二元一次不等式(组)与平面区域 课件

|AB|＝|3×1＋－32×－1＋6|＝ 122.
∴S△ABC＝12×
12 × 2
122＝36.
(2)画出2x－3＜y≤3表示的区域，并求所有的正整数解．
【思路分析】
原不等式等价于
y＞2x－3 y≤3.
而求正整数解，则意味着x，y还有限制条件，即求：
xy＞ ＞00 y＞2x－3，
y≤3
的整数解．
例3 画出不等式组2x＋x＋2yy－－51≤＞00 ，所表示的平面区域． y＜x＋2
【思路分析】 解决这种问题的关键在于正确地描绘出边 界直线，再根据不等号的方向，确定所表示的平面区域．
【解析】 先画直线x＋2y－1＝0，由于是大于号，从而将 直线画成虚线，∵0＋0－1<0，∴原点在它的相反区域内．
如图中阴影部分中横坐标、纵坐标均为整数的点．
探究5 充分利用已知条件，找出不等关系，画出适合条件 的平面区域，然后在该平面区域内找出符合条件的点的坐 标．实际问题要注意实际意义对变量的限制．必要时可用表格 的形式列出限制条件．
思考题6 一工厂生产甲、乙两种产品，生产每吨产品的资
源需求如下表：
品种 电力/kW·h 煤/t 工人/人
(2)设直线l方程为Ax＋By＋C＝0(A＞0)，则 ①Ax＋By＋C＞0表示l右侧平面区域． ②Ax＋By＋C＜0表示l左侧平面区域．
思考题1 (1)不等式x－2y≥0所表示的平面区域是下图中的 ()
【解析】
x－2y＝0的斜率为
1 2
，排除C、D.又大于0表示直
线右侧，选B.
【答案】 B
(2)不等式x＋3y－6＜0表示的平面区域在直线x＋3y－6＝0的
【解析】 如图，在其区域内的整数解为(1,1)、(1,2)、 (1,3)、(2,2)、(2,3)，共五组．
题型五 应用问题
例6 2013年4月，为支援四川雅安地震灾区，某公司接受 了向该地区每天至少运送180吨饮用水的任务．该公司有8辆载 重为6吨的A型卡车与4辆载重为10吨的B型卡车，有10名驾驶 员，每辆车每天往返的次数为A型卡车4次，B型卡车3次，每辆 卡车每天往返的成本费A型车为320元，B型车为500元，公司每 天最多可以提供资金3 200元．用数学观点来分析一下该公司调 配车辆所受到的限制．
【解析】 设每天调出A型车x辆，B型车y辆． 0≤x≤8.0≤y≤4. 因为共有10名驾驶员，所以x＋y≤10. 因为每天需要至少送180吨水， 所以4x×6＋3y×10≥180. 因为最多可以提供资金3 200元． 所以320x＋500y≤3 200.
0≤x≤8，x∈N 0≤y≤4，y∈N x＋y≤10 24x＋30y≥180 320x＋500y≤3 200.
x－y＋6≥0 思考题5 (1)求不等式组 x＋y≥0
x≤3
并求区域的面积．
表示的平面区域，
【解析】 不等式组表示的平面区域如下图所示．因此其区 域面积也就是△ABC的面积．显然，△ABC为等腰直角三角形， ∠BAC＝90°，A(－3,3)，B(3，－3)，C(3,9)，AB＝AC，由点到直 线的距离公式，得
题型四 求区域面积或区域内正整数解 例5 求由不等式组|x|≤x＋5 2y|≤4 围成的平面区域的面积．
【解析】
x≤5 x≥－5 x＋2y≥－4 x＋2y≤4.
画出该不等式组所表示的平面区域，如图所示，可知阴影部 分为一平行四边形．
由于两平行线x＝－5与x＝5之间的距离为10. 由xx＝＋52y＝4， 可得C(5，－12)． 由xx＝＋52y＝－4， 可得B(5，－92)． ∴|BC|＝|－92＋12|＝4－1|<5等价于33xx＋＋44yy－＋64<>00. 区域如图．
题型三 由区域求约束条件
例4 如图所示，求△PQR内任一点(x，y)所满足的关系 式．
【解析】 首先求直线PQ、QR，RP的方程，由两点式，可 得
直线PQ的方程为x＋2y－5＝0， 直线QR的方程为x－6y＋27＝0， 直线RP的方程为3x－2y＋1＝0. 由于△PQR内任一点(x，y)应在直线RP、PQ的上方，而在 QR的下方，故应有：
x3＋x－2y2－y＋51><00 x－6y＋27>0.
