无锡市锡山区锡北片2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试卷(解析版)

江苏省无锡市锡山区锡北片2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列关于x的方程中，是一元二次方程的为（）
A．ax2+bx+c＝0B．x2﹣＝1C．x2﹣1＝0D．2x+3y﹣5＝0
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【解答】解：A、当a＝0时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、该方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C、x2﹣1＝0是一元二次方程，故本选项符合题意；
D、2x+3y﹣5＝0是二元一次方程，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的定义：只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．
2．一元二次方程x2﹣3x+4＝0的根的情况是（）
A．没有实数根B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根D．有两个不相等的实数根
【分析】先计算出根的判别式的值得到Δ＜0，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：∵Δ＝（﹣3）2﹣4×4＝﹣7＜0，
∴方程无实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．3．如图，A，B，C三点在⊙O上，且∠BOC＝100°，则∠A的度数为（）
A．40°B．50°C．80°D．100°
【分析】在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，由此可得出答案．
【解答】解：由题意得∠A＝∠BOC＝×100°＝50°．
故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理，属于基础题，掌握圆周角定理的内容是解答本题的关键．
4．一组数据：1、2、2、3，若添加一个数据2，则发生变化的统计量是（）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
【分析】依据平均数、中位数、众数、方差的定义和公式求解即可．
【解答】解：A、原来数据的平均数是2，添加数字2后平均数仍为2，故A与要求不符；
B、原来数据的中位数是2，添加数字2后中位数仍为2，故B与要求不符；
C、原来数据的众数是2，添加数字2后众数仍为2，故C与要求不符；
D、原来数据的方差S2＝＝，
添加数字2后的方差S2＝＝，故方差发生了变化．
故选：D．
【点评】本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键．5．下列说法：①直径是弦：②平分弦的直径垂直于弦；③长度相等的两条弧是等弧；④三点确定一个圆；
⑤三角形的内心是三角形三边垂直平分线的交点．其中正确的命题有（）
A．1B．2C．3D．4
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【解答】解：①直径是弦，是真命题：
②被平分的弦是直径时，不一定垂直于弦，是假命题；
③在等圆或同圆中，长度相等的两条弧是等弧，原命题是假命题；
④不在同一直线上的三点确定一个圆，原命题是假命题；
⑤三角形的内心是三角形三个内角平分线交点，是假命题；
故选：A．
【点评】主要考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
6．如图，从一块直径为2的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形CAB，且点C，A，B都在⊙O上，将此扇形围成一个圆锥，则该圆锥底面圆的半径是（）
A．B．C．D．
【分析】连接BC，如图，利用圆周角定理得到BC为⊙O的直径，则AB＝AC＝，设该圆锥底面圆的半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到2πr＝，然后解方程即可．
【解答】解：连接BC，如图，
∵∠BAC＝90°，
∴BC为⊙O的直径，BC＝2，
∴AB＝AC＝，
设该圆锥底面圆的半径为r，
∴2πr＝，解得r＝，
即该圆锥底面圆的半径为．
