5-6匀速圆周运动的实例分析

匀速圆周运动的实例分析
本节是圆周运动实例，是高考对圆周运动知识考查的落脚点，我们应给予足够的重视
核心知识
1.向心力的来源
向心力并不是一种特殊的、另外的力，它可以由一个力或几个力的合力来提供.在解决圆周运动有关问题时，分析向心力的来源是非常重要的，以下是几类典型情况.
1)水平面的圆周运动
①汽车转弯
汽车在水平的圆弧路面上的做匀速圆周运动时(如图6-1甲所示)，是什么力作为向心力的呢?如果不考虑汽车翻转的情况，我们可以把汽车视为质点.汽车在竖直方向受到的重力和支持力大小相等、方向相反，是一对平衡力；如果不考虑汽车行驶时受到的阻力，则汽车所受的地面对它的摩擦力就是向心力，如图6-1乙所示.如果考虑汽车行驶时受到的阻力F f，则静摩擦力沿圆周切线方向的分F t(通常叫做牵引力)与阻力F f平衡，而静摩擦力指向圆心的分力F n就是向心力，如图6-1丙所示，这时静摩擦力指向圆心的分力F n也就是汽车所受的合力.
②火车转弯
火车转弯时，是什么力作为向心力呢?如果转弯处内外轨一样高，外侧车轮的轮缘挤压外轨，使外轨发生弹性形变，外轨对轮缘的弹力F就是使火车转弯的
向心力(如图6-2所示).设转弯半径为r，火车质量为m，转弯时速
率为v，则，F=m .由于火车质量很大，靠这种办法得到向心力，
轮缘与外轨间的相互作用力要很大，铁轨容易受到损坏.
实际在修筑铁路时，要根据转弯处的半径r和规定的行驶速度
v0，适当选择内外轨的高度差，使转弯时所需的向心力完全由重力G
和支持力F N的合力来提供，如图6-3所示.必须注意，虽然内外
轨有一定的高度差，但火车仍在水平面内做圆周运动，因此向心
力是沿水平方向的，而不是沿“斜面”向上.F=Gtgα=mgtgα，
故mgtgα=m ,
通常倾角α不太大，可近似取tgα=h/d，则hr=d .
我国铁路转拐速率一般规定为v0=54km/h,即v0=15m/s,轨
距d=1435mm,所以hr为定值.铁路弯道的曲率半径r是根据地
形条件决定的.
2)竖直平面内的圆周运动
①汽车过凸桥
我们先来分析汽车过拱桥最高点时对桥的压力.设汽车的质量为m，过最高点时的速度为v，桥面半径为r.汽车在拱桥最高点时的受力情况如图6-4所示，重力G和桥对它的支持力F1的
合力就是汽车做圆周运动的向心力，方向竖直向下(指向圆心)所以G-F1=m ，则F1=G-m .
汽车对桥的压力与桥对汽车的支持力是一对作用力和反作用力
故压力F1′＝F1＝G-m .
②水流星
水流星中的水在整个运动过程中均由重力和压力提供向心力，如图
6-5所示，要使水在最高点不离开杯底，则N≥0
由 N＋mg=m .则V≥
2.离心现象与其原因
物体作圆周运动时，如果m、r、v已确定，那么它所需要的向心力F＝m 就已确定.当
外界不能满足它所需的向心力时，物体必将偏离圆轨道，其中有两种情况①F法＝0，沿切线离
开圆心.②F法＜m 沿曲线远离圆心
典型例题
例1 长度不同的两根细绳，悬于同一点，另一端各系一个质量相同的
小球，使它们在同一水平面内作圆锥摆运动，如图6-6所示，则( )
A.它们的周期相同
B.较长的绳所系小球的周期较大
C.两球的向心力与半径成正比
D.两绳张力与绳长成正比
分析设小球作圆锥摆运动时，摆长为L，摆角为θ，小球受到拉力为T0与重力mg的作用，由于加速度a水平向右，拉力T0与重力mg的合力ma的示意图如图6-7所示，由图可知
mgtgθ=ma因a=ω2R= Lsinθ得T=2π ，
Lcosθ为旋转平面到悬点的高度，容易看出两球周期相同
T0sinθ=m LsinθT0= L
一定，T0∝LF向＝r，F向∝r
故正确选项为A、C、D
例2 质量为m的汽车，以速度V通过半径R的凸形桥最高点时对桥
的压力为，当速度V′＝时对桥的压力
为零，以速度V通过半径为R凹型最低点时对桥的压力为 .
分析汽车以速率V作匀速圆周运动通过最高点时，牵引力与摩擦力