探究4 准确理解题意，转化为求约束条件下的可行域问 题．思考题4 下图中阴影部分可用二元一次不等式组表示 ()
y≥－1 A.2x－y＋2≥0 C. xy≤ ≥0－2
2x－y＋2≥0
【答案】 C
y≥－1 B.2x－y＋2≤0
D.yx≥≤－0 2 x－y＋2≤0
() A．右上方
B．左上方
C．右下方
D．左下方
【解析】 数形结合．
【答案】 D
例2 点(3,1)和(－4,6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧，则( ) A．a＜－7或a＞24 B．－7＜a＜24 C．a＝－7或a＝24 D．以上都不对
【解析】 ∵(3,1)和(－4,6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧．∴ (9－2＋a)·(－12－12＋a)<0，即(a＋7)(a－24)<0，∴－7<a<24.选 B.
再画直线2x＋y－5＝0，由于带有等号，从而将直线画成实 线，∵0＋0－5<0，∴原点在该不等式表示的区域内．
最后画直线y＝x＋2，由于不等式不带等号，从而将直线画 成虚线．∵2>0，∴原点在该不等式表示的区域内．
如图所示，其中的阴影部分便是不等式组表示的平面区域．
探究3 解决类似本题的问题时，先应对每一个不等式所表 示的平面区域作出正确的判断，保证不因某一个不等式所表示 的平面区域搞错而产生失误，其次应注意所表示的平面区域是 否包括了边界．
【解析】 将直线l方程改写为一般式为 kx－y＋k＋2＝0.∵l与线段AB相交． ∴A、B∈l或A、B位于l两侧． ∴(－2k＋3＋k＋2)(3k－0＋k＋2)≤0， 即(k－5)(2k＋1)≥0，∴k≥5或k≤－12， 即k的取值范围为(－∞，－12]∪[5，＋∞)．
题型二 不等式组表示的平面区域
二元一次不等式(组)表示的平面区域
要点 1 二元一次不等式表示平面区域 在平面直角坐标系中，二元一次不等式 Ax＋By＋C>0(或<0) 表示直线 Ax＋By＋C＝0 某一侧所有点组成的平面区域，把直 线画成 虚线以表示区域不包括边界． 不等式 Ax＋By＋C≥0(或≤0)表示的平面区域包括边界，把 边界画成 实线 ．
要点2 二元一次不等式表示平面区域的确定 (1)直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点把它的坐标(x，y)代 入Ax＋By＋C，所得的符号都相同． (2)在直线Ax＋By＋C＝0的一侧取某个特殊点(x0，y0)，由 Ax0＋By0＋C的符号可以断定Ax＋By＋C>0表示的是直线Ax＋By ＋C＝0哪一侧的平面区域．
题型一 二元一次不等式表示的区域
例1 分别画出下列不等式表示的平面区域： (1)3x－4y－12≥0； (2)3x＋2y＜0.
【解析】 (1)先画直线3x－4y－12＝0. 取原点(0,0)，代入3x－4y－12，得－12＜0. 所以原点在3x－4y－12＜0表示的平面区域内．不等式3x－4y －12≥0表示的平面区域如图(1)所示． (2)先画直线3x＋2y＝0(画成虚线)． 取点(1,0)，代入3x＋2y，得3＞0.
【答案】 B
探究2 同侧同号，异侧异号！ 思考题2 (1)点(3,1)不在直线3x－2y＋a＝0的右侧，则a
的范围为________． 【解析】 不在右侧，则在直线上或直线左侧， ∴3×3－2×1＋a≤0，∴a≤－7.
【答案】 (－∞，－7]
(2)直线l：y－2＝k(x＋1)，与线段AB相交，若A(－2，－3)， B(3,0)，求k的取值范围．
所以点(1,0)在3x＋2y＞0表示的平面区域内．不等式3x＋2y＜ 0表示的平面区域如图(2)所示．
探究1 (1)在第(1)小题中直线不过原点，可选(0,0)作为测试 点判断，在第(2)小题中直线过原点，可选(1,0)点来判断，不管 选哪个点来判断，都要遵循最简化原则．画边界直线时，不含 等号画虚线，含等号画实线．
甲
2
3
5
乙
8
5
2
该厂有工人200人，每天只能保证160 kW·h的用电额度，每
天煤不得超过150 t，请在直角坐标系中画出每天甲、乙两种产
品允许的产量范围．
【答案】
画二元一次不等式表示的平面区域，常用的方法是：直线 定“界”、原点定“域”，即先画出对应的直线，再将原点坐 标代入直线方程中，看其值比0大还是比0小；不等式组表示的 平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，是它们平面 区域的公共部分．
思考题3 画出不等式|3x＋4y－1|<5所表示的平面区域．