2019届人教B版(文科数学) 两直线的位置关系 单元测试
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两条直线的位置关系综合练习题及答案（一）知识梳理：1、两直线的位置关系（ 1）平行的判断：①当 l1 , l 2有斜截式（或点斜式）方程l1: y k1 x b1 ,l 2: y k2 x b2，则 l1 // l 2k1 k2 , b1 b2.②当 l1, l 2有一般式方程： l1 : A1x B1 y C10, l 2 : A2 x B2 y C 2 0 ，则 l1// l 2A1 B2 A2 B1 0,C1B2C2 B10 .（ 2）垂直的判断：①当 l1, l 2有斜截式（或点斜式）方程l1: y k1 x b1 ,l 2: y k2 x b2，则 l1l 2l1 : y k1x b1 ,l 2 : y k2 x b2.②当 l1, l 2有一般式方程： l1 : A1x B1 y C10, l 2 : A2 x B2 y C 2 0 ，则 l1l 2A1 A2 B1B2 0 .2、两条直线的交点：若 l1 : A1x B1 y C10, l 2 : A2 x B2 y C20A1x B1 y C10则 l1 ,l 2的交点为__方程B2 y C2的解 .A2 x03、点到直线的距离：（ 1）点到直线的距离公式：点P( x0 , y0 ) 到直线 Ax By C0 的距离为d Ax0 By0 C0_.A2B2(2) 两平行直线间的距离求法：两平行直线： l1 : Ax By C1 0, l2 : Ax By C2C2C1.0 ，则距离d dB2A2（二）例题讲解：考点 1：直线的平行与垂直关系例 1、（ 1）已知直线l的方程为3x 4 y 120 ，求与l平行且过点1,3 的直线方程；（ 2）已知直线l1: 2x 3y 100, l2 : 3x 4 y 2 0 ，求过直线 l1和 l2的交点，且与直线 l3 : 3x 2 y 4 0垂直的直线 l 方程.易错笔记：解：（ 1）设与直线 l 平行的直线 l 1 的方程为 3x4 y C 0 ，则点1,3 在直线 3x 4y C 0 上，将点1,3 代入直线 3x 4 yC0 的方程即可得：314 3 C0 ， C9 ，所求直线方程为：3x 4y9 0 .（ 2）设与直线 l 3 : 3x 2y40 垂直的直线 l 方程为： 2 x3yC0 ，Q 方程2x 3 y 10 0x 2的解为：y 2，3x 4 y 2 0直线 l 1 : 2x3y 10 0, l 2 : 3x 4 y 2 0 的交点是 2,2 ，直线 l 过直线 l 1 : 2x3y 10 0, l 2 : 3x 4 y 2 0的交点 2,2 ，22 3 2 C 0 ， C 2 ， 直线 l 方程为： 2x3y 2 0 .考点 2：直线的交点问题例 2、已知直线方程为2 m x 1 2m y 4 3m 0 ，(1) 求证：无论 m 取何值，此直线必过定点；(2) 过这定点引一直线，使它夹在两坐标轴间的线段被这定点平分，求这条直线方程 .解： (1) 设直线方程为2 m x1 2m y4 3m0 过定点A, B ，2 A B 4A 1A2B ，B，32直线方程为2 m x1 2m y 4 3m 0 过定点 1,2 .(2) 由题意知，直线l 在 x 轴上的截距 a0 ，在 y 轴上的截距 b 0 ，x y 直线 l 在 x 轴上的交点坐标为M a,0 ，直线 l 在 y 轴上的交点坐标为设直线 l 的方程为： 1，abN 0,b ，Q 直线 l 夹在两坐标轴间的线段被点1, 2 平分，点1, 2 是线段 MN 的中点，a21a2, b4，，b2 2直线 l 的方程为：x y 2x y 4 0 .21，即4易错笔记：（三）练习巩固：一、选择题1、直线 3xy 1 0 和直线 6x2 y 1 0 的位置关系是（B）A ．重合B．平行C．垂直D．相交但不垂直2 、点 2,1 到直线 3x4 y 2 0 的距离是（A）A ．4B．5C．4D． 25542543 、如果直线 x 2ay 10 与直线 (3a 1) x ay 1 0 平行，则 a 等于（A）A ． 0B ．1C ． 0 或 1 D． 0 或1661解： 1a 2a 3a 1 0①，且 2a 1a 0 ②，由①得： a 0，由②得： a0 ，a0 .或 a64、若三条直线2x 3y 80, x y 1 0 和 x ky0 相交于一点， 则 k（ B）A ． -2B．1 C． 2D．122解： Q 方程2x 3y 8 0 x1x y1 0 的解为：y，2直线 2x 3y 80, xy 1 0 的交点是 1, 2 ，Q 三条直线 2 x 3 y 8 0, x y 1 0 和 x ky 0 相交于一点1, 2 ，直线 xky 0 过点 1, 2 ，1 k 20 ，k 1，故选 B .25 、已知点 M 4,2 与 M 2,4 关于直线 l 对称，则直线 l 的方程为（D）A ． x y 6 0B ． x y 6 0C ． x y 0D ． x y 06、已知直线 3x4 y 3 0 与直线 6 x my 14 0 平行， 则它们间的距离是（ D ）A ．17B． 17C ．8D． 210 5解： Q 直线 3x 4 y 3 0 与直线 6x my 140 平行，3m 4 6 0， m 8 ，直线 6xmy 14 0 的方程为 6 x8 y14 0 ，即 3x 4 y 7 0 ，4 143 m直线 3x 4 y 3 0 与直线 3x 4 y 7C 2 C 1 732.0 之间的距离 dA 2B 2 3242Q 直线 3x 4 y 3 0 与直线 6 x 8y 14 0 的距离等于直线 3x 4y 3 0 与直线 3x 4 y7 0 之间的距离，直线 3x 4 y 3 0 与直线 6 xmy 14 0 的距离 d C 2 C 1 7 3，故选 D.A 2B 232 242二、填空题7 、如果三条直线l1 : mx y 3 0,l2 : x y 2 0,l3 : 2x y 2 0 不能成为一个三角形三边所在的直线，那么m的一个值是 _______ .．．8、过点过点2,3且平行于直线 2 x y50的方程为______2 x y70 __________. 2,3且垂直于直线3x 4 y30 的方程为______ 4x 3 y10 __________.分析：设与直线2x y50平行的直线方程为：2x y C0 ，则点2,3 在直线2x y C0 上，将点2,3代入直线 2 x y C0的方程即可得：223C0 ，C7 ，所求直线方程为：2x y 7 0 .分析：设垂直于直线3x4y30 的方程为： 4x3y C0 ，则点2,3在直线4x3y C0 上，将点2,3代入直线4x 3 y C0的方程即可得： 4 233C0 ，C1，所求直线方程为：4x 3y10.9、已知直线l13l2 A 1,2 B 2, a l 1// l 2，a _ 3 _l1l2，则 a5__.的斜率为经过点，若直线，直线，；若3当直线 l1// l 2时： Q 直线 l1的斜率： k13，且直线 l1// l 2，直线 l2的斜率 k2k1 3 ，Q 直线 l 2经过点 A 1,2， B 2, a ，直线 l 2的斜率 k2y2y1a2a23，x2x121a 5 .当直线 l1l2时，设直线 l1的斜率为 k1，直线 l 2的斜率为 k2，则直线 l1的斜率： k13， Q 直线 l 1l 2，k1k2 1 ，直线 l2的斜率 k211k1，3又Q 直线 l2经过点 A1,2， B 2,a，直线 l 2的斜率 k2y2y1a2a2 1 ，x2x1213 5a.310、设直线l1:3 x 4 y20,l2 :2x y20,l3 :3 x4y20 ，则直线l1与l2的交点到l3的距离为 __12__.5解： Q 方程3x 4 y20x2，2x y2的解为：y 2直线 2x3y80, x y10 的交点是2,2，点2,2 到直线l3的距离为：d Ax0By0C3 2 4 2 212 .A2B23242511、过点 A1,2，且与原点距离等于2的直线方程为 x y30或 7x y90．2解：设所求直线的斜率为 k ，则Q直线过点A1,2，方程为y2k x1k x1，即kx y k20 ，直线到原点的距离为： d Ax0By0 C k 0 1 0 k 2k 2 2，A2B2 1 2 1 2k 2k 2222k 222 1 ，k28k7 0 ，k1或 k7 ，k 2122所求直线的方程为： x y 3 0 或 7x y9 0 ．三、解答题12、已知直线 l 1 : x my 60,l 2 : m 2 x 3y 2m 0，求 m 的值，使得 (1)l 1 和 l 2 相交；（ 2） l 1l 2 垂直； (3) l 1 // l 2 ； (4) l 1 和 l 2 重合 .解： (1) Q l 1 和 l 2 相交， m m 2 1 3 0 ，m 1．(2) Q l 1l 2 垂直，1 m 2m 3 0 ，m1.2(3)Ql 1 // l 2 ，m m 21 3 0 12m m 360 2，由（ 1）得： m3 或 m1，由（ 2）得： m3 ， m 1.(4) Q l 1 和 l 2 重合， m m 213 0 12m m3 6 0 2，由（ 1）得： m 3 或 m1m 3 或 m3，，由（ 2）得：当 m 3 ，或 m3 ，或 m 1时， l 1 和 l 2 重合 .13、已知直线 l 过点 1,2 ，且与 x ， y 轴正半轴分别交于点A 、 By（1）、求 AOB 面积为 4 时直线 l 的方程；B(1,2)（2 ）、在（ 1）的前提之下，求边 AB 上的高所在的直线方程 .解：（ 1）、由题意知，直线l 在 x 轴上的截距 a0 ，在 y 轴上的截距 b0 ，OAx设直线 l 的方程为：x y1，Q 直线 l 过点 1,2 ，ab 1 211①， QAOB面积为4a bab 4②，由①、②得： a 2， b4，，1a b22 直线 l 的方程为：x yy 40 .21，即 2x4（ 2）、设边 AB 上的高所在的直线为 l 1 ，斜率为 k 1 ，直线 l 1 过原点 O 0,0 ，Q 直线 l 的方程为： 2x y 4 0 ， 边 AB 所在的直线方程为： 2xy 4 0 ，斜率为斜率 k2 ，Q ll 1 ，k k 11 ，k 11 1 1， Q 直线 l 1 过原点 O 0,0 ，1k2 2直线 l 1 的方程为： yx 0 ，即 x 2y 0 . 综上所述：边 AB 上的高所在的直线方程为：x 2 y 0 .2。
(完整版)第二章点、直线、平面之间的位置关系单元测试(含答案
第二章点、直线、平面之间的位置关系单元测试时间：90分钟满分：150分班级_____________ 姓名_________________ 学号__________ 得分_______一选择题（每题5分总分60分）1•下列命题：①如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行;②如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线异面；③过平面外一点有且只有一条直线与平面平行；④一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面.其中正确的个数为（）A . 0B . 1C. 2 D . 32.在空间中，下列命题正确的是)A.垂直于冋一条直线的两直线平行B.平行于冋一条直线的两个平面平行C.垂直于冋一平面的两个平面平行D.垂直于冋平面的两条直线平行3.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( )B. 一定相交A. 定平行C.一定异面D.相交或异面4.如图，用符号语言可表示为（）B. aA 3= m , n € a , m A n = A D. aA 3= m , n € a , A € m , A € n② 2个平面重叠在一起比一个平面厚；④将一个平面内的一条直线延长，它就会伸出这个平面C . 2D . 3a 平行的是（ ）B .直线m 与平面a 内的两条直线平行A.①②B.①③C.②③D.②④8. 已知三条相交于一点的线段 PA 、PB 、PC 两两垂直，且A 、B 、C 在同一平面内，P 在平面ABC 夕卜，PH 平面ABC 于H ，则垂足 H 是△ ABC 的（ ） A .外心 B .内心C .垂心D .重心9.六棱柱的表面中，互相平行的平面最多有 （ ）A. aA 3= m , n? a, m A n = A C. aA 3= m , n? a, A? m , A? n 5•下列命题中正确的个数是（ ）①一个平面长4米，宽2米； ③一个平面的面积是 25平方米； A . 0B . 16.下列选项中，一定能得出直线 m 与平面 A .直线m 在平面a 外C .平面a 外的直线m 与平面内的一条直线平行D .直线m 与平面a 内的一条直线平行7. PA 垂直于正方形 ABCD 所在平面，连接 PB 、PC 、PD 、AC 、BD ，则下列垂直关系正确的是（① 平面 PAB 丄平面 PBC ② 平面 PAB 丄平面 PAD ③ 平面 PAB 丄平面 PCD ④ 平面 PAB 丄平面FACA.2对B.3对C.4对D.5对10. 如图正方体ABCD —A i B i C i D i中，异面直线A i B与AD i所成角为（）B . 45C . 60°D . 90ii.下列说法正确的是（）A.经过三点确定一个平面 i2.线段AB 的长等于它在平面 A.30 °B.45 °C.60 °D.i20 二填空题（每题5分） i3.线段AB 在平面a 的同侧,B.两条直线确定一个平面 D.不共面的四点可以确定 4个平面a 内的射影长的2倍，则AB 所在直线与平面 a 所成的角为（A 、B 至U a 的距离分别为3和5，贝U AB 的中点到a 的距离为i4.直线 a , b , c , d 满足 a // b , b // c , c // d ,则a 与d 的位置关系是i5.已知a , b 表示两条直线,a, 3, Y 表示三个不重合的平面，给出下列命题:① 若ad Y = a , 3门尸b ，且a / b ，则a// 3； ② 若 a ,b 相交且都在 a , 3外，a /a , b // a, a / 3 b / 3 贝U all 3；③ 若 a //a, a // 3 ,贝U all 3；④ 若 a //a, b // 3 ,且 a //b ,贝 U a// 3 ⑤若 a? a, a //3 ,ad 3= b ,贝U a // b.其中正确命题的序号是 _________ .i6.如图，在正方体 ABCD-A i B i C i D i 中，AB = 2,点E 为AD 的中点，点F 在CD 上.若EF //平面AB i C , 则线段EF 的长度等于 _____________________ .A fi三解答题17.如图所示，在四棱锥P ABCD中，AB 平面PAD , AB// CD , PD AD , E是PB的中点，F是CD 上的点且DF =丄AB PH为△ PAD中AD边上的高.证明：2 ，(1) PH 平面ABCD ; (2) EF 平面PAB .P- ABCD中，E、F分别是PC、PD的中点，求证：EF //平面PAB.18.如下图，在底面是矩形的四棱锥19.如图，空间四边形 ABCD 中，E , F , G, M , N 分别为AB AD BC 、AC 、BD 的中点•求证:20.某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均是正方体，侧面是全等的等腰梯形的四棱 台A I B I C I D I -ABCD ，上部是一个底面与四棱台的上底面重合， 侧面是全等的矩形的四棱柱 ABCD — A 2B 2C 2D 2.求证：直线B I D I 丄平面ACC 2A 2.参考答案1. 【解析】 ① 错，直线与平面平行，只是说明直线与平面没有公共点，也就是直线与平面内的直线没有公 共点•没有公共点的两条直线除了平行之外，还有可能异面，因此命题①是错误的；②对；③错，过平面(1) EFM BDC ;⑵EFM DNG 180外一点有无数条直线与已知平面平行；④错，直线还可以与平面相交.【答案】B2. 【解析】A 项中垂直于同一条直线的两直线可能平行、异面或相交； B 项中平行于同一条直线的两个平面可能平行或相交；C项中垂直于同一平面的两个平面可能平行或相交；D项正确.【答案】D3. 【解析】可能相交也可能异面，但一定不平行（否则与条件矛盾）.【答案】D4. 【解析】a与B交于m, n在a内，m与n交于A.【答案】A5. 【解析】几何中的平面是无限延展的，不可进行所有类型的度量，容易判断所有命题都不对.【答案】A6. 【解析】选项A不符合题意，因为直线m在平面a外也包括直线与平面相交；选项B与D不符合题意,第7 页,共9 页因为缺少条件m?a;选项C中，由直线与平面平行的判定定理，知直线m与平面a平行，故选项C符合题意.【答案】C7. 【解析】易证BC丄平面PAB,则平面PAB丄平面PBC;又AD // BC,故AD丄平面PAB，则平面PAD丄平面PAB, 因此选A.【答案】A8. 【解析】易证AH BC , BH AC , CH AB，故选C.【答案】C9. 【解析】侧面中有3对，对面相互平行，上下两底面也相互平行【答案】C10. 【解析】连接BC i、A i C i, •/ BC i / AD i,「.异面直线A i B与AD i所成的角即为直线A i B与BC i所成的角. 在厶A i BC i 中，A iB = BC i = A i C i,•••/A i BC i = 60 °故异面直线A i B与AD i所成角为60 °【答案】C11. 【解析】对于A，若三点共线，则错误；对于B项，若两条直线既不平行，也不相交，则错误；对于C项，空间四边形就不止确定一个平面.【答案】D12. 【解析】如图，AC丄a, AB A a= B,贝U BC是AB在平面a内的射影，贝UiBC = 2AB,所以/ ABC = 60°它是AB与平面a所成的角.