2020_2021学年高中数学第二章随机变量及其分布2.2.1条件概率学案含解析新人教A版选修2_3
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2.2 二项分布及其应用
2.2.1 条件概率
内
容 标 准
学 科 素 养 1.理解条件概率的定义. 2.掌握条件概率的计算方法.
3.利用条件概率公式解决一些简单的实际问题.
利用数学抽象 发展数学建模 提升数学运算
授课提示:对应学生用书第32页
[基础认识]
知识点 条件概率
预习教材P 51-53,思考并完成以下问题
(1)三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学无放回地抽取,问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比前两名同学小?
提示:如果三张奖券分别用X 1,X 2,Y 表示,其中Y 表示那张中奖奖券,那么三名同学的抽奖结果共有六种可能:X 1X 2Y ,X 1YX 2,X 2X 1Y ,X 2YX 1,YX 1X 2,YX 2X 1.用B 表示事件“最后一名同学抽到中奖奖券”,则B 仅包含两个基本事件:X 1X 2Y ,X 2X 1Y .由古典概型计算概率的公式可知,最后一名同学抽到中奖奖券的概率为P (B )=26=13
.
(2)如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券,那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率又是多少?
提示:因为已知第一名同学没有抽到中奖奖券,所以可能出现的基本事件只有X 1X 2Y ,
X 1YX 2,X 2X 1Y 和X 2YX 1.而“最后一名同学抽到中奖奖券”包含的基本事件仍是X 1X 2Y 和X 2X 1Y .
由古典概型计算概率的公式可知,最后一名同学抽到中奖奖券的概率为24,即1
2
.
知识梳理 1.条件概率 (1)事件个数法:P (B |A )=
n AB n A
(2)定义法:P (B |A )=
P AB P A
(1)0≤P (B |A )≤1.
(2)如果B 和C 是两个互斥的事件,则P (B ∪C |A )=P (B |A )+P (C |A ).
[自我检测]
1.某地区气象台统计,该地区下雨的概率是4
15,刮风的概率为2
15,既刮风又下雨的概率
为
1
10
,则在下雨天里,刮风的概率为( )
A.8225
B.12
C.38
D.3
4 答案:C
2.某人一周晚上值班2次,在已知他周日一定值班的条件下,他在周六晚上或周五晚上值班的概率为________.
答案:13
授课提示:对应学生用书第32页
探究一 求条件概率
[阅读教材P 53例1]在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回地依次抽取2道题,求:
(1)第1次抽到理科题的概率;
(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率;
(3)在第1次抽到理科题的条件下,第2次抽到理科题的概率. 题型:求事件的概率及条件概率
方法步骤:(1)先计算出不放回地依次抽2次的试验结果总数; (2)分别计算出第1次抽到理科题和两次都抽到的试验结果总数; (3)由概率的计算公式得出所求概率.
[例1] 盒内装有除型号和颜色外完全相同的16个球,其中6个是E 型玻璃球,10个是F 型玻璃球.E 型玻璃球中有2个是红色的,4个是蓝色的;F 型玻璃球中有3个是红色的,7个是蓝色的.现从中任取1个,已知取到的是蓝球,问该球是E 型玻璃球的概率是多少?
[解析] 由题意得球的分布如下:
E 型玻璃球
F 型玻璃球
总计 红 2 3 5 蓝 4 7 11 总计
6
10
16
设A ={取得蓝球法一:∵P (A )=1116,P (AB )=416=1
4
,
∴P (B |A )=
P AB P A =1
4
1116
=4
11. 法二:∵n (A )=11,n (AB )=4, ∴P (B |A )=
n AB n A
=4
11
. 方法技巧 求条件概率P (B |A )的关键就是抓住事件A 为条件和A 与B 同时发生这两点,公式P (B |A )=n AB n A
=
P AB P A
既是条件概率的定义,也是求条件概率的公式,应熟练掌
握.
跟踪探究 1.集合A ={1,2,3,4,5,6},甲、乙两人各从A 中任取一个数,若甲先取(不放回),乙后取,在甲抽到奇数的条件下.
(1)求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率; (2)求乙抽到偶数的概率;
(3)集合A ={1,2,3,4,5,6},甲乙两人各从A 中任取一球.若甲先取(放回),乙后取,若事件A :“甲抽到的数大于4”;事件B :“甲、乙抽到的两数之和等于7”,求P (B |A ).
解析:(1)设“甲抽到奇数”为事件C , “乙抽到的数比甲抽到的数大”为事件D ,
则事件C 包含的基本事件总数为C 13·C 15=15个,
事件CD 同时发生包含的基本事件总数为5+3+1=9个, 故P (D |C )=9
15=35
.
(2)在甲抽到奇数的情形中,乙抽到偶数的有(1,2),(1,4),(1,6),(3,2),(3,4),(3,6),(5,2),(5,4),(5,6),共9个,所以所求概率P =9
15=35
.
(3)甲抽到的数大于4的情形有:(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共12个,其中甲、乙抽到的两数之和等于7的情形有:(5,2),
(6,1),共2个.所以P (B |A )=212=1
6
.
