山东省济南市2016-2017学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)

2016—2017学年度第二学期期末考试
高一数学试题
第I卷（选择题，每题5分，共60分）
一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有.. 一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）
1. -HI.： -："：1的值是（）
A. B. C. D.
2 2
【答案】A
【解析】由题意可得：.ii、二、.iii —T-二'.in ri = ■. -i ='.
本题选择A选项.
2. 已知I.：：. li ■:.H.I :■：:'，且丄-「一L；，则".的值分别为（）
A. - 7,—5
B. 7 , - 5
C. —7, 5
D. 7 , 5
【答案】C
【解析】试题分析:沁:iQ,，」「■；.■＜：, ，解得：—一‘，故选C.
考点：向量相等
3. 在区间上随机取一个数，「:的值介于0到之间的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】在区间上随机取一个数x,
即x€时，要使:左；的值介于0到之间，
」I 7T TTX TI 卜TT TTX TI
需使或:'■■■;
2 2
或：冬詔,区间长度为，
TT¥
由几何概型知：•「•一的值介于0到之间的概率为.
本题选择A选项.
4. 已知圆._ + ||r.[:上任意一点M关于直线• I . ■的对称点N也再圆上，则的值
为（）
A. |
B. 1
C. :'
D. 2
【答案】D
【解析】T圆x2+y2- 2x+my=0上任意一点M关于直线x+y=0的对称点N也在圆上，
•••直线x+y=0经过圆心I ,故有[- ■，解得m=2,
本题选择D选项•
5. 下列函数中，周期为，且在 |上单调递增的奇函数是（）
A. -；|||；：;- - :
B. _ I :；
C. . - ；
D. . -din --；
【答案】C
【解析】化简所给函数的解析式：
A. --…凡，该函数周期为，函数为偶函数，不合题意；
B. ■. |~ ■-，该函数周期为，在|上单调递减，不合题意；
C. . - ' :: - ..ii ■■-,该函数周期为，在|上单调递增，函数是奇函数符合题意；
D. ■■■ - siix：：-:'一：汎汽喪，该函数周期为.':i，不合题意；
本题选择C选项•
6. 已知7血中，i"，t;分别是角-F； <的对边，讥山，则=（）
A. L 辽
B. I:.
C. J.35 或£
D.
【答案】B
【解析】由题意结合正弦定理可得，汕" ,
a<b,则A<B=60°
A=45°.
本题选择B选项.
点睛：1 •在解三角形的问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题时要注意根据这个
定理确定角的范围及三角函数值的符号，防止出现增解或漏解.
2 •正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，尤其是其变形应用时可相互转化•如a2= b2+ c2—2bccos A可以转化为sin2 A = sin2 B+ sin2 C —2sin Bsin CCos A 利用这些变形可进行等式的化简与
证明.
7. 将函数• -，「：.的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，则所得的图象
对应的解析式为（）•
A. 二I w
B. . - ' ■ iii ■
C. . - I .：■!. -
D. .-11 -
【答案】B
【解析】将函数• -的图象向右平移个单位长度，所得的图象对应的解析式为：
=|'二in'-,
再向上平移1个单位长度，所得的图象对应的解析式为.- I
本题选择B选项.
点睛：由y= sin x的图象，利用图象变换作函数y= Asin（ w x +© ）（ A> 0, 3> 0）（ x€ R）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿x轴的伸缩量的区
别•先平移变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是| 0 |个单位；而先周期变换（伸缩变换）
再平移变换，平移的量是A个单位.
8. 如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）•若这两
组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为（）
甲组
S
6
2 51
6 1 ? y
X 4?g
A. 3 , 5
B. 5 , 5
C. 3 , 7
D. 5 , 7
【答案】C
【解析】由已知中甲组数据的中位数为"h,故乙数据的中位数为即一二，，可得乙数据的平均数为'-,即甲数据的平均数为■-,故’「r-... ■=■■,故选.
【方法点睛】本题主要考查茎叶图的应用、中位数、平均数的求法，属于难题•要解答本题首
先要弄清中位数、平均数的定义，然后根据定义和公式求解，（1）中位数，如果样本容量是
奇数中间的数既是中位数，如果样本容量为偶数中间两位数的平均数既是中位数；（2）众数
是一组数据中出现次数最多的数据； (3)平均数既是样本数据的算数平均数
「 .
9. 在；中，点在上，且汕二j| ，点Q 是AC 的中点，若：-.二：丄工， 贝g"等于(
)•
A. ( — 6,21)
B. (6 , - 21)
C. (2
, - 7) D. (
— 2,7)
【答案】A
【解析】由题意可得：I I 7「I 、： ,
则：N 二
,
结合题意可得：：」.,「： I-.,.:.
本题选择A 选项.
10. 从某高中随机选取 5名高一男生，其身高和体重的数据如下表所示: 身高x(cm)
160
165
170
175
180
身高y(kq)
63 66 70 72 74
根据上表可得回归直线方程 ，「:一....据此模型预报身高为172cm 的高一男生的体重为 A. 70.09 B. 70.12 C. 70.55 D. 71.05 【答案】B
【解析】由表中数据可得
样本中心点一定在回归直线方程上
故'.■： 解得 W 1
故「二门in
当 x=172 时，：I! ：：•「丨：工J 门|丄、, 本题选择B 选项.