【答案】C13. 【解析】如图设AB中点为M，分别过A、M、B向a作垂线，垂足为A i、M i、B i,则由线面垂直的性质可知：AA i // MM i // BB i ,、上」瓦\\ __ __ s四边形AA i B i B为直角梯形，AA i = 3, BB i = 5, MM i为其中位线，••• MM i = 4.【答案】414. 【答案】平行15. 【解析】①错误，a与B也可能相交；②正确，依题意，由a, b确定的平面Y满足丫// a 丫// 3故a// 3；③错误，a与3也可能相交；④错误，a与3也可能相交；⑤正确，由线面平行的性质定理可知•【答案】②⑤i6..【答案】217. 【解】证明：(i)v AB 平面PAD , • PH AB . •/ PH PAD中AD边上的高，•PH AD . 又I AB I AD A, • PH 平面ABCD .1(2)取PA中点为M，连结MD , ME . •/ E是PB的中点，• ME//丄AB ,21 i••• AB // CD , DF=—AB • DF // 一AB • ME / DF ,2 2 =•四边形MEFD是平行四边形，• EF//MD .••• PD AD, • MD PA. I AB 平面PAD , • MD AB.又T PAI AB A, •- MD 平面PAB , • EF 平面PAB .18. 【证明】•/ E、F分别是PC, PD的中点，• EF // CD CD // AB, • EF // AB, •/ EF?面PAB, AB?平面PAB, • EF //平面PAB.19. 【解】(i) QE, F分别是AB AD的中点，EF // BD，同理FM // CD . Q EFM和BDC的两边分别平行且方向相同，EFM BDC .(2) Q NG // CD , FM // CD , NG // FM . EFM 和BDC 的两边分别平行，其中NG FM方向相同，而FE与ND方向相反. 因此EFM DNG 180 .20. 【证明】•••四棱柱ABCD-A2B2C2D2侧面是全等的矩形，二AA2丄AB, AA2丄AD.又AB n AD = A.二AA2丄平面ABCD.连接BD BD?平面ABCD , A AA2丄 BD.因为底面ABCD是正方形，所以AC丄BD.根据棱台的定义知，BD与B I D I共面.又已知平面ABCD //平面A I B I C I D I,且平面ABCD n平面BB I D I D = BD，平面BB1D1D n平面A i B i C i D i = B1D1.所以BD // B1D1，于是，由AA2丄BD, AC丄BD , BD // B1D1，可得AA2丄B1D1, AC丄B i D i. 又AA2n AC = A，所以直线B i D i丄平面ACC2A2.第10 页，共9 页。
2019届苏教版(文科数学) 两直线的位置关系 单元测试
第二节两直线的位置关系A组基础题组1.若直线l1:mx-y-2=0与直线l2:(2-m)x-y+1=0互相平行,则实数m的值为( )A.-1B.0C.1D.22.若直线l1:x+ay+6=0和l2:(a-2)x+3y+2a=0平行,则l1与l2之间的距离为( )A. B.4 C. D.23.若直线l1:y=k(x-4)与直线l2关于点(2,1)对称,则直线l2恒过定点( )A.(0,4)B.(0,2)C.(-2,4)D.(4,-2)4.已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l对称,则直线l的方程为( )A.x-y+1=0B.x-y=0C.x+y+1=0D.x+y=05.(2018四川成都调研)在平面直角坐标系内,过定点P的直线l:ax+y-1=0与过定点Q的直线m:x-ay+3=0相交于点M,则|MP|2+|MQ|2的值为( )A. B.C.5D.106.已知点A(-3,-4),B(6,3)到直线l:ax+y+1=0的距离相等,则实数a的值为.7.以点A(4,1),B(1,5),C(-3,2),D(0,-2)为顶点的四边形ABCD的面积为.8.已知△ABC的一个顶点为A(5,1),AB边上的中线CM所在直线的方程为2x-y-5=0,AC边上的高BH所在直线的方程为x-2y-5=0,求直线BC的方程.9.正方形的中心为点C(-1,0),一条边所在的直线方程是x+3y-5=0,求其他三边所在的直线方程.B组提升题组1.在平面直角坐标系内,到点A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,-1)的距离之和最小的点的坐标是.2.如图,已知A(-2,0),B(2,0),C(0,2),E(-1,0),F(1,0),一束光线从F点出发射到BC上的D点,经BC反射后,再经AC反射,落到线段AE上(不含端点),则直线FD的斜率的取值范围是.3.已知光线从点A(-4,-2)射出,到直线y=x上的B点后被直线y=x反射到y轴上的C点,又被y轴反射,这时反射光线恰好过点D(-1,6),求BC所在的直线方程.4.已知三条直线l1:2x-y+a=0(a>0);l2:-4x+2y+1=0;l3:x+y-1=0,且l1与l2间的距离是.(1)求a的值;(2)能否找到一点P,使P同时满足下列三个条件:①点P在第一象限;②点P到l1的距离是点P到l2的距离的;③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是∶.若能,求出点P的坐标;若不能,请说明理由.答案精解精析A组基础题组1.C ∵直线l1:mx-y-2=0与直线l2:(2-m)x-y+1=0互相平行,∴---解得m=1.故选C.2.C ∵l1∥l2 ∴-=≠,解得a=-1,∴l1与l2的方程分别为l1:x-y+6=0,l2:x-y+=0,∴l1与l2的距离d=-=.3.B 由于直线l1:y=k(x-4)恒过定点(4,0),其关于点(2,1)对称的点为(0,2),又由于直线l1:y=k(x-4)与直线l2关于点(2,1)对称,所以直线l2恒过定点(0,2).4.A 由题意知直线l与直线PQ垂直,直线PQ的斜率k PQ=-1,所以直线l的斜率k=-=1.又直线l经过PQ的中点(2,3),所以直线l的方程为y-3=x-2,即x-y+1=0.5.D 由题意知P(0,1),Q(-3 0 ∵过定点P的直线ax+y-1=0与过定点Q的直线x-ay+3=0垂直 ∴M位于以PQ为直径的圆上.∵|PQ|== ∴|MP|2+|MQ|2=10,故选D.6.答案-或-解析由题意及点到直线的距离公式得=,解得a=-或-.7.答案25解析因为k AB=--=-,k DC=----=-,k AD=---=,k BC=---=,所以k AB=k DC,k AD=k BC,所以AB∥DC AD∥BC 所以四边形ABCD为平行四边形.又k AD·k AB=-1,即AD⊥AB 故四边形ABCD为矩形.故四边形ABCD的面积S=|AB|·|AD|=--×---=25.8.解析依题意知k AC=-2,又A(5,1),∴l AC:2x+y-11=0,由---可解得C(4,3).设B(x0,y0),则AB的中点M的坐标为,代入2x-y-5=0,得2x0-y0-1=0,由----可解得--故B(-1,-3 ∴k BC=,∴直线BC的方程为y-3=(x-4),即6x-5y-9=0.9.解析点C到直线x+3y-5=0的距离d 1==.设与直线x+3y-5=0平行的边所在的直线方程是x+3y+m=0 m≠-5),则点C到直线x+3y+m=0的距离d2==,解得m=-5(舍去)或m=7,所以与直线x+3y-5=0平行的边所在的直线方程是x+3y+7=0.设与x+3y-5=0垂直的边所在的直线方程是3x-y+n=0,则点C到直线3x-y+n=0的距离d3==,解得n=-3或n=9,所以与直线x+3y-5=0垂直的两边所在的直线方程分别是3x-y-3=0和3x-y+9=0.B组提升题组1.答案(2,4)解析由题意可知,若P为平面直角坐标系内任意一点,则|PA|+|PC|≥|AC| 等号成立的条件是点P在线段AC上;|PB|+|PD|≥|BD| 等号成立的条件是点P在线段BD上,所以到A,B,C,D四点的距离之和最小的点为AC与BD的交点.由题意知直线AC的方程为2x-y=0,直线BD的方程为x+y-6=0,由--解得即所求点的坐标为(2,4).2.答案 4 +∞解析从特殊位置考虑.如图,∵点A(-2,0)关于直线BC:x+y=2的对称点为A1(2,4),∴=4,又点E(-1,0)关于直线AC:y=x+2的对称点为E1(-2,1),点E1(-2,1)关于直线BC:x+y=2的对称点为E2(1,4),此时直线E2F的斜率不存在,∴k FD>,即k FD∈ 4 +∞ .3.解析作出草图,如图,设A关于直线y=x的对称点为A',D关于y轴的对称点为D',则易得A'(-2,-4),D'(1,6).由反射角等于入射角易得A'D'所在直线经过点B与C.故BC所在的直线方程为---=---,即10x-3y+8=0.4.解析(1)直线l 2:2x-y-=0,所以两条平行线l1与l2间的距离d=---=,所以=, 即=,又a>0,解得a=3.(2)假设存在点P,设点P(x0,y0).若点P满足条件② 则点P在与l1,l2平行的直线l':2x-y+c=0上,且=×,即c=或,所以直线l'的方程为2x-y+=0或2x-y+=0;若点P满足条件③ 由点到直线的距离公式,有=×,即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|,所以x0-2y0+4=0或3x0+2=0;由于点P在第一象限,所以3x0+2=0不符合题意.联立方程2x0-y0+=0和x0-2y0+4=0,解得-(舍去);联立方程2x0-y0+=0和x0-2y0+4=0,解得.所以存在点P同时满足三个条件.。
高中数学 2.2.3两条直线的位置关系同步练习二 新人教B版必修2
一、选择题(每小题5分，共30分)1．m ＝－1是直线mx ＋y －3＝0与直线2x ＋m (m －1)y ＋2＝0垂直的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：两直线垂直的充要条件是2m ＋m (m －1)＝0，解得m ＝0或m ＝－1，∴m ＝－1仅是两直线垂直的充分不必要条件．答案：A2．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是 ( )A ．[π6，π3)B ．(π6，π2)C ．(π3，π2)D ．[π6，π2] 解析：解法1：求出交点坐标，再由交点在第一象限求得倾斜角的范围⎩⎨⎧y ＝kx －3，2x ＋3y －6＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3(2＋3)2＋3k ，y ＝6k －232＋3k ，∵交点在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧x >0y >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧3(2＋3)2＋3k >06k －232＋3k >0，∴k ∈(33，＋∞)．图1∴倾斜角范围为(π6，π2)．解法2：如图1所示，直线2x ＋3y －6＝0过点A (3,0)，B (0,2)，直线l 必过点C (0，－3)，当直线过A 点时，两直线的交点在x 轴，当直线l 绕C 点逆时针旋转时，交点进入第一象限，从而得出结果．答案：B3．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是 ( )A ．x ＋2y －1＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．2x ＋y －3＝0D ．x ＋2y －3＝0解析：在直线x －2y ＋1＝0上任取两点(1,1)，(0，12)，这两点关于直线x ＝1的对称点分别为(1,1)，(2，12)，过这两点的直线方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.所以应选D. 答案：D4．(2009·上海高考)已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是 ( )A ．1或3B ．1或5C ．3或5D ．1或2解析：当k ＝4时，直线l 1的斜率不存在，直线l 2的斜率为1，两直线不平行；当k ≠4时，两直线平行的一个必要条件是3－k 4－k ＝k －3，解得k ＝3或k ＝5，但必须同时满足1k －4≠32(截距不相等)才是充要条件，检验知k ＝3、k ＝5均满足这个条件．故选C.答案：C5．光线入射在直线l 1：2x －y －3＝0上，经过x 轴反射到直线l 2上，再经过y 轴反射到直线l 3上，则l 3的直线方程为 ( )A ．x －2y ＋3＝0B ．2x －y ＋3＝0C ．2x ＋y －3＝0D ．2x －y ＋6＝0解析：2x －y －3＝0与x 轴交点为(32，0)所以2x －y －3＝0关于x 轴的对称直线为2x ＋y －3＝0,2x ＋y －3＝0关于y 轴对称的直线为2x －y ＋3＝0，所以l 3的方程为2x －y ＋3＝0.选B.答案：B6．设两条平行直线的方程分别为x ＋y ＋a ＝0、x ＋y ＋b ＝0，已知a 、b 是关于x 的方程x 2＋x ＋c ＝0的两个实数根，且0≤c ≤18，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别为( )A.12，24B.2，22C.2，12D.22，12解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝－1ab ＝c，|a －b |＝(a ＋b )2－4ab ＝1－4c ，∵0≤c ≤18，∴|a－b |∈[22，1]，∴两直线间的距离d ＝|a －b |2∈[12，22]，∴两条直线之间的距离的最大值和最小值分别为22，12. 答案：D二、填空题(每小题5分，共20分)7．与直线3x ＋4y ＋12＝0平行，且与坐标轴构成的三角形面积是24的直线l 的方程是__________．解析：由题意可设直线l ：3x ＋4y ＋c ＝0，令x ＝0，y ＝－c 4，令y ＝0，x ＝－c 3，∴12·|c |4·|c |3＝24⇒c ＝±24，∴直线l ：3x ＋4y ±24＝0. 答案：3x ＋4y ±24＝08．点P (4cos θ，3sin θ)到直线x ＋y －6＝0的距离的最小值等于__________．解析：由点到直线的距离公式可得d ＝|4cos θ＋3sin θ－6|2＝|5sin(θ＋φ)－6|2∵－5≤5sin(θ＋φ)≤5，∴－11≤5sin(θ＋φ)－6≤－1.∴d min ＝22.答案：229．直线l 1：a 1x ＋b 1y ＋1＝0和直线l 2：a 2x ＋b 2y ＋1＝0的交点为(2,3)，则过两点Q 1(a 1，b 1)，Q 2(a 2，b 2)的直线方程为__________．解析：∵(2,3)为两直线l 1，l 2的交点，∴2a 1＋3b 1＋1＝0,2a 2＋3b 2＋1＝0，由此可知，点Q 1(a 1，b 1)，Q 2(a 2，b 2)都在直线2x ＋3y ＋1＝0上， 又∵l 1与l 2是两条不同的直线， ∴a 1与a 2，b 1与b 2不可能全相同， 因此Q 1，Q 2为不同的两点，∴过两点Q 1，Q 2的直线方程为2x ＋3y ＋1＝0. 答案：2x ＋3y ＋1＝010．(2009·全国卷Ⅰ)若直线m 被两平行线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75°其中正确答案的序号是________．(写出所有正确答案的序号)图2解析：两平行线间的距离为d ＝|3－1|1＋1＝2，如图2所示，可知直线m 与l 1、l 2的夹角为30°，l 1、l 2的倾斜角为45°，所以直线m 的倾斜角等于30°＋45°＝75°或45°－30°＝15°.故填①⑤.答案：①⑤三、解答题(共50分)11．(15分)等腰Rt△ABC 的斜边AB 所在的直线方程是3x －y ＋2＝0，C (145，25)，求直线AC 和直线BC 的方程和△ABC 的面积．解：k AB ＝3，设与直线AB 夹角为45°的直线斜率为k ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪k －31＋3k ＝tan45°＝1.∴k ＝12或－2.∴直线AC 、BC 的方程为y －25＝12(x －145)和y －25＝－2(x －145)， 即x －2y －2＝0和2x ＋y －6＝0， 又C 到直线AB 的距离d ＝10，∴S △ABC ＝12|AB |·d ＝12×210×10＝10.12．(15分)△ABC 中，A (1,4)，∠ABC 的平分线所在直线方程为x －2y ＝0，∠ACB 的平分线所在直线的方程为x ＋y －1＝0(如图3)，求BC 边所在直线的方程．图3解：设A 点关于直线x －2y ＝0的对称点为A 1(x 1，y 1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 1－4x 1－1＝－2x 1＋12－(y 1＋4)＝0，可解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝195y 1＝－85，即A 1(195，－85)，设点A 关于x ＋y －1＝0的对称点为A 2(x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 2－4x 2－1＝1，(x 2＋1)＋(y 2＋4)－2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－3y 2＝0.即A 2(－3,0)．则直线A 1A 2即直线BC 的方程为y ＝0－(－85)－3－195[x －(－3)]即4x ＋17y ＋12＝0.13．(20分)两条互相平行的直线分别过点A (6,2)和B (－3，－1)，并且各自绕着A 、B 旋转，如果两条平行直线间的距离为d ，求：(1)d 的变化范围；(2)当d 取最大值时，两条直线的方程．解：(1)方法1：①当两条直线的斜率不存在时，即两直线分别为x ＝6和x ＝－3，则它们之间的距离为9.②当两条直线的斜率存在时，设这两条直线方程为 l 1：y －2＝k (x －6)， l 2：y ＋1＝k (x ＋3)，即l 1：kx －y －6k ＋2＝0，l 2：kx －y ＋3k －1＝0.∴d ＝|3k －1＋6k －2|k 2＋1＝3|3k －1|k 2＋1，即(81－d 2)k 2－54k ＋9－d 2＝0. ∵k ∈R ，且d ≠9，d >0，∴Δ＝542－4(81－d 2)(9－d 2)≥0， 即0<d ≤310且d ≠9.综合①②可知，所求的d 的变化范围为(0,310]．图4方法2：如图4所示， 显然有0<d ≤|AB |.而|AB |＝(6＋3)2＋(2＋1)2＝310.故所求的d 的变化范围为(0,310]．(2)由图4可知，当d 取最大值时，两直线垂直于AB .而k AB ＝2－(－1)6－(－3)＝13，∴所求的直线的斜率为－3.故所求的直线方程分别为y －2＝－3(x －6)和y ＋1＝ －3(x ＋3)，即3x ＋y －20＝0和3x ＋y ＋10＝0.。
