1-4章概率论总复习

1-4章概率论总复习
第⼀章⼩结
⼀. 随机试验
可以在相同的条件下重复地进⾏,试验结果不⽌⼀个并且不可预测的试验. ⼆. 随机事件
1. 随机事件的定义
(1) 直观定义:在每次试验中可能发⽣也可能不发⽣的事情称为随机事件(约定:包括必然事件和不可能事件).
(2) 公理化定义:设F 是样本空间Ω众的⼀些⾃⼰所构成的⼀个σ- 代数,即.
①;F ∈Ω②当F A ∈时F A ∈; ③当F A i ∈ i =1,2,… 时 ∞
=∈1i i F A
则称F 是⼀个事件域,并称F 中的集合为随机事件.特别地, Ω称为必然事件,φ称为不可能事件.
2. 事件的⼋种关系
(1) 包含; (2)相等; (3)并; (4)交; (5)差; (6)互不相容(互斥); (7)对⽴; (8)独⽴.
注: 对⽴→互斥,反之不真;
对正概率事件:互斥→不独⽴, 独⽴→不互斥, 因⽽对⽴→不独⽴, 独⽴→不对⽴.
(若p(A)p(B)>0且AB=Φ,则若A,B 独⽴,就有p(A)p(B)=p(AB)=p(Φ)=0,⽭盾.)
3. 事件的六个运算法则
(1) 交换律; (2)结合律; (3)分配律; (4)De – Morgan 律; (5)与必然事件的运算律;
(6)与不可能事件的运算律. 4. 事件的表达
(1) 实际问题中的事件可以⽤它所包含的全体基本事件所组成的集合来表⽰,即可以⽤样本空间Ω的⼦集表⽰事件; (2) ⽤语⾔描述； (3) ⽤随机变量表⽰；
(4) ⽤简单事件表⽰复杂事件;
(5) 把实际问题中的事件表⽰成若⼲个事件的并或若⼲个事件的交,例如:
① A= i
i A 译出密码; ② A= i
i A 串联电路.
(6) 把若⼲个事件的并表⽰成若⼲个互不相容的事件的并: ① n
i n n i A A A A A A A A A A 111321211=-=
②若↑n A , 则 n
i n n i A A A A A A A A 1
132211=-=
三. 概率 1. 频率:
在 n 次重复试验中事件A 发⽣A n 次,则称⽐值n
n A f A
n =
)(为A 在n 次试验中发⽣的频率.
2. 概率的定义
(1) 直观定义:度量事件A 发⽣的可能性⼤⼩的⼀个数P(A)称为A 的概率. (2) 公理化定义:定义在事件域F 上⼀个⾮负、规范、可列可加的实值集函数P(A)称为F 上的概率测度,并称P(A)为事件A 的概率. 3. 概率空间的定义
设Ω是样本空间,F 是Ω中的⼀个事件域,P 是F 上的概率,则称三元总体(Ω,F ,P)为概率空间. 4. 概率的性质
(1) ⾮负性: P(A)≥0. (2) 规范性: P(Ω)=1.
(3) 单调性: 若A ?B,则P(A)≤P(B) (4) 有限可加性: 若n A A A ,,,21 互不相容,则1
1
()()n
n
i i i i P A P A ===∑
(5) 可列可加性: 若 ,,21A A 互不相容,则1
1
()()i i i i P A P A ∞∞
===∑
(6) 半可加性: 1
1
()()n n
i i i i P A P A ==≤∑
(7) ⼀般加法公式:
P( n i i A 1
)==1
()n
i i P A =∑-1()i j i j n
P A A ≤<≤∑
+
111()(1)()n i j k n i j k n
P A A A P A A -≤<<≤-+-∑
(8) 减法公式: ()()
()()()P A P B P A B P A P AB -?-=?-?
A B ? ; ()1()P B P B =-.
(9) 下连续性: 若↑n A , 则1
lim ()(lim )()n n n n
n
n P A P A P A ∞
=== .
(10)
上连续性: 若↓n A , 则1
lim ()(lim )()n n n n
n
n P A P A P A ∞
=== .