故选：D．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了圆周角定理．
7．杨倩在东京奥运女子10米气步枪决赛中夺得冠军，为中国代表团揽入首枚金牌，随后杨倩同款“小黄鸭”发卡在电商平台上爆单，该款发卡在某电商平台上7月24日的销量为5000个，7月25日和7月26日的总销量是30000个．若7月25日和26日较前一天的增长率均为x．则可列方程正确的是（）
A．5000（1+x）2＝30000
B．5000（1﹣x）2＝30000
C．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝30000
D．5000（1+x）+5000（1+x）2＝30000
【分析】直接利用已知分别表示出7月25日和7月26日的销量，进而得出等式求出答案．
【解答】解：若7月25日和26日较前一天的增长率均为x．则可列方程为：
5000（1+x）+5000（1+x）2＝30000．
故选：D．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出销量是解题关键．
8．如图，在△ABC中，AC＝5，∠C＝60°，点D、E分别在BC、AC上，且CD＝CE＝2，将△CDE沿DE所在的直线折叠得到△FDE（点F在四边形ABDE内），连接AF，则AF的长为（）
A．B．C．D．
【分析】作FG⊥AE于点G，首先根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，判定△CDE是边长为2的等边三角形，从而根据翻折的性质得到△FDE也是边长为2的等边三角形，从而在Rt△EFG中，求得∠EFG
＝30°，GE＝EF＝1，FG＝，然后根据AC＝5，求得AG，最后根据勾股定理得到AF的长．
【解答】解：如图，作FG⊥AE于点G，
∵∠C＝60°，CD＝CE＝2，
∴△CDE是边长为2的等边三角形，
∵将△CDE沿DE所在直线折叠得到△FDE，
∴△FDE也是边长为2的等边三角形，
∴FE＝2，∠AEF＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴Rt△EFG中，∠EFG＝30°，
∴GE＝EF＝1，FG＝，
又∵AC＝5，
∴AG＝5﹣1﹣2＝2，
∴Rt△AFG中，AF＝＝
故选：A．
【点评】本题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理的运用，解题的关键是作辅助线构造直角三角形，根据等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质进行计算求解．
9．如图，点A、B分别在x轴、y轴上（OA＞OB），以AB为直径的圆经过原点O，C是的中点，连结AC，BC．下列结论：①∠ACB＝90°；②AC＝BC；③若OA＝4，OB＝2，则△ABC的面积等于5；④若OA﹣OB＝4，则点C的坐标是（2，﹣2）．其中正确的结论有（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】通过构造全等三角形，利用圆的有关性质，可以解决问题．
【解答】解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，故①符合题意；
∵C是中点，
∴AC＝BC，故②符合题意；
∵AB2＝OB2+OA2＝22+42，
∴AB＝2，
∵△ACB是等腰直角三角形，
∴AC＝BC＝AB＝，
∴△ACB的面积为＝5，故③符合题意；
作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∵∠BCE+∠BCD＝∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠BCE＝∠ACD，
∵AC＝BC，
∴△ACD≈△BCE，
∴CD＝CE，AD＝BE，
∴OECD是正方形，
设正方形的边长为a，
∴OA﹣a＝OB+a，
∴2a＝OA﹣OB＝4，
∴a＝2，
∴点C坐标为：（2，﹣2），
故④符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查圆的有关知识及三角形全等，关键是综合运用几何知识点．
10．如图所示，半径为1的半圆O上有两个动点A，B，若AB＝1，四边形ABDC的面积最大值为（）
A．．B．C．D．．
【分析】过点O作OH⊥AB于点H，连接OA，OB，分别过点A、H、B作AE⊥CD、HF⊥CD，BG⊥CD于点E、F、G，根据垂线段线段最短可知HF＜OH，再由梯形的中位线定理可知，HF＝（AE+BG），进而可得出结论．
