【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类(全国通用版)：导数选填题(解析版)
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2013-2022 十年全国高考数学真题分类汇编
专题 03 导数选填题
一、选择题
1．(2022 年全国甲卷理科·第 6 题)当 x 1 时，函数 f (x) a ln x b 取得最大值 2 ，则 f (2) ( ) x
A. 1
B． 1 2
C．
1 2
D．1
【答案】B
解析：因为函数
f
x
定义域为
故选：C．
【题目栏目】导数\导数的应用\导数与函数的最值\具体函数的最值问题 【题目来源】2022 新高考全国 I 卷·第 7 题
3．(2021 年新高考Ⅰ卷·第 7 题)若过点 a,b 可以作曲线 y ex 的两条切线，则( )
A． eb a
B． ea b
C． 0 a eb
D． 0 b ea
4．(2021 年高考全国乙卷理科·第 10 题)设 a 0 ，若 x a 为函数 f x a x a2 x b 的极大值点，
则( )
A. a b
B． a b C． ab a2
D． ab a2
【答案】D
解析：若 a b ，则 f x a x a3 为单调函数，无极值点，不符合题意，故 a ¹ b ．
【答案】D
解析:在曲线 y ex 上任取一点 P t,et ，对函数 y ex 求导得 y ex ，
所以，曲线 y ex 在点 P 处的切线方程为 y et et x t ，即 y et x 1 t et ，
由题意可知，点 a,b 在直线 y et x 1 t et 上，可得 b aet 1 t et a 1 t et ，
因此，所求切线的方程为 y 1 2 x 1 ，即 y 2x 1．
故选：B．
【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题
9
99
99
所以
f (
1
)
f (0) 0 ，所以 ln
9
+
1
0 ，故
9
1
e 10 ，所以
1
1
e10
1，
10
10 10
10
10 9
故ab，
设 g(x) x ex ln(1 x)(0 x 1) ，则 g(x) x+1ex
1
x2 1 ex1
,
x 1
x 1
令 h(x) ex(x 2 1)+1 ， h(x) ex (x 2 2x 1) ，
f
t
max
ea
，
当 t a 1时， f t 0 ，当 t a 1 时， f t 0 ，作出函数 f t 的图象如下图所示：
由图可知，当 0 b ea 时，直线 y b 与曲线 y f t 的图象有两个交点,故选 D．
【题目栏目】导数\导数的概念及运算\导数的几何意义 【题目来源】2021 年新高考Ⅰ卷·第 7 题
5．(2020 年高考数学课标Ⅰ卷理科·第 6 题)函数 f (x) x4 2x3 的图像在点 (1，f (1)) 处的切线方程为( )
A． y 2x 1
B． y 2x 1 C． y 2x 3 D． y 2x 1
【答案】B
【解析】 f x x4 2x3 ， f x 4x3 6x2 ， f 1 1， f 1 2 ，
f
(x) 1 1 x
1
1
x
x
，
当 x (1, 0) 时， f (x) 0 ，当 x (0, ) 时 f (x) 0 ，
所以函数 f (x) ln(1 x) x 在 (0, ) 单调递减，在 (1, 0) 上单调递增，
所以 f (1) f (0) 0 ，所以 ln 10 1 0 ，故 1 ln 10 ln 0.9 ，即 b c ，
0,
，所以依题可知，
f
1
2
，
f
1
0
，而
f
x
a x
b x2
，所
以b
2, a
b
0 ，即
a
2, b
2 ，所以
f
x
2 x
2 x2
，因此函数
f
x
在 0,1
上递增，在 1,
上递减， x 1时取最大值，满足题意，即有 f 2 1 1 1 ．
22
故选：B．
【题目栏目】导数\导数的应用\导数与函数的最值\含参函数的最值问题
【题目来源】2022 年全国甲卷理科·第 6 题
2．(2022 新高考全国 I 卷·第 7 题)设 a 0.1e0.1, b 1 ，c ln 0.9 ，则( ) 9
A． a b c
B． c b a C． c a b D． a c b
【答案】C
解析:
设
f (x) ln(1 x) x(x 1) ，因为
当 a 0 时，由 x b 时， f x 0 ，画出 f x 的图象如下图所示：
由图可知 b a ， a 0 ，故 ab a2 ．
综上所述， ab a2 成立．
故选：D 【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答． 【题目栏目】导数\导数的应用\导数与函数的极值\含参函数的极值问题 【题目来源】2021 年高考全国乙卷理科·第 10 题
当 0 x 2 1 时， h(x) 0 ，函数 h(x) ex (x 2 1)+1 单调递减， 当 2 1 x 1 时， h(x) 0 ，函数 h(x) ex(x 2 1)+1 单调递增， 又 h(0) 0 ， 所以当 0 x 2 1 时， h(x) 0 ， 所以当 0 x 2 1 时， g(x) 0 ，函数 g(x) x ex ln(1 x) 单调递增， 所以 g(0.1) g(0) 0 ，即 0.1e0.1 ln 0.9 ，所以 a c
f x 有 x a 和 x b 两个不同零点，且在 x a 左右附近是不变号，在 x b 左右附近是变号的．依
题意，
为函数
的极大值点， 在 x a 左右附近都是小于零的．
当 a 0 时，由 x b ， f x 0 ，画出 f x 的图象如下图所示：
由图可知 a ， a 0 ，故 ab a2 ．
令 f t a 1 t et ，则 f t a t et ．
当 t a 时， f t 0 ，此时函数 f t 单调递增，
