《直线和圆的位置关系》第2课时示范公开课PPT教学课件【九年级数学下册北师大版】
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∠BIC
解：连接OA，∵l⊥OC∴∠AMO=90°，AM= AB=4cm
l
O
A
M
B
C
∴在Rt△AMO中，AO²=AM ²+OM ²∴OM=3cm
∴向下平移2 cm或向上平移8 cm.
∴CM=OC- OM=2cm
∠BIC
3.已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线.
例1 如图，△ABC内接于⊙O，CD与AB的延长线相交于点D，且∠BCD=∠BAC.CD是⊙O的切线吗？为什么？
解：
D
O
CD是⊙O的切线.理由如下：
则∠CBE = 90°.
∴∠BEC + ∠BCE= 90°.
连接CO并延长CO交⊙O于点E，连接EB，
E
∵∠BEC = ∠BAC，∠BAC=∠BCD，
证明：如图，过点O作OD⊥AB于点D，OP⊥BC于点P，OQ⊥AC于点Q，连接OE，OF，OG，OH，OM，ON. ∵EF=GH=MN，OE=OF=OG=OH=OM=ON， ∴△OEF≌△OGH≌△OMN. ∴OD=OP=OQ. ∴点O是△ABC的内心．
都是沿切线方向飞出的.
如图所示，OA是⊙O的半径，直线l经过点A，l与OA的夹角为∠α，当l绕点A旋转时:
(1) 随着∠α的变化，点O到l的距离d如何变化？直线l与⊙O的位置关系如何变化？
随着∠α由小变大，点O到l的距离d也由小变大；当∠α=90°时，d达到最大，此时d=r；之后当∠α继续增大时，d逐渐变小.直线l与⊙O的位置关系由相交到相切再相交.
∴∠BCD+ ∠BCE= 90°.
∴EC⊥CD.
∴CD是⊙O的切线.
∠BIC
例2 如图，在△ABC中，∠A = 68°，点 I 是△ABC的内心，求 ∠BIC的度数.
分析：
∠BIC180°
180°
180°
只要证明OC1CD，即LOCD = 90°即可，由LOCD LOCB + LBCD，已知LBCD =LBAC，故只要证明LOCB + LBAC = 90°就可以了，但LOCB与LBAC既没有共同的顶点，又不在同一个三角形中，故可延长CO交O0于点E，连接EB，由圆周角定理的推论，可Q LBAC =LBEC.而LBCELBCD =LBAC，故只要证明LOCB + LBAC = 90°就可以了，但LOCB与LBAC既没有共同的顶点，又不在同一个三角形中，故可延由LOCD LOCB + LBCD，已知LBCD =LBAC，故只要证明LOCB + LBAC = 90°就可以了长CO交O0于点E，连接EB，由圆周角定理的推论，可Q LBAC =LBEC.而LBCE与LBEC都是同一个三角形的内角，因此只要证明LCBE = 90°就行了x这是很角形的内角，因此只要证明LCBE = 90°就行了x这是很
1．如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的( )A．三条边的垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点
B
∠BIC
解析：根据三角形的内心的定义可知：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，故选B.
2.如图，⊙O的半径OC=5 cm，直线l⊥OC，垂足为点M，且l与⊙O相交于A，B两点，AB= 8 cm.如何沿OC所在的直线平移直线l，使l与⊙O相切？
E
只要证明OC1CD，即LOCD = 90°即可，由LOCD LOCB + LBCD，已知LBCD =LBAC，故只要证明LOCB + LBAC = 90°就可以了，但LOCB与LBAC既没有共同的顶点，又不在同一个三角形中，故可延长CO交O0于点E，连接EB，由圆周角定理的推论，可Q LBAC =LBEC.而LBCELBCD =LBAC，故只要证明LOCB + LBAC = 90°就可以了，但LOCB与LBAC既没有共同的顶点，又不在同一个三角形中，故可延由LOCD LOCB + LBCD，已知LBCD =LBAC，故只要证明LOCB + LBAC = 90°就可以了长CO交O0于点E，连接EB，由圆周角定理的推论，可Q LBAC =LBEC.而LBCE与LBEC都是同一个三角形的内角，因此只要证明LCBE = 90°就行了x这是很角形的内角，因此只要证明LCBE = 90°就行了x这是很
3.判定定理：过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
经过⊙O上的一点A，你能用三角尺画出⊙O的切线吗？你是怎样画的？能画出几条？与同伴进行交流.