注:1.频率稳定于概率,但不能说频率的极限是概率.
2.不可能事件概率为0,必然事件概率为1,反之不真.
3.可列可加性→有限可加性,反之不真,只有满⾜⼀定条件才真.
4.注意⼀般加法公式的应⽤,特别是在匹配问题及系统可靠性问题上的应⽤. 四. 条件概率
1. 条件概率的定义
(1) 直观定义: 在事件B 发⽣的条件下事件A 发⽣的概率,称为事件B 发⽣的条件下事件 A 的条件概率.记为P(A|B).
(2) 数学定义: 若P(B)>0,则称P(A|B)=P(AB)/P(B)为在事件B 发⽣的条件下事件A 的条件概率. 2. 条件概率的性质 (1) P(A|B)≥0;
(2) P(ΩB |)=1;
(3) 若n A A A ,,,21 互不相容, 则P(1
1
|)(|)n
n
i i i i A B P A B ===∑
3. 条件概率的三个重要公式
(1) 乘法公式: 若11()n P A A - >0,
则112111()()(|)(|)n n n P A A P A P A A P A A A -= .
(2) 全概率公式: 设n B B ,,1 互不相容,且 n
i i B 1
==Ω,P(B i )>0,则对任事件A
P(A)=1
()(|)n
i i i P B P A B =∑
(3) 贝叶斯公式: 在全概率公式的条件下,对任⼀事件A,若P(A)>0,则 P(B 1
()(|)
|)()(|)
j j j n
i
i
i P B P A B A P B P A B ==
∑ j=1,2,…,n.
注: 1.在全概率公式和贝叶斯公式中,若将” n i i B 1
==Ω”换为”A ? n
i i B 1
=”,
即”A 发⽣时
n B B ,,1 中有且仅有⼀个发⽣”,则结论仍然正确.
2.乘法公式主要⽤于不还原抽球,第⼏次才抽到⽩球等.
3.全概率公式和贝叶斯公式在⼯业上,医学上,电讯上,军事上都有⼴泛的应⽤,在判断某两个事件哪⼀个发⽣的可能性⼤时（识别系统中）常⽤到贝叶斯公式. 五. 三种概型 1. 古典概型
(1) 古典型随机试验的定义:样本空间中基本事件个数有限,且每个基本事件的发⽣是等可能的. (2) 古典型随机试验中事件A 的概率: P(A) =
n
n A
.
(3) 掌握古典概型的四类基本问题:抽球,放球,取数,配对.注意基本事件选取要等可能,且总数确定后,有利于A 的基本事件的计算要保持与开始的选取⼀致. 2. ⼏何概型
(1) ⼏何型随机试验的定义:向具有正测度的区域Ω等可能投点. (2) ⼏何型随机试验中事件A 的概率: p(A) =
)
()
(ΩL A L . 其中A 是Ω中有测度的⼦区域,L(A)和L(Ω)是A 和Ω的测度. 解题步骤:
①令每⼀个试验结果对应⼀n 维空间中的⼀个点p,确定点p 的变动区域Ω,作了⼀次
试验相当于向Ω中投了⼀个点.
②通过找充要条件把实际问题中的事件表⽰成{点落在有测度的⼦区域A 中}.
③画出Ω与A 的图形,⽤⼏何⽅法求出Ω与A 的测度L(A)和L(Ω).则实际问题中这个
事件的概率即为P(A)=L(A)/L(Ω).
(3) 掌握⼏何概型的三类问题:会⾯,投针,候车. 3.贝努⾥概型
(1)n 次独⽴试验的定义:若n 次试验中从每次试验中任取⼀个事件,它们相互独⽴.
(2)n 重贝努⾥试验的定义:设试验E 有两个结果:A 与A ,且P(A)=p, P(A )=1-p (0
(3)贝努⾥公式: 在n 重贝努⾥试验或n 次独⽴试验中事件A 发⽣k 次的概率为
P k n k
k n n p p C k --=)1()( k=0,1,2,…,n.
