子跑一圈所用地时间是 19X （400十100） = 76（秒），也就是说，儿子每过 76秒到达A 点一 次.同样道理，父亲每过 50秒到达A 点一次.在从A 到B 逆时针方向地一段跑道上，儿子要 跑19X （200十100） = 38（秒），父亲要跑20X （200 + 100） = 40（秒）.因此，只要在父亲到达 点后地2秒之内，儿子也到达A 点，儿子就能从后面追上父亲 整数倍（这个倍数是父子相遇时儿子跑完地圈数 ），它比50地一个整数倍大，但至多大要找76地一个倍数，它除以 50地余数在0到2之间，这试一下就可以了：76-50 余26,76X 2十50余2 •正合我们地要求.（在一般情况下，应该先看看76地倍数除以50地余数有 什么规律） 版权文档，请勿用做商业用途因此，在父子第一次相遇时，儿子已跑完2圈，也就是正在跑第 3圈答：儿子在跑第3圈时，第一次再与父亲相遇•A已我们需要找76地一个 2.即疋，小时间少版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理版权为个人所有This article in eludes someparts, in cludi ng text, pictures,and desig n. 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It shall notmisinterpret or modify the original intention of the contentof this article, and shall bear legal liability such ascopyright. 版权文档，请勿用做商业用途版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理版权为个人所有This article in eludes someparts, in cludi ng text, pictures,and desig n. Copyright is pers onal own ership. 版权文档，请勿用做商业用途用户可将本文地内容或服务用于个人学习、研究或欣赏，以及其他非商业性或非盈利性用途，但同时应遵守著作权法及其他相关法律地规定，不得侵犯本网站及相关权利人地合法权利.除此以外，将本文任何内容或服务用于其他用途时，须征得本人及相关权利人地书面许可，并支付报酬.版权文档，请勿用做商业用途Users may use the contents or services of this articlefor pers onal study, research or appreciati on, and other non-commercial or non-profit purposes, but at the same time, they shallabide by the provisi ons of copyright law and other releva nt laws, andshall n ot infringe upon the legitimate rights of this website and itsreleva nt obligees. 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华杯赛试题中的四种常见题型
（1）3◇＋○＝36；
（2）2△＋2○＝50；
（3）3○＋☆＝41；
（4）3◇＋△＝37.
解得△＝13,○＝12,◇＝8,☆＝5
则第三行的四个数的和为 2◇＋○＋☆＝33.
2. D；
提示：16×2×4－2×2×4＝112 平方厘米
3. 至少需要投入 41 枚硬币，这时所有的盒
子里的硬币的总钱数至少是 194 分；
以及小数化分数的问题， 同学们要熟练掌握以
下 几 点 ：（1）小 数 、循 环 小 数 化 分 数 的 基 本 法
则 ；（2）分 数 的 化 简 、约 分 ；（3）分 数 的 加 、减 法 法
则和乘、除法 法 则 ；（4）假 分 数 和 带 分 数 的 相 互
转换.
2.速算、巧算和估算
速算、巧算和估算的内容往往很多、分类较
学 的面积等于 12 平方厘米，则图中阴影部分的面 篇 积是（ ）平方厘米.
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新 思路
图1
解析：延 长 MH 必 然 交 AB 于 点 O ， 连 接
CO ， 因 为 M 是 弧 CD 的中点，H 是弦 CD 的中
点，所以 S 阴影＝ S 扇形 OMC . 根 据 题 意 可 得 CD∥AB ， 即 S ＝ △CHO S△CNH，
过运算结果的特征和性质对答案进行合理的
猜想、假设、计算检验和排除.
3.质数、分解质因数
有关质数、 分解质因数这一类知识点对同
学们的计算能力和分析能力也有很高的要求.同学们要熟练掌握判断质数、 分解质因数的
方法，通过数的两两互质将数分类等.
