3.1不等关系与不等式(做差法)

∴b m b a m a
例4：已知a 1,比较M= a 1- a与N= a - a 1的大小
解：M= a 1- a
N= a - a 1
a 1+ a a 1- a a + a 1 a- a 1
=
a 1+ a
=
a+ a 1
=1 a 1+ a
=1 a+ a 1
分
a 1+ a a+ a 1 0
不等式a b表示a b或a b中有一个成立即可
3.同向不等式；异向不等式：
1. 比较大小的理论依据:
如果a＞b a－b＞0; 如果a＜b a－b＜0; 如果a＝b a－b＝0
2. 作差比较法：常用于多项式比较大小 作商比较法：常用于积或幂的形式比较大小
理论依据：a 0,b 0,
a 1 a b; a 1 a b
解：x3－1－(2x2－2x)
＝x3－2x2＋2x－1 ＝(x3－x2)－(x2－2x＋1) ＝x2(x－1)－(x－1)2
＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1)x－212＋34，
∵x<1，∴x－1<0，
又∵x－122＋34>0，
∴(x－1)x－122＋34<0，
∴x3－1<2x2－2x.
【变式2】
f 2.5% p 2.3%
不等式的概念：
1.用不等号(, , , , )表示不等关系的式子叫作 不等式。 用不等号“ ”“ , ”表示不等关系的式子叫作 严格不等式。 用不等号“ ”“ , ”表示不等关系的式子叫作 非严格不等式。
2.不等式a b或b a的含义： 不等式a b表示a b或a b中有一个成立即可
(1)右图是限速40km/h的路标，指示司
机在前方路段行驶时，应使汽车的速度
v不超过40km/h . 0<v≤40
40
(2)中国"神舟七号”宇宙飞船飞天取得了最圆满的
v 成功.我们知道,它的飞行速度( )不小于第一宇 v v 宙速度( 记作1 ),且小于第二宇宙速度(记 2 ).
v1 v v2
(3)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量 f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%.
b
b
3.作差比较法的步骤：
（1）作差→
（2）变形→
（3）定号→ （4）结论
变形的方法有：分解因式；提取公因式；通分； 配方法；分子有理化；分母有理化等。
例1： 已知x 1,比较3x3与3x2 x 1的大小。
【规范解答】
3x3－(3x2－x＋1)
提
＝(3x3－3x2)＋(x－1)
取
＝3x2(x－1)＋(x－1)
选择题：若 a＜0，－1＜b＜0，则有( )
A a＞ab＞ab2 新疆 王新敞 奎屯 C ab＞a＞ab2 新疆 王新敞 奎屯
B ab ＞ab＞a 2 新疆 王新敞 奎屯 D ab＞ab ＞a 2 新疆 王新敞 奎屯
∵a＜0，－1＜b＜0 ∴ab＞0，ab2＜0， a－ ab2＝ a（ 1－ b2）＜ 0 a＜ ab2 故 ab＞ab ＞a 2
新疆 王新敞
奎屯
答案：D
例2： 比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小
解：2x2 5x 3 x2 4x 2
x2 x 1
x
1 2
2
3 4
配 方 法
x
1 2 2
0
x
1
2
2
3 4
3 4
0
2x2 5x 3 x2 4x 2
【变式1】
已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小．
子
1 1
有 理
a 1+ a a+ a 1
化
M N
小结
1.作差比较大小的依据: 2.作差比较法的步骤：
a>b a-b>0 a<b a-b<0 a=b a-b=0
（1）作差→
（2）变形→
（3）定号→ （4）结论
变形的方法有：分解因式；提取公因式；通分； 配方法；分子有理化；分母有理化等。
3.1 不等关系与不等式（1）
生活中的不等关系: (1)中国“神舟七号”宇宙飞船的飞行速度不 小于第一宇宙速度 ,且小于第二宇宙速度
(2)《铁路旅行常识规定:旅客每人免费携带物 品 ------杆状物不超过200cm,重量不得超过 20kg
(3)我们班的讲台高度大于同学坐的桌子的高度。
用不等式(组)表示不等关系
已知a，b∈R，比较a4＋b4与a3b＋ab3的大小．
解: (a4＋b4)－(a3b＋ab3) ＝a3(a－b)＋b3(b－a) ＝(a－b)(a3－b3) ＝(a－b)2(a2＋ab＋b2)
＝(a－b)2Байду номын сангаас＋b22＋34b2≥0
∴a4＋b4≥a3b＋ab3(当且仅当 a＝b 时，取“＝”) .
例3：已知 a 、b 、m 都是正数,且 a b ,求证: b m b
公 因
＝(3x2＋1)(x－1)
式 ∵x<1得x－1<0，而3x2＋1>0
∴(3x2＋1)(x－1)<0.
∴3x3<3x2－x＋1.
【变式】 在本例中，若将条件“x<1”改为“x∈R”， 则如何求解？ 解：3x3－(3x2－x＋1) ＝(3x3－3x2)＋(x－1) ＝(3x2＋1)(x－1)． ∵3x2＋1>0， 当x>1时，x－1>0， ∴3x3>3x2－x＋1； 当x＝1时，x－1＝0，∴3x3＝3x2－x＋1； 当x<1时，x－1<0， ∴3x3<3x2－x＋1.
am a
证明: ∵ b m b (b m)a (a m)b
am a
(a m)a
ab ma ab bm (a m)a
通
m(a b)
分
(a m)a
∵ a 、b 、m 都是正数,且 a b ∴ m 0, m a 0, a 0, a b 0
∴bm b 0 am a