(4)能正确识别实际问题中的n 重贝努⾥试验或n 次独⽴试验. 六. 事件的独⽴性
1. n 个事件相互独⽴的定义:
设n A A A ,,,21 是n 个事件,若对n k ≤≤?2及n i i i k ≤<<<≤ 211有 P(k i i i A A A 21)=P (A 12)()()k i i i P A P A 则称n A A A ,,,21相互独⽴. 2.独⽴事件的性质
(1)若n A A A ,,,21 相互独⽴,则其中任意⼏个事件也相互独⽴,特别地,任意两个事件都独⽴,即两两独⽴;反之不真.
(2)若n A A A ,,,21 相互独⽴,则n B B ,,1 也相互独⽴,其中B i i A =或
i A I=1,2,…, n.特别地,n A A A ,,,21 独⽴.(对n=2,3的情形能证明).
(3)若n A A A ,,,21 相互独⽴,则将他们任意分成l 组后,由各组事件经过任意运算产⽣的l 个事件也独⽴.(对n=2,3的情形能证明).
(4)若n A A A ,,,21 相互独⽴,则
① P(1212)()()()n n A A A P A P A P A = ; ② P( n i i A 1
)==1-[]1
1()n
i i P A =-∏.
3.独⽴性在实际中的应⽤:电路,系统可靠性.
注: 1.从⼀⼤批产品中⽆放回地抽取k 次,近似看成是独⽴的. 2.若A,B,C 独⽴,则P(ABC)=P(A)P(B)P(C);反之不真.
同样有 P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C);反之不真. 3.若P(B)>0,则A,B 独⽴?P(A|B)=P(A).
第⼆章⼩结
⼀.随机变量与概率分布的定义.
⼆.随机变量与概率分布的分类:连续型,离散型,既⾮离散也⾮连续型. 三.确定r.v.分布的⽅法:
1. 离散型: 分布列或分布函数;
2. 连续型: 分布密度或分布函数;
3. 既不离散也不连续型: 分布函数. 四. 离散型r.v.与连续型r.v.的区别:
1. 离散型分布函数图象是阶梯形;
2. 离散型r.v.取个别值的概率可能不为0,连续型r.v.取个别值的概率为
0.(要求会证).
五. 分布函数的性质.
六．⼏个常⽤的离散型分布七．⼏个常⽤的连续型分布能熟练判断某⼀r.v.是服从何种分布.
⼋.习题的基本要求:
1. 能求出具体的r.v.的分布列;
2. 已知分布列求分布函数或已知分布函数求分布列;
3. ⼆项分布的应⽤,应迅速判断、准确说明⼀r.v.是服从什麽样的⼆项分布,熟练应⽤Poisson 公式,要会查表.;
4. ⼆项分布应⽤中的典型问题:⾄少、⾄多；
5. 利⽤分布密度、分布函数的性质来确定⼀些常数;
6. 由分布密度求分布函数,由分布函数求分布密度;
7. 利⽤分布密度、分布函数求⼀些事件的概率;
8. 利⽤分布列或分布密度求出r.v.函数的分布;(分布函数法、公式法)
9. 有关正态分布的计算,要会查表,记住3σ—准则.
第三章⼩结
⼀.基本概念
1. n 维随机变量;
2. n 维随机变量的分布函数;
3.边际分布函数;
4.⼆维离散型随机变量;
5.⼆维连续型随机变量;
6.(X,Y)的联合分布列、边际分布列;
7.(X,Y)的联合密度、边际密度;
8. 条件分布列、条件分布密度、条件分布函数;
9. 随机变量的独⽴性⼆. ⼆元分布函数的性质三. ⼏种重要的多维分布
1. 区域G 上的均匀分布;
2. ⼆维正态分布;
3. 多项分布;
4.多维超⼏何分布四. 有关正态分布的结论
1. (X,Y)~N (1µ,2µ;21σ,22σ;ρ)?X~N (1µ,21σ) ，Y~N (2µ,2
2σ)，反之未必; 2. (X,Y)~N (1µ,2µ;21σ,22σ;ρ), 则X 与Y 独⽴?ρ=0;
3. (X,Y)~N (1µ,2µ;21σ,22σ;ρ)? X+Y ~N (1µ+2µ,21σ+2ρ21σσ+22σ);
4. 正态分布具有可加性;
5. 相互独⽴的正态变量经过线性变换后仍为正态变量;
6. 正态分布的条件分布仍为正态分布;
