江西省南昌市第二中学2015-2016学年高一上学期第一次月考数学试题

南昌二中2015—2016学年度上学期第一次考试
高一数学试卷
一、选择题（每小题5分，共60分）
1. 在①{}10,1,2⊆；②{}{}10,1,2∈；③{}{}0,1,20,1,2⊆； ④∅⊂≠{}0上述四个关系中，错误．．的个数是（ ） A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
2. 已知全集U =R ，集合{
}
|A x y x ==-，{}2|1B y y x ==-，那么集合()
U C A B =（ ）
A ．(],0-∞
B ．()0,1
C ．(]0,1
D ． [)0,1
⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x M ,42ππ，⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x N ,24π
π，则 （ ）
A ．M
N
B ．N M
C ．N M =
D ．φ=N M
4. 函数2
()(31)2f x x a x a =+++在(,4)-∞上为减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．3a ≤-
B ．3a ≤
C ．5a ≤
D ．3a =-
5. 集合,A B 各有两个元素，A
B 中有一个元素，若集合
C 同时满足：
（1）()C A B ⊆，（2）()C A B ⊇，则满足条件C 的个数为 （ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
6. 函数(5)||y x x =--的递减区间是 （ ） A. (5,)+∞
B.(,0)-∞
C. (,0)
(5,)-∞+∞
D. 5
(,0)(,)2
-∞+∞,
7. 设P M ,是两个非空集合，定义M 与P 的差集为{}
P x M x x P M ∉∈=-且,则()P M M --等于（ ）
A. P
B. P M
C. P M
D. M 8. 若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数(2)
()1
f x
g x x =-的定义域是（ ） A ．[0,1)
(1,2] B ．[0,1)(1,4] C ．[0,1)
D ．(1,4]
9. 不等式()()a x a x 2
2
4210-++-≥的解集是空集，则实数a 的范围为（ ） A ．6(2,)5
-
B ．6[2,)5
-
C ．6[2,]5
-
D ．6[2,)
{2}5
-
2(21)1,0()(2),0
b x b x f x x b x x -+->⎧=⎨-+-≤⎩在R 上为增函数,则实数b 的取值范围为（ ）
A ．[1,2]
B ．1(,2]2
C ．(1,2]
D ．1(,2)2
11. 设集合34M x m x m ⎧⎫=≤≤+⎨⎬⎩⎭
，13N x n x n ⎧⎫
=-
≤≤⎨⎬⎩⎭
，且,M N 都是集合 {}01x x ≤≤的子集合，如果把b a -叫做集合{}x a x b ≤≤的“长度”，那么集合M
N 的“长
度”的最小值是（ ）
A.
23 B.512 C.13 D.1
12
12. 对实数a 和b ，定义运算“⊗”：,1
.1
a a
b a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩设函数()()22()2f x x x x =-⊗-，
x R ∈,若函数()y f x c =-的图象与x 轴恰有两个公共点,则实数c 的取值范围是( )
A ．(]
3,21,2⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭
B ．(]
3,21,4⎛
⎫-∞--- ⎪⎝⎭
C ．111,,44⎛
⎫⎛⎫
-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
D ．311,,44⎛
⎫⎡⎫--
+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．函数22,0
()1,0
x x f x x x -≤⎧=⎨+>⎩，若[()]0f f a =，则a = ．
14．已知集合{}12,3,1--=m A ，集合{
}2
,3m
B =，若A B ⊆，则实数m = ．
15．某果园现有100棵果树，平均每一棵树结600个果子．根据经验估计，每多种一颗树，平均每棵树就会少结5个果子．设果园增种x 棵果树，果园果子总个数为y 个，则果园里增种 棵果树，果子总个数最多．
16．定义在R 上的函数)(x f 满足2)1(),,(2)()()(=∈++=+f R y x xy y f x f y x f ，则
=-)3(f ．
三、解答题（共70分） 17．（本题满分10分）
设{
}
0222
=++=ax x x A ,A ∈2. (Ⅰ) 求a 的值，并写出集合A 的所有子集；
(Ⅱ) 已知{}5,2-=B ，设全集B A U =，求)()(B C A C U U .
18．（本题满分12分）
已知集合32{|
1}2
x
A x x -=>-+， （I ）若
B A ⊆，{|121}B x m x m =+<<-，求实数m 的取值范围； （II ）若A B ⊆，{|621}B x m x m =-<<-，求实数m 的取值范围.
19．（本题满分12分）
已知函数2
2
3()1x f x x -=+.
(I)计算(3)f ，(4)f ，1
()3f 及1()4
f 的值； (II)由(I)的结果猜想一个普遍的结论,并加以证明；
(III)求值：111
(1)(2)...(2015)()()...()232015
f f f f f f +++++++.
20．（本题满分12分）
已知函数(]2
()23,0,3f x ax x x =-+∈.
(I)当1a =时，求函数()f x 的值域；
(II)若集合{()0,03}A x f x x ==<≤≠∅，求实数a 的取值范围.
21．（本题满分12分）
已知定义在区间()+∞,0上的函数)(x f 满足1
122
(
)()()x f f x f x x =-，且当1>x 时，0)(<x f . （I ）求)1(f 的值；
（II ）判断)(x f 的单调性并予以证明；
（III ）若,1)3(-=f 解不等式2
-2f x >（
）.
22．（本题满分12分）
已知函数2
()(2)f x x a x b =+++，2)1(-=-f ，对于R x ∈，x x f 2)(≥恒成立． (Ⅰ)求函数)(x f 的解析式； (Ⅱ)设函数4)
()(-=
x
x f x g . ①证明：函数)(x g 在区间在),1[+∞上是增函数；
②是否存在正实数n m <,当n x m ≤≤时函数)(x g 的值域为]2,2[++n m ．若存在，求出n m ,的值，若不存在，则说明理由．
南昌二中2015—2016学年度上学期第一次考试
高一数学试卷参考答案
1-5：BCAAD 6-10：DBCBA 11-12：DB
13． 0 14. 1 15. 10 16. 6
17．解：（1）A ∈2 0228=++∴a 5-=∴a
02522
=+-∴x x ,解得122
x x ==
或 ，A={2,21}
A 的子集为φ，{2}，{21}，{2,2
1
} ---------------5分 (2) U A B =⋃={2,
2
1
,-5}
()()U U C A U C B ={2
1,-5} ---------------10分
18．解：解不等式3212
x
x ->-+，得25x -<<，即(2,5)A =- （1）B A ⊆
①当B =∅时，则211m m -≤+，即2m ≤，符合题意； ②当B ≠∅时，则有
212215m m m >⎧⎪
+≥-⎨⎪-≤⎩
解得：23m <≤
综上：(,3]m ∈-∞
（2）要使A B ⊆，则B ≠∅，所以有
21662215m m m m ->-⎧⎪
-≤-⎨⎪-≥⎩
解得：34m ≤≤
19．解：（1）解得3
(3)5f =-，13(4)17f =-
，113()35f =，147()417
f = （2）猜想：1
()()2f x f x
+=，证明如下。

