锐角三角函数单元检测题(含答案解析)

第七章 锐角三角函数 检测题
（本检测题满分：100分，时间:90分钟）
一、选择题（每小题3分，共30分） 1． cos 60°的值等于（ ）
1A B C D 232
．．．2．在Rt △ABC 中，∠C =，BC =4，sin A =，则AC =（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 3．若∠A 是锐角，且sin A =，则（ ）
A.<∠A <
B.<∠A <
C.<∠A <
D.<∠A <
4．(2014·杭州中考)在直角三角形ABC 中，已知90C ∠=︒，40A ∠=︒，3BC =， 则AC =( )
A.3sin 40︒
B.3sin 50︒
C.3tan 40︒
D.3tan 50︒ 5.在△ABC 中，∠A :∠B :∠C =1:1:2，则::=（ ）
A.1:1:2
B. 1:1:
C. 1:1:
D. 1:1: 6.在Rt △ABC 中，∠C =，则下列式子成立的是（ ）
A.sin A =sin B
B.sin A =cos B
C.tan A =tan B
D.cos A =tan B
7．如图，一个小球由地面沿着坡度的坡面向上前进了10 m ，此时小球距离地面的高度为( )
A. B.25 m C.45 m D.3
10
m
第8题图
8．(2014·武汉中考)如图，PA ，PB 切⊙O 于A ，B 两点，CD 切⊙O 于点E ，交PA ，PB 于C ，D ，若⊙O 的半径为r ，△PCD 的周长等于3r ，则tan ∠APB 的值是（ ） A.1312
5
B.5
12
C.
135
3
D.
133
2
9．每周一学校都要举行庄严的升国旗仪式，让我们感受到了国旗的神圣．•
某同学站在离旗
第7题图
杆12米远的地方，当国旗升起到旗杆顶时，他测得视线的仰角为30°，•若这位同学的目高1.6米，则旗杆的高度约为（ ）
A ．6.9米
B ．8.5米
C ．10.3米
D ．12.0米
10．王英同学从A 地沿北偏西60°方向走100 m 到B 地，再从B 地向正南方向走200m 到C 地，此时王英同学离A 地 （ ） A.350 m B.100 m
C.150 m
D.3100 m
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =5，AC =3，则sin B =_____． 12．在△ABC 中，若BC
，AB
AC =3，则cos A =________． 13．如图所示，如果△APB 绕点B 按逆时针方向旋转30°后得到△A ＇P ＇B ， 且BP =2，那么PP ＇的长为____________． (不取近似值. 以下数据供解题 使用：sin 15°
cos 15°
) 14．如图所示，在甲、乙两地之间修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东48°．甲、乙两地间同时开工，若干天后，公路准确接通，则乙地所修公路的走向是南偏西___________度．
15．如图所示，机器人从A 点，沿着西南方向，行走了42个单位，到达B 点后观察到原点
O 在它的南偏东60°的方向上，则原来A 的坐标为___________(结果保留根号)．
16．如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则_ ． 17．在直角三角形ABC 中，∠A =90°，BC =13，AB =12，那么
tan B =___________．
18．根据图中所给的数据，求得避雷针CD 的长约为__m （结果精确到0.01 m ）．（可用计算器求，也可用下列参考数据求：sin ≈0.682 0，sin 40°≈0.642 8， cos 43°≈0.731 4，cos 40°≈0.766 0，tan 43°
第13题图
第14题图 第15题图
A
第18题图
≈0.932 5，tan 40°≈0.839 1） 三、解答题（共46分）
19.（6分）计算：︒⋅︒-︒-︒+︒30tan 60tan 45cot 60cos 30sin .
20.（6分）如图所示，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，DAC B ∠=cos tan . （1）求证：AC ＝BD ; （2）若1213
12
sin ==BC C ，，求AD 的长.