2019届人教B版(文科数学) 两直线的位置关系 单元测试
2018年高考数学【新课标版】【练】第九章 解析几何第二节 两条直线的位置关系A 基础巩固训练1. 【2018届重庆市第一中学高三上学期期中】过点，且在轴上的截距为3的直线方程是（ ） A. B.C.D.【答案】D2. “7a =-”是 “直线(3)453a x y a ++=-与直线2(5)8x a y ++=互相平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】由已知得，两条直线平行的充要条件是324553845aaa a +⎧-=-⎪⎪+⎨-⎪≠⎪+⎩，解得7a =-，故“7a =-”是 “直线(3)453a x y a ++=-与直线2(5)8x a y ++=互相平行”的充要条件，选C ． 3.【2017届湖北省浠水县实验高级中学高三12月测试】若三条直线2,3,50y x x y mx ny =+=++=相交于同一点，则点(),m n 到原点的距离的最小值为（）C.【答案】A4.【2017届江西省赣中南五校高三下学期期中】直线与两条直线，分别交于、两点，线段的中点坐标为，那么直线的斜率是（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】设 ， ，，解得： ，所以 ，所以直线的斜率，故选C.5.设,,a b c 分别是ABC ∆中所对边的边长，则直线与的位置关系是( )A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直 【答案】C【解析】要寻求直线与的位置关系，只要先求两直线的斜率，然后由斜率的关系判断直线的位置即可．由题意可得直线的斜率1sin Ak a =，的斜率的斜率2sin b k B =-,12212bsinA RsinBsinA k k asinB RsinAsinB=-=-=- 则直线与垂直B 能力提升训练1.【2017届陕西省咸阳市高三二模】已知命题p ：“1m =-”，命题q ：“直线0x y -=与直线20x m y +=互相垂直”，则命题p 是命题q 的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要 【答案】A【解析】命题q 中，直线20x m y += 的斜率是1,- 所以211, 1.m m-=-=± 命题p 是命题q 成立的充分不必要条件.选A.2.【2017届浙江省杭州市高三4月检测】设1k ， 2k 分别是两条直线1l ， 2l 的斜率，则“12//l l ”是“12k k =”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】因为12,l l 是两条不同的直线，所以若12//l l ，则12k k = ，反之，若12k k =，则12//l l .故选择C.3.如图所示，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是( )A ．．6 C ．．【解析】由题意知点P 关于直线AB 的对称点为D(4,2)，关于y 轴的对称点为C(－2,0)，则光线所经过的路程为|CD|＝A ．4.下列说法的正确的是（ ）A ．经过定点),(00y x 的直线都可以用方程)(00x x k y y -=-表示B ．经过定点)0A b ，（的直线都可以用方程b kx y +=表示C ．经过任意两个不同的点),(111y x P ，),(222y x P 的直线都可以用方程()()()()y y x x x x y y --=--121121表示D ．不经过原点的直线都可以用方程1=+bya x 表示 【答案】C5.平面直角坐标系中，直线y ＝2x ＋1关于点(1,1)对称的直线方程是( )A ．y ＝2x －1B ．y ＝－2x ＋1C ．y ＝－2x ＋3D ．y ＝2x －3 【答案】D【解析】在直线y ＝2x ＋1上任取两个点A(0,1)，B(1,3)，则点A 关于点(1,1)对称的点为M(2,1)，点B 关于点(1,1)对称的点为N(1，－1)．由两点式求出对称直线MN 的方程为y ＝2x －3，故选D 项．C 思维扩展训练1.已知点P 在y ＝x 2上，且点P 到直线y ＝x，这样的点P 的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】B【解析】∵点P 在y ＝x 2上，∴设P(t ，t 2)|t 2－t|＝1，解之得t 1t 2，∴P 点有两个，故选B ． 2.已知光线通过点()3,4M -，被直线l ：30x y -+=反射，反射光线通过点()2,6N ， 则反射光线所在直线的方程是 ． 【答案】660x y --= 【解析】 试题分析：()3,4M -关于直线l ：30x y -+=对称点为()1,0M '，所以反射光线所在直线的方程为6:(1),660.21M N y x x y '=---=-3.若直线l ：1(0,0)x ya b a b+=>>经过点(1,2)，则直线l 在x 轴和y 轴的截距之和的最小值是 ．【答案】3+．4.已知ABC ∆的三个顶点的坐标为(1,1),(3,2),(5,4)A B C ． （1）求边AB 上的高所在直线的方程；（2）若直线l 与AC 平行，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，求直线l 与两条坐标轴围成的三角形的周长．【答案】（1）2140x y +-=；（2）127. 【解析】 （1）12AB k =，∴边AB 上的高所在直线的斜率为2-， 又∵直线过点(5,4)C ∴直线的方程为：42(5)y x -=--，即2140x y +-=；（2）设直线l 的方程为：11x y a a +=+，即1a y x a a =-++ 34AC k =， 3,14a a ∴-=+解得：37a =- ∴直线l 的方程为：14377x y +=-，∴直线l 过点43(,0),(0,),77-57= ∴直线l 与坐标轴围成的直角三角形的周长为543127777++=． 注：设直线斜截式求解也可.5.已知|m |1<，直线12:1,:1l y mx l x my =+=-+， 12l l 与相交于点P ，1l 交y 轴于点A ，2l 交x 轴于点B （1）证明：12l l ⊥；（2）用m 表示四边形OAPB 的面积S ，并求出S 的最大值； （3）设S= f (m), 求1U S S=+的单调区间. 【答案】（1）见解析；（2）1；（3）在（－1，0）上为减函数，在（0，1）上为增函数.（3）221111U S m S m =+=+++, 又11(,1],(,1]22S U ∈且在是单调递减的函数, 而11S m =+2在（－1，0）上递增，在（0，1）上递减， 1U S S∴=+在（－1，0）上为减函数，在（0，1）上为增函数。
课时过关检测(五十三) 两直线的位置关系
课时过关检测（五十三） 两直线的位置关系1．直线2x ＋y ＋m ＝0和x ＋2y ＋n ＝0的位置关系是( ) A ．平行 B ．垂直 C ．相交但不垂直D.不能确定解析：选C 直线2x ＋y ＋m ＝0的斜率k 1＝－2，直线x ＋2y ＋n ＝0的斜率为k 2＝－12，则k 1≠k 2，且k 1k 2≠－1.2．已知两直线方程分别为l 1：x ＋y ＝1，l 2：ax ＋2y ＝0，若l 1⊥l 2，则a ＝( ) A ．2 B.－2 C.12D.－12解析：选B 因为l 1⊥l 2，所以k 1k 2＝－1，即a2＝－1，解得a ＝－2.3．直线2x ＋3y －k ＝0和直线x －ky ＋12＝0的交点在x 轴上，则k 的值为( ) A ．－24 B.24 C ．6D.±6解析：选A 直线2x ＋3y －k ＝0和直线x －ky ＋12＝0的交点在x 轴上，可设交点坐标为(a,0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －k ＝0，a ＋12＝0即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，k ＝－24.4．过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0垂直的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0D.x ＋2y －1＝0解析：选C 因为直线x －2y －2＝0的斜率为12，所以所求直线的斜率k ＝－2.所以所求直线的方程为y －0＝－2(x －1)， 即2x ＋y －2＝0.5．若点P 在直线3x ＋y －5＝0上，且P 到直线x －y －1＝0的距离为2，则点P 的坐标为( )A ．(1,2)B.(2,1) C ．(1,2)或(2，－1)D.(2,1)或(－1,2)解析：选C 设P (x,5－3x )，则d ＝|x －5＋3x －1|12＋(－1)2＝2，化简得|4x －6|＝2，即4x －6＝±2，解得x ＝1或x ＝2，故P (1，2)或(2，－1)．6．若直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m >0)与直线l 2：2x ＋6y －3＝0之间的距离为10，则m ＝( ) A ．7 B.172 C ．14D.17解析：选B 直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m >0)，即2x ＋6y ＋2m ＝0，因为它与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，所以||2m ＋34＋36＝10，解得m ＝172.7．已知坐标原点关于直线l 1：x －y ＋1＝0的对称点为A ，设直线l 2经过点A ，则当点B (2，－1)到直线l 2的距离最大时，直线l 2的方程为( )A ．2x ＋3y ＋5＝0 B.3x －2y ＋5＝0 C ．3x ＋2y ＋5＝0D.2x －3y ＋5＝0 解析：选B设A (x 0，y 0)，依题意可得⎩⎨⎧x 02－y 02＋1＝0，y0x 0＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝1，即A (－1,1)．设点B (2，－1)到直线l 2的距离为d ，当d ＝|AB |时d 取得最大值，此时直线l 2垂直于直线AB .所以直线l 2的斜率k ＝－1k AB ＝32，所以直线l 2的方程为y －1＝32(x ＋1)，即3x －2y ＋5＝0.故选B.8．若点P 在直线l ：x －y －1＝0上运动，且A (4,1)，B (2,0)，则|P A |＋|PB |的最小值是( ) A. 5 B. 6 C ．3D.4解析：选C 设A (4,1)关于直线x －y －1＝0的对称点为A ′(2,3)，则|P A |＋|PB |＝|P A ′|＋|PB |，当P ，A ′，B 三点共线时，|P A |＋|PB |取得最小值|A ′B |＝ (2－2)2＋(3－0)2＝3.9．已知直线l 1：ax ＋y －1＝0，直线l 2：x －y －3＝0，l 1的倾斜角为π4，则a ＝________；若l 1⊥l 2，则a ＝________；若l 1∥l 2，则两平行直线间的距离为________．解析：若直线l 1的倾斜角为π4，则－a ＝k ＝tan π4＝1，故a ＝－1；若l 1⊥l 2，则a ×1＋1×(－1)＝0，故a ＝1；若l 1∥l 2，则a ＝－1，l 1：x －y ＋1＝0，两平行直线间的距离d ＝|1－(－3)|2＝2 2.答案：－1 1 2 210．已知点A (5,2a －1)，B (a ＋1，a －4)，若|AB |取得最小值，则实数a 的值是________． 解析：|AB |＝(5－a －1)2＋(2a －1－a ＋4)2＝2a 2－2a ＋25＝2⎝⎛⎭⎫a －122＋492， 所以当a ＝12时，|AB |取得最小值．答案：1211．已知点P 1(2,3)，P 2(－4,5)和A (－1,2)，则过点A 且与点P 1，P 2距离相等的直线方程为________．解析：当直线与点P 1，P 2的连线所在的直线平行时，由直线P 1P 2的斜率k ＝3－52＋4＝－13，得所求直线的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当直线过线段P 1P 2的中点时，因为线段P 1P 2的中点坐标为(－1,4)，所以直线方程为x ＝－1.综上所述，所求直线方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1.答案：x ＋3y －5＝0或x ＝－112．(2019·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线y ＝x ＋4x (x >0)上的一个动点，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是________．解析：由题意可设P ⎝⎛⎭⎫x 0，x 0＋4x 0(x 0>0)， 则点P 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪x 0＋x 0＋4x 02＝⎪⎪⎪⎪2x 0＋4x 02≥22x 0·4x 02＝4，当且仅当2x 0＝4x 0，即x 0＝2时取等号．故所求最小值是4.答案：413．已知△ABC 的三个顶点是A (1,1)，B (－1,3)，C (3,4)． (1)求BC 边的高所在直线l 1的方程；(2)若直线l 2过C 点，且A ，B 到直线l 2的距离相等，求直线l 2的方程．解：(1)因为k BC ＝4－33＋1＝14，又直线l 1与BC 垂直，所以直线l 1的斜率k ＝－1k BC ＝－4，所以直线l 1的方程是y ＝－4(x －1)＋1，即4x ＋y －5＝0.(2)因为直线l 2过C 点且A ，B 到直线l 2的距离相等， 所以直线l 2与AB 平行或过AB 的中点M ， 因为k AB ＝3－1－1－1＝－1，所以直线l 2的方程是y ＝－(x －3)＋4，即x ＋y －7＝0.因为AB 的中点M 的坐标为(0,2)， 所以k CM ＝4－23－0＝23，所以直线l 2的方程是y ＝23(x －3)＋4，即2x －3y ＋6＝0. 综上，直线l 2的方程是x ＋y －7＝0或2x －3y ＋6＝0.。
课时过关检测(五十三) 两直线的位置关系
