高中数学：4.2.2 直线、圆的位置关系 (14)
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4.2 直线、圆的位置关系 4.2.1 直线与圆的位置关系
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要点 1 直线与圆的位置关系 (1)直线与圆_相__交___，有两个公共点； (2)直线与圆_相__切___，只有一个公共点； (3)直线与圆_相__离___，没有公共点．
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要点 2 几何判定法 (1)d>r⇔圆与直线_相__离___； (2)d＝r⇔圆与直线__相_切___； (3)d<r⇔圆与直线_相__交___．
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(3)方法一：∵x2＋y2＝4，∴圆心为(0，0)，半径 r＝2. 又∵y＝2x＋1， ∴圆心到直线的距离为 d＝|2×02－2＋01＋2 1|＝ 55<2＝r. ∴直线与圆相交． 方法二：∵yx＝ 2＋2yx2＋＝14，，∴5x2＋4x－3＝0. 判别式 Δ＝42－4×5×(－3)＝76>0. ∴直线与圆相交． 【答案】 (1)B (2)B
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弦长公式 设直线 l：y＝kx＋b 与圆的两个交点分别为 A(x1，y1)，B(x2， y2)，则|AB|＝ 1＋k2· （x1＋x2）2－4x1·x2＝ 1＋k2|x1－x2|. 有关弦长问题，利用弦长的一半、弦心距、半径之间的关系 求解比较简单，利用弦长公式求解较繁琐，但是有一般性，在求 解一般二次曲线的弦长时应用极为广泛．
∴切线方程为 4x－3y－25＝0 或 3x＋4y＋25＝0.
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探究 2 求切线方程：先判断点与圆的位置关系 (1)若已知点在圆上，利用圆心与切点连线与切线垂直，求得 切线斜率，再由点斜式求切线方程； (2)若已知点在圆外，使用的方法是待定系数法，由位置关系 求斜率 k，斜率是否存在由图形可以直接作出判断．
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课后巩固
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1．直线 4x＋3y－40＝0 与圆 x2＋y2＝100 的位置关系是( )
A．外离B．ຫໍສະໝຸດ 切C．相交D．相切或外离
答案 C
解析 圆心到直线 4x＋3y－40＝0 的距离为 d＝ 442＋0 32＝8.∵r
＝10，∴d<r，∴相交．
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2．与两个坐标轴都相切，圆心在第三象限，半径为 1 的圆
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2．直线与圆相切时，怎样求切线段的长度？
答：连接圆心与切点，构造直角三角形，用勾股定理 求，如图．
|PM|＝ |OP|2－r2.
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3．已知直线 l：x－y＋4＝0 与圆 C：(x－1)2＋(y－1)2＝2， 则 C 上各点到 l 距离的最小值为__________．
答：圆心(1，1)，r＝ 2，设圆心到直线的距离为 d. 如图．
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(2)直线 l 经过点 P(5，5)，且和圆 C：x2＋y2＝25 相交，截得 弦长为 4 5，求 l 的方程．
第27页
【思路分析】 若直线 l 的斜率不存在，则 l：x＝5 与圆 C 相切，与已知矛盾，因此直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y －5＝k(x－5)，再根据弦长|AB|＝4 5而解之．
第12页
探究 1 解决直线与圆的位置关系问题一般有两种方法： (1)代数法：联立直线与圆的方程，通过方程组解的个数来判 断； (2)几何法：判断圆心到直线的距离和半径之间的关系． 确定直线与圆的位置关系，一般情况下利用几何法更简单．
第13页
思考题 1 (1)直线 x＋y＝1 与圆 x2＋y2－2ay＝0(a>0)没有 公共点，则 a∈________．
∴距离的最小值为 d－r＝|1－12＋4|－ 2＝ 2.
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授人以渔
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题型一 直线与圆的位置关系
例 1 (1)若直线 ax＋y＝1 与圆(x－ 3)2＋(y－2)2＝1 有两个
不同的交点，则 a 的取值范围是( )
A．(0， 3)
B．(－ 3，0)
C．( 3，＋∞)
D．(－∞，－ 3)
(2)已知直线 ax＋by＋c＝0(abc≠0)与圆 x2＋y2＝1 相切，则
要点 5 切线的求法 若点(x0，y0)在圆 x2＋y2＝r2 上，切线方程为__x_0x_＋__y0_y_＝_r_2 __．
第5页
1．当点(x0，y0)在圆 x2＋y2＝r2 外时，过点 A 有几条切线？ 当点在圆上，圆内时呢？
答：点在圆外时，有 2 条切线； 点在圆上时，有 1 条切线； 点在圆内时，有 0 条切线．
(3)直线 l：mx－y＋1－m＝0 交圆 C：x2＋(y－1)2＝5 于两点 A，B，且|AB|＝ 17，求 m 的值．
【解析】 圆的半径 r＝ 5，圆心(0，1)到直线 l 的距离为 d，d ＝ r2－（|A2B|）2＝ 23.