探究二 条件概率的性质及应用
[阅读教材P 53例2]一张储蓄卡的密码共有6位数字,每位数字都可从0~9中任选一个.某人在银行自动提款机上取钱时,忘记了密码的最后一位数字,求:
(1)任意按最后一位数字,不超过2次就按对的概率;
(2)如果他记得密码的最后一位是偶数,不超过2次就按对的概率. 题型:互斥事件的条件概率
方法步骤:(1)不超过2次就按对包含“第1次按对”和“第1次没按对,第2次按对”两事件的和事件;
(2)分别求出“第1次按对”和“第1次没按对,第2次按对”的概率; (3)由互斥事件概率的计算公式得出所求概率.
[例2] 在某次考试中,要从20道题中随机抽出6道题,若考生至少能答对其中4道题即可通过,至少能答对其中5道题就获得优秀.已知某考生能答对其中10道题,并且知道他在这次考试中已经通过,求他获得优秀成绩的概率.
[解析] 记事件A 为“该考生6道题全答对”,事件B 为“该考生答对了其中5道题,另一道答错”,事件C 为“该考生答对了其中4道题,另2道题答错”,事件D 为“该考生在这次考试中通过”,事件E 为“该考生在这次考试中获得优秀”,则A ,B ,C 两两互斥,且D =
A ∪
B ∪
C ,E =A ∪B ,可知P (
D )=P (A ∪B ∪C )
=P (A )+P (B )+P (C )
=C 610C 620+C 510C 110C 620+C 410C 210C 620=12 180C 620
, P (AD )=P (A ),P (BD )=P (B ), P (E |D )=P (A |D )+P (B |D )
=
P A P D
+
P B
P
D =210
C 620
12 180C 620
+2 520
C 620
12 180C 620
=13
58
. 故获得优秀成绩的概率为13
58
.
方法技巧 当所求事件的概率相对较复杂时,往往把该事件分成两个(或多个)互不相容的较简单的事件之和,求出这些简单事件的概率,再利用P (B ∪C |A )=P (B |A )+P (C |A )便可求得较复杂事件的概率.
跟踪探究 2.在一个袋子中装有除颜色外其他都相同的10个球,其中有1个红球,2个黄球,3个黑球,4个白球,从中依次不放回地摸2个球,求在摸出的第一个球是红球的条件下,第二个球是黄球或黑球的概率.
解析:法一:设“摸出的第一个球为红球”为事件A ,“摸出的第二个球为黄球”为事件
B ,“摸出的第二个球为黑球”为事件
C ,则P (A )=
1
10
,P (AB )=
1×210×9=145,P (AC )=1×3
10×9
=
1
30
.
∴P (B |A )=
P AB P A =1
45110=1045=29, P (C |A )=
P AC P A =1
30110
=13. ∴P (B ∪C |A )=P (B |A )+P (C |A )=29+13=5
9.
故所求的条件概率为5
9
.
法二:∵n (A )=1×C 19=9,n [(B ∪C )∩A ]=C 12+C 13=5,
∴P (B ∪C |A )=59.故所求的条件概率为5
9.
授课提示:对应学生用书第33页
[课后小结]
(1)条件概率:P (B |A )=
P AB P A
=
n AB n A
.
(2)概率P (B |A )与P (AB )的区别与联系:P (AB )表示在样本空间Ω中,计算AB 发生的概率,而P (B |A )表示在缩小的样本空间ΩA 中,计算B 发生的概率.用古典概型公式,则P (B |A )=
AB 中样本点数ΩA 中样本点数
,P (AB )=
AB 中样本点数Ω中样本点数
.
[素养培优]
1.因把基本事件空间找错而致错
一个家庭中有两名小孩,假定生男、生女是等可能的.已知这个家庭有一名小孩是女孩,问另一名小孩是男孩的概率是多少?
易错分析:解决条件概率的方法有两种,第一种是利用公式P (B |A )=
P AB P A
.第二种为
P (B |A )=
n AB n A
,其中找对基本事件空间是关键.考查数学建模的学科素养.
自我纠正:法一:一个家庭的两名小孩只有4种可能:{两名都是男孩},{第一名是男孩,第二名是女孩},{第一名是女孩,第二名是男孩},{两名都是女孩}.由题意知这4个事件是等可能的,设基本事件空间为Ω,“其中一名是女
孩”为事件A ,“其中一名是男孩”为事件B ,则Ω={(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)},A ={(男,女),(女,男),(女,女)},B ={(男,男),(男,女),(女,男)},AB ={(男,女),(女,男)}.
∴P (AB )=24=12,P (A )=3
4
.
∴P (B |A )=
P AB P A =1
234
=2
3. 法二:由方法一可知n (A )=3,n (AB )=2. ∴P (B |A )=
n AB n A =23
. 2.“条件概率P (B |A )”与“积事件的概率P (A ·B )”混同
袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球,作不放回抽样,每次任取一球,取2次,求第二次才取到黄色球的概率.
易错分析:本题错误在于P (AB )与P (B |A )的含义没有弄清,P (AB )表示在样本空间S 中,
A 与
B 同时发生的概率;而P (B |A )表示在缩减的样本空间S A 中,作为条件的A 已经发生的条
件下事件B 发生的概率.考查数学建模的学科素养.
自我纠正:P (C )=P (AB )=P (A )·P (B |A )=410×69=415.。