课时过关检测(五十三) 两直线的位置关系A 级——基础达标1．直线2x ＋y ＋m ＝0和x ＋2y ＋n ＝0的位置关系是( )A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．不能确定解析：选C 直线2x ＋y ＋m ＝0的斜率k 1＝－2，直线x ＋2y ＋n ＝0的斜率为k 2＝－12，则k 1≠k 2，且k 1k 2≠－1.2．已知直线l 过点(0,7)，且与直线y ＝－4x ＋2平行，则直线l 的方程为( )A ．y ＝－4x －7B ．y ＝4x －7C ．y ＝4x ＋7D ．y ＝－4x ＋7解析：选D 过点(0,7)且与直线y ＝－4x ＋2平行的直线方程为y －7＝－4x ，即直线l 的方程为y ＝－4x ＋7，故选D.3．点P 在直线3x ＋y －5＝0上，且点P 到直线x －y －1＝0的距离为2，则点P 的坐标为( )A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,2)或(2，－1)D ．(2,1)或(－1,2)解析：选C 设P (x,5－3x )，则d ＝|x －5＋3x －1|12＋(－1)2＝2，解得x ＝1或x ＝2，故P (1,2)或(2，－1)．4．若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋ny ＋5＝0相交于同一点，则点(m ，n )到原点的距离的最小值为( )A. 5B. 6 C ．2 3D ．2 5 解析：选A 联立{y ＝2x ，x ＋y ＝3， 解得x ＝1，y ＝2.把(1,2)代入mx ＋ny ＋5＝0可得，m ＋2n ＋5＝0.∴m ＝－5－2n .∴点(m ，n )到原点的距离d ＝m 2＋n 2＝(5＋2n )2＋n 2＝5(n ＋2)2＋5≥ 5.当n ＝－2，m ＝－1时取等号，∴点(m ，n )到原点的距离的最小值为5，故选A.5．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2恒过定点( )A ．(0,4)B ．(0,2)C ．(－2,4)D ．(4，－2)解析：选B 直线l 1：y ＝k (x －4)恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)．又由于直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，故直线恒过定点(0,2)．6．(2021·宝鸡模拟)光线沿着直线y ＝－3x ＋b 射到直线x ＋y ＝0上，经反射后沿着直线y ＝ax ＋2射出，则有( )A ．a ＝13，b ＝6 B ．a ＝－3，b ＝16 C ．a ＝3，b ＝－16 D ．a ＝－13，b ＝－6 解析：选D 由题意，直线y ＝－3x ＋b 与直线y ＝ax ＋2关于直线y ＝－x 对称，所以直线y ＝ax ＋2上的点(0,2)关于直线y ＝－x 的对称点(－2,0)在直线y ＝－3x ＋b 上， 所以(－3)×(－2)＋b ＝0，所以b ＝－6，所以直线y ＝－3x －6上的点(0，－6)关于直线y ＝－x 的对称点(6,0)在直线y ＝ax ＋2上，所以6a ＋2＝0，所以a ＝－13. 7．若直线y ＝－33x ＋1和x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，以线段AB 为边在第一象限内作等边△ABC .若在第一象限内有一点P ⎝⎛⎭⎫m ，12，使得△ABP 和△ABC 的面积相等，则m 的值为( ) A.332 B ．2 3 C.532 D ．3 3解析：选C 过点C 作直线l ，使l ∥AB ，则点P 在直线l 上．由题意易知，A (3，0)，B (0,1)，则|AB |＝2，所以点C 到直线AB 的距离d ＝22－12＝ 3. 直线AB 的方程可化为3x ＋3y －3＝0，由△ABP 和△ABC 的面积相等，可知点P 到直线AB 的距离等于点C 到直线AB的距离，即⎪⎪⎪⎪3m ＋3×12－3(3)2＋32＝3，解得m ＝－332或m ＝532.因为点P 在第一象限，所以m ＝532.故选C. 8．若点P 在直线l ：x －y －1＝0上运动，且A (4,1)，B (2,0)，则|P A |＋|PB |的最小值是( )A. 5B. 6 C ．3 D ．4解析：选C 设A (4,1)关于直线x －y －1＝0的对称点为A ′(2,3)，则|P A |＋|PB |＝|P A ′|＋|PB |，当P ，A ′，B 三点共线时，|P A |＋|PB |取得最小值|A ′B |＝(2－2)2＋(3－0)2＝3.9．已知直线l 1：ax ＋y －1＝0，直线l 2：x －y －3＝0，l 1的倾斜角为π4，则a ＝________；若l 1⊥l 2，则a ＝________；若l 1∥l 2，则两平行直线间的距离为________．解析：若直线l 1的倾斜角为π4，则－a ＝k ＝tan π4＝1，故a ＝－1；若l 1⊥l 2，则a ×1＋1×(－1)＝0，故a ＝1；若l 1∥l 2，则a ＝－1，l 1：x －y ＋1＝0，两平行直线间的距离d ＝|1－(－3)|2＝2 2.答案：－1 1 2 210．已知点A (5,2a －1)，B (a ＋1，a －4)，若|AB |取得最小值，则实数a 的值是________． 解析：|AB |＝(5－a －1)2＋(2a －1－a ＋4)2 ＝2a 2－2a ＋25＝2⎝⎛⎭⎫a －122＋492， 所以当a ＝12时，|AB |取得最小值． 答案：1211．已知0＜k ＜4，直线l 1：kx －2y －2k ＋8＝0和直线l 2：2x ＋k 2y －4k 2－4＝0与坐标轴围成一个四边形，则使这个四边形面积最小的k 的值为________．解析：直线l 1，l 2恒过点P (2,4)，直线l 1在y 轴上的截距为4－k ，直线l 2在x 轴上的截距为2k 2＋2，因为0＜k ＜4, 所以4－k ＞0,2k 2＋2＞0，所以四边形的面积S ＝12×2×(4－k )＋12×4×(2k 2＋2)＝4k 2－k ＋8，故当k ＝18时，面积最小． 答案：1812．已知点P 1(2,3)，P 2(－4,5)和A (－1,2)，则过点A 且与点P 1，P 2距离相等的直线方程为________．解析：当直线与点P 1，P 2的连线所在的直线平行时，由直线P 1P 2的斜率k ＝3－52＋4＝－13，得所求直线的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当直线过线段P 1P 2的中点时，因为线段P 1P 2的中点坐标为(－1,4)，所以直线方程为x ＝－1.综上所述，所求直线方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1.答案：x ＋3y －5＝0或x ＝－1B 级——综合应用13．(2021·陕西渭南一模)唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x 2＋y 2≤1，若将军从点A (2，0)处出发，河岸线所在直线方程为x ＋y ＝3，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为( )A.10－1B ．22－1C ．2 2 D.10解析：选A 设点A (2,0)关于直线x ＋y ＝3的对称点为A ′(a ，b )，AA ′的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a 2，b 2，k AA ′＝b a －2， 故⎩⎪⎨⎪⎧ b a －2·(－1)＝－1，a ＋22＋b 2＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝1.从点A 到河岸，再到军营的最短总路程，即为点A ′到军营最短的距离，故“将军饮马”的最短总路程为32＋12－1＝10－1，故选A.14．设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P(x，y)，则|P A|·|PB|的最大值是________．解析：易知定点A(0,0)，B(1,3)，且无论m取何值，两直线垂直．所以无论P与A，B重合与否，均有|P A|2＋|PB|2＝|AB|2＝10(P在以AB为直径的圆上)．所以|P A|·|PB|≤12＋|PB|2)＝5.当且仅当|P A|＝|PB|＝5时等号成立．2(|P A|答案：5。
数学人教版必修2(B) 两条直线的位置关系 练习解析2_1
两条直线的位置关系 练习解析1.已知点(3，m)到直线x+3y －4=0的距离等于1，则m 等于( )A ．3B ．－3C ．－33D ．3或－33 【解析】由131|433|=+-+m ,得3,213,2|13|=±=-=-m m m 或m=－33．【答案】D2.点P 在直线x+y －4=0上，O 是坐标原点，则|OP|的最小值是( ) A.10 B.22 C.6 D.2【解析】原点到直线x+y －4=0的距离就是|OP|的最小值.由点到直线的距离公式,得|OP|的最小值为2211|400|22=+-+.【答案】B3.x 轴上一点(m,0)到一、三象限平分线的距离为( )A.2|m|B.2||2mC. 2|m|D.|m|【解析】一、三象限平分线的方程为x －y=0，∴点(m,0)到一、三象限平分线的距离为2||2)1(1|0|2m m =-+-．【答案】B4.两平行直线l1:3x+4y －2=0，l2:6x+8y －5=0的距离等于( )A ．3B ．0.1C ．0.5D ．7 【解析】方程6x+8y －5=0可化为3x+4y －25=0.∴直线3x+4y －2=0到直线3x+4y－25=0的距离为1.010143|)2(25|22==+---.【答案】B5.已知点P （-3，-2）到直线5x-12y+10=0的距离与到5x-12y+c=0的距离相等，则c= . 【解析】由题意知22)12(5|10)2(12)3(5|-++-⨯--⨯=22)12(5|)2(12)3(5|-++-⨯--⨯c ，∴c=10或c=-38.【答案】-386.点P 到直线y=3x-2的距离等于11，则点P 的坐标（x ，y ）应满足的关系式为 . 【解析】把直线的方程写成3x-y-2=0，由点到直线的距离公式，得 13|23|+--y x =11. ∴3x-y-2=±22.∴3x-y-24=0或3x-y+20=0. 【答案】3x-y-24=0或3x-y+20=0.。
2019届北师大版(文科数学) 两条直线的位置关系(普通高中) 单元测试 (1)
（四十七） 两条直线的位置关系(一)普通高中适用A 级——基础小题练熟练快1．过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0垂直的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0解析 选C 因为直线x －2y －2＝0的斜率为12，所以所求直线的斜率 ＝－2.所以所求直线的方程为y －0＝－2(x －1)， 即2x ＋y －2＝0.2．(2018·北京顺义区检测)若直线y ＝－2x ＋3 ＋14与直线x －4y ＝－3 －2的交点位于第四象限，则实数 的取值范围是( )A ．(－6，－2)B ．(－5，－3)C ．(－∞，－6)D ．(－2，＋∞)解析 选A 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－2x ＋3k ＋14，x －4y ＝－3k －2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ＋6，y ＝k ＋2，因为直线y ＝－2x ＋3 ＋14与直线x －4y ＝－3 －2的交点位于第四象限，所以 ＋6＞0且 ＋2＜0，所以－6＜ ＜－2.3．已知直线l 的倾斜角为3π4，直线l 1经过点A (3,2)和B (a ，－1)，且直线l 与l 1平行，则实数a 的值为( )A ．0B ．1C ．6D ．0或6解析 选C 由直线l 的倾斜角为3π4得l 的斜率为－1，因为直线l 与l 1平行，所以l 1的斜率为－1. 又直线l 1经过点A (3,2)和B (a ，－1)，所以l 1的斜率为33－a ，故33－a＝－1，解得a ＝6.4．若点P 在直线3x ＋y －5＝0上，且P 到直线x －y －1＝0的距离为2，则点P 的坐标为( )A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,2)或(2，－1)D ．(2,1)或(－1,2)解析 选C 设P (x,5－3x )，则d ＝|x －5＋3x －1|12＋(－1)2＝2，化简得|4x －6|＝2，即4x －6＝±2，解得x ＝1或x ＝2，故P (1，2)或(2，－1)．5．(2018·西安一中检测)若直线l 1 y ＝ (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2过定点( )A ．(0,4)B ．(0,2)C ．(－2,4)D ．(4，－2)解析 选B 由题知直线l 1过定点(4,0)，则由条件可知，直线l 2所过定点关于(2,1)对称的点为(4,0)，故可知直线l 2所过定点为(0,2)，故选B.6．已知点P (－2,0)和直线l (1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y －(2＋5λ)＝0(λ∈R)，则点P 到直线l 的距离d 的最大值为( )A ．2 3 B.10 C.14D ．215解析 选B 由(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y －(2＋5λ)＝0，得(x ＋y －2)＋λ(3x＋2y －5)＝0，此方程是过直线x ＋y －2＝0和3x ＋2y －5＝0交点的直线系方程．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，3x ＋2y －5＝0，可知两直线的交点为Q (1,1)，故直线l 恒过定点Q (1,1)，如图所示，可知d ＝|PH |≤|PQ |＝10，即d 的最大值为10.7．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是____________．解析 由题意得直线x －2y ＋1＝0与直线x ＝1的交点坐标为(1,1)．又直线x －2y ＋1＝0上的点(－1,0)关于直线x ＝1的对称点为(3,0)，所以由直线方程的两点式，得y －01－0＝x －31－3，即x ＋2y －3＝0.答案 x ＋2y －3＝08．与直线l 1 3x ＋2y －6＝0和直线l 2 6x ＋4y －3＝0等距离的直线方程是________． 解析 l 2 6x ＋4y －3＝0化为3x ＋2y －32＝0，所以l 1与l 2平行，设与l 1，l 2等距离的直线l 的方程为3x ＋2y ＋c ＝0，则|c ＋6|＝⎪⎪⎪⎪c ＋32，解得c ＝－154，所以l 的方程为12x ＋8y －15＝0.答案 12x ＋8y －15＝09．已知点A (－3，－4)，B (6,3)到直线l ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值为________．解析 由题意及点到直线的距离公式得|－3a －4＋1|a 2＋1＝|6a ＋3＋1|a 2＋1，解得a ＝－13或－79.答案 －13或－7910．(2018·湘中名校联考)已知l 1，l 2是分别经过A (1,1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，则直线l 1的方程是________________．解析 当直线AB 与l 1，l 2垂直时，l 1，l 2间的距离最大．因为A (1,1)，B (0，－1)，所以 AB＝－1－10－1＝2，所以两平行直线的斜率为 ＝－12，所以直线l 1的方程是y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.答案 x ＋2y －3＝0B 级——中档题目练通抓牢1．已知A (1,2)，B (3,1)两点到直线l 的距离分别是2，5－2，则满足条件的直线l 共有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析 选C 当A ，B 两点位于直线l 的同一侧时，一定存在这样的直线l ，且有两条．又|AB |＝(3－1)2＋(1－2)2＝5，而点A 到直线l 与点B 到直线l 的距离之和为2＋5－2＝5，所以当A ，B 两点位于直线l 的两侧时，存在一条满足条件的直线．综上可知满足条件的直线共有3条．故选C.2．若动点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)分别在直线l 1 x －y －5＝0，l 2 x －y －15＝0上移动，则P 1P 2的中点P 到原点的距离的最小值是( )A.522B ．5 2C.1522D ．15 2解析 选B 由题意得P 1P 2的中点P 的轨迹方程是x －y －10＝0，则原点到直线x －y －10＝0的距离为d ＝|－10|2＝52，即P 到原点距离的最小值为5 2.3．已知A ，B 两点分别在两条互相垂直的直线2x －y ＝0和x ＋ay ＝0上，且AB 线段的中点为P ⎝⎛⎭⎫0，10a ，则线段AB 的长为( ) A ．11 B ．10 C ．9D ．8解析 选B依题意，a ＝2，P (0,5)，设A (x,2x )，B (－2y ，y )，故⎩⎪⎨⎪⎧x －2y2＝0，2x ＋y 2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2，所以A (4,8)，B (－4,2)，故|AB |＝(4＋4)2＋(8－2)2＝10. 4．(2018·湖南东部十校联考)经过两条直线2x ＋3y ＋1＝0和x －3y ＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x ＋4y －7＝0的直线方程为________________．解析 法一 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋1＝0，x －3y ＋4＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－53，y ＝79，即交点为⎝⎛⎭⎫－53，79， ∵所求直线与直线3x ＋4y －7＝0垂直， ∴所求直线的斜率为 ＝43.由点斜式得所求直线方程为y －79＝43⎝⎛⎭⎫x ＋53， 即4x －3y ＋9＝0.法二 由垂直关系可设所求直线方程为4x －3y ＋m ＝0，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋1＝0，x －3y ＋4＝0，可解得交点为⎝⎛⎭⎫－53，79， 代入4x －3y ＋m ＝0，得m ＝9， 故所求直线方程为4x －3y ＋9＝0. 法三 由题意可设所求直线的方程为 (2x ＋3y ＋1)＋λ(x －3y ＋4)＝0， 即(2＋λ)x ＋(3－3λ)y ＋1＋4λ＝0， ① 又因为所求直线与直线3x ＋4y －7＝0垂直， 所以3(2＋λ)＋4(3－3λ)＝0，所以λ＝2，代入①式得所求直线方程为4x －3y ＋9＝0. 答案 4x －3y ＋9＝05．(2018·豫北重点中学联考)已知直线l 在两坐标轴上的截距相等，且点A (1,3)到直线l 的距离为2，则直线l 的方程为________________．