例 3 （第 13 届“华罗庚金杯”少年数学邀
请 赛 决 赛 ） 将 六 个 自 然 数 14，20，33，117，143，
历届华杯赛初赛、复赛真题及答案
华罗庚金杯少年数学邀请赛（简称“华杯赛”）是为了纪念我国杰出数学家华罗庚教授，于1986年始创的全国性大型少年数学竞赛活动，由中国少年报社（现为中国少年儿童新闻出版社）、中国优选法、统筹法与经济数学研究会、中央电视台青少中心等单位联合发起主办的。
华杯赛堪称国内小学阶段规模最大、最正式也是难度最高的比赛。
对一个对于学校课堂内容学有余力的学生来讲，适当学习小学奥数能够有以下方面的好处
1、促进在校成绩的全面提高，培养良好的思维习惯；
2、使学生获得心理上的优势，培养自信；
3、有利于学生智力的开发；
4、数学是理科的基础，学习奥数对于这个学生进入初中后的学习物理化学都非常有好处（很多重点中学就是因为这个原因招奥数好的学生）。
5、很多重点中学招生要看学生的奥数成绩是否优秀。
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历年华杯赛试题及答案小学
历年华杯赛试题及答案小学华杯赛，全称“全国青少年数学华罗庚金杯赛”，是中国最具影响力的青少年数学竞赛之一，旨在激发青少年对数学的兴趣，培养他们的数学思维能力。
以下是一些历年华杯赛小学组的试题及答案，供参考。
试题一：小明有3个红球和2个蓝球，他随机从袋子里摸出一个球，然后放回。
接着，他又随机摸出一个球。
请问小明两次都摸到红球的概率是多少？答案：小明第一次摸到红球的概率是3/5，放回后，第二次摸到红球的概率仍然是3/5。
因此，两次都摸到红球的概率是(3/5) * (3/5) = 9/25。
试题二：有一个数字序列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... 这个序列的特点是每一项都是前两项的和。
请问这个序列的第10项是多少？答案：这是一个斐波那契数列。
根据题目给出的数列，第10项是第9项（21）和第8项（13）的和，即21 + 13 = 34。
试题三：一个班级有40名学生，其中20名男生和20名女生。
如果随机选择一名学生，那么选择到男生的概率是多少？答案：班级中有20名男生，总共40名学生，所以选择到男生的概率是20/40 = 1/2。
试题四：一个圆形的直径是14厘米，求这个圆的面积。
答案：圆的面积公式是A = πr²，其中r是圆的半径。
直径是14厘米，所以半径是14/2 = 7厘米。
代入公式得到面积A = π * 7² = 49π ≈ 153.94平方厘米。
试题五：小华有5个苹果，他决定将这些苹果平均分给3个朋友。
如果每个朋友分得的苹果数必须是整数，小华应该如何分配？答案：小华可以将5个苹果分成1, 2, 2的组合，这样每个朋友得到的苹果数都是整数。
试题六：一个长方体的长、宽、高分别是8厘米、6厘米和5厘米。
求这个长方体的体积。
答案：长方体的体积公式是V = 长 * 宽 * 高。
代入数值得到V = 8 * 6 * 5 = 240立方厘米。
试题七：如果一个数的平方等于这个数本身，那么这个数是什么？答案：这个数是0或1，因为0² = 0，1² = 1。
华杯赛数学试题及答案
华杯赛数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B2. 一个数的平方等于它本身，这个数可能是？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：A、B3. 如果一个三角形的两边长分别为3和4，那么第三边的长度x满足的条件是？A. 1 < x < 7B. 1 < x < 5C. 3 < x < 7D. 2 < x < 6答案：C4. 一个圆的半径是2，那么它的周长是多少？A. 4πB. 6πC. 8πD. 10π答案：C5. 下列哪个分数是最简分数？A. 3/6B. 4/8C. 5/10D. 7/14答案：无正确选项，因为所有选项都可以化简。