A
O
画法：连接OP；过点P作OP的垂线l.l即所要画的切线.
过圆上任意一点，能且只能画一条圆的切线.
l
如图，△ABC是一张三角形纸片，你能从它上面剪出一张面积最大的圆形纸片吗？
只有一个，理由如下：∵点I是∠ABC，∠ACB 的平分线 BE和CF的交点， ∴点I到△ABC三边的距离相等，∴点I也在∠A的平分线上. ∵BE和CF有且只有一个交点 I，∴与△ABC三边都相切的圆能且只能作出一个.
内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心．
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆．
直线和圆的位置关系
第2课时
切线的判定定理
1.理解并掌握圆的切线的判定定理，并会运用切线的判定定理解决问题.2.理解三角形内切圆的相关概念及性质，并能灵活应用解决问题.3.探索圆的切线相关知识，并能应用其作出三角形的内切圆.4.从生活中抽象出数学知识，并加以研究，再应用到数学中去，让学生体会到数学的应用价值.
例1 如图，△ABC内接于⊙O，CD与AB的延长线相交于点D，且∠BCD=∠BAC.CD是⊙O的切线吗？为什么？
分析：
D
O
连接OC
只要证明OC⊥CD，即∠OCD = 90°即可.
由∠OCD =∠OCB + ∠BCD，已知∠BCD =∠BAC，故只要证明∠OCB +∠BAC = 90°.
延长CO交⊙O于点E，连接EB，由圆周角定理的推论，可得∠BAC =∠BEC.由直径所对的圆周角为90°，可得∠CBE=90°所以∠BEC+∠OCB=90°，即∠OCB +∠BAC = 90°，即可求证.
如图所示，OA是⊙O的半径，直线l经过点A，l与OA的夹角为∠α，当l绕点A旋转时:
(2) 当∠α等于多少度时，点O到l的距离d等于半径r?此时，直线l与⊙O有怎样的位置关系?为什么?
α
d
当∠α=90°时，d=r；直线l与⊙O相切.
过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
切线的判定定理
O
B
A
C
分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明AB⊥OC即可.
证明：如图，连接OC. ∵ OA＝OB，CA＝CB， ∴ OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线. ∴ AB⊥OC. ∵ OC是⊙O的半径， ∴ AB是⊙O的切线.
∠BIC
4.如图，以点O为圆心的圆与△ABC的三边分别交于点E，F，G，H，M，N，且EF＝GH＝MN， 求证：点O是△ABC的内心．
已知△ABC（如下图），求作一个圆，使它与△ABC的各边相切 .
E
F
∟
D
作法： 1．作∠ABC、∠ACB的平分线BE和CF，交点为I； 2．过点I作ID⊥BC，垂足为D； 3．以I为圆心，ID为半径作⊙I，⊙I就是所求．
I
按照上述作法，能作出几个符合要求的⊙I ？
过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
定义法数量关系法切线的判定定理
如图∵OA是⊙O的半径，直线l经过A点，且l⊥OA，∴ l是⊙O的切线.
1个公共点，则相切
d=r，则相切
过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆． 内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心．
准备好了吗？一起去探索吧！
重点
难点
直线与圆的位置关系有哪些？
d＜r
相交
相切
相离
d=r
d＞r
切线的性质定理是怎样的呢？
定理 圆的切线垂直于过切点的半径.
符号语言：如图，∵CD是⊙O的切线，A是切点，OA是⊙O的半径，∴CD⊥OA.
转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方向飞出的？
什么时候圆的面积最大？ 当圆与△ABC的三边都相切时，圆的面积最大.作圆的关键是什么？ 确定圆心和半径．圆的面积最大时，圆心应满足什么条件？ 到三角形三边的距离相等．
如图，△ABC是一张三角形纸片，你能从它上面剪出一张面积最大的圆形纸片吗？
怎样确定圆心的位置？ 设这个圆为 ⊙I，为使圆的面积最大， 则⊙I 应当与△ABC 的三边都相切， 所以点 I 到三角形三边的距离相等. 因此，点 I 在这个三角形三个角的平分线上. 圆心的位置确定后，怎样确定圆的半径？ 过圆心作三角形一边的垂线，垂线段的长就是圆的半径．
如图∵OA是⊙O的半径，直线l经过A点，且l⊥OA，∴ l是⊙O的切线.