解析 当直线过原点时，设直线方程为y ＝ x ，由点A (1,3)到直线l 的距离为2，得|k －3|1＋k 2＝2，解得 ＝－7或 ＝1，此时直线l 的方程为y ＝－7x 或y ＝x ；当直线不过原点时，设直线方程为x ＋y ＝a ，由点A (1,3)到直线l 的距离为2，得|4－a |2＝2，解得a ＝2或a ＝6，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0或x ＋y －6＝0.综上所述，直线l 的方程为y ＝－7x 或y ＝x 或x ＋y －2＝0或x ＋y －6＝0. 答案 y ＝－7x 或y ＝x 或x ＋y －2＝0或x ＋y －6＝06．已知两条直线l 1 ax －by ＋4＝0和l 2 (a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．(1)l 1⊥l 2，且l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． 解 (1)由已知可得l 2的斜率存在， ∴ 2＝1－a .若 2＝0，则1－a ＝0，a ＝1. ∵l 1⊥l 2，直线l 1的斜率 1必不存在，∴b ＝0.又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋4＝0，即a ＝43(矛盾)，∴此种情况不存在，∴ 2≠0，即 1， 2都存在． ∵ 2＝1－a ， 1＝ab ，l 1⊥l 2，∴ 1 2＝－1，即ab (1－a )＝－1.① 又∵l 1过点(－3，－1)， ∴－3a ＋b ＋4＝0.②由①②联立，解得a ＝2，b ＝2. (2)∵l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在， 1＝ 2，即ab ＝1－a .③又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l 1∥l 2， ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b ＝b .④联立③④，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝2.∴a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.7．已知△ABC 的顶点A (5,1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，求直线BC 的方程．解 依题意知 AC ＝－2，A (5,1)， ∴l AC 的方程为2x ＋y －11＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，得C (4,3)．设B (x 0，y 0)，则AB 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋52，y 0＋12，代入2x －y －5＝0，得2x 0－y 0－1＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0，得B (－1，－3)，∴ BC ＝65，∴直线BC 的方程为y －3＝65(x －4)，即6x －5y －9＝0.C 级——重难题目自主选做1．已知P (x 0，y 0)是直线l Ax ＋By ＋C ＝0外一点，则方程Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0表示( )A ．过点P 且与l 垂直的直线B ．过点P 且与l 平行的直线C ．不过点P 且与l 垂直的直线D ．不过点P 且与l 平行的直线解析 选D 因为P (x 0，y 0)是直线l Ax ＋By ＋C ＝0外一点， 设Ax 0＋By 0＋C ＝ ， ≠0.若方程Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0， 则Ax ＋By ＋C ＋ ＝0.因为直线Ax ＋By ＋C ＋ ＝0和直线l 斜率相等， 但在y 轴上的截距不相等，故直线Ax ＋By ＋C ＋ ＝0和直线l 平行． 因为Ax 0＋By 0＋C ＝ ，而 ≠0， 所以Ax 0＋By 0＋C ＋ ≠0，所以直线Ax ＋By ＋C ＋ ＝0不过点P .2．设两条直线的方程分别为x ＋y ＋a ＝0，x ＋y ＋b ＝0，已知a ，b 是方程x 2＋x ＋c ＝0的两个实根，且0≤c ≤18，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是( )A.22，12B.2，22C.2，12D.24，14解析 选A 由题意a ，b 是方程x 2＋x ＋c ＝0的两个实根，所以ab ＝c ，a ＋b ＝－1.又直线x ＋y ＋a ＝0与x ＋y ＋b ＝0的距离d ＝|a －b |2，所以d 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|a －b |22＝(a ＋b )2－4ab2＝(－1)2－4c2＝12－2c，而0≤c≤18，所以12－2×18≤12－2c≤12－2×0，得14≤12－2c≤12，所以12≤d≤22，故选A.。
2019-2020学年高中数学人教B版必修2学业测评：2.2.3 两条直线的位置关系 Word版含解析
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列说法正确的有( )①若两直线斜率相等，则两直线平行；②若l 1∥l 2，则k 1＝k 2；③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交； ④若两直线斜率都不存在，则两直线平行．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】 当k 1＝k 2时，l 1与l 2平行或重合，①不成立；②中斜率不存在时，不正确；④同①也不正确．只有③正确，故选A.【答案】 A2．若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0和x ＋ky ＝0相交于一点，则k ＝( )A ．－2B ．－12C ．2 D.12【解析】 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝－2.代入x ＋ky ＝0，得k ＝－12. 【答案】 B 3．直线x ＋a 2y ＋6＝0和直线(a －2)x ＋3ay ＋2a ＝0没有公共点，则a 的值是( )A ．1B ．0C ．－1D ．0或－1【解析】 两直线无公共点，即两直线平行，∴1×3a －a 2(a －2)＝0，∴a ＝0或－1或3，经检验知a ＝3时两直线重合．【答案】 D4．以A(1,3)和B(－5,1)为端点的线段AB的中垂线方程是( ) A．3x－y＋8＝0 B．3x＋y＋4＝0C．2x－y－6＝0 D．3x＋y＋8＝0【解析】k AB＝3－11＋5＝13，AB的中点坐标为(－2,2)，AB的中垂线与AB垂直且过AB的中点，故k＝－3，∴方程为y－2＝－3(x＋2)，即3x＋y＋4＝0.【答案】 B5．点(－2,3)关于直线y＝x＋1的对称点的坐标为( )A．(2，－1) B．(3,0)C．(3，－1) D．(2,0)【解析】设对称点为(x，y)，∴y－3x＋2＝－1，即x＋y－1＝0①又∵y＋32＝x－22＋1，∴y＋3＝x，②解①②得，x＝2，y＝－1，故选A.【答案】 A二、填空题6．若直线ax＋2y＋3a＝0与直线3x＋(a－1)y＝－7＋a平行，则实数a的值为_____________ __________________________________．【解析】显然当a＝1时两直线不平行；当a≠1时，因为两条直线平行，所以－a2＝31－a，解得a＝3或a＝－2.经检验，a＝－2时两直线重合，故a＝3.【答案】 37．已知定点M(0,2)、N(－2,0)，直线l：kx－y－2k＋2＝0(k为常数)，若点M、N到直线l的距离相等，则实数k的值是________．【解析】直线l的方程为kx－y－2k＋2＝0，即y－2＝k(x－2)，恒过定点(2,2)．又点M、N到直线l的距离相等，∴直线MN与直线l平行或MN的中点在直线l上，即k＝2－00＋2＝1或k·0－22－2＋02－2k＋2＝0，k＝13.∴k＝1或k＝1 3 .【答案】1或1 38．已知直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0互相垂直，垂足为(1，p)，则m＋n－p＝______ __.【解析】由两条直线垂直，得k1·k2＝－1，即－m4·25＝－1，∴m＝10，直线为10x＋4y－2＝0，又∵垂足为(1，p)，故p＝－2，∴垂足为(1，－2)，代入2x－5y＋n＝0，得n＝－12，故m＋n－p＝10＋(－12)－(－2)＝0.【答案】0三、解答题9．已知A(1，－1)，B(2,2)，C(3,0)三点，求点D的坐标，使CD⊥AB，且BC∥AD. 【解】设点D的坐标为(x，y)，由题意知直线CD、AD的斜率都存在．因为k AB＝错误!＝3，k CD＝错误!且CD⊥AB，所以k AB·k CD＝－1，即3×yx－3＝－1.①因为k BC＝2－02－3＝－2，k AD＝y＋1x－1且BC∥AD，所以k BC＝k AD，即－2＝y＋1x－1.②由①②可得，x＝0，y＝1，所以点D的坐标为(0,1)．10．(1)求与直线2x＋3y＋5＝0平行，且在两坐标轴上的截距之和为56的直线的方程；(2)求过两条直线x－y＋5＝0和3x＋4y－2＝0的交点，且垂直于直线3x－2y＋4＝0的直线方程．【解】 (1)设直线的方程为2x ＋3y ＋λ＝0(λ≠5)，令x ＝0，则在y 轴上的截距为b ＝－λ3；令y ＝0，则在x 轴上的截距为a ＝－λ2，由a ＋b ＝－λ2－λ3＝56，得λ＝－1，∴所求直线方程为2x ＋3y －1＝0.(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋5＝0，3x ＋4y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－187，y ＝177，即已知的两条直线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－187，177.设所求直线方程为－2x －3y ＋C ＝0，将点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－187，177代入方程得，C ＝157，故所求直线方程为－2x －3y ＋157＝0，即14x ＋21y －15＝0.[能力提升]1．与直线y ＝2x ＋1垂直，且在y 轴上的截距为4的直线的斜截式方程是() 【导学号：60870068】A ．y ＝12x ＋4B ．y ＝2x ＋4C ．y ＝－2x ＋4D ．y ＝－12x ＋4【解析】 ∵直线y ＝2x ＋1的斜率为2，∴与其垂直的直线的斜率是－12，∴直线的斜截式方程为y ＝－12x ＋4，故选D. 【答案】 D2．已知两点A (2,0)，B (3,4)，直线l 过点B ，且交y 轴于点C (0，y )，O 是坐标原点，有O ，A ，B ，C 四点共圆，那么y 的值是( )A ．19 B.194C ．5D ．4【解析】 由题意知AB ⊥BC ，∴k AB ·k BC ＝－1，即4－03－2×4－y 3－0＝－1，解得y ＝194，故选B.【答案】 B3．过点A (－1,3)且平行于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为________．【解析】 由题意可设所求直线方程为x －2y ＋m ＝0，将点A (－1,3)代入，可得m ＝7，所以所求直线的方程为x －2y ＋7＝0.【答案】 x －2y ＋7＝04．已知△ABC 的顶点A (3，－1)，AB 边上的中线所在直线的方程为6x ＋10y －59＝0，∠B 的平分线所在直线的方程为x －4y ＋10＝0，求BC 边所在直线的方程．【解】 设A 关于∠B 的平分线的对称点为A ′(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x0＋32－4×y0－12＋10＝0，y0＋1x0－3×14＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x0＝1，y0＝7.即A ′(1,7)．设B 的坐标为(4a －10，a )，所以AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4a －72，a －12在直线6x ＋10y －59＝0上， 所以6×4a －72＋10×a －12－59＝0，所以a ＝5， 即B (10,5)．由直线的两点式方程可得直线BC 的方程为2x ＋9y －65＝0.。
人教B版高中数学必修二两条直线的位置关系同步练习(5)
两条直线的位置关系【目标要求】(1)熟练掌握两条直线平行与垂直的条件，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系． （2）能够根据两条直线的方程求出它们的交点坐标． （3）进一步掌握求直线方程的方法． （4）进一步理解直线方程的概念，理解运用直线的方程讨论两条直线位置关系的思想方法． 合的思想方法．【巩固教材——稳扎马步】1．下列两条直线12:2560:40l x y l x y +-=-+=与的交点是( )A ． (2,2)-B ． (2,2)-C ． (2,4)-D ．(4,2)-2．直线21x ay -=和221x ay -=平行，则实数a 为( )A ． 0B ． -1C ． 1D ．2 3．已知1:210l x my +-=与2:320l x y n +-=重合则, m n 应当满足( ) A ．33,24m n == B ． 24,33m n == C ．34,23m n == D ．43,32m n == 4．若直线()()2243660a a x a a y ++++--=与y 轴垂直，则a 等于 ( ) A ．-3或-1 B ．2或-3 C ．-1 D ．2【重难突破——重拳出击】5．下列说法中，正确的是( ) A.若直线1l 与2 l 的斜率相等，则1l ∥2 l . B.若直线1l 与2 l 互相平行，则它们的斜率相等.C.直线1l 与2 l 中，若一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则1l 与2 l 一定相交.D.若直线1l 与2 l 的斜率都不存在，则1l ∥2 l6．过点A(1.2)和点B(-3,2)的直线于直线0y =的位置关系是（ ）A ． 相交B ．平行C ．重合D ．以上都不对7．如果直线212:260:(1)(1)0l ax y l x a y a ++=+-+-=与直线平行但不重合，则a 的值等于( )A ． -1或2B ．-1C ．2D ．238．如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率是( ) A ．13- B ． -3 C ．13D ．3 9．已知定点()()2,3,3,2,A B ---直线l 过点()1,1P 且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是( ) A ．344k k ≥≤-或 B ．344k -≤≤ C ． 3144k k ≥≤-或 D ．344k -≤≤ 10．直线320x y m ++=和直线()213230m x y m +-+-=的位置关系是（ ）A ．平行B ．相交C ．重合D ．视m 的取值而定11．已知直线420mx y +-=与250x y n -+=垂直，垂足为()1,p ，则m n p -+的值为 （ ）A ．24B ．20C ．0D ．-112．设a b 、、c 分别是△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对应边的边长，则直线sin 0x A ay C ⋅++=与sin sin 0by y B C -⋅+=的位置关系是( )A ． 相交B ．平行C ．重合D ．垂直 【巩固提高——登峰揽月】13.已知直线l 的方程为3x+4y-12＝0，求直线'l 的方程，使得： (1)'l 与l 平行，且过点(-1，3)；(2)'l 与l 垂直，且'l 与两轴围成的三角形面积为4.14.求经过两条直线0132=++y x 和043=+-y x 的交点，并且垂直于直线0743=-+y x 的直线的方程：【课外拓展——超越自我】15.对于直线l 上任一点（y x ,），点（y x y x 3,24++）仅在l 上，求直线l 的方程16. 已知两定点A （2，5），B （-2，1），M 和N 是过原点的直线l 上两个动点，坐标。
必修2数学2.2.3两条直线的位置关系同步练习人教B版附答案