6. 如果一个数列的前三项是2, 4, 6，那么第四项是多少？A. 8B. 10C. 12D. 14答案：A7. 一个长方体的长、宽、高分别是3cm、4cm、5cm，那么它的体积是多少？A. 60cm³B. 120cm³C. 180cm³D. 240cm³答案：A8. 一个等差数列的前三项是2, 5, 8，那么第六项是多少？A. 14B. 15C. 16D. 17答案：B9. 一个等比数列的前三项是2, 6, 18，那么第四项是多少？A. 54B. 42C. 24D. 12答案：A10. 一个数的立方等于它本身，这个数可能是？A. 0B. 1C. -1D. 以上都是答案：D二、填空题（每题4分，共20分）11. 一个数的相反数是-5，那么这个数是________。
答案：512. 如果一个数的绝对值是4，那么这个数可能是________或________。
答案：4或-413. 一个圆的直径是10，那么它的面积是________。
答案：25π14. 如果一个三角形的内角和是180度，其中一个角是90度，另外两个角的度数之和是________。
第四届“华杯赛”复赛试题答案
第四届“华杯赛”复赛答案
1. 1
2. 7天
3. 8立方厘米
4. 23个
5. 5
2
816. 15平方厘米
7. 629
8. 第 24行，第 40列
9. 在 A 、B 、C 、D 、E 、F 、H 处，顺次在小圆圈内填入1、3、8、2、7、4、5、6
10. 余数是1
11. 第五天A 与B 对阵，另2张球台上的对阵是C 对D ，E 对F
12. 36个
13. 没有可能
14. 400米
15. 3
1
16. 送礼后，四人八件礼品平均每人两件。
若有一人多于两件，则一定是三件，是除自己之外其他 三人的礼物各一件。
因此，这个人与得到自己礼物的两个人组成连个互送对。
若四人每人都得到别人的两件礼物，他自己的两件礼品不能集中只送一人，因此他与接受他礼品中一人为一互送对，除了这一互送对之外还有两人，其中任选一人，与前面推理一样，可得到另一互送对。
华杯赛决赛冲刺班高级组(学生版)
第一讲计算、数论计算关键词：分数混合计算，比较与估算，数列数表，循环小数，高斯记号数论关键词：位值原理，不定方程，整除，约倍质合，周期（一）计算1.（12届华杯决赛）计算：123[20.75(3.742)9]41.75.225+−÷÷=2.（17届华杯决赛高年级组）算式()1010.5 5.214.69.2 5.2 5.4 3.7 4.6 1.5−÷×−×+×−×⎡⎤⎣⎦的值的20倍为.3.（14届华杯决赛）方格中的图形符号“◇”,“○”,“▽”,“☆”代表填入方格中的数,相同的符号代表相同的数,如图所示,若第一列,第三列,第二行,第四行的四个数的和分别是36,50,41,37,则第三行的四个数的和为37415036○◇◇◇○○◇◇○▽○▽☆☆☆◇?4.（14届华杯决赛）六个分数12,13,15,17,111,113的和在哪两个连续自然数之间?若将算式111111123456782007200820092010−+−+−+××××××L 的值化为小数,则小数点后第1个数字是.6.（13届华杯决赛）记137151023248161024A =+++++L 那么比A 小的最大自然数是.7.（16届华杯决赛）以[]x 表示不超过x 的最大整数,设自然数n 满足123120111515151515n n −⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++>⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦L ,则n 的最小值是多少?（二）数论8.（16届华杯决赛）设某年中有一个月里有三个星期日的日期为奇数,则这个月的20日可能是星期几?将七位数“1357924”重复写287次组成一个2009位数“13579241357924…”.删去这个数中所有位于奇数位上的数字;按上述方法一直删除下去直到剩下一个数字为止,则最后剩下的数字是.10.（17届华杯决赛高年级组）张兵1953年出生，在今年之前的某一年,他的年龄是9的倍数并且是这一年的各位数字之和，那么这一年他岁.11.