21.（6分）每年的5月15日是“世界助残日”.某商场门前的台阶共高出地面1.2米，为帮助残疾人便于轮椅行走，准备拆除台阶换成斜坡，又考虑安全，轮椅行走斜坡的坡角不得超过，已知此商场门前的人行道距商场门的水平距离为8米(斜坡不能修在人行道上)，问此商场能否把台阶换成斜坡?(参考数据)
第20题图
22．（7分）如图，在一次数学课外实践活动中，小文在点C处测得树的顶端A的仰角为37°，BC=20 m，求树的高度AB.
（参考数据：sin370.60
≈，cos370.80
≈，tan370.75
≈）
23.（7分）如图，在同一平面内，两条平行高速公路
1
l和
2
l间有一条“Z”型道路连通，其中
AB段与高速公路
1
l成30°角，长为20 km；BC段与AB、CD段都垂直，长为10 km；CD段长为30 km，求两高速公路间的距离（结果保留根号）.
第23题图
24. （7分）如图，在小山的东侧处有一热气球，以每分钟的速度沿着仰角为60°的方向上
升，20分钟后升到处，这时气球上的人发现在的正西方向俯角为45°的处有一着火点，求气球的升空点与着火点的距离.（结果保留根号）
°
°
第24题图
25.（7分）小刘同学在课外活动中观察吊车的工作过程，绘制了如图所示的平面图形．已
知吊车吊臂的支点O距离地面的高OO′=2米．当吊臂顶端由A点抬升至A′点（吊臂长度不变）时，地面B处的重物（大小忽略不计）被吊至B′处，紧绷着的吊缆A′B′=AB．AB垂直地面O′B于点B，A′B′垂直地面O′B于点C，吊臂长度OA′=OA=10米，且．
⑴求此重物在水平方向移动的距离BC；
⑵求此重物在竖直方向移动的距离B′C．（结果保留根号）
参考答案
一、选择题
1．A 解析：应熟记特殊角的三角函数值：
2.A 解析：在Rt △ABC 中，∠C =90°．∵ BC =4，sin A ＝，∴ AB =BC ÷sin A =5，AC==
3. 3.A 解析：∵ sin 30°=，，∴ 0°＜∠A ＜30°．故选A ．
4.D 解析：在Rt △ABC 中，∵90C ∠=︒，40A ∠=︒，∴ 50∠B =︒，
∴ tan tan 50AC
B BC
=︒=
，∴ tan 503tan 50g AC BC =︒=︒. 5.B 解析：设∠A 、∠B 、∠C 的度数分别为、、2，则 =180°，解得=45°.
∴ 2=90°.∴ ∠A 、∠B 、∠C 的度数分别为45°、45°、90°．∴ △ABC 是等腰直角三角形，∴ =1:1:.
6.B 解析：A.sin A =，sin B =，sin A ≠sin B ，故错误； B. sin A =，cos B =，sin A ＝cos B ，故正确； C.tan A ＝，tan B ＝，tan A ≠tan B ，故错误； D.，tan B ＝，则≠tan B ，故错误．
7. B 解析：设小球距离地面的高度为则小球水平移动的距离为 所以解得
8.B 解析：如图，因为∠APB 所在的三角形不是直角三角形，所以考虑添加辅助线构造直角三角形.因此，连接OA ，连接BO 并延长交PA 的延长线于点F ，
由切线长定理得PA =PB ，CA =CE ，DE =DB ， 所以△PCD 的周长=PC +CD +PD =PC +CE +ED +PD =
PC +CA +（DB +PD ）=PA +PB =2PA =3r .
在△BFP 与△AFO 中，因为∠F =∠F ，∠PBF =∠OAF =90°， 所以△BFP ∽△AFO ，所以3
322
r
FB PB AF OA r ===，
所以AF =23
FB .在Rt △BPF 中，
由勾股定理，得PF 2
=PB 2
+FB 2
， 第8题答图 即32⎛
⎝r +2
23FB ⎫
⎪⎭
=2
32r ⎛⎫ ⎪
⎝⎭
+FB 2
，解得FB =185r ，所以 18
125tan 35
2
r
FB APB PB r ∠===
.
