2023年高考数学总复习历年真题题型归纳与模拟预测1-1集合带讲解

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第一章集合与简单逻辑
1.1 集合
高考对集合知识的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求考生熟练掌握与集合有关的基础知识．纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：一是考查具体集合的关系判断和集合的运算．解决这类问题的关键在于正确理解集合中元素所具有属性的含义，弄清集合中元素所具有的形式以及集合中含有哪些元素．二是考查抽象集合的关系判断以及运算．
题型一.集合中元素的个数
1．（2020•新课标Ⅲ）已知集合A＝{1，2，3，5，7，11}，B＝{x|3＜x＜15}，则A∩B中元素的个数为（）A．2B．3C．4D．5
【答案】B．
【解析】解：∵集合A＝{1，2，3，5，7，11}，B＝{x|3＜x＜15），
∴A∩B＝{5，7，11}，∴A∩B中元素的个数为3．
故选：B．
2．（2015•新课标Ⅲ）已知集合A＝{x|x＝3n+2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为（）
A．5B．4C．3D．2
【答案】D．
【解析】解：A＝{x|x＝3n+2，n∈N}＝{2，5，8，11，14，17，…}，则A∩B＝{8，14}，
故集合A∩B中元素的个数为2个，
故选：D．
3．（2020•新课标Ⅲ）已知集合A＝{（x，y）|x，y∈N*，y≥x}，B＝{（x，y）|x+y＝8}，则A∩B中元素的个数为（）
A．2B．3C．4D．6
【答案】C ．
【解析】解：∵集合A ＝{（x ，y ）|x ，y ∈N *，y ≥x }，B ＝{（x ，y ）|x +y ＝8}，
∴A ∩B ＝{（x ，y ）|{y ≥x
x +y =8，x ，y ∈N ∗}＝{（1，7），（2，6），（3，5），（4，4）}．
∴A ∩B 中元素的个数为4．
故选：C ．
4．（2018•新课标Ⅲ）已知集合A ＝{（x ，y ）|x 2+y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为（ ）
A ．9
B ．8
C ．5
D ．4
【答案】A ．
【解析】解：当x ＝﹣1时，y 2≤2，得y ＝﹣1，0，1，
当x ＝0时，y 2≤3，得y ＝﹣1，0，1，
当x ＝1时，y 2≤2，得y ＝﹣1，0，1，
即集合A 中元素有9个，
故选：A ．
5．（2017•新课标Ⅲ）已知集合A ＝{（x ，y ）|x 2+y 2＝1}，B ＝{（x ，y ）|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为（
）
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
【答案】B ．
【解析】解：法一：由{x 2+y 2=1y =x ，解得：{x =√22y =√22或{x =−√22y =−√22
，
∴A ∩B 的元素的个数是2个，
法二：画出圆和直线的图象，如图示：，
结合图象，圆和直线有2个交点，
故A ∩B 中元素的个数为2个，
故选：B ．
题型二.集合与集合之间的关系
1．（2015•重庆）已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{2，3}，则（ ）
A ．A ＝B
B ．A ∩B ＝∅
C ．A ⫋B
D ．B ⫋A 【答案】D ．
【解析】解：集合A ＝{1，2，3}，B ＝{2，3}，
可得A ≠B ，A ∩B ＝{2，3}，B ≠⊂A ，所以D 正确．
故选：D ．
2．（2015•港澳台）设集合A ⊆{1，2，3，4}，若A 至少有3个元素，则这样的A 共有（ ）
A ．2个
B ．4个
C ．5个
D ．7个 【答案】C ．
【解析】解：∵集合A ⊆{1，2，3，4}，A 至少有3个元素，
∴满足条件的集合A 有：
{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，{1，2，3，4}，
∴这样的A 共有5个．
故选：C ．
3．（2012•新课标）已知集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣2＜0}，B ＝{x |﹣1＜x ＜1}，则（ ）
A ．A ⫋B
B ．B ⫋A
C ．A ＝B
D ．A ∩B ＝∅
【答案】B ．
【解析】解：由题意可得，A ＝{x |﹣1＜x ＜2}，
∵B ＝{x |﹣1＜x ＜1}，
在集合B 中的元素都属于集合A ，但是在集合A 中的元素不一定在集合B 中，例如x =32