由点到直线的距离公式，得 |0m－2＋1＋（1－－1m）| 2＝ 23， 解得 m＝± 3.
【解析】 由 d2＝r2－(2l )2，得 d2＝25－(2 5)2＝5. ∴d＝ 5. 设直线方程为 y－5＝k(x－5)，即 kx－y＋5－5k＝0， 则|5k－2＋5k1|＝ 5，即 2k2－5k＋2＝0，解得 k＝12或 2. 故直线 l 的方程为 x－2y＋5＝0 或 2x－y－5＝0.
第28页
【答案】 B
第22页
(3)求与直线 x－y＋1＝0 平行，且与圆(x－1)2＋y2＝1 相切的 圆的切线方程．
【解析】 设所求直线方程为 x－y＋m＝0，则圆心(1，0)到直 线 x－y＋m＝0 的距离等于 1，所以|1＋2m|＝1，解得 m＝ 2－1 或 m ＝－ 2－1.所以切线方程为 x－y＋ 2－1＝0 或 x－y－ 2－1＝0.
A．相离
B．相交
C．相切
D．相切或相交
【解析】 ∵M(x0，y0)在圆 x2＋y2＝a2 内，∴x02＋y02<a2. 圆心到直线的距离 d＝ x02a＋2 y02>aa2＝a.(a>0) ∴直线与圆相离． 【答案】 A
第15页
(3)判断圆 x2＋y2－4x＋6y－12＝0 与下列直线的位置关系． ①x＋y＝5；②x－y＋5＝0；③4x＋3y＝24. 【解析】 将圆方程配方得(x－2)2＋(y＋3)2＝52， 可得它的圆心为(2，－3)，半径 r＝5. ①圆心到直线的距离 d＝3 2<5，所以此直线与圆相交； ②圆心到直线的距离 d＝5 2>5，所以此直线与圆相离； ③圆心到直线的距离 d＝5，所以此直线与圆相切．
第19页
思考题 2 (1)过坐标原点且与圆 x2＋y2－4x＋2y＋52＝0 相
切的直线方程为( )
A．y＝－3x 或 y＝13x
B．y＝3x 或 y＝－13x
C．y＝－3x 或 y＝－13x
D．y＝3x 或 y＝13x
第20页
【解析】 ∵02＋02－4×0＋2×0＋52＝52>0， ∴原点在圆外，设切线方程为 y＝kx， 依题意得圆心为(2，－1)，半径为 210，∴|21k＋＋k12|＝ 210， 即 3k2＋8k－3＝0，解得 k＝－3 或13. ∴切线方程为 y＝－3x 或 y＝13x. 【答案】 A
答案 4 解析 将原方程整理成标准形式，得(x－3)2＋(y－4)2＝5，又由 圆的切线性质及在三角形中运用正弦定理，得|PQ|＝4.
第36页
请做：课时作业（二十八）
自助餐
第38页
数形结合问题 例 1 若直线 y＝x＋b 与曲线 y＝ 4－x2有公共点，则 b∈________．
第39页
【解析】 如图，在坐标系中作出曲线 y ＝ 4－x2的图象(半圆)．直线 l1：y＝x－2，直 线 l2：y＝x＋2 2.
|0－0＋2 12＋（－
3| 3）2
＝
3 ， 所 以 |AB| ＝ 2|AM| ＝
2 |OA|2－|OM|2＝2 22－（ 3）2＝2.
第24页
探究 3 (1)在处理直线与圆相交形成的弦的有关问题时，我 们经常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为(x1，y1)，(x2， y2)，将其分别代入圆的方程后寻找坐标与弦的关系，然后加以求 解，这种方法称为“点差法”．
第16页
题型二 切线问题 例 2 求经过点 A(1，－7)与圆 x2＋y2＝25 相切的切线方程．
第17页
【思路分析】 先判断点 A 是否在圆上，然后根据圆上或圆 外一点切线的求法解出切线方程．
【解析】 ∵12＋(－7)2＝50>25，∴点 A 在圆外，设所求切 线斜率为 k，∴所求直线方程为 y＋7＝k(x－1)，整理成一般式为 kx－y－k－7＝0，由圆的切线的性质，可得|0－01－＋kk－2 7|＝5，化 简得 12k2－7k－12＝0，∴k＝43或 k＝－34.