【解答】解：过点O作OH⊥AB于点H，连接OA，OB，分别过点A、H、B作AE⊥CD、HF⊥CD，BG⊥CD于点E、F、G，如图，
∵AB＝1，⊙O的半径＝1，
∴OH＝，
∵垂线段最短，
∴HF＜OH，
∴HF＝（AE+BG），
＝S△AOC+S△AOB+S△BOD＝×1×AE+×1×+×1×BG
∴S
四边形ABDC
＝AE++BG
＝（AE+BG）+
＝HF+≤OH+＝+＝．
故选：B．
【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出等边三角形是解答此题的关键．
二、填空题（每题3分，共24分）
11．一元二次方程x2+x＝0的根是x1＝0，x2＝﹣1．
【分析】提公因式得到x（x+1）＝0，推出x＝0，x+1＝0，求出方程的解即可．
【解答】解：x2+x＝0，
x（x+1）＝0，
x＝0，x+1＝0，
x1＝0，x2＝﹣1，
故答案为：x1＝0，x2＝﹣1．
【点评】本题主要考查对解一元一次方程，解一元二次方程，因式分解等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转换成一元一次方程是解此题的关键．
12．一个正多边形的边长为3，若其中一个内角为120°，则这个正多边形的面积为．【分析】首先求出这个正多边形的边数，再计算面积即可．
【解答】解：设这个正多边形的边数为n，
根据题意得，（n﹣2）•180°＝120°n，
解得，n＝6，
又这个正多边形的边长为3，
∴这个正多边形的面积＝6××32＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了正多边形和圆，灵活掌握多边形内角和公式是解答本题的关键．
13．若⊙O的半径为3，点P为平面内一点，OP＝2，那么点P在⊙O内部（填“上”、“内部”或“外部”）【分析】根据点和圆的位置关系得出即可．
【解答】解：∵⊙O的半径r＝3，
∵OP＝2，
∴点P在⊙O内部，
故答案为：内部．
【点评】本题考查了点和圆的位置关系的应用，注意：已知⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离是d，当d ＞r时，点在圆外，当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．
14．一组数据5、8、6、7、4的方差为2．
【分析】先计算出这组数据的平均数，再根据方差的定义列式计算即可．
【解答】解：这组数据的平均数为＝6，
∴这组数据的方差为×[（4﹣6）2+（5﹣6）2+（6﹣6）2+（7﹣6）2+（8﹣6）2]＝2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的定义与计算公式．
15．将四边形ABCD绕顶点A顺时针旋转45°至四边形AB′C′D′的位置，若AB＝12cm，则图中阴影部分的面积为18πcm2．
【分析】由旋转的性质得：∠BAB'＝45°，四边形AB'C'D'≌四边形ABCD，图中阴影部分的面积＝四边形ABCD 的面积+扇形ABB'的面积﹣四边形AB'C'D'的面积＝扇形ABB'的面积，代入扇形面积公式计算即可．
【解答】解：由旋转的性质得：∠BAB'＝45°，四边形AB'C'D'≌四边形ABCD，
则图中阴影部分的面积＝四边形ABCD的面积+扇形ABB'的面积﹣四边形AB'C'D'的面积＝扇形ABB'的面积＝＝18π（cm2）．
故答案为：18πcm2．
【点评】本题考查了旋转的性质、扇形面积公式；熟练掌握旋转的性质，得出阴影部分的面积＝扇形ABB'的面积是解题的关键．
16．如图，⊙O为△ABC的内切圆，NC＝5.5，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线，切点为Q，则△CDE的周长为11．
【分析】根据切线的性质得到CN＝CM＝5.5，根据切线长定理得到EN＝EQ，DQ＝DM，根据三角形的周长公式即可得到结论．
【解答】解：∵⊙O为△ABC的内切圆，
∴CN＝CM＝5.5，
∵DE为⊙O的切线，切点为Q，
∴EN＝EQ，DQ＝DM，
∴△CDE的周长＝CE+CD+DE＝CE+EQ+DQ+CD＝CE+EN+CD+DM＝CN+CM＝11，
故答案为：11．
【点评】此题主要是考查了切线的性质、三角形内切圆与内心、切线长定理．掌握圆中的有关定理是解题的关键．
17．如图，AB为⊙O的直径，且AB＝8，点C在半圆上，OC⊥AB，垂足为点O，P是上任意一点，过P点作PE⊥OC于点E，M是△OPE的内心，连接OM、PM，当点P在弧BC上从点B运动到点C时，求内心M 所经过的路径长π．