9.B 解析：由于某同学站在离国旗旗杆12米远的地方，当国旗升起到旗杆顶时，他测得视线的仰角为30°，则目高以上旗杆的高度h 1=12×tan 30°=4（米），旗杆的高度h =h 1+1.6=1.6+4≈８.５（米）．故选B ．
10. D 解析：如图，作AE ⊥BC 于点E ．∵ ∠EAB =30°，AB =100，∴ BE =50，AE =50
．∵ BC =200，∴ CE =150．在Rt △ACE 中，
根据勾股定理得：AC =100．即此时王英同学离A 地的距离是
100m ．
二、填空题
11. 解析：sin B ＝＝．
12. 解析：在△ABC 中，∵ AC =３，BC =，AB =，∴＝， 即，∴ △ABC 是直角三角形，且∠B =90°．∴ cos A ==．
13
解析：连接PP ＇，过点B 作BD ⊥PP ＇，因为∠PBP ＇=30°，所以∠PBD =15°，利用sin 15°
先求出PD ，乘2即得PP ＇. 14．48 解析：根据两直线平行，内错角相等判断. 15．(0
，4+
解析：过点B 作BC ⊥AO 于点C ，利用勾股定理或三角函数可分别求得AC 与OC 的长.
16
．
5解析：利用网格,从C 点向AB 所在直线作垂线,利用勾股定理得,
所以5
. 17．
125 解析：先根据勾股定理求得AC =5，再根据tan AC B AB
=求出结果. 18．4.86 解析：利用正切函数分别求出BD ,BC 的长，再利用CD =BD －BC 求解.
第10题答图
三、解答题
19.解：－1.
20.解：（1）在中，有
BD
AD
B=
tan，中，有
AC
AD
DAC=
∠
cos
.
.
cos
tan BD
AC
AC
AD
BD
AD
DAC
B=
=
∴
∠
=，故
，
（2）由
13
12
sin=
=
AC
AD
C，可设x
BD
AC
x
AD13
12=
=
=，，
由勾股定理求得x
DC5
=，,
12
18
,
12=
=
+
∴
=x
DC
BD
BC
即
3
2
=
x，.8
3
2
12=
⨯
=
∴AD
21.解：因为所以斜坡的坡角小于，
故此商场能把台阶换成斜坡.
22. 解：因为tan 37°＝
AB
BC
≈0.75，BC=20 m，所以AB≈0.75×20＝15（m）.
23. 解：如图，过点A作AB的垂线交DC延长线于点E，过点E作
1
l的垂线与
1
l，
2
l分别交于
点H，F，则HF⊥
2
l.
由题意知AB⊥BC，BC⊥CD，又AE⊥AB，
∴四边形ABCE为矩形，∴AE=BC，AB=EC．
∴DE=DC+CE=DC+AB=30+20=50(km)．
又AB与
1
l成30°角，∴∠EDF=30°，∠EAH=60°．
在Rt△DEF中，EF=DE sin 30°=50×1
2
=25(km)，
在Rt△AEH中，EH=AE sin 60°=10
，
所以HF=EF+HE
=25+，
即两高速公路间的距离为（
25+km.
24.解：过作于点，则.
因为∠，3003 m，
所以300(3－1)即气球的升空点与着火点的距离为300(3－1)
第23题答图
25. 解：⑴过点O作OD⊥AB于点D，交A′C于点E.根据题意可知EC=DB=OO′=2，ED=BC，
∴∠A′ED=∠ADO=90°．
在Rt△AOD中，∵ cos A=，OA=10，∴AD=6，∴OD==8．
在Rt△A′OE中，∵ sin A′=，OA′=10.
∴OE=5．∴BC=ED=OD－OE=8－5=3．
⑵在Rt△A′OE中，A′E==5．
∴B′C=A′C－A′B′
=A′E＋CE－AB
=A′E＋CE－（AD＋BD）
=5＋2－（6＋2）
=5－6．
答：此重物在水平方向移动的距离BC是3米，此重物在竖直方向移动的距离B′C是
（5－6）米．。