∴B ⫋A ．
故选：B．
4．（2012•湖北）已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D．
【解析】解：由题意可得，A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4}，
∵A⊆C⊆B，
∴满足条件的集合C有{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}共4个，
故选：D．
5．（2021•上海）已知集合A＝{x|x＞﹣1，x∈R}，B＝{x|x2﹣x﹣2≥0，x∈R}，则下列关系中，正确的是（）A．A⊆B B．∁R A⊆∁R B C．A∩B＝∅D．A∪B＝R
【答案】D．
【解析】解：已知集合A＝{x|x＞﹣1，x∈R}，B＝{x|x2﹣x﹣2≥0，x∈R}，
解得B＝{x|x≥2或x≤﹣1，x∈R}，
∁R A＝{x|x≤﹣1，x∈R}，∁R B＝{x|﹣1＜x＜2}；
则A∪B＝R，A∩B＝{x|x≥2}，
故选：D．
题型三.集合的基本运算
1．（2021•北京）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|0≤x≤2}，则A∪B＝（）
A．{x|0≤x＜1}B．{x|﹣1＜x≤2}C．{x|1＜x≤2}D．{x|0＜x＜1}
【答案】B．
【解析】解：∵A＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|0≤x≤2}，
∴A∪B＝{x|﹣1＜x＜1}∪{x|0≤x≤2}＝{x|﹣1＜x≤2}．
故选：B．
2．（2021•新高考Ⅲ）若全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，3，6}，B＝{2，3，4}，则A∩∁U B＝（）A．{3}B．{1，6}C．{5，6}D．{1，3}
【答案】B．
【解析】解：因为全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，3，6}，B＝{2，3，4}，
所以∁U B＝{1，5，6}，故A∩∁U B＝{1，6}．
故选：B．
3．（2019•新课标Ⅲ）已知集合M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则M∩N＝（）A．{x|﹣4＜x＜3}B．{x|﹣4＜x＜﹣2}C．{x|﹣2＜x＜2}D．{x|2＜x＜3}
【答案】C．
【解析】解：∵M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，
∴M∩N＝{x|﹣2＜x＜2}．
故选：C．
4．（2016•天津）已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{y|y＝3x﹣2，x∈A}，则A∩B＝（）A．{1}B．{4}C．{1，3}D．{1，4}
【答案】D．
【解析】解：把x＝1，2，3，4分别代入y＝3x﹣2得：y＝1，4，7，10，即B＝{1，4，7，10}，∵A＝{1，2，3，4}，
∴A∩B＝{1，4}，
故选：D．
5．（2021•乙卷）已知集合S＝{s|s＝2n+1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n+1，n∈Z}，则S∩T＝（）A．∅B．S C．T D．Z
【答案】C．
【解析】解：当n是偶数时，设n＝2k，则s＝2n+1＝4k+1，
当n是奇数时，设n＝2k+1，则s＝2n+1＝4k+3，k∈Z，
则T⊊S，则S∩T＝T，
故选：C．
6．（2017•山东）设集合M＝{x||x﹣1|＜1}，N＝{x|x＜2}，则M∩N＝（）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，2）C．（0，2）D．（1，2）
【答案】C．
【解析】解：集合M＝{x||x﹣1|＜1}＝（0，2），
N＝{x|x＜2}＝（﹣∞，2），
∴M∩N＝（0，2），
故选：C．
7．（2017•新课标Ⅲ）已知集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|3x＜1}，则（）
A．A∩B＝{x|x＜0}B．A∪B＝R C．A∪B＝{x|x＞1}D．A∩B＝∅
【答案】A．
【解析】解：∵集合A＝{x|x＜1}，
B＝{x|3x＜1}＝{x|x＜0}，
∴A∩B＝{x|x＜0}，故A正确，D错误；
A∪B＝{x|x＜1}，故B和C都错误．
故选：A．
8．（2013•辽宁）已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|x≤2}，则A∩B＝（）A．（0，1）B．（0，2]C．（1，2）D．（1，2]