（15届华杯决赛）将一个数的各位数字相加得到新的一个数称为一次操作,经连续若干次这样的操作后可以变为6的数称为“好数”,那么不超过2012的“好数”的个数为,这些“好数”的最大公约数是.12.（14届华杯决赛）某班学生要栽一批树苗.若每个人分配k棵树苗,则剩下38棵;若每个学生分配9棵树苗,则还差3棵,那么这个班共有名学生.将一个2n位数的前n位数和后n位数各当成一个n位数,如果这两个n位数之和的平方正好等于这个2n位数,则称这个2n位数为卡布列克(Kabulek)怪数，例如，2+=,所以3025(3025)3025是一个卡布列克怪数.请问在四位数中有哪些卡布列克怪数?14.（12届华杯决赛）一个自然数,它的最大的约数和次大的约数的和是111,这个自然数是________.15.（14届华杯决赛）已知a,b,c是三个自然数,且a与b的最小公倍数是60,a与c的最小公倍数是270.求b与c的最小公倍数.16.（13届华杯决赛）设六位数abcdef满足fabcde=f×abcdef,请写出所有这样的六位数.已知98个互不相同的质数1298,,,p p p ⋯,记2221298N p p p =+++⋯,问:N 被3除的余数是多少？第二讲应用题、几何应用题关键词：行程，分数几何关键词：直线型计算、角度、曲线形、立体（一）应用题1.（16届华杯决赛）工程队的8个人用30天完成了某项工程的13,接着增加了4个人完成其余的工程,那么完成这项工程共用了天.2.（17届华杯决赛高年级组）箱子里已有若干个红球和黑球,放入一些黑球后,红球占全部球数的四分之一；再放入一些红球后,红球的数量是黑球的三分之二.若放入的黑球和红球数量相同,则原来箱子里的黑球与红球数量的比值为.3.（17届华杯决赛高年级组）甲、乙两个粮库原来各存有整袋的粮食,如果从甲粮库调90袋到乙粮库,则乙粮库存粮的袋数是甲粮库的2倍．如果从乙粮库调若干袋到甲粮库,则甲粮库存粮的袋数是乙粮库的6倍．那么甲粮库原来最少存有袋的粮食.悉尼与北京的时差是3小时,例如：悉尼时间12:00时,北京时间是9:00,某日,当悉尼时间9:15时,小马和小杨分别乘机从悉尼和北京同时出发去对方所在地,小马于北京时间19:33分到达北京.小马和小杨路途上时间之比为7:6,那么小杨到达悉尼时,当地时间是.5.（16届华杯决赛）甲乙两人骑自行车同时从A地出发去B地,甲的车速是乙的车速的1.2倍.乙骑了5千米后,自行车出现故障,耽误的时间可以骑全程的16.排除故障后,乙的速度提高了60%,结果甲乙同时到达B地.那么A,B两地之间的距离是千米.6.（15届华杯决赛）汽车A从甲站出发开往乙站,同时汽车B、C从乙站出发与A相向而行开往甲站,途中A与B相遇20分钟后再与C相遇.已知A、B、C的速度分别是每小时90千米,80千米,60千米,那么甲乙两站的路程是千米.7.（13届华杯决赛）甲乙两人沿一个周长为400米的环形跑道匀速前进,甲行走一圈需要4分钟,乙行走一圈需7分钟.他们同时同地同向出发,甲走完10圈后,改为反向行走,出发后,每一次甲追上乙或和乙迎面相遇时,两人都击掌示意.问：当两人第15次击掌时,甲共走了多少时间?乙走了多少路程?甲、乙二人分别在A 、B 两地同时相向而行，于E 处相遇后，甲继续向B 地行走，乙则休息了14分钟，再继续向A 地行走。
(完整版)华杯赛考试大纲及备考攻略
华杯赛考试大纲及备考攻略一．华杯赛常考考点总结计算：分数小数互化、循环小数化分数、约分、运算级别、加法、乘法运算律常用公式、常用数据记忆裂项(整数、分数裂项;分数拆分)、通项公式、换元法估算、取整、取小数论：奇偶数质数、合数整除及位值原理约数、(最大)公约数、(最小)公倍数余数及同余完全平方数数字迷进制(常考二进制)几何：平面几何的周长及面积规则图形：掌握公式、高不规则图形：割补法、转化为规则的常用模型：同底等高模型、四边形定理、蝴蝶定理、鸟头定理、燕尾定理、容斥定理立体几何的体积及表面积圆柱、圆锥等公式 (挖洞后)立体的体积表面积与体积图形的染色与切割平面图形的旋转圆形的滚动应用题：行程问题：多次相遇、多次追及、环形行程、走走停停、变速行驶工程问题：多人合作、中途请假、做做停停、工资分配、工作交换经济、浓度问题：概念转换、利润计算、浓度计算、利润最大化、溶液配比、溶液装置变换最值问题：最短时间、最大利润、最大乘积、最小损耗容斥原理：集合的交集、并集与补集抽屉原理(构造抽屉是难点) 抽屉原理一：告诉苹果和抽屉，求最值抽屉原理二：告诉抽屉和最值，求苹果(最不利) 抽屉原理三：整数分组其他问题：决赛中约考察15分构造与染色：奇偶染色、证明问题加乘原理排列组合捆绑与插空枚举与树形图容斥与排除归纳与递推标数法对应法重要：线分面，面分体。