7. N (0,1)分布 N ( 0 , 0 ; 1 , 1 ; 0 )分布的密度. 五. 有关独⽴性的结论
1. X 与Y 相互独⽴?(,)()()X Y F x y F x F y = y x ,?
ij i j p p p = j i , (若X 与Y 是离散型随机变量) ?(,)()()X Y p x y p x p y = a.s (若X 与Y 是连续型随机变量)
(,)()()P X A Y B P X A P Y B ∈∈=∈∈ ,A B ?为可测集 ?),(y x F 或),(y x p 可分离变量
2.12,,,n X X X 相互独⽴,则
(1)若)(x f i (1≤i ≤n)连续或逐段连续或Borel 函数,则11(),,()n n f X f X 独
⽴;
(2)若),,(),,,(11n k k x x g x x f +是两个连续函数,则
1(,,)k Y f X X = 与1(,,)k n Z g X X += 独⽴;
(3) 12,,,n X X X 中的任意⼏个随机变量独⽴,特别地两两独⽴,反之不真. 六. 有关计算公式 : （注意画图讨论, 注意积分限） 1. () (,)X F x F x =+∞ ()(,)Y F y F y =+∞; 2. i ij j
p p =∑ j ij i
p p =∑ ;
3. ()(,)X p x p x y dy +∞
-∞
=?
()(,)Y p y p x y dx +∞
-∞
=?
;
4. |(,)(|)()
i j X Y i j j p X a Y b p a b p Y b ===
= (()0j p Y b =>)
|(,)
(|)()
X Y Y p x y p x y p y = (()0Y p y >) 5. ()(,)()()X Y X Y p x p y x y dy p y p x y dy +∞+∞
+-∞
-∞
=--?
独⽴＝卷积公式
()(,)()()k
k
i i P X Y k P X i Y k i P X i P Y k i ==+====-==-∑∑独⽴＝
6. ()(,)()()X Y X Y p x p y y x dy p y p y x dy +∞
+∞
--∞
-∞
=-=-??
7. 11
||
||()(,)()()x
x XY X Y y
y y y p x p y dy p y p dy +∞
+∞-∞-∞
==??
8. ()(,)||()()||X Y X Y p x p xy y y dy p xy p y y dy +∞
+∞
-∞
-∞
==?
9. ((,))(,)G
P X Y G p x y dxdy ∈=?? 10. 22
1
1
1212(,)(,)x y x y P x X x y Y y p x y dxdy ≤≤≤≤=?
11. (,)()()((,))(,)Z f x y z
F z p Z z P f X Y z p x y dxdy <=<=<=
12. 12(,)1211221122(,)(,)((,),(,))Z Z F z z P Z z Z z P f X Y z f X Y z =<<=<< =
<<2
21
1),(),(),(z y x f z y x f dxdy y x p
13. (,)(,)(,)((,),(,))||U V X Y p u v p x u v y u v J =?
七. 最⼤值、最⼩值分布（掌握⽅法）⼋. 对加法封闭的分布
1.⼆项分布;
2.Poisson 分布;
3.正态分布;
4.Ga 分布 (特例:2χ－分布)
数字特征⼩结
⼀、数学期望和⽅差
1. 定义及计算公式 (包括r.v 函数) 注意: ①当EX= 0时 VarX=2EX ; ②VarX ≥0.
2. 熟练掌握性质 (期望、⽅差对⽐记忆). 包括切⽐雪夫不等式.
3. ⼏种重要的r.v.的期望和⽅差 (会推导,记住结论,会应⽤).
