浙教版九年级上册：第一章 二次函数 单元测试(含答案)

第1章综合测评卷
一、选择题(每题3分，共30分)
1.下列各式中，y 是x 的二次函数的是(C ).A.x 2+2y 2=2
B.x=y 2
C.3x 2-2y=1
D.
2
1
x +2y-3=02.对于二次函数y=(x-1)2+3的图象，下列说法正确的是(C ).A.开口向下
B.对称轴是直线x=-1
C.顶点坐标是(1，3)
D.与x 轴有两个交点
（第3题）
3.如图所示，一边靠墙(墙有足够长)，其他三边用12m 长的篱笆围成一个矩形(ABCD)花园，这个矩形花园的最大面积是(C ).A.16m 2 B.12m 2 C.18m 2
D.以上都不对
4.如果抛物线y=mx 2+(m-3)x-m+2经过原点，那么m 的值等于(C ).A.0
B.1
C.2
D.3
5.如图所示，直线x=1是抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴，那么有(D ).A.abc ＞0
B.b ＜a+c
C.a+b+c ＜0
D.c ＜2b
(第5题)(第6题)(第7题)(第8题)
6.已知二次函数的图象(0≤x ≤3)如图所示.关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法中正确的是(C ).
A.有最小值0，有最大值3
B.有最小值-1，有最大值0
C.有最小值-1，有最大值3
D.有最小值-1，无最大值
7.如图所示，抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点为点P(-2，2)，与y 轴交于点A(0，3).若平移该抛物线使其顶点P 由(-2，2)移动到(1，-1)，此时抛物线与y 轴交于点A ′，则AA ′的长度为(A ).A.3
4
3 B.2
4
1 C.32
D.3
8.如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小强想知道这道门的高度，他先测出门的宽度
AB=8m ，然后用一根长4m 的小竹竿CD 竖直地接触地面和门的内壁，测得AC=1m ，则门高OE 为(B ).A.9m
B.
7
64m C.8.7m D.9.3m
9.已知二次函数y=x 2+bx+c 与x 轴只有一个交点，且图象过A(x 1，m)，B(x 1+n ，m)两点，则m ，n 满足的关系为(D ).A.m=
2
1n B.m=
4
1n C.m=
2
1n 2
D.m=
4
1n 2
10.已知二次函数y=-(x-1)2+5，当m ≤x ≤n 且mn ＜0时，y 的最小值为2m ，最大值为2n ，则m+n 的值为(D ).A.
2
5 B.2 C.
2
3 D.
2
1
（第10题答图）
【解析】二次函数y=-(x-1)2+5的大致图象如答图所示：①当m ≤0≤x ≤n ＜1时，当x=m 时y 取最小值，即2m=-(m-1)2+5，解得m=-2或m=2(舍去).当x=n 时y 取最大值，即2n=-(n-1)2+5，解得n=2或n=-2(均不合题意，舍去).②当m ≤0≤x ≤1≤n 时，当x=m 时y 取最小值，由①
知m=-2.当x=1时y 取最大值，即2n=-(1-1)2+5，解得n=2
5
，或x=n 时y 取最小值，x=1时y 取最大值，2m=-(n-1)2+5，n=25，∴m=811.∵m ＜0，∴此种情形不合题意.∴m+n=-2+
2
5
=2
1
.故选D.二、填空题(每题4分，共24分)
11.如果某个二次函数的图象经过平移后能与y=3x 2的图象重合，那么这个二次函数的表达式可以是
y=3（x+2）2+3
(只要写出一个)．
12.如图所示，抛物线y=ax 2+bx+c(a ＞0)的对称轴是过点(1，0)且平行于y 轴的直线.若点P(5，0)在抛物线上，则9a-3b+c 的值为
.
（第12题）（第13题）(第14题)(第15题)
13.如图所示，抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴相交于点A ，B(m+2，0),与y 轴相交于点C ，点D 在该抛物线上，坐标为(m ，c)，则点A 的坐标是
(-2,0)
.