【分析】首先证明∠CMO＝∠PMO＝135°，推出当点P在弧BC上从点B运动到点C时，点M在以OC为弦，并且所对的圆周角为45°的劣弧上（），利用弧长公式计算即可解决问题．
【解答】解：∵△OPE的内心为M，
∴∠MOP＝∠MOC，∠MPO＝∠MPE，
∴∠PMO＝180°﹣∠MPO﹣∠MOP＝180°﹣（∠EOP+∠OPE），
∵PE⊥OC，即∠PEO＝90°，
∴∠PMO＝180°﹣（∠EOP+∠OPE）＝180°﹣（180°﹣90°）＝135°，
∵OP＝OC，OM＝OM，
而∠MOP＝∠MOC，
∴△OPM≌△OCM，
∴∠CMO＝∠PMO＝135°，
所以当点P在弧BC上从点B运动到点C时，点M在以OC为弦，
并且所对的圆周角为45°的劣弧上（），
点M在扇形BOC内时，
过C、M、O三点作⊙O′，连O′C，O′O，
在优弧CO取点D，连DC，DO，
∵∠CMO＝135°，
∴∠CDO＝180°﹣135°＝45°，
∴∠CO′O＝90°，而OA＝OC＝AB＝4，
∴O′O＝OC＝2，
∴弧OMC的长＝＝π，
故答案为：π．
【点评】本题考查了弧长的计算公式、三角形内心的性质、三角形全等的判定与性质、圆周角定理和圆的内接四边形的性质，解题的关键是正确寻找点M的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题．
18．直角△ABC中，∠C＝90°，斜边AB＝2，BC＝1，分别在AB，BC，CA上取点D、E、F，使△DEF为正
三角形，△DEF边长的最小值是．
【分析】设正三角形DEF的边长为a、∠CEF＝α且∠EDB＝∠1，将CF和AF用a、α表示出，再用α分别分别表示出∠1和∠ADF，然后利用正弦定理表示a并结合辅角公式化简，利用正弦函数的值域即可求得a的最小值．
【解答】解：设正△DEF的边长为a，∠CEF＝α，
则AC＝＝＝，CF＝a•sinα，AF＝﹣a•sinα，
设∠EDB＝∠1，可得：
∠1＝180°﹣∠B﹣∠DEB＝120°﹣∠DEB，α＝180°﹣60°﹣∠DEB＝120°﹣∠DEB，
∴∠ADF＝180°﹣60°﹣∠1＝120°﹣α，
在△ADF中，＝，
即，化简得a[2sin（120°﹣α）+sinα]＝，
∴a＝＝＝（其中φ是满足tanφ＝的锐角），
∴△DEF边长最小值为．
故答案为：．
【点评】本题在特殊直角三角形中求三角形边长和面积的最值，着重考查了解直角三角形、平行线的性质、
正弦定理和三角恒等变换等知识，考查了在实际问题中建立三角函数模型能力，属于中档题．
三、解答题（共10小题，满分96分）
19．（8分）解方程
（1）x2+7x+12＝0；
（2）x2﹣6x+7＝0．
【分析】（1）方程利用十字相乘法求解即可；
（2）方程利用配方法求解即可．
【解答】解：（1）x2+7x+12＝0，
（x+3）（x+4）＝0，
x+3＝0或x+4＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝﹣4；
（2）x2﹣6x+7＝0，
x2﹣6x＝﹣7，
x2﹣6x+9＝2，
（x﹣3）2＝2，
x﹣3＝±，
解得，．
【点评】本题考查了解一元二次方程，掌握十字相乘法以及配方法是解答本题的关键．
20．（8分）已知关于x的方程k2x2﹣2（k+1）x+1＝0有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为符合条件的最小整数，求此方程的根．
【分析】（1）根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k2≠0且Δ＝4（k+1）2﹣4k2≥0，然后解两个不等式，求出它们的公共部分即可；
（2）直接得出k的值，进而解方程得出答案．
【解答】解：（1）根据题意得k2≠0且Δ＝4（k+1）2﹣4k2＝8k+4≥0，
解得：k≥﹣且k≠0；
（2）∵k≥﹣且k≠0，k为符合条件的最小整数，
∴k＝1，
故x2﹣4x+1＝0，
则x2﹣4x+4＝﹣1+4，
故（x﹣2）2＝3，
则x﹣2＝±，
解得：x1＝2+，x2＝2﹣．
【点评】本题主要考查根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0，方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0，方程没有实数根．
21．（10分）某校学生会向全校3000名学生发起了“爱心捐助”捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如图所示的统计图
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受随机调查的学生人数为50人，图1中m的值是32．