下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？
不是，因为没有垂直.
(2)，(3)不是，因为没有经过半径的外端点A.
判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
1.定义法：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线.
2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径，即d=r.
例2 如图，在△ABC中，∠A = 68°，点 I 是△ABC的内心，求 ∠BIC的度数.
解：∵ 点I是△ABC的内心， ∴ ∠1∠ABC，∠2∠ACB. ∴ ∠1 + ∠2 56° . ∴ ∠BIC180° 180°56°124°
三角形的内切圆
三角形的内心
如图，已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的内切圆. 三角形的内心是否都在三角形的内部？
ห้องสมุดไป่ตู้
A
B
C
C
B
A
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
三角形的三条角平分线在三角形的内部交于一点.三角形的内心都在三角形的内部.
只要证明OC1CD，即LOCD = 90°即可，由LOCD LOCB + LBCD，已知LBCD =LBAC，故只要证明LOCB + LBAC = 90°就可以了，但LOCB与LBAC既没有共同的顶点，又不在同一个三角形中，故可延长CO交O0于点E，连接EB，由圆周角定理的推论，可Q LBAC =LBEC.而LBCELBCD =LBAC，故只要证明LOCB + LBAC = 90°就可以了，但LOCB与LBAC既没有共同的顶点，又不在同一个三角形中，故可延由LOCD LOCB + LBCD，已知LBCD =LBAC，故只要证明LOCB + LBAC = 90°就可以了长CO交O0于点E，连接EB，由圆周角定理的推论，可Q LBAC =LBEC.而LBCE与LBEC都是同一个三角形的内角，因此只要证明LCBE = 90°就行了x这是很角形的内角，因此只要证明LCBE = 90°就行了x这是很
教科书习题3.8 第1、2题
解：连接OA，∵l⊥OC∴∠AMO=90°，AM= AB=4cm
l
O
A
M
B
C
∴在Rt△AMO中，AO²=AM ²+OM ²∴OM=3cm
∴向下平移2 cm或向上平移8 cm.
∴CM=OC- OM=2cm
∠BIC
3.已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线.
例1 如图，△ABC内接于⊙O，CD与AB的延长线相交于点D，且∠BCD=∠BAC.CD是⊙O的切线吗？为什么？
解：
D
O
CD是⊙O的切线.理由如下：
则∠CBE = 90°.
∴∠BEC + ∠BCE= 90°.
连接CO并延长CO交⊙O于点E，连接EB，
E
∵∠BEC = ∠BAC，∠BAC=∠BCD，
证明：如图，过点O作OD⊥AB于点D，OP⊥BC于点P，OQ⊥AC于点Q，连接OE，OF，OG，OH，OM，ON. ∵EF=GH=MN，OE=OF=OG=OH=OM=ON， ∴△OEF≌△OGH≌△OMN. ∴OD=OP=OQ. ∴点O是△ABC的内心．
都是沿切线方向飞出的.
如图所示，OA是⊙O的半径，直线l经过点A，l与OA的夹角为∠α，当l绕点A旋转时:
(1) 随着∠α的变化，点O到l的距离d如何变化？直线l与⊙O的位置关系如何变化？
随着∠α由小变大，点O到l的距离d也由小变大；当∠α=90°时，d达到最大，此时d=r；之后当∠α继续增大时，d逐渐变小.直线l与⊙O的位置关系由相交到相切再相交.
∴∠BCD+ ∠BCE= 90°.
∴EC⊥CD.
∴CD是⊙O的切线.
∠BIC
例2 如图，在△ABC中，∠A = 68°，点 I 是△ABC的内心，求 ∠BIC的度数.