14.如图所示，将两个正方形并排组成矩形OABC ，OA 和OC 分别落在x 轴和y 轴的正半轴上.正方形EFMN 的边EF 落在线段CB 上，过点M ，N 的二次函数的图象也过矩形的顶点B ，C ，若三个正方形边长均为1，则此二次函数的表达式为
y=-
34x 2+3
8
x+1．15.某种工艺品利润为60元/件，现降价销售，该种工艺品销售总利润w(元)与降价x(元)的函数关系如图所示.这种工艺品的销售量y （件）关于降价x （元）的函数表达式为y=60+x
．
16.已知抛物线y=a(x-1)（x+
a
2
）的图象与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，若△ABC 为等腰三角形，则a 的值是2或
3
4或
251 ．
三、解答题(共66分)
17.(6分)已知抛物线的顶点坐标是(2，-3)，且经过点（1，-
2
5
）．(1)求这个抛物线的函数表达式，并作出这个函数的大致图象．
(2)当x 在什么范围内时，y 随x 的增大而增大？当x 在什么范围内时，y 随x 的增大而减小？
【答案】(1)设抛物线的函数表达式为y=a （x-2）2-3，把(1,-
25)代入,得-2
5=a-3，即a=21.
∴抛物线的函数表达式为y=
2
1x 2
-2x-1.图略.(2)∵抛物线对称轴为直线x=2,且a>0,∴当x ≥2时，y 随x 的增大而增大；当x ≤2时，y 随x 的增大而减小.
18.(8分)今有网球从斜坡点O 处抛出，网球的运动轨迹是抛物线y=4x-2
1x 2
的图象的一段，斜坡的截线OA 是一次函数y=
2
1
x 的图象的一段，建立如图所示的平面直角坐标系．
(第18题)
(1)求网球抛出的最高点的坐标．
(2)求网球在斜坡上的落点A 的竖直高度．
【答案】(1)∵y=4x-21x 2=-2
1
（x-4）2+8，∴网球抛出的最高点的坐标为（4，8）.(2)由题意得4x-21x 2=21x,解得x=0或x=7.当x=7时，y=21
×7=27.∴网球在斜坡的落点A
的垂直高度为2
7
.
19.(8分)若直线y=x+3与二次函数y=-x 2+2x+3的图象交于A ，B 两点，(1)求A ，B 两点的坐标．(2)求△OAB 的面积．
(3)x 为何值时，一次函数的值大于二次函数的值？
【答案】(1)由题意得⎩⎨⎧++-=+=3
232
x x y x y ，解得⎩⎨⎧==30y x 或⎩⎨⎧==41
y x .∴A ，B 两点的坐标分别为（0，3），（1，4）.
(2)∵A ，B 两点的坐标是（0，3），（1，4），∴OA=3，OA 边上的高线长是1.∴S △OAB =21
×3×1=2
3.(3)当x ＜0或x ＞1时，一次函数的值大于二次函数的值.
20.（10分）随着地铁和共享单车的发展，“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A ，B ，C ，D ，E 中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫的距离为x(km)，乘坐地铁的时间y 1(min)是关于x 的一次函数，其关系如下表所示：
地铁站A B C D E x(km)89111.513y 1(min)
18
2
22
25
28
(1)求y 1关于x 的函数表达式.
(2)李华骑单车的时间也受x 的影响，其关系可以用y 2=
2
1x 2
-11x+78来描述，请问：李华应选择在那一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短？并求出最短时间.
【答案】(1)设y 1=kx+b ，将(8，18)，(9，20)代入，得⎩⎨⎧=+=+209188b k b k ,解得⎩
⎨⎧==22
b k .∴y 1关于
x 的函数表达式为y 1=2x+2.
(2)设李华从文化宫回到家所需的时间为y.则y=y 1+y 2=2x+2+
21x 2-11x+78=2
1
x 2-9x+80.∴当x=9时，y 有最小值，y min =2
1498021
42
⨯-⨯⨯=39.5.∴李华应选择在B 站出地铁，才能使他从
文化宫回到家所需的时间最短，最短时间为39.5min.21.（10分）已知二次函数y=ax 2+bx+2
1
(a ＞0，b ＜0)的图象与x 轴只有一个公共点A.(1)当a=
2
1
时，求点A 的坐标.(2)过点A 的直线y=x+k 与二次函数的图象相交于另一点B ，当b ≥-1时，求点B 的横坐标m 的取值范围.
【答案】(1)∵二次函数y=ax 2+bx+2
1
(a ＞0，b ＜0)的图象与x 轴只有一个公共点A ，∴Δ=b 2-4a×
21=b 2-2a=0.∵a=2
1
，∴b 2=1.∵b ＜0，∴b=-1.∴二次函数的表达式为y=21x 2-x+21.当y=0时，21x 2-x+2
1
=0，解得x 1=x 2=1，∴A(1，0).(2)∵b 2=2a ，∴a=21b 2，∴y=21b 2x 2+bx+21=21
(bx+1)2.当y=0时，x=-b 1，∴A （-b 1，0）.