（2）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；
（3）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数．
【分析】（1）由捐款5元的人数及其所占百分比可得总人数，再用捐款10元的人数除以总人数可得m的值；
（2）根据平均数、众数和中位数的概念求解可得答案；
（3）用总人数乘以样本中捐款10元的人数所占比例即可．
【解答】解：（1）本次接受随机调查的学生人数为4÷8%＝50（人），
∴m%＝×100%＝32%，即m＝32，
故答案为：50人，32；
（2）本次调查获取的样本数据的平均数是：×（4×5+16×10+12×15+10×20+8×30）＝16（元），本次调查获取的样本数据的众数是：10元，
本次调查获取的样本数据的中位数是：15元；
（3）估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数为3000×＝960（人）．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数、众数，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
22．（8分）已知：在△ABC中，AB＝AC．点A在以BC为直径的⊙O外．
（1）请仅用无刻度的直尺画出点O的位置（保留画图痕迹）；
（2）若△ABC的外接圆的圆心M，OM＝4，BC＝6，求△ABC的面积．
【分析】（1）连接CE，BF交于点K，作直线AK交BC于点O，点O即为所求．
（2）利用勾股定理求出CM，即可解决问题．
【解答】解：（1）如图，点O即为所求．
（2）∵点M是△ABC的外心，
∴AM＝MC，
由题意在Rt△OMC中，∵∠MOC＝90°，OM＝4，OC＝3，
∴CM＝＝＝5，
∴OA＝AM+OM＝5+4＝9，
＝•BC•AO＝×9×6＝27．
∴S
△ABC
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，等腰三角形的性质，圆周角定理，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
23．（10分）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若降价3元，则平均每天销售数量为26件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
【分析】（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价3元，则平均每天可多售出2×3＝6件，即平均每天销售数量为20+6＝26件；
（2）利用商品平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售这种商品利润列出方程解答即可．
【解答】解：（1）若降价3元，则平均每天销售数量为20+2×3＝26件．
故答案为：26；
（2）设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元．
根据题意，得（40﹣x）（20+2x）＝1200，
整理，得x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20．
∵要求每件盈利不少于25元，
∴x2＝20应舍去，
∴x＝10．
答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售的利润是解题关键．
24．（10分）如图，四边形OABC是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆交AB于D，延长AO交⊙O于E，
连接CD，CE，若CE是⊙O的切线，
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若BC＝3，AB＝4，求平行四边形OABC的面积．
【分析】（1）连接OD，证出△EOC≌△DOC，推出∠ODC＝∠OEC＝90°，根据切线的判定推出即可；（2）求出CD，根据三角形的面积公式求出DF，根据平行四边形的面积公式求出即可．
【解答】（1）证明：∵CE是⊙O的切线，
∴∠OEC＝90°，
如图1，连接OD，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AO＝BC，OC＝AB，OC∥AB，