分析：
∠BIC180°
180°
180°
只要证明OC1CD，即LOCD = 90°即可，由LOCD LOCB + LBCD，已知LBCD =LBAC，故只要证明LOCB + LBAC = 90°就可以了，但LOCB与LBAC既没有共同的顶点，又不在同一个三角形中，故可延长CO交O0于点E，连接EB，由圆周角定理的推论，可Q LBAC =LBEC.而LBCELBCD =LBAC，故只要证明LOCB + LBAC = 90°就可以了，但LOCB与LBAC既没有共同的顶点，又不在同一个三角形中，故可延由LOCD LOCB + LBCD，已知LBCD =LBAC，故只要证明LOCB + LBAC = 90°就可以了长CO交O0于点E，连接EB，由圆周角定理的推论，可Q LBAC =LBEC.而LBCE与LBEC都是同一个三角形的内角，因此只要证明LCBE = 90°就行了x这是很角形的内角，因此只要证明LCBE = 90°就行了x这是很
1．如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的( )A．三条边的垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点
B
∠BIC
解析：根据三角形的内心的定义可知：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，故选B.
2.如图，⊙O的半径OC=5 cm，直线l⊥OC，垂足为点M，且l与⊙O相交于A，B两点，AB= 8 cm.如何沿OC所在的直线平移直线l，使l与⊙O相切？
E
只要证明OC1CD，即LOCD = 90°即可，由LOCD LOCB + LBCD，已知LBCD =LBAC，故只要证明LOCB + LBAC = 90°就可以了，但LOCB与LBAC既没有共同的顶点，又不在同一个三角形中，故可延长CO交O0于点E，连接EB，由圆周角定理的推论，可Q LBAC =LBEC.而LBCELBCD =LBAC，故只要证明LOCB + LBAC = 90°就可以了，但LOCB与LBAC既没有共同的顶点，又不在同一个三角形中，故可延由LOCD LOCB + LBCD，已知LBCD =LBAC，故只要证明LOCB + LBAC = 90°就可以了长CO交O0于点E，连接EB，由圆周角定理的推论，可Q LBAC =LBEC.而LBCE与LBEC都是同一个三角形的内角，因此只要证明LCBE = 90°就行了x这是很角形的内角，因此只要证明LCBE = 90°就行了x这是很
3.判定定理：过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
经过⊙O上的一点A，你能用三角尺画出⊙O的切线吗？你是怎样画的？能画出几条？与同伴进行交流.
A
O
画法：连接OP；过点P作OP的垂线l.l即所要画的切线.
过圆上任意一点，能且只能画一条圆的切线.
l
如图，△ABC是一张三角形纸片，你能从它上面剪出一张面积最大的圆形纸片吗？
只有一个，理由如下：∵点I是∠ABC，∠ACB 的平分线 BE和CF的交点， ∴点I到△ABC三边的距离相等，∴点I也在∠A的平分线上. ∵BE和CF有且只有一个交点 I，∴与△ABC三边都相切的圆能且只能作出一个.
内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心．
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆．
直线和圆的位置关系
第2课时
切线的判定定理
1.理解并掌握圆的切线的判定定理，并会运用切线的判定定理解决问题.2.理解三角形内切圆的相关概念及性质，并能灵活应用解决问题.3.探索圆的切线相关知识，并能应用其作出三角形的内切圆.4.从生活中抽象出数学知识，并加以研究，再应用到数学中去，让学生体会到数学的应用价值.
例1 如图，△ABC内接于⊙O，CD与AB的延长线相交于点D，且∠BCD=∠BAC.CD是⊙O的切线吗？为什么？
分析：
D
O
连接OC
只要证明OC⊥CD，即∠OCD = 90°即可.
由∠OCD =∠OCB + ∠BCD，已知∠BCD =∠BAC，故只要证明∠OCB +∠BAC = 90°.
延长CO交⊙O于点E，连接EB，由圆周角定理的推论，可得∠BAC =∠BEC.由直径所对的圆周角为90°，可得∠CBE=90°所以∠BEC+∠OCB=90°，即∠OCB +∠BAC = 90°，即可求证.
如图所示，OA是⊙O的半径，直线l经过点A，l与OA的夹角为∠α，当l绕点A旋转时:
(2) 当∠α等于多少度时，点O到l的距离d等于半径r?此时，直线l与⊙O有怎样的位置关系?为什么?