点睛： (1)正确理解计算；「•的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键. ⑵ 回归直线方程 li-. - 1必过样本点中心■■- •
63^ 55 + 70 + 72 + 7-1
5
-〔-心,
(3)在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有
相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程来估计和预测. 11.
函数匸-:1
、|门 +
- ■. I--: 的最大值为( )
A. B. 1 C. D. 【答案】A
【解析】整理函数的解析式:
t(x) = |sin(x + 鲁)+ cosjx-^ = |sin(x + ^ + sin(x + ^ 6 . i lit 6 二評叫X+詁弓 本题选择A 选项•
12. 已知是两个单位向量，且■■ I. ..I i| . ii.若点C 在一，1 •内，且—二二，则
------------ »
------------ K
-------------- 1- m
OC 二 mOA + nOBfrn.in 曲)，则R 二(
)
A. B. 3 C. D. :;
因为I ：-是两个单位向量，且■ '■■■ - ■: .'I ■.所以'' :'K ,故可建立直角坐标系如图所示。

又点C 在/ AOB 内，
所以点C 的坐标为（m,n ）,在直角三角形中，由正切函数的定义可知，
，所以
m &
本题选择D 选项.
点睛：向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行的•若已知有向线段两端点的 坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及运算法则的正确使用.
则J.HJ 'K ■.：. : , 故CC
II -； I II'. 'I '■ 111 J I ：' - 11 I II .11 ,
【答案】【解
析】
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，请将答案填写在试卷的横线上
13. _______________________________________________________ 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是_____________________________________________________________ .
【答案】
【解析】阅读流程图，程序运行中数据的变化如下：
k = o.s = o < loo,
S = 0 十= = k + 1 =乙
S < 100,S = 1 + 21= 3h k = k + 1 = 3,
S < 100h S = 3 + 23= ll.k = k + 1 = 4,
11
S < 100r S =11 + 2 = 2059p k = k -H 1 = 5P
此时m〉luo，输出的值为5.
14. 向量a = _______________________________________ = (4,X)且与的夹角为180 c，则实数的值为
【答案】
【解析】由题意可知：-二I「，即：".I 丨!.■ I - '.I ，
则实数的值为:.
15. 若采用系统抽样方法从r人中抽取二］人做问卷调查，为此将他们随机编号为
丄2T20,则抽取的22人中，编号在区间［241,3601内的人数为_______________ .
【答案】6
【解析】试题分析：由题意得................... ■'■ I- 一丨，1：，由
-■ I - III - ［：' r.得--I： 1 ' I ."I 共6 个.
考点：系统抽样
16. 若点：’「：：■ |..-11卜「:在直线一 ■_?.■上,则：、II 「： •「八「= 【答案】:'
【解析】试题分析：因为点：'：i ■■■ ■■ I ..iip -1：在直线丫
/x 上,所以..ii 'I - ：•■」：」.；，即
考点：1•点与直线的关系；2.同角三角函数的基本关系式 17.
丄山中，二丄?.：.，则等于 _____________________________ .
【答案】 【解析】•••二
.|：. ■■- r.
- -Jr 丨戶| ,
•••c=4,
•••由余弦定理可得,1 ： | I . ： ||「IU ：'：、., • d :'
:.
18. 给出下列命题：
① 存在实数，使-\\\ - ' ：■■■;
②函数.- ；是偶函数；
③ 若「i |：；是第一象限角，且“则；：IW ” |"'；|：；；
④ 函数.-叮11一的图象向左平移个单位，得到函数.；111；/--；的图象. 其中结论正确的序号是 ________ .（把正确的序号都填上） 【答案】②
【解析】逐一考查所给的命题：
®sinx + cosx = V2sin[x +却日-返也],不存在实数x f 使吕inx + cosx 二扌；原命题错误；
② 二' in '
二—.，则函数.- ：是偶函数，原命题正确；
③ 若「i B 是第一象限角，不妨取,|；门 ，且「i -h,但是‘；小-「5；|：；,原命题错 误；
④ 函数.- Ji 「的图象向左平移个单位， 得到函数.：：II 「• | ' i ：i 「J
的图象，原命题错误.
Irll ■■ -
一」，Ml' •
- .'■JI'. '.I
2sinacosa ■+ 2 x (cos 2a-sin 2a)
sin'a + cos J a
2tana + 2 k (1-tar/a)
tan a + 1
综上可得：正确的序号是②.
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
19. 平面向量:r.Ji I.-,- :，.- I.-,:已知//，:丄
(1)求向量和向量
(2)求：i c■夹角。

【答案】(1) 一(2)
【解析】解：由.'I I；, ：且〃得.； I ■：：,所以0,即＜「,-；；
由：L=|J. 4：'.匚二卫亍；且门■::得、[.'I [ 4；■-二'：；，所以：，二;，即，_「'.；；
-* F E ・T 2-24 (--) - - T
又^ ，故与夹角为(或由L 得到)
20. 某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方
法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成
布直方图：
7组：，并整理得到如下频率分70的概率;
(2) 已知样本中分数小
于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间40,50 )内的人数；
(3) 已知样本中有一半男生的分数不小于70,且样本
试估计总体中男生和女生人数的比例.