如果怒了用枚举二、如何备考各大杯赛1、第一阶段：奥数各大专题复习。
杯赛考察的是孩子的综合实力，几乎涉及奥数所有专题，孩子平时的学习情况基本决定了孩子的竞赛成绩。
有计划有准备的奥数学习的孩子去参加各大杯赛考试，获奖的概率将大大增加。
因此，有必要为了每一种杯赛而制定学习计划，否则将会得不偿失。
现阶段可以把老师讲过的知识整理一遍，把每个知识模块都画一张脑图。
以一本参考书为蓝本进行练习，这本书一定要是按知识模块分类的书，不是综合性题型的书，每天晚上拿出30分钟做几道题。
注意：薄弱的知识点一定要记下来！以便后期薄弱知识模块学习更有针对性！2、第二阶段：薄弱知识模块突破。
华杯赛考前知识点总结
华杯赛考前知识点总结一、数学知识点总结1.1 数学常识(1)数与代数数是用来计数和度量的，分为自然数、整数、有理数和无理数。
代数是现代数学的一个分支，研究数和数的运算规律。
(2)几何几何是研究图形、尺寸和位置的一门数学科学。
(3)统计统计是收集、整理、分析、解释和描述数据的一门学科。
1.2 数学基础概念(1)整数的加减乘除两个整数相加、相减、相乘和相除的规则。
(2)分数分数是指带有分母的数，可以表示整数之间的比例。
(3)百分数百分数是指以100为基数的百分比，可以表示数值的比例。
1.3 代数方程(1)一元一次方程形如ax+b=0的方程称为一元一次方程。
(2)一元二次方程形如ax²+bx+c=0的方程称为一元二次方程。
(3)分式方程形如a/x+b=0的方程称为分式方程。
1.4 平面几何(1)三角形三角形是由三条边和三个角组成的图形。
(2)四边形四边形是由四条边和四个角组成的图形。
(3)圆圆是由一个点到平面上所有其他点距离都相等的点的集合。
1.5 空间几何(1)长方体长方体是一种特殊的立体图形，有六个面，相对面积相等。
(2)球体球体是指所有点到球心的距离都相等的点的集合。
(3)圆柱圆柱是一种立体图形，有二个平行的圆面和一个侧面。
1.6 统计概率(1)统计学统计学是对数据进行收集、整理、分析和解释的一门学科。
(2)概率概率是指事件发生的可能性的大小。
(3)频率频率是指在一定范围内，某种事件发生的次数。
二、英语知识点总结2.1 英语语法(1)词法词法是研究词的构词和变化规律的学科。
(2)句法句法是研究句子结构和句子成分之间的关系的学科。
2.2 英语词汇(1)常用词汇在日常生活中常用的英语词汇。
(2)扩展词汇扩展词汇是指在基础词汇的基础上扩展的新词汇。
2.3 英语写作(1)作文结构作文的结构包括引言、主体和结论。
(2)写作技巧写作需要运用一定的表达技巧和逻辑思维。
2.4 英语阅读(1)阅读技巧阅读需要有一定的阅读技巧和阅读理解能力。
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华杯赛考试大纲及备考攻略一．杯常考考点算：分数小数互化、循小数化分数、分、运算、加法、乘法运算律常用公式、常用数据裂 (整数、分数裂 ;分数拆分 )、通公式、元法估算、取整、取小数：奇偶数数、合数整除及位原理数、 (最大 )公数、 (最小 )公倍数余数及同余完全平方数数字迷制 (常考二制 )几何：平面几何的周及面形：掌握公式、高不形：割法、化的常用模型：同底等高模型、四形定理、蝴蝶定理、定理、燕尾定理、容斥定理立体几何的体及表面柱、等公式 (挖洞后 )立体的体表面与体形的染色与切割平面形的旋形的用：行程：多次相遇、多次追及、形行程、走走停停、速行工程：多人合作、中途假、做做停停、工分配、工作交、度：概念、利算、度算、利最大化、溶液配比、溶液装置最：最短、最大利、最大乘、最小耗容斥原理：集合的交集、并集与集抽原理(构造抽是点 ) 抽原理一：告苹果和抽，求最抽原理二：告抽和最，求苹果 (最不利 ) 抽原理三：整数分其他：决中考察15 分构造与染色：奇偶染色、明加乘原理排列合捆与插空枚与形容斥与排除与推数法法重要：分面，面分体。