相平衡，汽车在竖直方向的受力情况如图6-8所示.
汽车在凸桥的最高点时，加速度方向向下，大小为a=v2/R,由F=ma
mg-N1=mv2/R所以，汽车对桥的压力N1′=N1=mg-mv2/R
当N1′=N1=0时，v′= .
汽车在凹桥的最低点时，竖直方向的受力如图6-9所示，此时汽车的加
速度方向向上，同理可得，N2′=N2=mg＋mv2/R.
小结由分析可以看出，圆周运动中的动力学问题只是牛顿第二定律
的应用中的一个特例，与直线运动中动力学的解题思路，分析方法完全相同，
需要注意的是其加速度a=v2/R或a=ω2R方向指向圆心.
例3 在水平转台上放一个质量为M的木块，静摩擦因数为μ，转台以角速度ω匀速转动时，细绳一端系住木块M，另一端通过转台中心的小孔悬一质量
为m的木块，如图6-10所示，求m与转台能保持相对静止时，M到
转台中心的最大距离R1和最小距离R2.
分析 M在水平面内转动时，平台对M的支持力与Mg相平衡，
拉力与平台对M的摩擦力的合力提供向心力.
设M到转台中心的距离为R，M以角速度ω转动所需向心力为
Mω2R，若Mω2R＝T＝mg，此时平台对M的摩擦力为零.
若R1＞R，Mω2R1＞mg，平台对M的摩擦力方向向左，由牛顿第二定律
f+mg=Mω2R1，当f为最大值μMg时，R1最大.所以，M到转台的最大距离为
R1=(μMg+mg)/mω2.若R2＜R，Mω2R2＜mg，平台对M的摩擦力水平向右，由F=ma.
mg-f=Mω2R2f=μMg时，R2最小，最小值为R2=(mg-μMg)/mω2.
小结本例实际上属于一个简单的连接体，直线运动中关于连接体的
分析方法，在圆周运动中同样适用.
例4 长L=0.5m，质量可忽略的杆，其下端固定于O点，上端连接
一个零件A，A的质量为m=2kg，它绕O点做圆周运动，如图6-11所示，
在A通过最高点时，求下列两种情况下杆受的力：
(1)A的速率为1m/s，(2)A的速率为4m/s.
分析杆对A的作用力为竖直方向，设为T，重力mg与T的合力提
供向心力，由F=ma，a=v2/R，得mg+T=mv2/RT=m(v2/R-g)
(1)当v=1m/s时，T=2(12/0.5-10)N=-16N(2)当v=4m/s时，T=2(42/0.5-10)N=44N
(1)问中T为负值，表明T与mg的方向相反，杆对A的作用力为支持力.
讨论(1)由上式，当v= 时，T＝0，当v＞时，T为正值，对A的作用力为拉力，当v＜时，T为负值，对A的作用力为支持力.
(2)如果把杆换成细绳，由于T≥0，则有v≥ .
例5 如图6-12甲所示，质量为m的物体，沿半径为R的圆形
轨道自A点滑下，A点的法线为水平方向，B点的法线为竖直方向，
物体与轨道间的动摩擦因数为μ，物体滑至B点时的速度为v，求此
时物体所受的摩擦力.
解析：物体由A滑到B的过程中，受到重力、轨道对其弹力与轨道对其摩擦力的作用，物体一般做变速圆周运动.已知物体滑到B点时的速度大小为v，它在B点时的受力情况如图6-12乙所示.其中轨道的弹力F N、重力G的合力提供物体做圆周运动的向心力，方
向一定指向圆心.故F N-G=m F N=mg+m ，
则滑动摩擦力为F1=μF N=μ(mg+m ).
这里的分析和计算所依据的仍是普遍的运动规律——牛顿第二定律，只
是这里的加速度是向心加速度.向心力和向心加速度的公式虽然是从匀速圆周运动得出的，但
向心力公式F＝m 实际上就是牛顿第二定律的一种特殊形式，因此也适用于变速圆周运动.
在变速圆周运动中，上式中的v必须用对应位置的瞬时速度值.由图6-12乙可知，物体所受的合力是轨道的弹力F N、摩擦力F1重力G这三个力的合力，方向应斜向上，在此我们再次看到物体做变速圆周运动时的向心力与其所受的合力是不同的.
关于“匀速圆周运动的实例”的常见问题
问题1: 地球以多高速度自转就失去大气层？
维护地球大气层，使大气不至散失到宇宙的力是万有引力。