【答案】D．
【解析】解：由A中的不等式变形得：log41＜log4x＜log44，
解得：1＜x＜4，即A＝（1，4），
∵B＝（﹣∞，2]，
∴A∩B＝（1，2]．
故选：D．
题型四.集合中的含参问题
1．（2013•江西）若集合A＝{x∈R|ax2+ax+1＝0}其中只有一个元素，则a＝（）A．4B．2C．0D．0或4
【答案】A．
【解析】解：当a＝0时，方程为1＝0不成立，不满足条件
当a≠0时，△＝a2﹣4a＝0，解得a＝4
故选：A．
2．（2020•新课标Ⅲ）设集合A＝{x|x2﹣4≤0}，B＝{x|2x+a≤0}，且A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}，则a＝（）A．﹣4B．﹣2C．2D．4
【答案】B．
【解析】解：集合A＝{x|x2﹣4≤0}＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|2x+a≤0}＝{x|x≤−1
2a}，
由A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}，可得−1
2a＝1，则a＝﹣2．
故选：B．
3．（2017•新课标Ⅲ）设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2﹣4x+m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝（）A．{1，﹣3}B．{1，0}C．{1，3}D．{1，5}
【答案】C．
【解析】解：集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2﹣4x+m＝0}．
若A∩B＝{1}，则1∈A且1∈B，
可得1﹣4+m＝0，解得m＝3，
即有B＝{x|x2﹣4x+3＝0}＝{1，3}．
故选：C．
4．（2013•上海）设常数a∈R，集合A＝{x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B＝{x|x≥a﹣1}，若A∪B＝R，则a的取值范围为（）
A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2]C．（2，+∞）D．[2，+∞）
【答案】B．
【解析】解：当a＞1时，A＝（﹣∞，1]∪[a，+∞），B＝[a﹣1，+∞），
若A∪B＝R，则a﹣1≤1，
∴1＜a≤2；
当a＝1时，易得A＝R，此时A∪B＝R；
当a＜1时，A＝（﹣∞，a]∪[1，+∞），B＝[a﹣1，+∞），
若A∪B＝R，则a﹣1≤a，显然成立，
∴a＜1；
综上，a的取值范围是（﹣∞，2]．
故选：B．
5．（2020•海南）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A．62%B．56%C．46%D．42%
【答案】C．
【解析】解：设只喜欢足球的百分比为x，只喜欢游泳的百分比为y，两个项目都喜欢的百分比为z，
由题意，可得x+z＝60，x+y+z＝96，y+z＝82，解得z＝46．
∴该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是46%．
故选：C．
一．单选题（共8小题）
1．已知集合A＝{﹣1，0，m}，B＝{1，2}，若A∪B＝{﹣1，0，1，2}，则实数m的值为（）A．﹣1或0B．0或1C．﹣1或2D．1或2
【答案】D．
【解析】解：集合A＝{﹣1，0，m}，B＝{1，2}，A∪B＝{﹣1，0，1，2}，
因为A，B本身含有元素﹣1，0，1，2，所以根据元素的互异性，m≠﹣1，0即可，故m＝1或2，故选：D．
2．设全集U＝R，集合A={x|
x
x+3＜0}，B={x|x≤−1}，则集合A∩（∁U B）＝（）
A．{x|x＞0}B．{x|x＜﹣3}C．{x|﹣3＜x≤﹣1}D．{x|﹣1＜x＜0}【答案】D．
【解析】解：由x
x+3
＜0，即x（x+3）＜0，解得﹣3＜x＜0，则A＝{x|﹣3＜x＜0}，∵B＝{x|x≤﹣1}，∴∁U B＝{x|x＞﹣1}，
∴A∩（∁U B）＝{x|﹣1＜x＜0}，
故选：D．
3．若集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|2x≥√2}，则A∩B＝（）
A．[1
2，3]B．[
1
2，1]C．[−3，
1
2
]D．[2，3]
【答案】A．
【解析】解：∵A={x|−1≤x≤3}，B={x|x≥1
2
}，∴A∩B=[12，3]．
故选：A．
4．设集合A＝{x∈N||x|≤2}，B＝{y|y＝1﹣x2}，则A∩B的子集个数为（）A．2B．4C．8D．16