适用精选文件资料分享必修 2 数学两条直线的地点关系同步练习（人教 B 版附答案）1．已知直线 l1 ：(k －3)x ＋(4 －k)y ＋1＝0 与 l2 ：2(k －3)x －2y＋3＝0 平行，则 k 的值是 ()．A．1或3B．1 或 5C．3或 5D．1 或 2 2．由直线 2x－y＋2＝0，x－3y－3＝0 和 6x＋2y＋5＝0 围成的三角形为 ( ) ．A ．直角三角形 B ．等边三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形 3 ．已知会集 A＝{(x ，y)|x ＋y＝0，x，y R}，B＝{(x ，y)|x －y＝0，x，y R}，则会集 A B 的元素个数是 () ． A ．0 B．1 C．2 D．3 4 ．若直线 l ：y＝kx－1 与直线 x＋y－1＝ 0 的交点位于第一象限，则实数 k的取值范围是 () ．A ．( －∞，－1) B．( －∞，－ 1] C．(1 ，＋∞ )D．[1 ，＋∞ )5．若直线 l 经过点 M(a－2，－1) 和 N(－a－2,1) 且与经过点 ( －2,1)，斜率为的直线垂直，则实数 a 的值为 () ． A ． B ． C． D ． 6 ．已知直线 l1 ：x－y－1＝0，l2 ：2x－y＋3＝0，l3 ：x＋my－5＝0，若 l1 ，l2，l3 只有两个交点，则 m＝__________. 7 ．已知直线 l过点 P(3,1)，且被两平行直线 l1 ：x＋y＋1＝0 和 l2：x＋y＋6＝0 截得的线段长度为 5，求直线l的方程． 8 ．(1) 求点 A(3,2) 关于点 B( －3,4) 的对称点 C的坐标；(2)求直线 3x－y－4＝0 关于点 P(2 ，－1) 对称的直线 l 的方程； (3)求点 A(2,2) 关于直线 2x－4y＋9＝0 的对称点的坐标．9. 求证：不论 m取何值，直线 (2m－1)x －(m＋3)y －m＋11＝0 恒过必定点．参照答案 1. 答案： C 2. 答案： A 3. 答案： B 4. 答案： C 分析：如图，作出直线 x＋y－1＝0 的图象，它与 x 轴、y 轴的交点分别为 (1,0) 、(0,1) ，直线 y＝kx－1 过点 (0 ，－ 1) ，所以，直线 y＝kx－1 与直线x＋y －1＝0 的交点在第一象限时， k＞1，应选 C． 5. 答案：A 6. 答案：－1 或分析：∵l1 与 l2 订交，则只需 l1 ∥l3 或 l2 ∥l3 ．7. 解：设直线 l 与 l1 、l2 的交点分别为 A(x1，y1) ，B(x2，y2) ，则 x1＋y1＋1＝0，x2＋y2＋6＝0，两式相减得 (x1 －x2) ＋(y1 －y2) ＝5，①∵|AB| ＝5，∴(x1 －x2)2 ＋(y1 －y2)2 ＝25，② 联立①②可得：或由上可知，直线 l 的倾斜角分别为 0°或 90°，故所求直线的方程为 x＝3 或 y＝1． 8. 解： (1) 设 C(x，y) ，由中点坐标公式得解得故所求的对称点的坐标为 C(－9,6) ． (2) 设直线 l 上任一点为 (x ，y) ，它关于点 P(2，－ 1) 的对称点 (4 －x，－ 2－y) 在直线 3x－y－4＝0适用精选文件资料分享上．∵3(4 － x) －( －2－y) －4＝0，∴ 3x－y－10＝0. ∴所求直线 l的方程为 3x－y－10＝0. (3) 设 B(a，b) 是 A(2,2) 关于直线 2x－4y＋9＝0 的对称点，依据直线AB与已知直线垂直，且线段AB的中点在已知直线2x－4y＋9＝0 上，则有解得a＝1，b＝4．∴所求的对称点坐标为 (1,4) ． 9. 证明：证法一：取 m＝0，得直线 x＋3y－11＝0，取 m＝1，得直线 x－4y＋10＝0，解方程组得两直线的交点为(2,3) ，将 (2,3) 代入原方程有 (2m－1) ×2－ (m＋3) ×3－ m＋11＝0恒成立．∴不论 m取何值，直线 (2m－1)x －(m＋3)y －m＋11＝0 恒过定点 (2,3) ．证法二：将原方程变形为 (2x －y－1)m－(x ＋3y－11)＝0，若对任意的 m R，上式恒成立，则解得∴直线 (2m－1)x －(m＋3)y －m＋11＝0 恒过定点 (2,3) ．。
2019届人教B版(文科数学) 直线的位置关系 单元测试
2019届人教B 版（文科数学） 直线的位置关系 单元测试1．过两直线3x ＋y −1=0与x ＋2y −7=0的交点且与第一条直线垂直的直线方程是 A ．x −3y ＋7=0 B ．x −3y ＋13=0 C ．3x −y ＋7=0D ．3x −y −5=02．已知m 为实数,直线1:10l mx y +-=,()2:3220l m x my -+-=,则“1m =”是“12l l ∥”的 A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．已知倾斜角为α的直线l 与直线x+2y-3=0垂直,则cos(-2α)的值为A ．B ．-C ．2D ．-4．若直线l 1:x+ay+6=0与l 2:(a-2)x+3y+2a =0平行,则两直线间的距离为A ．2B ．2C ．D ．5．直线420ax y +-=与直线250x y b -+=垂直，垂足为()1,c ，则a b c ++= A ．2- B ．4- C ．6-D ．8-6．若点102（，）到直线:300l x y m m ++=>（），则m =A ．7B ．172C ．14D ．177．设两条直线的方程分别为0x y a ++=，0x y b ++=，已知a ，b 是方程20x x c ++=的两个实根，且108c ≤≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是A ，12BC ，12D ，14 8．设直线1:210l x y -+=与直线2:30l mx y ++=的交点为A ，,P Q 分别为12,l l 上任意两点，点M 为,P Q 的中点，若12AM PQ =，则m 的值为 A ．2B ．2-C ．3D ．3-9．已知三条直线2310x y -+=，4350x y ++=，10mx y --=不能构成三角形，则实数m 的取值集合为 A ．42,33⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B ．42,33⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C ．424,,333⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．422,,333⎧⎫--⎨⎬⎩⎭10．已知点P (m ,n )到点A (0,4)和B (-8,0)的距离相等,则()m +()n 的最小值为A ．-3B ．3C ．16D ．411．若直线与直线互相垂直，则实数.12．若直线1:2l y kx k =+-与直线2l 关于直线1y x =-对称，则直线2l 恒过定点 ． 13．若直线1:10l ax y -+=与直线2:2210l x y --=的倾斜角相等，则实数a = .14．已知0a >，0b >，若直线()1210a x y -+-=与直线0x by +=互相垂直，则ab 的最大值是 ．15．若直线1:20(0)l x y m m -+=>与直线2:30l x ny +-=，则m n += . 16．设()2,P n n是函数2y x=图象上的动点，当点P 到直线1y x =-的距离最小时，n = .17．一条光线从()3,2A )发出，到x 轴上的M 点后，经x 轴反射通过点()1,6B -，则反射光线所在直线的斜率为 ．18．已知l 1,l 2是分别经过A (2,1),B (0,2)两点的两条平行直线,当l 1,l 2之间的距离最大时,直线l 1的方程是 .19．已知直线与相交于点（1）求交点的坐标； （2）设直线，分别求过点且与直线平行和垂直的直线方程.20．已知直线.（1）若，求实数的值；（2）当时，求直线与之间的距离.21．已知ABC △的三个顶点为()4,0A 、()8,10B 、()0,6C .（1）求过点A 且平行于BC 的直线方程； （2）求过点B 且与A 、C 距离相等的直线方程.22．已知两条直线l 1:ax-by+4=0和l 2:(a-1)x+y-b =0.（1）若l 1⊥l 2,且l 1过点(-3,-1),求实数a ,b 的值.（2）是否存在实数a ,b ,使得l 1∥l 2,且坐标原点到这两条直线的距离相等?并说明理由.23．已知两条直线l1:(a-1)x-2y+b=0,l2:ax+(b-4)y+3=0,其中a>0.若l1⊥l2,且l1过点(1,3).（1）求l1,l2的方程;（2）若光线沿直线l1射入,遇到直线x=0后反射,求反射光线所在的直线方程.24．已知三条直线l1:2x−y+a=0(a>0)，直线l2:4x−2y−1=0和直线l3:x+y−1=0，且l1和l2（1）求a的值.（2）能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到l1的距离是P点到l2的距离的12；③P点到l1的距离与P点到l3? 若能，求出P点坐标；若不能，请说明理由.1．【答案】A【名师点睛】本题主要考查充分条件与必要条件，两条直线垂直与斜率的关系，属于简单题. 对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1）1212l l k k⇔=∥；（2）12121l l k k⊥⇔⋅=-，这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心.2．【答案】2x＋3y＝1【解析】因为P(2,3)在直线l1和l2上，所以1122231231a ba b+=⎧⎨+=⎩，则点111()，P a b和222()，P a b的坐标是方程2x＋3y＝1的解，所以经过点111()，P a b和222()，P a b的直线方程是2x＋3y＝1.3．【答案】A【解析】因为12l l∥,所以12PP的中点P的轨迹为直线：1552x y+--=，即100x y--=，因此P A.4．【答案】（1）()4,3--；（2）4510x y-+=.【解析】（1）设点()23A，关于直线l的对称点为()000,A x y，则00312231022yxx y-⎧=⎪-⎪⎨++⎪++=⎪⎩，解得004,3x y=-=-，即点()23A，关于直线l的对称点为()4,3A--．（2）由于反射光线所在直线经过点()04,3A --和()1,1B ， 所以反射光线所在直线的方程为()4115y x -=-即4510x y -+=. 5．【答案】（1）直线l 过定点()1,3；（2）1x =或3y x =-+．（260︒， 又水平线段4AB =，所以两平行线间距离为4sin60d =⋅︒= 而直线l被截线段长为所以被截线段与平行线所成夹角为30︒，即直线l 与两平行线所成夹角为30︒， 所以直线l 倾斜角为6030︒±︒30=︒或90︒． 由（1），直线l 过定点()1,3，则所求直线为1x =或3y x =-+． 【名师点睛】本题考查了直线方程过定点问题，平行线间距离及夹角问题，主要是依据图象判断各条直线的位置关系，属于中档题.（1）根据直线过定点，化简直线方程，得到关于λ 的表达式，令系数与常数分别为0即可求得过定点的坐标.（2）根据平行线间距离公式，求得平行线间距离；由倾斜角与直线的夹角关系，求得直线的方程.1．【答案】B 【解析】由310270x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，得14x y =-⎧⎨=⎩，即交点为(−1,4)．∵第一条直线的斜率为−3，且与所求直线垂直，∴所求直线的斜率为13.∴由点斜式方程得所求直线方程是y −4=13(x ＋1)，即x −3y ＋13=0. 2．【答案】A【名师点睛】（1）本题主要考查充要条件的判断，考查两直线平行的等价条件，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）本题也可以利用下面的结论解答，直线1110a x b y c ++=和直线2220a x b y c ++=平行，则12210a b a b -=且两直线不重合,求出参数的值后要代入检验看两直线是否重合.3．【答案】B【解析】由题意可知tan α=2,所以cos(-2α)=cos(1 008π+-2α)=-sin2α=-=-=-.4．【答案】C 【解析】由l 1∥l 2知,≠,解得a =-1,所以l 1:x-y+6=0,l 2:x-y+=0,两条平行直线l 1与l 2间的距离d =.故选C.5．【答案】B【解析】∵直线420ax y +-=与直线250x y b -+=垂直，∴2145a -⨯=-，∴10a =， ∴直线420ax y +-=即为5210x y +-=．将点()1,c 的坐标代入上式可得5210c +-=，解得2c =-．将点()1,2-的坐标代入方程250x y b -+=得()2520b -⨯-+=，解得12b =-． ∴101224a b c ++=--=-．故选B ．【名师点睛】本题考查两直线的位置关系及其应用，考查学生的应用意识及运算能力，解题的关键是灵活运用所学知识解题，即明确点()1,c 是两直线的交点．根据两直线垂直可得a ，然后将点()1,c 的坐标代入直线420ax y +-=可得c ，同理可得b ，于是可得a b c ++的值．学 . 6．【答案】B31710,0,22m m m ∴+=±>∴=.故选B.7．【答案】A故选A.【名师点睛】本题考查了平行线之间的距离的求法，函数的最值的求法，考查了计算能力，注意a b c ，，之间的关系，利用其关系进行转化，属于中档题. 8．【答案】A【解析】根据题意画出图形，如图所示：直线1210l x y -+=：与直线230l mx y ++=：的交点为A ，M 为PQ 的中点， 若12AM PQ =，则PA QA ⊥，即121210l l m ⊥∴⨯+-⨯=，（），解得2m =．故选A ． 9．【答案】D【解析】因为三条直线2310x y -+=，4350x y ++=，10mx y --=不能构成三角形，所以直线10mx y --=与2310x y -+=，4350x y ++=平行，或者直线10mx y --=过2310x y -+=与4350x y ++=的交点，直线10mx y --=与2310x y -+=，4350x y ++=分别平行时，23m =，或43-，直线10mx y --=过2310x y -+=与4350x y ++=的交点时，23m =-，所以实数m 的取值集合为422,,333⎧⎫--⎨⎬⎩⎭，故选D. 10．【答案】C11．【答案】【解析】由题得，,解得.故答案为.12．【答案】()3,0【解析】直线1:2l y kx k =+-经过定点()12，，点()12，关于直线1y x =-对称的点为()30，，∴点()30，在直线2l 上，即直线2l 恒过定点()30，，故答案为()30，. 13．【答案】1【解析】直线的倾斜角相等，则两直线平行或重合，据此有：122a -=-，求解关于实数a 的方程可得：1a =.14．【答案】18【解析】因为直线()1210a x y -+-=与直线0x by +=互相垂直，所以()1120a b -⨯+=，21a b +=，又0,0a b >>，所以()2112122228a b ab a b +⎛⎫=⨯≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2a b =，即11,24a b ==时，等号成立.所以ab 的最大值为18.【名师点睛】本题主要考查了两直线垂直的条件以及基本不等式，属于中档题.本题使用基本不等式时，注意凑项，方便使用基本不等式. 15．【答案】0【解析】直线1:20(0)l x y m m -+=>与直线2:30l x ny +-=2n =-⎧，解得2n =-，2m =（负值舍去），则220m n +=-=.故答案为0.【名师点睛】本题主要考查了两条平行直线间的距离公式，理解题目意思，运用公式来求解即可，较为基础. 16．【答案】12【名师点睛】本题考查了点到直线的距离公式应用问题，是基础题．由点到直线的距离公式求得n 的关系式，从而求得距离最小时n 的值． 17．【答案】−2【解析】如图所示：作A 点关于x 轴的对称点A '，则点A '在直线MB 上，由对称性可知()32A '-，， 则光线MB 所在直线的斜率()62213A B k '--==---，故答案为2-.【名师点睛】本题考查的是反射定律，以镜面反射为背景的问题，实质就是对称问题，求解这类问题一般要转化为求对称点的问题，判断点A '在直线MB 上，是解题的关键. 18．【答案】2x-y-3=0【解析】由平面几何知识,得当l 1⊥AB 时,l 1,l 2之间的距离最大.∵A (2,1),B (0,2),∴k AB =-,=2.则直线l 1的方程是y-1=2(x-2),即2x-y-3=0.19．【答案】（1）；（2），. 【解析】（1）由，得 ，.（2）与平行直线方程，即. 与垂直的直线方程，即. 20．【答案】（1）；（2）.【名师点睛】本题考查直线与直线之间的位置关系.解答本题时要注意：（1）利用直线垂直，结合斜率之间的关系，建立方程，求解实数的值；（2）利用直线平行，确定参数的值，利用平行直线之间的距离公式，求值计算.21．【答案】（1）240x y --=；（2）7640x y -+=或32440x y +-=.【解析】（1）直线BC 的斜率为12BC k =， 过点A 与BC 平行的直线方程为()1042y x -=-，即240x y --=.【名师点睛】本题考查直线的点斜式，考查平行关系的应用，考查分类讨论思想与逻辑思维能力，属于中档题．22．【答案】（1）a=2,b=2；（2）不存在.【解析】（1）由已知可得l2的斜率存在,为k2=1-a.若k2=0,则1-a=0,a=1.∵l1⊥l2,∴直线l1的斜率必不存在,即b=0.又l1过点(-3,-1),∴-3a+4=0,即a=(矛盾).∴此种情况不存在,∴k2≠0,直线l1的斜率存在,设为k1.∵k2=1-a,k1=,l1⊥l2,∴k1k2=-1,即(1-a)=-1.①又l1过点(-3,-1),∴-3a+b+4=0.②由①②联立,解得a=2,b=2.（2）不存在,理由如下:∵l2的斜率存在,l1∥l2,∴直线l1的斜率存在.又坐标原点到这两条直线的距离相等,∴l1,l2在y轴上的截距互为相反数,即=-b,该方程无实数解.∴不存在满足条件的实数a,b，使得l1∥l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等.23．【答案】（1）l1,l2的方程分别为l1:x-2y+5=0,l2:2x+y+3=0；（2）x+2y-5=0.（2）由,解得入射点A (0,).取直线x-2y+5=0上一点B(-5,0),点B关于直线x=0的对称点B1(5,0)必在反射线上, 所以直线AB1的方程即为所求的反射光线所在的直线方程,由y-0=(x-5),整理得x+2y-5=0.即反射光线所在的直线方程为x+2y-5=0.24．【答案】（1）3；（2）P(137 ,918).【解析】（1）l2的方程即为1202x y--=，∴l1和l2的距离d∴1722 a+=.∵a>0, ∴a=3.【名师点睛】本题考查了直线与直线的平行关系、平行线间的距离、点到直线的距离等，关键计算量比较大，注意不要算错，属于中档题.学.（1）根据两条直线是平行关系，利用两条平行线的距离公式即可求得a的值.（2）根据点到直线的距离公式，讨论当P点满足②与③两种条件下求得参数的取值，并注意最后结果的取舍.。