【解析】 直线为 x＋y－1＝0， 将圆配方得 x2＋(y－a)2＝a2， 圆心(0，a)，半径为 a(a>0)， 据题意，|a－21|>a，解得 0<a< 2－1. 【答案】 (0， 2－1)
第14页
(2)点 M(x0，y0)是圆 x2＋y2＝a2(a>0)内异于圆心的点，则直 线 x0x＋y0y＝a2 与此圆的位置关系为( )
第21页
(2)自点 A(－1，4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1 的切线，则切线
长为( )
A. 5
B．3
C. 10
D．5
【解析】 因为(－1－2)2＋(4－3)2＝10>1，所以点 A 在圆外， 所以过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2 外一点 P(x0，y0)向圆引切线 PA，则|PA| ＝ （x0－a）2＋（y0－b）2－r2.
(2)涉及到圆的弦长问题时，为了简化运算，常利用垂径定理 或半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形进行运算．
第25页
思考题 3 (1)直线 l 过(4，0)，且被圆 x2＋y2－2x－2y－7 ＝0 所截的弦长最长，则 l 的方程为________．
【解析】 将圆配方得(x－1)2＋(y－1)2＝9， 圆心为(1，1)，半径为 3，易知(4，0)在圆外， 弦长最长，则直线 l 过圆心， 由两点式得 l 方程为y1－ －00＝x1－ －44，即 x＋3y－4＝0. 【答案】 x＋3y－4＝0
的方程是( )
A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
B．(x－1)2＋(y－1)2＝1
C．(x－1)2＋(y＋1)2＝1
D．(x＋1)2＋(y－1)2＝1
答案 A
第33页
3．直线 l：3x－4y－5＝0 被圆 x2＋y2＝5 所截得的弦长为 __________．
答案 4 解析 ∵圆心到直线的距离为 d＝|0－320＋－452|＝1，r2＝5， ∴弦长 l＝2 r2－d2＝4.
第23页
题型三 弦长问题
例 3 求直线 x－ 3y＋2 3＝0 被圆 x2＋y2＝4 截得的弦长． 【思路分析】 利用几何方法构造关系求解．
【解析】 如图，设直线 x－ 3y＋2 3＝0 与圆
x2＋y2＝4 交于 A，B 两点，弦 AB 的中点为 M，则
OM⊥AB(O 为 坐 标 原 点 ) ， 所 以 |OM| ＝
第34页
4．直线 x＋y＋3＝0 与圆 x2＋(y＋1)2＝a 有公共点，那么实 数 a 的取值范围是__________．
答案 a≥2 解析 ∵直线与圆有公共点，∴圆心到直线的距离为 d≤r，即 |0－121＋＋132|＝ 2≤ a，∴a≥2.
第35页
5．过原点 O 作圆 x2＋y2－6x－8y＋20＝0 的两条切线，设切 点分别为 P，Q，则线段 PQ 的长为______．
三条边长分别为|a|，|b|，|c|的三角形( )
A．是锐角三角形
B．是直角三角形
C．是钝角三角形
D．不存在
第10页
(3)已知直线 y＝2x＋1 和圆 x2＋y2＝4，试判断直线和圆的位 置关系．
【思路分析】 根据直线与圆的位置关系求解． 【解析】 (1)已知圆心 C( 3，2)，半径 r＝1.因为直线与圆相 交，所以 d<r，即 d＝|a 3a＋2＋2－1 1|<1，平方去分母得( 3a＋1)2<a2＋1， 解得－ 3<a<0.故选 B. (2)由题意得|a·0＋a2b＋·0b＋2 c|＝1，即 c2＝a2＋b2，所以由|a|，|b|，|c| 为边长构成的三角形为直角三角形．故选 B.
第3页
要点 3 代数判定法 由A（xx＋－Bay）＋2＋C＝（0y，－b）2＝r2，消元，得到一元二次方程的 判别式 Δ，则 (1)Δ>0⇔直线与圆_相__交___； (2)Δ＝0⇔直线与圆_相__切___； (3)Δ<0⇔直线与圆__相_离___．
第4页
要点 4 弦长的求法
直线与圆相交有两个交点，设弦长为 l，弦心距为 d，半径为 r，则有(2l )2＋d2＝r2.