【答案】B．
【解析】解：∵A＝{x∈N|﹣2≤x≤2}＝{0，1，2}，B＝{y|y≤1}，∴A∩B＝{0，1}，
∴A∩B的子集个数为22＝4个．
故选：B．
5．集合A＝{x|y＝lg（x﹣1）}，集合B＝{y|y=√x2+2x+5}，则A∩∁R B＝（）A．[1，2）B．[1，2]C．（1，2）D．（1，2]
【答案】C．
【解析】解：∵y=√x2+2x+5=√(x+1)2+4≥2，
∴B＝[2，+∞），∴∁R B＝（﹣∞，2）．
∵x﹣1＞0，∴x＞1，∴A＝（1，+∞）．
∴A∩∁R B＝（1，+∞）∩（（﹣∞，2）＝（1，2）．
故选：C．
6．若全集U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，4}，N＝{2，3}，则集合{5，6}等于（）A．M∪N B．M∩N
C．（∁U M）∪（∁U N）D．（∁U M）∩（∁U N）
【答案】D．
【解析】解：∵5∉M，5∉N，故5∈∁U M，且5∈∁U N．同理可得，6∈∁U M，且6∈∁U N，∴{5，6}＝（∁U M）∩（∁U N），
故选：D．
7．集合A＝{﹣1，2}，B＝{x|ax﹣2＝0}，若B⊆A，则由实数a组成的集合为（）A．{﹣2}B．{1}C．{﹣2，1}D．{﹣2，1，0}【答案】D．
【解析】解：∵集合A＝{﹣1，2}，B＝{x|ax﹣2＝0}，B⊆A，
∴B＝∅或B＝{﹣1}或B＝{2} ∴a＝0，1，﹣2．
∴由实数a组成的集合为：{﹣2，1，0}．
故选：D．
8．已知集合A ＝{x |a ﹣2＜x ＜a +3}，B ＝{x |（x ﹣1）（x ﹣4）＞0}，若A ∪B ＝R ，则a 的取值范围是（ ）
A ．（﹣∞，1]
B ．（1，3）
C ．[1，3]
D ．[3，+∞）
【答案】B ．
【解析】解：B ＝{x |x ＜1，或x ＞4}；
∵A ∪B ＝R ；∴{a −2＜1a +3＞4
；∴1＜a ＜3； ∴a 的取值范围是（1，3）．故选：B ．
二．多选题（共4小题）
9．若集合P ＝{x |y ＝x 2，x ∈R }，集合T ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，则（ ）
A ．0∈P
B ．﹣1∉T
C ．P ∩T ＝∅
D ．P ＝T 【解答】解：集合P ＝{x |y ＝x 2，x ∈R }＝{x |x ∈R }，集合T ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }＝{y |y ≥0}，
故0∈P ，选项A 正确，
故﹣1∉T ，选项B 正确，
故P ∩T ＝[0，+∞），选项C 错误，
P ＝R ，T ＝[0，+∞），选项D 错误．
故选：AB ．
10．设全集U ＝{0，1，2，3，4}，集合A ＝{0，1，4}，B ＝{0，1，3}，则（ ）
A ．A ∩
B ＝{0，1}
B ．∁U B ＝{4}
C ．A ∪B ＝{0，1，3，4}
D ．集合A 的真子集个数为8
【解答】解：∵全集U ＝{0，1，2，3，4}，集合A ＝{0，1，4}，B ＝{0，1，3}，
∴A ∩B ＝{0，1}，故A 正确，
∁U B ＝{2，4}，故B 错误，
A ∪
B ＝{0，1，3，4}，故
C 正确，
集合A 的真子集个数为23﹣1＝7，故D 错误
故选：AC ．
11．已知集合A ＝（﹣2，5），集合B ＝{x |x ≤m }，使A ∩B ≠∅的实数m 的值可以是（ ）
A ．0
B ．﹣2
C ．4
D ．6
【解答】解：因为集合A ＝（﹣2，5），集合B ＝{x |x ≤m }，且A ∩B ≠∅，则m ＞﹣2．
故选：ACD ．
12．我们知道，如果集合A⊆S，那么S的子集A的补集为∁S A＝{x|x∈S，且x∉A}．类似地，对于集合A、
B，我们把集合{x|x∈A，且x∉B}叫作集合A与B的差集，记作A﹣B．例如，A＝{1，2，3，4，5}，B＝{4，5，6，7，8}，则有A﹣B＝{1，2，3}，B﹣A＝{6，7，8}，下列说法正确的是（）
A．若A＝{x|x＞2}，B＝{x|x2＞4}，则B﹣A＝{x|x＜﹣2}
B．若A﹣B＝∅，则B⊆A
C．若S是高一（1）班全体同学的集合，A是高一（1）班全体女同学的集合，则S﹣A＝∁S A
D．若A∩B＝{2}，则2一定是集合A﹣B的元素
【解答】解：对于A：B＝{x|x2＞4}＝{x|x＜﹣2或x＞2}，则B﹣A＝{x|x＜﹣2}，故A正确；
对于B：如A＝{3，4，5}，B＝{3，4，5，6，7，8}，则有A﹣B＝∅，但B⊈A，所以B错误；
对于C：A是高一（1）班全体女同学的集合，∁S A是高一（1）班全体男同学的集合，S﹣A是高一（1）班全体男同学的集合，所以C正确；
对于D：若A∩B＝{2}，则2∈A且2∈B，所以2∉A﹣B，故D错误；
故选：AC．。