人教新课标版数学高一- 数学(B)必修2练习两条直线的位置关系(二)
2.2.3两条直线的位置关系(二)一、基础过关1．已知点A(1,2)，B(3,1)，则线段AB的垂直平分线的方程是() A．4x＋2y＝5 B．4x－2y＝5C．x＋2y＝5 D．x－2y＝52．直线ax＋3y－9＝0与直线x－3y＋b＝0关于直线x＋y＝0对称，则a与b的值分别为() A．－3，－9 B．3，－9C．－9,3 D．9，－33．与直线3x＋4y－7＝0垂直，并且在x轴上的截距为－2的直线方程是() A．4x－3y＋8＝0 B．4x＋3y＋8＝0C．4x－3y－8＝0 D．4x＋3y－8＝04．已知点P(a，b)和Q(b－1，a＋1)是关于直线l对称的两点，则直线l的方程是 () A．x＋y＝0 B．x－y＝0C．x＋y－1＝0 D．x－y＋1＝05．有以下几种说法：(l1、l2不重合)①若直线l1，l2都有斜率且斜率相等，则l1∥l2；②若直线l1⊥l2，则它们的斜率互为负倒数；③两条直线的倾斜角相等，则这两条直线平行；④只有斜率相等的两条直线才一定平行．以上说法中正确的个数是________．6．垂直于直线3x－4y－7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x轴上的截距是________________．7．如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0,0)、P(1，t)、Q(1－2t,2＋t)、R(－2t,2)，其中t>0.试判断四边形OPQR的形状．8．已知△ABC的顶点A(3，－1)，AB边上的中线所在直线的方程为6x＋10y－59＝0，∠B的平分线所在直线的方程为x－4y＋10＝0，求BC边所在直线的方程．二、能力提升9．直线l过点A(3,4)，且与点B(－3,2)的距离最远，则l的方程为() A．3x－y－5＝0 B．3x－y＋5＝0C ．3x ＋y ＋13＝0D ．3x ＋y －13＝010．直线l 与两直线y ＝1和x －y －7＝0分别交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为M (1，－1)，则直线l 的斜率为( ) A.32B.23 C ．－32D ．－23 11．若直线l 经过点M (a －2，－1)和N (－a －2,1)且与经过点(－2,1)，斜率为－23的直线垂直，则实数a 的值为____________．12．一束平行光线从原点O (0,0)出发，经过直线l ：8x ＋6y ＝25反射后通过点P (－4,3)，求反射光线与直线l 的交点坐标．三、探究与拓展13．已知四边形ABCD 的顶点A (m ，n )，B (5，－1)，C (4,2)，D (2,2)，求m 和n 的值，使四边形ABCD 为直角梯形．答案1．B 2.C 3.A 4.D5．26．3或－37．解 由斜率公式得k OP ＝t －01－0＝t ， k QR ＝2－(2＋t )－2t －(1－2t )＝－t －1＝t ， k OR ＝2－0－2t －0＝－1t ， k PQ ＝2＋t －t 1－2t －1＝2－2t＝－1t . ∴k OP ＝k QR ，k OR ＝k PQ ，从而OP ∥QR ，OR ∥PQ .∴四边形OPQR 为平行四边形．又k OP ·k OR ＝－1，∴OP ⊥OR ，故四边形OPQR 为矩形．8．解 设A 关于∠B 的平分线的对称点为A ′(x 0，y 0)，则A ′必在BC 边所在的直线上．则⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＋32－4×y 0－12＋10＝0，y 0＋1x 0－3×14＝－1.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝1，y 0＝7. 即A ′(1,7)．设B 的坐标为(4a －10，a )，所以AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫4a －72，a －12在直线6x ＋10y －59＝0上， 所以6×4a －72＋10×a －12－59＝0，所以a ＝5，即B (10,5)． 由直线的两点式方程可得直线BC 的方程为2x ＋9y －65＝0.9．D 10．D11．－2312．解 设原点关于l 的对称点A 的坐标为(a ，b )，由直线OA 与l 垂直和线段AO 的中点在l 上得⎩⎨⎧ b a ·⎝⎛⎭⎫－43＝－18×a 2＋6×b 2＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝3， ∴A 的坐标为(4,3)．∵反射光线的反向延长线过A (4,3)，又由反射光线过P (－4,3)，两点纵坐标相等，故反射光线所在直线方程为y ＝3.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝38x ＋6y ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝78y ＝3， ∴反射光线与直线l 的交点坐标为⎝⎛⎭⎫78，3.13．解 ∵四边形ABCD 是直角梯形，∴有2种情形：(1)AB ∥CD ，AB ⊥AD ，由图可知：A (2，－1)，即m ＝2，n ＝－1.(2)AD ∥BC ，AD ⊥AB ，⎩⎪⎨⎪⎧k AD ＝k BC k AD ·k AB ＝－1 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ n －2m －2＝3－1n －2m －2·n ＋1m －5＝－1.∴⎩⎨⎧ m ＝165n ＝－85.综上⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2n ＝－1或⎩⎨⎧ m ＝165n ＝－85.。
223两条直线的位置关系同步测试卷分析详解人教b版必修2数学.doc
kl壬里之行{于足下—亠x+(4~k)y+\= 0 与仏：2(k~3)x~2y+3=0 平行，则R 的值是()•A. 1 或3B. 1 或5C. 3 或5D. 1 或22.由直线2x~y+2=0,兀一3歹一3=0和6x+2y+5=0围成的三角形为( ).A.直角三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.锐角三角形3.已知集合A={(x t j)|x+y=O, x,)G R},B={(X, y)\x-y=O, x,)€R},则集合A A B的元素个数是().A. 0B. 1C. 2D. 34.若直线厶y=kx~ 1与直线x+y~\ =0的交点位于第一象限，则实数£的取值范围是( )•A. ( — 8, —1)B. ( — 8, —1]C. (1, +8)D. [1, +8)25.若直线/经过点M(a~2,—1)和N(—a—2,1)且与经过点(-2,1),斜率为-二的直线垂3直，则实数a的值为().2 3 小2 3A.——B.——C・一 D.-3 2 3 26.己知直线厶：x—y—1=0, I?； 2x—y+3=0, I3：兀5=0,若厶，A,厶只有两个交点，则m= __________ .7.已知直线/过点P(3,l),且被两平行直线爪x+y+l= 0和心x+y+6=0截得的线段长度为5,求直线/的方程.8.(1)求点A(3,2)关于点3(—3,4)的对称点C的坐标；(2)求直线3兀一厂4=0关于点P(2, —1)对称的直线/的方程；(3)求点A(2,2)关于直线2%—4)，+9=0的对称点的坐标.二丿I百尺竿头更进一步9•求证：不论m取何值，直线(2加一l)x—(〃?+3)y—加+ 11=0恒过一定点.8.解：⑴设 C(x, y), 山中点坐标公式借• 2+y 解得x = -9.y = 6, 故所求的对称点的坐标为c （—96）.1. 答案：c2. 答案：A3. 答案：B4. 答案:C解析：如图，作出直线x+y-1 = 0的图象，它与兀轴、y 轴的交点分别为（1,0）、（0,1）,直 线y=kx~\过点（0, —1）,因此，直线y=kx~ 1与直线x+y — 1 = 0的交点在第一象限时，k >1,故选C ・5. 答案：A6-答翹T 或冷解析:V/j 与仏相交,则只需l\//h 或 MH7.解：设直线Z 与厶、b 的交点分别为A （兀1'刃），B （兀2，力），则兀i+y 】 + l=0, %2+>2+6=0,两式相减得（期一兀2）+©1—旳）=5,① ・・・|AB|=5,・・・（七一尤2）2 + 5_力）2=25,②-x 2 = 5, %! - x 2 = 0, - 或〈 丿 _%=0 -［廿_%=5.由上可知，直线/的倾斜角分别为0。
数学人教版必修2(B) 两条直线的位置关系 练习解析3
两条直线的位置关系练习解析1.直线l1、l2在x轴上的截距都是m,在y轴上的截距都是n,则l1与l2( )【解析】当m=n=0时，两直线相交或重合；当m、n不等于0时，两直线重合. 【答案】D2.方程(a－1)x－y+2a+1=0(a∈R)所表示的直线( )A．恒过定点(－2,3) B．恒过定点(2，3)C．恒过点(－2,3)和点(2，3) D．都是平行直线【解析】把点(－2,3)和点(2，3)的坐标代入方程(a－1)x－y+2a+1=0.验证知：(－2，3)适合方程，而(2，3)不一定适合方程.【答案】A3.过点（2，1）作直线l，使A（1，1）、B（3，5）两点到l的距离相等，则直线l的方程是（）【答案】C4.点(3，9)关于直线x+3y－10=0对称的点的坐标是( )A．(－1,－3) B．(17,－9)C．(－1,3) D．(－17,9)【解析】设所求点的坐标为(x0，y0)，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-⨯--=-+⨯++1)31(39010293230000x y y x解之得⎩⎨⎧-=-=.3100y x【答案】A —18，已知M(1，0)、N(－1，0)，直线2x+y=b 与线段MN 相交，则b 的取值X 围是( )A ．［－2,2］B ．［－1，1］C ．［－21,21］D ．［0，2］【解析】当直线过点M 时，b 的值最大为2．当直线过N点时，b 的值最小为－2.【答案】A6.已知直线l1到l2的角平分线方程为y=x ，如图7—19，如果l1的方程是ax+by+c=0 (ab ＞0)，那么l2的方程是( )A ．bx+ay+c=0B ．ax －by+c=0C ．bx+ay －c=0D ．bx －ay+c=0 【解析】在方程ax+by+c=0中，令x=0,得y=－b c ,令y=0,得x=－a c.∴l1过点(0，－b c )和点(－a c ,0).∵l2与l1关于直线y=x 对称，∴l2过点(－b c ,0)与(0,－a c ),图7—18 图7—19∴l2的方程为：a c y b c x -+-=0,即bx+ay+c=0. 【答案】A 7.已知三点A(1，3)、B(－1，－1)、C(2，1)，直线l 平行于BC ，分别交AB 、AC于点P 、Q ，若△APQ 的面积是△ABC 面积的91，则直线l 的方程是_____.【解析】kBC=321211=++,∵l ∥BC,∴k2=32且△APQ ∽△ABC,又S △APQ=91S △ABC ，∴91)(2==∆∆ABC APQ S S AB AP ，∴31=AB AP ，∴λ=21=PB AP , 由定比分点坐标公式得：35211)1(213,31211)1(211=+-⨯+==+-⨯+=P P y x .∴)35,31(P ,由点斜式得：直线l 的方程为y －)31(3235-=x ,即6x －9y+13=0. 【答案】6x －9y+13=08.直线y=2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若A ，B 坐标分别为A(－4，2)，B(3，1)，求点C 的坐标，并判断△ABC 的形状．【解】点A(－4，2)关于直线l:y=2x 对称的点为A ′(4，－2),由等腰三角形性质知A ′⎩⎨⎧=-+=,0103,2y x x y 得C(2，4)，∴kBC=－3，kAC=31．∵kBC ·kAC=－1，∴△ABC 是∠ACB 为直角的直角三角形．9.两平行线l1，l2分别过点P1(1，0)与P2(0，5)，(1)若l1与l2距离为5，求两直线方程;(2)设l1与l2之间距离是d,求d 的取值X 围． 【解】(1)设l1的方程为y=k(x －1),则21|5|k k ++=5，解之，k=0或125，∴l1的方程为y=0或5x －12y －5=0.利用两平行直线间的距离公式可得l2的方程为y=5或5x －12y+60=0.(2)显然这两条直线之间的最大距离即P1、P2两点之间的距离26，∴d ∈(0，26]．10.一条光线从点M （5，3）射出，被直线l ：x+y=1反射，入射光线到直线l 的角为β，已知tan β=2，求入射光线与反射光线所在的直线方程. 【解】设入射光线所在直线的斜率为k ，则k k⋅-+--)1(11=2，解得k=3.由点斜式可得入射光线所在直线的方程为y-3x+12=0.设反射光线所在直线的斜率为k ＇，则有)1(1)1(-⋅'+--'k k =2，解得k ＇=31.由⎩⎨⎧=+-=+,0123,1x y y x 得交点（413，49-）所以反射光线所在直线的方程为x-3y-10=0.综上所述，入射光线和反射光线所在直线的方程分别为3x-y-12=0和x-3y-10=0.11.已知点A(－3,5),B(2,15),试在直线l ：3x －4y+4=0上找一点P ，使｜PA ｜+｜PB ｜最小，并求出最小值．【解】设A 点关于直线l 的对称点为A ′(x ′，y ′). 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++'⋅--'⋅-=+'-'.04254233,3435y x x y∴⎩⎨⎧-='=',3,3y x ∴A ′(3，－3)，∴直线A ′B 的方程为18x+y －51=0.由⎩⎨⎧=+-=-+,0443,05118y x y x 得⎪⎩⎪⎨⎧==.3,38y x由平面几何知识知P 的坐标为(38，3)时｜PA ｜+｜PB ｜最小，其值为｜PA ｜+｜PB ｜=｜A ′B ｜ =135)153()23(22=--+-． 12.已知直线l 过（-3，2）点与x 轴的负半轴交于A 点，与y 轴的正半轴交于B 点，求△ABO （O 为原点）的面积最小时，直线l 的方程.【解】设直线l 的斜率为k.∵A 在x 轴的负半轴上，B 在y 轴的正半轴上，∴k>0.直线l 的方程可写成y-2=k(x+3).令x=0，得B （0，3k+2）.令y=0，得A （-k 2-3，0）.∴S △ABO=21|3k+2||-k 2-3|=21(9k+k 4)+6≥21·2k k 49 +6=12， 当且仅当9k=k 4，即k=32时“=”成立. 此时S △ABO 的面积最小.∴l 的方程为y-2=32(x+3)， 即2x-3y+12=0为所求.。
数学人教版必修2(B) 两条直线的位置关系 练习解析