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要点 1 直线与圆的位置关系 (1)直线与圆_相__交___，有两个公共点； (2)直线与圆_相__切___，只有一个公共点； (3)直线与圆_相__离___，没有公共点．
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要点 2 几何判定法 (1)d>r⇔圆与直线_相__离___； (2)d＝r⇔圆与直线__相_切___； (3)d<r⇔圆与直线_相__交___．
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(3)方法一：∵x2＋y2＝4，∴圆心为(0，0)，半径 r＝2. 又∵y＝2x＋1， ∴圆心到直线的距离为 d＝|2×02－2＋01＋2 1|＝ 55<2＝r. ∴直线与圆相交． 方法二：∵yx＝ 2＋2yx2＋＝14，，∴5x2＋4x－3＝0. 判别式 Δ＝42－4×5×(－3)＝76>0. ∴直线与圆相交． 【答案】 (1)B (2)B
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弦长公式 设直线 l：y＝kx＋b 与圆的两个交点分别为 A(x1，y1)，B(x2， y2)，则|AB|＝ 1＋k2· （x1＋x2）2－4x1·x2＝ 1＋k2|x1－x2|. 有关弦长问题，利用弦长的一半、弦心距、半径之间的关系 求解比较简单，利用弦长公式求解较繁琐，但是有一般性，在求 解一般二次曲线的弦长时应用极为广泛．
∴切线方程为 4x－3y－25＝0 或 3x＋4y＋25＝0.
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探究 2 求切线方程：先判断点与圆的位置关系 (1)若已知点在圆上，利用圆心与切点连线与切线垂直，求得 切线斜率，再由点斜式求切线方程； (2)若已知点在圆外，使用的方法是待定系数法，由位置关系 求斜率 k，斜率是否存在由图形可以直接作出判断．
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课后巩固
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1．直线 4x＋3y－40＝0 与圆 x2＋y2＝100 的位置关系是( )
A．外离B．ຫໍສະໝຸດ 切C．相交D．相切或外离
答案 C
解析 圆心到直线 4x＋3y－40＝0 的距离为 d＝ 442＋0 32＝8.∵r
＝10，∴d<r，∴相交．
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2．与两个坐标轴都相切，圆心在第三象限，半径为 1 的圆
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2．直线与圆相切时，怎样求切线段的长度？
答：连接圆心与切点，构造直角三角形，用勾股定理 求，如图．
|PM|＝ |OP|2－r2.
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3．已知直线 l：x－y＋4＝0 与圆 C：(x－1)2＋(y－1)2＝2， 则 C 上各点到 l 距离的最小值为__________．
答：圆心(1，1)，r＝ 2，设圆心到直线的距离为 d. 如图．
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(2)直线 l 经过点 P(5，5)，且和圆 C：x2＋y2＝25 相交，截得 弦长为 4 5，求 l 的方程．
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【思路分析】 若直线 l 的斜率不存在，则 l：x＝5 与圆 C 相切，与已知矛盾，因此直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y －5＝k(x－5)，再根据弦长|AB|＝4 5而解之．
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探究 1 解决直线与圆的位置关系问题一般有两种方法： (1)代数法：联立直线与圆的方程，通过方程组解的个数来判 断； (2)几何法：判断圆心到直线的距离和半径之间的关系． 确定直线与圆的位置关系，一般情况下利用几何法更简单．
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思考题 1 (1)直线 x＋y＝1 与圆 x2＋y2－2ay＝0(a>0)没有 公共点，则 a∈________．
∴距离的最小值为 d－r＝|1－12＋4|－ 2＝ 2.
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授人以渔
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题型一 直线与圆的位置关系
例 1 (1)若直线 ax＋y＝1 与圆(x－ 3)2＋(y－2)2＝1 有两个
不同的交点，则 a 的取值范围是( )
A．(0， 3)
B．(－ 3，0)
C．( 3，＋∞)
D．(－∞，－ 3)
(2)已知直线 ax＋by＋c＝0(abc≠0)与圆 x2＋y2＝1 相切，则
要点 5 切线的求法 若点(x0，y0)在圆 x2＋y2＝r2 上，切线方程为__x_0x_＋__y0_y_＝_r_2 __．
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1．当点(x0，y0)在圆 x2＋y2＝r2 外时，过点 A 有几条切线？ 当点在圆上，圆内时呢？
答：点在圆外时，有 2 条切线； 点在圆上时，有 1 条切线； 点在圆内时，有 0 条切线．
(3)直线 l：mx－y＋1－m＝0 交圆 C：x2＋(y－1)2＝5 于两点 A，B，且|AB|＝ 17，求 m 的值．
【解析】 圆的半径 r＝ 5，圆心(0，1)到直线 l 的距离为 d，d ＝ r2－（|A2B|）2＝ 23.
