华师大版第9章 9.3 用正多边形铺设地面

9．李刚同学设计了四种正多边形的瓷砖图案，在这四种瓷砖中，用一种瓷 砖可以密铺平面的是( A )
A．①②④ C．①③④
B．②③④ D．①②③
10．用一种正多边形能进行平面铺设的条件是( D )
A．内角都是整数度数
B．边数是 3 的整数倍
C．内角整除 180°
D．内角整除 360°
11．利用边长相等的正三角形和正六边形的地砖镶嵌(密铺)地面时，在每个
中的两种铺满平整的地面，那么选择的两种地砖的形状不能是( C )
A．正三角形与正方形
B．正三角形与正六边形
C．正方形与正六边形
D．正方形与正八边形
7．如果在一个顶点周围用两个正方形和 n 个正三角形恰好可以进行平面镶
嵌，则 n 的值是( A )
A．3
B．4
C．5
D．6
8．小芳家房屋装修时，选中了一种漂亮的正八边形地砖．建材店老板告诉 她，只用一种八边形地砖是不能密铺地面的，便向她推荐了几种形状的地 砖．你认为要使地面密铺，小芳应选择另一种形状的地砖是( B )
(2)正三角形和正六边形能铺满平面．因为 2×60°＋2×120°＝360°，所以用 两个正三角形和两个正六边形能覆盖平面，图案如图②所示．因为 4×60° ＋120°＝360°，所以用四个正三角形和一个正六边形也能覆盖平面，图案如 图③所示．
第9章 多边形
9．3 用正多边形铺设地面
能掌握用一种正多边形铺满地面的条件． 【例 1】用一批相同的正多边形地砖铺地，要求顶点要聚在一起，且砖与砖 之间不留空隙，有哪几种正多边形可以使用？ 【思路分析】用正多边形地砖铺地的关键是围绕一点拼在一起的几个正多 边形的内角加在一起恰好能组成一个周角，所以能够用来单独铺地的正多 边形的每一个内角必须是 360°的约数．
n－2×180°
【规范解答】正 n 边形的内角和为(n－2)·180°，每一个内角为
n
，
则
n－2·180° k· n ＝360°，所以
k＝n2－n2＝2＋n－4 2.因为
k
为正整数，且
n≥3，
所以n－4 2也是正整数．因此 n－2＝1、2、4.所以 n＝3、4、6，即正三角形、
正四边形、正六边形的地砖都可以使用．
顶点周围有 a 块正三角形和 b 块正六边形的地砖(a、b≠0)，则 a＋b 的值为
(B ) A．3 或 4
B．4 或 5
C．5 或 6
D．4
12．设在一个顶点周围有 a 个正三角形、b 个正十二边形铺满地面，则 a＋ b＝ 3 .
13．一个正 m 边形恰好被正 n 边形围住(无重叠、无间隙，如图所示的是 m ＝4，n＝8 的情况)，若 m＝10，则 n＝ 5 . 14．如果只用圆、正五边形、长方形中的一种图形镶嵌整个平面，那么这 个图形只能是 长方形 .
D．正七边形
4．学校科技馆的地面准备铺设一些边长相同的正六边形地砖，那么在每一
个顶点处，应铺设( B )
A．2 块
B．3 块
C．4 块
D．5 块
5．用两种正多边形地砖镶嵌地面，不能与正三角形匹配的是( D )
A．正方形
B．正六边形
C．正十二边形
D．正十八边形
6．现有正三角形、正方形、正六边形、正八边形形状的地砖，如果选择其
17．已知 2 个正多边形 A 和 3 个正多边形 B 可绕一点周围镶嵌(密铺)，A 的 一个内角的度数是 B 的一个内角的度数的32. (1)试分别确定 A、B 是什么正多边形？ (2)画出这 5 个正多边形在平面镶嵌(密铺)的图形(画一种即可)． 解：(1)设 B 的一个内角是 x°，则 A 的一个内角是 1.5x°，根据题意得方程： 2×1.5x＋3×x＝360，所以 x＝60，所以 1.5x＝90，所以 A 为正方形，B 为 正三角形；
能掌握用多种正多边形铺满地面的条件． 【例 2】现有边长相同的正三角形、正方形和正六边形纸片若干张，下列拼 法中不能铺满地面成一个平面图案的是( A ) A．正方形和正六边形 B．正三角形和正方形 C．正三角形和正六边形 D．正三角形、正方形和正六边形 【思路分析】正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的 几个角之和能否为 360°，若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满． 【方法归纳】熟记常见正多边形的内角度数，将其转化为一次方程求其整 数解即可．
15．如图，是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的 图案，则第 n 个图案中阴影小三角形的个数是 4n－2 .
16．如图所示，是用小长方形铺设的一个长方形走廊，请你根据图中给出 的数据，求出每块小长方形的面积．
解：设长方形的长为 xcm，宽为 ycm.则有：x3＋y＝y＝6060 ，∴yx＝＝2400 ，∴S ＝40×20＝800cm2.
(2)共有两种情形(正方形相邻；正方形不相邻)．
18．用边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的两种正多边 形拼地板，哪两种能铺满地面？说明理由，并设计出符合条件的图案． 解：因为正三角形、正方形、正五边形、正六边形的每个内角分别是 60°、 90°、108°、120°，所以(1)正三角形和正方形能铺满平面．因为 3×60°＋2×90° ＝360°，所以用三个正三角形和两个正方形能覆盖平面，图案如图①所示；
1．分别剪一些边长相同的①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边 形，如果用其中一种正多边形铺地面，可以铺成一个平面图案的有①②④ (填 序号)． 2．如图，用三个完全相同的正五边形地砖平铺地面，则空余的角度是 36 度．
3．下列正多边形中，不能铺满地面的是( D )
A．正三角形
B．正方形
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C．正六边形