《高三数学复习课件》含绝对值不等式及分式不等式的解法

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双基固化
§1.3.2含绝对值不等式及分式不等式的解法
1．绝对值不等式的解法 例1 解下列不等式 (1)|x2-3|＞2x. (2)|x+2|＞|x-1|-3.
【解析】(1)法一:(定义法)
原不等式
①②x＞3或x≤-
x2-3≥0
①或 x2-3＜0
x2-3＞2x，
-(x2-3)＞2x.
边分解因式,在数轴上将各因式为零的根标出来，
然后根据各个因式在每个区间上的正负，直接写
出不等式的解集(即数轴标根法) 当分子分母含有
公因式时，也不可随意约去.
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能力提升
§1.3.2含绝对值不等式及分式不等式的解法
3．含参数的不等式的解法. 例3.设a＞0，b＞０，解关于x的不等式|ax-2|≥bx.
x 1
由数轴标根法得x＞1或-1＜x＜0.故选A.
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§1.3.2含绝对值不等式及分式不等式的解法
5.已知集合A={x||x-1|＜2，x∈Z}，B={x| x 3 ＜0，
x
x∈Z}，则集合A∪B的子集个数为
( C)
A．4
B．6
C．8
D．9
【解析】∵|x-1|＜2 -1＜x＜3，∴A={0,1,2}. ∵ x 3＜0 0＜x＜3，
x2 3x2
4x 1 7x 2
1
0
2x2 3x 1 3x2 7x 2
0
(2x 1)(x 1) 0. (3x 1)(x 2)
利用数轴标根法，得其解集为
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§1.3.2含绝对值不等式及分式不等式的解法
(, 1) U(1 ,1) U(2, ). 32
【总结】解分式不等式时，要特别注意同解原理，
x
c(c 0), (c 0).
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§1.3.2含绝对值不等式及分式不等式的解法
x c或x c(c 0)
x
c
x
0
(c 0)
R
(c 0)
|ax+b|＜c(c＞0) -c＜ax+b＜c. |ax+b|＞c(c＞0) ax+b＞c或ax+b＜-c. |f(x)|＞g(x) f(x)＞g(x)或f(x)＜-g(x). |f(x)|＜g(x) -g(x)＜f(x)＜g(x).
§1.3.2含绝对值不等式及分式不等式 的解法
§1.3.2含绝对值不等式及分式不等式的解法
复习目标及教学建议 基 础 训 练 知 识 要 点 双 基 固 化 能 力 提 升 规 律 总 结
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§1.3.2含绝对值不等式及分式不等式的解法
复习目标及教学建议
复习目标: 掌握含绝对值的不等式、分式不等式的解法，初
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基础训练
§1.3.2含绝对值不等式及分式不等式的解法
1．设a、b∈R，若|a+b|=|a|+|b|，则
A．ab＞0
B．ab＜0
C．ab≥0
D．ab≤0
(C )
2．对任意实数x，若不等式|x+1|-|x-2|＞k恒成立,则
实数k的取值范围是 A．k＜3
B．k＜-3
(B )
C．k≤0
即x2＞1，∴x＞1或x＜-1(舍去)， 故原不等式的解集为{x|x＜0或x＞1}.
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§1.3.2含绝对值不等式及分式不等式的解法
6.(2007届·海淀模拟题)不等式|x|＞1 的解集为
x
{x|x＜0或x＞1}.
法2：在同一直角坐标系由作出f(x)=|x|，
g(x)= 1 的图象如上图，由图象易得不 x
D．k≤-3
【解析】由绝对值的几何意义知|x+1|-|x-2|的最小值为 -3，故k＜-3.
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§1.3.2含绝对值不等式及分式不等式的解法
3．不等式1＜|x+1|＜3的解集是
( D)
A．(0,2)
B．(-2,0)∪(2,4)
C．(-4,0)
D．(-4,-2)∪(0,2)
【解析】原不等式等价于1＜x+1＜3或-3＜x+1＜-1， 解得0＜x＜2或-4＜x＜-2.
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课堂练习
<<教材>> P.114
§1.3.2含绝对值不等式及分式不等式的解法
练习1.2
书面作业
<<教材>>
P. 114
习题3.1– 1.2.3.4
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§1.3.2含绝对值不等式及分式不等式的解法
(2)对于含两个或两个以上的绝对值的不等式可用
“零点分段法”(即应用绝对值的定义去绝对值符号)
或实数绝对值的几何意义(即|x-a|表示在数轴上点x
到a的距离)求解.
3．分式不等式
x a 0 (x - a)(x - b) 0 , xb
分类要满足完备性和纯粹性.
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规律总结
§1.3.2含绝对值不等式及分式不等式的解法
1．解含有绝对值的不等式，关键是去掉绝对值符号，
a (a≥0)， (1)依据绝对值的定义：即|a|=-a (a＜0) (2)利用不等式的性质：|f(x)|＜a -a＜f(x)＜a，
|f(x)|>a f(x)＞a，或f(x)＜-a
x
∴B={1，2}
∴A∪B={0,1,2}
∴A∪B的子集有23=8个.故选C.
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§1.3.2含绝对值不等式及分式不等式的解法
6.(2007届·海淀模拟题)不等式|x|＞1 的解集为
x
{x|x＜0或x＞1}.
