高考文科数学真题及答案全国卷

2013年高考文科数学真题及答案全国卷1
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2013课标全国Ⅰ，文1)已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{x |x ＝n 2，n ∈A }，则A ∩B ＝( )．
A ．{1,4}
B ．{2,3}
C ．{9,16}
D ．{1,2} 【答案】A
【考点】本题主要考查集合的基本知识。

【解析】∵B ＝{x |x ＝n 2，n ∈A }＝{1,4,9,16}， ∴A ∩B ＝{1,4}．
2．(2013课标全国Ⅰ，文2)
2
12i
1i +(-)＝( )． A. −1−12i B ．11+i 2
- C ．1+12i D ．1−1
2i
【答案】B
【考点】本题主要考查复数的基本运算。

【解析】
2
12i 12i 12i i 2i 1i 2i 22++(+)-+===(-)-＝1
1+i 2
-. 3．(2013课标全国Ⅰ，文3)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的
绝对值为2的概率是( )．
A ．12
B ．13
C ．14
D ．16 【答案】B
【考点】本题主要考查列举法解古典概型问题的基本能力。

【解析】由题意知总事件数为6，且分别为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，
满足条件的事件数是2，所以所求的概率为13
.
4．(2013课标全国Ⅰ，文4)已知双曲线C ：2222=1x y a b
-(a ＞0，b ＞0)
则C 的渐近线方程为( )．
A ． y =±1
4
i B ．y =±1
3
i C ．12
y x =± D ．y =±i
【答案】C
【考点】本题主要考查双曲线的离心率、渐近线方程。

【解析】∵2e =
2c a =，即2254c a =.
∵c 2＝a 2＋b 2
，∴2214b a =.∴12
b a =.
∵双曲线的渐近线方程为b
y x a
=±，
∴渐近线方程为1
2
y x =±.故选C.
5．(2013课标全国Ⅰ，文5)已知命题p ：x ∈R,2x ＜3x ；命题q ：x ∈R ，x 3＝1－x 2，则
下列命题中为真命题的是( )．
A ．p ∧q
B ．⌝p ∧q
C ．p ∧⌝q
D ．⌝p ∧⌝q 【答案】B
【考点】本题主要考查常用逻辑用语等基本知识。

【解析】由20＝30知，p 为假命题．令h (x )＝x 3－1＋x 2， ∵h (0)＝－1＜0，h (1)＝1＞0， ∴x 3－1＋x 2＝0在(0,1)内有解．
∴x ∈R ，x 3＝1－x 2，即命题q 为真命题．由此可知只有⌝p ∧q 为真命题．故选B. 6．(2013课标全国Ⅰ，文6)设首项为1，公比为2
3
的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则( )．
A ． i i =2i i −1
B ．i i =3i i −2
C ．i i =4−3i i
D ．i i =3−2i i 【答案】D
【考点】本题主要考查等比数列前n 项和公式。

【解析】11211321113
n
n
n n a a a q a q S q q --(-)===
---＝3－2a n ，故选D.
7．(2013课标全国Ⅰ，文7)执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]， 则输出的s 属于( )．
A ．[－3,4]
B ．[－5,2]
C ．[－4,3]
D ．[－2,5] 【答案】A
【考点】本题主要考查程序框图的认识、分段函数求值域及水性结合的思想。

【解析】当－1≤t ＜1时，s ＝3t ，则s ∈[－3,3)． 当1≤t ≤3时，s ＝4t －t 2. ∵该函数的对称轴为t ＝2，
∴该函数在[1,2]上单调递增，在[2,3]上单调递减． ∴s max ＝4，s min ＝3. ∴s ∈[3,4]．
综上知s ∈[－3,4]．故选A.
8．(2013课标全国Ⅰ，文8)O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝的焦点，P 为C
上一点，若|PF |＝POF 的面积为( )．
A ．2
B ．．．4 【答案】C
【考点】本题主要考查抛物线的定义、数形结合思想及运算能力。

【解析】利用|PF |＝P x =，可得x P ＝
∴y P ＝±∴S △POF ＝
1
2
|OF |·|y P |＝ 故选C.
9．(2013课标全国Ⅰ，文9)函数f (x )＝(1－cos x )sin x 在[－π，π]的图像大致为( )． 【答案】C
【考点】本题主要考查数形结合思想及对问题的分析判断能力。

【解析】由f (x )＝(1－cos x )sin x 知其为奇函数．可排除B ．当x ∈π0,2⎛⎤
⎥⎝⎦
时，f (x )
＞0，排除A.
当x ∈(0，π)时，f ′(x )＝sin 2x ＋cos x (1－cos x )＝－2cos 2x ＋cos x ＋1.令f ′(x )
＝0，得2
π3
x =.
故极值点为2
π3
x =，可排除D ，故选C.
10．(2013课标全国Ⅰ，文10)已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )．
A ．10
B ．9
C ．8
D ．5 【答案】D
【考点】本题主要考查三角函数的化简，考查利用余弦定理解三角形以及方程思想。