【答案】(1) 0.4 (2) 20 ( 3) 3:2
【解析】试题分析：
⑴由对立事件结合频率分布直方图可得：分数小于70的概率估计为0.4.
(2)首先求得满足题意的频率，然后结合总人数估计分数在区间-h-. ■■:内的人数估计为d；人.
⑶结合题意可得男生和女生人数的比例为60:40=3:2
试题解析:
(1)小于70的频率为：ii I... ■ - H.I-. |'：「匸，所以样本中分数小于70的频率为| I；.- I.：，. | .
所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计为04
(2)根据题意，样本中分数不小于50的频率为：ui'l nt'：- ii.u4 11.11.? I - = ■:.■,■：)，分数
在区间-内的人数为：!-'：,所以总体中分数在区间■■■：内的人数估
计为:-
⑶由题意可知分数不小于70的学生人数为(0.02+0.04 )X 10X 100=60
所以样本中分数不小于70的男生人数为60X 1/2=30
所以样本中男生人数为30X 2=60,女生人数为100-60=40
所以男生和女生人数的比例为60:40=3:2
点睛：一是在频率分布直方图中，小矩形的高表示频率/组距，而不是频率；
二是利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.
21. 如图，在平面直角坐标系中，锐角■ h的终边分别与单位圆交于A、B两点.
(1)如果m -，点B的横坐标为，求■- | 的值
(2)已知点「丄—列，函数I：,,：,若 c -.:-,求
【解析】试题分析：
(1) 禾U用题意结合同角三角函数基本关系和两角和差正余弦公式可得-';
(2) 利用题意得到关于的三角方程，解方程可得门：.
试题解析:
解: ( D T.I 是锐角,：.|||,：.
■■: : '、|| d
根据三角函数的定义，得「「：：-：；［, ! 又-.下是锐角
.■.-；ll ：'
. I m ； |」
4 5 3 12
.\cos(a + p) = cosacosp - sinasinp = -x — --x —=
(2)由题意可知
二 ©mEii WL :二：2 .:-二:,
■
L
二二•.；门匹门-J>i"ic ：= l ■-'
又T'-li 11 :■ ■1：l - : 「上，即匚
旳门-I 二
TT
\X) <a<-
n TT 7T
•W+E 二 4 「战二狂
22. 在 “X 中，角二［麗的对边分别为 J ，若I.-' I'-： '
1(…&).
⑴判断；的形状；
⑵若「二门，求的值.
试题解析： 解 ⑴ T ,1 •
= cbcos A, ；
= cacos B,
.
又］ .；.'•
，： ，二 bccos A = accos B ,
••• sin Bcos A = sin Acos B,
即 sin Acos B — sin Bcos A = 0,「・ sin( A — B) = 0, •••— nV A — B< n ,• A = B,即△ ABC 为等腰三角形.
16
65
【答案】 (1) △ ABC 为等腰三角形. 【解析】试题分析：
(1) 由平面向量的数量积结合题意可得 (2) 利用题意结合余弦定理得到关于实数 (2) k = 1.
A = B,即△ ABC 为等腰三角形； k 的方程，解方程可得：“二丨.
2n
胪+以—沖
⑵由(1)知，□：• ■： = bccos A= bc •== k,
2hc
23. 已知函数匚.：,2 . ：is HI.■：■... os：-. + 2c us :北
(1)求函数的最小正周期及在区间「.|上的最大值和最小值；
(n)若T；.i .■ . ■ |.，求的值.
【答案】(1)函数在区间上的最大值为，最小值为 1 (2)
【解析】试题分析：(1)首先整理由.• 一可得函数的最小正周期，
6 &
由宀'“「可得1 - 的范围,进而可得函数的最值；(2)由/'■：<.) - .■■■可得• 1 -的值，由的范围可得「.一 1 -'的值，再由两角差的余弦公式可求得「凳上〕的值.
. 、〜6
试题解析：(1)由I：. ； / •. ：'.| I -1：-. 得
J 2 r~ pf
f(x)二v3(2sinxcosc) + (2cos x-1)二v3sin2x + cos2x 二2sin(2x ■+ 力，
所以函数h 的最小正周期为
因为\，所以?：■：- 4.' J --11'1'■- 1 i 4 U ,
所以函数!■： - :. i-：：1.-.-'；在区间|一「.|上的最大值为2，则最小值为-1
(2)解：由(1)可知］；■ i . i-;：'.-.,-;,
又因为K .:-，所以<1111/：-：-'；,
由• •得.；- •丨「，
所以「门」二「"：；［「. 「I ］二■：■■■■：■：'<' -iiii ■■- - 二
考点：二倍角公式；两角和与差的正弦，余弦公式；三角函数的性质.。