复变函数论第三版钟玉泉1第一章ppt课件
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复变函数
华中科技大学数学与统计学院
第一章 复数与复变函数
第一节 复数 第二节 复平面上的点集 第三节 复变函数 第四节 复球面与无穷远点
1
23.05.2020
复变函数
华中科技大学数学与统计学院
第一节 复数
一、复数的概念
1. 虚数单位: 实例 :方程 x21在实数集. 中无 为了解方,引 程入 的一 需i个 ,要 称新 为数 虚.数单
3. 4.
两复数的商: 共轭复数:
z z1 2x1 x x 22 2 y y1 22 y2ixx 2y 22 1 x y1 22 y2.
实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两
个复数称为共轭复数. 与z共轭的复数记 z, 为
若 z x i,y 则 z x i.y
(xy)ix (y)ix2(yi)2 x2y2.
y
z2
z1 z2
z2
z1
z1
o
x
o
x
4. 复数和差的模的性质
z1 z2
因z1为 z2表示 z1和 zz22点 之 y 间 ,故 的距
(1 )z 1 z 2 z 1 z 2 ; (2 )z 1 z2z 1 z2.
z2
z2
z1 z2 z 1
z1
o
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复变函数
对应 . 因此, 一个建立了直角的坐平标面系可以
用来表示复 , 通数常把横轴叫实 x轴轴 , 纵或轴
叫虚轴y或 轴.这种用来表示复面数叫的复平平
面. 复数 zxiy可以用复平面 (x,y上 )表的 示 . 点
1. 复数的模
复数 zxiy可以用复平面 OP 表 上示 ,的
向量的长度称z为的模,
y (x, y)
如 Az 果 r 1g 是 1其 2kπ中 (k为 一个 ,任 那辐 么)z意 角 的 . 全整 部辐数 角为
特 ,当 殊 z 0 时 ,地 z 0 ,辐角不确定.
辐角主值的定义: 在 z( 0 )的,辐 把 角 π 满 0 π 中 的 足 0
称 A z 为 的 r,g 记 主 0 作 a 值 z . rg
二、复数的代数运算
设z 两 1 x 1 i1 复 ,yz 2 x 2 数 i2 , y
1. 两复数的代数和: z 1 z 2 ( x 1 x 2 ) i ( y 1 y 2 ).
2. 两复数的积: z 1 z 2 ( x 1 x 2 y 1 y 2 ) i ( x 2 y 1 x 1 y 2 )
( 4 ) z z 2 R z )z , e z ( 2 i Iz m ). (
例1 解 z1
设 z 51 55 i 5 i (, 5z 2 5i )3 ( 34 i , 4i求) zz12
与
z1 z2
.
z2 34i (34i)(34i)
(1 52)0(1 52)0 i 25
7 5
例3 化简512i.
解 设 512ixiy, 51i2 (x2y2)2x,yi
x2 y2 5,
x 3 ,y 2 ,
2xy 12 5 1i2 (32 i).
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三、复平面
复 数z xiy与 有 序 实 数 (x,对 y)成 一 一
y
arctan ,
x0,
7
(其 z 0中 辐 2角 ar的cx y主 atrg az 2 值 )n aπ ,πr2,ctxyaxnπ,
x0,y0,
x0,y0, x0,y0.
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3. 利用平行四边形法求复数的和差
两个复数的加减法运算与相应的y向量的加减法运算一致.
两个共轭复 z, z数 的积是一个. 实数
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5. 复数域: 全体复数在四则运算这个代数结构下构 成一个复数域,记作C.实数域和复数域都是代数学 中所研究的域的概念的实例.
6. 共轭复数的性质:
( (1 2) )z z1 zz;2( 3 ) z1 z z z2 ;R z1z ) z2 2 e z I 1( z2 m z ;)2 ; zz12 ( zz12 ;
( x 1 x 2 y 1 y 2 ) i ( x 2 y 1 x 1 y 2 ) ( x 1 x 2 y 1 y 2 ) i ( x 2 y 1 x 1 y 2 )
2 (x 1 x 2 y 1y 2 )2Rz1 ez(2). 或 z 1 z 2 z 1 z 2 z 1 z 2 z 1 z 2 2 R z 1 z 2 ) e .(
记z为 rx2y2.
y
Pzxiy
r
显然下列各式成立
x z, y z, zxy, o
x
x
zzz2z2.
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2.
复数的辐角 在z0的情,况 以下 正实轴, 以 为表 始示 边
z的向O量 P 为终边的角称 的为 弧 z的度 辐 ,数 角
记作Azrg. 任何一个 z0有 复无 数穷多 , 个
记x作 Rze )y ,(Im z).(
当 x0, y0时 ,ziy 称为;纯虚数 当y0时 , zx0i,我们把它x 看 . 作实
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两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等.
复数 z 等于0当且仅当它的实部和虚部同时等于0.
注:实数可以比较大小,但复数不能比较大小.
1 5
i.
z1 z2
7 1i. 55
4
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例2 证
证 设 z 1 z 2 z 两 1 明 z 1 x 1 z 2 i1 2 复 ,y R z 2 z 1 x z 2 2 ) e 数 i2 . , y (
z1z2z1z2 ( x 1 i 1 ) ( x y 2 i 2 ) y ( x 1 i 1 ) x y 2 ( i 2 ) y
对虚数单位的规定: (1) i21; (2) i可以与实数在一 样起 的按 法同 则进行四 . 则 虚数单位的特性: 一般地, n是 如正 果整 ,则数
i4n 1, i4n1 i, i4n21, i4n3i. 2.复数:对于任x 意 ,y,我 两们 实 zx称 数 iy为复 .