由点到直线的距离公式，得 |0m－2＋1＋（1－－1m）| 2＝ 23， 解得 m＝± 3.
【解析】 由 d2＝r2－(2l )2，得 d2＝25－(2 5)2＝5. ∴d＝ 5. 设直线方程为 y－5＝k(x－5)，即 kx－y＋5－5k＝0， 则|5k－2＋5k1|＝ 5，即 2k2－5k＋2＝0，解得 k＝12或 2. 故直线 l 的方程为 x－2y＋5＝0 或 2x－y－5＝0.
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【答案】 B
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(3)求与直线 x－y＋1＝0 平行，且与圆(x－1)2＋y2＝1 相切的 圆的切线方程．
【解析】 设所求直线方程为 x－y＋m＝0，则圆心(1，0)到直 线 x－y＋m＝0 的距离等于 1，所以|1＋2m|＝1，解得 m＝ 2－1 或 m ＝－ 2－1.所以切线方程为 x－y＋ 2－1＝0 或 x－y－ 2－1＝0.
A．相离
B．相交
C．相切
D．相切或相交
【解析】 ∵M(x0，y0)在圆 x2＋y2＝a2 内，∴x02＋y02<a2. 圆心到直线的距离 d＝ x02a＋2 y02>aa2＝a.(a>0) ∴直线与圆相离． 【答案】 A
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(3)判断圆 x2＋y2－4x＋6y－12＝0 与下列直线的位置关系． ①x＋y＝5；②x－y＋5＝0；③4x＋3y＝24. 【解析】 将圆方程配方得(x－2)2＋(y＋3)2＝52， 可得它的圆心为(2，－3)，半径 r＝5. ①圆心到直线的距离 d＝3 2<5，所以此直线与圆相交； ②圆心到直线的距离 d＝5 2>5，所以此直线与圆相离； ③圆心到直线的距离 d＝5，所以此直线与圆相切．
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思考题 2 (1)过坐标原点且与圆 x2＋y2－4x＋2y＋52＝0 相
切的直线方程为( )
A．y＝－3x 或 y＝13x
B．y＝3x 或 y＝－13x
C．y＝－3x 或 y＝－13x
D．y＝3x 或 y＝13x
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【解析】 ∵02＋02－4×0＋2×0＋52＝52>0， ∴原点在圆外，设切线方程为 y＝kx， 依题意得圆心为(2，－1)，半径为 210，∴|21k＋＋k12|＝ 210， 即 3k2＋8k－3＝0，解得 k＝－3 或13. ∴切线方程为 y＝－3x 或 y＝13x. 【答案】 A
答案 4 解析 将原方程整理成标准形式，得(x－3)2＋(y－4)2＝5，又由 圆的切线性质及在三角形中运用正弦定理，得|PQ|＝4.
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请做：课时作业（二十八）
自助餐
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数形结合问题 例 1 若直线 y＝x＋b 与曲线 y＝ 4－x2有公共点，则 b∈________．
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【解析】 如图，在坐标系中作出曲线 y ＝ 4－x2的图象(半圆)．直线 l1：y＝x－2，直 线 l2：y＝x＋2 2.
|0－0＋2 12＋（－
3| 3）2
＝
3 ， 所 以 |AB| ＝ 2|AM| ＝
2 |OA|2－|OM|2＝2 22－（ 3）2＝2.
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探究 3 (1)在处理直线与圆相交形成的弦的有关问题时，我 们经常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为(x1，y1)，(x2， y2)，将其分别代入圆的方程后寻找坐标与弦的关系，然后加以求 解，这种方法称为“点差法”．
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题型二 切线问题 例 2 求经过点 A(1，－7)与圆 x2＋y2＝25 相切的切线方程．
第17页
【思路分析】 先判断点 A 是否在圆上，然后根据圆上或圆 外一点切线的求法解出切线方程．
【解析】 ∵12＋(－7)2＝50>25，∴点 A 在圆外，设所求切 线斜率为 k，∴所求直线方程为 y＋7＝k(x－1)，整理成一般式为 kx－y－k－7＝0，由圆的切线的性质，可得|0－01－＋kk－2 7|＝5，化 简得 12k2－7k－12＝0，∴k＝43或 k＝－34.