∴∠EOC＝∠A，∠COD＝∠ODA，
∵OD＝OA，
∴∠A＝∠ODA，
∴∠EOC＝∠DOC，
在△EOC和△DOC中，
，
∴△EOC≌△DOC（SAS），
∴∠ODC＝∠OEC＝90°，
∴OD⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：过D作DF⊥OC于F，如图2，
在Rt△CDO中，OC＝4，OD＝OA＝3，由勾股定理得：CD＝＝，
由三角形的面积公式得：×CD×OD＝×OC×DF，
∴DF＝＝＝，
∴平行四边形OABC的面积是OC×DF＝4×＝3．
【点评】本题考查了切线的性质和判定，平行四边形的性质，平行线的性质，勾股定理，三角形的面积的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．
25．（10分）为了美化环境，学校准备在如图所示的矩形ABCD空地上进行绿化，规划在中间的一块四边形MNQP 上种花，其余的四块三角形上铺设草坪，要求AM＝AN＝CP＝CQ．已知BC＝24米，AB＝40米．设AM＝x 米．
（1）当种花的面积为440平方米时，求x的值；
（2）种花的面积能否达到520平方米？说明理由；
（3）设种花的面积为a平方米，当x的值有且只有一个时，试求出a的取值范围．
【分析】（1）根据矩形面积减去四个直角三角形的面积，表示出种花的面积，使其等于440列出方程，求出方程的解即可得到x的值；
（2）根据矩形面积减去四个直角三角形的面积，表示出种花的面积，使其等于520列出方程，判断方程是否有根即可；
（3）根据矩形面积减去四个直角三角形的面积，表示出种花的面积，使其等于a列出方程，根据题意得到根的判别式等于0，求出a的值即可．
【解答】解：（1）根据题意得：24×40﹣2×（40﹣x）（24﹣x）﹣2×x2＝440，
方程整理得：x2﹣32x+220＝0，即（x﹣22）（x﹣10）＝0，
解得：x1＝22，x2＝10，
则x的值为22或10；
（2）种花的面积不能达到520平方米，理由如下：
根据题意得：24×40﹣2×（40﹣x）（24﹣x）﹣2×x2＝520，
方程整理得：x2﹣32x+260＝0，
∵b2﹣4ac＝322﹣4×260＝1024﹣1040＝﹣16＜0，
∴此方程无解；
（3）根据题意得：24×40﹣2×（40﹣x）（24﹣x）﹣2×x2＝a，
方程整理得：x2﹣32x+＝0，
（i）∵x的值有且只有一个，
∴b2﹣4ac＝322﹣4×＝0，即2a＝1024，
解得：a＝512；
（ii）∵方程有两个不等根，0＜x＜24，a为面积，
∴b2﹣4ac＝322﹣4×＞0，
解得：0＜a＜512，
解得：x1＝16+（不在范围内，舍去），x2＝16﹣，
∴≥8，
解得：0＜a≤384，
综上，a＝512或0＜a≤384．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，以及一元二次方程根与系数的关系，弄清题意是解本题的关键．26．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C为的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF．
（1）求证：△BFG≌△CDG；
（2）若AD＝BE＝4，求BF的长．
【分析】（1）首先利用已知条件和垂径定理证明CD＝BF，然后根据AAS证明△BFG≌△CDG；
（2）连接OF，设⊙O的半径为r，由CF＝BD列出关于r的勾股方程就能求解．
【解答】（1）证明：∵C是中点，
∴＝，
∵AB是⊙O的直径，且CF⊥AB，
∴＝，
∴＝，
∴CD＝BF，
在△BFG和△CDG中，
，
∴△BFG≌△CDG（AAS）；
（2）解：如图，连接OF，设⊙O的半径为r，
Rt△ADB中，BD2＝AB2﹣AD2，即BD2＝（2r）2﹣42，
Rt△OEF中，OF2＝OE2+EF2，即EF2＝r2﹣（r﹣4）2，
∵＝＝，
∴＝，
∴BD＝CF，
∴BD2＝CF2＝（2EF）2＝4EF2，
即（2r）2﹣42＝4[r2﹣（r﹣4）2]，
解得：r＝2（舍）或6，
∴BF2＝EF2+BE2＝62﹣（6﹣4）2+42＝48，
∴BF＝4．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、三角形全等的性质和判定以及勾股定理．第二问有难度，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
27．（10分）已知：平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点分别为O（0，0）、A（5，0）、B（m，2）、C（m ﹣5，2）．