∵2
23()1x f x x -=+，则222213131()111x x f x x x
-
-==++ ∴222222222
13313132(1)
()()21111x x x x x f x f x x x x x
----+++=+===++++ （3）∵1
()()2f x f x
+=
∴1(2)()22f f +=,1(3)()23f f +=,...,1
(2015)(
)22015
f f +=, 且1
(1)()21
f f +=,即(1)1f =
∴111
(1)(2)...(2015)()()...()1220144029232015
f f f f f f +++++++=+⨯=.
20．解：（1）当1a =时，2
2
()23(1)2f x x x x =-+=-+， 从而，()f x 的最小值是(1)2f =，最大值是(3)6f =， 即()f x 的值域是[]2,6.
(2) 集合{()0,03}A x f x x ==<≤≠∅,即方程2230ax x -+=在(]0,3x ∈有实根， 等价于求函数223x a x -=
在(]0,3x ∈()h x =2
23
x x
-，则 ()h x =2
2231132,x x x x -⎛⎫⎛⎫
=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
(]0,3x ∈.再令11,3t x ⎡⎫=∈+∞⎪⎢⎣⎭， 则2
2
11
()32333
g t t t t ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，当13t =时，()g t 有最大值13，即13a ≤.
21．解:（1）令021>=x x ，代入得0)()()1(11=-=x f x f f ，故0)1(=f . （2）任取),0(,21+∞∈x x ，且21x x >则
12
1
>x x ，由于当1>x 时，0)(<x f , 所以0)(
2
1
<x x f ,即0)()(21<-x f x f ，因此)()(21x f x f <. 所以函数)(x f 在区间()+∞,0上是单调递减函数. (3) 由)()()(
2121x f x f x x f -=得)3()9()3
9
(f f f -=，而1)3(-=f ，所以2)9(-=f . 由函数)(x f 在区间()+∞,0上是单调递减函数，且2
()(9)f x f >，
得2
09,3003x x x <<∴-<<<<或，因此不等式的解集为3003-⋃（，）（，）.
22．解：(1) ∵2)1(-=-f ∴2
2(1)(2)1a b a b -=--++⇒-=
22(2)2()0x a x b x f x x a x b +++≥⇒=+⋅+≥恒成立
222404(1)0(2)02,1a b a a a a b ∴∆=-≤⇒--≤⇒-≤⇒==, 2()41f x x x ∴=++ --------------3分
(2) 1()g x x x
=+
①证明：1x x <<２设1，则()112121212111()(()1g x g x x x x x x x x x ⎛⎫
-+
-+=-- ⎪⎝⎭
２)= ()121212121,0,11,10
x x x x x x x x <<∴-<⎛⎫
>∴-> ⎪⎝⎭
1()(0.g x g x ∴-<２)
∴函数g(x)在区间在[1，+∞)是增函数。

--------------7分 ②分三种情况讨论: （i ）n>m>1, ()2()2
f m m f n n =+⎧⎨
=+⎩,21
==n m ,不合
（ii ）0<m<n<1, ()2()2f m n f n m =+⎧⎨=+⎩,⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧>+=-=
1
222222n m ,不合 (iii)0<m<1<n, ()22min f x m ==+,不合
综上，不存在n m ,满足题意. --------------12分。