如果怒了用枚二、如何考各大杯1、第一段：奥数各大复。
杯考察的是孩子的合力，几乎涉及奥数所有，孩子平的学情况基本决定了孩子的成。
有划有准的奥数学的孩子去参加各大杯考，的概率将大大增加。
因此，有必要了每一种杯而制定学划，否将会得不失。
段可以把老的知整理一遍，把每个知模都画一。
以一本参考本行，本一定要是按知模分的，不是合性型的，每天晚上拿出 30 分做几道。
注意：薄弱的知点一定要下来！以便后期薄弱知模学更有性！2、第二段：薄弱知模突破。
在前一个月，每天晚上拿出 30 分集中行薄弱知模突破。
如果孩子行程学得不是很好，那么就要弄清楚是什么原因，是没知没理解透？是解不好？此，有性的行缺漏非常必要。
在个段，要极的求老的帮助。
当然，不要以做偏主，任何一个考高分的孩子，一定不是他把最的做了，而是他保了都不做，中等度尽力做全，高度冲一冲。
数论(小学华杯赛)
数论1、数的整除：a是一个三位数。
它的百位数字是4，a+9能被7整除，a-7能被9整除，那么a是多少？2、约数倍数：在一根长木棍上，有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10等份，第二种刻度线把木棍分成12等份，第三种刻度线把木棍分成15等份，如果沿每条刻度线把木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？3、余数问题有一个自然数，用它分别去除63，90，130都有余数，3个余数的和是25.这3个余数中最大的一个是多少？4、质数合数分解质因数已知3☆7×2□△4是891的倍数，其中☆、□、△各代表一个不同的数字，那么三位数☆□△代表的是多少？5、奇偶分析在一张9行9列的方格纸上，把每个方格所在的行数和列数加起来，填在这个方格中，例如a=5+3=8．问：填入的81个数字中是奇数多还是偶数多?6、中国剩余定理一个自然数在1000和1200之间，且被3除余1，被5除余2，被7除余3，求符合条件的数7、位值原理把一个两位数的十位与个位上的数字加以交换，得到一个新的两位数．如果原来的两位数和交换后的新的两位数的差是45，试求这样的两位数中最大的是多少？1、六年级数的整除习题答案：解答：a+9能被7整除，说明a+9-7=a+2能被7整除；a-7能被9整除，说明a-7+9=a+2能被9整除；7⨯9=63，则63-2=61符合上述两个条件。
（因63-2=61，则a可以写成这样的形式：a=63⨯？＋61）。
又a是一个百位数字是4的三位数，估算知，a=63⨯6+61=439。
2、五年级约数倍数习题答案：解答：1）木棍锯成的段数，比锯的次数大1。
2）锯的次数并不一定是三种刻线的总和。
两种刻度线重合在一起的时候，就少锯了一次。
着眼点：计算出有多少两种刻度线或者三种刻度线重叠在一起的位置。
把木棍看成是10、12、15的最小公倍数个单位，那么每个等分线将表示的数都是整数，而且重合位置表示的数都是等分线段长度的最小公倍数，利用求最小公倍数的方法计算出重合部分的个数。
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03华杯复赛—计数及数论
第三讲计数、数论综合
2021．2
知识概述
1．计数
计数题量约为2道，难度中等偏上．涉及的知识点包括枚举法、加乘原理、排列组合等，需要将问题考虑全面，个别题需要递推计数的思想．
2．数论
数论一般为1道题，难度中等偏上．涉及的知识点包括整数、质数合数、约数倍数以及余数、位值原理．需要对数论基础知识全面了解．
真题精讲
计数部分：
【例1】从1~8这八个自然数中取三个数，其中有连续自然数的取法有________种．（19届复赛）
【例2】如图所示，一只蚂蚁从正方体的顶点A出发，沿正方体的棱爬到顶点B，要求行走的路线最短，那么蚂蚁有_______种不同的走法．（17届复赛A卷）