（1）问：是否存在这样的m，使得在边BC上总存在点P，使∠OPA＝90°？若存在，求出m的取值范围；
若不存在，请说明理由．
（2）当∠AOC与∠OAB的平分线的交点Q在边BC上时，求m的值．
【分析】（1）由四边形四个点的坐标易得OA＝BC＝5，BC∥OA，以OA为直径作⊙D，与直线BC分别交于点E、F，根据圆周角定理得∠OEA＝∠OFA＝90°，如图1，作DG⊥EF于G，连DE，则DE＝OD＝2.5，DG＝2，根据垂径定理得EG＝GF，接着利用勾股定理可计算出EG＝1.5，于是得到E（1，2），F（4，2），即点P在E点和F点时，满足条件，此时，当，即1≤m≤9时，边BC上总存在这样的点P，使∠OPA＝90°；
（2）如图2，先判断四边形OABC是平行四边形，再利用平行线的性质和角平分线定义可得到∠AQO＝90°，
以OA为直径作⊙D，与直线BC分别交于点E、F，则∠OEA＝∠OFA＝90°，于是得到点Q只能是点E或点F，当Q在F点时，证明F是BC的中点．而F点为（4，2），得到m的值为6.5；当Q在E点时，同理可求得m的值为3.5．
【解答】解：（1）存在．
∵O（0，0）、A（5，0）、B（m，2）、C（m﹣5，2）．
∴OA＝BC＝5，BC∥OA，
以OA为直径作⊙D，与直线BC分别交于点E、F，则∠OEA＝∠OFA＝90°，如图1，
作DG⊥EF于G，连DE，则DE＝OD＝2.5，DG＝2，EG＝GF，
∴EG＝＝1.5，
∴E（1，2），F（4，2），
∴当，即1≤m≤9时，边BC上总存在这样的点P，使∠OPA＝90°；
（2）如图2，
∵BC＝OA＝5，BC∥OA，
∴四边形OABC是平行四边形，
∴OC∥AB，
∴∠AOC+∠OAB＝180°，
∵OQ平分∠AOC，AQ平分∠OAB，
∴∠AOQ＝∠AOC，∠OAQ＝∠OAB，
∴∠AOQ+∠OAQ＝90°，
∴∠AQO＝90°，
以OA为直径作⊙D，与直线BC分别交于点E、F，则∠OEA＝∠OFA＝90°，
∴点Q只能是点E或点F，
当Q在F点时，∵OF、AF分别是∠AOC与∠OAB的平分线，BC∥OA，
∴∠CFO＝∠FOA＝∠FOC，∠BFA＝∠FAO＝∠FAB，
∴CF＝OC，BF＝AB，
而OC＝AB，
∴CF＝BF，即F是BC的中点．
而F点为（4，2），则＝4，解得m＝6.5
∴此时m的值为6.5，
当Q在E点时，同理可得＝1，此时m的值为3.5，
综上所述，m的值为3.5或6.5．
【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、圆周角定理和平行四边形的判定与性质；理解坐标与图形性质；会利用勾股定理计算线段的长．
28．（12分）（1）已知：如图1，AB是⊙O的直径，点P为⊙O上一点（且点P不与A、B重合），连接PA，PB，∠APB的角平分线PC交⊙O于点C．
①若PA＝8．PB＝6，求AB的长．
②求证：PA+PB＝PC．
（2）如图2，在正方形ABCD中，AB＝，若点P满足PC＝3，且∠APC＝90°，请直接写出点B到AP 的距离．
【分析】（1）①由圆周角定理可得∠APB＝90°，根据勾股定理可得答案；
②延长PB至D，使BD＝PA，证明△DBC≌△PAC，得∠D＝∠APC＝45°，则∠PCD＝90°，则结论得证；（2）分两种情况，画出图形，作出正方形的外接圆，由正方形的性质和直角三角形的性质可求出答案．
【解答】（1）①解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠APB＝90°，
∵PA＝8，PB＝6，
∴AB＝＝＝10；
②证明：如图1，延长PB至D，使BD＝PA，
∵四边形APBC为圆内接四边形，
∴∠CBD＝∠PAC，
∵PC平分APB，
∴＝，∠APC＝∠CPB＝45°，
∴AC＝BC，
∴△DBC≌△PAC（SAS），
∴∠D＝∠APC＝45°，
∴∠PCD＝90°，
∴PD＝PC，
∴PA+PB＝PC；
（2）解：如图2，作出正方形ABCD的外接圆，P为上一点，且PC＝3，BE⊥PA，
∵AB＝，
∴AC＝＝5，
∵∠APC＝90°，
∴PA＝＝＝4，
由（1）可知PC+PA＝PB，
∴3+4＝PB，
∴，
在Rt△PBE中，∠APB＝45°
∴BE＝＝；
如图3，作出正方形ABCD的外接圆，P为上一点，且PC＝3，BF⊥PA，
同理PA＝4，∠APB＝45°，
设PF＝BF＝x，则AF＝4﹣x，
在Rt△ABF中，∵AF2+BF2＝AB2，
∴，
解得x＝，
∴BF＝，
综合以上可得点B到AP的距离为或．
【点评】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．。