α
d
当∠α=90°时，d=r；直线l与⊙O相切.
过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
切线的判定定理
O
B
A
C
分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明AB⊥OC即可.
证明：如图，连接OC. ∵ OA＝OB，CA＝CB， ∴ OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线. ∴ AB⊥OC. ∵ OC是⊙O的半径， ∴ AB是⊙O的切线.
∠BIC
4.如图，以点O为圆心的圆与△ABC的三边分别交于点E，F，G，H，M，N，且EF＝GH＝MN， 求证：点O是△ABC的内心．
已知△ABC（如下图），求作一个圆，使它与△ABC的各边相切 .
E
F
∟
D
作法： 1．作∠ABC、∠ACB的平分线BE和CF，交点为I； 2．过点I作ID⊥BC，垂足为D； 3．以I为圆心，ID为半径作⊙I，⊙I就是所求．
I
按照上述作法，能作出几个符合要求的⊙I ？
过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
定义法数量关系法切线的判定定理
如图∵OA是⊙O的半径，直线l经过A点，且l⊥OA，∴ l是⊙O的切线.
1个公共点，则相切
d=r，则相切
过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆． 内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心．
准备好了吗？一起去探索吧！
重点
难点
直线与圆的位置关系有哪些？
d＜r
相交
相切
相离
d=r
d＞r
切线的性质定理是怎样的呢？
定理 圆的切线垂直于过切点的半径.
符号语言：如图，∵CD是⊙O的切线，A是切点，OA是⊙O的半径，∴CD⊥OA.
转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方向飞出的？
什么时候圆的面积最大？ 当圆与△ABC的三边都相切时，圆的面积最大.作圆的关键是什么？ 确定圆心和半径．圆的面积最大时，圆心应满足什么条件？ 到三角形三边的距离相等．
如图，△ABC是一张三角形纸片，你能从它上面剪出一张面积最大的圆形纸片吗？
怎样确定圆心的位置？ 设这个圆为 ⊙I，为使圆的面积最大， 则⊙I 应当与△ABC 的三边都相切， 所以点 I 到三角形三边的距离相等. 因此，点 I 在这个三角形三个角的平分线上. 圆心的位置确定后，怎样确定圆的半径？ 过圆心作三角形一边的垂线，垂线段的长就是圆的半径．
如图∵OA是⊙O的半径，直线l经过A点，且l⊥OA，∴ l是⊙O的切线.
下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？
不是，因为没有垂直.
(2)，(3)不是，因为没有经过半径的外端点A.
判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
1.定义法：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线.
2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径，即d=r.
例2 如图，在△ABC中，∠A = 68°，点 I 是△ABC的内心，求 ∠BIC的度数.
解：∵ 点I是△ABC的内心， ∴ ∠1∠ABC，∠2∠ACB. ∴ ∠1 + ∠2 56° . ∴ ∠BIC180° 180°56°124°
三角形的内切圆
三角形的内心
如图，已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的内切圆. 三角形的内心是否都在三角形的内部？
ห้องสมุดไป่ตู้
A
B
C
C
B
A
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
三角形的三条角平分线在三角形的内部交于一点.三角形的内心都在三角形的内部.
只要证明OC1CD，即LOCD = 90°即可，由LOCD LOCB + LBCD，已知LBCD =LBAC，故只要证明LOCB + LBAC = 90°就可以了，但LOCB与LBAC既没有共同的顶点，又不在同一个三角形中，故可延长CO交O0于点E，连接EB，由圆周角定理的推论，可Q LBAC =LBEC.而LBCELBCD =LBAC，故只要证明LOCB + LBAC = 90°就可以了，但LOCB与LBAC既没有共同的顶点，又不在同一个三角形中，故可延由LOCD LOCB + LBCD，已知LBCD =LBAC，故只要证明LOCB + LBAC = 90°就可以了长CO交O0于点E，连接EB，由圆周角定理的推论，可Q LBAC =LBEC.而LBCE与LBEC都是同一个三角形的内角，因此只要证明LCBE = 90°就行了x这是很角形的内角，因此只要证明LCBE = 90°就行了x这是很
教科书习题3.8 第1、2题