当 t a 时， f t 0 ，此时函数 f t 单调递减，
所以，
f
t
max
f
a
ea ，
由题意可知，直线
y
b
与曲线
y
f
t 的图象有两个交点，则 b
专题 03 导数选填题
一、选择题
1．(2022 年全国甲卷理科·第 6 题)当 x 1 时，函数 f (x) a ln x b 取得最大值 2 ，则 f (2) ( ) x
A. 1
B． 1 2
C．
1 2
D．1
【答案】B
解析：因为函数
f
x
定义域为
故选：C．
【题目栏目】导数\导数的应用\导数与函数的最值\具体函数的最值问题 【题目来源】2022 新高考全国 I 卷·第 7 题
3．(2021 年新高考Ⅰ卷·第 7 题)若过点 a,b 可以作曲线 y ex 的两条切线，则( )
A． eb a
B． ea b
C． 0 a eb
D． 0 b ea
4．(2021 年高考全国乙卷理科·第 10 题)设 a 0 ，若 x a 为函数 f x a x a2 x b 的极大值点，
则( )
A. a b
B． a b C． ab a2
D． ab a2
【答案】D
解析：若 a b ，则 f x a x a3 为单调函数，无极值点，不符合题意，故 a ¹ b ．
【答案】D
解析:在曲线 y ex 上任取一点 P t,et ，对函数 y ex 求导得 y ex ，
所以，曲线 y ex 在点 P 处的切线方程为 y et et x t ，即 y et x 1 t et ，
由题意可知，点 a,b 在直线 y et x 1 t et 上，可得 b aet 1 t et a 1 t et ，
因此，所求切线的方程为 y 1 2 x 1 ，即 y 2x 1．
故选：B．
【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题
9
99
99
所以
f (
1
)
f (0) 0 ，所以 ln
9
+
1
0 ，故
9
1
e 10 ，所以
1
1
e10
1，
10
10 10
10
10 9
故ab，
设 g(x) x ex ln(1 x)(0 x 1) ，则 g(x) x+1ex
1
x2 1 ex1
,
x 1
x 1
令 h(x) ex(x 2 1)+1 ， h(x) ex (x 2 2x 1) ，
f
t
max
ea
，
当 t a 1时， f t 0 ，当 t a 1 时， f t 0 ，作出函数 f t 的图象如下图所示：
由图可知，当 0 b ea 时，直线 y b 与曲线 y f t 的图象有两个交点,故选 D．
【题目栏目】导数\导数的概念及运算\导数的几何意义 【题目来源】2021 年新高考Ⅰ卷·第 7 题
5．(2020 年高考数学课标Ⅰ卷理科·第 6 题)函数 f (x) x4 2x3 的图像在点 (1，f (1)) 处的切线方程为( )
A． y 2x 1
B． y 2x 1 C． y 2x 3 D． y 2x 1
【答案】B
【解析】 f x x4 2x3 ， f x 4x3 6x2 ， f 1 1， f 1 2 ，
f
(x) 1 1 x
1
1
x
x
，
当 x (1, 0) 时， f (x) 0 ，当 x (0, ) 时 f (x) 0 ，
所以函数 f (x) ln(1 x) x 在 (0, ) 单调递减，在 (1, 0) 上单调递增，
所以 f (1) f (0) 0 ，所以 ln 10 1 0 ，故 1 ln 10 ln 0.9 ，即 b c ，
0,
，所以依题可知，
f
1
2
，
f
1
0
，而
f
x
a x
b x2
，所
以b
2, a
b
0 ，即
a
2, b
2 ，所以
f
x
2 x
2 x2
，因此函数
f
x
在 0,1
上递增，在 1,
上递减， x 1时取最大值，满足题意，即有 f 2 1 1 1 ．
22
故选：B．
【题目栏目】导数\导数的应用\导数与函数的最值\含参函数的最值问题
【题目来源】2022 年全国甲卷理科·第 6 题
2．(2022 新高考全国 I 卷·第 7 题)设 a 0.1e0.1, b 1 ，c ln 0.9 ，则( ) 9
A． a b c
B． c b a C． c a b D． a c b
【答案】C
解析:
设
f (x) ln(1 x) x(x 1) ，因为
当 a 0 时，由 x b 时， f x 0 ，画出 f x 的图象如下图所示：
由图可知 b a ， a 0 ，故 ab a2 ．
综上所述， ab a2 成立．
故选：D 【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答． 【题目栏目】导数\导数的应用\导数与函数的极值\含参函数的极值问题 【题目来源】2021 年高考全国乙卷理科·第 10 题
当 0 x 2 1 时， h(x) 0 ，函数 h(x) ex (x 2 1)+1 单调递减， 当 2 1 x 1 时， h(x) 0 ，函数 h(x) ex(x 2 1)+1 单调递增， 又 h(0) 0 ， 所以当 0 x 2 1 时， h(x) 0 ， 所以当 0 x 2 1 时， g(x) 0 ，函数 g(x) x ex ln(1 x) 单调递增， 所以 g(0.1) g(0) 0 ，即 0.1e0.1 ln 0.9 ，所以 a c
f x 有 x a 和 x b 两个不同零点，且在 x a 左右附近是不变号，在 x b 左右附近是变号的．依
题意，
为函数
的极大值点， 在 x a 左右附近都是小于零的．
当 a 0 时，由 x b ， f x 0 ，画出 f x 的图象如下图所示：
由图可知 a ， a 0 ，故 ab a2 ．
令 f t a 1 t et ，则 f t a t et ．
当 t a 时， f t 0 ，此时函数 f t 单调递增，
当 t a 时， f t 0 ，此时函数 f t 单调递减，
所以，
f
t
max
f
a
ea ，
由题意可知，直线
y
b
与曲线
y
f
t 的图象有两个交点，则 b