人教版数学高二-新课标 《定积分的概念》精品课件

-1-
• [点拨] 利用定积分的几何意义求定积分 就必须准确理解其几何意义，同时要合 理利用函数的奇偶性、对称性来解决问 题，运用数形结合法是关键．
-1-
• 练 2 用定积分的几何意义求下列各式的值：
-1-
[解] (1)由 y＝ 1－x2得 x2＋y2＝1(y≥0)，其图象是圆
心为原点，半径为 1 的圆的14部分．
• [分析] 按分割、以直代曲(近似代替)、 求和、取极限四个步骤进行．
[解] 令 f(x)＝3x＋2. (1)分割 在区间[1,2]上等间隔地插入 n－1 个分点，把区间[1,2] 等分成 n 个小区间[n＋ni－1，n＋n i](i＝1,2，…，n)每个小区 间的长度为 Δx＝n＋n i－n＋ni－1＝1n
-1-
-1-
(2)已知21xdx＝ln2，求证：2(1＋1x)(2－x)dx＝ln
1
1
4 e.
-1-
[解] (1)∵1(x＋1)(x－3)dx＝1(x2－2x－3)dx
0
0
＝1x2dx－21xdx－13dx，
0
0
0
利用定积分的定义求得
1x2dx＝13，1xdx＝12，13dx＝3，
0
0
0
∴1(x＋1)(x－3)＝13－2×12－3＝－131. 0
个
小
区
间
为
[
2(i－1) n
，
2i n
]
，
第
i
个小区间的面积
ΔSi≈f(2(i－n 1))·2n.
-1-
-1-
• 例2 用定积分的几何意义求下列各式 的值：
-1-
-1-
S 弓形＝12×π3×22－12×2×2sin3π＝23π－ 3， S 矩形＝AB·BC＝2 3，
-1-
• (3)函数y＝1＋sinx的图象如图所示，
a2－x2dx＝π4a2，
0
∴S1＝baa a2－x2dx＝ba·π4a2＝π4ab. 0
所以由对称性得椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的面积为 S＝4S1
＝πab(面积单位)．
-1-
• [点拨] 为了求椭圆的面积，根据椭圆的 对称性，只要求出它在第一象限内的曲 线段与坐标轴围成的“曲边梯形”的面 积，就可以进一步求得椭圆的面积．
＝b 及 a>b 时，不难验证，af(x)dx＝0，bf(x)dx＝－af(x)dx.
a
a
b
这就是说当定积分的上限和下限相同时，定积分的值为
零；当交换定积分的上限和下限时，定积分的绝对值相同，
只相差一个负号．
-1-
• (3)在区间[a，b]上求连续函数f(x)的定积 分，可归结为：分割、以直代曲、求和、 逼近四个步骤．
a
a
a
a
12－6＝6.
∴b3f(x)dx＝3bf(x)dx＝3×6＝18.
a
a
-1-
-1-
• 1.关于定积分的含义的说明
• 在求曲边梯形的面积与变速直线运动的 物体的路程的方法步骤中，一个是几何 问题，一个是物理问题，尽管问题的背 景不同，所要解决的问题也不相同，但 是反映在数量上，都可以概括地描述为 “分割一代替一求和一取极限”．抛开 问题的具体意义，抓住它们在数量关系 以及思想方法上共同的本质特征加以概 括，抽象出其中的数 -1- 学思想并且形成概
-1-
-1-
[点拨] (1)本题通过构造函数 f(x)＝ex－x，利用定积分 的性质 4 及其推论 1 解决问题，其中要特别注意bf(x)dx＝－
a
af(x)dx 的应用．
b
(2)运用估值定理解决定积分求值问题的关键是要讨论 出被积函数的取值范围．
-1-
练 3 (1)计算定积分1(x＋1)(x－3)dx. 0
2．关于定积分应注意的几点
(1)定积分bf(x)dx 是“和式”的极限值，它的值取决于 a
被积函数 f(x)的积分上限、下限，而与积分变量用什么字母
表示无关，即bf(x)dx＝bf(u)du＝bf(t)dt＝…(称为积分形式的
a
a
a
不变性)．
-1-
(2)在定积分bf(x)dx 的定义中，总是假设 a<b，而当 a a
• 1．5.3 定积分的概念
-1-
-1-
• 借助几何直观体会定积分的基本思想初 步了解定积分的概念.
-1-
• 1.如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用 分点将区间[a，b]等分成n个小区间，在 每个小区间上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)， 作和式①________，当n→∞时，上述和 式无限接近于某个常数，这个常数叫做 函数f(x)在区间[a，b]上的②________， 记作③________，即④________，区间 [a，b]叫做⑤________，函数f(x)叫做⑥
-1-
• [分析] 根据定积分的定义找出被积函数 与积分区间．
-1-
将 Sn 视为被积函数为 f(x)＝lnx 把区间[1,2]分成 n 等份 后所做的积分和，其中 Δxi＝1n，f(ξi)＝ln(1＋ni )．
∵f(x)＝ln x 在区间[1,2]上连续，∴2ln xdx 存在， 1
∴由定积分的定义得
• 注意 (1)定积分的值可以是正数、零或 负数．
• (2)不能认为定积分的值就一定等于曲边 梯形的面积．
-1-
3．函数的奇偶性与定积分的关系 根据定积分的几何意义知，若 f(x)是区间[－a，a](a>0)
上的连续函数，则 (1)当 f(x)是偶函数时， (2)当 f(x)是奇函数时，
-1-
例 1 利用定积分定义，计算2(3x＋2)dx 的值． 1 -1-
-1-
(2)证明：∵2(1＋1x)(2－x)dx 1
＝2(1－x＋2x)dx 1
＝21dx－2xdx＋221xdx.