【解析】 直线为 x＋y－1＝0， 将圆配方得 x2＋(y－a)2＝a2， 圆心(0，a)，半径为 a(a>0)， 据题意，|a－21|>a，解得 0<a< 2－1. 【答案】 (0， 2－1)
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(2)点 M(x0，y0)是圆 x2＋y2＝a2(a>0)内异于圆心的点，则直 线 x0x＋y0y＝a2 与此圆的位置关系为( )
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(2)自点 A(－1，4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1 的切线，则切线
长为( )
A. 5
B．3
C. 10
D．5
【解析】 因为(－1－2)2＋(4－3)2＝10>1，所以点 A 在圆外， 所以过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2 外一点 P(x0，y0)向圆引切线 PA，则|PA| ＝ （x0－a）2＋（y0－b）2－r2.
(2)涉及到圆的弦长问题时，为了简化运算，常利用垂径定理 或半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形进行运算．
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思考题 3 (1)直线 l 过(4，0)，且被圆 x2＋y2－2x－2y－7 ＝0 所截的弦长最长，则 l 的方程为________．
【解析】 将圆配方得(x－1)2＋(y－1)2＝9， 圆心为(1，1)，半径为 3，易知(4，0)在圆外， 弦长最长，则直线 l 过圆心， 由两点式得 l 方程为y1－ －00＝x1－ －44，即 x＋3y－4＝0. 【答案】 x＋3y－4＝0
的方程是( )
A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
B．(x－1)2＋(y－1)2＝1
C．(x－1)2＋(y＋1)2＝1
D．(x＋1)2＋(y－1)2＝1
答案 A
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3．直线 l：3x－4y－5＝0 被圆 x2＋y2＝5 所截得的弦长为 __________．
答案 4 解析 ∵圆心到直线的距离为 d＝|0－320＋－452|＝1，r2＝5， ∴弦长 l＝2 r2－d2＝4.
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题型三 弦长问题
例 3 求直线 x－ 3y＋2 3＝0 被圆 x2＋y2＝4 截得的弦长． 【思路分析】 利用几何方法构造关系求解．
【解析】 如图，设直线 x－ 3y＋2 3＝0 与圆
x2＋y2＝4 交于 A，B 两点，弦 AB 的中点为 M，则
OM⊥AB(O 为 坐 标 原 点 ) ， 所 以 |OM| ＝
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4．直线 x＋y＋3＝0 与圆 x2＋(y＋1)2＝a 有公共点，那么实 数 a 的取值范围是__________．
答案 a≥2 解析 ∵直线与圆有公共点，∴圆心到直线的距离为 d≤r，即 |0－121＋＋132|＝ 2≤ a，∴a≥2.
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5．过原点 O 作圆 x2＋y2－6x－8y＋20＝0 的两条切线，设切 点分别为 P，Q，则线段 PQ 的长为______．
三条边长分别为|a|，|b|，|c|的三角形( )
A．是锐角三角形
B．是直角三角形
C．是钝角三角形
D．不存在
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(3)已知直线 y＝2x＋1 和圆 x2＋y2＝4，试判断直线和圆的位 置关系．
【思路分析】 根据直线与圆的位置关系求解． 【解析】 (1)已知圆心 C( 3，2)，半径 r＝1.因为直线与圆相 交，所以 d<r，即 d＝|a 3a＋2＋2－1 1|<1，平方去分母得( 3a＋1)2<a2＋1， 解得－ 3<a<0.故选 B. (2)由题意得|a·0＋a2b＋·0b＋2 c|＝1，即 c2＝a2＋b2，所以由|a|，|b|，|c| 为边长构成的三角形为直角三角形．故选 B.
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要点 3 代数判定法 由A（xx＋－Bay）＋2＋C＝（0y，－b）2＝r2，消元，得到一元二次方程的 判别式 Δ，则 (1)Δ>0⇔直线与圆_相__交___； (2)Δ＝0⇔直线与圆_相__切___； (3)Δ<0⇔直线与圆__相_离___．
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要点 4 弦长的求法
直线与圆相交有两个交点，设弦长为 l，弦心距为 d，半径为 r，则有(2l )2＋d2＝r2.