如果一颗行星的自转速度大于临界速度，那么大气所受的引力将小于离心力，大气层就会散失掉。

而所谓的临界速度就是离心力和万有引力相等时的自转速度。

对地球来说，临界速度略大于每秒11公里，而地球现在的自转速度为每秒0.5公里，因此大气层不会被甩掉。

如果一颗行星的的自转速度达到了它的临界速度，那么它上面的居民和所有的东西都将被甩向外太空，但行星本身还不会四分五裂，因为使构成行星的物质结合在一起的力是电磁力而不是万有引力。

问题2: 用久了的电风扇，常会出现噪声较大甚至“点头”等毛病，这是为什么呢？
原来，电风扇在出厂前都经过严格的测试，使得转轴和扇页的重心都能在电扇转轴的轴线上。

这样，当电扇转动时，转轴和扇页上各点都在绕轴线做匀速圆周运动，它们所需的向心力由转轴来提供。

由于转轴和扇页的质量分布均匀对称，所以它们对转轴的作用力的合力为零。

用久了的电风扇，由于各种原因，使得转轴和扇页的重心不在电扇的轴线上，而相当于一个偏离心轮。

当电扇转动时，由于各部分对转轴的作用力不同，而使得电扇出现“点头”的现象，同时还会出现较大的噪声。

匀速圆周运动的实例分析
教学重点：分析向心力来源．教学难点：实际问题的处理方法．
一、讨论向心力的来源：
例如：万有引力提供向心力（人造地球卫星）；弹力提供向心力（绳系小球在光滑水平面上的匀速圆周运动）；摩擦力力提供向心力（物价在转盘上随转盘一起转动）；合力提供向心力（圆锥摆等）．
二、讨论火车转弯：
（一）火车车轮有凸出的轮缘．
（二）外轨作用在火车轮缘上的力F是使火车必须转弯的向心力．
（三）外轨高于内轨时重力与支持力的合力是使火车转弯的向心力．
（四）讨论：为什么转弯处的半径和火车运行速度有条件限制？
三、讨论汽车过拱桥：
（一）思考：汽车过拱桥时，对桥面的压力与重力谁大？
（二）汽车过拱桥在最高点的受力情况（变变）
（三）汽车过凹形桥时低点时的受力情况（变变）
（四）总结在圆周运动中的超重、失重情况．
火车转弯
如图1所示，如果火车转弯处内外轨无高度差，火车行驶到此处时，由于火车惯性的缘故，会造成外轨内侧与火车外轮的轮缘相互挤压现象，使火车受到外轨内侧的侧压力作用．迫使火车转弯做圆周运动．但是这个侧压力的反作用力，作用在外轨上会对外轨产生极大的破坏作用，甚至会引起外轨变形，造成翻车事故．
其实火车转弯的向心力并不是侧压力提供的，那么是什么力作为向心
力的呢？如图2所示，在转弯处使外轨略高于内轨，火车驶过转弯处时，
铁轨对火车的支持力的方向不再是竖直的，而是斜向弯道内侧，它与
重力G的合力指向圆心，成为使火车转弯的向心力．
设内外轨间的距离为L，内外轨的高度差为h，火车转弯的半径为R，
火车转弯的规定速度为．由图2所示力的三角形得向心力为：
由牛顿第二定律得：所以：
即火车转弯的规定速度：
讨论（1）当火车行驶速率v等于规定速度时，，内、外轨道对轮缘都没有侧压力．
（2）当火车行驶速度v大于规定速度时，，外轨道对轮缘有侧压力．
（3）当火车行驶速度v小于规定速度时，，内轨道对轮缘有侧压力．
1、如图3所示，是绳子牵引下的小球在竖直面内作圆周运动，如图4所示，是在轨道约束下在竖直面内作圆周运动的小球，它们的共同特点是，
在运动到最高点时均没有物体支承小球，下面讨论小球在
竖直平面内作圆周运动通过最高点的情况：
（1）临界条件；绳子和轨道对小球没有力的作用
根据牛顿第二定律得
即
这个速度可理解为恰好转过或恰好转不过的速度．
（2）能过最高点的条件：（当时绳、轨道对球分别产生拉力、压力）
（3）不能过最高点的条件：（实际上球还没有到最高点就脱离了轨道）
2、如图5所示，是杆子约束下的小球在竖直面内作圆周运动，如图6所
示，是在轨道约束下在竖直面内作圆周运动的小球，它们的共同特点是，在运
动到最高点时均有物体支承小球，下面讨论小球在竖直平面内作圆周运动通过
最高点的情况：
（1）临界条件：（支承物对物体的支持力等于mg）
（2）当，即，如图5所示支承物对物体既没有拉
力也没有支持力．
当，即，如图5所示支承物对物体产生拉
力、且拉力随v增大而增大．如图6所示，小球将脱离轨道作平抛运
动，因为轨道不能对它产生拉力．
当，即，如图5所示支承物对物体产生支持
力，且支持力随v减少而增大，范围是0~mg。