1
1
1
又21dx＝1，2xdx＝32，21xdx＝ln2，
1
1
1
∴2(1＋1x)(2－x)dx＝1－32＋2ln2 1
＝－12＋ln4＝ln
1e＋ln4＝ln
4 e.
-1-
• 例4 试用定积分表示下列极限．
∴1
1－x2dx＝14π·12＝14π.
0
(2)由函数 y＝cosx，x∈[0,2π]的图象的对称性(如图)知，
∫20πcosxdx＝0. (3)∵函数 y＝sin7x＋x3 在 x∈[－π，π]上是奇函数，
∴ (sin7x＋x3)dx＝0.
-1-
例 3 (1)比较定积分∫－0 2exdx 和∫0－2xdx 的大小． (2)估计定积分0π2＋s1in32xdx 的值．
[解析] 由ax22＋by22＝1(a>b>0)得
y＝±ba a2－x2(－a≤x≤a)． 于是椭圆在第一象限的部分与坐标轴围成的平面图形
的面积为 S1＝aba a2－x2dx＝baa a2－x2dx，
0
0
-1-
令 y＝ a2－x2(0≤x≤a)，
得 x2＋y2＝a2(0≤x≤a)，
依题意，得a
矩形的面积．
• 答案：B
-1-
3.1xdx 与1x2dx 的大小关系是
0
0
A.1xdx＝1x2dx
0
0
B．(1xdx)2＝1x2dx
0
0
C.1xdx>1x2dx
0
0
D.1xdx<1x2dx
0
0
-1-
()
解析：当 0<x<1 时，x>x2>0，由定积分的几何意义得1 0
xdx>1x2dx>0. 0 • 答案：C
________.
-1-
2．当 f(x)≥0 时，定积分bf(x)dx 表示由⑦________所围 a
成的曲边梯形的⑧________当 f(x)≤0 时， bf(x)dx 是⑨________(填“正数”或“负数”)．
a
-1-
3．定积分的实质是⑩________，仅与⑪________有关， 与⑫________无关．
-1-
-1-
• [点拨] 利用定义求定积分的关键仍然是 “分割、近似代替，求和、取极限”这 一过程．需要注意的是本题中将近似代 替，求和一起作为步骤 (2)，从而省略了 解题步骤．
பைடு நூலகம்-1-
练 1 利用定积分的定义，计算2x2dx 的值． 0
[解] 令 f(x)＝x2.将区间[0,2]等分成 n 个小区间，则第 i
A．一定是正的 B．一定是负的 C．当 0<a<b 时是正的，当 a<b<0 时是负的 D．以上结论都不对
-1-
• 解析：由定积分的几何意义可知选A. • 答案：A
-1-
2．定积分23dx 等 1
3 A.2 C．2
B．3 D．1
-1-
()
解析：23dx 表示直线 x＝1，x＝2，y＝0 及 y＝3 围成的 1
-1-
4．∫20πcosxdx＝________. 解析：如下图所示，∫20πcosxdx＝B1－B2＋B3＝0.
• 答案：0
-1-
5．已知b[f(x)＋g(x)]dx＝12，bg(x)dx＝6，
a
a
求b3f(x)dx. a
解：∵bf(x)dx＋bg(x)dx＝b[f(x)＋g(x)]dx，∴bf(x)dx＝
4．(1)bkf(x)dx＝⑬________(k 为常数)； a
(2)b[f1(x)±f2(x)]dx＝⑭________； a
(3)bf(x)dx＝⑮________(a<c<b)． a
-1-
自我校对：①
f(ξi)Δx＝
b－a n f(ξi)
②定积分
③
b
f(x)dx
④
b
f(x)dx
＝
a
a
b－a n f(ξi)
-1-
-1-
-1-
• [点拨] 解决此类问题的关键是掌握定积 分的概念，用定积分表示极限分三步： ①确定Δx，②确定被积函数f(x)，③确定 积分区间．
-1-
• 练 4 将下列极限表示为定积分：
-1-
例 5 利用定积分的性质与几何意义，求椭圆ax22＋by22＝ 1(a>b>0)的面积．
-1-
⑤积分区间
⑥被积函数 ⑦直线 x＝a，x＝b，y＝0 和曲线 y＝f(x) ⑧
面积 ⑨负数 ⑩一个特殊和式的极限 ⑪被积函数、积分
上限和积分下限 ⑫积分变量的字母表示 ⑬kbf(x)dx ⑭ a
bf1(x)dx± bf2(x)dx
⑮cf(x)dx＋bf(x)dx
a
a
a
c
-1-
1.设函数 f(x)>0，则当 a<b 时，定积分bf(x)dx 的符号 a ()