数学人教版必修2(B) 两条直线的位置关系 练习解析1.点P(m －n,－m)到直线n y m x +=1的距离等于( )A ．22n m +B ．22n m -C ．22n m +-D ．22n m ±【解析】把方程n y m x +=1化成nx+my －mn=0，由点到直线的距离公式得d=2222|)()(|n m m n mn m m n m n +=+--+-．【答案】A2.若A(sin θ，cos θ)、B(cos θ，sin θ)到直线xcos θ+ysin θ+p=0(p ＜－1)的距离分别为m 、n ，则m 、n 的大小关系是( )A ．m ≥nB ．m ≤nC ．m ＞nD ．m ＜n【解析】m=｜sin θcos θ+cos θsin θ+p ｜=｜sin2θ+p ｜．n=｜cos2θ+sin2θ+p ｜=｜1+p ｜.∵p ＜－1,∴m=－p －sin2θ,n=－p －1,∴m ≥n ，当θ=k π+4π时，“=”成立，(k ∈Z).【答案】A3.点P(x,y)到直线5x －12y+13=0和直线3x －4y+5=0的距离相等，则点P 的坐标应满足的是( )A ．32x －56y+65=0或7x+4y=0B ．x －4y+4=0或4x －8y+9=0C ．7x+4y=0D ．x －4y+4=0 【解析】∵5|543|13|13125|+-=+-y x y x ,∴32x －56y+65=0或7x+4y=0.【答案】A4.到直线2x+y+1=0的距离为55的点的集合是( )A.直线2x+y －2=0B.直线2x+y=0C.直线2x+y=0或直线2x+y －2=0D.直线2x+y=0或直线2x+y+2=0【解析】设点P(x,y)到直线2x+y+1=0的距离为55，则5512|12|22=+++y x ， 即2x+y+1=±1，∴2x+y=0或2x+y+2=0为所求．【答案】D5.点A(a,6)到直线3x －4y=2的距离大于4，则a 的取值范围是_____.【解析】方程3x －4y=2可化为3x －4y －2=0,由题意得5|2243|--a >4,解之得a<2或a>345.【答案】a<2或a>3456.直线2x+11y+16=0关于点P(0，1)对称的直线方程是_____.【解析】∵直线2x+11y+16=0关于点P(0，1)的对称直线，与直线2x+11y+16=0平行，∴可设对称直线的方程为2x+11y+c=0,由点到直线的距离公式得2222112|11|112|1611|++=++c ,即|c+11|=27,∴c=16(2x+11y+16=0为已知直线应舍)或c=－38,故对称直线的方程为2x+11y －38=0.【答案】2x+11y －38=07.已知直线l 经过点A （-3，6），点B （5，-2）到l 的距离为2，求l 的斜率.【解】设直线l 的方程为y-6=k(x+3)，即kx-y+3k+6=0.∵B 到l 的距离等于2， ∴1|6325|2++++k k k =2，16k2+32k+16=k2+1，即15k2+32k+15=0.解之，得k=153116±-，即k=153116±-为所求.8.三角形的三个顶点坐标分别是A(4，1)、B(7，5)、C(－4,7)，求角A 的平分线方程．【解】设P(x,y)为A 平分线上任意一点,则P 到直线AB 与直线AC 的距离相等．直线AB 、AC 的方程分别是4x －3y －13=0和3x+4y －16=0， 所以222243|1643|)3(4|1334|+-+=-+--y x y x ，即4x －3y －13=±(3x+4y －16),即x －7y+3=0或7x+y －29=0．x －7y+3=0是A 的外角平分线方程，7x+y －29=0为A 的平分线方程．9.已知一直线l 被两直线l1:3x+4y －7=0和l2:3x+4y+8=0截得的线段长为415,且l 过点P(2，3)，求直线l 的方程．【解】当直线l 的斜率不存在时.∵l 过P(2，3)点，∴l 的方程为x=2,l 与l1、l2的交点分别为M(2，41)、N(2，－27)，｜MN ｜=415，故x=2为所求直线．当直线l 有斜率时.设l 的方程为y －3=k(x －2).∵l1与l2之间的距离为5|87|--=3， ∴l1与l2夹角θ的正弦值sin θ=544153=，tan θ=34. ∴247,34|43143|==-+k k k . ∴直线l 的方程为y －3=247(x －2),即7x －24y+58=0．综上所述，x=2或7x －24y+58=0为所求直线的方程．10.已知正方形的边长为25，中心为（-3，-4），一边与直线2x+y+3=0平行，求正方形的各边所在的直线方程.【解】∵正方形的一边与2x+y+3=0平行，∴设该边所在直线的方程为2x+y+c=0. 由正方形的中心为（-3，-4），边长为25， 得5)4()3(2c+-+-⨯=5.得c=15或c=5.设正方形另一边所在直线的方程为x-2y+c1=0， 则5)4(231c +-⨯--=5，c1=0或c1=-10.∴正方形各边所在直线的方程分别为2x+y+15=0，2x+y+5=0，x-2y=0和x-2y-10=0.。
高二数学两条直线的位置关系试题答案及解析
高二数学两条直线的位置关系试题答案及解析1.已知圆，点是圆内的一点，过点的圆的最短弦在直线上，直线的方程为，那么（）A．且与圆相交B．且与圆相切C．且与圆相离D．且与圆相离【答案】D【解析】因为点是已知圆内一点，所以，过点的圆的最短弦所在的直线与直线垂直，所以，而，所以，所以，圆心到直线的距离为，从而直线与圆相离，所以选D.【考点】1.直线与圆的位置关系；2.两直线的位置关系.2.（1）推导点到直线的距离公式；（2）已知直线：和：互相平行，求实数的值.【答案】（1）详见解析；（2）或【解析】（1）设点，直线，过点做直线的垂线，垂足为，求出点的坐标，在直线上在取不同于点的一点，用两点间距离可求得，根据直角三角形中勾股定理可求得，即点到直线的距离。
（2）根据两直线平行斜率相等即可求出。
试题解析：（1）（略） 6分（2）∥，，解得1或-3.经检验均符合题意，故1或-3. 12分【考点】1点到线的距离公式；2两直线平行时斜率的关系。
3.若直线与直线平行，则实数 ( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因两直线平行，所以，解得。
故D正确。
【考点】两直线平行。
4.若直线与直线互相垂直，则的值为 .【答案】【解析】由两直线垂直的充要条件是，得，解得.【考点】两直线垂直的条件.5.两条平行直线与间的距离为 .【答案】【解析】由两平行直线之间的距离公式,可得.【考点】两平行直线之间的距离公式.6.若直线y=x-2与y=(+2)x+1相互垂直，则= .【答案】-1【解析】若直线y=x-2与y=(+2)x+1相互垂直，则直线的斜率不存在的那种垂直状态不成立.故这两条直线的斜率互为负倒数所以可得，解得.故填-1.本小题考查的是直线的垂直的位置关系.【考点】1.一元二次方程的解法.2.直线的位置关系.7.过点且与直线平行的直线方程是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】与直线平行的直线的斜率是，又所求直线经过点，根据点斜式可得：，化简后可得.【考点】直线与直线平行，直线的点斜式方程.8.垂直于直线且与圆相切于第一象限的直线方程是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为所求直线垂直于直线，故其斜率为-1，设所求直线方程为，又因为它与圆相切，所以（舍去）,故直线方程为.【考点】直线的方程.9.“直线和互相平行”的充要条件是“的值为（）”A．1或B．C．D．1【答案】D【解析】两直线平行，则斜率相等经验证时两直线重合【考点】两直线平行的充要条件点评：两直线平行斜率相等截距不等或斜率都不存在10.若直线与直线垂直,则的值为 ( )A．2B．-3或1C．2或0D．1或0【答案】C【解析】对于两条直线的垂直关系，我们可以将直线化为斜截式的形式，通过斜率是否互为负倒数，或者一个斜率不存在一个斜率为零来判定，或者结合一般式中的充要条件来判定。
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第二节 两条直线的位置关系班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。
）1.【2018届云南省师范大学附属中学高三月考卷（二）】已知直线的倾斜角为，直线经过，两点，且直线与垂直，则实数的值为（ ）A. -2B. -3C. -4D. -5 【答案】D 【解析】∵，∴，故选D ．2.已知直线1:210l x y -+=与直线2:0l mx y -=平行，则实数m 的值为 ( ) A.12 B ．12- C.2 D.2- 【答案】A 【解析】由题意，112m -=-，即12m =,选A. 3.平行于直线012=++y x 且与圆522=+y x 相切的直线的方程是（ ）A ．052=+-y x 或052=--y x B. 052=++y x 或052=-+y x C. 052=+-y x 或052=--y x D. 052=++y x 或052=-+y x 【答案】D ．【解析】依题可设所求切线方程为20x y c ++=5c =±，所以所求切线的直线方程为250x y ++=或250x y +-=，故选D ． 4.4，则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积的最大值是 （ ） B. 4 C. 6 D. 2【答案】D 4，所以4a b +=，即则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积的最大值是2 . 5.【2017届江西师范大学附属中学高三第三次模拟】已知直线()()1:424240l m x m y m --++-=与()()2:1210l m x m y -+++=，则“2m =-”是“12//l l ”的（ ）条件. A. 充要 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 既不充分又不必要 【答案】B6.【改编自浙江卷】若直线250x y -+=与直线260x my +-=互相垂直，则实数m = （ ）. A ．-4 B ．-1 C ．1 D ．4 【答案】C 【解析】1212,2k k m ==-，因为直线互相垂直，所以121k k ⋅=-，即12()1,12m m⋅-=-∴=，选C.7.经过两直线x ＋3y －10＝0和3x －y ＝0的交点，且和原点相距为1的直线的条数为( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C【解析】设所求直线l 的方程为x ＋3y －10＋λ(3x －y)＝0， 即(1＋3λ)x ＋(3－λ)y －10＝0， ∵原点到直线的距离，∴，即直线方程为x ＝1或4x ＋3y ＋5＝0，选C ．8.设0,0,(1,2),(,1),(,0)a b A B a C b >>---，若,,A B C 三点共线，则ba 11+的最小值是（ ）A ．223+B ．24C ．6D ．92【答案】A9.点P （a ，b ）关于l ：x+y+1=0对称的点仍在l 上，则a+b=（ ） A ．﹣1 B ．1 C ．2 D ．0 【答案】A【解析】∵点P （a ，b ）关于l ：x+y+1=0对称的点仍在l 上，∴点P （a ，b ）在直线l 上， ∴a+b+1=0，解得a+b=﹣1． 故选A ．10.【2017届河南中原名校豫南九校高三上学期联考四】若直线20x ay +-=与以()3 1A ，，()1 2B ，为端点的线段没有公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()2 1-，B ．()() 2 1 -∞-+∞，，)1 2⎛+∞ ⎝，【答案】D【解析】直线20x ay +-=过定点()2 0C ，,所以11)(,)2+∞，选D. 11.【2017届河北武邑中学高三周考】直线2:10l mx m y --=经过点()2,1P ，则倾斜角与直线l 的倾斜角互为补角的一条直线方程是（ ） A ．10x y --= B ．230x y --= C ．30x y +-= D ．240x y +-= 【答案】C【解析】将点()2,1P 代入得2210,1m m m --==，直线方程为10x y --=，斜率为1，倾故和其垂直的直线斜率为1-，故选C. 12.点，(2,4)B -，(5,8)C ，若线段AB 和CD 有相同的垂直平分线，则点D 的坐标是（ ）（A ）(6,7) （B ）(7,6) （C ）(5,4)-- （D ）(4,5)-- 【答案】A二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
把答案填在题中的横线上。
）13.已知直线3430x y +-=，6140x my ++=平行，则它们之间的距离是 ． 【答案】2 【解析】 由题意得6,834m m ==，即681403470x y x y ++=⇒++=，所以它们之间的距离是2=14.若直线l ：经过点()1,2，则直线l 在x 轴和y 轴的截距之和的最 小值是 ．【解析】由题意得，∴截距之和为，即时，等号成立，即的最小值为．15.在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0,2)，B (2,0)-，C (1,0)，分别以△ABC 的边AB AC、向外作正方形ABEF 与ACGH ，则直线FH 的一般式方程为 ．【答案】4140x y +-=【解析】分别作HM y ⊥轴，FN y ⊥轴，,M N 为垂足.因为ACGH 是正方形，所以t AHM Rt AO,AM=OC,MH=OA.R C ∆≅∆又因为(0,2),C(1,0),A 所以2,13,MH OA AM OC OM OA AM ====⇒=+=所以(2,3),H 同理可得(2,4),F -所以直线FH 的斜率为431224k -==---，由直线方程的点斜式得13(2)4y x -=--，化简得4140x y +-=.16.【2017届江西省赣州市第四中学高三上第三次月考】定义点到直线的有向距离为.已知点到直线的有向距离分别是，给出以下命题：①若，则直线与直线平行； ②若，则直线与直线平行； ③若，则直线与直线垂直；④若，则直线与直线相交；其中正确命题的序号是_______________.【答案】④ 【解析】特别地：当时，命题①②③均不正确，当时，在直线的异侧，故命题④正确．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.【2017届河北定州中学高三周练】已知两直线1:80l mx y n ++=和210l x my +-=：2．试确定,m n 的值，使（1）1l 与2l 相交于点(,1)P m -； （2）1l ∥2l ；（3）1l ⊥2l ，且1l 在y 轴上的截距为－1．【答案】（1）1=m ，7=n ；（2）4=m ，2-≠n 或4-=m ，2≠n ；（3）0=m ，8=n . 【解析】试题分析：（1）将点()1,-m p 代入两直线方程，解出m 和n 的值；（2）由1l ∥2l 得斜率相等，求出m 值，再把直线可能重合的情况排除；（3）先检验斜率不存在的情况，当斜率存在时，看斜率之积是否等于1-，从而得到结论.（3）当且仅当082=⋅+⋅m m ，即0=m 时，21l l ⊥．又，∴8=n ． 即0=m ，8=n 时，21l l ⊥，且1l 在y 轴上的截距为1-．18.【2018届黑龙江省伊春市第二中学高三上第一次月考】已知直线1l 的方程为34120x y +-=，求2l 的方程，使得：（1）2l 与1l 平行，且过点()1,3-；（2）2l 与1l 垂直，且2l 与两坐标轴围成的三角形面积为4.【答案】（1）3490x y +-=（2（2）设2:430l x y n -+=，设2l 与x 轴交于点 与y 轴交于点∴296n =.∴2l 方程为19.已知动点M 到定点(1,0)的距离比到直线2x =-的距离小1. （1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）取E 上一点(1,) (>0)P a a ，任作弦,PA PB ，满足2PA PB K K ⋅=,则弦AB 是否经过一个定点？若经过定点（设为点Q ），请写出Q 点的坐标，否则说明理由. 【答案】（1）24y x = （2）(1,2)Q --，见解析 【解析】（1）由定义易知轨迹E 的方程为24y x =.（2）由（1）知(1,2) P 设1122(,),(,)A x y B x y2PA PB K K ⋅=.121222211y y x x --∴⋅=--1222122221144y y y y --∴⋅=-- 化简得12(2)(2)8y y ++=，即12122()40y y y y ++-=（ ） 假设弦AB 经过一个定点(,)Q m n ，则有1212y n y nx m x m--∴=--，即12221244y n y n y y m m --∴=--， 化简得1212()40y y n y y m -++=（ ） 比较（ ）和（ ），得(1,2)Q --.20.已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点． (1)点A(5,0)到l 的距离为3，求l 的方程； (2)求点A(5,0)到l 的距离的最大值．【答案】（1）x ＝2或4x －3y －5＝0；（2【解析】解：(1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y)＝0， 即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0．＝3．即2λ2－5λ＋2＝0， ∴λ＝2或12． ∴l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0．(2)由25020x y x y +-=⎧⎨-=⎩解得交点P(2,1)，如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到l 的距离，则d≤|PA|(当l ⊥PA 时等号成立)．∴max d PA ＝＝21.【2017届河北武邑中学高三周考】已知直线1:30l x y -+=，直线10l x y --=：，若直线1l 关于直线l 的对称直线为2l ，求直线2l 的方程． 【答案】50x y --=. 【解析】试题分析：由于两条直线平行，所以可设()2:03,1l x y m m m -+=≠≠-，利用两平行线的距离公式，可求得5m =-，进而求得直线方程为50x y --=. 试题解析：法一：因为1//l l ，所以2//l l ，设直线()2:03,1l x y m m m -+=≠≠-， 直线12,l l 关于直线l 对称， 所以1l 与2,l l 与l 间的距离相等．解得5m =-或3m =（舍去）， 所以直线2l 的方程为50x y --=. 法二：由题意知12//l l ，设直线()2:03,1l x y m m m -+=≠≠-， 在直线1l 上取点()0,3M ， 设点M 关于直线l 的对称点为(),M a b '， ，解得41a b =⎧⎨=-⎩，即()4,1M '-． 把点()4,1M '-代入2l 的方程，得5m =-， 所以直线2l 的方程为50x y --=．22.【2015高考新课标1，文20】（本小题满分12分）已知过点()1,0A 且斜率为 的直线l 与圆C ：()()22231x y -+-=交于M ，N 两点.（I ）求 的取值范围；（II ）12OM ON ⋅=，其中O 为坐标原点，求MN . 【答案】（I）（II ）2 试题解析：（I ）由题设，可知直线l 的方程为1y kx =+.因为l 与C1<.<<k所以k的取值范围是.。