【解析】法1：当x＜0时，不等式成立，
1 当x＞0时，原不等式可化为x＞ x ，
(3)平方法：将不等式两边同时平方去绝对值符号，
两边非负.
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§1.3.2含绝对值不等式及分式不等式的解法
(4)解含多个绝对值符号的不等式，常根据绝对值的 定义去绝对值符号，求解过程不要漏掉区间端点的 讨论，以免漏解. 2．解分式不等式时，要注意先移项，使右边化为零, 左边分解因式，然后等价转化为整式不等式求解， 且每步变形必须是同解变形. 3．解分式不等式和绝对值不等式也可以采用图象法 对于|x-a|+|x-b|＜c或|x-a|-|x-b|＞c型的不等式，可以利 用不等式的几何意义去解，这样更为直观、简捷. 4．解含参数不等式时，往往要分类讨论，关键是把 握好分类的标准.
而(a-b)x≥2无实数解，
ab
2
∴原不等式的解集为{x|x≤
}
2 ab
当0＜a＜b时,① x≤ a
∴原不等式的解集为{x|x≤
b
或x
2
≤ }.
a
2
bx ≤
ab
2
.
ab
【小结】对于含有参数的不等式,往往因运算条件、
大小关系、单调性等需要讨论，讨论时要弄清引起
讨论的原因，掌握好分类标准,做到讨论时层次清楚，
【小结】解含绝对值不等式的关键是去绝对值
符号，常用的方法有定义法，平方法，零点分
段法等，有时也可以直接借助函数的图象求解. 如例1(1)的法三.
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§1.3.2含绝对值不等式及分式不等式的解法
2．分式不等式的解法. 例2 解不等式 x2 4x 1 1.
3x2 7x 2
【解析】原不等式同解于
3.
②- 3＜x＜1.
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§1.3.2含绝对值不等式及分式不等式的解法
故原不等式的解集为{x|x＞3或x＜1} 法二：(平方法)原不等式 x≥0，
(x2-3)2≥4x2 或x＜0 x＞3，或0≤x＜1，或x＜0.故原不等的解集为{x|x＜1或x＞3}.
法三:(图象法)令y1=|x2-3|，y2=2x其图 象如右图，可知交点坐标为(1,2)和(3,6). 故满足y1＞y2的不等式的解集为{x|x＜1或 x＞3}.
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§1.3.2含绝对值不等式及分式不等式的解法
4．不等式x+ 2 ＞2的解集是
(A)
x 1
A．(-1,0)∪(1,+∞)
B．(-∞,-1)∪(0,1)
C．(-1,0)∪(0,1)
D．(-∞,-1)∪(1,+∞)
【解析】原不等式可变形为x-2+ 2 ＞0，
x 1
即 x(x 1) ＞0，即x(x-1)(x+1)＞0，
为-2,1.
x＜-2，
-(x+2)＞-(x-1)-3,
原不等式等价于
①
-2≤x＜1
②或 x≥1
③
x+2＞-(x-1)-3，
x+2＞x-1-3.
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§1.3.2含绝对值不等式及分式不等式的解法
解①得x∈ ，解②得-2＜x＜1，解③得x≥1.
故原不等式解集为{x|-2＜x＜1或x≥1}. 即{x|x＞-2}.
步掌握用分类整合思想解含参的简单不等式，培养学 生分类化归等数学能力. 教学建议:
本讲主要内容是含绝对值不等式，分式不等式的 解法，重点是如何将含绝对值不等式，分式不等式等 价转化为整式不等式(组)，难点是含参不等式的分类 讨论问题(引起分类讨论的原因，讨论对象和讨论标准 的确定)，做到合理分类，条理清楚，层次分明，不重 不漏，并注意把握好难度.
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§1.3.2含绝对值不等式及分式不等式的解法
法四:(等价转换法)原不等式
x2-2＞2x或x2-3＜-2x x2-2x-3＞0或x2+2x-3＜0 x＞3或x＜-1或-3＜x＜1.
故原不等式的解集为{x|x＜1或x＞3}.
(2)分别令x+2=0，x-1=0，得原不等式的零点
x x
a b
0
(x a)(x x b 0.
b)
0
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§1.3.2含绝对值不等式及分式不等式的解法
g(x) 0 f (x·) g(x) 0 . f (x)
g( x) f (x)
0
f f
(x·) g (x)
(x) 0.
0,
注意 解分式不等式时要慎重去分母，当分母的符号 恒为正恒为负时，可直接去分母.
等式的解集为{x|x＜0或x＞1}.
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知识要点
§1.3.2含绝对值不等式及分式不等式的解法
1．实数绝对值的定义及几何意义
a (a 0) (1)在实数集 0 (a 0)
-a (a 0) (2)几何意义：|x-a|表示数轴上点x到点a的距离. 2．含绝对值不等式的解法
(1)
x
c
c
【解析】原不等式可化为ax-2≤-bx，
或ax-2≥bx.
即(a+b)x≤2或(a-b)x≥2
①
当a＞b＞0时，① x≤ 2 或x≥
2
.
ab
ab
∴原不等式的解集为{x|x≤ 2 或x≥
2
}.
ab
ab
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§1.3.2含绝对值不等式及分式不等式的解法
当a=b＞0时，(a+b)x≤2解集为x≤ 2 ，