【解析】由23cos 2A ＋cos 2A ＝0，得cos 2A ＝
125.∵A ∈π0,2⎛⎫
⎪⎝⎭
，∴cos A ＝15. ∵cos A ＝2364926b b +-⨯，∴b ＝5或13
5
b =-(舍)．
故选D.
11．(2013课标全国Ⅰ，文11)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )． A ．16＋8π B ．8＋8π
C ．16＋16π
D ．8＋16π 【答案】A
【考点】本题主要考查三视图。

简单组合体的体积。

【解析】该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体．
V 半圆柱＝1
2
π×22×4＝8π，
V 长方体＝4×2×2＝16.
所以所求体积为16＋8π.故选A.
12．(2013课标全国Ⅰ，文12)已知函数f (x )＝22,0,
ln(1),0.
x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩若|f (x )|≥ax ，则a 的
取值范围是( )．
A ．(－∞，0]
B ．(－∞，1]
C ．[－2,1]
D ．[－2,0] 【答案】D
【考点】本题主要考查数形结合思想、函数与方程思想、利用导数研究函数间关系，对分析能力有较高要求。

【解析】可画出|f (x )|的图象如图所示．
当a ＞0时，y ＝ax 与y ＝|f (x )|恒有公共点，所以排除B ，C ； 当a ≤0时，若x ＞0，则|f (x )|≥ax 恒成立． 若x ≤0，则以y ＝ax 与y ＝|－x 2＋2x |相切为界限，
由2
,2,
y ax y x x =⎧⎨=-⎩得x 2－(a ＋2)x ＝0. ∵Δ＝(a ＋2)2＝0，∴a ＝－2. ∴a ∈[－2,0]．故选D.
第Ⅱ卷（选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．(2013课标全国Ⅰ，文13)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b .若b ·c ＝0，则t ＝______. 【答案】2
【考点】本题主要考查向量的基本知识及运算。

【解析】∵b ·c ＝0，|a |＝|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，∴a ·b ＝111122
⨯⨯=.
∴b ·c ＝[t a ＋(1－t )b ]·b ＝0， 即t a ·b ＋(1－t )b 2＝0.
∴1
2
t ＋1－t ＝0. ∴t ＝2.
14．(2013课标全国Ⅰ，文14)设x ，y 满足约束条件13,
10,x x y ≤≤⎧⎨
-≤-≤⎩
则z ＝2x －y 的最大值为______． 【答案】3
【考点】本题主要考查简单的线性规划问题。

【解析】画出可行域如图所示．
画出直线2x －y ＝0，并平移，当直线经过点A (3,3)时，z 取最大值，且最大值为z ＝2×3－3＝3.
15．(2013课标全国Ⅰ，文15)已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH ∶HB ＝1∶2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为______．
【答案】9π2
【考点】本题主要考查球及基本几何体的基本知识。

【解析】如图， 设球O 的半径为R ，
则AH ＝23R
，
OH ＝3
R .
又∵π·EH 2＝π，∴EH ＝1.
∵在Rt△OEH 中，R 2
＝2
2+13R ⎛⎫
⎪⎝⎭
，∴R 2＝98.
∴S 球＝4πR 2＝9π
2
.
16．(2013课标全国Ⅰ，文16)设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝______.
【答案】
【考点】本题主要考查三角函数的化简与求值。

【解析】∵f (x )＝sin x －2cos x
x －φ)，
其中sin φ
＝
5，cos φ
＝5 当x －φ＝2k π＋π
2(k ∈Z )时，f (x )取最大值．
即θ－φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，θ＝2k π＋π
＋φ(k ∈Z )．
∴cos θ＝πcos 2ϕ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
＝－sin φ＝5-.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(2013课标全国Ⅰ，文17)(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的前n 项和
S n 满足S 3＝0，S 5＝－5.
(1)求{a n }的通项公式；
(2)求数列21211
n n a a -+⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和．
【考点】本题主要考查等差数列的基本知识，特殊数列的求和等。

【解析】(1)设{a n }的公差为d ，则S n ＝1(1)
2
n n na d -+
. 由已知可得{
3i 1+3d =0
5i 1+10d =−5
解得a 1＝1，d ＝－1. 故{a n }的通项公式为a n ＝2－n . (2)由(1)知
21211n n a a -+＝1111321222321n n n n ⎛⎫
=- ⎪(-)(-)--⎝⎭
， 从而数列21211
n n a a -+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为
＝12n n
-. 18．(2013课标全国Ⅰ，文18)(本小题满分12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A 药，B 药)的疗效，随机地选取20位患者服用A 药，20位患者服用B 药，这40
位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：
服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？
(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？
【考点】本题主要考查统计的基本知识。

