江苏省2012届高三数学二轮专题训练：解答题(26)

P A B

D

O

E

C

江苏省2012届高三数学二轮专题训练：解答题（26）

本大题共6小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 1。

已知向量)sin ,(cos αα=a

, )sin ,(cos ββ=b ， 5

52||=-b a .

（Ⅰ）求cos()αβ-的值；

（Ⅱ)若02

πα<<， 02

πβ-<<, 且5sin 13

β=-， 求sin α。

解：（Ⅰ）(cos ,sin )αα=a , (cos ,sin )ββ=b ,

()cos cos sin sin αβα

β∴-=--a b ，.

5

-=

a b ， 5

=

,

即 ()4

22cos 5αβ--=, ()3cos 5

αβ∴-=. （Ⅱ)

0,0,02

2

π

π

αβαβπ

<<

-

<<∴<-<，

()3

cos 5αβ-=

, 5sin 13β=-()4sin 5

αβ∴-=，

12cos 13

β=

()()()sin sin sin cos cos sin ααββαββαββ∴=-+=-+-⎡⎤⎣⎦4123533

51351365

⎛⎫=

⋅+⋅-=

⎪⎝⎭。

2．如图ABCD 是正方形,O 是正方形的中心，

PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点． 求证：（Ⅰ）PA//平面BDE;

（Ⅱ）平面PAC ⊥平面BDE ．

证:

（Ⅰ）连接AC 、OE ，AC BD=O,

在△PAC 中,∵E 为PC 中点，O 为AC 中点．∴PA // EO ，

又∵EO ⊂平面EBD ，PA ⊄平面EBD ，∴PA //BDE ． （Ⅱ）∵PO ⊥底面ABCD ，∴PO ⊥BD ．

又∵BD ⊥AC ，∴BD ⊥平面PAC ．

又BD ⊂平面BDE ，∴平面PAC ⊥平面BDE ．

3．已知数列{}n

a 是首项为1

14a =，公比1

4

q =的等比数列，,

设*)(log 324

1N n a b

n n

∈=+,数列n n n n b a c c ⋅=满足}{。

（Ⅰ）求数列}{n

b 的通项公式；（Ⅱ）求数列}{n

c 的前n 项和S n 。

解（Ⅰ）由题意知，*)()4

1

(N n a

n n

∈= ,

又14

3log 2n

n b

a =-，故 32(*)n

b n n N =-∈

（Ⅱ）由（1）知，*)(23,)4

1

(N n n b a

n n n

∈-==

*)(,)4

1

()23(N n n c n n ∈⨯-=∴

,)4

1

()23()41)53()41(7)41(4411132n n n n n S ⨯-+(⨯-++⨯+⨯+⨯=∴-

于是1432)4

1()23()41)53()41(7)41(4)41(141+⨯-+(⨯-++⨯+⨯+⨯=n n n n n S

两式相减,得

132)41()23(])41()41()41[(34143+⨯--++++=n n n n S .)4

1

()23(211+⨯+-=n n 2321()(*)334

n

n n S n N +∴=-⨯∈

4．抛物线2

4y

x

=的焦点为F ，1

1

2

2

1

2

1

2(,),(,)(,0,0)

A x y

B x y x x y

y >><在抛物线上，且

存在实数λ,使AF BF λ+=0，25||4

AB =．

（Ⅰ）求直线AB 的方程;

（Ⅱ）求△AOB 的外接圆的方程． 解：（Ⅰ）抛物线2

4y

x

=的准线方程为1x =-．

∵AF BF λ+=0,∴A ，B ，F 三点共线．由抛物线的定义，得｜

AB

｜=1

2

2

x x

++．

设直线AB ：(1)y k x =-，而12

12121

2

,,0,0,0.y

y

k x x y y k x x

-=>><∴>-

由2

(1),4,

y k x y x =-⎧⎨

=⎩

得22

222(2)0

k x k x k -++=．

∴

212212

2(2)

,1,k x x k x x ⎧++=

⎪⎨

⎪⋅=⎩|AB |=1

2

2

x x

++= 222(2)25

24

k k ++=．∴2

169

k

=

．

从而43k =，故直线AB 的方程为4

(1)3

y x =-，即4340x y --=．

（Ⅱ)由

2

4340,

4,

x y y x --=⎧⎨=⎩ 求得A (4,4），B (14

,－1)．

设△AOB 的外接圆方程为2

20

x

y Dx Ey F ++++=,则

0,1616440,11

1()0.

16

4F D E F D E F ⎧

⎪=⎪

++++=⎨⎪⎪+++-+=⎩解得

29,43,

40.D E F ⎧

=-⎪⎪

⎪

=-⎨⎪

=⎪⎪⎩

故△AOB 的外接圆的方程为2

2293

044

x

y x y +-

-=．

5．已知423

2)(23

++-=cx x x

x f ，)()(2x f e e x g x x +-=-，且f （x ）在21+=x 处取

得极值.

（Ⅰ）试求c 的值和f （x)的单调增区间； （Ⅱ）如右图所示，若函数)(x f y =

的

图象在]

,[b a