竖直面内圆周运动的临界条件
在竖直平面内的圆周运动，关键是最高点的受力情况的分析．若沿法线方向的合外力满足时，则物体能通过最高点，即能在竖直平面作圆周运动．细绳和轻杆作用下的竖
直平面内的圆周运动是常见的，在细绳作用下，小球在最高点的最小合外力是mg．所以，最高点的速度至少为．而细杆作用下，既可提供拉力，也可提
供支持力，在最高点合外力可以为零，所以通过最高点的速度
只需大于零．
通过分析临界状态解决“范围类”题目
如图所示，细绳一端系着质量kg的物体，静止于水平面，另一端通过光滑小孔吊着质量kg的物体，M的中点与圆孔距离为0.2m，并知M和水平面的最大静摩擦力为2N，现使此平面绕中心轴线转动，问角速度在什么范围m会处于静止状态？（）解析：要使m静止，M应与平面相对静止，考虑M能与水平面相对静止的两个极端状态：当为所求范围的最小值时，M有向圆心运动的趋势，水平面对M的静摩擦力方向背离圆心，大小等于最大静摩擦力2N，此时对M有：且
解得：rad/s．
当为所求范围的最大值时，M有远离圆心运动的趋势，水平面对M的摩擦力方向指向圆心，且大小也为2N，此时：
且解得：rad/s
故所求的范围为．
说明：分析两个极端（临界）状态来确定变化范围，是求解“范围类”题目的基本思路和方法．
离心现象与其应用
教学重点：离心运动产生的条件
一、离心运动
（一）讨论：在光滑水平面上，用细绳系一个小球，使其在桌面上做匀速圆周运动．若细绳突然断了，小球将如何运动？若拉绳的力变小了，小球如何运动？若拉绳的力变大了，小球如何运动？
（二）讨论：“魔盘”上的人所需向心力由什么力提供？为什么转速一定时，有的人能随之一块做圆周运动，而有的人逐渐向边缘滑去？
（三）用提供的力与需要的向心力的关系角度解释上述现象，得到离心运动的条件和概念．
二、离心运动的应用和防止：可提出一些问题让学生讨论解决：如：
（1）洗衣机的脱水筒中的衣物上的水滴，在脱水筒工作时，水滴需要的向心力由什么决定？提供的向心力由什么决定？什么情况下，水滴将被甩出？
（2）在公路转弯处，为什么车辆行驶不允许超过规定的速度？
（3）为什么砂轮、飞轮等都不得超过允许的最大转速？等等
典型例题
细绳牵引物体做圆周运动的系列问题
例一根长的细绳，一端拴一质量的小球，使
其在竖直平面内绕绳的另一端做圆周运动，求：（1）小球通过最高点时
的最小速度？（2）若小球以速度通过周围最高点时，绳对小
球的拉力多大？若此时绳突然断了，小球将如何运动．
【分析与解答】（1）小球通过圆周最高点时，受到的重力必须全部作为向心力，否则重力G中的多余部分将把小球拉进圆内，而不能实现沿竖直圆周运动．所以小球通过圆周最高点的条件应为，当时，即小球受到的重力刚好全部作为通过圆周最高点的向心力，绳对小球恰好不施拉力，如图所示，此时小球的速度就是通过圆周最高点的最小
速度，由向心力公式有：
解得：
（2）小球通过圆周最高点时，若速度v大于最小速度，所需的
向心力将大于重力G，这时绳对小球要施拉力F，如图所示，此时有
解得：N
若在最高点时绳子突然断了，则提供的向心力mg小于需要的向心力，小球将沿切线方向飞出做离心运动（实际上是平抛运动）。