茎叶图等。

【解析】(1)设A药观测数据的平均数为x，B药观测数据的平均数为y.
由观测结果可得
x＝1
20
＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋
＝，
y＝1
20
＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋
＝.
由以上计算结果可得x＞y，因此可看出A药的疗效更好．(2)由观测结果可绘制如下茎叶图：
从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有
7
10
的叶集中在茎2,3上，而B药疗效
的试验结果有
7
10
的叶集中在茎0,1上，由此可看出A药的疗效更好．
19．(2013课标全国Ⅰ，文19)(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝
CB，AB＝AA
1，∠BAA1＝60°.
(1)证明：AB⊥A1C；
(2)若AB＝CB＝2，A1C，求三棱柱ABC－A1B1C1的体积．【考点】本题主要考查线面垂直问题，考查空间想象能力、逻
辑思维能力、运算能力及转化能力。

【解析】
(1)取AB的中点O，连结OC，OA1，A1B.
因为CA＝CB，所以OC⊥AB.
由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，
故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB.
因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C.
又A1C平面OA1C，故AB⊥A1C.
(2)由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，
所以OC＝OA1
又A1C，则A1C2＝OC2＋2
1
OA，故OA1⊥OC.
因为OC∩AB＝O，所以OA1⊥平面ABC，OA1为三棱柱ABC－A1B1C1的高．
又△ABC的面积S△ABC，故三棱柱ABC－A1B1C1的体积V＝S△ABC×OA1＝3. 20．(2013课标全国Ⅰ，文20)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝e x(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.
(1)求a，b的值；
(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．
【考点】本题主要考查导数的基本知识，利用导数判断函数单调性、求极值。

【解析】(1)f′(x)＝e x(ax＋a＋b)－2x－4.
由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4.
故b＝4，a＋b＝8.从而a＝4，b＝4.
(2)由(1)知，f(x)＝4e x(x＋1)－x2－4x，
f′(x)＝4e x(x＋2)－2x－4＝4(x＋2)·
1
e
2
x
⎛⎫
-
⎪⎝⎭
.
令f′(x)＝0得，x＝－ln 2或x＝－2.
从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f′(x)＞0；
当x∈(－2，－ln 2)时，f′(x)＜0.
故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．
21．(2013课标全国Ⅰ，文21)(本小题满分12分)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程；
(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.
【考点】本题主要考查直线、圆、椭圆结合的解析几何的综合问题，考查考生的分析能力和计算能力。

【解析】由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径
r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R . (1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切， 所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.
由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2
椭圆(左顶点除外)，其方程为22
=143
x y +(x ≠－2)．
(2)对于曲线C 上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2， 所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2. 所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4. 若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |
＝
若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则
1
||||QP R
QM r =，可求得
Q (－4,0)，所以可设l ：y ＝k (x ＋4)．
由l 与圆M
＝1，解得k
＝4±.
当k
时，将y x =+22=143
x y +，并整理得7x 2
＋8x －8＝0，解得x 1,2
＝47
-±， 所以|AB |
|x 2－x 1|＝18
7
.
当k
＝|AB |＝18
7
.
综上，|AB |
＝|AB |＝18
7
.
请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．
22．(2013课标全国Ⅰ，文22)(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲 如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，
DB 垂直BE 交圆于点D . (Ⅰ)证明：DB=DC;
(Ⅱ)设圆的半径为1，BC=√3，延长CE 交AB 于点F ，求△BCF 外接圆的半径。

【考点】本题主要考查几何证明中的圆的集合性质、切线的相关定理与结论的应用。

【解析】 (1)连结DE，交BC于点G.
由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE.
而∠ABE＝∠CBE，
故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.
又因为DB⊥BE，
所以DE为直径，∠DCE＝90°，
由勾股定理可得DB＝DC.
(2)由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，
故DG是BC的中垂线，
所以BG＝
2
.
设DE的中点为O，连结BO，则∠BOG＝60°.
从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，
所以CF⊥BF，
故Rt△BCF.
23．(2013课标全国Ⅰ，文23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知
曲线C1的参数方程为
45cos,
55sin
x t
y t
=+
⎧
⎨
=+
⎩
(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为
极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.
(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；
(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．
【考点】本题主要考查参数方程、极坐标方程、普通方程的互化。

【解析】(1)将
45cos,
55sin
x t
y t
=+
⎧
⎨
=+
⎩
消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，
即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.
将
cos,
sin
x
y
ρθ
ρθ
=
⎧
⎨
=
⎩
代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.
所以C1的极坐标方程为
ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.
(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.
由2222810160,20
x y x y x y y ⎧+--+=⎨+-=⎩ 解得1,1x y =⎧⎨=⎩或0,2.
x y =⎧⎨=⎩ 所以C 1与C 2
交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭，π2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 24．(2013课标全国Ⅰ，文24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3.
(1)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集；
(2)设a ＞－1，且当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭
时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围． 【考点】本题主要考查绝对值不等式的解法，分段函数等，考查考生分析、解决问题的能力。

【解析】(1)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，
则y ＝15,,212,1,236, 1.x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩
其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y ＜0.
所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．
(2)当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭
时，f (x )＝1＋a . 不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3.
所以x ≥a －2对x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭
都成立． 故2a -≥a －2，即a ≤43
. 从而a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦.。