【例3】将1、2、3、4、5分别填入图2的格子中，要求填在黑格里的数比它旁边的两个数都大．共有________种不同的填法．（19年南宁营）
【例4】将1和2填入的网格中，要求每个格只填一个数，每行每列至少一个1和至少一个2，则有________种不同的填法．（19年南宁营）
【例5】黑板上顺次写下连续自然数1，2，3，4，5，6， (99)
得到一串数1234567891011…，则相邻数字构成的两位数有________个被3整数（重复的计算多次）．（19年太原营）
【例6】亚瑟王在王宫中召见6名骑士，这些骑士中每个骑士恰
好，2名朋友．他们围着一张圆桌坐下（骑士姓名与座位如右图），结果发现这种坐法，任意相邻的两名骑士恰好都是朋友．亚瑟王想重新安排座位，那么亚瑟王有________种不同方法安排座位，使得每一个骑士都不与他的朋友相邻．（旋转以后相同的，算同一种方法）．（22届复赛）
【例7】将下图左边的大三角形纸板剪3刀，得到4个大小相同的小三角形纸板（第一次操作），见下图中间．再将每个小三角形纸板剪3刀，得到16个大小相同的更小的三角形纸板（第二次操作），见下图右边．这样继续操作下去，完成前六次操作共剪了________刀．（21届复赛A卷）
【例8】某班同学做游戏，把3个相同的白球与2个相同的黑球放入3个不同的篮子中（每个篮子中至少放一个球），结果发现任两个同学的放的方法都不一样．全班最多有________名同学．（19年太原营）
【例9】用五种不同的颜色涂正方体的六个面．如果相邻的两个面不能涂同种颜色，则共有多少种不同的涂色方法？（将正方体任意翻转后仍然不同的涂色方法才被认为是不同的）（20届复赛卷）【例10】右图中的网格是由6个相同的小正方形构成．将其中4个小正方形涂上灰色，要求每行每列都有涂色的小正方形．经旋转后两种涂色的网格相同，则视为相同的涂法，那么有________种不同的涂
色方法．（21届复赛A卷）
数论部分：
【例11】在除法算式中，被除数为2016，余数为7，则满足算式的除数共有_______个．（21届初赛）
【例12】一个两位数与109的乘积为四位数，它能被23整除且商是一位数，这个两位数最大等于________．（21届复赛A卷）【例13】某个两位数是2的倍数，加1是3的倍数，加2是4的倍数，加3是5的倍数，那么这个两位数是________．（20届复赛A 卷）
【例14】3个连续的自然数介于100到200之间，其中最小的能被3整除，中间的能被5整除，最大的能被7整除，这3个自然数的和是________．（19年南宁营）
【例15】一个三位数交换个位和百位后的新的三位数称为原三位数的逆序数，某个三位数和它的逆序数的和是928，差是198（大减小），则这个三位数是_______．（18年深圳营）
【例16】从连续自然数1至9中取出7个，其和是7的倍数，共有________种不同的取法．（19年太原营）
【例17】从1到200这200个自然数中任意选数，至少要选出多少个才能确保其中必有2个数的和是5的倍数？（21届复赛B 卷）【例18】三位数中，有些数本身是该数的数字和的19倍，如()19019190=?++，请写出所有这样的三位数．（19届复赛）课后巩固
1．一个自然数的各位数字没有重复的数字，并且数字和等于19，那么这类自然数中最小是________．（19年南宁营）
2．小明行李箱锁的密码是由两个数字与构成的三位数．某次旅行，小明忘记了密码，他最少要试________次，才能确保打开箱子．（22
届初赛）
3．编号从1到10的10个白球排成一行，现按照如下方法涂红色：
（1）涂2个球；
（2）被涂色的2个球的编号之差大于2．不同的涂色方法有多少种？（18届复赛A 卷）
4．从1，2，3，4，5这5个数中选出4个不同的数填入下面4个方格中
+>+
有________种不同的填法使式子成立．（提示：1523+>+和5123+>+是不同的填法）（21届复赛A 卷）
5．能被自己的数字之和整除的两位数中，奇数共有________个．（22届复赛）
6．在除以7余1、除以11也余1的自然数中，大于1的最小自然数是________．（18届初赛）。