4. 掌握求期望的⼏种⽅法
(1)⽤定义求; (2)⽤性质求;
(3)把⼀个r.v.分解成⼏个简单的r.v.的和去求; (4)利⽤c.f.去求 5. 掌握证明切⽐雪夫不等式的典型⽅法. 6. 期望在实际问题中的应⽤, 如:
(1)平均耗弹个数; (2)平均验⾎次数; (3)平均收益; (4)平均有球盒数 (5)求平均寿命:
①串联: E 1(,,)n min X X ②并联: E 1max(,,)n X X ③备⽤: E(1)n X X ++
7. 有关期望和⽅差的⼀些简单证明题. ⼆.协⽅差、协⽅差矩阵：定义、性质
注意Cov(X,Y) = E(X －EX)(Y －EY) = EXY －EXEY ; Cov(X, X) = VarX 三.相关系数
定义: ,(,X Y Cov X Y ρ=若Cov(X,Y)＝0或,X Y ρ= 0, 则称X 与Y 不相关.
性质:
(1) .,||X Y ρ≤1; (2) ,||X Y ρ|= 1?P (Y = aX +b ) = 1. (3) 2|(,)|Cov X Y VarX VarY ≤? (4) 222()EXY EX EY ≤ 独⽴与不相关之间的关系; 正态分布独⽴与不相关之间的关系. 注意: 在求,X Y ρ时要充分利⽤协⽅差运算法则. 掌握r.v 的矩、中⼼矩的定义与计算公式.
掌握条件期望的定义及其性质、重期望公式（应⽤）
第四章⼩结
⼀.特征函数(理解)
1.定义: ?(t) = E itX e = Ecos tX+ i E sin tX.
2.计算公式 (离散型, 连续型).
3.⼏种重要的r.v.的c.f.（记住）
4.性质:
(t)在R 上⼀致连续, 且 ?(0)=1, |?(t)|≤1, ?(-t) = )(t ?. ?(t) ⾮负定. ()()ibt aX b X t e at ??+=.
若12,,,n X X X 独⽴, 则 1
1()()n j j
j n
X X j t t ??===∑∏, 反之未必.
若E l X 存在, 则对)(,0)
(t l k k ?
≤
若()X t ?绝对可积, 则 1()()2itx X X p x e t dt ?π
+∞
--∞
=
.
若()X t ?=()Y t ? ，则()()X Y F x F x =. ⼆、⼤数定律 (了解) ()()()
()()1111
21111
1110()1120({}()311140(()015n n P
i i i i n n P
i i n n i i P n
n n n n
P
i i i i i i n
P
i i X EX n n X EX X VarX C n n n p n A n
X EX Var X n n n X n µµ========-??
→-??
→≤→-??
→??→?→∑∑∑∑∑∑∑∑定义切⽐雪夫⼤数定理）其中两两不相关，且。

（贝努⾥⼤数定理）其中是重贝努⾥试验中发⽣的频数。

马尔科夫⼤数定理）其中。

({}n n a X EX a ?=⾟钦⼤数定理）其中独⽴同分布，且存在。

三、依概率收敛(了解)
()()()
()
1(||)02123(0.)
4()()(()31234(n P P n n P
P
P
n n n n n n P
n P L
n n P X X X X Y Y X X X Y X Y X Y XY Y a s Y Y
f X f X f x X a X a ε-≥??→??→??→±??
→+??
→??→≠??→??→→?、（定义）
、设，，则，连续）
、证明依概率收敛的⽅法：
（）定义（）运算法则（）⼤数定理（⾟钦）
（）对应的分布函数弱收敛特征函数收敛）
四、依分布收敛(了解)
()()()
()
()()
1()()(2123(0)
3123W L
n n L
L
n n P
L
L
L
n n n n n n P L
n n F x F x X X X X Y a X X X Y X a X Y aX a Y a
X a X a
→→??→??→±??
→±??
→??→≠??→→、定义）
、设，，则、证明按分布收敛的⽅法：
定义（弱收敛定义、连续性定理）运算法则五、中⼼极限定理(运⽤)
会⽤定理求解相关概率问题。