将点A （-b 1,0）代入y=x+k ，得k=b 1.由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
+=++=b x y bx x b y 1
2
12122消去y 得21b 2x 2+(b-1)x+21-b 1
=0，解得x 1=-b 1，x2=22b b -.∵点A 的横坐标为-b 1，∴点B 的横坐标m=22b b -.∴m=22b b -=2（21b -b 21）=2（b 1-41）2-81.∵2＞0，∴当b 1＜41时，m 随b
1的
增大而减小.∵-1≤b ＜0，∴b 1≤-1.∴m ≥2×（-1-41）2-8
1
=3，即m ≥3.
22.(12分)设函数y=kx 2+(2k+1)x+1(k 为实数)．
(1)写出符合条件的两个函数，使它们的图象不全是抛物线，并在同一平面直角坐标系内，用描点法画出这两个函数的图象．
(2)根据所画的函数图象，提出一个对任意实数k ，函数的图象都具有的特征的猜想，并给予证明．
(3)对任意负实数k ，当x<m 时，y 随着x 的增大而增大，试求出m 的一个值．【答案】(1)如：y=x+1,y=x 2+3x+1，图略.
(2)不论k 取何值，函数y=kx 2+(2k+1)x+1的图象必过定点(0,1),(－2,－1)，且与x 轴至少有1个交点.证明如下：由y=kx 2+(2k+1)x+1，得k(x 2+2x)+(x －y+1)=0.当x 2+2x=0,x －y+1=0，即x=0,y=1，或x=－2,y=－1时，上式对任意实数k 都成立，∴函数的图象必过定点(0,1),(－2,－1).∵当k=0时，函数y=x+1的图象与x 轴有一个交点；当k ≠0时，Δ=(2k+1)2－4k=4k 2+1>0，函数图象与x 轴有两个交点,∴函数y=kx 2+(2k+1)x+1的图象与x 轴至少有1个交点.
(3)只要写出的m ≤－1就可以.∵k<0，∴函数y=kx 2+(2k+1)x+1的图象在对称轴直线x=－
k k 212+的左侧，y 随x 的增大而增大.由题意得m ≤－k k 212+.∵当k<0时，k k 212+=－1－k
21
>－1.∴m ≤－1.
23.(12分)如图1所示，点P(m ，n)是抛物线y=
4
1x 2
-1上任意一点，l 是过点(0，-2)且与x 轴平行的直线，过点P 作直线PH ⊥l ，垂足为点H ．【特例探究】
(1)当m=0时，OP=1，PH=1；当m=4时，OP=5，PH=5．
【猜想验证】
(2)对任意m ，n ，猜想OP 与PH 的大小关系，并证明你的猜想．【拓展应用】
(3)如图2所示，图1中的抛物线y=
4
1x 2
-1变成y=x 2-4x+3，直线l 变成y=m(m ＜-1).已知抛物线y=x 2-4x+3的顶点为点M ，交x 轴于A ，B 两点，且点B 坐标为(3，0)，N 是对称轴上的一点，直线y=m(m ＜-1)与对称轴交于点C ，若对于抛物线上每一点都满足：该点到直线y=m 的距离等于该点到点N 的距离．
①用含m 的代数式表示MC ，MN 及GN 的长，并写出相应的解答过程.②求m 的值及点N 的坐标．
(第23题)
【答案】(1)1，1，5，5.
(2)猜想：OP=PH.证明：设PH 交x 轴于点Q ∵P 在y=41x 2-1上，∴P （m ，4
1
m 2-1），PQ=∣
4
1m 2-1
∣
，OQ=|m|.
∵△OPQ 是
直角三角形，∴
OP=2
2
OQ PQ +=2
2
2141m m +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2
2141⎪⎭
⎫ ⎝⎛+m =14m 2+1.∵PH=yp-（-2）=（41m 2-1）
-（-2）=
4
1m 2
+1，∴OP=PH.(3)①∵M （2，-1），∴CM=MN=-m-1.GN=CG-CM-MN=-m-2（-m-1）=2+m.②点B 的坐标是（3，0），BG=1，GN=2+m.由勾股定理得BN=2
2
GN BG +=()2
2
21m ++.∵对于抛物
线上每一点都有：该点到直线y=m 的距离等于该点到点N 的距离，∴1+（2+m ）2=（-m ）2,解得m=-
4
5.∵GN=2+m=2-
45=43，∴N （2，-4
3）.。