其中 x,y分别称 z的为 实部,和虚部
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第一章 复数与复变函数
第一节 复数 第二节 复平面上的点集 第三节 复变函数 第四节 复球面与无穷远点
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第一节 复数
一、复数的概念
1. 虚数单位: 实例 :方程 x21在实数集. 中无 为了解方,引 程入 的一 需i个 ,要 称新 为数 虚.数单
3. 4.
两复数的商: 共轭复数:
z z1 2x1 x x 22 2 y y1 22 y2ixx 2y 22 1 x y1 22 y2.
实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两
个复数称为共轭复数. 与z共轭的复数记 z, 为
若 z x i,y 则 z x i.y
(xy)ix (y)ix2(yi)2 x2y2.
y
z2
z1 z2
z2
z1
z1
o
x
o
x
4. 复数和差的模的性质
z1 z2
因z1为 z2表示 z1和 zz22点 之 y 间 ,故 的距
(1 )z 1 z 2 z 1 z 2 ; (2 )z 1 z2z 1 z2.
z2
z2
z1 z2 z 1
z1
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对应 . 因此, 一个建立了直角的坐平标面系可以
用来表示复 , 通数常把横轴叫实 x轴轴 , 纵或轴
叫虚轴y或 轴.这种用来表示复面数叫的复平平
面. 复数 zxiy可以用复平面 (x,y上 )表的 示 . 点
1. 复数的模
复数 zxiy可以用复平面 OP 表 上示 ,的
向量的长度称z为的模,
y (x, y)
如 Az 果 r 1g 是 1其 2kπ中 (k为 一个 ,任 那辐 么)z意 角 的 . 全整 部辐数 角为
特 ,当 殊 z 0 时 ,地 z 0 ,辐角不确定.
辐角主值的定义: 在 z( 0 )的,辐 把 角 π 满 0 π 中 的 足 0
称 A z 为 的 r,g 记 主 0 作 a 值 z . rg
二、复数的代数运算
设z 两 1 x 1 i1 复 ,yz 2 x 2 数 i2 , y
1. 两复数的代数和: z 1 z 2 ( x 1 x 2 ) i ( y 1 y 2 ).
2. 两复数的积: z 1 z 2 ( x 1 x 2 y 1 y 2 ) i ( x 2 y 1 x 1 y 2 )
( 4 ) z z 2 R z )z , e z ( 2 i Iz m ). (
例1 解 z1
设 z 51 55 i 5 i (, 5z 2 5i )3 ( 34 i , 4i求) zz12
与
z1 z2
.
z2 34i (34i)(34i)
(1 52)0(1 52)0 i 25
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例3 化简512i.
解 设 512ixiy, 51i2 (x2y2)2x,yi
x2 y2 5,
x 3 ,y 2 ,
2xy 12 5 1i2 (32 i).
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三、复平面
复 数z xiy与 有 序 实 数 (x,对 y)成 一 一
y
arctan ,
x0,
7
(其 z 0中 辐 2角 ar的cx y主 atrg az 2 值 )n aπ ,πr2,ctxyaxnπ,
x0,y0,
x0,y0, x0,y0.
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3. 利用平行四边形法求复数的和差
两个复数的加减法运算与相应的y向量的加减法运算一致.
两个共轭复 z, z数 的积是一个. 实数
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5. 复数域: 全体复数在四则运算这个代数结构下构 成一个复数域,记作C.实数域和复数域都是代数学 中所研究的域的概念的实例.
6. 共轭复数的性质:
( (1 2) )z z1 zz;2( 3 ) z1 z z z2 ;R z1z ) z2 2 e z I 1( z2 m z ;)2 ; zz12 ( zz12 ;
( x 1 x 2 y 1 y 2 ) i ( x 2 y 1 x 1 y 2 ) ( x 1 x 2 y 1 y 2 ) i ( x 2 y 1 x 1 y 2 )
2 (x 1 x 2 y 1y 2 )2Rz1 ez(2). 或 z 1 z 2 z 1 z 2 z 1 z 2 z 1 z 2 2 R z 1 z 2 ) e .(
记z为 rx2y2.
y
Pzxiy
r
显然下列各式成立
x z, y z, zxy, o
x
x
zzz2z2.
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2.
复数的辐角 在z0的情,况 以下 正实轴, 以 为表 始示 边
z的向O量 P 为终边的角称 的为 弧 z的度 辐 ,数 角
记作Azrg. 任何一个 z0有 复无 数穷多 , 个
记x作 Rze )y ,(Im z).(
当 x0, y0时 ,ziy 称为;纯虚数 当y0时 , zx0i,我们把它x 看 . 作实
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两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等.
复数 z 等于0当且仅当它的实部和虚部同时等于0.
注:实数可以比较大小,但复数不能比较大小.
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z1 z2
7 1i. 55
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例2 证
证 设 z 1 z 2 z 两 1 明 z 1 x 1 z 2 i1 2 复 ,y R z 2 z 1 x z 2 2 ) e 数 i2 . , y (
z1z2z1z2 ( x 1 i 1 ) ( x y 2 i 2 ) y ( x 1 i 1 ) x y 2 ( i 2 ) y
对虚数单位的规定: (1) i21; (2) i可以与实数在一 样起 的按 法同 则进行四 . 则 虚数单位的特性: 一般地, n是 如正 果整 ,则数
i4n 1, i4n1 i, i4n21, i4n3i. 2.复数:对于任x 意 ,y,我 两们 实 zx称 数 iy为复 .
其中 x,y分别称 z的为 实部,和虚部