【赢在微点】高三数学(文)一轮复习练习：5-3等比数列及其前n项和(含答案解析)

配餐作业(三十一) 等比数列及其前n 项和

一、选择题

1．(2016·南昌模拟)等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( )

A ．－24

B ．0

C ．12

D ．24 解析：由题意知(3x ＋3)2＝x(6x ＋6)，即x 2＋4x ＋3＝0，解得x ＝－3或x ＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24。

答案：A

2．(2016·福州模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝x·3n －1－16

，则x 的值为( ) A.13

B ．－13 C.12 D ．－12

解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝x －16

①， 当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝⎛⎭⎫x·

3n －1－16－⎝⎛⎭⎫x·3n －2－16＝x·(3n －1－3n －2)＝2x·3n －2， 因为{a n }是等比数列，

所以a 1＝a 2q ＝2x·32－23＝2x 3

②， 由①②得x －16＝2x 3，解得x ＝12

。 答案：C

3．(2016·昆明模拟)在等比数列{a n }中，若a 3，a 7是方程x 2＋4x ＋2＝0的两根，则a 5的值是( )

A ．－2

B ．－ 2

C ．±2 D. 2

解析：根据根与系数之间的关系得a 3＋a 7＝－4，

a 3a 7＝2，由a 3＋a 7＝－4＜0，a 3a 7＞0，

所以a 3＜0，a 7＜0，即a 5＜0，

由a 3a 7＝a 25，所以a 5＝－a 3a 7＝－2。

答案：B

4．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S n a n

＝( ) A ．4n －1 B ．4n －1

C ．2n －1

D ．2n －1

解析：∵⎩⎨⎧ a 1＋a 3＝52，

a 2＋a 4＝54，∴⎩⎨⎧ a 1＋a 1q 2＝52，①a 1q ＋a 1q 3＝54，②

由①除以②可得1＋q 2q ＋q 3

＝2，解得q ＝12， 代入①得a 1＝2，

∴a n ＝2×⎝⎛⎭⎫12n －1＝42n ， ∴S n ＝2×⎣⎡⎦

⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝4⎝⎛⎭

⎫1－12n ， ∴S n a n ＝4⎝⎛⎭⎫1－12n 4

2n

＝2n －1，选D 。 答案：D

5．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝

( )

A ．12

B ．10

C ．8

D ．2＋log 35

解析：由题意可知a 5a 6＝a 4a 7，

又a 5a 6＋a 4a 7＝18得a 5a 6＝a 4a 7＝9，

而log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1·a 2·…·a 10)＝log 3(a 5a 6)5＝log 395＝log 3310＝10。 答案：B

6．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 4与a 14的等比中项为22，则2a 7＋a 11的最小值为( )

A ．16

B ．8

C ．2 2

D ．4

解析：由题意知a 4＞0，a 14＞0，a 4·a 14＝8，a 7＞0，a 11＞0，则2a 7＋a 11≥22a 7·a 11＝22a 4·a 14

＝216＝8，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧

a 7·a 11＝8，2a 7＝a 11，即a 7＝2，a 11＝4时取等号，故2a 7＋a 11的最小值为8，故选B 。

答案：B

二、填空题

7．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是__________。

解析：设公比为q ，则由a 8＝a 6＋2a 4，得a 1q 7＝a 1q 5＋2a 1q 3，q 4－q 2－2＝0，解得q 2＝2(q 2＝－1舍去)，所以a 6＝a 2q 4＝4。

答案：4

8．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1a 5＝4，则log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝__________。

解析：由等比数列的性质可知a 1a 5＝a 2a 4＝a 23，于是，由a 1a 5＝4得a 3＝2，故a 1a 2a 3a 4a 5＝32，则log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝log 2(a 1a 2a 3a 4a 5)＝log 232＝5。

答案：5

9．(2016·徐州模拟)若等比数列{a n }满足：a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝______；前n 项和S n ＝______。

解析：由a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，

得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q ＋a 1q 3＝20，a 1q 2＋a 1q 4＝40，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋q 2＝20，a 1q 2＋q 2＝40，

解得q ＝2，a 1＝2，

所以S n ＝a 1－q n

1－q ＝－2n 1－2＝2n ＋1－2。 答案：2 2n ＋1－2

三、解答题

10．(2016·河南八市质检)已知递增的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 6＝64，且a 4，a 5的等差中项为3a 3。

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝n a 2n －1

，求数列{b n }的前n 项和T n 。 解析：(1)设等比数列{a n }的公比为q(q ＞0)，

由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧

a 1q 5＝64a 1q 3＋a 1q 4＝6a 1q 2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2q ＝2或q ＝－舍，

所以a n ＝2n 。

(2)因为b n ＝n a 2n －1＝n 2

2n －1， 所以T n ＝12＋223＋325＋427＋…＋n 2

2n －1， 14T n ＝123＋225＋327＋…＋n －122n －1＋n 2

2n ＋1，